ËSIRËPIQHS E AKILBUPER

SËCNEKHS E EHD TIMISRA E AIRTSINIM EVEMIVORP E ERATËBMOK AICNEJGA

BMOK ADAIPMILO Ë KITAMETAM E ERAT ËS

2102 romisëm itiV - 3102 ëtert e azaF 01 asalK

.1 06 = B( ,CBA nihsëdnëkert ëN 0 omsyjgrëp ) inovorP .O nëkip ën netirp EC ehd KA ter

.EO = KO ëq

EJHDIJGZ

Kë idn 021=COA o k= ë .KOE nidn taK ë kr ë dn ë thsaj i KOEB tihs ë jn tehurkhs ë hterr OB.

ë ths ë pë k e eromsyjgr ë q htejrr agN .B tidn ë naj KO ehd EO tadrok ë të .atrabarab

.2 ninoicauke inhdijgZ 111111 ......0110012121110110120121011

x

EJHDIJGZ

111111111111 ).......1().........1(0110012121101011012012101001

x

thel ehihS ë n tejherphs es ë naj apallk ë të led jadnarp, atrabarab 101001

x .01=x ;

.3 y7 + x9 ajherphs erehëta 71 em tehotsejptolp y2 + x5 ajherphs esën ëq inotetrëV

tolp .71 em tehotsejp

EJHDIJGZ

y4+x01+y71+x71=y12+x72=)y7+x9(3 thtajd e ana s.q.M.)y5+x2(2+)y+x(71= ë tolp ë ta 71 em tehotsejp ë thtajd e ana ehde ereh ë tod ë tolp ë 71 ehd 3 s.q.M. 71 em tehotsejp

nak kun ë t seutsejp ë pë khsabr ë q hdejrr t ë tolp y7+x9 ë .71 em tehotsejp .4 ëjnirb em ihsëdnëkerT a , b ehd c .1 em ëtrabarab ët thsikirmun nënirpys ak e

ruk ëq inotetrëV cba a erehët 2b

EJHDIJGZ

hS ë mjon ë hb tral ë nis ë b ibm . imeK b h. b 2=S2= c imeK . hb b hdejrr agn h .b Që kë led utqë b2 .2

.5 nimizarabsom inotetrëV 368 01xxxx odç rëp Rx

EJHDIJGZ

Pë imizarabsom 0<x r ë ths ë v i ë tetr ë x espes 3 x ehd naj ë .0< Pë tjam e ana 1>x r ë ehurkhs x( t 5- x()1 3 alice,1+)x+ ë ths ë 0> Pë 1<x<0 r t tehud ë mjovorp ë që x3-x6 x+ - x<1 8 tjam e anA. ë x( tehurkhs - +)1 x( 3-x6 =)

x-1- 14

-(x6-x3+ 14

x(=) - )1 - 14

- x( - 12

)2 alice , ë ths ë x roP .0< 8 imizarabsom arP.0> ë ths ë i

vë tetr ë.

Rruga: Naim Frashëri, Nr. 37, Tiranë Web site: www.akp.gov.al

Tel/fax.+355 4 2419257

AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE

OLIMPIADA KOMBËTARE E MATEMATIKËS

Viti mësimor 2014-2015 Faza e tretë Klasa X

koha 3 orë

1. Vërtetoni barazimin 43 2 5 2 6 1− ⋅ + =

Zgjidhje

24 ( 3 2) (5 2 6) 1− ⋅ + =

(3 2 6 2)(5 2 6) 1− + + =

(5 2 6)(5 2 6) 1− + =

25 4 6 1− ⋅ =

1 = 1

Rruga: Naim Frashëri, Nr. 37, Tiranë Web site: www.akp.gov.al

Tel/fax.+355 4 2419257

2. Jepet segmenti AB dhe një pikë C brenda tij. Në të njëjtën anë të AB (në të njëjtin gjysmëplan)

ndërtohen trekëndëshat barabrinjës ADC dhe CEB. Shënojmë F mesin e brinjës DE. Gjeni

bashkësinë e pikave të planit që përshkon pika F, kur pika C lëviz në segmentin AB.

Zgjidhje

Zgjatim AD dhe BE dhe shënojmë G pikën e prerjes së tyre. Katërkëndëshi ECDG është

paralelogram dhe pika F është pika e prerjes së diagonaleve (vërtetim). Kur pika C lëviz në AB nga

A në B,pika F lëviz nga mesi i brinjës AG për në mesin e BG përgjatë segmentit që lidh këto dy

pika. Në bazë të të dhënave të problemit skajet duhen përjashtuar.

Bashkësia e pikave F është vija e mesme e trekëndëshit barabrinjës ABG paralele me AB.

3. Krahasoni numrat 3 303

me 2 454

Zgjidhje

3 303

= 3*3 302

= 3*9 151

>3*8 151

= 3*2 453

>2 454

4. Jepet numri real a. Gjeni të gjithë numrat realë b, të tillë që për çdo numër real x të paktën njëri

prej numrave x2 + ax + b dhe x

2 – ax + b të jetë jonegativ.

Zgjidhje

(x2 + ax + b) + (x

2 – ax + b) = 2x

2 + 2b

Nëse b ≥ 0, atëherë 2x 2 + 2b ≥ 0 për ccdo numër rel x. Prej këndej arrijmë në përfundimin që të

paktën njëri prej faktorëve x2 + ax + b dhe x

2 – ax + b të jetë jonegativ

Nëse b < 0, atëherë për x = 0, atëherë të dyja shumat janë negative. Pra, bashkësia e numrab që

plotësojnë kushtin është b ≥ 0.

Rruga: Naim Frashëri, Nr. 37, Tiranë Web site: www.akp.gov.al

Tel/fax.+355 4 2419257

5. Gjeni të gjithë numrat realë a që ekuacioni 3 2( 4)x ax a+ − + = 0 të ketë dy rënjë të ndryshme

reale.

Zgjidhje

3 2( 4)x ax a+ − + = (x – 2) (x 2 + 2 x + (a + 4)) . Pra x = 2 është rrënjë e ekuacionit

3 2( 4)x ax a+ − + = 0. Dallojmë dy raste:

Nëse x = 2 është rrënjë e vetme, atëhere x 2 + 2 x + (a + 4) duhet të ketë vetëm një rrënjë, dallori 0,

4 – 4(a + 4) = 0 jep a = – 3

Nëse x = 2 është rrënjë e dyfishtë, atëhere x = 2 duhet të jetë rrënjë e x 2

+ 2 x + (a + 4) , prandaj 2

2 + 2· 2 + (a + 4) = 0 që jep a = – 12. Por meqënëse x

2 + 2x – 8 ≠ (x – 2)

2 rrënja tjetër do të jetë e

ndryshme nga 2.

Pra të vetmet mundësi janë a = – 3 dhe a = – 12.

Rruga: Naim Frashëri, Nr. 37, Tiranë Web site: www.akp.gov.al

Tel/fax.+355 4 2419257

AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE

OLIMPIADA KOMBËTARE E MATEMATIKËS

Viti mësimor 2014-2015 Faza e tretë Klasa X

koha 3 orë

1. Vërtetoni barazimin 43 2 5 2 6 1− ⋅ + =

Zgjidhje

24 ( 3 2) (5 2 6) 1− ⋅ + =

(3 2 6 2)(5 2 6) 1− + + =

(5 2 6)(5 2 6) 1− + =

25 4 6 1− ⋅ =

1 = 1

Rruga: Naim Frashëri, Nr. 37, Tiranë Web site: www.akp.gov.al

Tel/fax.+355 4 2419257

2. Jepet segmenti AB dhe një pikë C brenda tij. Në të njëjtën anë të AB (në të njëjtin gjysmëplan)

ndërtohen trekëndëshat barabrinjës ADC dhe CEB. Shënojmë F mesin e brinjës DE. Gjeni

bashkësinë e pikave të planit që përshkon pika F, kur pika C lëviz në segmentin AB.

Zgjidhje

Zgjatim AD dhe BE dhe shënojmë G pikën e prerjes së tyre. Katërkëndëshi ECDG është

paralelogram dhe pika F është pika e prerjes së diagonaleve (vërtetim). Kur pika C lëviz në AB nga

A në B,pika F lëviz nga mesi i brinjës AG për në mesin e BG përgjatë segmentit që lidh këto dy

pika. Në bazë të të dhënave të problemit skajet duhen përjashtuar.

Bashkësia e pikave F është vija e mesme e trekëndëshit barabrinjës ABG paralele me AB.

3. Krahasoni numrat 3 303

me 2 454

Zgjidhje

3 303

= 3*3 302

= 3*9 151

>3*8 151

= 3*2 453

>2 454

4. Jepet numri real a. Gjeni të gjithë numrat realë b, të tillë që për çdo numër real x të paktën njëri

prej numrave x2 + ax + b dhe x

2 – ax + b të jetë jonegativ.

Zgjidhje

(x2 + ax + b) + (x

2 – ax + b) = 2x

2 + 2b

Nëse b ≥ 0, atëherë 2x 2 + 2b ≥ 0 për ccdo numër rel x. Prej këndej arrijmë në përfundimin që të

paktën njëri prej faktorëve x2 + ax + b dhe x

2 – ax + b të jetë jonegativ

Nëse b < 0, atëherë për x = 0, atëherë të dyja shumat janë negative. Pra, bashkësia e numrab që

plotësojnë kushtin është b ≥ 0.

Rruga: Naim Frashëri, Nr. 37, Tiranë Web site: www.akp.gov.al

Tel/fax.+355 4 2419257

5. Gjeni të gjithë numrat realë a që ekuacioni 3 2( 4)x ax a+ − + = 0 të ketë dy rënjë të ndryshme

reale.

Zgjidhje

3 2( 4)x ax a+ − + = (x – 2) (x 2 + 2 x + (a + 4)) . Pra x = 2 është rrënjë e ekuacionit

3 2( 4)x ax a+ − + = 0. Dallojmë dy raste:

Nëse x = 2 është rrënjë e vetme, atëhere x 2 + 2 x + (a + 4) duhet të ketë vetëm një rrënjë, dallori 0,

4 – 4(a + 4) = 0 jep a = – 3

Nëse x = 2 është rrënjë e dyfishtë, atëhere x = 2 duhet të jetë rrënjë e x 2

+ 2 x + (a + 4) , prandaj 2

2 + 2· 2 + (a + 4) = 0 që jep a = – 12. Por meqënëse x

2 + 2x – 8 ≠ (x – 2)

2 rrënja tjetër do të jetë e

ndryshme nga 2.

Pra të vetmet mundësi janë a = – 3 dhe a = – 12.

/ J& A + - + - A - A - -

t k3 m

I - - I I - / + - . + - - C

$1 t3 tc, nL