recenje sa slobodnom povrsinom

3

Tecenje sa slobodnompovrsinom

Zadatak 3.1. Pri ustaljenom jednolikom tecenju u kanalu trapeznogpoprecnog preseka, izmerena je dubina vode H = 1.0 m. Nagib dna kanala jeID = 0.5% a Manning-ov koeficijent hrapavosti je n = 0.014 m−1/3s. Ispitatirezim tecenja u kanalu (da li je mirno ili burno), uz potrebna obrazlozenja.

Resenje. Chezy-Manning-ova jednacina za ustaljeno tecenje glasi:

Q =1n

AR2/3√

IE gde je IE = IΠ = ID za jednoliko tecenje (3.1)

(IE – nagib linije energije, IΠ – nagib linije nivoa, odnosno Π-linije, ID –nagib dna kanala, A – proticajna povrsina, R – hidraulicki radijus definisankao odnos proticajne povrsine i okvasenog obima R = A/O, n – dimen-zionalni koeficijent trenja po Manning-u sa dimenzijom [L−1/3T]). Dubinapri kojoj vazi pretpostavka iz jednacine (3.1) o jednolikom tecenju zove se

89

90 3. Tecenje sa slobodnom povrsinom

normalna dubina, pa se moze napisati:

Q =1n

ANR2/3N

√ID

Iz uslova zadatka da je H = HN = 1.0 m, moze se sracunati proticaj Q, uzzamenu:

AN = H(b + 2H) = 7.0 m2

RN =AN

ON=

H(b + 2H)b + 2H

√5

= 0.739 m

Q =1

0.0147.0× 0.7392/3

√0.005 = 28.9 m3/s

Da bi se proverio rezim tecenja u kanalu, potrebno je za zadatu dubinu idobijeni proticaj sracunati Froude-ov broj:

Fr =Q2B

gA3=

Q2(b + 4H)g[H(b+ 2H)]3

=28.92(5.0 + 4 × 1.0)

9.81 [ 1.0 (5.0+ 2 × 1.0)]3= 2.23

i uporediti ga sa kriticnom vrednoscu (FrK = 1). Posto je Fr > 1, tecenjeu kanalu je u burnom rezimu. Do istog zakljucka moze se doci ukoliko sesracuna kriticna dubina za zadati proticaj Q (odnosno dubina HK pri kojojje Froude-ov broj jednak jedinici) pa se uporedi sa normalnom dubinom HN.Za zadatu geometriju poprecnog preseka bice:

FrK =Q2(b + 4HK)

g[HK(b + 2HK)]3= 1 ⇒ HK = 3

√Q2

gb2

3√

1 + 4HK/b

1 + 2HK/b

Poslednji oblik jednacine pogodan je za resavanje iterativnim postupkom1:

H(i+1)K = 3

√Q2

gb2

3√

1 + 4H(i)K /b

1 + 2H(i)K /b

gde je i – redni broj iteracije. Ako se u prvom koraku uzme H(1)K = 0:

H(2)K = 3

√28.92

9.81× 5.02= 1.50

dobija se:

H(3)K = 1.50

3√

1 + 4×1.505.0

1 + 2×1.505.0

= 1.22 H(4)K = 1.50

3√

1 + 4×1.225.0

1 + 2×1.225.0

= 1.27

1Videti objasnjenje na strani 49.

91

H(5)K = 1.50

3√

1 + 4×1.275.0

1 + 2×1.275.0

= 1.26

Daljim ponavljanjem moze se pokazati da postupak konvergira vrednostiHK = 1.26 m. Ako se sracunata kriticna dubina uporedi sa normalnom, vidise da je HK > HN, odnosno zakljucuje se da je tecenje u kanalu u burnomrezimu.

Kriticna dubina moze da se odre-di i graficki tako sto se, na osno-vu nekoliko sracunatih vrednostiFroude-ovog broja, nacrta dija-gram Fr(h), a zatim se sa njega o-cita HK.

h (m) 1.10 1.20 1.30Fr (–) 1.61 1.19 0.90

Zadatak 3.2. U betonskom kanalu sa Manning-ovim koeficijentom hra-pavosti n = 0.014 m−1/3s i poprecnog preseka kao na slici, kota vode prikojoj se javlja kriticna dubina je HK = 3.0 m. Sracunati pri kom nagibudna kanala je normalna dubina jednaka kriticnoj. Ako se proticaj poveca triputa, da li je za tako sracunat nagib tecenje mirno, kriticno ili burno?

Resenje. S obzirom da je poznata kriticna dubina i geometrija poprecnogpreseka, moguce je sracunati proticaj u kanalu, iz uslova da je Froude-ov


broj jednak jedinici:

Fr =Q2B

gA3= 1 ⇒ Q =

√gA3

B=

√9.81× 17.03

10.0= 69.42 m3/s

Za sracunati proticaj, iz Chezy-Manning-ove jednacine se za poznatu dubinuHK = HN dobija trazeni nagib dna (pri kome ce se u ustaljenom jednolikomtecenju ostvariti dubina jednaka kriticnoj):

Q =1n

AR2/3√

ID ⇒

ID =(

nQ

AR2/3

)2

=

(0.014× 69.4217.0( 17.0

13.07)2/3

)2

= 0.0023 = 0.23 %

Povecanjem proticaja tri puta, Q′ = 3 × 69.42 = 208.27 m3/s, normalnadubina (H ′

N) postaje:

Q′ =1n

A′R′2/3√

ID ⇒ nQ′√

ID= A′R′2/3

60.76 = [17.0 + 10.0(H ′N − 3.0)]

[17.0 + 10.0(H ′

N − 3.0)13.07 + 2.0(H ′

N − 3.0)

]2/3

Dobijena jednacina se moze resiti grafickim putem, metodom probanja ili nu-merickim putem uz prethodno sredivanje u pogodniji oblik. Ako se jednacinadigne na treci stepen, pa se sredi po nepoznatoj H ′

N iz brojioca, dobija se:

H′N =

5√

(2.0H′N + 7.07)2 × 60.763 + 13.0

10.0= 1.55(H

′N + 3.54)0.4 + 1.30

Ovaj oblik jednacine pogodan je za resavanje iterativnim postupkom2:

H′(i+1)N = 1.55(H

′(i)N + 3.54)0.4 + 1.30

gde je i – redni broj iteracije. Polazeci od dubine H′(1)N = 3.0m, u nekoliko

iteracija dolazi se do resenja:

H ′N = 4.95 m

2Videti objasnjenje na strani 49.

93

Kao i u prethodnom zadatku, za proveru rezima tecenja nije neophodnoracunati kriticnu dubinu, vec je dovoljno sracunati Froude-ov broj za nor-malnu dubinu:

Fr′ =208.262 × 10.09.81× 36.53

= 0.91

Kako je Fr′ < 1, zakljucuje se da sa povecanjem proticaja u kanalu rezimtecenja postaje miran.

Zadatak 3.3. U pravougaonom kanalu sirine dna B = 2.0 m, na sirokompragu se ostvaruje kriticna dubina. Gubitak energije izmedu preseka 1 i 2iznosi 30% od kineticke energije u preseku 2, a izmedu preseka 2 i 3 10%kineticke energije u preseku 3. Za preseke 1, 2 i 3, u kojima se ostvarujehidrostaticka raspodelapritisaka, pri cemu niz-vodni uslovi ne uticu nadubinu u preseku 3, sra-cunati i nacrtati kotedna, pijezometarske i e-nergetske kote, Froude-ove brojeve kao i dija-gram specificne energije(razmera 1 : 50

100). Nagibdna kanala je ID = 2 %.

Resenje. Za dati proticaj, dubina H2 u preseku 2 je kriticna dubina iracuna se iz uslova:

Fr =Q2B

gA32

= 1

A2 = BH2

⇒ H2 = HK = 3

√Q2

gB2= 0.972 m

Dubine u presecima 1 i 3 racunaju se pomocu energetskih jednacina, sobzirom da su poznati lokalni gubici energije. Za preseke 1 i 2 bice:

ZD1 + H1 +v21

2g= ZD2 + H2 +

v22

2g+ ∆E1→2


v22

2g=( 6.0

2.0× 0.972

)2 119.62

= 0.486 m

ZD2 = 100.0− 5.0× 0.02 + 1.0 = 100.90 m

∆E1→2 = 0.3v22

2g= 0.3× 0.486 = 0.146 m

⇒

H1 +Q2

2gB2H21

= 2.503 (3.2)

Ova jednacina pogodna je za resavanje iterativnim postupkom3:

H(i+1)1 = 2.503− 0.4587

H(i)1

2

gde je i – redni broj iteracije. Za H(1)1 = 2.503 m, dobija se:

H(2)1 = 2.503− 0.4587

2.5032= 2.430 H

(3)1 = 2.503− 0.4587

2.4302= 2.426

Daljim ponavljanjem moze se pokazati da postupak konvergira vrednosti4

H1 = 2.425 m. Za odredivanje dubine u preseku 3, postavlja se energetskajednacina izmedu preseka 2 i 3:

ZD2 + H2 +v22

2g= ZD3 + H3 +

v23

2g+ ∆E2→3 (3.3)

Nakon zamene ∆E2→3 = 0.1v23

2g, i izracunatih brojnih vrednosti, dobija se:

2.557 = H3 +0.5046

H23

Jednacina je u formi pogodnoj za resavanje iteracijama5:

H(i+1)3 =

√√√√H(i)3

3+ 0.5046

2.557

Ako se u prvom koraku uzme H(1)3 = 0, u nekoliko iteracija dobija se resenje

H3 = 0.495 m.3Videti objasnjenje na strani 49.4Jednacina (3.2) ima jos dva resenja: H

′1 = −0.398 m i H

′′1 = 0.476 m. Prvo fizicki

nema smisla jer dubina ne moze da bude negativna, a drugo hidraulicki nema smisla jerkota nivoa vode u preseku ispred praga mora biti veca od kote vode na pragu.

5Jednacina (3.3) moze da se napise u nekoliko razlicitih oblika pogodnih za iterisanje.Najbolje je koristiti onaj oblik kojim se najbrze konvergira resenju.

95

Velicina, oznaka (jedinice) Izraz 1 2 3Kota dna, Z (m) ZD 100.00 100.90 99.80Pijezometarska kota, Π (m) ZD + H 102.43 101.87 100.30

Energetska kota, E (m) ZD + H +v2

2g102.51 102.36 102.17

Specificna energija, e (m) H +v2

2g2.51 1.46 2.37

Froude-ov broj, Fr (–)Q2B

gA3 0.064 1.00 7.56


Zadatak 3.4. Za kanal trougaonog poprecnog preseka, sa uglom izme-du bokova kanala od 600, horizontalnog dna, nacrtati dijagram zavisnostizbira sile pritiska i inercijalne sile od dubine H , za proticaj Q = 5 m3/s. Pricrtanju dijagrama sracunati tacku minimuma funkcije i po dve tacke levoi desno od minimuma. Koristeci nacrtanu funkciju, odrediti potrebnu (niz-vodnu) dubinu H2 za formiranje hidraulickog skoka ako je uzvodna, dolaznadubina H1 = 1.00 m.

Resenje. Zbir sila pritiska i inercijalne sile u jednom preseku je:

P + I = pTA + ρQv = ρgH

3H2

√3

3+ ρQ

Q

H2√

33

(3.4)

P + I = ρg

√3H3

9+ ρQ2 3

H2√

3(3.5)

Minimum funkcije moze se dobiti izjednacavanjem prvog izvoda d(P +I)/dHsa nulom ili trazenjem kriticne dubine (znajuci da je za kriticnu dubinu zbirinercijalne sile i sile pritiska minimalan).

Fr =Q2B

gA3=

Q2 2√

33 H

g(√

33 H2

)3 = 1 ⇒ HK = 5

√6Q2

g= 1.73 m

Hidraulicki skok je lokalna pojava koju opisuju jednacina kontinuiteta i di-namicka jednacina primenjena na konacnu zapreminu izmedu preseka 1 i 2.Prema dinamickoj jednacini, vektorski zbir svih sila na konacnu zapreminuje nula, odnosno:

i=n∑

i=1

~Fi = 0 (3.6)

Horizontalna komponenta tezine vode ( ~G), odnosno komponenta u pravcutecenja, jednaka je nuli. Takode, zbog prizmaticnosti kanala, komponenta

97

sile konture na fluid ( ~K) u pravcu tecenja je nula dok se zbog relativno kratkedeonice za koju se pise dinamicka jednacina, sila trenja (~T ) moze zanemariti.Dinamicka jednacina se tako svodi na sledecu jednakost:

P1 + I1 = P2 + I2 (3.7)

Na osnovu dijagrama zavisno-sti sile od dubine, jednacina hi-draulickog skoka (3.7) moze seresiti grafickim putem, ocitava-njem dubine H2 sa dijagramakoja ce se spregnuti sa dubinomH1 u skok. Za H1 = 1.00 m, do-bija se dubina H2 = 2.76 m.

H (m) P + I (kN)0.50 173.441.00 45.191.73 24.242.50 36.433.00 55.79

Zadatak 3.5. Na slici je prikazano potopljeno isticanje iz kolektorakruznog preseka u kanal sa slobodnom povrsinom. Kanal je pravougaonogpoprecnog preseka, horizontalnog dna, sirine iste kao i precnik kolektora. Priproticaju Q = 2.0 m3/s, na pocetku kanala (u preseku 1) izmerena je dubinaH1 = 3.0 m. Odrediti povecanje nivoa vode izmedu preseka 1 i preseka 2 uzsledece pretpostavke:

– isticanje iz kruznog kolektora je bez kontrakcije,


– kota nivoa u preseku 1 je pijezometarska kota za ceo presek, ukljucujucii presek mlaza,

– zanemaruje se trenje izmedu preseka 1 i 2,

– u preseku 2 je merodavna srednja brzina za ceo presek.

Resenje. Zadatak se resava primenom jednacine kontinuiteta i dinamickejednacine za preseke 1 i 2, odnosno:

P1 + I1 = P2 + I2 (3.8)

Prema uslovima zadatka, sila pritiska i inercijalna sila u preseku 1 su:

P1 = pT1 A1 = ρg

H1

2H1B = 44.145 kN

I1 = ρQvKOL = ρQ4Q

D2π= 5.093 kN

a u preseku 2:

P2 = pT2 A2 = ρg

H2

2H2B = 4.905H2

2

I2 = ρQv2 = ρQQ

H2B= 4.00H−1

2

Na osnovu jednacine (3.8) sledi6:

44.145 + 5.093 = 4.905H22 + 4.00H−1

2 ⇒ H2 = 3.127 m

Trazeno povecanje nivoa vode je:

∆H = 3.127− 3.00 = 0.127 m

Zadatak 3.6. Na slici je prikazan pravougaoni kanal sirine B = 5.0 mi koeficijenta hrapavosti po Manning-u n = 0.015 m−1/3s sa promenom na-giba dna. U deonicama kanala 1 i 2 normalne dubine su HN1 = 0.7 m i

6Dato resenje dobija se pomocu iterativne formule H(i+1)2 =

3√

10.038H(i)2 − 0.8155 ;

druga dva resenja (H′2 = −3.208m i H

′′2 = 0.081 m) ocigledno nemaju smisla.

99

HN2 = 2.0 m. Sracunati proticajkanalom, nagib dna kanala u de-onici 1 (ID1) i skicirati slobodnupovrsinu nivoa vode na mestuspajanja dveju deonica kanala.

Resenje. Proticaj kanalom se racuna iz uslova da je u deonici 2 poznatanormalna dubina:

Q =√

ID2

nA2R

2/32 =

√0.001

0.0155.0× 2.0

(5.0 × 2.0

2 × 2.0 + 5.0

)2/3

=

= 22.62 m3/s

Na osnovu sracunatog proticaja i podatka da je u deonici 1 normalna dubina,racuna se nagib dna kanala:

ID1 =

(nQ

A1R2/31

)2

=

0.015× 22.62

5.0× 0.7(

5.0×0.72×0.7+5.0

)2/3

2

= 0.021 = 2.1 %

Da bi se skicirala linija nivoa na mestu promene pada dna kanala, potrebnoje prvo sracunati kriticnu dubinu (iz uslova Fr = 1):

Fr =Q2B

gA3=

22.622 × 5.09.81(5.0HK)3

= 1 ⇒ HK = 3

√22.622

9.81× 5.02= 1.28 m

Kako je HN1 < HK (u deonici 1 je burno tecenje), a HN2 > HK (u deonici 2je mirno tecenje), prelaz iz burnog u mirno tecenje je moguc samo prekohidraulickog skoka. Da bi se odredio polozaj skoka, potrebno je sracunatidubinu H

′1 koja se sa dubinom H1 moze spregnuti u skok:

P1 + I1 = P2 + I2

158.15 = 24.525H′21 +

102.30H ′

1

⇒ H ′1 = 2.12 m

Da bi se hidraulicki skok formirao tacno na mestu promene nagiba dnakanala, potrebna je nizvodna dubina H ′

1 = 2.12 m. Kako je HN2 < H ′1,

hidraulicki skok ce biti “odbacen”, odnosno pomeren nizvodno. Za hidrau-licki skok u nizvodnoj deonici, dubina iza skoka je H

′2 = H2N = 2.0m. Treba,

dakle, sracunati dubinu H2 ispred skoka, tako da bude spregnuta sa dubinomH

′2 iza skoka, i to iz uslova:

P2 + I2 = P2N + I2N


24.525H22 +

102.30H2

= 149.25 ⇒ H2 = 0.76m

Zadatak 3.7. Na laboratorijskoj instalaciji, pravougaonom kanalu sirinedna B = 0.1 m i horizontalnog dna, izmerene su dubine H1, H2 i visinapraga p. Ukoliko se zna da je lokalni gubitak energije od preseka 3 do praga30 % od kineticke energije na pragu (na pragu se ostvaruje kriticna dubina),izracunati proticaj u kanalu QPR. Iz izmerenih podataka o dubinama ispredi iza hidraulickog skoka (H1 i H2), izracunati proticaj QHS. Tako sracunatproticaj uporediti sa proticajem QPR dobijenim iz uslova da je na pragukriticna dubina. Pod pretpostavkom da su sve dubine tacno izmerene i daje podatak o koeficijentu lokalnog gubitka pouzdan, komentarisati dobijenurazliku u izracunatim protocima.

Resenje. Postavljanjem dinamicke jednacine za preseke 1 i 2, racuna seQHS:

P1 + I1 = P2 + I2 ⇒ 0.07 + 833333Q2HS = 19.62 + 50000Q2

HS

⇒ QHS = 5.00 l/s

Na osnovu energetske jednacine, znajuci da se u preseku na pragu ostvaruje

101

kriticna dubina i znajuci lokalne gubitke energije izmedu preseka 3 i presekana pragu, dobija se proticaj QPR:

H3 +v23

2g= p + HK +

v2K

2g(1 + 0.3) ⇒

H3 +Q2

PR

2gB2H23

= p + HK +Q2

PR

2gB2H2K

(1 + 0.3)

S obzirom da su u jednacini nepoznati proticaj QPR i dubina vode na praguHK, koristi se veza:

Fr =Q2

PRB

gA3= 1 ⇒ Q2

PR = gB2H3K

Nakon elementarnih transformacija, dobija se jednacina po HK:

0.2 +H3

K

2 × 0.22= 0.098 + HK +

1.3HK

2⇒ HK = 0.064 m

pa je “tacni” proticaj:

QPR =√

gB2H3K = 5.05 l/s

Vrednost QPR je nesto veca od QHS, sto je moglo i da se ocekuje zato stoje pri proracunu proticaja preko spregnutih dubina u dinamickoj jednacinizanemarena sila trenja (koja deluje u smeru suprotnom od smera tecenja ikoja je na kratkim rastojanjima obicno mala u poredenju sa drugim sila-ma). Ovaj zakljucak, da se zanemarivanjem trenja dobija manji proticaj,nelogican je samo na prvi pogled. Napominje se jos i da, ukoliko kanalnije horizontalan, u dinamickoj jednacini se pojavljuje i komponenta siletezine u pravcu toka. Zanemarivanjem ove sile (sto je opravdano samo zarelativno male nagibe dna), dobija se nesto veci proticaj od stvarnog, postokomponenta sile tezine u pravcu toka deluje u smeru tecenja.

Zadatak 3.8. Na slici je prikazan pravougaoni kanal horizontalnog dna,sirine B = 3.0 m sa trougaonim suzenjem (presek 3). Za dati proticajQ = 4 m3/s, odrediti dubine vode u suzenju H3, neposredno ispred suzenjaH2 i dubinu H1 koja se spreze u skok sa dubinom H2. Pretpostaviti dasu gubici energije izmedu preseka u suzenju i ispred suzenja zanemarljivi.Dubinu H2 racunati za puni (pravougaoni) presek a dubinu H3 za suzeni(trougaoni) presek. Nizvodni uslovi ne remete tecenje kroz suzenje, tako


da je omoguceno formiranje kriticne dubine u suzenju. U pogodnoj razmerinacrtati pijezometarsku i energetsku liniju.

Resenje. Prema uslovima datim u zadatku, u suzenom preseku 3 se for-mira kriticna dubina, definisana sa:

Fr =Q2B

gA3= 1 ⇒

Q2 2× 1.52.5HK

g(

1.52.5H2

K

)3 = 1 ⇒

HK = 5

√√√√√2Q2

g(

1.52.5

)2 = 1.554 m, E3 = 1.942 m

Dubina vode u preseku 2 se racuna iz energetske jednacine:

H2 +v22

2g= HK +

v2K

2g⇒ H2 +

Q2

2gB2H22

= HK +v2K

2g⇒

H2 = 1.917 m, E2 = 1.942 m

dok se dubina u preseku 1 dobija iz dinamicke jednacine uz zanemarenje siletrenja:

P1 + I1 = P2 + I2 ⇒ ρgH2

1

2B + ρQv1 = ρg

H22

2B + ρQv2

14715H21 +

5333.3H1

= 56858 ⇒ H1 = 0.094 m E1 = 10.31 m

Do istog resenja za dubinu H1 se moglo doci i koriscenjem jednacine:

103

H1 =H2

2

(√1 + 8Fr2 − 1

)

koja se takode dobija primenom dinamicke jednacine za pravougaono korito,nakon zanemarenja sile trenja i elementarnih transformacija.

Zadatak 3.9. Radi ispitivanja tecenja preko sirokog praga u labora-torijskom kanalu pravougaonog poprecnog preseka sirine dna B = 0.2 m,nagiba dna ID = 0.5 % i hrapavosti po Manning-u n = 0.013 m−1/3s, us-postavljeni su uslovi kao na slici. Izmerena dubina vode u preseku 4 jeH4 = 0.117 m. Pretpostavlja se da nizvodno od preseka 4 nema nikakvihporemecaja, pa se moze smatrati da je H4 normalna dubina. Skicirati linijunivoa ako je prelivanje preko sirokog praga nepotopljeno a hidraulicki skokse formira izmedu preseka 3 i 4. Gubitak energije izmedu preseka 1 i 2 je10 % kineticke energije u preseku 2.


Resenje. S obzirom da je omoguceno nepotopljeno prelivanje preko sirokogpraga, na pragu se ostvaruje kriticna dubina, a nizvodno se formira burnotecenje (presek 2), H2 < H1. Izmedu preseka 3 i 4 se formira hidraulickiskok, sa uzvodnom dubinom H3 > H2, a nizvodnom H4 = HN = 0.117 m.Na osnovu ovih podataka, moguce je skicirati liniju nivoa. Na osnovu poda-tka da je u preseku 4 normalna dubina, racuna se proticaj u kanalu:

Q =√

ID

nAR2/3 =

√0.005

0.0130.2× 0.117

(0.2× 0.117

2 × 0.117 + 0.2

)2/3

=

= 18.17 l/s

Na pragu se ostvaruje kriticna dubina H1 = HK:

Fr =Q2B

gA3= 1 ⇒ HK = 3

√Q2

gB2= 0.094 m, EK = 0.157 m

dok se dubina u preseku 2 dobija iz energetske jednacine (uz zanemarenjepromene kote dna izmedu preseka 1 i 2):

p + HK +v2K

2g= H2 +

v22

2g(1 + 0.1)

0.157 = H2 +1.1 Q2

2gB2H22

⇒ H2 = 0.074 m E2 = 0.151 m

Dubina u preseku 3 je dubina koja se sa H4 spreze u skok, pa se racuna izdinamicke jednacine (pri cemu se pored sile trenja zanemaruje i komponentasile tezine u pravcu toka):

P3 + I3 = P4 + I4 ⇒ ρgH2

3

2B + ρ

Q2

BH3= 27.68 ⇒

H3 = 0.075 m E3 = 0.150 m

105

Zadatak 3.10. Iz rezervoara u kome se odrzava konstantan nivo isticevoda kroz kratki pravougaoni kanal na cijem kraju se nalazi ustava kojasluzi za regulisanje proticaja. Dno kanala je horizontalno. Gubitak energijeizmedu nekog preseka 0 u rezervoaru (gde je brzina priblizno jednaka nuli) ipreseka 1 iznosi 10% kineticke energije u preseku 1, a gubitak izmedu preseka1 i 2 iznosi 15 % kineticke energije u preseku 2. Isticanje ispod ustave jeuvek slobodno, a koeficijent kontrakcije mlaza CA = 0.7. Nacrtati dijagramproticaja kroz kanal u zavisnosti od visine dizanja ustave za raspon U od 0do 0.3 H0.

Resenje. Postavljanjem dve energetske jednacine, za preseke 0 i 1, od-nosno 1 i 2, dobijaju se dve jednacine sa dve nepoznate, dubinom H1 iproticajem Q. Pri tome se smatra da je visina dizanja ustave U = H2/CA

poznata, jer se ona nezavisno zadaje u rasponu od 0 do 0.3H0.

H0 = H1 +v21

2g(1 + 0.1) , H1 +

v21

2g= H2 +

v22

2g(1 + 0.15)

Sabiranjem ove dve jednacine dobija se:

H0 = H2 + 0.1v21

2g+ 1.15

v22

2g

Ova jednacina se, uz primenu jednacine kontinuiteta Q = v1H1B = v2H2B ,moze napisati u obliku:

Q =0.7√1.15

UB

√2g(H0 − 0.7U)− 0.1

(Q

BH1

)2

Dalje se proracun obavlja iterativno:

Q(i+1) = 1.632U

√√√√19.62(2.0− 0.7U)− 0.016

(Q(i)

H(i)1

)2

H(i+1)1 = 2.0− 0.009

(Q(i+1)

H(i)1

)2


gde je i – redni broj iteracije. Ako se, za nekoliko visina dizanja ustave, uprvoj iteraciji uzmu vrednosti koje odgovaraju zatvorenoj ustavi (U = 0),odnosno Q(1) = 0, H

(1)1 = 2.0 m, dobija se da postupak prakticno konvergira

resenju iz par iteracija (vidi tabelu).

U/H0 (–) 0.1 0.2 0.3U (m) 0.200 0.400 0.600Q(2) (m3/s) 1.972 3.792 5.451H

(2)1 (m) 1.991 1.968 1.933

Q(3) (m3/s) 1.971 3.789 5.440H

(3)1 (m) 1.991 1.967 1.929

recenje sa slobodnom povrsinom

Documents