2017.05.01.

1

Koncentráció számítás

Pénzügyi és gazdasági alkalmazásai

Készítette: Szabó Bence

Tartalom

• Koncentráció• Ismertetés, kiszámítása

• Alkalmazásai

• Példa

• A Gini-index• Kumulált gyakoriság

• Lorenz görbe

• Alkalmazásai

• Példák

KoncentrációGazdaságban alkalmazása

• Megadja egy adatsokaságon belül, hogy az adatmennyiségek összegének a túlnyomó része, mennyire összpontosulnak (egy kisseb rétegre), ennek számszerűsítésére használjuk a következő mennyiséget:

• Koncentrációs (Herfindahl) – index:

H= 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖

2

Értékkészlete: 1

𝑛≤ 𝐻 ≤ 1

KoncentrációGazdaságban alkalmazása

• Szélsőértékei:•1

𝑛-t vesz fel, ha minden adat megegyezik.

• 1-t vesz fel, ha a teljes adatmennyiség egy ”kézben”, területen összpontosul.

• Alkalmazásai:• Területi kutatások legelterjedtebb mutatószáma

• Vállalatok piaci részesedése

• Az állam ezt felhasználva tarja fent piaci verseny szabadságát.

• Pl.: létrejövő cégfúziók mennyire módosítják a HHI-t, ha a fúzió után az

index 0,18 fölött van, vagy több mint 0,01-gyel megnő, a cégeknek igazolniuk kell, hogy egyéb okok miatt nem várható, hogy a fúzió nyomán tisztességtelen előnyhöz jutnának.

• Forgalmi, utazási (utasforgalmi), igényfelmérési, etc….

2017.05.01.

2

KoncentrációGazdaságban alkalmazása

• Példa:• Az Egyesült Államok légitársaságainak piaci részesedése a belföldi

utasforgalomban:

• Itt az index, a részesedések négyzetösszege, mivel az egyéb kategóriát nem tudjuk mennyi társaság, milyen arányban adja, ezért csak becsülni tudunk, az alsó becslést megkaphatjuk a tudott 10 összegből:

𝐻𝑚𝑖𝑛 = 𝑖=110 𝑝𝑖2 ≈0,08165

A felső becslés megkapásához, először vegyük észre, hogy mivel a 10. helyen Alaszka 2.9%-kal van, ezért az egyéb-ben, legalább 7 másik társaságnak kell szerepelnie (különben más lenne a 10. helyen). Előbbiekből: a koncentráció akkor a maximális, ha a lehető legkevesebb társaság kezében van a részesedés többsége. Ez itt ebben a példában úgy érhető el, hogy még 6 cég rendelkezzem 2,9%kal, és a 7.cég kezébe, csak 0,7% kerüljön. Az így kapott felsőbecslés:

𝐻𝑚𝑎𝑥 ≈ 0.08674

Gini-index

• Kumulált gyakoriság és kumulált relatív gyakoriság:• Úgy kapjuk, hogy a gyakoriságot, illetve a kumulált relatív gyakoriságot rendre

összegezzük. Azt mutatják meg, hogy az adott osztályköz felső határának megfelelő vagy annál kisebb ismérvérték hányszor fordul elő, vagyis hány esetben teljesül azx ≤ xf egyenlőtlenség.

• Például:

Gini-index

• A lorenz görbe:• Egy speciális grafikus ábra a koncentráció ábrázolására és elemzésére.

• Az egységoldalú négyzetben elhelyezett görbe a kumulált relatív gyakoriságok függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszegeket.Ha a vizsgált területegységek között létezik olyan, mely a vizsgált mennyiségi ismérv igennagy hányadával rendelkezik, a görbe távolabbesik az átlótól.

• Szélsőesetei összefüggésben van a koncentrációval: ha H = 1 a görbe az X tengelyhezsimul (minél nagyobb az adatmennyiség, annál

jobban), ha H =1

𝑛, azaz az adatok megegyeznek

a görbe egybeesik a négyzetátlóval.

Gini-index

• Gini coefficent / Gini ratio / Gini-index:• A Gini-index a Lorenz görbe és az átló által határolt terület (előző ábrán: A), és az átló

alatt lévő terület hányadosa (A+B, mivel egységnégyzeten dolgozunk A+B=0.5, így az index 2A-ként, 1-2B-ként is kiszámolható)

• (Súlyozatlan) képlete:

• G=1

2 𝑥𝑛2 𝑖 𝑗 |𝑥𝑖 − 𝑥𝑗|

Ahol:-𝑥𝑖 a megoszlási viszonyszámként megadott területi jellemző az i területegységben;- 𝑥 az 𝑥𝑖-k átlaga;

Értékkészlete: 0≤ 𝐺 ≤1

• A koncentráció relatív nagyságát jellemzi (minden egység részarányának az össze többiétől való átlagos eltérését viszonyítja az átlaghoz) , csak abszolút adatok esetén használjuk.

2017.05.01.

3

Gini-index

• Súlyozott Gini-index:𝐺𝑆 =

1

2 𝑦𝑆

𝑖

𝑗

𝑓𝑖𝑓𝑗

𝑖𝑓𝑖2 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗

Ahol: 𝑦𝑖 =𝑥𝑖

𝑓𝑖fajlagos (arány) mutató értéke az i területegységben.

𝑦𝑆 = 𝑦𝑖-k súlyozott átlaga

Értékkészlete: 0≤ 𝐺𝑆 < 1

It olyan Lorenz-görbét kell elképzelnünk, ahol a vizsgált fajlagos mutató két összetevője közül az egyik kumulált relatív gyakoriságainak függvényében ábrázolja a másik kumulált relatív értékösszegei

Kiszámolható még:

G=1-2 01𝐿 𝑡 𝑑𝑡 , ahol L(t), a Lorenz görbe függvénye

Gini-index

• Hibaforrás:• Az egyenlőtlenséget mérő konstansok összehasonlításában ügyelni kell arra, hogy az

összehasonlított konstansok ugyanúgy legyenek kiszámítva.

• Adatvesztés:• Teljesen különböző adathalmazoknak is lehet azonos a Gini indexük.

• Kevés dologra lehet következteti belőle, az adatok komplexitásának csökkentésére jó.

• Alkalmazásai:• Statisztikai eloszlások egyenlőtlenségét méri, főként a jövedelem és a vagyon

eloszlásának mérésére használják.

Gini-index

• A nemzeti jövedelem eloszlásának Gini-indexe világszerte:

Gini-index

• Példa:Képzeletbeli cég (1000 fős) alkalmazottainak keresete:

Fő: Fizetés:

200 20.000

500 80.000

200 100.000

100 160.000

2017.05.01.

4

Köszönöm a figyelmet!

Tesztkérdés:

Mennyi lehet egy n darabszámú adatmennyiség koncentrációjának minimuma?

A) 0

B) 1

𝑛

C) 1

𝑛2

D) Nem lehet megállapítani