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RESISTENCIA DE MATERIALES INGENIERIA CIVIL

Materia: Estructura

II Folio: EST 2 -01

Fecha: Julio/2000

Autores: Arqto. Verónica Veas B. Arqto. Jing Chang Lou.

2 RESISTENCIA DE MATERIALES INGENIERIA CIVIL

I.- INTRODUCCION

El análisis estructural de las vigas suele dividirse en vigas isostáticas e hiperestáticas. Recordemos que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el elemento a analizar Si la viga tiene un número igual o inferior a tres incógnitas en sus reacciones, bastará con aplicar las condiciones de equilibrio estático para resolverla.

Fx = 0 Fy = 0 M = 0

Si en cambio, la viga presenta un mayor número de incógnitas, no bastará con las ecuaciones antes indicadas, sino que será necesario incorporar nuevas expresiones.

Para abordar el análisis de las vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que experimentará la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El

análisis de las deformacionestiene básicamente dos objetivos. Por

una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. Y por otra parte, las deformaciones en sí, deben ser limitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia, vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrán deformarse más allá de lo deseable, lo que llevaría consigo el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. No resulta extraño entonces que muchos dimensionamientos queden determinados por la deformación y no por la resistencia.

RESISTENCIA DE MATERIALES INGENIERIA CIVIL3MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

II.- DEFORMACION EN VIGAS

1.- LINEA ELASTICA o ELASTICA

Denominaremos línea elástica a la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que ésta se encontraba inicialmente recta.

2.- SUPUESTOS BASE.

Para establecer una serie de relaciones al interior de la sección, indicamos que se trata de una viga, cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admite la conservación de las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumplen la ley de Hooke y la hipótesis de Bernouilli-Navier.

a.- LEY DE HOOKE.

Establece que la relación entre la tensión y la deformación unitaria es una constante y se denomina módulo de elasticidad.

E

E = Elasticidad (kg/cm2). = Tensión (kg/cm2)e = Deformación

Unitaria o expresado de otra

forma:

= E e

b.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE FLEXION

De la deducción realizada para dimensionar elementos sometidos a la flexión simple sabemos que:

? MV

I = Tensión (kg/cm2)M = Momento flector (kg.cm).V = Distancia desde la fibra neutra a la

fibra más traccionada o más comprimida. (cm).

I = Inercia (cm4).

Si igualamos las expresiones y tenemos que:

1.

2.

1. 2.

6


E MV

oI

MVEI

c.- ANALISIS DE LA SECCION

La sección cc’tt’, inicialmente recta, se curva con un radio R como indica el gráfico.

La fibra cc’ se acorta a cc”. La fibra tt’ se alarga a tt”, yLa fibra nn’ permanece del mismo largo.

Por triángulos semejantes non’ y t’n’t” obtenemos

ds ds

V ??(Deformación unitaria)

R

El arco es igual al producto del ángulo por el

radio. ds = d R o

I d

R ds

Igualando las ecuaciones

con

, obtenemos:

V

MV/:V

R EI

o 1

MR EI

Reemplazamos en la ecuación

I M

dR EI ds

d M.ds EI

Como nos estamos refiriendo a una sección infinitamente pequeña, la diferencia entre un arco y su proyección horizontal es mínima: ds dx

4.

5.

3.

5.

3.

4.

7MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE


La expresión final indica que la curvatura de la línea elástica es una variable proporcional al momento flector.

M.dx

d EI


8

3.- METODOS DE CALCULO

Existen diferentes métodos para abordar el análisis de las deformaciones en las vigas:

Método de Área de Momentos. Método de Doble Integración. Método de la Viga Conjugada.

Si bien, todos presentan su mecánica propia, a la vez tienen una partida común, que es justamente el análisis de la elástica expuesto anteriormente.

A través de ellos buscaremos determinar el ángulo de curvatura de la línea elástica y sus deflexiones o flechas. Cada método tiene ventajas o desventajas dependiendo de la viga a analizar.

3.a.-METODO DE AREA DE MOMENTOS

La deducción del capítulo anterior establece que la curvatura de la línea elástica está en función del momento flector de la viga. Si analizamos la relación de los ángulos en el siguiente gráfico tenemos que:

Los triángulos rectángulos OAE y OBC forman respectivamente en E y C un ángulo de 90º-d, por lo tanto los triángulos rectángulo ACD y BED necesariamente debe formar en D el ángulo d. De esta forma, también podemos referirnos a d, como el ángulo que forman las tangentes a dos puntos de la línea elástica y establecer nuevas relaciones.



PRIMER TEOREMA DE MOHR

El ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualquiera A y B, es igual al área de momento flector entre esos dos puntos, dividido por EI.

1

AB

EI

Area entre A y B

B B1 1o

AB

d Mdx EI EI

A A

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

La distancia desde un punto B de la elástica de una viga, medida perpendicularmente a la posición original hasta la tangente trazada por otro punto A de la elástica, es igual al momento del área de momento flector entre los dos puntos, respecto a la ordenada que pasa por B, dividido por EI. Esta distancia la denominaremos desviación tangencial.

dt = x d (gráfico superior)

A A1 1tBA dt

x.d EI EIB B

A1tBA

x.M.dx EIB

tBA 1

EI Area.AB.x

2


10

EJEMPLO:

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

Establecemos el equilibrio externo de la viga.

qLRa Rb

2

Determinamos la ecuación general de momento flector de la viga.

Mx qLx 2

qx 2

2

Aplicando el Primer Teorema de Mohr, podemos determinar el ángulo en el apoyo calculando el ángulo entre la tangente trazada en el extremo izquierdo de la elástica y la tangente trazada en el punto medio, siendo ésta la tangente de pendiente nula.

1 L / 2

AB EI 0 Mdx

L /21 qLx

qx 2 dx

AB EI 2

0

AB

L /2

1

qLx 2

qx 3

EI 0 46

qL3 qL3

AB 16EI 48EI

AB

A


11

MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE

Siendo la viga simétrica se deduce que este valor de ángulo es también válido para el extremo derecho de ésta.

10

A

4


Otra forma de enfrentar el ejercicio, si conocemos el área es:

AB

1A

EI

Area entre A y B

1 qL2 2 LA

EI 8 3 2

Para obtener la flecha máxima aplicamos el segundo teorema de Mohr. Calculamos la desviación tangencial en el extremo izquierdo de la elástica con respecto a la tangente trazada en el punto de flecha máxima, que en este caso corresponde a L/2.

1 B

tAB EI M.x.dx

Y 1

L/ 2

qLx

qx

2 .x.dx

máx EI 2 20

L / 2 2 3 Y

1 qLx qx .dx

máx

EI 0 2 2

Ymáx L/ 2

1qLx3

qx4

EI 0 68

Y qL

qL4

máx 48EI

128EI

Si conocemos el área y su centroide podemos realizar la operación de la siguiente forma:

1tAB

EI AreaAB . xA

5qL4Ymáx

384EI

qL3

A 24EI



1 qL2 2 L 5 Lt AB ?EI 8 3 2 8 2

5qL 4Ymáx

384EI


10

3.b.- METODO DE DOBLE INTEGRACION

De la deducción del Primer Teorema Mohr se obtuvo la expresión:

d 1

M.dx

EI

/:dx

d

Mdx EI

La derivada en cualquier punto de la una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

dy Tg

dx

Como ? es d Tg

dy

dx

Reemplazandoen la ecuación inicial obtenemos laEcuación Diferencial de la Elástica de una viga

d dy M

dx dx EI

Integrando obtenemos la Ecuación General de Pendiente.

Integrando nuevamente obtenemos la Ecuación General de Flecha.

Este método nos permite calcular las pendientes y deflexiones de la viga en cualquier punto. La dificultad radica en despejar las constantes de integración. Esto se logra analizando las condiciones de apoyo y la deformación de la viga

EI

d 2 y

M

1 Mdx Cdx EI

dy 1

1 2

EI1

y Mdx C C

12


EJEMPLO:


La ecuación diferencial de la elástica de una viga está dada por la expresión:

d 2 y

dx 2

Mo

EI

d2 yEI M

dx 2

El valor de momento varía en función de X de acuerdo a la ecuación general antes establecida:

Mx qLx

2

qx 2

2

Entonces la ecuación diferencial de la elástica para esta viga es:

d2 y qLx qx 2EI

dx 2 2 2

Integrando obtenemos la ecuación de pendiente para cualquier punto de la elástica.

EI dy

dx

qLx 2

qx 2

2

dyEI

dxqLx2

4

qx 3

6

C1

Por simetría, la flecha máxima está en el punto medio de la viga, por lo que la tangente trazada en este punto de la elástica es de pendiente nula, es decir,

dy



si: X = L/2dx

0


14

Por lo tanto:

qL L2

0 q L3

C1

4 4 6 8

qL3

C1 24

Entonces la ecuación general de la pendiente es:

La ecuación de flecha la obtenemos integrando la ecuación de anterior:

EI.y qL

x3

12

qx 4

24

qL3

x

24

C2

Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X= 0 o X = L

Si X=0 0 = C2

Si X=L

qLx 30

12

qx 4

24

qL3

x

24

C 2

Por lo tanto C2 = 0

Entonces la ecuación general de flecha es:

Los ángulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 y X=L en la ecuación correspondiente

y la flecha máxima reemplazando en X = L/2.

dx 4EI 6EI

24EI

qx 3dy qLx 2

qx 4 qL3

x 12EI 24EI

24EI

qLx3y

qL3

B 24 EI

qL3

A 24EI

5qL4

Ymáx 384EI



3.c.- METODO DE VIGA CONJUGADA

Este método se basa en los mismos principios del método de área de momento, pero difiere en su aplicación. Consiste en generar, una nueva viga ficticia de la misma longitud, y con las mismas condiciones de apoyo que la viga original, pero cargada con el diagrama del momento flector de la viga original dividido por EI. De esta manera, el ángulo de la tangente trazada en cualquier punto de la elástica de la viga real está dada por el cortante (Q’ ) de la nueva viga, y la flecha se determina calculando el momento flector (M’) de esa viga ficticia

Según lo anterior, podemos establecer las siguientes equivalencias:

VIGA REAL VIGA FICTICIA.

momento M carga M/EIángulo cortante Q’flecha Y momento M’

Podemos afirmar que existe una analogía entre las relaciones carga - cortante - momento - y momento - pendiente - flecha.

EJEMPLO


Para la aplicación del método es necesario determinar el gráfico de momento flector y sus valores característicos.

Mmax qL

8

Para obtener los valores de ángulo y flecha generamos una viga ficticia o conjugada.

VIGA FICTICIA

Generamos una viga y le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI

q' Mmá

x

EI

qL2

8EI

2


16

El cortante de la viga ficticia corresponde a la pendiente que adquiere la tangente trazada a la curva elástica de la viga real, por lo que el gráfico de cortante de la viga ficticia representa los cambios en la pendiente. El ángulo en el punto de apoyo de la viga original equivale a la reacción de la viga conjugada.

A Ra'

qL2 2 L

8EI 3 2

El momento flector de la viga ficticia corresponde al descenso de la viga real al deformarse. En este caso, el gráfico de momento de la viga ficticia representará los valores de deformación de la viga real. Como el descenso máximo de la viga es en L/2, determinamos el momento máximo de la viga ficticia en ese punto.

Y M' qL L

qL 2 L 3 LMAX MA

X 24EI 2

8EI 3 2 8 2

qL3

A 24EI

5qL4

YMAX 384EI

3 2


2

A


k

III. APLICACIÓN.

1.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN L/2.

1.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTOS

Establecemos el equilibrio externo.

P

RA RB 2Determinamos la ecuación general de momento flector.

PxMx

2

Por simetría de la viga, deducimos que la pendiente de la tangente trazada en el punto medio de la curva elástica es nula. Para la aplicación de los Teoremas de Mohr, debemos considerar la tangente trazada en el extremo izquierdo de la elástica y la tangente trazada en el punto medio de ésta.

Para determinar los valores de ángulo en los apoyos calculamos el ángulo entre las dos tangentes

1B

AB EI M.dx

AB A

1L / 2 PxA EI 2

.dx

0

L / 2 1 Px

EI

0

4

PL2

A 16EI

A

18

6


y la flecha máxima la obtenemos calculando la desviación tangencial en el extremo izquierdo con respecto a la tangente trazada por el punto medio de la curva elástica.

Ymáx 1 B

M.x.dx EI A

Ymáx 1EIL /2 Px

.x.dx20

L/21 Px3

Ymáx EI

0

1.b.- POR MÉTODO DOBLE INTEGRACIÓN.

Como la viga es simétrica analizamos sólo el primer tramo. Con la ecuación general de momento, establecemos la ecuación diferencial de la elástica.

EI. d

y Px

dx 2 2

Integrando dos veces la ecuación obtenemos:

EI dy

dx

Px 2

4

C1

EI.y

Px 3

12

C1x C2

Según la deformación de la viga, la pendiente de la tangente trazada en el centro de la viga es nula, es decir:

dy

Si X = L/2 dx0

P L2

0 4 4

C1

PL2

C1 16

PL3

Ymáx 48EI

2



Entonces la ecuación general de ángulo es:

dyEI

dxPx 2

4

PL2

16


18

Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula en el apoyo de la viga, es decir cuando X = 0

Por lo tanto C2 = 0

Entonces la ecuación general de flecha es

EI.y Px

PL2 x

12 16

El ángulo en el apoyo se obtiene reemplazando X=0 en la ecuación correspondiente

Y la flecha máxima reemplazando en X = L/2.

1.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA.

VIGA REAL

Determinamos el gráfico de momento flector y sus valo res característicos

M máx

PL4

Generamos una viga ficticia y le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI. Y le determinamos las reacciones y el momento máximo, valores correspondientes a los ángulos en los apoyos y al descenso máximo de la viga dada.

VIGA FICTICIA

Mmáx q'

PL 4EI

PLA Ra' L 1 PL2

4EI 2 L 16EI

PL2

A 16EI

Pl 3Ymáx

48.EI

PL2

A 16E

I

3



Este valor de ángulo es válido también para el otro extremo, porque la viga es simétrica. Y por la misma condición, el momento máximo se produce cuando X=L/2

PL2 L PL 1 L 1 L Ymáx Mmáx

16EI 2 4EI 2 2 3 2

PL3

Ymáx 48EI

qLx

qx 3


20

2.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA TRIANGULAR

2.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTO


RA RB

qL4

Determinamos la ecuación general de momento flector.

q * xq

L/ 2

q* 2qxL

Mx qLx

2qx x x4 L 3 2

Mx qLx

qx4 3L

Como la viga es simétrica, la tangente trazada por el punto medio de la elástica es de pendiente nula. Para determinar el ángulo en el apoyo calculamos el ángulo entre la tangente trazada en el extremo y la tangente trazada en L/2.

1 AB A

L/ 2

.dx

EI 0 4 3L

1 A

L / 2

qLx2

qx 4

EI

qL3

0

8

qL3

12L

A 32EI

192EI

5qL3 A

192EI

3

22


Para determinar la flecha máxima se calcula la desviación tangencial en el extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en L/2.

t 1

L / 2

qLx

qx

3 .x.dx

ABEI

03L

t 1

L/ 2 qLx 2

qx

4 .dx

AB EI

03L

t AB L /2

1 qLx 3

qx 5

EI 0 12 15L

qL4

t qL4

AB

96EI

480EI

2.b.- POR METODO DE DOBLE INTEGRACION

La viga es simétrica por lo tanto se puede analizar un sólo tramo. Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica para el primer tramo.

qLx qx 3Mx

4 3L

EI.d2 y

dx 2

qLx

4

qx 3

3L

Integrando la ecuación dos veces obtenemos:

dyEI.

dxqLx2

8

qx 4 C1

12L

EI.y qL

x3

24

qL4YMAX

120EI

4

4



qx 5 C1x

C 260L

Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X = L/


24

qL L2 q L4

0 C18 4 12.L 16

C1 5qL3

192

Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0

Por lo tanto C2 = 0

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores obtenemos:

Ecuación general de ángulo:

2 4 3

EI. dy

qLx

qx

5qL

dx 8 12L

192

Ecuación general de flecha:

EI.y qLx

3

24

qx 5

60L

5qL3x

192

Determinamos el ángulo en los apoyos reemplazando X=0 en la ecuación correspondiente

Siendo simétrica la viga, este valor también es válido para el otro extremo de la viga.

Y la flecha máxima reemplazando en X = L/2.

5qL3

A 192EI

qL4

YMAX 120EI



3.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN 3L/4

3.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS.

Establecemos el equilibrio externo determinando las reacciones en los apoyos.

Ra P

4 Rb 3P

4

Determinamos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos:de 0 a 3L/4 y de 3L/4 a L

MxT1

Mx

Px 4

3PL

3PxT2

MMAX

4 4

3PL 16

En una viga asimétrica la curva elástica no es simétrica con respecto a su centro, lo que produce una mayor dificultad para determinar el punto cuya tangente sea de pendiente nula. Para determinar los ángulos en los apoyos y la flecha máxima, debemos recordar algunos supuestos iniciales:

El arco es el producto entre un ángulo y un radio. La deformación que se produce en una viga es muy pequeña en comparación con la longitud de ella; por lo tanto el ángulo que se genera es también reducido. De forma que, no existe gran diferencia entre un arco y su proyección vertical (desviación tangencial).

Arco = ángulo x radio t = ángulo x largo

L

2


26

Entonces para calcular los ángulos en los apoyos debemos calcular primero la desviación tangencial en un extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en el otro extremo

t L0 1 3PL 3L 1 1 3L

3PL L 1 2 L

t L0

EI 16

5PL3

128EI

4 2 3 4

4

16

4 2 3 4

Como t = ángulo x largo se deduce que ángulo ( )= t/largo

t(L 0) O .L

t 5PL3 1(L 0) O

128EI L

Para determinar el valor de la flecha máxima, necesitamos saber su ubicación. El ángulo corresponde a un área de momento dividido por EI. Ahora que conocemos el valor de esa área de momento ( O) podemos obtener su extensión.

5PL2

Px xO

128EI

4EI 2

x2

40L 128

Para determinar la flecha máxima calculamos la desviación tangencial en 0, con respecto a la tangente trazada a la elástica en X=5L/4

3

1 Px x 2 Pxt x 0 .L /

4

EI 4 2 3 12EI

5PL2O

128EI

5.Lx

4

5



3.b.- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN.

Con las ecuaciones generales de momento establecemos las ecuaciones diferenciales para ambos tramos, integrándola dos veces obtenemos:

TRAMO 1 (0-3L/4)

d2 yPx EI

dx 2 4

dyEI

dxPx 2

8

C1

EI.y Px 3

24

C1x C2

TRAMO 2 (3L/4-L)

d 2 y 3PL 3Px EI

dx 2 4 4

EI dy dx

3PLx 4

3Px 2

8

C 3

EI.y 3PLx2

8

3Px 3

24

C3 x C4

Según las condiciones de apoyoLa flecha es nula cuando X = 0 para el primer

tramo C2 = 0

La flecha es nula cuando X = L para el segundo tramo

EI.0 3PL3

8

3PL3

24

C3 .L C4

PL3

C 4 C3 .L 4


28

Según la deformación de la viga la pendiente es única para ambos tramos cuando X=3L/4. Entonces igualamos las ecuaciones de pendiente de ambos tramos en 3L/4

Px2

8 C1 3PLx

4

3Px2

8

c

3 3



3PL2

128 C1

9P

L2

16

27PL2

128

C3

C1 36PL2

128

C3

Del mismo modo igualamos las ecuaciones de flecha de ambos tramos en 3L/4

27PL3

108PL

C

3L 27PL 81PL

C

3L C

PL4

C L

1536 512

3 4

128

1536

3 4

3 4

3

41PL2

C3 128

Reemplazamos C3 en las ecuaciones anteriormente obtenidas.

C1 36PL2

128

41PL2

128

5PL2

128

C4 PL3

4

41PL3

128

9PL3

128

Entonces las ecuaciones generales de ángulo y

flecha son: TRAMO 1

Ecuación de pendiente válida para 0 X 3L/4

EIdy

Px 5PL2

dx 8 128

Ecuación de flecha válida para 0 X 3L/4

3 2

EI.y Px

5PL x

24 128

TRAMO 2

Ecuación de pendiente válida para 3L/4 X L

3

2


30

EI dy

3PLx 3Px 41PL2

dx 4 8 128

Ecuación de flecha válida para 3L/4 X L

EI.y 3PLx2

8

3Px 3

24

41PL2

x

128

9PL3

128

2

2



Para determinar la ubicación de la flecha máxima en la viga es necesario considerar que la flecha es máxima cuando el ángulo es nulo, para lo cual igualamos la ecuación de ángulo del primer tramo a cero.

0 Px

85PL2

128

x2 40L x

128 4

Los ángulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 o X=L en la ecuación correspondiente

Y la flecha máxima reemplazando en X = 5L/4

3.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA

Con el gráfico del momento flector y sus valores característicos generamos la viga ficticia.

MxT1 Px 4

Mx 3PL

3PxT2

M MAX

4 4

3PL 16

A la viga ficticia le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI. Se determinan los ángulos en los apoyos y el descenso máximo de la viga dada, calculando las reacciones en los apoyos y el momento máximo de la viga ficticia.

5 PL 2 A 128

EI

7 PL 2 B 128

EI

5 5.PL3

Ymáx 768 .EI

5.L

2


32

VIGA FICTICIA

q' M max 3PL

16EI

? A= Ra’ ? B= Rb’

Ma=0

3

Rb'.L 3PL 3L 1 3L 2

3PL L 1 1 L

3L

84PL

Fy=0

16EI 4

2 4 3

16EI 4 2 3 4

4 1536EI

7PL2

Ra' 3PL 1 3L 3PL L 1

128EI 16EI 2 4

16EI 4 2

Donde Qx=0 el momento es máximo

5PL 23PL 4 x x 0

128EI 16EI 3L 2

480L2

x 1536

x 5.L 4 = 0,559L

Ymax = M’max

5PL2

Y 5.L 3PL

45.L 1

5.L 1

5.L 10

5.PL3

máx 128EI 4

16EI 3L

4 2 43 4

1536EI

5PL2

R A A

128EI

5 5.PL3

Ymáx 768EI

7PL2 RB ' B 128EI


3


4.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON UN MOMENTO APLICADO EN EL EXTREMO

4.a- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO.

Establecemos el equilibrio externo y determinamos la ecuación general de momento flector.

Ra M

L Rb M

L

Mx Mx

L

Para calcular los ángulos en los apoyos en esta viga asimétrica, debemos calcular primero la desviación tangencial en un extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en el otro extremo.

Analizando la desviación tangencial en el punto L determinamos el ángulo en 0

t 1 ML L

L0 EI 2

tL 0 M

L2

6EI

Luego si t = ángulo x largo se deduce que

ángulo = t / largo

ML2 10 6EI L

ML6 EI

0

2


30

Analizando la desviación tangencial en el punto0 determinamos el ángulo en L

t L 0 1 ML 2L . EI

23

tL 0 M

L2

3EI

ML2 1L 3EI L

Para determinar la ubicación del punto en donde la flecha es máxima aplicamos el Primer Teorema de Mohr.

ML Mx xA

6EI L.EI 2

ML 6EI

M

x2

2LE

I

x2 L

3 x L

Para determinar la flecha máxima calculamos la desviación tangencial desde el punto 0 con respecto a la tangente trazada por L/3

t oL/1

L/

3 EI

3

Mx

0 L

x.dx

L / 3

t1 Mx2

EI Lo L / 3

0

L/

t1 Mx 3

oL/ 3 EI

3L

0

31 M L

ML 3EI

L

9 3.EI

3

3



ML2

t oL/ 3 EI 3L

ML2

Ymáx 9

3.EI

3

32


4-b- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION.

Con la ecuación general de momento flector establecemos la ecuación diferencial de la elástica.

d2 yMx EI

dx 2

L

Integrando la ecuación diferencial dos veces obtenemos:

EI dy

dx

M

x2

2L

C1

EI.y M

x3

6L

C1x C2

Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0 y X = L

Si X=0 0 = C2

ML2

Si X=L

0 6

C1L C2

C ML

16

Reemplazando los valores de C1 y C2 en las ecuaciones correspondientes podemos determinar la ecuación general de pendiente.

dy Mx 2 ML EI

dx 2L 6

y la ecuación general de flecha.

Mx3

EI.y 6L ML

x 6

Los ángulos en los apoyos los obtenemos reemplazando X=0 y X=L en la ecuación de pendiente

Para determinar la ubicación del punto en donde la

ML 6EI

A

ML3EI

B



flecha es máxima igualamos la ecuación general de ángulo a cero.

M x 2 ML 0

2L 6

2


34

x2 L

x L

3

Determinamos la flecha máxima reemplazando la ecuación general de flecha en X = L/3

4.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA

Con el gráfico del momento flector y sus valores característicos generamos la viga ficticia.

Mx Mx

L

A la viga ficticia le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI y calculando las reacciones en los apoyos y el momento máximo de la viga ficticia determinamos los ángulos en los apoyos y el descenso máximo de la viga dada

q' Mmax

M

EI EI

Ra' M L L

/L ML

A

EI 2 3

6EI

Rb' M L 2L

/L ML

B

EI 2 3 3EI

ML L MYmax Mmax '

L

L3

PL2

ML 6EI

A

ML 3EI

B

ML 2Ymax

9 3.EI

ML2

YMAX 9

3.EI

6LEI 2 3 3 3

9 3.EI

3

6EI 3

L



5.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

5.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO


Ra qL

Determinamos la ecuación general de momento flector

Mx qx 2

2

El ángulo entre las tangente trazadas en ambos extremos de la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema de Mohr.

L 1

qx 2

dxOL EI 0

2

1 qx 3 OL

EI 60

OLqL3

6EI

Calculando la desviación tangencial en 0 (extremo libre de la viga) con respecto a la tangente trazada en el otro extremo, determinamos la flecha máxima.

qL3A OL 6EI

0

1


36

L

t 1

OLEI 0

qx 2

2

.x.dx

L

tOL EI

qx 3

dx2

L

t1 qx 4

O L EI 8

0

t OLqL4

8EI

5.b- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION


d2 yEIdx 2

qx2

Integrando la ecuación diferencial dos veces se obtiene:

dyEI

dxqx 3

6

C1

qx4

EI.y 24 C1x C2

Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X = L

qL3

C1 6

Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = L

C2 qL4

8

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores se obtiene:

qL4Ymax tO L 8EI

2



Ecuación general de pendiente.

EI dy

qx qL3

dx 6 6

3


38

Ecuación general de flecha.

4 3 4

EI.y qx

qL x

qL

24 6 8

El valor máximo de ángulo se obtiene reemplazando X=0 en la ecuación correspondiente

Y la flecha máxima reemplazando en X = 0.

5.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA.

Con el gráficode momento flector y losvalores característicos generamos la viga

ficticia.

qx 2Mx

2

A la viga ficticia se le aplica como carga el momento flector de la viga dada dividido por EILa relación establecida entre la viga ficticia y la viga real esque los valores de cortante y momento de la viga ficticia equivalen a la pendiente y a la flecha de la viga real.Pero en el caso particular de las vigas en voladizo, la pendiente en el apoyo es nula, así como su descenso. En este punto no deberían existir R’ ni M’ por lo tanto para la aplicación de este método, es necesario invertir el apoyo de la viga ficticia al otro extremo de la viga, de manera de encontrar R’ y M’max en el punto correspondiente

q' Mmax

EI

qL2

2EI

A Ra'

qL2 L 2EI 3

Y M' qL2

L 3L

max max 2EI 3 4

qL3A 6EI

qL3A 6EI

qL4Ymax

8EI



qL4 Ymax

8EI


40

6.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN EL EXTREMO LIBRE

6.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTO.

Establecemos el equilibrio

externo. Ra= P

Determinamos la ecuación general de momento flector.

Mx= – Px

El ángulo entre las tangentes trazadas en ambos extremos de la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema de Mohr.

L 0 P.L L 1

2 EI

PL2

L0 2EL

Calculando la desviación tangencial en 0 (extremo libre de la viga) con respecto a la tangente trazada en el otro extremo determinamos la flecha máxima

tL0

tL0

PL2 2L

2EI 3

PL3

3EI

PL3

3EIL 0

Ymax t

PL2

B L0 2EI



6.b.- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION


d2 yEI

2dx Px PL

Integrando dos veces la ecuación diferencial obtenemos:

dyEI

dxPx 2

2

PLx C1

EI.y Px 3

6

PLx 2

2

C1x C2

Según la deformación de la viga, la pendiente es nula cuando X = 0

C1 = 0

Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0

C2 = 0Entonces las ecuaciones generales de ángulo y flecha son:

Ecuación general de ángulo

EI dy

Px

PLxdx 2

Ecuación general de flecha

EI.y Px

6 PLx2

El valor máximo de ángulo se encuentra en el lado derecho y se obtiene reemplazando X=L en la ecuación correspondiente

Y la flecha máxima reemplazando en X = L.

PL2B 2EI

PL3

Ymax 3EI

2

3 2


42

6.c- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA.

Con el gráfico de momento flector y los valores característicos generamos la viga ficticia.

M = PL

A la viga ficticia se le aplica como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI

Como se ha explicado en el ejemplo anterior, en el caso de las vigas en voladizo, es necesario invertir su apoyo en el otro extremo de la viga para la aplicación del método.

q' M max

PL

EI

R

EI

PL L

B B EI 2

Ymax M'max

PL L 2LEI 2 3

PL3Ymax

3EI

PL2B 2EI



IV.- BIBLIOGRAFIA

Resistencia de Materiales. William A. Nash.Editorial McGraw-Hill – México. Año 1970.

Resistencia de MaterialesS. P. Timoshenko.Editorial Epasa-Calpe – Madrid. Año 1980.

Resistencia de MaterialesFerdinand L. Singer / Andrew Pytel. Editorial Harle – México.Año 1982

42


V.- INDICE

I.- INTRODUCCIÓN.......................................................................... 3

II.- DEFORMACION EN VIGAS.............................................................. 5

1. Línea Elástica..................................................................... 52. Supuestos Base................................................................... 5

Ley de Hooke..................................................................... 5

Deducción de la Fórmula de Flexión.......................................... 5Análisis de la sección........................................................... 6

3. Métodos de Cálculo.............................................................. 7

Método de Area de Momentos................................................. 7Ejemplo....................................................................... 9

Método de Doble Integración.................................................. 11

Ejemplo....................................................................... 12Método de Viga Conjugada..................................................... 14

Ejemplo....................................................................... 14

III.- APLICACIÓN.............................................................................. 17

1. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/2..............

17Por Método de Area de Momento............................................. 17

Por Método de Doble Integración............................................. 18

Por Método de Viga Conjugada................................................ 192. Viga simplemente apoyada con carga triangular................................

21

Por Método de Area de Momento............................................. 21

Por Método de Doble Integración............................................. 233. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en 3L/4...........

24


Por Método de Doble Integración............................................. 26Por Método de Viga Conjugada................................................ 28

4. Viga simplemente apoyada con un momento aplicada en el extremo.......

30

Por Método de Area de Momento............................................. 30Por Método de Doble Integración............................................. 32

Por Método de Viga Conjugada................................................ 33

5. Viga en voladizo con carga repartida uniformemente.........................

34Por Método de Area de Momento............................................. 34

Por Método de Doble Integración............................................. 35

Por Método de Viga Conjugada................................................ 366. Viga en voladizo con carga puntual aplicada en el extremo libre............

37


Por Método de Doble Integración............................................. 38Por Método de Viga Conjugada................................................ 39

IV.- BIBLIOGRAFIA........................................................................... 41

V.- INDICE..................................................................................... 43

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