razred 6 - stanko prvanovic - zbirka matematickoh zadataka

STANKO PRVANOVIC

ZBIRKA MATEMATIEKIHZADATAKA

za Vl razred osnovne Skole

Zadaci i velbanja za sve udenike o Zadaai i pri-lozi za naprednije udenike i mateniatidke grupe o

Zanirrljivosti i malo istorijeIII IZDANJE

NoYlNsKo"IzDAvACKo PnEDUZECBIIHNICKA f,NJIGA

BEOGRAD 1968.

MIRKO STOJMC

Stampa" Bosadski srafilki zavoal, Beosad, Bulevar vojvodc Misiaa u

UMESTO PREDGOVORA

Arihctidkim materijalom, detim u ovoj knjizi, u!.nici sc dit!Geom.rrijskim mar.rijalom s oni (pduptro) osDosobudiaju i a

dokazivlnj. (obrazloterj) pojedinih stavova i konsrrukcija. To je imosude i neophodno. Ali *! pri tonrc, napulta klasilni nacin dokrzivanja(uelavnom ponoau podudarnodi rrouglova). Drug., ssvr.mene melode,posebno traBfornacij.. 3u nc samo el.sanrnije neso i dalel,o pristu-pa.njje za ovaj uzd,'.

Un.ti istorijski natrijal illll smo )propedevtiaki( karakt.r. U3lededim knjisama se malo blite, opc( koli&o je prhrupalno. prilaziDojedinim pirarjim i isrorijskin lianosrim..

Z^ Ptvt deo o\a zbirke prilose su dali:Ljubomn Vukovic tlj. v.l, naskvnik u Novom B.osndu;Luka Pcjovid lL P.l, n.stavnik u TitosladuiMarin Bad.vit IM. B.l, nastavnit u Pdmbukovici iMilarta Gvozd.novie fM. c.l, oasrawik u SapcurOlivefr Kostia [O. K.), nasravnik u Novom Beocradu;Risto Jovanovski [R. J.l. lastavnik u Novom [email protected] takev prilog oznaler je inicijalima autora, na p.imer IU, V.l.Sv 6talo .astavio j. St.nko Prvanovia.

NAPOMENE U.ENIKU

hrakrlii dndtveni i politidki rsdnik Sovjetskog Savza M, L Ka"linjin rekao je, obra6ajuei se sovjetskin u!ricina:

,,Kojt eod aauku da izui@at., u koju so.! tiiu Skolu da stupite, kojieo.l pos@,la oba Jate, ako hoaet. da tar,o osl@ite neki bds, uiro jeda zrate tutetuIikl."

Ova -tnjiea de ti, pored nasbwjka i drueih tljiga, potnoai dauspesnije i brZe savladaS maten.iiku. Ali ona neae stm! pomoai. T.ebati to da ho"es. A ti tes hteti ako budes odlr o i, po stak, cenu, ruetoj@ da eaki priwt, eaki za.latak sanostalro teiii, da pre neso ito is-ctpei sw Neultusti ne t Zi! tuifu potu1 ill eleddl Uptts|a.

Samostalno resavanje matemallakih zadataka je stvar nisljenja i uto6 pogledu se ne mogu daii neki opsti saveti. Ali jedno l.eba stalnoimati na umu: Sposobnost rasudivdja i zar!$ivanja, pa prema tomei sposobrost reSavanja matematiakih zadataka sti{E se dueokajnim i u-pornim radom, resavanjen. Niko jos, ri najdarovitiji tovek, nije se ospo-sobio da re

2) V^tE li r^ pravila za deljivost decimalnih brojeva?3i Napisi 5 brojeva deljivih i brojern 2 i brojem 5li U-..to znaka x stavi cifru tako da pri deljenju

Uroien s:'p*og- Lroia ostatak bude I' drugog broja ostarakbud; 2 itd.: 42xi 54x; lSxi 927x.

5. l) IskaZi i obrazlozi pravilo deljivosti: (l) brdjem9: (2) broiem 3.'

zi w"i je sisurno deljiv brojem 3 ako je deljivbrojem 9. Zalto?

3) v^ie li prethodna pravila za detjenje decimalnihbroieva?

4) Naoisi 5 brojds deljivih broj'm 9 i 5 brojcva deljivib snob.ojcn 3. lr-j. Y'l

5l Stevi Dolrbne cilre lako da:rl! l8;x i 7r8x budu deljivi brojevim 2 i 9r IM B!izl o^s' i aoo budu dcljivi brojevima t i l: lM Glrli lTrx i 29rt budu dcljivi brojevima 5 i 9

r" i.rl"iri r l.oi."a tako da svaki bude deljiv:;tii broiem 2 i brojm li (4) ibrojcm 5 ibrojehg;izi i oro]en r i orojem:: (t' brojevima 2' 3 i 5iili I r."].* z i t'i"' g; (6) broievim 2' 5 i e

5' l) Najpre proveri a zatim obrszloii Eiojenice:(1) zbir parnih brojeva je paran brojizi zoit pu-og i neparnos broja je neparad btoj'

2r iz f2) izvedi iakliulak za: (l) zbir parnog brojanedarnih s;bkaka; (2) neparnog broja neparnill sabrraka'

3l lsoi@i u pogledu pernosti proizvod:rrr ava oirnd ciiioci; - (3) jednog pamoe i jed-nog neparnog;iij a'" ["p"; ci"tda; a4i vise nepsrnib cinilaca'

?. Je li Droizvod:rti dva uzastopna broja deljiv brojen 2?izi t'i "-*op* neryno bto'ts deljiv brojen 3?i3i t.i uzastopna broia deljiv i brojern 2 i brojem 3?

Detiivdsi (odnosno nedeljivost) utvrdi na primerlma' azatim (siki sluaai) obrazlofi'

s. l) Koji je od slededih blojeva prosti broj:(t) 1421, 313' 1473;8

II

i

I

I

(z) 239, 641, ?69, 9s3? [L. P'l2) Nepili Proizvoljne brojeve i ddredi ptoste i slozene'3) Koliko lretie nsidanie dodati broju 1274 pe da:

{t) novi b;oibude dcljiv broFm t: (2) ostatat delienit broiem 9L,iai z; f:i pti delj;nju biojem 5 ostatak bude 4?

4) Koliko tret'a nsjDanje dodati koju 427 Pe dateko dobiieni broj bude delj-iv: (l) i brojm 2 i brojem 9;(2)ibrojem5ibrojem9?

5) Koliko treba najdaoje oduzeti od 4560' pa danovi broj'bude deljiv i brojen 2 i brojem 9?

9. l) Rastavi na proste tinioce brojeve: 150; 1000;144;3606; 169;999i 6606. [R J.!

2l NsDili kro proizvod proslih 'inilact

broj: 800;432; 363; 1998; 945; 8 830 395 tl-j. v.l

to. l) Isoitai. rastavtjanjem na 6;nioce, da Ii je deljiv broj:rl) 518 blojeir i4: (2) i25 460 brojem 6ls'

2r rzvrsi rastevlianiem na Einioc! deljenia:345:15;968 : 22f 60 048 : 56; 5 i54i99 : 132 612:. 212: 146952"942:380952:936. tR. J.l

3) (l) 56? : 45 -

(7 . 9 . 9) : (5 9):(7 9):s::63'.5:t2,6.

(2) ?45:58 -(5 149):(2 29)- '4) Kad ie, dakle. deljenik (uoplte broj a) deljiv deli-

ocem (uoplle brojem, )? Iskazi ainjeDicu'' it r"a .o brojevi (detenik i delilac) slo'eni' dcljenjetreua wliii welr rasovijanjern ;a tinioce (kao proizvod pro-izvodom). Ali kBd deljeDik nije deljiv dcliocem treba pazrtrn" o"torit, n" p.i^"., ?05:45 - (3 5 53):(l 3 5)= 53:3: l7i ostatak 30. zasto?

6) Uzdi sal! razna deljenja i izvr$ ih'7) Izvrsi, rastavljaniem na Einioce, deljenja: 7,2:0'32;

O,l2: 0,016; 33,9 : 226 j 48 : 0,00096; ?64,5 : 30,58; "'8) Kad ie. dakle, jedan broj deljiv brojem' na primer:

7i tt; 131, 11; i3; 4; 8; 10; 9i 25: 6t'lrr. l) Napili sve ainioce (d.lioce) broja 12 i broj' ?'' Napiti za_

jednidke delioce (nioloce) tih brojeva. To se mo,e krrtto napis&riz. d. (l2i 20) . .. l, 2 I 4.

Napisi z. d. brojeva: (1) l8 i 24; (2) 56 tlmi Gr26,52i65t(4rt5 i45i(5) 8, 32 i 80i (6) 5 j 8,2) Uvel po.toji jedan ?.d. da,ih brojeva. Imenuj ea. Ako skupbroieva ina zajednicki delih. samo bjoi t. ori se zo\u nedulobno ptosii

btojevl. na vinet: I i 4: 7. 8 i e. \ap,3r jor I skup. medusobno p;on,holoj"'" ,, *oj' ie raiveci od detitae brojeva 8 j r2.r To se, krarro,

p;Se: n.z.d. (8; 12, 4. Odredi i n!!isi n.z.d. b-ojera: (r, l0 i 42: r2)16 i 48: rJ' 60 i 90: (4r 9 i 45: (5r 72, 90 i lO8; (6) il5;(7)t5i i6i(8) 6, 8, 1r i 12.

12. l) N.p:ii lekoliko zarednickrb sadrlajaca brojeva: (t) 3 i 12i(2)5i7:rJ,si lljr416i i0:(5)9i l5i(q3,5 i ?.A r/ralunaj rajmanji zajedni.ki raddalac (n.z.s.) broieva: ( t,2,6:,2) 8 i24: (r) J.4r 12:,4r 6.8i9,\5) 56 I 631t,tr 45 i 3oO; (7)

105, 140 i 126; (8) 69, 150 i 92. [O. K.]13. S jedne strane puta .astu stabla drve{a na meilusob-

nom odstojanju od 24 m. S druge strane puta zabijeni su te-legrafski stubovi na medusobnom odstojanju od 15 m. Tadnonaspmm jednog stuba ,4 lasie drvo ,. Da li ima jos takvih pa-rova (stubova i stabala)? Ako ima, koliko iznosi duzina odsto-janja od I (ili 3) do prvog taklog para?

14. 1) Na pitanje iz koliko kDjiga se sastoji njegova biblio-te\a. uien'k je odgovorio:

"lnam manje od 50. Mogu ih sto-;iLi u svom ormatraiiu r po 6 i po 8 na svaloj polrci.,.2) Drugi udenik kaze: )Ja imam manje od 100 knjiga

i bilo da ih slazem po 8 ili po 6 ns jednoj polici, uvek ostaju 3. izmedu brojeva:'1.1. l.l. l t I 1 1 I-r-:;-r ;-r-;-, - . :i_::3 712 948 40 2111 99 40'llll90 900 503 999

3) uporedi brojev: tr) I i ?; fzrl!. 4. t2 it7.7 7 . t3 13 13 ll4) upored; brojve: !, -3, 3, 3.

-3 I 3.485107IJ5) Napisi: (1) najvedi broj diji je brojilac l;(2) najnanji brcj ciji je brojilac I (!);

'(3) najve6i broj diji je imnilac 79.6) (t) Koliko put4 je vedi: troj I od broja j;broj

I oa troia -!t9"9(2) Napisi broj koji je: 4 pura vedi od 1; 12 putalt

.. .12nraDJl ocl

-.

(3) Napisi i sae pridere kao pod (1) i (2),(4) Mo:e li da se DaDile:1 .1.r,.]::a.r:t712020

f1-]. rzf Napisi tako razue brojeve (razlonke).88t4

(5) MoZeS li oapisati I1-3. l; 1:5.!; 13-. r:.-lr7 712 t24 4

Proditaj zdesna nalevo, Napisi u tod obliku razne primere isvaki proditaj.

14. 1) Koliko puta je broj:1vedi od i; l manji oa ff- 5 517_' l72) Napiri 3. 7, IO puta vedi broj od !. Napisi 2,

-171R6, 18 puta manji broj od -.41

3) Nap.ili 5 proiwoljdih brojeva (razlomaka), a zatiDrispod svakog napiSi & puta vedi broj, pri demu je ,r ma kojiprirodni broj veii od 1.

4) NapGi 5 proizvoljnih brojeva, a zatim, ispod sva-kog, ft puta manji broj.

5) Iskaii i napisi: (1) didjenicu; (2) pravila.6) Uporedi (naglalavajudi uvek koliko puta je jedan

od brojcva vedi, odnosno matrji, od drugoga):2.16.45 i15:5;70, 1398. 62t 2t 53 53 89 89 1399 1399

7) Zadaj drugovima sliCoa vdbanja.15. 1) Koliko puta je manji broj:

loa 3;1o6 1; !! o6 11110 548 880 s2) Napisi 5 brojeva nanjih od: 1l) 5-; (2) 1,'11 43) Napiri 6, 8, 14 puta vedi broj od ]l1ne menja-

judi brojilac).4) Napi5i 5 brojeva i ispod s kog /i puta 6anji broj(ne menjajudi brojilac).5) Nabisi 5 brojeva i ispod svakog /. puta vdi broj(ne metrjaju6i brojjlac).

l5

6) Napili: (l) dinjetricu; (2) pmvila.?) Reci koliko je puta manji (odnosno vedi) broj i

I oa 3, 1 oa a; .!! oc 16, 9o oa 99t20 4 11 85- 99 3 ', 1870 -- llo8) Postavi drugovinra sliena pilanja.

116' l) Broj t6-

povecaj na dva nacina 4 pura.

2) (l) Povecaj na al,a tutiru broj: 2 tri puta; !dva puta;

-l aetiri puta i t6 puta; 4 pel pura i lI put4.32 '55(2) Tzdaj dngovira slitrna vezbanja.

l) (l) SmaDji na ba natiru brol: J! are pura, pet60 a4pun r lu putai 29

dvadeset puta i 15 pula; - sesr puta,7-_

1008puta, 2l puti : osamnaest put6, 16 puta. I44 puta.(2) Zadaj drugovida sliCha vezbanja.

4) Sra Eoze3 redi za broieve 1 i a i zasro? A zar' 5 l0

5.15 40.8 32.4 45 I 37' i; G' i: u' 3; ros-' t ' t'

5) Xako se, dakte. moze: (I) dati broi povedari kputa; (2) darj broj smanjiri * puta; i3r dobiLi- b;oj jdmkdatorb broju ?6) Dat je broj:

A(1) -.

Povedaj ga 2 puta, Smanji ga 3 puta.ln(2) -.

Napiii 5 pula Danji i 7 puta ve6i broj.I(3) -. NspiSi 4 pura manji i 5 pula vedi broj,

l6

(4) la1.

Povedaj ga 2 puta. Smanji ga 7 puta.(5) ], NopiSi S puta vedi i 9 puta uanji broj.(6) f;. u"pBi z p,,t veei i 12 puto ma.Eji broj.(?) !. poveeaj ga I prrr. Sftanji ga I put.

7) Izradlnaj broj jedqak broju:(t) i3. a Ciji je imenitac 26; ?8; 130; t 040;(2) 5J, a tiii je ituenitac 36; t6; 9; 405;(3f i. n t,li je brojilac 24; s6:2toi 42;(a) #, " ei:i je brojitac 15; 2s;6s, 145.

8) Napisi sve brojeve jedmke broju:(l) 1!, a diji su imenioci brojevi izmedu 100 i 2OO;Q) s#s, u ti:t su brojioci manji od IOO;(:) i; n r,il su: a) brojioci izmedu 250 i

b) jmenioci iaedu 3OO i 3r5.300;

9) Napiri 5 broje\ jednakih broju: 4r .]l: l1(Najpre sve one 6jji su brojioci i t."oi..; #fi.l 2t l9s',.._ , ,19J .l"oili 5 nejedDakih brojer?, a zarim napili 5 bro-Jeva Jonakrh prvom broju. 5 brojeva jednakih drusom broiuI_1,-Li,,19..", tad god je mogt6e najpre napisi on; j"dna';;DroJeve cur su rmenioci manji od inenioca datog bro.ia.

Iz. t) (l) uporedi: ?i3-,7 i2-,8,5.17 3.235 I0 t2 3'27 9'65'10' te0.I7

1.7 1930' 40'

(2) Saslavi sam j sliEnih primera i uporedi3 4 4 . a l0 . 7 3 5 . 72) 0) uporedi: ri'.r;s'b,rj'r;, t.s'l:.(2) Zadaj slidm Primer drugovidm.

'I -1 : o.zs-3.23. l) Pokari da je: 0.5: -; 0,25:4

42) Napisi u oblilu svedenog r^zlomkat 0,125; 0,375:

0,625;0,2i 0,6;0,8; 0,12; 7,5; 3,24i 13,68;0,32675,3) Zasto se rc moglr uprostiti razlomci: 0,3 ; 1, ? ; 0,407 ?

24. l) l?xMi u obliku decimalnog broja:l 1 L7 43. t1 42 3 623125 128 80 60 256 63 l2s0 310

2) N deledi prepibi u jedan red decisdne a u drugiperioditrne decimaltre brojeve:

32 26 4t 33 IA'39'4oo'ts'15

25. 1) Izvrsi oznaEeno deljenje prekialajuCi u momentu.,.. I I I I47 17 773kacr se pefloda ponovo pojav{ule: Il,s.7.49,go,lgo,z+0.

2) Izrazi pribliznim dcimalnim brojem: (1) sa tainofdu_ 10 17 29 30 8 .- _. ^_ 3,, T' ?. rO, ri , 7; (.Z, sa ucnoscu do u,r: i'i !; (:) sa dve decirnale: ]. 4 I 11' r+l sa tatnolcut3"' 7 39 60'

do o.ool:1m,. !1-t 1 ?11o.' 11 13 l8-Sabiranj i odozimrnje

26. 1) Koliko iznosi ( entalno): polovina i letvrtina;polovina manje osmina; treiina i develina; pehaestina manjetredina; 5 lesnaestina i I letv itra; 7 dvanaestina manje ISestina; 3 detvrtine i 3osmiBe; 5 sdmins manje 3 detrnaestine?

2) Sastavi i sam s[!n4 ve.lbaoja.3) Izradunaj (mentaltro):

!+1, l*a, 1. r, 8 _to, 1-2, 9 ,1.3 62189 36 13396 5107

2D

tr6'

13 3L:u5'?n'

do

3l1

4) Postavi slilna pitanja drugovima.. 8 s l l i1 s s 5!) rzraeunat:

-+-; -+-i -+-i -+-.' ll t4 6 8 12 t5 8 t26) Sastavl i sam primer. i radunaj.?) Izra;unaj zbir i razliku brojeva:

7 lL t3 t7 6. ll_ 9 - 3 --

i-: -

r -: -km r -km: -m. l -mz.la t5 25 40 25 20 50 4

8) kralunaj:s 31 lt 5 3 8 ltfl) -+-+ + +-+-+-:'164a12a51524

-. t7 37 t9 6t 5 27t2l + +

-+ -

l-, +-.'?o5025rooi40

27, Primenjujudi sve zakone i sva pravila izndunaji1) mentalDo:

ru t!- z\ + z7-: r2r 14s--/81-24\rR.r.l'24 15 24 u \l3 /'

- 3 t3 9

' -

JJ r7 9r{)) --t --l; {o)

--t---1.'' 5 \8 25', s0 \r5 25l2\ d\ 1362-.-20!!.-42 -zt \-lrz3

-+7 -"'\ s 12 ls 8/ \ lo 30-:021-zllr24 4l

rzr r:l -[el -+l * 1] -/01-,' o'4 [\ 6 Z tt , tz 'z-g]]t

(3) 'll-{('l ,!) [* 1'',"-''1;11

28. 1) Posto je jz velike kant sipano u vedi lonac l2-! _fit,

l1 3 ,5 4\ 7 2 ll ,l 5r(l) -l-+-t: (4) F I r l:184\89/ 12 l16\38/

2t

?mleks. u drugi 3- lit. Dar\je. oqlalo je (u kanti) otroliko. koliko

4ie sipalro u drugi lonac. Sta moze5 izradunati? Izradunaj.

2) Kamen pusten iz ruke- pada vertikalno i prelaziu Drvoi sekundi 41m. a u svakoi slededoi (selundi) 94 m visel0 - " 5ngo u prethodnoj. Kamen je pusten u bunar i njgov ualaro vodu 6uo se posle 3 sekunde. Izradunaj dubinu bunarado vod.

29. l) Fabrika je izvriila: u.lunu"ru l. u tetruaru l.a53u martu -: rromeseaDog plana. Da Ii ie izvr(ila ili prema(ilat2-plan i za koliho?

2) Druga tabnka je i/vrsrla u prvom tromesecju Z.'1

u d,uno- L. u treiem ll, a u cetvrLom j eodi;niee plana.' 4 35 lo"

Radunaj.3) Fabrika je izvr{ild: u prvom Lrome'eaju l- godj-

JI

injeg plana. u prvom nolugodiltu : (godi(nieg plaoa). u pr\at

ntu .a. noarn. l1rri tromcqeeja _ Godilnjeg pldna). a u r - lbgodisnjeg p6na. Izradunaj deo izvrsenog piana svakog tromeselja.

30. (Relenje svakog zadatka napiEi obavezno u obliku arit-mtiakog izraza, pa rezultat izradunaj primenjujuju6i sve poznatezakone i dinjenice.)

l) Dnevni plan rudarskog okna iznosi 4] stotinet0

tona (rude). Prva smenaje iskopala tl stotine L. aruga t-l 'Lo--5"4

tine l, a rre(a l5 stoLine t. sta su izraiunali?8

2) Prilikom popravke put je ponovo trasiran i pritirome je skraien: jedan deo od 14 km na 13" Io. a drugiod lg1km, na vLym. a koliko km ukupno je skraden4 l0taj put?

3) Poljoprivredno dobro je zasejalo: | .voj'h oranica3'suncokrerom, ] tanom (i konopljom). I povriem 1i Lrorupi-6Erom), a ostalo Zitaricama i kuturuzom. Sta mozeS izraiunati?(Radunaj usmeno.)

4) Mesing se dobija topl.jenjem bakm i cinka (ali neu proizvoljnim teZinama). TZina bakra u jednom kornadumesinsa iztro{i 7 ke, u t.2inu crnka je ;a I kg manla. lzra-t0 " ' 2 -dunaj teijnu tog komada mesinga.

5) Lepak za lepljonje metala i siakla sprema se od;utog voska, smole, gipsa i krede u prahu. Da bi se spre-rilo :l] kg lepka pomelano ie 3 kg uo,ka 22 kg srnole i

-: kg grpsa. Raaunaj

tl6) Brod plovi ni7 lodu brzrnom oa z:3 tm. xo.lom8-

brzinom plovi on uz vodu, ako brzina reke iznosi zfknnalas?2

7\ Kanel za navodnjavanje se sastoji iz glavnog kanalai tri )grane(. Du:ina glavnog kanala iznosi ll km, duzina

r ' " -'"':

'u lt' upr\e grane rznosr

2 km. d^'ga prana Je

8

,r.iu ." -l Lr nego prva. za kolik^ LmJe glavni tanal duzrl0 "od svih grana?

23

l1

8) Na praznom buretu stoji apisaDo: U-,":+Zj rc,).neto 204--ft9. U njega su 6ipali t98:kg masri. Sta sadtreba 4pissti na njemu?

9) Jedan ndnik moze svrsiti odrealeni posao za 9d,drugi za 3d kmde, a xredi z 2E dni,e. Koji d;o posta deostati nesvden, ako budu radili zajedno I das?

lo) Snanji zbir brojeva os1 i 202-! za nlinovtrazliku.

31. 1) Keko i za koliko $e denje zbir:(l) ako se jedaD sabirak poveia za 131,a dftsi

smanii za z 3t 8 _

-16(2) ako se jedan oabirak sma - 5

za 31 ,! nJr za I/-36 a drugl

272) Kako i za koliko se menja razlika:

{l) ako se umanjenik poveia za 61. a umanji-Iac za 1ol ?

2

(2) ako se umarjedik poveCa za Jl. a umanjitacsmanii za t21r

'4(3) ako se umanjenik smanji za llj. a umanji-

7l^c poveAa za l2-1A'l

, (4) ako se iumanjenik i umanjilac pove6sju (6ma-

nje) za 7-?

24

i3) Urnanjilac ie povedan za 2 :. Kako tleba pro-meniti umanjenik, pa da se razlika: (l) ne menjd; (2) povedaza 5: (3) smanji za 7?

4) Uounjenik je smanjen z" 1. Kuko tr"b" pro-14

meniti umanjilac pa da se razlika: (l) smanji za l; (2) povedaza ?: G\ smanii zn 1l7-2l

15) Umanjenik je povedan za 5::. Kako treba menjati2t

umanjilac pa da se razlika: (1) poveda za 2.7^;\2)smanjizz 12.18 ''32. 1) Na primeru 3,7+0,593+15,06 pokazi da poz-

nato pravilo sabiranja decimalnih brojeva sledi iz opltegPravila za sabiranje rezloDuka.

2) Na primeru 2,03-0,8247 pokali da i prdvilooduzimanja decimalnih brojeva sledi iz pravila za oduzimanjerazlomaks,

3) Uzmi i druge primere pa izvedi pomenuta pravila.

Mnotenie i delieqie33. 1) 1z tadke 13 pod 6, 14, 15 i 16 sledi, na primer:

l5) ): :17.-.2

- 2 2{J)

-.J:-:' 9 9:3 3

ot L.t:2 3 :9;'1 774, \1a:!:!:2,'- 9 9 9

.-.8._ 8 8 __. _ l 5tJ, _.J:-:-: tot J.-:_._ g 9.1 )7 7 7

2l tz.actrnai: t .ot ' .4t ' 'r' n,r, s.l; t:,].t3207lt86

3) Sastavi i sam slian primere i raiunaj.25

lt

34. Neke postupke mozds objasniti i ovako:rrr fi .::(i.e). :: !. (. 3l: L. e-Y;rz) 3 .c- I I .:\. c :. ll .l) -:..a :. -r .16\16/u6/164r.lr 1.r i1.s\.a=a.rs.s\=l-!- 5 2--'12 \rz / t2 \- -l t2 Irqr r..3 .1.i:.-l\-i+.:\. I

-r2,1. l27 \ 7/ \ / 7 7 72) Izraaunaj tz ftzna obrazloietial.

Obraz-loZ;.svakikorak.

'.u, ' .rr 5

.9; g. 6 , s.4: tt.]: e . ri. r.7 t6 t8 19 5 22' 7l) SasBvi slidne prjmere iratunaJ.

:s. t.; I.-l=polov;na oa I .1, f .l- '

. ouiurn,.42 4 8 43122) Iz&lunaj uz objasnjenje:

I1, I1, ll'.r.i u.rs 4 9 5 3 2 s'"3) Sastavi sl;dn primere i ruaunaj objainjavajuei.o, !. t--z.l.J 2.1 1.-!1- .. 1uows,.;i J 7 3 \7 J/5r trracunai obrarlazuir: 5.l. 1. l. 8.1

" I 2 7 I ll s6) Izradunai obraziaznt:t ! 1 18.1' 18 It z ts s' rsi,,i i,\i,)(i 'r 1j jy 1, '1 rDovrii,

l,' 2.s,1.2.'\.s:-L.r-...79\791 7.926

8) Izradunaj obtazlarudi:s3 l2 t4 34 5 3'8 5 7 9

. : -i -.

:.,,3 8 7 9 5 9 '2

4 15 16 l8 14-9) Sashvi r sem primere i zadaj ih drugovima.

36. 1) Izradunaj mentalno:a 11 5r_ fl) .3,

-.9, :.8r'' 11 23 t4, 1t 5

t2l -:'.7. -:1.6, :.15:., g 19 8

Lrz. 1!. so,16 27t8

"'. 11.."

tg ''' 53 --'

r.l) a.-l r i s. 4 r te 1; +s.l; t l;' 5 5 12 l8 5

l I I I 8 I 12 I 1.] r''' n'+ r'l ir'+ rg a li 13'

5 3 16 3 16 5 i 4 5 t2(51 - -:

-.-i -.-i - -; -.-.87 178 l7 l2 49 8252) Sastavi prjEere svake vrste iradunaj.

37. 1) Izraaunaj (uglavnom mentalno):rtr 05. zr :1 g; ,oi. t:' o t .t l; sl] z+.' 1 16 8 22 36r2t )26:3: eo2!,s, r32-6,tl, oll2t8. 3,2.lr.7 2t29 13 5,:r a4 l, .lg26.lr ztuq l-a, st\.7.74 )7 13 10 23 J5 17rqr lj:5r 33:24: ,,5,4', 244'jt,,u',25.47"1 53rsr .12.r5 : s5.:1,:-l :zt: n!::,1.t31!-.t.' '1 23 9 ll 1l 1 15

2) Sasiali prinre slale vrstc i raaunaj.

3s. l) Moj dasovnik >Zuri< ] miNte na cas. Sta de biti12posle 6 dana?

1t?2) Od --':kC leka Mpravtjeno je IOOO prafkova.3) Jedan radnik preveze lmr zemljeza 3 !asa. a drugi4

tohko, isto (zenlje) za.5 aasova. Tzra{unsj apremiou zemljekoJu ee obojica prevesti za 8 tasova.

39. l) Od I kg brasna moZe se ispedi lf kg hteba. Od63 kg

-bralna- rreba ispedi hlebove od po 1.5 kg (tezine). Stase moze jzraauoati? Izradunaj,v2t -feZina I kg kafe posle pr.Zenja iznosi !fg. t.pr-

f&lij:.'k i spremljeno u kutije u koje staje po 0,3ks.3) U lfl kamiona je naiovaretro z1r. ali rako da je

u prvi. narovareno 3 puta vi:e. a u drugi 2 pura vise ngou rredi. Raaunaj.

, 4) U I velikib j 4 maoja kamiona Datovareno je

l6ir. U svaki manji kamion je naLovareoo dvapur rnanjetrgo u s\'aki veliki. Dovrsi i reSi.

_

5) Treba zasejari pienicom potje koje ina (pribtizno)oblr& pravougaonika fije duzrDe sLraDica su l00n i24Om. N;I artreba l:kg semena, a tkg seDena se izdvoji iz ,kg pie-

iif;"f""*, t ."nt zadatak (pisudi rexenje u obliku aritmetidkos40. 1) Bora je poiao pelke u gmd. pretazi /t.lt. fo-

liko ce preci ,". 16, 1-1 4; 23 6136528

2) Putnilki voz ide za teretdm koji je izmakao 50 km1

Brzina puuitkog je za 5- km veds od blzine terelnog. Kolikoce biti udalieni vozovi ooste Zft?

2

3) Treklorisra je orao po 2]ha ra I smenu. Posle je'2

pove6ao rad (dnevou povrsinu koju ore) za I. Dovrsi i resi.

4) Tetiaatoga komaj4.

komrda sira lznosi ikg. odseleno je 2

5) Alkohol zaprema 1 ,ap"".io" ftase. Za.misli da

.ie oriasuto 2 alkohola i izndunaj zapreminu fleSe koju za-uzima preostali alkohol.

6) Proizvodaja nove fabrik bila je: t1 >puta< vedadruge nego prve godine; 11 >puta< veda tree nego druge

godine; 11 rputa< veEa detvrte nego trede godine. Uporealiprozvodnju prve i detvde godine.

7) Pruga. koju treba izgraditi podeljena je na 3 deo-nice. Pn'a iznosi :

31 cele prug", a.oe.

-

l2--. :4a prvu polovrnu5

planiranog vremem izgradeno j., .3 prve deodce, j ""e"

r -ldruge. Je li izvrien plan?

41. 1) I m:! m oznaleva koliko puta po 1m ima u lm.Dakle 1:1:4. lzttturvrj: 2:!; a:]; ro:rr1.

29

I6.:i7

z1 t '2

: fe ,l\, z: ta. i):2 - 2 . s:10. rzratunai:v :1 : sq : L: 1 1 1 ;!1; ... lslaetavi i sam primere.)

,..16. ".2r.l7 l1

,1, 4;!, l;15; !;ll; ... leroau:i.)' s7 916 7tlrzr l2: l: l1:t.l ; t-2:t.l; . . (proauzi.)' 31' 3 2 7 3

a,, L:1- 7,: j-2 -1, i", j" o. z. i. (t2',6r' t2't2612 12 l0

r.l:l .ll:-5.-lj:l ,j:a, i., j" n. z. i. (t2;9): 16129129 16 165 7 8.3 1.5 1.4.8.9.(l) t:rs; ri,-s;7 6,; e' t 15'

rzr nl-:3lr -7:.lj

' r l-:r 5., rs5--'r],...2412 6 l0 6 6 )

t ' t, -l2 l-,,...5) ReciProlDi brojevi: 5 -.t j. t2

44, Izradunaj lpod (1) i(2) mentalno]:-

l.l I I I l.l.l.") o l'? g'rg rz':r'zr"^ 5.10 11.1.3.5.5.25.tz) 6 -ri zg t'7'tl' e'as" ',rt :ll-:7-: e-7 :]f; s L::l ; a1:e!, ."'-D qt' g zz z 5 7 ll

ls. rr l!: 3. -!i-l-- t-. D, li ,o vazi u!ek? Pokaii da' 56 8 56:8 7

se to pravilo svodi na opSte pravilo, a zatim izradunaj:. 12.B j2.tz i,7.1-i ljL; _7:t_t;"' rl

'i' t:s :st 12 o '. 15 I 12 6

rrr 6J-:21-: 2-a.J1; 3I;12-;... leroauz;.;s 19 19 11 11

3) Izralunaj: 't:1: g:1:58t2. l): u:..-4 outa- ti.99

3ts420-u-; -u i13 l3 3 l

1"ru5u*;, 1;!' i;1,89 1A^. 12.6 12,5 2.5' 7 5 7.6 7

:2i(7: s):12. s):7..21uracunal r provelt:

-

3) Izmdunaj i provri I

!,?= +. z.uoi., i i'**',99'l 2a t3 5t-u-: -u-i._.29 29 l8 38

1l'1, ... (produzi.r

12 12

... tti t2:9-t2i 6 -1S 1.5

2) Proailaj i izradu*i, 6:3; 36'9 20'20' 11 17 1't' 23 23' '

| " { tr."" i napred) sadrii se onoliko puta,koliko puta po 3 ilna u 7, d"kl" l:1:l-2;. Izracunaj:

e .4 . l.?. ts.4 . t7 .6 .10 10' 9 9' ll lt' 19 19' '

es. t 2:1,2-i:1,7 2 5-.1!. r ,"ir," l9.l:37 5 7.57.5 3.'7 2t 2t S 7l, u.: jll :6'7 -!:-t! !. 1eroue,,.17 ll 7,\t 11.7 6.t 42

.7. 32.8, 45.15.' 3l;' 46 11'

30 31

46, l) TeZine f- polug" iznosi 2kg. Sastavi zadatak i5'-reli ga.

I2) -

visine kule za skakanje padobranom iznosi 8 m.41, D voz ie presao 36 km sto iznosi 1 dutine pruge

izruedu polazne i dolazEe stanice. (DovrSi ireii.)2) Sastavi i rebi jos neki stiten zsdsla.k.J) i zadmroitr oranica posejane su koooptjom i to

iznosi 20 ha.

1R2) Za :moavionje preleteo -:km. Koliko ie pr-lieo z I mn?

3) Sast.vi zadamk dije je r:enje: (l)a:1: (2) E:1.'9 s"'t6 4)ia--.--- ,

j):,Y*,."j" pravougti irougao ABC. kad je A waviugao, ouzrna stranrce .J, iznosi 5cm, a merni oroj ug[ a.ji soo.... ..

7) Konsrruisi pravougli trougao ABC, kad je A p1a_vr ugao. a: (l) (,{B) , 3cm. @q - 5cn;(2) (AB) : 4cm, (rc): 6cn.,,,

{. 11 59ji se usao zove spoljasnji usao rrouata? 12) K.-6;:Jo, ".,f.r," usrova ima rrousao i koliki je iltr,ou'zu;ir..-,_ . ?) l.k-i i obrazto:i ainjenicu o odoosu spotjasnjegugra I uSta trougla.

. -l) Nacrtaj proizvoljao trougao i od 6 niesovih upto_u-Ioxazr razne skupove koje rreba znati pa da's; svi o;alimogu konstruisari?

-..

5,, l) Zbir uClova uougta je odreaten, rraft i ugao. Kaiemo:z0rr^ugro\:r l.rorgla je konjtanta. e ,Olr ip.SaSn;'itr ugiova 1ro_:lft-qg f drusa koostanra.) le ti zbir-srianiia ulrora rro-ula_J)eka- tonstatrk? Nacrtaj I proizvoljna lrougla i ko;s;;_l5r zolr stranrca svakog. Uporedi dobijene zbirove (obime).,... .

2) -Obrnuro.-.

nacflaj l.; proizvoljne i nepodudarneuu/r I oo svake duzi ,napravi( nacrtatri lrougao. MoZeS liprozvoljno rodsedi( (od dare duzi) yranice rr"ougra- i -i1io i3) Nacrtaj proizvoljou duz. Neka je. ona oti. panog18

trougla 6ije su dve stnice podudarne (jednakokraki trougao).KonstruiSi ga. Ponovi tu konstrukciju vi5e puta,

4) (l) KonstruiBi ose simetrijejednakokakog trougla.(2) Koliko ih ima? obmzlozi. (3) Postoji Ii trongao koji ima3 ose simetrije?

5) (1) tskazi i obrazloii dinjenicu (istinu) o uglo-vimajedEakokrakog trougla. (2) Iskaii i obrazlozi obrnutudinje-nicu. (3) Je li jeahakosfanidni trougao jednakokraki trougao ikoje osobire slede iz toga? (4) Pokazi obrnuio: Ako su sviuglovi trowla podudard, on je jednakostranidni,

6) )Nacrtaj( l0 jednakokrakih trouglova: (1) dija jejealna stranica zajednidka; (2) djje je glavno teme zajedniako;(3) aije je glavno teme zajednidko. a krak podudaran datoj(pretlodDo nacrtanoj) duii; (4) diji je glavni ugao zajedddki ;(5) Eiji je jedan od podudarnih uglova podudaran datom uglu.Iskazi opiti zsklju6ak: Koliko ima trouglovir koji zadovolja-vaiu svaki od navedenih uslova.

7, Nadi one skupove elemenala koji odreduju jedna-kokraki trougao. Uzmi svaki put proizvoljno te elemerte i kon-struiSi trougao.

8) Nacrtaj jedolr duz i jedal ugao pa konshuisi je-d[akokraki trougao koji odreatuju ta dva elementa.

9) Naqtaj proizvoljnu duz ,C. Neka ona bude os-rcvica jedrakokrakog trougld. Konstrui5i ga. kad je krakl (l)dvaput vedi od tC; (2) dvaflrt manji od rC (!); (3) kad iznosi1 s6, ,a11p6t 1512 s6.4 "2 ' I

10) Isto Sto i prvi deo pod 7) kad je rougao jedn4-kostraDidni.

6. Nacrtaj proiz'"oljnu kruzdcu diji je centar o, a jealanDrednik ,{8. Konstruisi simetralu polupreCnika .{O. Ona sedeiednu polukruznicu u P, Sla mo:es tvrditi o A Po,, i zasto?

7. Uzmi dve proizvoljne tadke , i c i proizvoljnu plavu(a). Konstruisi jednakokraki trougoo dij{ su dva temena t i C,a trede ,4 pripada pravi (a).

8, l) Nacrt4j proizvoljne nePai?lelne 4!Zi AB i CD.Konstruiii dva jednakokraka trougla dije suosnovice dri cD,a imaj[ zajealniako teme.

79

5) MoZe li kruznica da dodiruje tri prave?9. )Nacrtaj( LABC, AC=AB, Oznadi raake

stranice 8C tako da je ,P.:CP. Sta moie! rwditii za(Lo?

2) Oznaai tri tadke i konstruisi kruznicu koja pri-pada svima.

3) Ozna6i tri latke ,1, B i C i nadi iaaku O, 6ijasu odstojanja od 1,4 C podudarna. Kad ne postoji tatka O?

4) Pnka;i crteZom i obrazlori ainjenice:(l) Postoji neogranideno mnogo kruznica koje dodiruju jdnu pravu.(2) Postoji neogranideno mnogo kruznica Loje dodi-ruju jednu pravu u jednoj radki.(3) Fostoji neogranideno mnogo kruUnica koje do-diruju dve prave.(4) Postoji neogEniaeno mnogo kruznica koje pri-padaju dvema tadkama.(5) Trima tadkama pripada samo jedna kruznicaili ne pripada nijedna.

2) Iskaii i obrazjoZi obrnutu aitrjenicu.._

3) Iskazi i obrazlozi sjidDu einjbDicu o jedD.koslr4-Drcnom trouglu.

lJ. l, Dve visjne jednakokrakog trougla su podudarne.Obt^zl6ri2) Isto za dve medijane.l) lsro za dve ddi bisekrriss podud.4rnih uslova /odkojih je svaka odredeM remnom i presikom bisekrr-ise i nas_pramn stmnice).

. .4) Mpisi svaku od prthodnih drnjenica kad je upitanlu jedlakostranilni trougao?

.

14, Neka je ,{rC jednakokraki :llougiao (AB=AC), AMnjegova medrjana, a tr jedna radka re medijane.

1) Sta mozcs redi o.troustu KBC,I Ob:ztoti.-

2) Poluprave ,Bl( i Cir seku stronice trougla u _8, iC'. Pokaii da je B'C'!AM._--.-_- i) S!" moze! tvrdiri o svakom trouglu /t,C, iKB'C"l Obftzloll.

4) Sta moZes ivrditi o duzima BC, i CB,. Z tolZsrisnosti izmeilu sttanica i uglovs

15. 1) Zasto je hipotenuza veda od katete?.

-

2) visina hipolenuze je manja od srEke katete. Ob-tazrc2t.

. . 3) Svaka visina je maDja od dve straoice trougla. Odkojih i zasto?

. ^ 4) Svaka vjsina je manja od jedo medijaae. Od kojc

r zadto? Kad su te dve du;i podudarne?,. _. .

5) Iskazi.i obraztoti dinjenicu o bisektrisi ugl,a (vidirJ. J.) r vrsint koJe izla2e iz istog temena..

16.. l) Nacrtaj rupouglj A.4rC sa rupim ugtom C. OznadiprorzvolJnu tadku K stranice.,rC i pokti da je: (I) BK>BC:(2) BK

['

Poddarnost17. 1) U t.9, $ 6, dovodio si (sl. 12, tj. sl. 7 Uputstava)

podudarne duzi i uglove u takav medusobni polozaj dt se jednafigura dobijq iz druge (da jedna od trjih bude transformisatafi8ura d ruge). PoDovi to dovodedi figu.e u tskav poloiaj daso dobijaju jedne iz druge: (1) translacrjom; (2) osDom sime-trijod,

2) Utrini to isto sa figurama prikazanim crtezimana sI. 14 i.15.

st, 15o'3) Obrnuto: Sta zattjutujeC o dve duti. o dra ugla

o dva uusLa( ejii su )Lraci( dulr, ako se le duZi, ti uglovimocu do;esri u lakav mdusobni polotaj da jedna od ltgura(du;, ueao) predstavlja traDstormisanu figuru oDe druge?

4) Primeniujudi Dajmanie tri (iste ili razlidile) lrans-forflaciie. konstruili trougao podudaran datom lrouglu. Izbriiilitriie L;i ma si konstruisao i nela tvoj *drug dovede prvi iposiednii trougao u takav medusobnr poloiaj da jedan od ojihiude trinsformjsana figura drugog: (l) treoslacijom; (2) osnomsimetrijom.

5) Nacrlaj proizvoljni ro1lgao ABC i konstruisiniesovu oino simetidnu fisuru u odnosu na pravu koioj pri-D;cia stradica: (ll BCi Q\ AC: (3') AB. Je li LA'BC=LABCi zaXto? NapiXi ;l'ano zs ostale trouglove Ponovi to sa dr-u-gio trouglom XLM.

18, Prema opstoj definiciji podudatnosti, dva trougla 3upodualarna ako se razlikuju samo po polozaiu i ni po temudusom, Li. LDEF=LABC tko ieDE\AB, EF=BC, DF=AC, LDe LA, LE=LB, LF=LC.

82

1) Medutim, do;e se pokazati (rasutlivanjem, po-sredstvom transformacrja) da je LDEFe LABC (sl. 16) i kadsu ispunjena samo ova tri uslova: rI=rC, gD*BA' LE=LB.Pokuiaj.

'v', \l r

/\ FvE+6

I8) N. crtezu l7 (3) sb, oligledno, lD i -8C, dobtaju

ttanslacijom jedna iz druge. Pokaii d^ je LABC=^CDA.9) Na sl. l7 (4) je:(l) AC

=BD, LL a L2. Koji su trouglovi podudarni?(2| AD=BC, LEAD= LFBC.7-aato je AABD=LBACI

A//\" oF--J

't'{ lxl^\ \ d

I?isi, u svakom od navedenih slulajeva, Podudarnost odgo_valajudih trouglova.

6) Na slici l7 (9) je 1t=L2. /3=14. 18=1CBD-EC..PtoazAi i napi{i 2 para podudarnih trouglova.

7) Ako prava pripada sredini jedne duii, trjena odsto-janja od krajeva ie duri su podudarna. Obrazloii.8) Nacrtaj proizvoljd ugao XOf, konst i5i liegovu

bisektrisu Oz, oznadi jednu njenu tadku It i u toj tadkikonstrui3i ?ravu nornalnu na OZ. Neka ta ?rav4 sede krake!g!a v, A i- B. Pokazi i na osnovu podudarnosti dva trouglada je ,{O, jednakokraki trougao.

9) Koji $r lslovi potrebni pa da jednekokraki tro-oglovi budu podudarni?

10) Koji su uslovi potrebni pa da pravougli trouglovibudu podudarni?

ll) Nacrtai proizvolinu duz i dta proizvoljna (Pazi l)ugl4 pa koDstrui3i trougao koii nacrlaDi elementi odreduiu.

12) Nacrtaj dui i proizvoljni (Pazi!).ugao i konstru'iIi: (l) jednakokraki trougao; (2) p.avougli hougao

20. 1) Na sl: r8 (l) jer(l) OA4oB, oc=OD, Dokazi: LC=LD,(2) L2=Ll, OB=oA Pokaiit AC:BD(3) AD=BC, OCaOD. Doka},ii LACB= LBDA.

2) Sta treba izmeriti [s1. l8 (2)] pada se odredi (,4-d)?3) Treba odrediti duZinu duZi l, [sL 18(3)] Crtet

pokMuje da, u tu svrhu, treba konstruisoti A,!CD. Kiko touaidti pa da bltde ABgAD. Obftzlozi.

4) Na slici l8 (4) je PO'aOA i LP=LA. lz.vedi iiz poduclamosti dva rrougla i iz centralne simtrije (dakle tradvi ladina) d^ je AB-PQ i ABllPQ.

5) Na si. 18 (5) su l, i ,C dobijene jedna iz dtl'EetrarNla.cijom, a BFllDE. Dokazi: .AE=CF.

6) )N1crtaj( proizvoljan kvadrat ,4rCD. Nela pa'ralelne poiuprave iz ,{ i C seku straoice RC i AD 1t M i N.Dokazi: (l) BM=DN; (2) CN=AMi (3) AN=CM.

. 7) Ponovi prothoalno sa pt4Yougaonikom

86

L2= Lt. Dokazt (r') BD=AC: (2) BCzAD; (3) LACBa...8) Na slici 18 (6) je: .{.B I DC, LABC= IBAD,

(1)DC

A

(6)

D(3)

W^\a--\A B'A(5tst. l8

21. Nacrtaj Foizvoljan ugao XOy. Oaadi tadku ,, krakaOX i tadku B ktaka OY tako da je OB:OA,.zatim ta'keC i

-D tako da ie BD: AC. Neka se BC i lD Seku u M.l) Dokaii redom: (l) CDI.AB; (2\ BC>AD: (3)MA: MB: (4\ . . .

2) Sta sledi iz O) o polrupravi OM?3) Izvdi. iz svega. dve jednostavre konstrukcije

bisektrise ugla.22. l) Nacrlaj r{oizl/oljan AABC, a .zatim ,.konstruixiADEI tako da su sve njegove stnice podudarne stlanicotrrs

8?

fl

AABC, tj, DEaAB, EFeBC, FD=CA. Da li su trougloviABC i DEF podudami? Pokusaj da pokazei.

2) Ponovi prethodno i iskazi zakljudak.3) Na sl. l?(3) je AB>DC, BC=AD. Stz moiel

tvrditi?4) Na sl. 17(4)je AD=BC| AC=BC.Stamoies do-

kazati? Dokazi.5) Sast4vi sliEDe zadatke na sl. 17 (5), 17 (9), 18 (6).6) Neka je LPQRzLKLM. Dokazi da su Djihove

odgovarajude medijane podudame.7) Trouglovi ABC| A'B'C'su takvi da je A'B'=AB,

B'C' eBC, A'M' =AM, Ede sv AM i, A'M' rnediiane, le liLA'B'C'aAABC i zasto ?

-

Sastavi jos dva slitna zadatka.8) Nacrtaj proizvoljan A,lrC i konstruisi krutice(BiAC)i (C|AB). Dobijaf latku ,{' i njenu osno simtrilnu

taaku ,{". Sla moZe3 re6i za trouglove: (l) A'BC i ABCi(2) A"BC i ABCI (3) BAA' i CA'419) Oznali na prethodaom crtezu presek duti lC il', sa S i pokaii: (l) da su trouglovi S,r,4' i SBC jedmLo-

kBki; t2) AS,4B-AS,{'C; (3) podudarnosti koje slede iz (2).10) Konstrukcija podudarnih uglova zasniva se na

napred (pod l) pokazanoj dinjenici (o podudamosti trouglova)Konstruisi ugao podudaran datom uglu na osnovu pomenutedinjenic i obrazloZi je.

23. Data su (nacrtana su) dva trougla ABC i A'B'C'.ZnaS da su:(l) medijaqe CM i C'M' Podudarne. Koji su joiuslovi potrebni, pa da trouglovi budu podudarni?

(2) vlsirle A'E'i AHpodudame. Dalje kao pod (l).(3) bisektrise ,S i B'S' uglova, i 8'podudarne.

ttuo pod (l).(otrstmkciie hougloYr

24. 1) Koju liniju obrazuju sve talke rija su odstojanj6.: (l)od jedne taak podudarna; (2) od dve ta6ke podud4rna; (3)od 1ri talke podudarn4; (4) od jedne prave podudarna; (5)od dve pave podudarna. [Pod (5) razlikovati dva slutaja.]Svaku liniju kgnstruiSi.88

2) Konstruisi liniju koju dine svi centri: (1) podu-darnih kruinica koje pripadaju istoj tAdki; (2) podu&rnihkru:nica koje dodiruju jedDu praw; (3) podudarnih krdnicakoje dodiruju istu kruznicu; (4) podudarnih kruinica koje odalate prave odsecaju podualarne duri.

3) Iz utvrdene 3 6injenice o podudarnosti trouglovasledi da su za konstrukciju opiteg trougla pokebna 3 elemen-ta (od kojih je jedan uvek . . .). Idenuj potreboe elementeza koNtrukciju: (1) pravouglog, (2) jednakokrakog, (3) jcd-nakostraridnog trougla.

25, Konstruisi trougao .ArC kad je:(l) (rc)

- 6 cln, (AC)=4,scm, (AB):5 ctt;

(2) (BC):scn, (,4c):3 cm, (AB)=2cm:(3) (lct-t200, (Ac):4clx., (,.rr)=5,5 cm;(4) (lc):6mm, (LA):42o, (Bc)

- 5 cm;

(5) (BC):68 mnl (lC):5,5 cm, medijana(AM):25 mm;(6) (rc): 6 cm, (.aB)

- 5 cm, visina (1fl)

- 44 Ba;

(7) (lr):62rnm, visina (AH)- 42mrn,(lA):55o.(8) (rc):6 cm, (lC)-46mm, medijana(BM):4 crn;(91 (LAt=90o. (,.r4):36 mm. visina

(AH\ -

32 mm;(lo) AR=AC, (BC):68 mm, visina (tll):32mm;(11) (,4r):6 cm, (2,.{) = soo, bisektrisa(.at

-

5 cm;(12) (rC):5 cm, (BH):4cm, (CS):5cltr.

26. Sastavi zaalatke sliEne (3); (5); (6); (9); (11); (12).Uglori tiii so odgovsrrjudi kaci normilni ili plrrlehi

27. Nacrtaj pravougli LABC (\E o ,4 pravi), konstruilivisinu lll i imenuj podudarne uglove tako dobijene figure.ObrazloZi.

2E. 1) Konstruisi sve visine ostrouglog trougls i poka-Zi tri para podudarnih uglova. 2) Isto kod tupouglog trougla.

E9

ili

29. Nacrtaj proizvoljni A,4rC i prayu (p) L ,44. Neka (p,sete ,4C i tC u ,U i .M. Sra mo;e( tvrditi za uglove troug-lova ABC i MNC?

30. Iz taake P povtsi LABC izlaze dve poluprave: jednaI AB, dr'lCa ,C. fDovrsi.)

$ 9. CETVOROUGLOVIOplti kotrveksrn IetvorougNo

l. I) Nacrtaj jedan konveksao i jedan nekonreksandetvorougao,

2) Nacrtaj proizvoljan kotrveksan detvorougao (tj.detvorougao dije stranice nisu paralelne). Pokazi: (1) njegovsusedne i naspramne stranice; (2) njegove uzastopne i nas-pramne uglove, uzastopna i nasprnmna temena; (3) njegovedijagonal; (4) njegove spoljasnje uglove (posto letvorougaoprethodno orijentises) ; (5) njegovu povrt.

2. l) Obrazloli da zbir uglova detvorougla iznosi 4prava ug1a,

2) Kaliki je zbir spoljalnjih uglova?3. l) Precrtaj (priblizno) detvorougao nacrtan na sl. 19i konstruili podudarni detvorougao: (1) osnom sioetrijom;(2) translacijom; (3) rotacijom oko tadke O koja pripada

nekonveksnoj oblasti za ugao od 750; (4) centraltrom simet-rijom kad je centar O kao pod (3),

2) Konstruisi detvorougao podudaran detvorougluABCD (sl, 19) na osnovu konstrukcjja trouglove koristedi:(l) sve stranice i,..; (2) AB, AD, LA, BCi.,. (tri kombina-cije); (3) l4 BD, LB, i..., (tri kombinacije). I iako dalie.Nadi sve Gazliaite) slufaje!e.

3) Obrazlozi da je za konstrukciju konveksnog at-vorougla potrebflo 5 nezavisnih elemenata.

4. 1) Konstruisi konvksni detvorougao kad j;(1) (,4r)

- 19 mrn, (tc): 3 crtr, (cD):35 rnm,(lr):1,8 cfl, (LA):50o;

(2) (AB):3 c'J, (LA):4s0, (1_B):1201,. (BD)

= 3,4 c'Jl: (LD):130a:

90

(3) (,18):6 cm, (rC)* 5 ctn. (AC):1 ct\,'' tBr) :8 cm, (LC):110iSastavi i sam @koliko prirnbra (razliditih).

sr. 1i sl. 29Trspezi

5. 1) Nacrtaj dve paralebe Prave i pre6eci rh dvemaneDaralelnim oravama. PoDovi to io! dva puta menjsjuelueiove koie neparalelne prave obrazuju sa paralelnim. Svakioit douiia; nacrtan Iervbrougao koii se zove traPez ("zade-irt.laj. nligoue stranice). Zamisli trapez i iskali njegovu de-linicij'r.

2r Iz paralelnosti dveju stranjca sledi dinjenica odva para uzastopnih uglova i jedna einjenica o uglovimatrougiota koje obrazuju delovi d jagonala sa paralelnim stra_nicama. Iskazi i obrazlozi svaku dinienicu

l) rNacrraj< pravougli ijednakokraki !(apz.6. l) Jednakokraki trapez je osno simetridna figura,

Obrazlo:i i konslruisi osu simetrije.2) sta lledi iz osne simetridnosri jednakokrakog tra'

peza: (1)'o uglovima; (2) o dijagooalarna; (3) o preselu dija-gonal&?

2)

Ast. 19

9l

ll

3) Kako se dobija: (1) pravougli trapez iz jedna-kokrakog; (2) obmuto?

7, l) Nacrtaj proizvoljal trapez ABCD j, konstruisi Dodu-d^rafi tiapez uzirlajudi razne skupove elemenata nacrianogtrapeza.

2) KonstruiSi trapez ABCD (AB )ICD) kad je:.(l) (lr):5 cm, (lr):3cm, (LA):80o,(LB):600:(2) (AB)

- 6 cm, (CD) : 4 ct , (,{r) : 45 nD1 ;

(,4 c) : s,5 cEl ;G) @q:4,2ctu, (CD):3,6.m, (lC)

- 5 cm,(rD): 6,8 cm;

(4) (AB):2 cm, (dr):3cm, (LA)-t2oo,( LB): t$r,

(5) Sastavi primere sam.3) Konsiruili jednakokraki t:'arez ABCD tAB I CD\

kad je: (l) l/ta)- 6cm. (.4D):35 mm. (/ A)'-45ot ej(AR):2 cllr, (CD) : 5 cm, odstojanje paratelnih stranica (tc) ::3cm; (3) (cD):4cm, (rC):3cm; (lc)-6cm. Uzmii sem druge elmenre i izvr{i koaslrukciju.4) Jednakokraki trapez ima opisanu kruZnicu. Obra-

zlori i konstruisi tu kruzllicu.5) MoZe - li pravougli trapez da ima opis4nu kruinicui za$to ?

Purlelogrrmi

8. l) Zamisli dve paralelne prave presedene drugimdv.e_ma paralelnim pravama. Koju tiguru odreduju prese-dnetaake rih gavih (ili, lro je isro, tako dobijene duii)i prikazicneiom.raj eet\orougao. (Povuci prave. a zatinr >zadebljaj.,slranice.) Oznadi ga sa ABCD. Kako se dobijaju jedna izdruge stradce: (L) AB i DC;.(2) AD i BC?

. 2) Nacnaj proizvoljDu duz ,4r, ozDaei tadlu O koja

ne pripada toj duzi i konstruisi centralflo simerritnu duz Cbdllzi ,.i8 u odl.su na O. Nacnaj i d\ri AD i BC. Koju sifiguru dobio? Pokari da su i slranice /, i C, centraln; si-92

metritne duzi u odnosu na O. (1) U kom se mealusobnompolozaju nalaze trasprafiule stranice? znadi, dobija se detvo-rougao kaoipod 1)? (2) Poksri njegove centralno simetriddeuglove.

3) Koji se aetvorougao dobija kad se prseku: (l)dve paralelne prave dvema neparalelnim pravama? (2) dveneparalelne prave dvema neparalelnim pravama?

-

Zamisliietvorougao ABCD

'je ie samo teme c centralno simetridnatafka tadke ,4 u odnosu t\a ceDtat O (ta6ka , nij centrahosilnetridna taika tadke .B). Jesu li njegove nsspramle straniceparalelne? (PrikaZi i crteZom t6kav detvorougao.)

4) Nacfiaj duz C, i transformiSi je translac,jom u ,4,4(ili ,1, tlansformisi trandacrjom n Dq. lz to9a sledi da rlrAB i DC i paralelne i podudame. (1) Pokazi da N, AB i CDi centralno simetritne u odnosu na sredinu duzi AC (1li BD).(2) Nartaj duzi AD i BC i pokaLi, da su i one: a) paralelnei podudarne, b) centralno simetridne u odnosu na centar si-i\ettlje duti AB i CD.

5) (l) Izvedi zakljulak iz l), 2), 3) i. 4).Q) Aetuorcugao koji je .enttulno ttnettitan, iti Zije

su dve nasprumne struni.e parulelne i podudane, zore se pata-

6) lz\edi, iz svega prethodnog, dva jednostavna po-stupka za konstrukciju proizvoljnog paralelognma.

7). Neko je dat tetrorougao ABCD cije se dijagonale'seku u A i neka je OC

= OA, aD

= OB. DokaZi da su: (1)

taspramne stranice podudane; (2) aspramne stra lce paralelne;(3) Masropni ugloti suplementni; (4) nasptutkni glori pod dat i.8) Neka, obmuto, Eefioto'ugeo ABCD zadovoljava us-

lote AB + DC (+ oznaEava podudamo i patulelno) \ AD + BC ,Pokazi da je OC=OA, OB=OD,tj.da je on ce trulno srne-

PreEa tome:Ako je prctek A|ago-

Mla [eh)otougla srcdiu $)akedijagonale, tenorcugao je pa-

9) Naspraede stlanice

Ako je [eoorcugdo parulelo.gam, presek dijaqoiala Jesred u swke dijagorule.

aetvqrolgla su podudarne.

93

Jesu li ono i paralelne? Obrazlodi. i napidi linjenicu i obrDutufinjenicu.

70) ,Lko je tetyoto- Ako su kasprahni uglni po-ugao parulelogrum, na\prumni duddmi, ...uglori s1t podudarui.

9. 1) Nacrtaj dve proizvoljne nepoduilame duZi. Nekasu one dijagonale paralelograma, ))Konstrui5i( ga.

2) Konstruili paralelogram APplDt a ABCD \zima.ju6i sve (mogode) razliaite kombinacije elcmenata. Koliko imatih kombinacija?

3) Konstruisi paralelogarq ABCD kad iel(1) (d):5 cln, (2) (AB\

- s,4 ct ,

12. 1) Nac.taj proizvoljan romb ,{BCD (najprostije: dvenormalne prave..,) i, uzimajudi sv mogu6 razlidite kombi-nacije nezavisnih elemenala, konstruiSi podudamn romb.

2) Konstruisi romb lrcD kad je:(r) (rc)-63mm (2) (AB)

- 6ct^ (3) (rc):58 m(rD):37 mm (LA):620 (LD)^ t20r

3) MoZe li da se konstruide (ij. je li odreden) rolnbkad je pozfiata: (l) samo njegova stranica; (2) stranica i visina?

13, 1) Pod kojim uslovom je straaica romba podlrdarnanjegovoj dijagonali?

2) Mote li dijagotrala romba biti dvaput veds odstraDice i zasto?

3) Kad je stradca romba podualarna visilli?14. 1) Koje uslove mora zadovoljavoti parslelogram pa

da on bude pravougaotrik.2) Iz toga doprnskog uslova sledi osna simetriEnost

pravougaoDika u odnosu na . . . , a iz toga jedna posebm oso-bina. (l) Obrazloii simetridnost. (2) Iskazi posebnu osobinui obrazloZi je.

. 3) Motemo li tvrditi: Ako su dijagonale paralelo-grama podudarne, on je pravougaonik. ObrazloUi.

4) Zalto pravougaonik ima opisanu krutdcu?15. 1) Kvadrat je i romb i pravougaodk. obrMlozi.

2) zaito kvadrai ima i opisanu i upisanu kruinicu?3) Cime se razlikuje Lnadtat od: (1) pravougaonika;(2) rombal

16, Navedi sve skupove uslova koji treba da budu zado_voljeni pe da budu podudalni: (l) (opsti) Pamlelogrami; (2)robbovi; (3) pravougoEicj; (4) kvadrati.

1?. Koju figuru obrazuju srcdine stranica: (1) paftlelo_grama; (2) pravougotrika; (3) romba; (4) kvadrata? Svakotvrdenje obrazlozi.

lE. Koju figulll obrazuju preseide tadke bisektiisa uglova:(l) pealelograda; (2) pr.vougaodka; (3) iomba; (4) kvadrata?ObrszloZi.

(rC)= 65 mm,(LA)= 62o; (,{D):6 cn,(LQ-M2o:(,.{c): 8 cm;(rD) : 64 rltm.

(3) (,48) -

5 cm, (4) (.43):scrL(AC)- 4 cm,(LB,:4sr;

l

4) Sastavi i sem sfidne primere.5) Oznali tri nekolineahe tadke, neka su one td

temena paralelograru. Konstruisi ga.10. 1) Odstojanje rcparaleltrih stradca paralelograr[a.

zove se... Mogu li dijagonala i visioa paralelograma da budupodudarne?

2) Konstruisi visine paralelograma koje izlaze iz is-tog temena. Ugao koji orc obrazuju podudaran je jednomuglu paralelograma. To proveri, a zatim obrazlozi.

3) Svaka dijagonala pamlelograma obrazuje sa stra-nicada dva podudada trcugla. Obrazlozi.

4) Odstojarja tdeia parslelogra a od dijagotrale supodudarna, Obrazloii.

5) Neka je ff sredina straqice l4 a.v sredina stra-nice DC paralelograrDa ,lrCD. U koio medusobnom polozajuse lalaze: (l) MN i AD; (21 AN i CM? Svato tvrdenjeobrazloii,

11. l) Neka su dijagonale paralelognma mdusobno ,or-nalne. Koje osobine illa on tada. Obrazlori svaku. 2) Kakose zove takav paralelogram?

94

fl

Srdtrjr lbiia trrpezs19. l) Nacnaj ptoizyoljan tapez ABCD tABll DC\ i kon-

struiSi duz -EF koju odreduju srdine nje8ovih repaidelriitr stra-

nica, tj. njegovu srcdnju l/rrn. Najpre proveri, a zalim obrazto2ida je srednja linija podudama pohzbiru paralelDih stradca.

2) Nacr[aj tri proizvoljne du;i. Neka su one srmoica,odstojanje paralelnih srratrica i srednja linija trapeza. Koo-srrutst ga.

.

3) Nacrtaj proizvoljau du, i nek. je ona sredtrja l!niF uapeza. Sia je joS pouebDo Aa da se moie konstuisatitapez?

Deltoid

. . _2-o.Iaglaj dva jednakokraka nepodudarna lj'orglr- ABCi lrD. Dobio si detvorougao ,4crr.1) Koja j njegova osnovDa osobina?

, 2, PokaZi da je on simetridan u odnosu na dijagonaluCr. Koje osobine slede iz loga, tj. Sra rnoieS wrditi o: 11.1dilagonalamai (2) straoicama; (J) uglovima?3) MoZemo ii reCi: Ako je aetvorougao simetri(an u

odnosu najednu alijagooalu. njegove susedne sr;nice koje izla-ze iz krajeva t dijagonale su podudarne? (Kako se zove?).

4)_ Iskaii i obrazlo;i i ost le ainjnice obrnure dilje-nrcama poc 2).

5) KoNtruisi deltoid podud4ran nacrtanom deltoiduACBD, nzifirainti rszne skupove nezavisnih elemenata.

21. l) Potali da postoji radka aija su odstojaoja od svihstranica dehoida podudarDa. Konsrruili je.

2) Konstrui3i upisanu krutllicu deltoida.22. MoLe li deltoid da irna opisanu k_ruznicu i zalto?

$ 10. EKVIVALENTM .ETVOROUGLOVI I TROUGLOVIl. 1) Mogu li dve figure biti jtdnake?.

2) DNacrhj( svdki paralelogram (sl. 22) olovkom drugeboje i pokaZi da su njihove povrli jednake, rj. da su toebivalenhi porclelogru mi,

3) Naciaj proizvoljaa paGlelograd i konstuisi (njomu)(olovkon druge boje) jedMk pnvougaoDik, Iska:i ainjenicu.4) (1) Nacrtaj paralelogram ABCD i, kao aa sl. 22,

konsi isi nek! par4lelogMtl 44C'4: ABCD. (2, A\B'C|D'

tiansfonoisi tmnslacijona u 1,4C,r,. (3) l,4c!r, transformisiosrom simet jon u 4B{lD!. (4) ,3arcrrr tnns.fomiSi cen-tialnom simeinjonl u AaBaCaDa. Q,\ AP4C1D4 zalrleni, kao nasl. 22, nekim paralelogrrmorn lg8jcjrr. Jesu li svi nacrtanjpalalelogrami el_vivajenln;1 Zasto? U demu se svi podudaraju?trskari dinjenlct!

5) DNacraaj( rcmb ikonstruisi ekvivalenlan: (l) para-ielogram ; (2) pravougacnik.

2. 1) Nacrtaj pro-izvol ian trapez i konstrujliekvivalentan parallogram.

-

2) Ponovi to ito s;udinio pod l) viie puiB inspisi: Kojem pamlclo-gralrl-u je trapz ekviva"icn&n-

-

3) Nacdai ra-zne tapeze ikonstruiii eL'vivalenlEr pravougaorike.

4) Nacrtaj proizvoljan {l} pravougli, (2) jednakokrakinapez i konstruisi ekvivalent -n paxalelogram.

rI

I5) Kao pod 4) i konstirisi

kvivalentan pravougaodk.3. l) Nacrtaj p.oizvoljan A,4rC i konstruisi ekvivalentan:(l) palalelogram; (2) pravougaonik.

,2) Nacrtaj proizvoljan (l) paralelogam, (2) pravouga-onik i konstruili ekvivalentan trougao.

3) Kojem pamlelogramu je ekvivalenta! trougao?

FD

A t.>d-

1. I tua i. d>a>c>b.5. Neka su d, 6 i i>1, prirodni broiev,.

r) uporedi 9 i: $ *; Q\ ft: O>f;

fl

2) Sasta'Ji jednake ftizlomke od:9'4-t2 3;10.12:8.15; ...

l9a-39bll. l) tjDrocti: tl\::::: i Ql' ' l2a-12b lia-t3b

,t 3=9. pot'; a"^ i" 319-]. Pro'err io! na's 15 " 5-15 5

nekom primeru a zatin pokati da to vazi uopste, lj.:..{&a seza brojilac uzhte zbi btojilaca dra jedxaka rczlbmkd, a za ihe-nil6c ..., dobiieui brcj je jeArak tin ruzlomcimi.

3) Poka;i da to nij sluiaj kad se operacija izvrsioad nejednakim brojevima, a da vaii kad se za brojilac uzmzbir brojilaca vije jednakih razlomaka, a za , . . , tj. ako je

a . ( I . . a. .telg a' -. .---. onoa let, ri f h ' b-z-f+h b

4) sta se dobija kad se za brojilac uzme razlika'brojilaca, a za imedlac razlika ifteniiaca jednakih brojeva iza:to?

5r LJod; Lroiere i , o. poku;; 6u 1" ?.L'J.4- I 5 - I lr5 5

Uzmi jos nkr plmel. azatjmpotrazi uop{Le: Ako je 1-r,''hr|- a c+a c

onda I -

r zatim oduzmemo isti broj. Polto je olde vec dodaro 42,to ako i oduzmemo 4? osta6e x. Dakle:

5

"tc2-q?-gJ - t2. tt. r-s1..554s204) SartavrzadatkeariasureSenial

"v. t-l- r, .ll =S' '4' 5 2i resi ih navednim rasudivanjem?5) Posto je od : {okruglog) komada sira odseteno

(jos) onolilo kolko je tra:io jedan kupac. osrala je I celogkomada. Koliko je odseEeno?- Relenje zadatka moiemo napi-sati u obliku 5

-x- I i rasudrvaniem: Kak i8 6 o je od broja

-- odu.zet neki broj r, to ako i dodamo taj i6ti broj, dobideoo5.

ouLr" I . l+ x. odakle ie. na o.novu8 8 6 prelhodnog, x-:-I ll624

6) Sastavi zadatke eija su re;enja 41r-t 3 t.i- r-i- t fesr rh navedenrm rasudrvantem.

7) Umesto kojih brojeva stoje slova r, y, z ako je(r) r+l=2; e\ 85

-y-7!: 0\ zlt ,-e[t812 136248) Pra kaie:

'Kupilr srno 6l tone ugttar. A njegov2lata: rsada rmamo ios 8l toneo.

"4

l l4

t 242121t9) (l) Pokatr daJe--->5-l; A r-s-;(2) Ne raEunaju6i roci Sta je veee:

,r l! uJ. iti ll '1, 6y

7-11! ;1, 7 -J!;

-t24 l28 I2S 825t7 24 ... 34 35

.) ---

rll ---.

'11 25 22 36l0) Sta mozes redi o broju x ako je:

rtr '*Itzol, 121 "-l.l-1,I 3 464

2(3).3-n>3-t;I 9 8

-.7 7 t4\ --x

2) Uopsti ta oduzimanja. Uoptti i 5578Jr lzracunaj I 1 i ,.t"li t,n.t.n,.r.

' a a+l2i. t) lzradunaj :-i-i. ga" a oznaeava prirodor broj

- 4 3 2-(.r>l), a za.tim odredl koje brojeve treba staviti umesto d pada rezultat bude prirodoi broj.

2) Znas da jel< t i da kaLl se brojihc povedo ra 4,b

p,'stoi" j: t. K3ko izule,la rozlom:,k 9?'-b-h1., Odredi prethodni razlonak ako znas da kad mu

se doda l. njegov brojilac postaje 14.22" Neka d oznafava m5 koji prirodoi broj.

l) (l) Izvrsi oznaleno sabiranjs i oznaaena oduzimanja:5a-1 2a-5 4a a ts 'la , t 3a

-2 4a . 2753'32'25

(2) Jedno od tih oduzimanja nije uvek mogu6e.Koje i kad?

2) (l) odredi dopumr broja 1:-1 6o 1.a

(2) Kako !e rnenja (broj) 9:l 66 o .o"1"2(3) Koliko trba da bude a pa da razlika izmedrl

brojeva I i ::' bude manja od: 0,00t; 0,0001?3j (l) Uporedi brojeve 1i i L lzraaunaj razlilu

tih brojeva.. a+I

menJa

-

lt6

(2) Kako s kad lt raste?

t\1

(3) Slidno piranje ftao napred pod (3).23. tr (lr UDoredi 15. I6. 17. l8' ne do\ode6r rh

'4567na n. z. i.

(2) Uporedi uopste brojeve: :, =

, .=,b b+l b+2313. ... lua a i n oznaaavaiu pri.odnc broje\e , a>r.h+ I

2) tl) UDoredi nu uroieva j . .s-. ! . 1... oau-- 15 16 t7t8

zimanjem. Kako se rneDjaju brojevi toga niza?12) uoDrre broivi ntuo. ! | l. a-2. a t7. ..

"* b b+t' b+2' b r3'rasr, kad je a

0) !.!:!!: (8)e) a:!:q!. (lo)

@r G+f)il= . (,)(B\ (!+!\'.,=

...rtat\h h)

ll I

.l

bk bhI-+ lr-\b blc

\b bt q2s. l) rzra.utrai ll+?\/t +i\,\2 3/\3 4/(l) izraeunavajudi drugi zbir i pirmenjuju6i. zarim,

zakon dislribucije;(2) izradunsvajudi prvi zbir i primenjujudi zakon

dislribucije; (3) izradunavsju6i oba zbira i mrozeii;(4) mno:edi svaki sabhak prvog zbira svakim se-birkom drugog {rj. primenjuju6i u polpunosti zakon distribucije).

2) tzntunai na razne naiine:,', (1 *r(j-j), r:r (21-e r)pr*of

l) Nka slovo 'l ozna6ava prirodni broj, Odredi sve

brojeve , tako da svaki od brojeva: / l- l\ ' I I l\,t' i)" \z o s)^

bude: {l) prirodni broj; (2) razlomak Loji se moze uproslili.4) Ti isri zahtevi ,o, 4.rn .7tt ':s :e (n 9''

26, l) Koji broj treba stavili unesto slova r pa da levastrau jednakosti bude jedDaka desnoj srrani:tt) Jx-2i t2l 7x !: (3) 8x:r; 1t1 9x 2r: 15) l.x-o.

118

2) BaS rc3avaju6i takva pitanja mi smo primorani dauvodimo nove brojve (mzlomke). ZaistF, na piianjo kojiEbrojem da pomnozimo 3 pa da proizvod bude 12, 18,45, mito lako odgovamdo, jer jedan linilac je jed@k kolidniku pro-izvoda i datog linioca, tj. iz

3r:12 je x:12.3-4; iz 3x:45 je .r:45:3:15.Medutim, kojid brojem da pomnoiimo 3, pa da proiz-

vod bude 21 Ne postoji takav prirodni broj i zato uvodiiDonovi uroi ?. rzda ie 3.?:2.

"1 - ll) Proveri da i., 13 2):2=-J I /l:21 2-3 tr-'\s7J 7 s \57l7 5

kazi tinjenicu. (l) I/raaunaj x taa je x.2. ,6.. tzl trrutrrnaj

... 3- 2rJr KaO le .l-' 5 104) Izradunaj x, y, z, u kad je,

1r1 ,.2-a: et 1.y=t: (i) r-12-6; (ar3552r1(5) r:-:-2i t6l r.l:4-1;l7l J:z:2i {8}

{9r 7* l, tl0) 4:'-l: rttl x'.2 !, rtzt ":.lf:13.'s 1 3 5 1J 12

5) Sastavi sliana mnozenja i deljenja. Napisi (u tomobliku) resenja svih zadataka t. 47, 48 i 49, $ 2 (Prvi deo).

6) Letos je sima bio na moru sa jos 7 svoiih raz-rednih drugova-ca. On je izradunao da je tada na moru bilaI njihovih razrednih drugova-ca. Sta mozei izracunati? zapili)resenje toga zadatka pomoiu slova ). i re5i.

-

Sastavi sli-ine zadatkc.

.

.!j rit. vode. Koliko7) : zapremine flate auze'e su sa 14

iznosi zapremina flale ? Napisi resenje pomodu slova z i izra-aunai ie.

(6)()) 4. : ibb

n! u: ,7,28.1. .r22

ll9

t:): ! izrosi !:4I(3) 5;

9) Zapremina lonca iznosi 31 tit. Napunjen vodom on5je ispraznjen drugim loncem koji je punjen dlapur. Sla moiesjzraaunari? Napisi reienje pomoiu slota z i odredi lapremiDu'

lonca lojom le viSeno pralnjenje. Saqavi i li slidne zadarke.lO) Kojim brojen rreba podeliLi: 111 4 da kotitnit

8) Od kojee broja: (l)iznosi l-?

9

bude 2; 1:116a kolidnik bude j; t3t 39dase aooiie z1r4 ll - s

bude 31; (3) bro-

3. 459'

1l) Mlekom iz bokala n purjeno je 6 jednakih da!a.Zapremina svake aase iznos; J tir. Naprrr relenje pomoiu

8slova x i mdunaj.

12) Koji broj treba podeliri: (l) brojern j pa da koli,J

6nik bude 3; (2) brojem 21 pa da kolidnjk;ern I pu au 1o1;6n;1 5u6" !!!1,

V27. l) Od kojeg razlomka je posrao periodieri decimalni

broj:(\') 0.444.. .; (2\ 4.2323.

2) Izradunaj zbir ; (3) 0,7036262 .

. .z= 3+0,1+ 0.03 +0,003+0.0003 + ...{nadinjen od neograniaeno mnogo sabiraka lako da je svakjsleded' sabirak l0 pura rnanji od prerhodnog).l) lzraeunai tako zbirove:(l) 0,4,0.0410,004 ..

^ (2) 5 +0,23 + 0,0023 +0.000023+. . .4) lzradunaj razliku 1.lll ...

-l.l120

manjj od

28. Neka a, b, c, d,.... ozna6avaju ma koje brojev(prirodne. decimalne ili razloi jene). Izraz! (ponto6r a, b, c, . . .\:(l) svako pravilo tadke 53 (Prr'i deo, ! 2);(2) svaku 6injenicu tatke 54;(3) Einjenice pod l) (4) i 2) tadke

29. Neka a, r, rfi, r oznaaavaju prirodneje veie ili manje od I :6) n. !, ako ye\ m. !, ako 1e

Da

Je

Je

mzl,

l;

:'11;

_>llt\ !: !!. ayo141 !:!, uPobnot !:!. auo.'. 4.m .toi

-.-, aKo' hn30. l) Kojim brcjem treba

bude' (l) veii od l; (2) ve6i odod lr t5) manir od I?5"

(l) veii od 8; (2) manjiod .l; (s) manji od -!?

3) Kojim brojem treba

pomnoiiti 1 oa da5'4; (3) ve6i od 100:

proizvod

(a) nanji

2) Kojim brojem tleba pomnotiti pa da proizvod3s

3)(

jo'*(3) vii od

(4)odod

bude: (l) manji od 1iveii od I ; (5) ve6i od

kolidnik

(2)31

i; tnr

31, Neka p ip

fll

l

l

i

41. Za jedne kolaie treba 3 dela Seiera na 4 dela bra'dna. Devojiica. koja je bila z duiena da spremi teslo. pogresila je i slavila (eder dija iezina iznosi I teiine bralna. Pri-

3melivsi tb, mati joj je rekla da popravi testo. Kako je topostigla?

/q2. t) snezanz i sve(tana inaju zajedno 18 oraha. al;broj Svetlaninih oraha je dvaput veii od broja Snelaninih.Postavi pitanje i resi zadatak.

A sad rasualuj i ovako;Sne;ana ima

Zajedno imaiu2x otaha.

,Y+ 2r oraha:A kako njihov ukupni broj oraha iznosi 18. lo j

.r+ 2x: 18, tj. 3rc- 18. tj. x:6.Odgovor: Snezana 6. Svellana l2 oraha.

2) Peti i ;esti razred jedne ilole sakupili su zaJedno6J0kg stare hartij. Sesti razred je skupio 2.5 "puta< tiienego peti. Postavi pitanje i rasuduj kao u prethodnom sluaaju-

l) sa6tavi problem aije je resenjel(1)

.r+ 0,5x- 12; (2\ 0.7y+ y-3,41rir x+ lx:I. I svaki resi.' 8 16

a) (l) U dva pafteta ima 240 s!e1al,a I tednomima 5 puta vi;e.

(2) Saslavi sliane probleme.5) U dva suda ima lo,4lit. visnjevog soka. U manjem

ima 1,6 )put&( manje soka, Postavi pitanje i resi.6) Saslali zadalak eije je resenje: ( l) t - ! - n: Q1'5

z r -2 -

5.7: (3) x- - 1--4.0J. I svak' resr'0.9 3,037) U dve kante irna lskg meda. U drugoj ima 3kg

meda manje.

8) Stela je za sveskr! i olovku platio se6a sda je sYeska skuplja za 0,50d.

9) U dve vre6e ima ll2,5kg bra\n{.l7.s kg vi5.

l0) Sastavi zadalle slilte ple.hodnim podll) (l) odredi ,, r, z:.

6). 7,) i 3).

(a) 3r+t-?; (b) 13-41,:5;rct A.5z-2-2.25; 1A; l^-i:o,zs;)4{e) l5-22 r-6 {t; 2-32- L

(2) Sastavi slldn prirrere i reli ih.l2r lzradun.j d'a broja kad njiho\ zbir iznos,:

{l) l2:. a iedan je veii od drugog za 3.8:(2) 36,4, a njiLova raziika iznosi 8i;(3) 84,6. a jedan je 3;5 )pura( veii od(4) ?o, a njihov kolidnik je 1;

4(5) 6i, a njihov koliinik je 3,!;(6) 180, a .1 prvog imose koliko 1(1) 23O,

^ ? jednog iznose koiiko ! drugog;

1(8) 40. a : jedoog iznose kolrko drugi.I13) U jednoj fabriei radi 280 radnika, ] muskih=

5:1 hnskih.

414) Od I litra milerama dobija se 0,25kg naslaca,

6 od I lila mle&a dobija se 0,l6lit. milrama. TreLa spremiti1,5 kg maslaa.

125

Ma.ko je rasutlivao lBelih dugmadiCrnih dusmadiBelih i crrih zajedno

15) U ataru jednog sela ueba posejali 2600ha kuku-ruzorn i psenicom ali tako da 0,8 povrline zasejane kukuru-zom bud jednako 0,5 povrsine zasejane plenicom.

43. 1) Na pitanje koliko je kupila dusmadi, Smilja jerekla: )rcrnih 7 viSe nego belih, a ukupno nanje od 27.(

Ljubica je odmah raaundla: Da nije lupila crnih 7 vi5e, bilo bi ihpodjednako i mahje od 20. A to znaei da je belih *upila nanje od 10

I kako je ukupno Da.j od 2?, reaenje glasi2x +7 16.

4) Sta mozex reei o x, !, zi(1) 3x+ 87,2,\!)22-5,7: t6r O,8r- 0,24

p9. FokaZi da se svaka proporcija moze napisati na 4la:na nadina:

(t) a:b:c:d (2, a:c*b:d(3t b.a:d'.c (4) c'.a:d'. b

10. Izraaunaj nepoznali alan propo)clje:

,r, /r -I-.!):i r - '-?\ -1t., .'1,".'\ 4 5/\ e l,/ \ 4J

,l r s -L-?73\:/e -1,1\ .,,',' \ r1 2 118.' \!3 7 91,/

(3) (6 + .r);3: x:2; (4) (6,3-)):15,2:/:10.$ 6. RAZNI ZADACI

- r, l) Ako. su i deljenik i delilac parni brojevi i ostatak(delFnjal je paran broj Obrazloir ru ainienicu.

, Uop:tet Ako su i delicnik i delikr delj^i nekinbrcien, ondd t osntak deljenii ie deljit lin hroje

3) Poveii tu dinjenicu sa pozn.tom: Ako se i dlj-nik i delilac podele istim brojem *" onda ostalak datog de"lienja je &r, gde r oznalava ostatak novog deljenja (dobijenogiz datog posle deljenja i deljeuika i delioca zajednidkim delio-cem ft).

4) Kojr b(ojevi mogr biti ostaci deljenja broiem Ionoe broja koji je deljiv brojem 3?

2l' l) Kad se jedan dvocifreni broj podeli brojem: 2,ostaje I ; brojern 5. ostaje 4; brojern 9, ostaje 8. Kojije taj broj?

2) Jedan parni dvocifreni broj daje kao ostauk 3kad se podeli brojerD 5, a 4 kad s podeli brojem 9

3. Poredaj. poaev od najmanjeg: J.l4l6i 2-?; :,r+; *.7 tl]4. l) Delitac ie 17, koliirik sa pribliino manjom taE-

no!6u do desetih je 13,1. Koiiki mo;e biti deljenik?2) Deljenik je 327. kolidnik, sa tadroldu kao pod 1.je 1,3. Koliki moze biti delilac?

128

l) U t. 3 dat je uroj { qUecijev broj). IzraluDaj ga- lr3'!a udnosdu do 0,00000001.

4) Nadi razlomak diji je imenilac ll,a koji je nriblili broju 0,3.

5) Od svih lazlomak. diji je imenilac 13 nadi orajkoji je mjblizi broju 2,47.

5. Zagradene dEcimale predstavljaju periodu periodidnogdecimalnog broja. Odredi razlomak od koga je on postao:

(l) 0,(324); (2) 0,(018); (3) 3,(370).6. r) rzrarunai: a>i.l'

9. Radedi zajedno Per:i i Sina bi svrsili posao za 30aasova. Ali posle 18 d zaj:dDitkog rada Pera je otilao nadrugi posao tako da je Sima radio jos 18 d. Za koliko biIasova svaki od njih svrSio celi posao'l (Aritmetidki izraz.)

10. Tri brata su podelila sumu novca tako da je prviaoU;o I, arugi ]. a tredi osratak. Medurm treii brat je dao5 -8t.prvom : svog dela a drugom sve ostalo. Koji deo ukupnesum j dobio prvi brat? A drugi?

$ 7, SIMETRIJAl. Sta mo:e! redi za prcdmet i njegov lik )u ogledalu(?2. Posmatraj model ili zamisli kvadar iije su dve

stlare ogmnjdene kvadratima. Koliko simetrijskih rarni ima oD?3. Posmatraj model ili zam;sli piramidu lija j jednt

srana ogmnidena: (l) pravougaonikom; (2) kvadratom. Kolitosimetrijskih ravni ima telot (l); (2)?

4. Zamisli jedan od delova kupe koji se dobjjaju kadse ona presele 0ednom) simetr'jskom ravni. Je li otr simet.ri6an u odnosu ..

-?5. l) Zamisli kugove (pravog) valjka. Jesu li oni uzs-jamno simetridne figure i u odnosu na koju ravan?

2) Uodi proizvoljnu taEku jedne kruZnice valjka i od.redi njenu simetridnu taiku koja pripada drugoj kruznici valjka.

3) Zamisli deo valjka Cija su dva dela povrli kuzoiiseaci, pa ga ispitaj u pogledu simetridnosti.

6. l) Uodi tadku kvadra koja je istovrmeno i tadka je.dne simetrijske ravni pa odredi njenu simetridnu laaku uodnosu na svaku od ostale dve simetrijske ravni. Uopsti di-nJeDrcu.

2) Uodi sve taake koje pripadaju dvema simetrijskinmvnima kvadra. Sra one obrazuju? UoEl jednu raaku re pravei odredi njenu simerridnu taCku u odnosu na lre6u simetrij-3ku ravan. Uopati iinjenicu.

3) Koja taCka kvad.a je sama sebi siDetriCna talka(u odnosu na sve lri simetrjiske ravni)?r30

?. l) Postoji figura valjka koja je salna sebi simetriCnau odnosu na sve simietrijske ravni koje seku krugov valjka.Opi$i je.

2) Postoji li slidna fignra kod: (l) kupe; (2) lopte?8, 1) Sastavi zadatke sliane onima pod 3), 4) i 5) ta-

CLe 13 ($ 5, Prvi deo), uzimajudi nepodudarne kruznice (i reli ih).2) Konstruili tri podudame kuZnice tako da srlata

dodiruje dve ostale i sve ose 6imetrije tato dobijeEe figurc.3) Isto kad su detiri krutDice.

9, l) Dui obrazuje sa osom simetrlje ug4o od ?10. Kolikiugao obrazuje rimetritrn4 duz sa osom simetrije i zasto?

2) Dve p.ave obrazlju rrgao od 380. Koliki je ugaokoji obnzuju njihove osno simetridne figure i z{Sto?

3) Ako su dve stranice fiougla podudarne i njegovadv4 ugla su podudarna. Obrazloti.

f0. t) U t. 24 pod I provgrio si na crteru daje prevo-ugaonit centralno simetrilna figura u odnosu tra prerek Onjegovih osa simetrije. Sad obradozi tu dinjedcu.

2) Mote li trougEo da bude centralno simetridna figura i zasto?

3) (1) Nacrtaj prolzvoljnu kru;nicu, uoti njen lut ikonctruisi njegovu osno simetridnu figuru. (2) Nacrtaj proizvoljan krulni luk. MoZe li on biti centralDo simetrifan u od-trosu na neku svoju taaku? (3) Uzmi cedar simetrije vaD lukai koDstruiSi centralno simetridnu figrrlu.

4) Nacrtaj dve paralelne i podudafle dfii AB i CD.Prema t. 25, 2 ($ 5) one sr.r osno simetridne. (l) Konstrui;icentar simet je. (2) Spoj taake A i C, B I D. Je li dobijodafigua centralno 6inetri6na i zasto?

5) Jesu li dva podudarna kvadrata (p.avougaonika)uvek centralno simtriCne figlre? Koji uslov treba da je za-dovoljen pa da podudarni kvadrati (pravougaonici, trouglovi, . . .)budu centmlno simetrilni?

6) Nadtaj proizvoljnu pravu (r), uzmi cenlar sime-trije O koji joj ne pripada i konstruisi centralno simetriaDofiguru. Sta je, dakle, centralno simetriaDa figura plave u od-nosu na centar koji joj ne PriPada?

l3l

7) Nacrtaj pravu (a) i tadku -a van nj. Konstruili, traosnow prethodrne Einjenice, pra\u (r) koja pripada taaki A, aparalelna je sa (a).

E) Jesu li dve krutnice uvek centralno simetritrle?Nacrtaj dve podudarne kruZnice koje: (l) nemaju zajedniakihtaaaka; (2) inaju jednu zajednidku: (3) se seku i svaki putodaedi njihov centar simtrije.

g 8. KONSTRUKCIJA PODUDARNIH FIGURAl..Nacrtaj proizvoljnu duz ,{8 i tlansformisi je translaci-jom u du, l'8'. Zatim konstruiSi ose (r,) i (J') i duZ,{,4

lako da ona bude osno siDetriina i sa, AR i sa. A'B'.2. To islo udini sa pro zvoljnim taouglom.3. Nacrtaj pro zvoljnu f guru F' transformisi je cntral.

noft s metriiom u odnosu na cenlar O koji ne pripada figuri F.Dobijenu fig!.u F' translordili opet centmlnom simetrijod ufiguru 1'. K6ko 3e more oeposredno dobiti 8" iz n

4. Tranlfotm !i figuru F translacijom u 4. a figuru Frlovom translacijom u 4, Kako se treposredno dobija F, i2 4?

5. Proizvoljni A lBC transformisi osnom simetrijom uA A'B'C'. Kako so sad iz l

'C' fro'e dobiti ABC|$ 9. UCLOVI

t. Nrka u$ 7, t, 1. 4 (Prvi dco) Ot pripada (konveksnom)ngljdcoD, a O,4 nekoaveksnom uglu COD. Pokazi d6 ugaolojl obrazuju b sekldse uvek iztrosi 1200, ma koliki bio totr"veksni ugao ,4OC.

2. Ako ($ 7, t. l, 5) ugao loBpdpada uglu COD bisektrise uglovs COA i BOD su nordalne.

3. Umesto 5 wlova ($ 7, t. 2.9, Prvi deo) uzmi 4 ugla,ali tako da je drugi dveput, t.edi hiput a dltvrti deti.i putaie6i od prvog. (1) lzraduoaj merai broj svakog ugla. (2) Na.pravi precizan crter.

,1. l) Neka je .. merni broj, u stelenim4 i delovirna st-pena,jednog konveksnog ugla. Kako treba izabrati merni brojp (opet u stepenima i delovima stepena) drugog ugla tako da nji.hov zbir bude: (l) manii od opruienog; (2) vedi od opluzerog?t32

2) Neka ie a merni broj (u stpenitna i delovimastepena) ;konvekanog ugla. Nek. p poka4uje za koliko a mo,cbiti veti od opruienog. lzrazi F.

5. Jedan od uglova ,4 koji obrazuje prava (c) ss (a) :L (6)iznosi l! oravoa usla. Koliki ie usao koji njegova bisektrisa3'obrazuje 6a (D)? KonstruiEi crtet.

$ 10. TROUOLO\'rl. Temen4 jednakokrakog trougla su taake jedne krur'

oice. Konstruisi ;1: (l) l.ad ja osnovica dal.a tetivs kruldce;(2) kad je krak data tetiv& ku:nice.2, Neka 8C oznalava osnovicu jednakokrakog trougla

.{JC. Konstrui5i ga kad je dato: (1) osa simetrije (r). pravakoioj pripada krak ,{8 i jedna laEka prave kojoj pripadsosnovica; (2) osa simetrije (r), iedna Latka M plave AB' ied.Mtadka rV piave ,,{C i jedna tatka, P p.aYe BC

3. 1) Oauti talke P i 0 i pta\,'u (p) koja pdpada talkiP. Neka 6u P i O temena jednakokrakog trougla dija je jednsdtratrica duz prave (r). Konstruili taj lrougao.

. 2l Konstruisi visinu ,4H proizvoljnog rrougla .{8CUz i taEku D stranice ili polupr4ve .{, tako da ie BD=BH.U D konstruisi notmalu na It koja seEe rC u L Koje vrsteie LABF i za\to'I (Posmatraj obi 6luEaja.)' 3) DNacrtij( LABC tako dz ie ABaAC OznaEi'tedku , DoluDrave CB tako da je BD*AB i laaku F polu'prave l' tako d^ je BF=CD- Koje vrste je AIDF?

4. Nacrtaj proizvoljan konveksni ugao xOY. OzniEi dvetaEke P i I polupr4ve Ox i odredi tadku ,R poluprave O/tako da APQR bude jed@kokrak

5. Nacrtaj dve oePodudarne duZi. Neka jedna bud.stlsnrcs a d.Wa vkina jednakokrakog trougla pa ga konstrui$i

6. Simetrala ugla C pr4vouglog trougla ItC sa pBvimngloo l, seio

'lB \ D. Pok,,ri (tj. obrazlor) d. je ID

pron46i i pokari (na dva nadinar pomodu sillletrije i pomodupodudarnosti trouglova) koje su figure (duzi i uglovi) podu-danre.

8. Nacrtaj proizvoljan A,{,BC, konstruili bisektrisu uglaI i oznadi njene tacke il i P tako da je AN=AB, APaACObtazJoii da je CNeBP,

9. l) Konstruisi jednakostranidni AABC. Ozns{i ptoiz-voljnu taaku ,' poluprav AB, a z tim oznaEi talku C'poluprave ,C i tadku l' poluprave CA

^li tako da je BB'=

=CC'*AA', Nacrtaj duzi AR', B'C'. C'A' i pokaii da jeA,,l'r'C' jednakostranicni trougao,2) To isto lcad su l', B', C' tatke $inica AB, BC, CA.

10. A', B', C' su ta6ke triju stranica jednakostranianogtrolugta, ABC tako da je aA'=BD'=cc'. Duzi AB'i Bc' seksc u M, BC' L CA' u N, a CA' i AB' u P Pokari da jeM]VP jednakosttanidni trougao.

ll. 1) Pokari da su dve dirke kruznice, povuaene izbte talke (duri od tadke do tadaka dodira) podudame.

2) Koju liniju line:(l) sve tatke iz kojih su poruleBe dirke (i6tck urnice) podudarne;

(2) sredine podudarnih tetiv4 kruZnice;(3) sredine Evih duti koje spajaju ma koje t.Eke

dve paralelne prave?(4) temena ,,1 slih trouglova tija je zajedtriEka

straEica BC, a visine ,4I1 su im podudarne;(5) temena I svih trouglova iija je zajedDilka

stradc4 .8C, a medijane ,]lM su im podudarne.12. Konstruisi A,4rC kad je poznaro:

(1) BC, LB i visina lIt; (2) BC, LB, medija ^,{rvi (3) visjna AE, edijana,4M i bisektrisa lS.

$ II. UPISANI UGLOVIl. Nacrtaj proizvoljnu kruZnicu sa cettrom O, jedan

rjen preCnik .,{8 i ugao lije je teme P taaka kruzdice, a kracjpiipa&ju trajevim! (nccrbnog) predniko. Znoi (V r., D.ugil3t

oeo, { 5, r. 3l) daje lo pravi ugao. Pogledaj oPruZeni ugao,rO, koii ne pripada isloj poluravni (s obziron na ,44). (l)hkati dinjenicu koja izralatz odnos izme.lu rna kog ugla Pr (odgovaiajudg) ienrralnog ugla ,4Or. (2) Konstruisi (naosirovu re einjenice) pravougli trougao aije du:ine hipolenuzei katete iznosel

a) 6cm i 4cm; b) 6cm i 2cm; c) 5cm i 38 rnm.2) Nacrtaj kruZnicu I rna koji ugao aije je tem

tadka kruznice. a aiji kraci seku kru;nicu. On se zove upisani!sao. Nacrtai njegov odgovarajudi centralni ugao. Nacrlajuife upisanih ugiova i njihove odgovarajude uglove. Da li svakiupisanl ugao piedstavlja polovinu odgovarajuCeg cenltaldog?Pioveri. a zatim pokusaj da to i dokazes.

l) Moiemo li re6i: Mmi broj uPisanog ugla jednakre Dolovini mernog broia luka (izratenog u slepenima i delo-uinia srepena) koji Lraci ugla odsecaju? Na osnovu aga?

2. l) Izrafunai mrni bro.i upisanog ugla kad memlbroj odgovaraju6eg centralnog u8la iznosi: 6001 800: 30o: 170:50: 480 36',

2) lsto kad merni broj luka iznosi: 160; 1550; 110 40'3) Nacrlai proizvoljnu pra\u i pro:zvoljnu kruziicu

aiii centar O ne pripada nacrlanoi Pravi. a seaeje (tu pravu)u ,B i ,1. Nacrtaj pod1rdarnu kruZnicu sa centrom l. Onasele prvu kiuzniqr u C i D. Kotiki je memi broj ugla: ,4Bc;ABD1 Z^6to'l

-

Vdbaj konstrukciju tog ugla od . . stepeni.4) Nacrlaj poluprav! koia izlazi' iz P. Neka om

bude jedan krak ugla od 300. Konstruisi ga kao pod 3).5) ,4, je prelnik kruznice, cje taEka kruinice. Kom

luku p pada taaka D ako ie LACDT (l) oitar; (2) tupi(3) Prav?3. l\ AB je pranik krutnice, C i , su lakve tadke

krurnice da je (LACD)*121'. Izralunaj merni broj ugld:(t) BAD| (2) BCD.2) Sastavi slidan zadatak ked je (LBDC)-2'''3) UEao B= LC jednakokrakog trougla ,48C inosi

320. lzradunai mrDe brojeve centralnlh uglova opisane krutnic.e loji odgovaraju teli\lanra AB i Bc.

135

4) KonstruiSi cent.alni (ZA)C)-600. Nacnaj vileupisanih uglova aiji kraci pripadaju radkama , i c. SLa mo-IeS reCi o njima. lska:i (napisi) op(!u drnjetricu.

5) Nacrtaj proizvoljni |u5ao EFC| i konstruisi, koris-tc6i prethodnu einjeoicu. 5 uglova podudarqih uglu

-EFC,4, Dirka u t.dki A kntinice (Oi OAI morEse konstrui-

sati Da dva nadina:l) Nac a se poluprava O,4, uzme se njena tatka B

tsko d^ je AB=AO, konstruise se ma koja tadka P simetraleduzi O, i povuae Ffrva PA, (Obt'.zloZenie ti je poznato.)

2) Opise se kruinjca (,{; lO) koja sede kruhicu (O; O,4)u C i Cr. Nacrta se poluprava OC (1li OC) i konstruiskruznica (C; Cl) koja sede polupravu OC u D. . . (Dovrxi iobrdzlori.)

5. l) U V r., Drusi deo (g 5,r.32) konsrruisao si dirkekruznice koje pripadaju proizvoljnoj ()spoljainjoj() talki. Po-aovi konstrukciju i obrazloZi je EiDjenicom iskazanom u t. tpod (1) ovog $.

2) Nacrtaj krulnicu (O; 3 cm), uzmi talku ,lf tako daje (MO):1 cm; 5 cm; 4 cm; 3.5 cm i svaki put kotrstruisi od.govarajude tangente.

$ 12. CETVOROUG LOVIl. Moie li da se konstruite *apez ABCD kad je pozr],to.

CD, LC, L ADC i odstojanje paralelnih stranica Cil? Navedijog 6 mogudil sludajeva razliditih od oDih navederth u t. 7. 1, g 9.2. Sta bjla ako neparalelne stranice trapeza produ-

,imo Dpreko< manje paralelne stranice? Zato se ttougao smatraposebnim (specijalnifl) topezom, naide: Trougao je trapezlija je jedna paraleha stranica >nula( (du:ina joj je aula).Iz toga sledi:l) Lhija koja spaja srediae dveju dtranico trougla, tj.$ednja li ije ttougla Je parulelna trcCoj strsnici i podudana

No to se more pokazati i ako se trougao npr. :4rC do-puri do p4ralelogr&ma ABCD. Nek^ su tada t i -A sledinc

stranica ,{, i ,{C, a It presek poluprave tf i CD, "Iatke Ki E su ceatralno sidetrilqe u oddosu n4 .F. Zaito? Sta slediI36

odatle za taaku I( stremce CD? Otuda j t/{=BC. A srednjalinija EF?

2) Poka.ii to za ostale srednje linije trougla.3. l) Sredine stranica svakog konveksnog detvorougla su

temena paralelograma. Obrazlori.2) Pokali pomo6u srednjih litrija trougla Ci4ienicei. r7, $ 9.3) Oanadi sredine straaica ma kog aetvorougla ,4rCD

redom sa E,4 G, if. Pod l) ove tadke pokazs,o si da EFGHje paralelografi. Koje uslove mora da zadovoljava detvorougaoABCD pa d^ EIGH bndet (l) pravougaonik; 12) rornb; (3)kvadrat.

4) Obim paralelograma dobijenog pod l) ove tadkepodudaran je zbiru dijagonala detvorougla. Obrazloii.

5) Ddina obima jednakokrakog trapeza iznosi 132 cm,a duzina jedne njegove paralelne sranice 36 cm. Dijagonalaje bisektrisa oltrog ugla. lzralunaj duZiDu srednje linije.

4. Od jednakostrsri!trog trougla napravi 4 jednakostra"tridn& trougla.

5. Neka je ,4Il visina trouglia,4rC. a M. /{ ipsredincojegovih stranica. Koju figuru odrealuju ratke M, N, P, H'l

6. Nacrtaj detvorougao dija su dva naspramna ugla po-dudama. Koji detvorougao dobijas? Pokazi to i rasudiranjem.

7. Duiina dijagonale ,4C paralelograna ,{rCD iznosi 15.Dut koju odreduju sredina slraDice /, i DC sele AC D M,lz-@t\naj (AM ),

8. Nacrlaj proizvoljan konveksni ugao i oznadi niepovnuaku ,,l1 koja ne pripada njegovim tracima. KonstnriSi p-ravukoja pripada tr"tki M, a sete kEkove t I i I tako da jeMA=MB.

9. l) Konstruisi pravougaonik kad je poast polupreanikopiEane kruznice i manja strsnica.

2) PokaZi da jc mediiana pravouglog trougla kojaizlazi iz temena pravog ugla podudarna polovili hipotenuze.

3) Ako jed.D ugno pravouglog trougla iznosi 60,kateta koja ga obrazuie ie todualarno polovini hipotenuzc.

137

F'

10. Kon$ruisi lrspez kad su poznate: (I) rve stranice.(2) tri stranice i dijagonala; (3) tli stranice i odstojanje par.'lelnih stranica.

11, Nacrtai proizvoljan romb i kon3truisi simetrale nje-povih srranica. l) Pola:i da Dreseci tih simetrala pripadajuiiiasonalama romLa i odreduju pra\ougaonik. 2) Sla biva s.rim-pravougaonikom kad se tomb prer\ara u kvadrat?

3) Od iednaloslranianog rrougla napravi tri podudarnai(l) trougla; (2) dehoida; (3) trapeza; (4) op{ra detvorougla12. 1) Koliko se parsllogama moze sastaviti od dv

date duzi? Prikaui nekoliko crtezo a zamisli sve. Jedan odnjib je pravougaonik. Koji?

2) Sastavi sl;tno pilanje ra romb.3) MoZ5 li redi da je poralelogram vrsta tlapeza?4) Zamisl; proizvoljaD tapez ABCD. Kako lreba da

re obrde npr. stranica 8C pa da se dobije paralelogramt5) Objasni slikt 20 (Pni deo).

$ 13. EKVIVALENTNI EETVOROUGLOVI I TROUGLOVI1, l) )Nacrlaj( proizvoljan pravougaonik ABCD i ied$)

njegovu diagonalu, npr. ,4C. Proizvoljnom taEkom S te dija'gonale povuCi dve prave, jednu pa.alelnu jednoj stranici, drugup&ralelru drugoj stranici pravougaonika. One dele Povd pravo'ueaonika na ? pravougaone povrsi od koj b dte tsete( nacr'taina dijagonala. Poka2i da su one druge dve lkoje dijagonalang rs6le,.) pravougaone po\rsi ekvivalenbe (vidi s| 23. Prvideo).

2) Pokazi slidnu dinjeflicu za opSti paralelogram3) Na osnovu pretfiodnih tinjenica mogu6e je kon-

rrruisati pravougaonik ekvivalentan datom pravougaoniku. pa-ralelogram ekvivalentan dalom paralelogramu. Tako, na sl. 24(Prvi .'deo) najpre je nacrtan pravougaon* ABCD a zarira iekonstruisan ekvivalentan pravougaonik ,IXEF (povrl Pr zamenjena je sa povrii Pr). Izvrfeoa je konnrukcija obrnula onojoa sl. 23. Naime, povudene su paralelne poluptave rCirrl(tr je u ovom shCtju proizvoljna ta6ka stranice lr). .l(1, seaeDCu S, a,.{S sede 8C u G. Iz Gje povudena polupravaparaleloa sa 8/.

138

4) )Nacrtaj( oplti paralelogram ,.{rC, i konstruiSjekvivalentni pamlelogmm AKEF Ade je tr talka stranice ,4r.

5) Kao pod 3) i 4) samo da .i( bud proizvoljnata6ka stranice .4D.

2. 1) Na sl. 25 (Prvi deo) dat je paralelogram ,{rCD, akonstruisan je ekvivalentni paralelogrsm AKMN, li. K je!adk4 poluprave ,4-8. Ssd je, dakle, prvo odredna taEka C,pa s i najzad M i ,V. Konstruisi i na taj nadin ekvivalentncparalelograme datih paralelogiama.

2) To isto kad je ,4rCD pravougaonik.3) Konstruisi: (l) pravougaonik, (2) paralelograb

kvivalentan datom kvadratu.3. 1) Nacrtaj proizvoljan detvorougao i konstruili ekv;

valentan trougao. To ponovi, uz obrazlolenje, vis puta.2) Istim post pkom konstluixi lrougao ekvivalentan

datom: (l) pravougaoniku; (2) paralelogramu; (3) ronbu,3) Konstrui5i privougaonik ekvivalenian dstom E-

v orouglu.

$ 14. POVRSINB I ZAPREMINE FICURA KOJE SENEPREKIDNO MENJAJU

L Konstruisi (najbolje na milimetarskoj hartiji) kvadrarABCD Eiia. d\rir.a stranice iznosi 8cm, nacrtaj njegow dija-gonalu npr. ,4C i pfoizvoljnom djenom taakom S povuci pravepanlelne stranicana. Dobijeni pravougaonici su ekvivalntni($ 13, t. r).

1) Uzmi taiku: Sr (dijagonale) na odstojanju lcmod.4t, Sr na odstojanju zcm od 18, ,53 na odstojanju 3cmod ,4.8 itd. i srali put izradunaj povrSinu odgovar4iuieg pra-vougaonika. Sta primeiujes?

2) Zamisli. da se ladka ,S DIexa( duZ dijagonale paispitaj kako se menja povtSina pravougaonika kad taaka Sopisuje dijagonalu,4C.

3) Prikazi grafidki to menjanje povrsine pravougaonika.2. Konstruisi pravougaonik dije su durine stranica 16cmi 8m pa ponovi sve 5to si uainio u prettrodnoj taaki

lredom pod l), 2) i 3)1.139

3. Konstruili kvadrat IBCD 6ija aluzina sttadice iznosi8cm. U njega upisi kvadrat Sfutl tako da je teme E taakrstranice lr, teme T talka sttaoice ,C itd. Ispitaj menjanjepovrsine) kvadrata STUI/ kad ie (,4E:I:ocm, Icru,2cr!.3cm, 8cm, a zalim kad 6e x neprckidno menjz.

4. Uzmi karton oblika kvadrata Cija duzina stranice iznosi6clu. Odseci jednake kvadratne delove iz svih )uglova

il'

cifara poEev zdesna !a parove, deljiv brojem ll, 33 ili 99.1) Proveri da je btoj 2031354 dljiv i brojem 1l i brojeh33, a broj 6918021 deljiv b@jem 99.- Sastavi i saltr sli-dne brojeve. 2) Odredi cifre x i y tako da broj 163160r,bude doljil, brojem 99.

7. Broj je deljiv btojen27,37, 1ll, 333 ili 999, akoje zbir trocifrenih brojeva, dobijenih kao pod 6, deljiv bro-jen 27, 37,11l, 333 ili 999. Na primer broj 243162 je de-ljiv brojem 27 jer je 162+243-445 deljiv proizvodom 3.9.Btoj 776223 je deljiv svakim od pomenutih brojeva. Proverii sastavi sliane brojve.

8. Napili ma koji vilecifreni broj, rastavi trjegove cilreu skupove od po tri cifre. Sastavi zbir dobtenih trocifrenibbroieva na ncparnom seslu i zbir trocifrenih brojeva D.pamom mesru. Ako je razlika tih zbirova 0 ili sadrtalacbroja-1001 on je deljiv brojem 1001, a samim tim i broje-vima ?, ll, 13, 77, 9l i 143, jer je 7.ll.13:77.13--9I l I - 143'7: I 001. Proveri to na primeru I 569 802 234.sastavi i sam priDere.

9. Kako heba izabrati prirodd broj r pa da broj ob-lika 2,+1 bude deljiv: (l) brojem 3; (2) brojn 5?

10. Kako treba izabrati ,r pa da broj oblika lo'-lbude deljiv brojern: (1) 9'; (2) ll; (3) ll'??

11. Proveri da kriterijum slilan kriterijumu deljivostibrojem 9 va, u svakom sistedu brojanja. Pa prema tome isliho pravilo proveravanja.

12, Iz prethodnog i sledi k terijusr naveden u t. 6, jetse uzima sistem brojanja dija je osnova 100.

O 2. IZ OBLASTI PROSTIH BROJEYAl PokaZi da je broj 1273 slozen, a 22?3 prost broj.2. lzmeitu 4oO i 5oO ima 17 prostih brojeva. Odredi ih.3. NajvCi matematiaari svih vremeta i narodnosti tra.

,ili su oplti postupak za odredivanje prostjh brojeva. Meatu-tim, do danas nije pronaalel takav najopstijj postupak, nijepronadena najopitija fo.mula. Pronadene su rnanje oplte for-142

dule od kojih svaka odreduje samo [ekoliko prostih brojevaili samo neke proste brojeve. Na primer:1) Ldatrdr (francuski matem4tilar 1725-1833) j

Eastavio formulu 2*+29 koja, kad se stavi x-O, l, 2, .., ,28, daje 29 prostih brojeva. Tako: za r:0, formula daje29, A x:1, daje 31, za x:2 dobija se 2.4+29:37t at-28, formula doje 2.28'z+29:1597. Izradunaj ost4le,

2) Ojler (Srajcarac 1701*1753. radio.u Rusiji) sasta-vio je formulu *+.x+41 u kojn treba sbviti x-O, 1,2,. ... 39. Raaunaj.

3) Danas se upotrebljava i formula ,,:(2rl l):3gde uDesto ? treba slaviti svaki prosti broj redom (osim 2).Tako: n3: 3, ar: 1l, r,: 33,.. .,,s: l7a 956 771,. . . Medu.lim, vee ,1:45812984491 nije prost; linioci su mu: 177?i 25781083. Proveri sve Sto je izradunato i FEunaj ostalo.

4. Savremene elekt.onske masine omogudavaju odredi.iarje vrlo velikih prostih brojev6. Tim putem su do sadaotkJiveni ovi ogromni prosti brojevi:(l) 2er*l:68...57151 (Pi!e se sa 157 cifara,)

(2) 2o?-l:531 . . .28 127 (Pise se ss 183 cifre.)(3) 2t,1,

-

I : lO4 07 9,, . 29 087 (PiSe se so 368 cif .)(4) 22or*1 (PiSe se sa 700 cifara.)(5) 2'3t-I (Pise se sa 750 cifara.)(6) 2t't1-L [Pi5e se sa 100] (taCoo 969) cifara.l

5. l) Osim broja 2, 6vaki p.osti broj je neparan. Po.stoje samo dva prosta broja dija je razlika l. lmnuj ih.

2) Medu prostirn brojevima ima mnogo pa.ova tak-vih da njihova razlika jznosi 2. Takvi se t'ojevi zo'i/u bliztuci.Na primer, bliznaci su:5 i 7, ll i 13,... 857 i 859,...Nsjv4i. poznati danas. bl maci 6u l0 999 949 i l0 999 951. Dati ilEa vedib blizanaca? Na to pitanje nauka jos nrje odgovorila.

3) Ako je "

prost broj, onda je broj1.2,3...(p-l\+l

deljiv brojem p. No primer:Ato je 7*5, 12 3'4+l je deljiv brojm 5.Proveri tvrtlenje za, p-7, ll, 13, 17, 19.

t43

5 3. SAVRSENI BROJEVI.'PRIJATELJ SKI BRO]EVI1. D Za broj 6-l+2+3 ka* se da ie satden, lsto

tako 28: I +2+4+7+ 14 i 496: 1+2+4+8+ 16 + 3l + 62++124+24A $ savlenl brcjeti. BtoJ je.lnak zbinr swjih deli-ldca zow se savle i brcj,

2) Savrleni brojevi se odrduju tz formule 2,-1(2'- l).gde umestop treb4 staviti ove brojeve:2,3,5,7,13,17,19.31,61,9E, 107, 121,521, 607,,.. Provd bar za prvih 5brojeva p.

3) Do danas je pronailen, pomodu elektronskih ma-dina, najvedi savrseni broj 2t t5 (23,t7-L). Otr se piSe sa oko2000 cifara,

2. l) Delioci broja 220 su: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55, 110 i 220. Delioci broja 284 s1t. 1,2,4,71,142i284.Meatutim:

I + 2+ 4+ 5 + 10 + I I + 20 +22+ 44 + 55 + rl0:284 i| +2+ 4 +11+ 142 -220.

Zbog toga sc za btoje\e 220 i 284 kaae da sn ptwelii.Naplsi def iniciju brojeva prijatelja.

2) Proveri da su slededi brojevi prijatelji:(l) I 184 i l2l0; (2) 2620 i 2924i(3\ t7 296 i 184l6i (4) 69615 i 87633.O 4.

'MAGIENI PRSTENOVI< ILI )PRSTENASTI BROJEVI{

1. Isecite tri nejdnaka Oela) kruzna kartona, montirajteih jedan na drugi tako da im se centri )poklapaju

rj. (Drugi deo, $ 4, 1.27) da 142857 predstavlja periodrperiodianog decinalnog broja

0,r42a57 t428s7 . . .:0, (142857),Ikoii posiaje od razlomla -.tj. pri deljenju l:?1

otuda je odmah jasna osobina navedena pod 2). Naime.proizvodi broja 142857 brojevima 2,3,4,5,6 su periodeperiod;dnih decinralnih brojeva kojr poslaju od :i- ! 2).- 7\ 1 |; (: | ,) i ( - i ,l rrporedire na primer

| =r,t-o.t4.285? . r - - 3tj -0,428571.7 lo | 3030 2020 6060 4040 5050 l0ll

Ponavljaju se isti oslacj (1. 2. 3, 4, 5 i 6 Zasto treoogu bili drugi?) samo drugim redom i zato sve periodcmoraju biti ssstavijene od islih cifara.

I posto se ostaci smenjuju taano odredenim redom, lot periode postaju jedna iz drugc taEno odredenim redom

l, 3. 2, 6. 4. 5 ................ 1428573, 2. 6. 4. 5. l . . . . . . . . . . . . . . . 4285712. 6. 4. 5, t. 3 .......,........2857146. 4. 5. l. l. 2 ........... -. ...9s1t424, 5, I, 3. 2. 6 ................5714285. l. 3. 2. 6. 4 ................714285t, 3. 2, 6. 4. 5 ...........-..... 1428s7

Prstenasti brojevi, tj. periode nastaju jedna iz druge kna',aom ( cikliinom ) penhutdcl)rorr: prva c;fra sleva ide na prvo mestozdesna. pa druga postaje prva. porle i ona poslaje poslednjaitd. dok prva tdesna (jcdinice) ne dode na prvo mesto sleva

146

A zasto su zbjrovi i razlike sastavljeni od istih cilara?t to je nuzno. Svak' zbir. svaka razuka je u st\ri zbir'

odno"no razlika dva od brojeva l. i. i i I i ! N"" 17111 7primer zb,r 28s 7l4 4:8571 jusr\arizbir 1-t;=i"r*"ota lroia l;e samo jedna crLliena pennutacrja bro;a 14285?' '1'ruedurin: ? rl-] , o,uau 285714 . 714285-ggg ggg i177t. jer je 0.999999e1.i*!:!- ; otuda 428 5?l + 71428s: I 142 8s6- 142 857'8177 6 2.

lTracunaj rarliku I -1 i odgo'arajutu pcrioduKad je razlika dva prstenasta broja 0?2. l) Time je polpuno objalnjcna

'tajna< prstenastihI

broieva koii po'raju od i l zaro je lako zakljucrtr da rakvclosobinc imaiu mrrogi brojevi: svaka perioda

.. a perioda ... (Dovrsi ) Nb primer:,,, I

-o.,osg8z:szgo, Lteol)17rzl A = o,(o:++ezrsso 206896s5r724t37s3r)29r:r

-l- =o,rooos:zl:gt531 . 90l2023l' | 91Jod kojih ovaj poslednji nosi irekord

l''

3) lz periode broja (2) izvedi, ciklidnom permutacijom,8vc prstenaste brojeve.

3. Prstenasti brojevi idaju jo5 jednu zadDljivu osobir!,oa primer

142 428 05882352+ 857 + 571 +94117647999 999 99999999

E823s294+ I1764705

99999999Iskazi tu osobitru, Proveri je na broju (2).4. Ako je broj decimala (cifara) p"riod" (4-J), oag6.2-

varajudi. prstemsti brojevi se rosporeduju u dve rnnotDe. Nspn!&r rz

1- o.'ozosu:r13

dobijado (ako katkote radi stavimo 0:0,076923):

kru:oice (i onda se podiei uvis). Pri tome za svaku vrstu bl'fiii"'O"J fJti"" ji odreden. Na primer kod lipe i bresta

tton iznosi :, kod bukve :. hrasta I vlsnje -2' 3'

razred 6 - stanko prvanovic - zbirka matematickoh zadataka

Documents