Regresi Linier Berganda

Fatkhurokhman Fauzi

Regresi Linier Berganda

• Analisis regresi linier berganda adalah hubungan secaralinear antara dua atau lebih variabel independen(𝑋1, 𝑋2, … . 𝑋𝑛) dengan variabel dependen (𝑌). Analisis iniuntuk mengetahui arah hubungan antara variabelindependen dengan variabel dependen apakah masing-masing variabel independen berhubungan positif ataunegatif dan untuk memprediksi nilai dari variabeldependen apabila nilai variabel independen mengalamikenaikan atau penurunan. Data yang digunakanbiasanya berskala interval atau rasio.

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯+ 𝛽𝑘𝑋𝑘

Regresi Linier Berganda

• Contoh dua variabel bebas 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2

Maka untuk menentukan menghitung nilaikoefisien kita menggunakan rumus sebagaiberikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0𝑛 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖

𝑌𝑖𝑋1𝑖 = 𝛽0 𝑋1𝑖 + 𝛽1 𝑋1𝑖2 + 𝛽2 𝑋1𝑖𝑋2𝑖

𝑌𝑖𝑋2𝑖 = 𝛽0 𝑋2𝑖 + 𝛽1 𝑋1𝑖𝑋2𝑖 + 𝛽2 𝑋2𝑖2

Regresi Linier Berganda

Contoh soal

Y X2 X1

23 7 10

7 3 2

15 2 4

17 4 6

23 6 8

22 5 7

10 3 4

14 3 6

20 4 7

19 3 6

170 = 10𝛽0 + 60𝛽1 + 40𝛽2

1122 = 60𝛽0 + 406𝛽1 + 267𝛽2

737 = 40𝛽0 + 267𝛽1 + 182𝛽2

Setelah diselesaikan maka didapat

koefisien-koefisien 𝛽0 =3.92, 𝛽1 =2.50,

dan 𝛽2= -0.48

Sehingga persamaan regresi linier

berganda yang dicari adalah: 𝑌 = 3.92 + 2.50𝑋1 − 0.48𝑋2

Regresi Linier Berganda

• Menghitung kekeliruan baku

𝑆𝑌.1 2 3 …𝑘2 =

𝑌𝑖 − 𝑌𝑖2

𝑛 − 𝑘 − 1Dimana 𝑌𝑖 = nilai data hasil pengamatan dan 𝑌𝑖didapatdari regresi dalam rumus yang telah dihitungberdasarkan sampel berukuran n

𝑠𝑦,1 22 =

44.4888

7= 6.3555

Regresi Linier Berganda

Ketika melakukan pengujian koefisien b untuk regresilinier sederhana yaitu 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 telah digunakanstatistik uji F yang dibentuk oleh hasil bagi variansregresi dan varians residu. Demikin juga untuk regresilinier berganda. Jika rumus 𝑥1𝑖 = 𝑋1𝑖 − 𝑋, 𝑥2𝑖 = 𝑋2𝑖 − 𝑋, 𝑥𝑘𝑖 = 𝑋𝑘𝑖 − 𝑋𝑘 dan 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 , maka jumlahkuadrat regresi 𝐽𝐾𝑟𝑒𝑔 dapat dihitung dari:

𝐽𝐾𝑟𝑒𝑔 = 𝛽1 𝑥1𝑖𝑦𝑖 +𝛽2 𝑥2𝑖𝑦𝑖 +…+ 𝛽𝑘 𝑥𝑘𝑖𝑦𝑖

Regresi Linier Berganda

Dengan dk =k , dengan menghitung 𝐽𝐾𝑟𝑒𝑠 sebagaiberikut:

𝐽𝐾𝑟𝑒𝑠 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖2

Dengan 𝑌𝑖 didapat dari rumus sebelumnya untukharga-harga sampel 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 sedangkan drajatkebebasannya adalah dk = (n-k-1) untuk sampelberukuran n, statistik ujinya diperoleh:

𝐹 =𝐽𝐾𝑟𝑒𝑔/𝑘

𝐽𝐾𝑟𝑒𝑠/(𝑛 − 𝑘 − 1)Dan sifat penguji adalah nyata atau sangat nyata jikaharga F terlalu besar.

Menguji F hitung

• Menghitung nilai F pada soal diatas:

𝐽𝐾𝑟𝑒𝑔 = 2.50 ∗ 102

Regresi Nonlinier

Dari berbagai macam regresi non linier pada pertemuankali ini kita akan belajar berberapa macam regresi nonlinier yang sering digunakan,

1. Parabolik

2. Parabola kubik

3. Eksponensial

4. Geometrik

5. Gompertz

6. Logistik

7. Hiperbolik

Model Parabola Kuadratik

Taksiran untuk model parabolic kuadratik mempunyaipersamaan sebagai berikut:

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2

Koefisien dari 𝛽0, 𝛽1, dan 𝛽2, didapat dari

𝑌𝑖 =𝑛𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖2

𝑋𝑖𝑌𝑖 = 𝛽0𝑋𝑖 + 𝛽1 𝑋𝑖2 + 𝛽2 𝑥𝑖

3

𝑋𝑖2𝑌𝑖 = 𝛽0 𝑋𝑖

2 + 𝛽1 𝑥𝑖3 + 𝛽2 𝑥𝑖

4 + +𝛽3 𝑥𝑖5

𝑋𝑖2𝑌𝑖 = 𝛽0 𝑋𝑖

3 + 𝛽1 𝑥𝑖4 + 𝛽2 𝑥𝑖

5 + +𝛽3 𝑥𝑖6

Model Parabola Kubik

Taksiran untuk model parabolic kubik mempunyaipersamaan sebagai berikut:

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋

3

Koefisien dari 𝛽0, 𝛽1, dan 𝛽2, didapat dari

𝑌𝑖 =𝑛𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖

3

𝑋𝑖𝑌𝑖 = 𝛽0𝑋𝑖 + 𝛽1 𝑋𝑖2 + 𝛽2 𝑥𝑖

3 + 𝛽3 𝑋𝑖3

𝑋𝑖2𝑌𝑖 = 𝛽0 𝑋𝑖

2 + 𝛽1 𝑥𝑖3 + 𝛽2 𝑥𝑖

4

Model Eksponensial

• Perikraan model eksponensial dapat diteruskanpersamaannya:

𝑌 = 𝛽0𝛽1𝑥

Ternyata dapat dikembalikan dalam bentuk modellinier, maka persamaan menjadi:

log 𝑌 = log𝛽0 log 𝛽1 𝑋

Apabila dimisalkan 𝑌′ = log 𝑌,𝛽0′ = log𝛽0, dan 𝛽1

′ =log 𝛽1, maka persamaanya menjadi,

𝑌′ = 𝛽0′ + 𝛽1

′𝑋

Model Eksponensial

• log 𝛽0 = log 𝑌𝑖

𝑛− log𝛽1

𝑋𝑖

𝑛

• log 𝛽1 =𝑛 𝑋𝑖 log 𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 log 𝑌𝑖

𝑛 𝑋𝑖2− 𝑋𝑖

2

• Model eksponensial dalam rumus diatas bisadikatakan model pertumbuhan oleh karena itumodelnya dapat diubah menjadi.

𝑌 = 𝛽0𝑒𝛽1𝑋

Model Eksponensial

Dengan 𝑒 = bilangan pokok logaritma asli ataulogaritma Napir, dengan harganya adalah 𝑒 = 2.7183,sehingga persamaan diatas menjadi

ln 𝑌 = ln 𝛽0 + 𝛽1𝑋

Sehingga koefisien-koefisien diatas dapat dicari,

Model Geometrik

• Seperti halnya dengan model eksponen, maka modelgeometric juga dapat dikembalikan kepada model linier.Persamaan umum model ditaksir oleh bentuk:

𝑌 = 𝛽0𝑋𝛽1

Jadi diambil logaritmanya, makalog 𝑌 = log 𝛽0 + 𝛽1 log 𝑋

Untuk memperoleh nilai koefisien-koefisien tersebut dapatditentukan dengan rumus:

• log 𝛽0 = log 𝑌𝑖

𝑛− 𝛽1

log 𝑋𝑖

𝑛

• 𝑏 =𝑛 log 𝑋𝑖 log 𝑌𝑖 − log 𝑋𝑖 log 𝑌𝑖

𝑛 log2 𝑋𝑖 − log 𝑋𝑖2

Model Logistik

• Bentuk paling sederhana dari regresi logistic adalahsebagai berikut:

𝑌 =1

𝛽0𝛽1𝑋

Untuk 𝑌 tidak sama dengan nol, bentuk diatas dapat

ditulis sebagai1

𝑌= 𝛽0𝛽1

𝑋

Jika diubah menjadi bentuk logaritma

log1

𝑌= log𝛽0 + log𝛽1 𝑋

Model Hiperbola

• Perkiraan persamaan umum yang sederhana untukmodel hiperbola ini dituliskan dalam bentuk:

𝑌 =1

𝛽0 + 𝛽1𝑋

Atau bisa ditulis dengan1

𝑌= 𝛽0 + 𝛽1𝑋

Remember…Safety First!

(Enter your own creative tag line above)