Rectas en 3D

Rectas en 3D

Punto por el que sabemos pasa la recta

Punto cualquiera sobre nuestra recta

Resta vectorial indica dirección de recta

Cualquier vector paralelo a a indica dirección

Coordenadas de punto en recta cumplen

R

0PP

0r

r

R

a

v

ctzbtyatxzyx

cbavvta

arrrra

zyxrzyxP

zyxrzyxP

000

00

00000000

,,,,

,,

,,),,(

,,),,(

�

Ecuaciones paramétricas de la recta

ctz

bty

atx

r

ctzbtyatxr

kctzjbtyiatxr

0

0

0

000

000

,,

ˆˆˆ

ctzz

btyy

atxx

0

0

0

Notaciones alternativas

Vectores unitarios

Componentes en orden

Vector columna

Números directores: a,b,c

R

Rectas en 3D

0PP

0r

r

R

a

v ctzz

btyy

atxx

0

0

0

Consideren la cuestión:¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v?

Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en su escala.

Se conviene en elegir al punto P0 a la izquierda, cuando se observa el primer octante (vector a de izquierda a derecha).

¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?

Ejemplo 1 de rectas en 3D

5,3,4

523341415

1

1,5,6

123541615

1

zyx

tPara

zyx

tPara

Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector (1,4,-2). a)Encontrar la ecuación paramétrica de la rectab)Encontrar otros puntos de la misma recta

recta t( )

x0 t av

y0 t bv

z0 t cv

r0

5

1

3

v

1

4

2

x0 r00

y0 r01

z0 r02

av v0

bv v1

cv v2

tztytx

sonssolicitadaecuacioneslasentonces

cbazyx

vr

23415

,

241315

2,4,13,1,5

000

0

a) b)

R

Ejemplo 1 de rectas en 3DLa recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado. Otros dos puntos de la misma recta en marrón.

R P0 v0 P3 P6

2.4

4.1

4.4

)6.0(6

4.2

3.2

3.5

)3.0(3

trectaP

trectaP

Ejemplo 1 en Mathcad

R

r0

5

1

3

v

1

4

2

r t( ) r0 t v

x0 r00

y0 r01

z0 r02

av v0

bv v1

cv v2

recta t( )

x0 t av

y0 t bv

z0 t cv

R CreateSpace recta tMin tMax( )

Np 256

tMin 100 tMax 100

tl

tMin ltMax tMin

Np 1

l 0 Np 1

r 1( )

6

5

1

r 1( )

4

3

5

r 100( )

105

401

197

r 100( )

95

399

203

Ecuaciones simétricas

Despejando a t de cada una de las ecuaciones paramétricas

c

zz

b

yyxx

xx

asolosiEjemplo

c

zz

b

yy

a

xxc

zzt

b

yyt

a

xxt

cba

000

0

000

000

0

0

.

0,,

R1

R1

10 x

Continuación de ejemplo a=0

R2 R1

r0

1

2

10

v

0

3

5

r t( ) r0 t v

recta t( )

x0 t av

y0 t bv

z0 t cv

r 1( )

1

1

5

r 1( )

1

5

15

r 5( )

1

17

35

r 10( )

1

32

60

r 15( )

1

47

85

r0

1

3

15

v

0

1

7

r 1( )

1

2

8

r 1( )

1

4

22

r 5( )

1

8

50

r 10( )

1

13

85

r 15( )

1

18

120

Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos A(2,4,-3) y B(3,-1,1). ¿En qué punto corta esta recta al plano xy?

Ejemplo 2 de rectas en 3D

R

451

4,5,1

3,4,21,1,3

cba

va

El vector diferencia puede ser determinado y luego empleado

tztytx 43542

Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas son

Ejemplo 2 de rectas en 3D… para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados (1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en

4

3

5

4

1

2

zyx

c

zz

b

yy

a

xx o 00

las ecuaciones simétricas resultan

La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores

4

3

5

4

1

2

yx

Ejemplo 2 de rectas en 3DDespejando x

.4

11

4

83

24

3

.4

3

1

2

x

xDespejando y

.4

1

4

15164

154

,4

15

4

354

.4

3

5

4

y

y

y

Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son (11/4,1/4,0).

R plano_zero R plano_zero

Demostrar que las rectas con ecuaciones paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin ser paralelas), o sea, no son coplanares…

Ejemplo 3 de rectas en 3D

szsysx

sL

tztytx

tL

4332

,

4321

,

2

1

Para L1, a1=<1,3,-1>, mientras que para L2, a2=<2,1,4>. ¿Son paralelos?

kji

kji

kji

kji

ˆ5ˆ6ˆ13

)61(ˆ)24(ˆ)112(ˆ

12

31ˆ42

11ˆ41

13ˆ

412

131

ˆˆˆ

4,1,21,3,1

Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí

Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas <x,y,z> o, habría valores de t y s cumpliendo

Ejemplo 3 de rectas en 3D

RA CreateSpace rectA 0 5( ) RB CreateSpace rectB 0 5( )

RA RB RA RB RA RB

st

st

st

434

332

21

8/5

11/5

s

t

s

s

t

tt

ttt

10/16

25/111

2/112/5

2/1122/72/3

2/2/132/)1(332

5/175

32155/323

5

843

5/95

11205/114

La coordenada z no coincide

Conclusiones