reflexão e prática de ensino - matemática

8192019 Reflexatildeo e Praacutetica de Ensino - Matemaacutetica

httpslidepdfcomreaderfullreflexao-e-pratica-de-ensino-matematica 136



A reflexatildeo e a praacutetica no ensino

Matemaacutetica4





Maacutercio Rogeacuterio de Oliveira Canocoordenador


CELINA APARECIDA ALMEIDA PEREIRA ABAR

SONIA BARBOSA CAMARGO IGLIORIautoras

Matemaacutetica4



Coleccedilatildeo A reflexatildeo e a praacutetica no ensino - Volume 4 - Matemaacutetica

MAacuteRCIO ROGEacuteRIO DE OLIVEIRA CANO (coordenador)copy2012 CELINA APARECIDA ALMEIDA PEREIRA ABAR SONIA BARBOSA CAMARGO IGLIORI

Editora Edgard Bluumlcher Ltda

Ficha catalograacutefica

Abar Celina Aparecida Almeida PereiraMatemaacutetica Celina Aparecida Almeida PereiraAbar Sonia Barbosa Camargo Igliori -- Satildeo Paulo

Blucher 2012 -- (Seacuterie a reflexatildeo e a praacuteticano ensino v 4 coordenador Maacutercio Rogeacuteriode Oliveira Cano)

BibliografiaISBN 978-85-212-0670-5

1 Matemaacutetica 2 Matemaacutetica - Estudo e ensino3 Praacutetica de ensino I Igliori Sonia BarbosaCamargo II Cano Maacutercio Rogeacuterio de OliveiraIII Tiacutetulo IV Seacuterie

Rua Pedroso Alvarenga 1245 4ordm andar

04531-012 ndash Satildeo Paulo ndash SP ndash Brasil

Tel 55 11 3078-5366

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Segundo o Novo Acordo Ortograacutefico conforme

5 ed do Vocabulaacuterio Ortograacutefico da Liacutengua

Portuguesa Academia Brasileira de Letras

marccedilo de 2009

Eacute proibida a reproduccedilatildeo total ou parcial por

quaisquer meios sem autorizaccedilatildeo escrita da

Editora

Iacutendices para cataacutelogo sistemaacutetico

1 Matemaacutetica Estudo e ensino 5107

12-02786 CDD-5107Todos os direitos reservados pela Editora Edgard

Bluumlcher Ltda



Sobre os autores

MAacuteRCIO ROGEacuteRIO DE OLIVEIRA CANO 983080COORD983081


SONIA BARBOSA CAMARGO IGLIORI

Mestre e doutor pelo Programa de Estudos Poacutes-Graduados em Liacuten-

gua Portuguesa da Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de Satildeo Paulo De-senvolve pesquisas na aacuterea de Ensino de Liacutengua Portuguesa e Anaacutelisedo Discurso Possui vaacuterias publicaccedilotildees e trabalhos apresentados naaacuterea aleacutem de vasta experiecircncia nos mais variados niacuteveis de ensinoTambeacutem atua na formaccedilatildeo de professores de Liacutengua Portuguesa e deLeitura e produccedilatildeo de textos nas diversas aacutereas do conhecimento nasredes puacuteblica e particular

Licenciada bacharel mestre e doutora em Matemaacutetica Professora titularda Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de Satildeo Paulo atuando na graduaccedilatildeo

no Programa de Estudos Poacutes-Graduados em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e emCurso de Extensatildeo na Cogeae da Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de SatildeoPaulo PUCSP Professora de Matemaacutetica do Fundamental II por algunsanos e no ensino superior desde a conclusatildeo da graduaccedilatildeo Especialistaem Tecnologias Interativas Aplicadas agrave Educaccedilatildeo (PUCSP-2000) emDesign Instrucional para Educaccedilatildeo On-Line (UFJF-2007) e em EntornosVirtuales de Aprendizaje (OEI-2010) Coordena o Instituto GeoGebra deSatildeo Paulo com sede na mesma Faculdade

Licenciada bacharel mestre e doutora em Matemaacutetica Foi professoraefetiva da rede estadual de ensino durante 10 anos Desde 1990 atua napoacutes-graduaccedilatildeo inicialmente na aacuterea da Matemaacutetica e apoacutes 1994 na aacutereada Educaccedilatildeo Matemaacutetica Durante um ano (1995 a 1996) desenvolveuestudos de poacutes-doutoramento em Educaccedilatildeo Matemaacutetica na Franccedila Eacuteprofessora titular do Departamento de Matemaacutetica da PUCSP e profes-sora do Programa de Estudos Poacutes-Graduados em Educaccedilatildeo Matemaacuteticada mesma Universidade





Esse trecho de uma conerecircncia de Larrosa eacute emblemaacutetico dosnossos dias da nossa sociedade do conhecimento ou da inorma-ccedilatildeo Duas terminologias que se conundem muitas vezes mas quetambeacutem podem circular com conceitos bem dierentes Vimosmuitas vezes a sociedade do conhecimento representada comosimples sociedade da inormaccedilatildeo E natildeo eacute isso que nos interessaEm uma sociedade do conhecimento podemos por um lado crerque todos vivam o conhecimento ou por outro que as pessoas sai-

bam dele por meio de e como inormaccedilatildeo Nunca tivemos tantoconhecimento e nunca tivemos tantas pessoas inormadas e inor-mando Mas a experiecircncia estaacute sendo deixada de lado

O grande arsenal tecnoloacutegico de memorizaccedilatildeo e registro em vezde tornar as experiecircncias do indiviacuteduo mais plenas tem esvaziadoa experiecircncia jaacute que todos vivem a experiecircncia do outro que vivea experiecircncia do outro que vive a experiecircncia do outro Quandonatildeo tiacutenhamos muito acesso aos registros da histoacuteria era como se vivecircssemos o acontecimento sempre pela primeira vez Hoje pa-

rece que tudo oi vivido e estaacute registrado em algum lugar para quepossamos seguir um roteiro Isso eacute paradoxal

A experiecircncia eacute o que nos passa o que nos acontece o que nos toca Natildeoo que se passa natildeo o que acontece ou o que toca A cada dia se passammuitas coisas poreacutem ao mesmo tempo quase nada nos acontece Dir-se-iaque tudo o que se passa estaacute organizado para que nada nos aconteccedila Wal-ter Benjamin em um texto ceacutelebre jaacute observava a pobreza de experiecircnciasque caracteriza o nosso mundo Nunca se passaram tantas coisas mas aexperiecircncia eacute cada vez mais rara

Jorge Larrosa Bondiacutea 2001I Seminaacuterio Internacional de Educaccedilatildeo de Campinas

Apresentaccedilatildeo



No entanto natildeo compactuamos com uma visatildeo pessimista deque tudo estaacute perdido ou de que haja uma previsatildeo extremamentedesanimadora para o uturo mas que de posse do registro e do

conhecimento podemos ormar pessoas em situaccedilotildees de experi-ecircncias cada vez mais plenas e indiviacuteduos cada vez mais completosE parece-nos que a escola pode ser um lugar privilegiado para issoUma escola dentro de uma sociedade do conhecimento natildeo devepassar inormaccedilotildees isso os alunos jaacute adquirem em vaacuterios lugaresmas sim viver a inormaccedilatildeo o conhecimento como experiecircnciauacutenica individual e coletiva

endo a experiecircncia como um dos pilares eacute que essa coleccedilatildeooi pensada Como conversar com o proessor azendo-o natildeo ter

acesso apenas agraves inormaccedilotildees mas agraves ormas de experienciar essasinormaccedilotildees juntamente com seus alunos A proposta deste livro eacutepartir de uma reflexatildeo teoacuterica sobre temas atuais nas diversas aacutere-as do ensino mostrando exemplos relatos e propondo ormas detornar isso possiacutevel em sala de aula Eacute nesse sentido que vai nossacontribuiccedilatildeo Natildeo mais um livro teoacuterico natildeo mais um livro didaacute-tico mas um livro que fique no espaccedilo intermediaacuterio dessas expe-riecircncias

Pensando nisso como base e ponto de partida acreditamos que

tal proposta soacute possa acontecer no espaccedilo do pensamento interdis-ciplinar e transdisciplinar al exerciacutecio eacute muito diiacutecil em virtudedas condiccedilotildees histoacutericas em que o ensino se enraizou um modeloracionalista disciplinar em um tempo tido como produtivo Porisso nas paacuteginas desta coleccedilatildeo o proessor encontraraacute uma pos-tura interdisciplinar em que o tema seraacute tratado pela perspectivade uma aacuterea do conhecimento mas trazendo para o seu interiorpressupostos conceitos e metodologias de outras aacutereas E tambeacutemencontraraacute perspectivas transdisciplinares em que o tema seraacute tra-

tado na sua essecircncia o que exige ir entre por meio e aleacutem do que adisciplina permite entendendo a complexidade inerente aos enocirc-menos da vida e do pensamento

Sabemos antes que um trabalho inter e transdisciplinar natildeoeacute um roteiro ou um treinamento possiacutevel mas uma postura deindiviacuteduo Natildeo teremos um trabalho nessa perspectiva se natildeotivermos um sujeito inter ou transdisciplinar Por isso acima detudo isso eacute uma experiecircncia a ser vivida

Nossa coleccedilatildeo tem como oco os proessores do Ensino Funda-

mental do Ciclo II Satildeo nove livros das diversas aacutereas que normal-mente concorrem no interior do espaccedilo escolar Os temas tratadossatildeo aqueles chave para o ensino orientados pelos documentos ofi-



ciais dos paracircmetros de educaccedilatildeo e que estatildeo presentes nas pesqui-sas de ponta eitas nas grandes universidades Para compor o gru-po de trabalho convidamos proessoras e proessores de cursos de

poacutes-graduaccedilatildeo juntamente com seus orientandos e orientandas dedoutorado e de mestrado e com larga experiecircncia no ensino regu-lar Dessa orma acreditamos ter finalizado um trabalho que podeser usado como um paracircmetro para que o proessor leia possa seorientar podendo retomaacute-lo sempre que necessaacuterio juntamentecom outros recursos utilizados no seu dia a dia

Maacutercio Rogeacuterio de Oliveira CanoCoordenador da coleccedilatildeo





O desafio de escrever um livro que trate do processo de en-sino e aprendizagem da Matemaacutetica e que acrescente algo aosproessores nos dias atuais natildeo eacute pequeno Por que e como en-rentaacute-lo Essa eacute uma questatildeo diiacutecil de ser respondida e quepermeia toda a elaboraccedilatildeo deste trabalho

As contribuiccedilotildees apresentadas neste livro norteiam-se natildeosoacute pelos Paracircmetros Curriculares Nacionais do Ensino Funda-mental (PCN 1998) como tambeacutem pelo respeito ao trabalho

dos proessores e dos saberes que eles trazem em sua praacuteticaelas levam em consideraccedilatildeo que uma classe de aula tem tantaspeculiaridades que soacute o docente que se ocupa dela e ningueacutemmais tem condiccedilotildees de equacionar as dificuldades dos alunos epropor enrentamento para elas

Nosso propoacutesito eacute trazer alguns elementos advindos das pes-quisas em Educaccedilatildeo Matemaacutetica para reflexatildeo os quais devemsempre ser filtrados pelo docente em sua praacutetica Sabemos queeacute ele que no dia a dia carrega a importante e aacuterdua tarea de

ensinar algo que a princiacutepio estaacute muito distante do interesse dosestudantes especialmente dos estudantes dos dias atuais em que aebuliccedilatildeo tecnoloacutegica ocupa seus haacutebitos e modo de pensamento

Prefaacutecio



Mesmo assim tendo aceitado o desafio apresentamos algoque consideramos interessante e motivador ao docente e quepossibilite a interlocuccedilatildeo para outros trabalhos

Importantes teoacutericos da Matemaacutetica e da Educaccedilatildeo Matemaacute-tica undamentam os textos apresentados e as propostas de atividades que se inspiram em recursos da Histoacuteria da Matemaacuteticanas possibilidades das ecnologias e nas oerecidas pelos Jogos

A parceria entre as autoras eacute enriquecedora pois procura apro-ximar de acordo com suas respectivas especialidades as pesqui-sas teoacutericas que realizaram com os trabalhos desenvolvidos porseus orientandos em sua praacutetica e as pesquisas deendidas pelosMestrandos e Doutorandos do Programa de Estudos Poacutes-Gradu-

ados em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da PUCSP echando um ciacutercu-lo necessaacuterio oportuno e desejado de duas modalidades de accedilatildeorente ao ensino e aprendizagem da Matemaacutetica

Os dez capiacutetulos apresentados norteiam-se pelas indicaccedilotildees dosParacircmetros Curriculares Nacionais 983085 PCN para o Ensino Funda-mental II e presentes nos quatro blocos Espaccedilo e Forma Grande-zas e Medidas Nuacutemeros e Operaccedilotildees ratamento da InormaccedilatildeoNessa ordem de apresentaccedilatildeo trazem propostas que podem serarticuladas ao projeto educacional de cada escola e que valorizam

a compreensatildeo das ideias matemaacuteticas e o modo como podem serdesenvolvidas e trabalhadas

As autoras







1 UM MERGULHO NA GEOMETRIA ESPACIAL 19

11 Introduccedilatildeo 19

12 O que dizem os PCN e as pesquisas 20

13 Um panorama da Geometria Espacial 23

14 Da teoria agrave praacutetica propostas de atividades 24

15 Para finalizar 3316 Referecircncias bibliograacuteficas 33

2 UM MERGULHO NA GEOMETRIA PLANA 37



23 Um panorama da Geometria Plana 40


25 Para finalizar 57

26 Referecircncias bibliograacuteficas 57

3 A MATEMAacuteTICA QUE INSPIRA A ARTE AS TRANSFORMACcedilOtildeES GEOMEacuteTRICAS 59



33 Um panorama das transformaccedilotildees geomeacutetricas 61

34 Da teoria agrave praacutetica proposta de construccedilatildeo de um mosaico 63



Conteuacutedo



4 EXPLORANDO GRANDEZAS E MEDIDAS 71



43 Um entendimento sobre grandezas e medidas 73




5 EXPLORANDO GRANDEZAS E MEDIDAS TRIDIMENSIONAIS 85



53 Um entendimento sobre grandezas e medidas tridimensionais 87



56 Referecircncias bibiliograacuteficas 92

6 JOGANDO COM OS NUacuteMEROS 93


62 O Jogo de Conway 9563 O jogo Hackenbush 95

64 Propostas de Atividades 96

65 Nuacutemeros irracionais 983085 discussatildeo dos exemplos 99



7 NUacuteMEROS E REPRESENTACcedilOtildeES 103



73 O uso da reta graduada como um registro de representaccedilatildeo dos nuacutemeros racionais 107

74 Propostas de atividades 110

75 Comensurabilidade e incomensurabilidade de grandezas 112





8 EQUACcedilOtildeES E INEQUACcedilOtildeES 119


82 Escrevendo equaccedilotildees para resolver problemas 120

83 Os problemas da Encyclopeacutedie (BONNEFOND 1994 p 28) 124

84 Exerciacutecios 130



9 O TRATAMENTO DE DADOS SEU SIGNIFICADO E SUA ORGANIZACcedilAtildeO 135


92 Um panorama sobre o estudo da Estatiacutestica 13693 O que dizem os PCN e as pesquisas 137

94 O entendimento de dados de uma informaccedilatildeo 137

95 A exploraccedilatildeo de graacuteficos Explorando o graacutefico ldquoBox Plotrdquo no GeoGebra 145

96 Transformando os dados em informaccedilatildeo e conhecimento 148



10 O TRATAMENTO DA INFORMACcedilAtildeO SEU SIGNIFICADO E SUA IMPORTAcircNCIA 153101 Introduccedilatildeo 153

102 A exploraccedilatildeo de graacuteficos 155

103 O que dizem as pesquisas 156

104 Niacuteveis de compreensatildeo graacutefica 157

105 Explorando representaccedilotildees graacuteficas 159

106 Construindo representaccedilotildees graacuteficas 162

107 Histograma e graacutefico de barras no GeoGebra 162

108 Graacutefico de pizza 164

109 Explorando a Probabilidade 165







11 INTRODUCcedilAtildeO

Neste capiacutetulo seratildeo apresentadas inicialmente algumas in-dicaccedilotildees dos Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) sobre obloco Espaccedilo e Forma e um breve panorama de algumas pesqui-sas sobre a Geometria Espacial e o ensino desse objeto matemaacute-

tico Estas consideraccedilotildees iniciais e suas relaccedilotildees estaratildeo presentesnas atividades propostas e poderatildeo ser utilizadas e adaptadas pe-los proessores na sua praacutetica docente

1Um mergulho na Geometria Espacial

Ramot Polin - Jerusalem Israel Arquiteto Zvi Hecker

Fonte AEWORLDMAP Disponiacutevel em

lthttpaedesignwordpresscomcategorybuiltgt



Seacuterie20 A reflexatildeo e a praacutetica no ensino

12 O QUE DIZEM OS PCN E AS PESQUISAS

Segundo os PCN (1998 p 51)

Os conceitos geomeacutetricos constituem parte importante docurriacuteculo de Matemaacutetica no ensino fundamental porque pormeio deles o aluno desenvolve um tipo especial de pensamentoque lhe permite compreender descrever e representar de formaorganizada o mundo em que vive O estudo da Geometriaeacute um campo feacutertil para trabalhar com situaccedilotildees-problemae eacute um tema pelo qual os alunos costumam se interessarnaturalmente

Em consonacircncia com os PCNs e como proposta parareflexatildeo do proessor a Proposta Curricular de Satildeo Paulo(SAtildeO PAULO 2008 p 45-46) prevecirc que

Em Geometria o ensino fundamental deve ocupar-seinicialmente com o reconhecimento e com a representaccedilatildeo eclassificaccedilatildeo de formas planas e espaciais Eacute importante quese atente para a necessidade de incorporar o trabalho coma geometria em todos os anos da grade escolar cabendo ao professor a escolha da distribuiccedilatildeo mais conveniente dos

conteuacutedos nos bimestres assim como o vieacutes que seraacute dado aotratamento dos temas da geometria

Quanto ao bloco Espaccedilo e Forma Ribeiro e Brandalise (2010p334) observam que

() eacute fundamental que os estudos deste bloco sejamexplorados a partir de objetos do mundo fiacutesico de modo a permitir ao aluno estabelecer conexotildees entre a Matemaacutetica e

outras aacutereas do conhecimentoDesse modo as orientaccedilotildees aqui apresentadas se reerem agrave im-

portacircncia de trabalhar tais conceitos para introduzir os alunosnum mundo tridimensional relacionado diretamente com o co-tidiano e problemas praacuteticos do dia a dia

No caso da Geometria Espacial o oco de algumas pesquisasdireciona para a visualizaccedilatildeo das figuras geomeacutetricas espaciaisNesse aspecto haacute dificuldades em transmitir tais conteuacutedos e em

abstrair algumas propriedades dos soacutelidos quando apresentadosem ambientes de duas dimensotildees (lousa livro apostila etc) ehaacute perda de inormaccedilotildees das propriedades dos objetos (SILVA



21Um mergulho na Geometria EspacialCapiacutetulo 1

2006 p61) Entre as pesquisas que apontam essas dificuldadespor parte dos alunos e proessores podemos citar Medalha (1997)e Possani (2002)

Alguns teoacutericos salientam os processos que podem estar pre-sentes no desenvolvimento intelectual do aluno e apontam cami-nhos para o ensino e aprendizagem da Geometria Espacial

Para Duval (1988) no ensino-aprendizagem da GeometriaEspacial estatildeo envolvidos trecircs tipos de processo que preenchemunccedilotildees epistemoloacutegicas especiacuteficas sendo os processos de visualizaccedilatildeo de construccedilatildeo e de raciociacutenio Esses tipos deprocessos cognitivos para Duval (1988) podem ser desenvolvidosseparadamente Sendo assim a visualizaccedilatildeo independe daconstruccedilatildeo ou seja o aluno consegue acessar as figuras qualquerque seja a orma utilizada para sua construccedilatildeo

Duval (1988) afirma que mesmo que a construccedilatildeo leve agrave vi-sualizaccedilatildeo o processo de construccedilatildeo depende somente da cone-xatildeo entre as propriedades matemaacuteticas e a limitaccedilatildeo teacutecnica dosinstrumentos utilizados

Por meio de suas pesquisas Van Hiele(1986) observou que osalunos pareciam progredir no raciociacutenio geomeacutetrico por meio de

uma sequecircncia disposta em cinco niacuteveis visualizaccedilatildeo anaacutelise de-duccedilatildeo inormal deduccedilatildeo ormal e rigor e que o desenvolvimentointelectual do aluno se daacute de orma sequencial sem a omissatildeo denenhuma etapa pois a quebra na sequecircncia do raciociacutenio acarre-taria uma estagnaccedilatildeo no caminhar Em estudos mais modernosos trecircs uacuteltimos niacuteveis (deduccedilatildeo inormal deduccedilatildeo ormal e rigor)oram condensados em apenas um niacutevel a siacutentese

Van Hiele(1986) considera que a visualizaccedilatildeo eacute de grande im-portacircncia no processo de construccedilatildeo do conhecimento geomeacutetri-

co sendo que a representaccedilatildeo mental dos objetos geomeacutetricos aanaacutelise e a organizaccedilatildeo ormal (siacutentese) das propriedades geomeacute-tricas satildeo passos necessaacuterios para o entendimento da ormaliza-ccedilatildeo de um conceito

Considerando que os niacuteveis de compreensatildeo de Van Hiele(1986) oram desenvolvidos para o ensino da Geometria em gerale que em Geometria Espacial o aprendizado sobre um conceitoestaacute aliado principalmente agrave visualizaccedilatildeo e agrave percepccedilatildeo das figu-ras Medalha (1997) apresenta em seu trabalho uma adaptaccedilatildeo

desses niacuteveis para o ensino da Geometria Espacial como pode-mos observar no quadro a seguir

Raymond Duval pesquisador

francecircs

Pierre Van Hiele pesquisador

holandecircs




Quadro 11 ndash Classificaccedilatildeo dos niacuteveis para Geometria Espacial

Visualizaccedilatildeo

Manuseio de soacutelidos geomeacutetricos percepccedilatildeo dos soacutelidos geomeacute-

tricos por meio de sua aparecircncia fiacutesica reconhecimento das figuras

pela sua forma como um todo e natildeo pelas propriedades

AnaacuteliseDescriccedilatildeo das propriedades dos soacutelidos anaacutelise das propriedades

das figuras

Siacutentese

Estabelecimento de relaccedilotildees entre as propriedades e de uma ordem

loacutegica entre figuras e relaccedilotildees fazendo com que acompanhem uma

deduccedilatildeo simples Natildeo haacute a compreensatildeo de uma prova completa

Deduccedilatildeo

Deduccedilatildeo de propriedades e realizaccedilatildeo de demonstraccedilotildees

compreensatildeo do significado da deduccedilatildeo e o papel dos diferentes

elementos na estrutura dedutiva

Rigor

Desenvolvimento do trabalho em diferentes sistemas axiomaacuteticos

capacidade de deduccedilotildees abstratas possibilidade de compreensatildeo

da Geometria natildeo-Euclidiana

Fonte Medalha 1997 p 26

Rommevaux (1997) em suas pesquisas aponta a importacircnciada construccedilatildeo e manipulaccedilatildeo de modelos concretos de soacutelidosgeomeacutetricos partindo da ideia de que na resoluccedilatildeo de problemasde Geometria Espacial satildeo necessaacuterias duas etapas que ocorrem deorma simultacircnea ldquover e raciocinarrdquo (ROMMEVAUX 1997 p38)

Esta autora reere-se agrave construccedilatildeo de maquetes objeto iacutesicomanipulaacutevel e que o ldquotocarrdquo pode representar um papel unda-mental na construccedilatildeo do objeto matemaacutetico natildeo sendo suficiente

somente a visatildeo como acontece no estudo das ormas geomeacutetri-cas planas de objetos espaciais

As consideraccedilotildees eitas sobre os trabalhos de pesquisas apre-sentados aqui sugerem que propostas de atividades para o ensinoe aprendizagem de conteuacutedos da Geometria Espacial podem serna direccedilatildeo da construccedilatildeo de produtos que representem de ormaconcreta o objeto matemaacutetico oco da aprendizagem possibili-tando a esses produtos a construccedilatildeo do conhecimento geomeacutetri-co trabalhado

Desse modo uma trajetoacuteria possiacutevel para se trabalhar a Ge-ometria Espacial eacute por meio dos conceitos de soacutelidos platocircnicoscujos soacutelidos regulares satildeo em sua totalidade acilmente encon-

Marie-Paule Louche-

Rommevaux pesquisadora

francesa




trados no cotidiano dos alunos Aleacutem disso o ato de os soacutelidosplatocircnicos terem sido desenvolvidos dentro de um contexto his-toacuterico e de terem sido utilizados em vaacuterios momentos dentro

da histoacuteria da ciecircncia possibilitaraacute ao aluno estabelecer relaccedilotildeesentre a Geometria Espacial e outras disciplinas como a FiacutesicaQuiacutemica e Biologia

13 UM PANORAMA DA GEOMETRIA ESPACIAL

A palavra Geometria caracterizou-se com as antigas civiliza-ccedilotildees egiacutepcias sendo seu emprego originaacuterio da necessidade demediccedilatildeo das terras que margeavam o Rio Nilo nos periacuteodos in-tercalados de inundaccedilotildees e secas objetivando a sua demarcaccedilatildeo

para a atividade agriacutecola

Essa Geometria desenvolveu-se com notaacutevel componente ex-perimental e praacutetico natildeo soacute nas civilizaccedilotildees egiacutepcias como tam-beacutem nas regiotildees mesopotacircmicas agraves margens dos rios igre e Eu-rates junto aos rios Indo e Ganges no centro-sul da Aacutesia O atode os egiacutepcios registrarem seus trabalhos em papiros e pedrasaliado ao clima seco de sua regiatildeo e dos babilocircnicos utilizaremtaacutebulas de argila cozida extremamente resistente ao tempo con-aacutebulas de argila cozida extremamente resistente ao tempo con-bulas de argila cozida extremamente resistente ao tempo con-tribuiu para que um maior nuacutemero de dados relativos agraves suas re-presentaccedilotildees escritas osse preservado se comparados agraves culturasda Iacutendia e da China que produziram as suas representaccedilotildeesem materiais pereciacuteveis como ibra de entrecasca de aacutervores ebambu (EVES 1992)

Por volta de 300 aC Euclides escreveu o livro Os Elementos baseando-se em todo conhecimento adquirido pela escola gregada eacutepoca Uma maneira simplificada para descrever a geometriade Euclides e que permite conhecer algumas figuras geomeacutetricaseacute dizer que ela as trata como possiacuteveis de serem construiacutedas comreacutegua e compasso

O aacutepice de Os Elementos eacute a teoria dos poliedros regulares pre-sente no Livro XIII Somente cinco poliedros regulares existemcomo veremos mais adiante neste capiacutetulo Muitos acreditamque o conteuacutedo de Os Elementos oi escolhido com a teoria dospoliedros regulares em mente Por exemplo Euclides necessitaconstruir o triacircngulo equilaacutetero o quadrado e o pentaacutegono paraconstruir os poliedros regulares

Para sorte de Euclides ele natildeo precisou de poliacutegonos regularescom mais lados e nenhum outro poliacutegono regular oi construiacutedoateacute os tempos modernos Em 1796 Gauss entatildeo com 19 anos

Geometria ldquogeordquo significa

terra e ldquometriardquo medir

Howard Whitley Eves

pesquisador americano

Euclides de Alexandria em

grego antigo Εὐκλείδης

Eukleidēs viveu de 360 aC

a 295 aC

Poliedros regulares o termo

ldquopoliedrordquo deriva de ldquopolirdquo que

significa ldquomuitosrdquo e ldquoedrordquo que

significa ldquofacerdquo Os ldquopoliedros

regularesrdquo tecircm todas as

faces iguais e satildeo poliacutegonos

regulares

Poliacutegonos regulares o termo

ldquopoliacutegonordquo deriva de ldquopolirdquo

que significa ldquomuitosrdquo e

ldquogonordquo que significa ldquoladordquo

Os ldquopoliacutegonos regularesrdquo tecircm

todos os lados iguais




descobriu que a chave da questatildeo vinha da construccedilatildeo de triacircn-gulos equilaacuteteros para qual valor de n um n-aacutegono regular podeser construiacutedo Gauss mostrou que um poliacutegono regular com um

nuacutemero primo p de lados pode ser construiacutedo apenas nos casosem que este nuacutemero primo p pode ser escrito na orma oque resulta por exemplo que o poliacutegono de 17 lados pode serconstruiacutedo pois 24 + 1=17

Estes e outros resultados mostram que Os Elementos natildeo en-globam toda a Geometria ainda que seja a sua obra undamentale que a Matemaacutetica eacute uma ciecircncia sempre em desenvolvimento

Este capiacutetulo eacute desenvolvido para o estudo de uma geometriatridimensional ou seja dos soacutelidos geomeacutetricos Muitos soacutelidosgeomeacutetricos do mundo real como as rochas satildeo irregulares masmuitos outros satildeo regulares e muitos deles construiacutedos pelo proacute-prio homem como os ediiacutecios livros bolas de boliche etc

Em outro capiacutetulo seratildeo apresentadas as grandezas e medidasque azem parte desses elementos geomeacutetricos

14 DA TEORIA Agrave PRAacuteTICA PROPOSTAS DE ATIVIDADES

Nesta seccedilatildeo pretendemos orientar os docentes sobre as justifi-

cativas do ensino da Geometria em qual concepccedilatildeo ela deve sertrabalhada seus objetivos e que habilidades podem ser desenvolvidas com o seu estudo

Observadas algumas concepccedilotildees teoacutericas sobre os niacuteveis decompreensatildeo dos alunos sobre a Geometria Espacial eacute importan-te que o proessor na sua praacutetica reflita sobre os procedimentoso contexto e os recursos que poderatildeo ser utilizados em cada aulae em cada atividade

ATIVIDADE 1 DESCOBRINDO SEUS ALUNOS

Nas atividades desenvolvidas na Geometria Espacial satildeo in-troduzidas algumas palavras pouco amiliares ao aluno e assima primeira proposta de atividade adaptada de Pohl (1994 p 178)pode ser um jogo de significados

a) Escreva em pedaccedilos de papel expressotildees como Aresta Pi-racircmide Cubo etraedro Poliedro Hexaedro OctaedroFace de um poliedro Arestas paralelas Arestas reversasFaces adjacentes Planos paralelos etc dobre os pedaccedilos de

papel e os acondicione em um recipiente Separe os alunosem dois grupos de modo que cada aluno retire um dos pe-daccedilos de papel Acertando o significado da expressatildeo es-

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855) um dos mais

famosos matemaacuteticos de

todos os tempos

Conhecido como ldquoNuacutemero

de Fermatrdquo Pierre de Fermat

viveu de 1601 a 1675




crita no papel com uma explicaccedilatildeo ou exemplo geomeacutetricode modo que todos entendam e com a concordacircncia doproessor o respectivo grupo az um ponto Ganha o grupo

com maior nuacutemero de pontosb) Adaptaccedilotildees desta atividade podem ser apresentadas como

por exemplo o proessor pode colocar sobre sua mesa vaacute-rios objetos tridimensionais e cada aluno exibe a expressatildeosorteada em algum objeto sem dizer palavra alguma

c) Em outra adaptaccedilatildeo o proessor pode solicitar aos alunosque eles proacuteprios apresentem sugestotildees de expressotildees paradificultar o jogo

O objetivo dessa atividade eacute oerecer aos alunos oportunidadepara aprender algum vocabulaacuterio da Geometria Espacial e algu-mas relaccedilotildees matemaacuteticas

ATIVIDADE 2 REPRESENTANDO FIGURAS TRIDIMENSIONAIS NO PLANO

Os resultados obtidos nas pesquisas de Parzysz (1989) salien-tam a necessidade de se propor no ensino da Geometria Espacialdierentes representaccedilotildees planas dos objetos espaciais A repre-sentaccedilatildeo de um objeto espacial por meio de figuras em olha de

papel (bidimensional) se az por uma ou mais representaccedilotildeesexistindo no caso de uacutenica representaccedilatildeo uma grande perda dasinormaccedilotildees sobre as caracteriacutesticas do soacutelido geomeacutetrico

Para representar uma figura tridimensional num ambiente planosegundo Parzysz (1989p 54-55) eacute necessaacuterio utilizar os devidos coacute-digos de leitura e descriccedilatildeo dessas representaccedilotildees tais como linhaspontilhadas para indicar a proundidade e acilitar a visualizaccedilatildeo dearestas ocultas a utilizaccedilatildeo de cores para identificar aces natildeo visiacuteveisetc o que minimiza a perda das inormaccedilotildees sobre o objeto

Como sugestatildeo apresente aos alunos os passos necessaacuteriospara representar um paralelepiacutepedo em um papel quadriculadocomo na figura a seguir e os desafie a representar outros objetostridimensionais

M Bernard Parzysz

pesquisador francecircs

Representaccedilatildeo a

representaccedilatildeo de um objeto

por uma figura plana poderaacute

ter fins bem distintos colocar

em evidecircncia as dimensotildees

cujo conhecimento eacute

necessaacuterio para a construccedilatildeo

desse objeto ou entatildeo

reproduzir o aspecto que

tem o objeto na realidade

O desenho que satisfaz o

primeiro intuito denomina-

se projetivo e o segundo

perspectivo Fonte Rodrigues

(1948 p 3)

PASSO 1 PASSO 2 PASSO 3 PASSO 4




ATIVIDADE 3 DESCOBRINDO OS SOacuteLIDOS POR SUAS PLANIFICACcedilOtildeES

O objetivo da atividade apresentada a seguir pode ser descritocomo identificar propriedades comuns e dierenccedilas entre figuras

bidimensionais e tridimensionais relacionando-as com suas pla-nificaccedilotildees

Essa descriccedilatildeo permite verificar as habilidades do aluno emquantificar as aces as arestas e os veacutertices dos poliedros e emreconhecer planificaccedilotildees dos soacutelidos geomeacutetricos

Essas habilidades podem ser avaliadas em situaccedilotildees-problemacontextualizadas que envolvam a composiccedilatildeo e decomposiccedilatildeo defiguras espaciais identificando suas semelhanccedilas e dierenccedilas

a) Uma sugestatildeo de atividade consiste em apresentar aos alu-nos dierentes soacutelidos e planificaccedilotildees de cada um deles De-pois solicitar que decidam qual planificaccedilatildeo se relacionaao soacutelido escolhido Eles tecircm ainda de elaborar criteacuterios deescolha listando o que consideraram e descartaram na es-colha da alternativa A atividade pretende evidenciar queum mesmo soacutelido pode apresentar dierentes planificaccedilotildeese que o nuacutemero de aces e seu posicionamento no planoestatildeo relacionados

b) (Prova Brasil ema I) Quais dos esquemas a seguir podemrepresentar planificaccedilotildees de um tetraedro

Face cada superfiacutecie plana

que forma um poliedro

Aresta encontros entre duas

faces do poliedro

Veacutertice encontro de duas

arestas

Poliedro todo soacutelido fechado

formado somente por

superfiacutecies planas

Tetraedro o termo ldquotetrardquo

significa ldquoquatrordquo e ldquoedrordquo

significa ldquofacerdquo Assim um

tetraedro tem quatro faces

Esquema A Esquema B

Esquema DEsquema C




c) (Prova Brasil ema I) Eacute comum encontrar em acampamen-tos barracas com undo e que tecircm a orma apresentada nafigura a seguir

(A) (B)

(D)(C)

d) O proessor pode propor a construccedilatildeo de alguns soacutelidosprincipalmente prismas e piracircmides utilizando linha oubarbante passando por dentro de canudos os mesmos queusamos para tomar sucos ou rerigerantes Cada canudorepresentaraacute uma aresta e os alunos na escolha do soacutelido

geomeacutetrico que construiratildeo devem inormar sobre onuacutemero de canudos necessaacuterios Esta atividade pode serexplorada com outras possibilidades para que o aluno possa verificar a validade do eorema de Euler

e) Solicitar que os alunos investiguem qual o nuacutemero miacutenimode canudos necessaacuterios para se obter um poliedro

) A construccedilatildeo de uma tabela com estas inormaccedilotildees nuacuteme-ro de aces arestas e veacutertices seratildeo uacuteteis para a proacuteximaatividade

g) Solicitar aos alunos que identifiquem as arestas paralelas oureversas de cada soacutelido construiacutedo

Qual dos desenhos a seguir representa a planificaccedilatildeo dessabarraca

A verificaccedilatildeo eacute um

importante passo para a

demonstraccedilatildeo formal de um

teorema ou propriedade

Leonhard Euler

importante matemaacutetico que


Teorema de Euler

em todo poliedro convexo o

nuacutemero de faces somado ao

nuacutemero de veacutertices eacute igual ao

nuacutemero de arestas acrescido

de duas unidades

Arestas paralelas assim

chamadas quando haacute um

plano comum que as conteacutem

Arestas reversas assim

chamadas quando natildeo haacute um





ATIVIDADE 4 DESCOBRINDO OS SOacuteLIDOS PLATOcircNICOS COM O USO DO COM-PUTADOR

Um poliedro que tenha como aces apenas poliacutegonos regula-

res congruentes e que tambeacutem apresente todos os acircngulos polieacute-dricos congruentes recebe o nome de poliedro regular

Platatildeo estudou certa classe de poliedros por volta do seacuteculo VIaC que vieram a ser conhecidos como Poliedros ou Soacutelidos de Pla-tatildeo entre os quais incluem-se os poliedros regulares

De um poliedro de Platatildeo exige-se que

bull odas as aces sejam poliacutegonos regulares ou natildeo mas como mesmo nuacutemero de lados

bull odos os acircngulos polieacutedricos sejam ormados com o mes-mo nuacutemero de arestas

Para esta atividade seratildeo utilizados somente os Poliedros dePlatatildeo que apresentam todas as aces ormadas por poliacutegonos re-gulares Somente cinco poliedros regulares existem chamadosde Soacutelidos Platocircnicos e satildeo os mostrados na figura a seguir

Platatildeo seu verdadeiro nome

era Plato Ele nasceu e morreu

em Atenas (427aC-347 aC) O

nome Platatildeo derivou do seu

vigor fiacutesico e da largura dos

seus ombros (platos significa

largueza)

Cinco poliedros regulares

Platatildeo designou cada poliedro

regular a um dos cinco elementos

da natureza tetraedro ao fogo

hexaedro agrave terra octaedro ao

ar dodecaedro ao universo e o

icosaedro agrave aacutegua

Figuras extraiacutedas do site lthttpavrinc05nosapoptgt Acesso em 11 fev 2011

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

A atividade pode ser proposta inicialmente como uma Expo-

siccedilatildeo na Escola e que envolve uma tarea com vaacuterias etapas paragrupos de dois alunos

a) Expor um soacutelido platocircnico montado em cartolina

b) Elaborar um cartaz com as inormaccedilotildees sobre o respectivosoacutelido

c) Apresentar um objeto com o ormato do respectivo soacutelido

d) Preparar um material como desafio aos visitantes da expo-siccedilatildeo

O soacutelido deveraacute ser montado a partir de sua planificaccedilatildeo epintado em cada ace com uma cor dierente Uma planificaccedilatildeo




do mesmo soacutelido sem que esteja pintada tambeacutem deve ser ob-tida para desafiar os visitantes da exposiccedilatildeo O desafio estaacute emcolocar quadrados coloridos (no caso do cubo) em cima da pla-

nificaccedilatildeo em branco para tentar acertar as cores de cada ace dosoacutelido montado

Nesta atividade adaptada de Silva (2006) utiliza-se de umsofware POLY que natildeo eacute gratuito mas haacute versatildeo disponiacutevel naInternet em lthttpwwwpedacompolygt O proessor ou osproacuteprios alunos podem baixar e instalar o sofware sem dificul-dades para os computadores que satildeo utilizados pelos alunos Atecnologia natildeo seraacute o oco da aprendizagem mas o recurso quetornaraacute a atividade possiacutevel de ser realizada

A tela do computador apesar de bidimensional possibilita a visualizaccedilatildeo da animaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos e o sofwarePOLY possibilita certo dinamismo das figuras e o aluno podenum clicar de botatildeo visualizar qualquer soacutelido geomeacutetrico e suaplanificaccedilatildeo

Os alunos podem verificar que algumas planificaccedilotildees obtidassatildeo dierentes das planificaccedilotildees presentes em algumas reerecircn-cias como as apresentadas a seguir o que natildeo impede a realiza-ccedilatildeo da tarea

Para orientar no uso do sofware POLY eacute importante permitirque os alunos o explorem livremente por um tempo e o proessorpode colocar algumas orientaccedilotildees e questotildees preliminares comosolicitar que os alunos cliquem no botatildeo que permite visualizar osoacutelido montado com as arestas realccediladas e em soacutelidos platocircnicospara determinar o nuacutemero de aces arestas e veacutertices A relaccedilatildeode Euler jaacute apresentada neste texto pode entatildeo ser verificada

Para orientar na visualizaccedilatildeo das planificaccedilotildees de cada soacutelidono sofware POLY apresentamos a seguir trecircs momentos das pla-nificaccedilotildees de cada um




Planificaccedilatildeo do tetraedro (4 faces triacircngulo equilaacutetero)

Planificaccedilatildeo do hexaedro (6 faces quadrados)

Planificaccedilatildeo do octaedro (8 faces triacircngulo equilaacutetero)

Planificaccedilatildeo do dodecaedro (12 faces pentaacutegono)




Em Silva (2006) com a proposta desta tarea oram obtidas asproduccedilotildees a seguir

Planificaccedilatildeo do icosaedro (20 faces triacircngulo equilaacutetero)

Soacutelidos platocircnicos construiacutedos

Cartazes com as inormaccedilotildees dos soacutelidos platocircnicos




ATIVIDADE 5 DESCOBRINDO OUTROS PONTOS DE VISTA DAS FIGURAS TRIDI-MENSIONAIS

Esta atividade adaptada da revista da Associaccedilatildeo de Proes-

sores de Matemaacutetica de Portugal Educaccedilatildeo e Matemaacutetica (n 1102010) tem como proposta a exploraccedilatildeo de outros pontos de vistados soacutelidos geomeacutetricos

Fonte Wikipedia Disponiacutevel emlthttpptwikipediaorgwikiSC3B3lido_platC3B3nicogt

a) Qual o poliacutegono ormado pelos veacutertices do octaedro O PQ e R Indique outros poliacutegonos definidos pelos veacuterticesdeste octaedro

b) Que tipo de poliacutegono se orma na superiacutecie do liacutequido agravemedida que se vai enchendo o octaedro

c) Uma atividade interessante eacute apresentar a afirmaccedilatildeo ldquoOpoliedro dual de um soacutelido platocircnico eacute outro soacutelido platocirc-nicordquo e pedir aos alunos que pesquisem na internet para en-contrar uma explicaccedilatildeo para esta afirmaccedilatildeo e accedilam as res-pectivas correspondecircncias do soacutelido platocircnico e seu dualAs figuras a seguir poderatildeo ser encontradas com acilidadeOnde estaacute o tetraedro




d) Voltando ao sofware POLY solicitar que os alunos cliquemem Soacutelidos de Arquimedes que permitem visualizar o soacute-lido montado com as arestas realccediladas para determinar o

nuacutemero de aces arestas e veacutertices A relaccedilatildeo de Euler jaacuteapresentada nesse texto eacute vaacutelida para esses soacutelidos

15 PARA FINALIZAR

Neste capiacutetulo oram apresentadas as consideraccedilotildees dos PCNsobre o bloco Espaccedilo e Forma e algumas pesquisas que permi-tem um percurso na exploraccedilatildeo deste tema Foram recuperadasalgumas caracteriacutesticas dos soacutelidos tridimensionais e estatildeo dispo-niacuteveis propostas de atividades para serem aplicadas ou adaptadas

pelo proessor de acordo com seus alunos e respectivas seacuteries

Em outro capiacutetulo as grandezas e medidas destes objetos geo-meacutetricos seratildeo exploradas

1 6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Meacutediae ecnoloacutegica Paracircmetros curriculares nacionais (PCN) Brasiacute-lia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 1998 Disponiacutevel em lthttppor-

talmecgovbrsebarquivospdmatematicapdgt Acessado em13082011

DUVAL Raymond Pour une approche cognitive des problegravemesde geacuteomeacutetrie en termes de congruence Annales de didactique etde sciences cognitives v 1 Strasbourg IREM 1988 p 57-74

EVES Howard Whitley Histoacuteria da geometria Satildeo Paulo Atual1992

VAN HIELE Pierre Structure and Insight a Teory o Mathe-

matics Education Academic Press 1986MEDALHA Vera Luacutecia Lopes A Visualizaccedilatildeo no estudo da geometria espacial Dissertaccedilatildeo (Mestrado) ndash Universidade SantaUacutersula Rio de Janeiro 1997

PARZYSZ Bernard Repreacutesentations planes et enseignement de la geacuteo-meacutetrie de lrsquoespace au lyceacutee Contribution agrave lrsquoeacutetude de la relation voirsavoir 1989 ese (erceiro ciclo) Universiteacute Paris 7 Paris 1989

POHL V Visualizando o espaccedilo tridimensional pela construccedilatildeo

de poliedros In Aprendendo e ensinando geometria traduccedilatildeo deHygino H Domingues Satildeo Paulo Ed Atual 1994




POSSANI Rosemary Aparecida Romagnoli Apreensotildees derepresentaccedilotildees planas de objetos espaciais em um ambiente de geometria dinacircmica Dissertaccedilatildeo (Mestrado) ndash Pontiiacutecia Uni-

versidade Catoacutelica de Satildeo Paulo Satildeo Paulo 2002RIBEIRO Isabel Cristina BRANDALISE Mary Acircngela eixei-ra Prova Brasil Descritores de Avaliaccedilatildeo Matemaacutetica In XVIENCONRO REGIONAL DOS ESUDANES DE MAE-MAacuteICA DA REGIAtildeO SUL Pontiiacutecia Universidade Catoacutelicado Rio Grande do Sul 2010

RODRIGUES A J Perspectiva paralela classificaccedilatildeo das proje-ccedilotildees e projeccedilotildees axonomeacutetricas Rio de Janeiro Imprensa Nacio-Rio de Janeiro Imprensa Nacio-nal 1948

ROMMEVAUX Marie-Paule Louche Le discernement des plansum seuil deacutecisi dans lrsquoapprentissage de la geacuteomeacutetrie tridimensio-nnelle Strausbourg France Universiteacute de Soutenance1997

SILVA Mauriacutecio Barbosa da A geometria espacial no ensino meacute-dio a partir da atividade webquest anaacutelise de experiecircncia Disser-Disser-Disser-taccedilatildeo (Mestrado) Satildeo Paulo Pontiiacutecia Universidade Catoacutelica deSatildeo Paulo Satildeo Paulo 2006

VAN HIELE Pierre Structure and Insight a Teory o Mathe-matics Education Academic Press 1986

NOTA DAS AUTORAS PARA O PROFESSOR

Neste capiacutetulo procuramos abarcar os seguintes toacutepicos dobloco Espaccedilo e Forma segundo os PCN (BRASIL 1998)

bull figuras bidimensionais e tridimensionais anaacutelise e reco-nhecimento

bull composiccedilatildeo e decomposiccedilatildeo de figuras planas

bull planificaccedilotildees de alguns poliedros


bull relaccedilotildees entre o nuacutemero de veacutertices aces e arestas de pris-mas e de piracircmides

bull anaacutelise em poliedros da posiccedilatildeo relativa de duas arestas

(paralelas perpendiculares reversas) e de duas aces (para-lelas perpendiculares)




bull secccedilotildees de figuras tridimensionais por um plano e anaacutelisedas figuras obtidas

bull representaccedilatildeo de dierentes vistas (lateral rontal e supe-rior) de figuras tridimensionais




Matemaacutetica4









Matemaacutetica4













Tel 55 11 3078-5366

editorabluchercombr

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marccedilo de 2009



Editora




Bluumlcher Ltda



Sobre os autores














































Prefaacutecio









As autoras



























Conteuacutedo




































































































francecircs


holandecircs










das figuras

Siacutentese




Deduccedilatildeo




Rigor










Marie-Paule Louche-


francesa















Howard Whitley Eves





a 295 aC







regulares
























(1777-1855) um dos mais


todos os tempos

















M Bernard Parzysz
















(1948 p 3)















faces do poliedro


arestas


formado somente por






Esquema A Esquema B

Esquema DEsquema C





(A) (B)

(D)(C)











Leonhard Euler



Teorema de Euler





de duas unidades
























largueza)
























































15 PARA FINALIZAR













































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Siacutentese




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Rigor










Marie-Paule Louche-


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Howard Whitley Eves





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regulares
























(1777-1855) um dos mais


todos os tempos

















M Bernard Parzysz
















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faces do poliedro


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Esquema A Esquema B

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(A) (B)

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Leonhard Euler



Teorema de Euler





de duas unidades
























largueza)
























































15 PARA FINALIZAR

















































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regulares
























(1777-1855) um dos mais


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faces do poliedro


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Esquema A Esquema B

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(A) (B)

(D)(C)











Leonhard Euler



Teorema de Euler





de duas unidades
























largueza)
























































15 PARA FINALIZAR







































Sobre os autores














































Prefaacutecio









As autoras



























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(1777-1855) um dos mais


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Esquema A Esquema B

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(A) (B)

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Leonhard Euler



Teorema de Euler





de duas unidades
























largueza)
























































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As autoras



























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Rigor










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(1777-1855) um dos mais


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M Bernard Parzysz
















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formado somente por






Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



Teorema de Euler





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As autoras



























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Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



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M Bernard Parzysz
















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Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



Teorema de Euler





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Leonhard Euler



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Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



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regulares
























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Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



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Leonhard Euler



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faces do poliedro


arestas


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Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



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Esquema A Esquema B

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Leonhard Euler



Teorema de Euler





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reflexão e prática de ensino - matemática

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