zbirka zadataka i

8/19/2019 Zbirka zadataka I

1/274

ЗБИРКА ЗАДАТАКА Iматематика за гимназиjе

БиХ, Република Српскадруго издање

Растко Вуковић, проф.

© Архимед, Бања Лука, 2016.


2/274

Растко Вуковић: Збирка I

Предговор првом издању

Књига jе додатак моjоj скрипти Математика I, наведеноj у литератури на краjу.

Да бих избегао понављање, ове и методе из скрипте се само делимично поклапаjу,али су одговараjуће области препознатљиве. Чак и када су наслови jеднаки, примерии задаци нису. Тако да jе програм математике за средње школе у Републици Српскоjдубље захваћен.

Зато што се теме надовезуjу на поменута предавања овде нема дугих нити лакихувода. Брзо се прелази са средње тешких „задачића“ за ученике слабиjег и просечногзнања, на задатке за боље ученике све до понеког проблема коjи би могао битии на математичкоj олимпиjади. Ипак, као што ово ниjе лектира за почетнике,ниjе ни помагало за такмичења. Сматрам да „лаких“ збирки на нашем тржиштуу овом тренутку има довољно, као и „тешких“ спортских. Уосталом, задаци саматематичких надметања средњошколаца нису типични за процес наставе.

Jош jедан важан проблем код писања школских збирки долази из сукоба „прописа”за наставника са могућим плагиjаризмом. У уском процепу, између жалби да сузадаци другачиjи од прописаних или „претешки” и нарушавања нечиjих ауторскихправа, тешко jе бити оригиналан, али ниjе немогуће. Свугде сам где jе то ималосмисла пажљиво цитирао изворе али их и радо избегавао. Иначе, супротно општемверовању, мислим да много учења напамет, или увежбавања „истих” задатака не битребао бити циљ математике за гимназиjе.

Сматрам да су (кратки) излети изван редовног градива пожељни и корисни. Тоне само зато што су теме нашег програма понегде послагане као рогови у врећи,помало и због сталног светског развоjа математике и њених примена.

Тако некако долазимо до закључка да jе ово збирка задатака за додатну наставу,

или за додатно самостално учење математике. Циљана jе да буде jедан обичанприручник каквих немамо довољно у повезивању предвиђеног школског градива,али на начин да се више служи горњоj половини од оних лошиjих до оних бољихученика.

Растко Вуковић, jануар 2016.

Гимназиjа Бања Лука 2


3/274


Предговор другом издању

У овом издању су исправљани лапсуси, неке штампарске грешке и пар мање

очигледних пропуста. Ништа посебно, колико корисно читаоцима неотпорним насличне пропусте, а коjи су ипак циљана група за овакве књиге.

Растко Вуковић, март 2016.



4/274




5/274

Sadržaj

1 Логика и скупови 71.1 Алгебра исказа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Скуп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Релациjа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Функциjа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Броjеви 372.1 Цели броjеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Разломци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Реални броjеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Примене пропорциjа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Геометриjа 613.1 Тачке и праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2 Углови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 Сличност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4 Тригонометриjа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Симетриjе 954.1 Подударност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2 Изометриjа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3 Хомотетиjа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4 Фигуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Линеарна алгебра 1295.1 Вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.2 Координате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.3 Jедначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4 Неjедначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Полиноми 1536.1 Делење . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2 Нултачке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3 Матрице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5


6/274


6.4 Рационални изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Bibliograja 269

Indeks 271



7/274

Glava 1

Логика и скупови

Овде су обрађени поjмови засновани на математичкоj логици и теориjи скупова,коjи заjедно са теориjом група припадаjу области апстрактне алгебре.

1.1 Алгебра исказа

Исказ jе реченица алгебре логике, односно тврђење коjе може бити тачно илинетачно. Означавамо „тачно“ са 1 или , што читамо „те“, а „нетачно“ са 0 или шточитамо „не те“. Истинитосну вредност реченице p често означавамо са τ ( p). Прематоме, τ ( p) = када jе p тачан исказ, а τ ( p) = када jе p нетачан исказ.Вариjабле , променљиве, или опште броjеве алгебре логике означавамо великимили малим словима a,b ,c, . . . ,x ,y,z . Оне такође могу узети само по jедну од две

вредности из скупа {„те“, „не те“}. Унарна операциjа jе негациjа и она има наjвишиприоритет. Мало нижи приоритет имаjу бинарне операциjе конjункциjа, дисjункциjа,а jош нижи приоритет имаjу импликациjа и еквиваленциjа, такође бинарне операциjе.

Негациjа исказа a, коjу означавамо ¬a , ā , или a ′ , мења вриjедност тачностиисказа a , тако да jе ¬ = ¯ = и ¬ = ¯ = , односно ¬ 1 = 1̄ = 0 и ¬ 0 = 0̄ = 1, када исказa узима редом вредности “тачно”, односно “нетачно”.

Дисjункциjа два исказа, a ∨ b што читамо “a или b”, jе тачна ако и само ако jебар jедан од тих исказа тачан. Конjункциjа два исказа, a ∧ b, или a&b што читамо “a и b”, jе тачна ако и само ако су оба исказа тачни. Дисjункциjа и конjункциjа суредом дати у следећим скраћеним табелама.

∨ 1 01 1 10 1 0

∧ 1 01 1 00 0 0

Када нема забуне са аритметиком, дисjункциjу и конjункциjу пишемо као сабирањеи множење, редом a + b и a × b, односно a ⋅b.

7


8/274


Задатак 1.1.1. Провjерити тачност исказа:

4

5 >

5

7;

3

5 −

2

3 =

1

10; ¬

31

32 <

15

16; ¬

17

18 −

13

14 =

1

63.

Импликациjа, коjу означавамо a ⇒ b, jе увек тачна осим када jе претпоставка aтачна, а последица b нетачна. Еквиваленциjа, a ⇐⇒ b, jе тачна када су искази a, bисте вредности. Ексклузивна дисjункциjа a∨b (такође a∇ b или a ⊕ b) jе тачна када jе само jедан од исказа a, b тачан.

Пример 1.1.2. Написати скраћену табелу екслузивне дисjункциjе.

Решење 1.1.2. За оба иста ∇ даjе нетачно , а за различита тачно :

∇

Пример 1.1.3. Изразити ексклузивну дисjункциjу помоћу негациjе, конjункциjе и дисjункциjе.

Решење. Има више начина, нпр. a⊕b = (a ∨b)∧¬(a ∧b), или a⊕b = (a ∨b)∧(¬a ∨¬b),или a ⊕ b = (a ∧ ¬b)∨(¬a ∧ b). Користећи „инжењерскe“ ознакe 1 , последњи примербио би: a ⊕ b = a b̄ + āb.Задатак 1.1.4. Написати скраћену табелу импликациjе (еквиваленциjе) и изразити их помоћу негациjе, дисjункциjе, или конjункциjе.

Задатак 1.1.5. Изразити дисjункциjу и конjункциjу помоћу импликациjе и негациjе.

Уз импликациjу, a ⇒ b, иду три додатне врсте исказа: конверзиjа b ⇒ a , инверзиjа¬a ⇒ ¬b и контрапозициjа ¬b ⇒ ¬a .

Задатак 1.1.6. Написати конверзиjу, инверзиjу и контрапозициjу за импликациjу:i. ако jе он добар тенисер, онда jе он популаран;ii. ако пада киша, трава jе мокра;iii. данас jе недеља, па jе нерадни дан.

Таутологиjа jе исказ коjи jе увек тачан. По jедноj подели таутологиjе могу бити

очигледне (нпр. „бело jе бело“) или компликоване, по другоj важниjе или мањеважне.Пирсов 2 закон {(x → y) → x} → x jе jедна од компликованиjих али важниjихтаутологиjа, коjу можемо сматрати врстом Закона искључења трећег 3 . Пирсова

формула jе лажна само ако jе антецеденс {(x → y) → x} тачан, а консеквент x1 за негациjу ¯ p уместо ¬ p, за конjункциjу pq уместо p ∧ q , за дисjункциjу p + q 2 Charles Sanders Peirce (1839-1914), амерички математичар и филозоф3 Тврђење може бити само jедно од: тачно, нетачно



9/274


нетачан. Ако jе ово тачно, или jе консеквенс, x , тачан, када jе цела формула тачна,или jе антецеденс x → y нетачан. У последњем случаjу, антецеденс од x → y, што jеx , мора бити тачан 4 .

Пример 1.1.7. Пирсов закон:

p(x, y) = ((x ⇒ y)⇒ x)⇒ xi. доказати помоћу истинитосне таблице;ii. доказати методом контрадикциjе.

Решење. i. Таблицу попуњавамо с лева у десно, редаjући „тачно“ и „нетачно“ у прведве колоне, одозго на доле:

x y x ⇒ y

(x ⇒ y

)⇒ x p

(x, y

)1 1 1 1 11 0 0 1 10 1 1 1 10 0 1 0 1У последњоj колони сви ретци завршаваjу са тачно, тj. 1, што значи да jе реченица p таутологиjа.

ii. Импликациjа A ⇒ B jе нетачна само када jе A тачно и B нетачно. Претпоставимода постоjи такав случаj. Тада A = ((x ⇒ y) ⇒ x) = и B = x = . Зато jеA = (( ⇒ y) ⇒ ), односно A = (() ⇒ ), па jе A = . То jе у контрадикциjиса претпоставком да jе A = , што значи да jе дата импликациjа увек тачна.Задатак 1.1.8. Следеће таутологиjе:

( p ⇒ q )⇒ (¬ p∨ q ), (¬ p∨ q )⇒ ( p ⇒ q ),¬( p∧ ¬ p)⇒ p, ( p∨ q )∧ p ⇒ ( p∨ ¬q ),i. доказати помоћу истинитосне таблице;ii. доказати методом контрадикциjе.

Задатак 1.1.9. Проверити таутологиje 5 методом по свом избору:i. Закон рефлексивности импликациjе: p → p;ii. Закон искључења трећег 6 : p∨ ¬ p;

iii. Закон непротивречности: ¬( p∧ ¬ p);iv. Закон двоjне негациjе: ¬¬ p ↔ p;v. Закон транзитивности импликациjе: ( p → q )∧(q → r)→ ( p → r);vi. Закон транзитивности еквиваленциjе: ( p ↔ q )∧(q ↔ r)→ ( p ↔ r);vii. Закон уклањања импликациjе: ( p → q )↔ (¬ p∨ q );4 Peirce, the Collected Papers 3.384

5 Универзитет Црне Горе: http://www.fzpkotor.com/joomla/6 Tertium non datur


http://www.fzpkotor.com/joomla/http://www.fzpkotor.com/joomla/


10/274


viii. Закон уклањања еквиваленциjе: ( p ↔ q )↔ (( p → q )∧(q → p));ix. Закон свођења на апсурд 7 : (

¬ p →

(q ∧ ¬q

))→ p;

x. Закон идемпотенциjе за конjункциjу:

( p∧ p

)↔ p;

xi. Закон идемпотенциjе за дисjункциjу: ( p∨ p)

↔ p;xii. Закон комутативности за конjункциjу: ( p∧ q )↔ (q ∧ p);xiii. Закон комутативности за дисjункциjу: ( p∨ q )↔ (q ∨ p);xiv. Закон асоциjативности за конjункциjу: ( p∧(q ∧ r))↔ (( p∧ q )∧ r);xv. Закон асоциjативности за дисjункциjу: ( p∨(q ∨ r))↔ (( p∨ q )∨ r);xvi. Закон апсорпциjе за конjункциjу: ( p∧( p∨ q ))↔ p;xvii. Закон апсорпциjе за дисjункциjу: ( p∨( p∧ q ))↔ p;xviii. Закон дистрибуциjе конjункциjе: ( p∧(q ∨ r))↔ (( p∧ q )∨( p∧ r));xix. Закон дистрибуциjе дисjункциjе: ( p∨(q ∧ r))↔ (( p∨ q )∧( p∨ r));xx. Деморганов закон конjункциjе: ¬

( p∧ q

)↔

(¬ p∨ ¬q

);

xxi. Деморганов закон дисjункциjе: ¬

( p∨q

)↔

(¬ p∧ ¬q

);

xxii. Modus ponens 8 : ( p∧

( p→ q ))

→ q ;xxiii. Modus tolens 9 : (( p → q )∧ ¬q )→ ¬ p);xxiv. Закон конjункциjе са таутологиjом: ( p∧ )↔ p;xxv. Закон дисjункциjе са таутологиjом: ( p∨ )↔ ;xxvi. Закон кнjункциjе са контрадикциjом: ( p∧ )↔ ;xxvii. Закон дисjункциjе са контрадикциjом: ( p∨ )↔ p.Задатак 1.1.10. Доказати да jе формула F = ¬(x ⇒ (¬x ⇒ y)) логички неистинита,тj. увек jе нетачна.

Задатак 1.1.11. Доказати да формула f =

(x ⇒ y

)∧

(y ⇒ x

) ниjе нити идентички

истинита, нити jе идентички лажна.

Задатак 1.1.12. Ако су прве две реченице тачне, трећа реченица jе: тачна, нетачна,неодређена.

i. Ана jе стариjа од Цвиjана. Бранко jе стариjи од Тање. Цвиjан jе стариjи од Бранка?

ii. Боровнице коштаjу више од jагода. Боровнице коштаjу мање од малина.Малина кошта више од jагода и боровница?

iii. Продавница и пиjаца су jужно од апотеке. Њена кућа jе североисточно од апотеке. Њена кућа jе западно од продавнице и пиjаце?

iv. Температура jе у понедељак била нижа него у уторак. У среду jе била нижа него у уторак. У понедељак jе била виша него у сриjеду?

Задатак 1.1.13. Ако су прве две реченице тачне, трећа реченица jе: тачна, нетачна,неодређена.

a. Сви Ламели су Сигноти са дугмадима. Ниjедан жути Сигнот нема дугмад.Ниjедан Ламел ниjе жут?

7 Reductio ad absurdum - лат. „свођење на апсурд“8 Modus ponens - лат. „афирмациjа афирмациjом“9 Modus tolens - лат. „начин негациjе негирањем“



11/274


b. Чачкалица jе корисна. Корисне ствари су вjедне. Чачкалица jе вредна? c. Облачни дани су ветровитиjи од сунчаних. Магловити дани су мање ветровити

од облачних. Сунчани дани су мање ветровити од магловитих? c. Књижара има бољи избор разгледница од киоска. Избор разгледница у драгстору

jе већи него у књижари. Драгстор има бољи избор разгледница него књижара или киоск?

У сљедећа два примера сва три исказа су тачни. Коjи од понуђених одговора A,B, C, D или E jе тачан?

Задатак 1.1.14. Jована има четворо деце. Двоjе њене деце имаjу плаве очи, а двоjе смеђе. Пола од деце су девоjчице. Ако су прва три исказа тачни, коjи од следећих jе такође тачан?

I: Наjмање jедна девоjчица има плаве очи.

II: Двоjе од деце су дечаци.III: Дечаци имаjу смеђе очи.A. само I, B. само II, C. само II и III, D. нити jедна.

Задатак 1.1.15. Све мешавине пића су сокови. Сви сокови су питки. Неки сокови су црвени. Ако су ова три исказа тачна, коjа од следећих реченица jе такође тачна?

I: Неке мешавине пића су црвене.II: Сви сокови су мешавине пића.III: Све мешавине пића су питке.A. само I и II, B. само II, C. само I и III, D. само III, E. нити jедна.

Следећа два задатка читаjте пажљиво и бираjте понуђени одговор.

Задатак 1.1.16. Четири особе фарбаjу Богданову кућу. Михаjло фарба предњу страну. Лазар jе у пролазу иза и фарба задњу страну. Андреj фарба оквире прозора на северноj страни. Сергеj jе на jугу. Ако Михаjло и Андреj замене мjеста, а затим се замене Андреj и Сергеj, где jе тада Сергеj?

A: у алеjи иза куће,B: на северноj страни куће,C: на предњоj страни куће,D: на jужноj страни куће.

Задатак 1.1.17. Филип воли да препусти студентима избор њихових сарадника.Међутим, ниjедан пар студената не треба радити заjедно седам или више узастопних часова. Адам и Бане jесу били заjедно узастопних седам часова. Вељко и Гавро су радили заjедно три узастопна часа. Вељко не жели да ради са Адамом. Ко би требао бити додjељен Банету?

Вељко, Адам, Гавро, или Филип.

У следећа два задатка се тражи мудар, или логичан одговор.



12/274


Задатак 1.1.18. Богати отац jе имао два сина а сваки од синова jе имао по jедног коња. Отац jе на самрти окупио синове и рекао им. Оно што имам премало jе да се дели па ћу оставити оном од вас двоjице коjи има спориjег коња. Организоваћете трку на коњима и онаj чиjи коњ стигне последњи наследиће моjе имање, а онаj коjи има бржег коња зарадиће са њим свакако.

Не знаjући како да заврше трку, коjа би могла траjати бесконачно, синови оду по савет мудраца. Шта им jе мудрац могао одговорити?

Задатак 1.1.19. Претпоставимо да имамо два брата бизанца, jедног коjи увиjек говори истину, а другог коjи увиjек лаже. Коjе jедноставно питање, за одговор да-не, треба поставити непознатом од браће, да би сазнали коjи jе он?

У електротехници су ознаке за наjчешће електричне контакте (прекидаче) приказанепосебним симболима, као на следећим сликама. Прекидач x или y jе укључен кадаима вредност 1, односно искључен када има вредност 0. Мултиполи су мрежеконтакта.

Конjункциjа „тачно и нетачно jе нетачно“ приказана jе на слици 1.1, дисjункциjа„нетачно или тачно jе тачно“ приказана jе на слици 1.2, а „негациjа нетачног jе тачно“ jе на слици 1.3.

Slika 1.1: Конjункциjа: први jе укључен, други искључен.

Slika 1.2: Дисjункциjа: први jе искључен, други jе укључен.

Задатак 1.1.20. Представити закон дистрибуциjе A(B +C ) = AB +AC прекидачима.Задатак 1.1.21. Представити прекидачима Деморганове законе:A + B = Ā B̄, AB = Ā + B̄

и доказати их анализираjући ток струjе.



13/274


Slika 1.3: Негациjа: искључен постаjе укључен.

Негациjа се понекад означава апострофом. Тако jе A′ исто што Ā или ¬A. Нашемама се негациjа означава и са ускличником испред.

Задатак 1.1.22. Доказати формулу алгебре логике

(A ′ B + AB ′

)′ = AB + A ′ B ′ .

Извести ову jеднакост користећи Де Морганове законе, а затим нацртати и анализирати шему.

Задатак 1.1.23. Коjу формулу Q = Q(A,B,C ) представљаjу прекидачи на слици 1.4.

Slika 1.4: Наћи Q у функциjи A, B и C .

Ради jасноће се дисjункциjа, конjункциjа и негациjа, на шеми прекидача додатноозначаваjу енглеским OR , AN D и NOT , као у следећем примjеру.

Задатак 1.1.24. На шеми са слике 1.5 изразити J и K помоћу A,B, C и D .

У алгебри логике постоjе два основна квантора , или квантификатора: ∀ и ∃.Први jе универзални и потсећа на (обрнуто) прво слово енглеске речи „All“ - сваки,а други jе егзистенциjални и потсећа на прво слово енглеске речи „Egzist“ - постоjи.



14/274


Slika 1.5: Наћи J и K у функциjи A, B,C и D .

У реченици логике ∀x читамо „за сваки икс“, а ∃x читамо „постоjи икс“. Например, реченицу ∀x ∈ A f (x) ≤ M читамо „за свако x са особином А jе еф од xмање или jеднако М“.Пример 1.1.25. Прочитати реченицу:

(∃m ∈N

)(∀n ∈N

) m ≤ n.

Да ли jе она тачна? Решење. Читамо: “постоjи природни броj m такав да jе за сваки природни броj n,броj m jе мањи или jеднак n”. Jесте, такав jе броj m = 1.

Задатак 1.1.26. Дат jе низ броjева a1 , a 2 , a 3 , . . . . Прочитати и протумачити реченице:

(∀ > 0)(∃m ∈N)(∀n ≥ m) an − a m < ,(∃m ∈N)(∀ > 0)(∀n ≥ m) an − a m < .Задатак 1.1.27. Написати помоћу квантора. Када jе дат произвољан природни броj m увиjек се може наћи природни броj n , такав да jе њихов производ већи од сваког унаприjед датог природног броjа p.

Посебно, егзистенциjални квантор има jош и облик ∃1 или ∃! коjи читамо „постоjитачно jедан“. Рецимо реченицу: (∃1 x ∈ Q) 3 ⋅ x = 1, читамо: „постоjи тачно jеданрационалан броj икс такав да jе три пута икс jеднако jедан“.



15/274


1.2 Скуп

Скуп jе толико основни поjам у математици да га не треба дефинисати. Ако

га ипак дефинишемо, можемо рећи да jе скуп неуређена колекциjа различитихелемената.

Скупове и елементе означавамо великим и малим словима абецеде. Када елеменатx припада скупу A пишемо x ∈ A . Када сваки елеменат скупа A припада скупу B ,тада кажемо „ A jе потскуп B “ и пишемо A ⊆ B . Два скупа су jеднака акко (ако исамо ако) jе A ⊆ B и B ⊆ A , тада пишемо A = B . Када кажемо: „ A jе прави потскупB “, тада jе искључена могућност jеднакости ова два скупа, и можемо писати A ⊂ B

Униjа скупова A и B jе скуп A ∪B коjи садржи све елементе оба дата скупа исамо њих. Пресек скупова A и B jе скуп A ∩ B коjи садржи заjедничке елементедатих скупова и само њих. Комплемент скупа A jе скуп A′ коjи садржи све оне

елементе коjе не садржи дати скуп A . Броj елемената скупа A означавамо са n(A)или A . Униjу и пресек, када то не доводи до забуне, често пишемо као збир ипроизвод.Разлика скупова A и B jе скуп A B коjи садржи све оне елементе првог коjи

нису садржани у другом скупу. Скупове са коjима радимо увек посматрамо каопотскупове неког фиксног универзалног скупа, универзума коjи означавамо са U ,E , или ξ . Празан скуп jе скуп без елемената. За скупове кажемо да су дисjунктни ,ако им jе пресек празан скуп.

Примери Венових диjаграма за униjу, пресек и разлику скупова A, B и C приказанису на слици 1.6 сенчењем.

Slika 1.6: A ∪B ∪C , A ∩ B ∩ C , (A ∪C )B .Различите ситуациjе разлике, пресека и комплемента са три скупа, приказане су

Веновим диjаграмима на слици 1.7.

Задатак 1.2.1. Показати да за комплемент скупа важи:

A ′ = U A, A ′ ∪A = U, A′ ∩ A = .

Задатак 1.2.2. Показати да важе jеднакости:1. A ∪A = A и A ∩ A = A - закони идепотенциjе;2. (A ∪B)∪C = A ∪(B ∪C ) и (A ∩ B)∩ C = A ∩(B ∩ C ) - закони асоциjациjе;3. A ∪B = B ∪A и A ∩ B = B ∩ A - закони комутациjе;



16/274


Slika 1.7: A (B ∩ C ), A (B ∩ C )′ , A ′ (B ∩ C ).4. A ∪(B ∩ C ) = (A ∪ B)∩(A ∪ C ) и A ∩(B ∪ C ) = (A ∩ B)∪(A ∩ C ) - закони дистрибуциjе;5. A ∪Ø = A, A ∩ U = A, A ∪U = U, A ∩ Ø = Ø - закони идентитета;6.

(A ′

)′ = A - закон инволуциjе;

7. A ∪A′

= U , A ∩ A′

= Ø, U ′

= Ø, Ø′

= U - закони комплемента;8. (A ∪B)′ = A ′ ∩ B ′ и (A ∩ B)′ = A ′ ∪B ′ - Деморганови закони.Идентитети у задатку 1.2.2 су поредани у паровима дуалних скупова. Дуал

скупа S jе скуп S ∗ када се у jеднакости они могу мењати заменом униjе са пресекомили обратно. На пример, дуали су U и Ø у jеднакостима:

(U ∩ A)∪(B ∩ A) = A, (Ø ∪A)∩(B ∪A) = A,коjе су обе тачне.Задатак 1.2.3. Дата су два произвољна два скупа A и B . Помоћу Венових диjаграма показати да су скупови A ∩B ′ , A ∩B и A ′ ∩B дисjунктни и да jе њихова униjа A ∪B .

Задатак 1.2.4. Доказати да за произвољна два скупа A и B важи jеднакост:

n(A ∪B) = n(A)+ n(B)− n(A ∩ B).Следећих неколико примера се могу решавати помоћу Венових диjаграма, али ипомоћу претходне формуле.

Задатак 1.2.5. У разреду има 32 ученика. Њих 16 учи њемачки, а 21 учи енглески jезик. Колико их учи оба jезика?

Задатак 1.2.6. У кафани jе током поднева 62 људи пило по jедну кафу или неко пиће. Њих 45 jе пило кафу, а 33 нешто друго. Колико гостиjу jе пило кафу са другим пићем?

Задатак 1.2.7. Ако jе n(A B) = 15, n(A∪B) = 48 и n(A ∩B) = 12, колико jе n(B)? Задатак 1.2.8. У групи од 120 лица, 82 говоре енглески а 65 француски. Колико их говори само енглески, колико само француски, а колико оба jезика?



17/274


Задатак 1.2.9. Показати да за произвољна три скупа A , B и C важе jеднакости:

(A ∩ C

)∩

(B ∩ C

) = A ∩ B ∩ C,

(A ∪C

)∪

(B ∪C

) = A ∪B ∪C,

(A ∪B)∩ C = (A ∩ C )∪(B ∩ C ), (A ∩ B)∪C = (A ∪C )∩(B ∪C ).То су били закони дистрибуциjе униjе и пресека. Скоро слична су и следећаправила са разликама.

Задатак 1.2.10. Помоћу Венових диjаграма доказати скуповне jеднакости:

C (A ∪B) = (C A)∩(C B), C (A ∩ B) = (C A)∪(C B),

(A ∪B

)C =

(A C

)∩

(B C

),

(A ∩ B

)C =

(A C

)∪

(B C

).

Задатак 1.2.11. Показати да за произвољна три скупа A , B и C важи jеднакост:n(A ∪B ∪C ) = n(A)+ n(B)+ n(C )− n(A ∩ B)− n(A ∩ C )− n(B ∩ C )+ n(A ∩ B ∩ C ).Задатак 1.2.12. На неком такмичењу подељене су медаље у три категориjе A, Bи C . У тим категориjама jе подељено редом 40, 32 и 29 медаља. Укупно 56 особа су добиле медаље, а само 4 особе су добиле медаље у све три категориjе. Колико укупно особа jе добило медаље у по две категориjе?

Задатак 1.2.13. У групи од 49 лица, свако игра бар jедну од игара A, B или C .Њих 21, 27, односно 29 игра A, B , односно C , тим редоследом. Прву и другу игру игра 8 лица, другу и трећу 14, а све три играjу 3 лица. Колико лица игра прву и

трећу игру ( A и C ), а колико лица игра прву и другу али не и трећу игру?

Задатак 1.2.14. Група од 120 студената 10 означена jе броjевима од 1 до 120. Сви са парним броjевима су кандидати за физику, они са броjевима дjељивим са 5 су кандидати за хемиjу, а они са броjевима дjељивим са 7 суза математику. Колико их нису кандидати нити за jедан наведени предмет?

Задатак 1.2.15. Од 200 кандидата на интервjу за посао, 100 има мотоцикл, 70 има кредитну картицу, а 140 има мобилни телефон. Оба, мотоцикл и кредитну картицу има њих 40, кредитну картицу и мобилни има њих 60, а мотоцикл и мобилни имаjу 60. Десет кандидата има сва три уређаjа. Колико кандидата нема нити jедан уређаj?

Задатак 1.2.16. Ако jе A ⊂ C и A ⊆ B ⊆ C , тада jе A ⊂ B или jе B ⊂ C . Доказати.

Декартов производ скупова jе скуп уређених парова њихових елемената. Прецизниjе,за дате скупове A и B , Декартов производ jе скуп

A × B = {(x, y)x ∈ A ∧ y ∈ B}. (1.1)10 Ascen education: http://www.ascenteducation.com/Гимназиjа Бања Лука 17

http://www.ascenteducation.com/http://www.ascenteducation.com/


18/274


Задатак 1.2.17. Ако jе A ⊆ B и C ⊆ D , тада jе A × C ⊆ B × D . Доказати.

Задатак 1.2.18. Доказати да за произвољне скупове важи дистрибуциjа:

(A ∪B)× C = (A × C )∪(B × C ).Задатак 1.2.19. Доказати дистрибуциjу:(A ∩ B)× C = (A × C )∩(B × C ).

Задатак 1.2.20. Доказати дистрибуциjу:

(A B)× C = (A × C )(B × C ).Задатак 1.2.21.

Пописивач иде од врата до врата и улази у кућу Олге, коjа jе наставница математике. Добар дан госпођо, скупљам податке за попис. Колико вас живи на овоj адреси? Муж и jа са троjе деце, одговара она. Добро, колико деца имаjу година? Е па, то ћете морати да израчунате, каже Олга. Производ њихових година jе 72.

П: У реду, рачунам, али треба ми jош информациjа.О: Збир њихових година jе исти као броj на адреси моjе куће.П: Добро, али требам jош неки податак.О: Тако jе. Моjе наjстариjе дете заиста воли спанаћ.Аха, одговорио jе пописивач, сада знам.Коjи jе броj Олгине куће и колико њена деца имаjу година?

Задатак 1.2.22. Свака од четири карте на слици 1.8 има слово на jедноj страни и броj на другоj. Колико наjмање карата треба окренути ради провере следећег правила: “ако jе на jедноj страни слово А онда jе на другоj страни броj 7”?

Slika 1.8: Васонов (Wason, 1924 – 2003) тест.

Задатак 1.2.23. Доказати Деморганове законе за скупове:

(A ∪B)′ = A ′ ∩ B ′ , (A ∩ B)′ = A ′ ∪B ′ .Гимназиjа Бања Лука 18


19/274


Симетрична разлика скупова A и B jе скуп:

A △ B =

(A ∪B

)(A ∩ B

), (1.2)

коjи се означава такође са A⊖B или a ⊕B .

Задатак 1.2.24. Показати да важи jеднакост:

(A ∪B)(A ∩ B) = (A B)∪(B A)на два начина:i. на примеру скупова A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 6}.ii. помоћу Венових диjаграма,Принцип математичке индукциjе . Нека jе дат низ исказа T 1 , T 2 , T 3 , . . . , дакле

тврђења од коjих jе свако тачно или нетачно. Нека важе ове две особине:

1. T 1 jе тачно,2. увек када jе T n тачно, биће T n + 1 такође тачно.Тада jе свако T n тачно.

Задатак 1.2.25. Доказати да jе n2 збир првих n = 1, 2, 3, . . . непарних броjева.

Задатак 1.2.26. Доказати:

i. 2 + 4 + 6 + ⋅ ⋅ ⋅ = n(n + 1), ii. 1 + 4 + 7 + ⋅ ⋅ ⋅ = n(3n − 1)2,iii. (∀n ≥ 3) n2 ≥ 2n + 1, (∀n ≥ 4) n! ≥ 2n ,где факториjел дефинишемо са n! = (

n − 1

)! ⋅n , односно 1! = 1, 2! = 1 ⋅2, 3! = 1 ⋅2 ⋅3, ...

.

Партитативни скуп скупа A jе скуп ℘(A) свих подскупова скупа A . На пример,скуп℘(A) = {Ø ,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}} (1.3) jе партитативни скуп скупа A = {1, 2, 3}.Задатак 1.2.27. Доказати да jе n(℘(A)) = 2n(A).Задатак 1.2.28. У некоj групи лица свако се бави неком од активности: плес,

трчање, jога и шах. Онаj коjи се бави плесом или шахом бави се и трчањем. Онаj ко се бави jогом бави се и шахом. Онаj ко се бави трчањем и jогом бави се и плесом.

У коjоj од наведених активности има наjмање, а у коjоj наjвише ових лица.Следећу загонетку jе у прошлом веку наводно осмислио Аjнштаjн 11 и рекао да

их може решити само 2% људи.

Задатак 1.2.29. Човек jе наишао на медведа у пустари. Оба су се уплашила и почела бежати. Човек на север, медвед на запад. Изненада, човек jе стао нациљао пушком на jуг и убио медведа. Коjе боjе jе био таj медвед?

11 Albert Einstein, 1879 - 1955, славни теориjски физичар.



20/274


Задатак 1.2.30. Имамо низ пет кућа различитих боjа. У свакоj кући живи човек другачиjе националности. Сваки човек има другачиjег љубимца, воли различито пиће и пуши различиту марку цигарета.

1. Британац живи у црвеноj кући.

2. Швеђанин држи пса као љубимца.

3. Данац пиjе чаj.

4. Зелена кућа jе лево од беле куће.

5. Власник беле куће пиjе кафу.

6. Особа коjа пуши Пал Мал гаjи птице.

7. Власник жуте куће пуши Данхил.

8. Човек коjи живи у централноj кући пиjе млеко.

9. Норвежанин живи у првоj кући.

10. Човек коjи пуши Бленд живи поред оног ко држи мачке.

11. Човек коjи држи коње живи поред човека коjи пуши Данхил.

12. Човек коjи пуши Блу Мастер пиjе пиво.

13. Немац пуши Принц.

14. Норвежанин живи поред плаве куће.

15. Човек коjи пуши Бленд има комшиjу коjи пиjе воду.

Ко има рибе код куће? Jесте ли међу оних 2% ?



21/274


1.3 Релациjа

Бинарна релациjа jе скуп уређених парова:

ρ = {(x 1 , y1),(x 2 , y2),(x 3 , y3), . . . }, (1.4)где су први елементи парова из скупа коjи називамо домен релациjе ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ∈ X ),а други елементи парова из скупа коjи називамо кодомен релациjе ( y1 , y2 , ⋅ ⋅ ⋅ ∈ Y ),као што се види на слици 1.9.

Slika 1.9: Релациjа ρ ∶ X → Y .

За уређене парове скупа ρ кажемо да су у релациjи. На пример, бинарна релациjа jе скуп ρ = {(1, 2),(−3, 4),(a, −5)}, што значи да су 1 и 2 у релациjи, затим -3 и 4, атакође и пар a и -5. То краће пишемо 1ρ2, (−3)ρ4 и aρ(−5). Разлог за овакво писањесу наjпознатиjе релациjе као што су jеднакост 12 , или неjеднакост 13 . Релациjа можеимати коначно или бесконачно много елемената (уређених парова).

У даљем тексту подразумевамо да jе релациjа бинарна. Међутим, релациjа jеуопште скуп уређених низова константне дужине. На пример, релациjа дужине три jе скуп трочланих низова, прецизниjе:

µ = {µ1 , µ 2 , µ3 , . . . }, µk = (xk , yk , zk), k = 1, 2, 3, . . . (1.5)Другим речима, трочлана релациjа jе Декартов производ три скупа X, Y и Z , коjи jе скуп уређених троjки:

µ = {(x,y,z )x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z }. (1.6)Дефинициjе (1.5) и (1.6) су еквивалентне и могу се даље поопштавати.Нека су X 1 и X 2 непразни скупови и нека jе ρ бинарна релациjа Декартовог

производа X 1 × X 2 . Тада пишемо ρ ⊆ X 1 × X 2 , а скупове:

D 1

(ρ

) =

{x 2 ∈ X 2 ∃x 2 ∈ X 2 ,

(x 1 , x 2

) ∈ ρ

},

D 2

(ρ) =

{x1 ∈ X 1 ∃x 2 ∈ X 2 ,(x

1 , x 2) ∈ ρ}, (1.7)називамо првом и другом проjекциjом , редом. Прву проjекциjу називамо и доменили област дефинисаности, а другу кодомен, ранг или подручjе вредности дате

релациjе. Скупρ− 1 = {(x 2 , x 1) (x 1 , x 2) ∈ ρ}12 пишемо x = y уместо = (x, y )

13 пишемо x ≤ y уместо ≤ (x, y )



22/274


називамо инверзном релациjом дате релациjе.

Пример 1.3.1. У Декартовоj равни Oxy представити релациjу

M = {(1, 1),(2, 1),(2, 3)}.

Slika 1.10: Релациjе: i) M ∶ x → y; ii) f ∶ x → 12 x + 1.

Решење. То су тачке са координатама M 1(1, 1), M 2(2, 1) и M 3(2, 3), приказане наслици 1.10 лево. Приметимо да ова релациjа представља ону на слици 1.9.Пример 1.3.2. У Декартовоj равни Oxy представити релациjу

f = {(x, y)y = 12 x + 1, x ∈R}.Решење. Израчунавамо неколико тачака, на пример A(0, 1), B(2, 2), C (4, 3), док неприметимо да све оне леже на истоj правоj, представљеноj на слици 1.10 десно. То jе

права линиjа у Декартовом правоуглом систему кооордината Oxy , чиjе тачке имаjуапсцисе x и ординате y = 12 x + 1. Парови ових координата (x, y) су елементи датерелациjе f .Пример 1.3.3. У Декартовоj равни Oxy представити релациjу

ρ =

{(x, y

) ∶ y = x2

}.

Решење. Користећи дату jеднакост y = x2 израчунавамо што jе могуће више уређенихпарова (x, y) коjе цртамо као тачке у Декартовом систему Oxy . На слици 1.11 лево,такве су тачаке: O(0, 0), A(1, 1), B(2, 4), C (−2, 4) и D(−1, 1). Све сличне тачке лежена параболи и зато за jеднакост y = x2 кажемо да дефинише параболу.

Решавањем jедначине y = x2 по x добиjамо x = ±√ y, што нам даjе идеjу дапоставимо следећи, инверзни проблем.Гимназиjа Бања Лука 22


23/274


Slika 1.11: Граф параболе ρ ∶ y = x2 и корена ρ− 1 ∶ y = ±

√ x .

Пример 1.3.4. У Декартовоj равни Oxy представити релациjу

ρ− 1 = {(x, y) ∶ y = ±√ x}.Решење. Jеднакошћу y = √ x израчунавамо парове (x, y)и цртамо тачке у Декартовомправоуглом систему Oxy . Добиjамо граф корена, као на слици 1.11 десно.Приметимо да на графовима параболе и корена имамо инверзне тачке. Тачка

A ′

(1, 1

) jе инверзна тачки A

(1, 1

), тачка B ′

(4, 2

) jе инверзна B

(2, 4

), C ′

(4, −2

) jе

инверзна C

(−2, 4

), тачке D ′

(1, −1

) и D

(−1, 1

) су инверзне. Добиjаjу се заменом прве

и друге координате. Уопште, тачка T (ξ, η) коjа припада параболи ρ на слици 1.11лево, инверзна jе тачки T ′(η, ξ ) коjа припада графу корена ρ− 1 на слици 1.11 десно.Зато кажемо да су инверзне и саме релациjе ρ и ρ− 1 дефинисане jеднакостимаy = x2 и y =√ x . Приметимо да се jедино тачке симетрале I и III квадранта Декартоверавни инверзиjом пресликаваjу саме у себе. Наиме, тачка T (x, x)инверзиjом прелазиу тачку T ′(x, x) са истим координатама, а то су све тачке праве линиjе y = x.На следећоj слици 1.12, испрекидана права линиjа jе оса симетриjе параболеy = ax 2 и њоj инверзног графа корена y = ± xa , за произвољан реалан a > 0.Било коjа функциjа f ∶ X → Y може се посматрати као бинарна релациjа саскупа X на скуп Y . Таква релациjа се увек може представити графом

G(f ) ∶=

{(x, f (x)x ∈ X }

⊆ X × Y. (1.8)

Када год функциjа f има инверзну функциjу f − 1 , она jе и инверзна релациjа. Та сефункциjа тада може представити инверзним графом:

G − 1(f − 1) ∶= {(y, f − 1(y))y ∈ Y } ⊆ Y × X. (1.9)Међутим, свака релациjа има инверзну релациjу, била она функциjа или не.Гимназиjа Бања Лука 23


24/274


Slika 1.12: Граф параболе y = ax 2 за a > 0, и корена y = ± x a .Задатак 1.3.5. Дат jе скуп X = {a,b,c,d,e,f } са графом релациjе ρ ⊆ X × X на слици 1.13 . Представити релациjу ρ и инверзну релациjу ρ− 1 помоћу скупа уређених парова.

Slika 1.13: Граф релациjе ρ.

Задатак 1.3.6. Дата jе релациjа ρ = {(x, y) ∶ x 196 ∧ y 225, x ∈ N}. Написати све елементе скупа ρ и скупа ρ− 1 .Задатак 1.3.7. Дата jе релациjа ρ = {(x, y)

∶ y = 1

3 x − 1, x ∈ R}. Представити ρ и ρ− 1 у истом Декартовом Oxy систему.

Задатак 1.3.8. Дата jе релациjа ρ = {(x, y) ∶ y = 2x − 2, x ∈ R}. Представити ρ и ρ− 1 у истом Декартовом Oxy систему.Задатак 1.3.9. Показати да jе релациjи дефинисаном функциjом y = x2 − 1 инверзна релациjа дефинисана двема функциjама y = ±√ x + 1, на начи:

ρ = {(x, y) y = x2 − 1, x ∈R}, ρ− 1 = {(x, y) y = ±√ x + 1, x ≥ −1}.Гимназиjа Бања Лука 24


25/274


Нацртати графове у истом систему Oxy .

Када су дате бинарне релациjе ρ1 ⊆ X 1 × X 2 и ρ2 ⊆ X 2 × X 3 на непразним

скуповима, онда се скупρ1 ○ ρ2 = {(x 1 , x 3) (x 1 , x 2) ∈ ρ1 ∧(x 2 , x 3) ∈ ρ2}назива композициjа или производ релациjа ρ1 и ρ2 .

Задатак 1.3.10. На слици 1.14 су дате релациjе ρ, σ и њихова композициjа γ = σ ○ρ.Написати елементе скупова ρ,σ, γ . Показати да jе инверзна релациjа γ − 1 = ρ− 1 ○σ − 1 .

Slika 1.14: Композициjа релациjа γ = σ ○ ρ.

Задатак 1.3.11. Дате су релациjе:

ρ1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 2),(3, 3)}, ρ3 = ρ2 ○ ρ1 = {(1, 1),(2, 1),(2, 2),(3, 3,)}.Наћи релациjу ρ2 .

Задатак 1.3.12. Дате су релациjе:

ρ2 = {(1, 2),(2, 1),(3, 2),(3, 3)}, ρ3 = ρ2 ○ρ1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 2),(3, 3,)}.Наћи релациjу ρ1 .Задатак 1.3.13. Дате су релациjе (функциjе):

f

(x

) =

2

3x + 1, g

(x

) =

1

2x − 3.

Наћи комопозициjу h(x) = (g ○ f )(x) = g[f (x)]. Показати да jе h− 1 = f − 1 ○ g− 1 .Задатак 1.3.14. Навести примере релациjа ρ1 , ρ2 и проверити:a. x(ρ1 ∪ ρ2)y ⇐⇒ xρ 1 y ∨ xρ 2 y,b. x(ρ1 ∩ ρ2)y ⇐⇒ xρ 1 y ∧ xρ 2 y,c. x(ρ1 ρ2)y ⇐⇒ xρ 1 y ∧ ¬(xρ 2 y),d. ρ1 ⊆ ρ2 ⇒ (xρ 1 y ⇒ xρ 2 y).



26/274


Када jе дата релациjа ρ ⊆ X × Y , са ρ(X ) ⊆ Y означавамо све оне елементе y ∈ Y за коjе постоjи неки елеменат x ∈ X , тако да jе xρy , тj. (

x, y

) ∈ ρ.

Задатак 1.3.15. Нека jе ρ ⊆ X × Y бинарна релациjа из X у Y . Нека су A, B ⊆ X произвољни подскупови домена. Доказати:a. A ⊆ B ⇒ ρ(A) ⊆ ρ(B),b. ρ(A ∪B) = ρ(A)∪ ρ(B),c. ρ(A ∩ B) ⊆ ρ(A)∩ ρ(B).Задатак 1.3.16. Нека су ρ1 , ρ2 ⊆ X × Y две релациjе из домена X у кодомен Y . Ако

jе ρ1(x) = ρ2(x) за свако x ∈ X , тада jе ρ1 = ρ2 .За релациjу ρ ⊆ X × X кажемо да jе рефлексивна, симетрична, антисиметричнаили транзитивна, ако важи, истим редом:

xρx, xρy ⇒ yρx, (xρy∧ yρx)

⇒

(x = y), (xρy

∧ yρz)⇒

(xρz),за све њене елементе (уређених парова) x,y,z ∈ ρ. Ирефлексивна (неповратна) jерелациjа за коjу никада ниjе xρx .Када jе релациjа рефлексивна, антисиметрична и транзитивна, она се кратко

назива релациjом поретка. На пример, неjеднакост x ≤ y за x, y ∈ R, или a ⊆ b заскупове a и b, или a ⇒ b за a, b ∈ {, }. Када jе релациjа рефлексивна, симетрична итранзитивна, кажемо да jе она релациjа еквиваленциjе и означавамо jе са ∼. Пишемоx ∼ y и кажемо: елементи x и y су еквивалентни.

Задатак 1.3.17. Дат jе скуп S =

{1, 2, 3, 4, 5, 6

} и jеднакост y = 2x−3. Наћи релациjу

ρ =

{(x, y

)x, y ∈ S

}. Представити jе као скуп уређених парова и као граф.

Пример 1.3.18. Ако jе ρ релациjа поретка на датом скупу, тада jе њоj инверзна релациjа ρ− 1 такође релациjа поретка на истом скупу.

Решење. Рефлексивност jе тривиjална. Антисиметриjа (x, y) ∈ ρ ∧(y, x) ∈ ρ ⇒ x = yзначи да (y, x) ∈ ρ− 1 ∧(x, y) ∈ ρ− 1 ⇒ y = x , за свако x и y, што значи антисиметриjуинверзне релациjе. Транзитивност следи из, редом:(x, y) ∈ ρ ∧(y, z) ∈ ρ ⇒ (x, z) ∈ ρ,

(y, x

) ∈ ρ− 1 ∧

(z, y

) ∈ ρ− 1 ⇒

(z, x

) ∈ ρ− 1 ,

(z, y) ∈ ρ

− 1

∧

(y, x) ∈ ρ

− 1

⇒

(z, x) ∈ ρ

− 1

.Прва формула jе транзитивност дате релациjе ρ, а трећа jе тражена транзитивностњоj инверзне релациjе ρ− 1 .

Цео броj a дељив jе целим броjем b различитим од нуле ( a, b ∈ Z и b ≠ 0), акопостоjи цео броj q такав да jе a = bq . Тада пишемо b a и читамо „b дели a “. Броj bназивамо делилац или садржалац броjа a , броj q количник или квоцjент тог делења.Релациjа b a jе релациjа поретка.



27/274


Задатак 1.3.19. Доказати да важе особине дељивости:

1. ако b a , онда b ac за свако c ∈Z ;

2. ако a b и b c онда a c;

3. ако a b и a c, онда a (bx + cy) за свако x, y ∈Z ;4. ако a b и b a , онда jе a = b или jе a = −b;5. ако за позитивне броjеве a, b важи a b, онда jе a ≤ b.

Следећи пример jе доказ тзв. Еуклидовог алгоритма дељења .

Пример 1.3.20. Доказати да се сваки цео броj a ∈ Z може на jединствен начин помоћу датог природног броjа b ∈N приказати у облику

a = bq + r, q, r ∈Z , 0 ≤ r < b.

При томе се q и r називаjу редом: количником и остатком при дељењу броjа aброjем b.

Доказ. Из скупа S = {. . . , a − 2b, a − b, a, a + b, a + 2b , . . .} целих броjева изаберимонаjмањи коjи jе природан или нула 14 . Нека jе то броj r = a − bq ∈N0 . Тада jеa = bq + r, 0 ≤ r < b,

jер би у случаjу r ≥ b и броj a −

(q + 1

)b, коjи jе мањи од r , био природан или нула.

Тиме jе доказана егзистенциjа броjева q и r .Jединственост тих броjева доказуjемо сводећи на контрадикциjу претпоставку

да постоjи jош jедан такав пар q 1 , r 1 . Наиме, одузимањем старе од нове jеднакостиa = bq 1 + r 1 коjа такође иде са условом 0 ≤ r 1 < b, добиjамо 0 = b(q 1 − q )+(r 1 − r), штозначи дељивост b (r 1 − r). Даље, због r 1 − r < b имамо r 1 − r = 0, те q 1 = q .Задатак 1.3.21. Доказати да jе сваки производ четири узастопна цела броjа дељивса 24.

Задатак 1.3.22. Доказати: (∀n ∈N) 30 (n 5 − n).Задатак 1.3.23. Доказати да ни за jедан цео броj n броj n2 + 3n + 5 ниjе дељив са 121.

Кажемо да jе d ∈Z наjвећи заjеднички делилац (нзд) целих броjева a и b ако важиd a и d b, и ако за све c ∈Z такве да c a и c b важи c ≤ d . Пишемо d = NZD(a, b).Задатак 1.3.24. У jедноj корпи налази се 35 kg зелених, а у другоj 65 kg црвених jабука. Треба препаковати jабуке у мање jеднаке гаjбе без мешања зелених и црвених,а да у свакоj гаjби буде иста количина jабука. Одредити носивост гаjбе.

14 Скуп природних броjева проширен нулом jе N0 = {0 , 1 , 2 , . . . }.



28/274


Задатак 1.3.25. Доказати да се наjвећи заjеднички делилац броjева a, b ∈Z може изразити у облику NZD

(a, b

) = αa + βb , за погодно одабране α, β ∈Z .

Кажемо да jе d ∈N наjмањи заjеднички садржалац (нзс) целих броjева a и b аковажи a d и b d, и ако за све c ∈N такве да a c и b c важи d ≤ c. Пишемо d = NZS(a, b).Задатак 1.3.26. Два аутомобила крећу истовремено на кружноj стази. Први аутомобил пређе цео круг за 33, а други за 39 минута. После колико минута ће се оба аутомобила наћи поново истовремено на стартноj линиjи?

Тривиjалне релациjе еквиваленциjе су: jеднакост реалних броjева, jеднакостскупова и еквиваленциjа логичких исказа. У наставку ћемо видети jош неке.

Задатак 1.3.27. Ако jе ρ релациjа еквиваленциjе на датом скупу S , тада jе њоj инверзна релациjа ρ− 1 такође релациjа еквиваленциjе на истом скупу S .

Задатак 1.3.28. Дата jе релациjа ρ на скупу S . Ако jе она:a. рефлексивна (∀x ∈ S ) xρx ,b. ирефлексивна (∀x ∈ S ) ¬(xρx),c. симетрична (∀x, y ∈ S ) (xρy)⇒ (yρx),d. анти-симетрична (∀x, y ∈ S ) (xρy ∧ yρx)⇒ (x = y),e. транзитивна (∀x,y,z ∈ S ) (xρy ∧ yρz)⇒ (xρz),онда jе таква и њоj инверзна релациjа ρ− 1 .

Задатак 1.3.29. Броjеви x, y ∈ R су у релаицjи ако и само ако jе x2 + y2 ≤ 1. Да

ли jе та релациjа: a. рефлексивна, b. ирефлексивна, c. симетрична, d. анти-симетрична, e. транзитивна?

Нека jе у скупу X дефинисана релациjа еквиваленциjе ∼ и нека су a1 и a2произвољни елементи тог скупа. Означимо са A1 и A2 скупове свих елеменатаеквивалентних редом са a1 и a2 . Тада, или jе A1 = A2 или A1 ∩ A 2 = . Тозначи да jе скуп X подељен на дисjунктне скупове еквиваленциjе коjи се зову класе еквиваленциjе . Елементи из исте класе су међусобно еквивалентни, а елементи изразличитих нису. Фамилиjу класа еквиваленциjе скупа X у односу на релациjуеквиваленциjе ∼ називамо скуп-количник датог скупа и дате релациjе и означавамога X ∼. Узимањем у свакоj класи еквиваленциjе jедног елемента добиjа се скупреперзентаната.

Пример 1.3.30. Релациjа паралелности a b правих a, b ∈ S у еуклидском простору S jе релациjа еквиваленциjе.

Обjашњење. Наиме, рефлексивност a a важи jер jе свака права a ∈ S паралелнасамоj себи. Симетриjа a b ⇒ b a важи, jер ако jе права a паралелна b, онда jе идруга права паралелна првоj. Транзитивност a b ∧ b c ⇒ a c важи, jер ако jе aпаралелна b и b паралелна c, онда jе a паралелна c.



29/274


Пример 1.3.31. Бинарна релациjа ρ ∈ S jе рефлексивна, симетрична и задовољава следећи услов

(∀x,y,z ∈ S

) xρy ∧ xρz ⇒ yρz.

Доказати да jе ρ релациjа еквиваленциjе.

Доказ. Због симетриjе ρ и комутативности конjункциjе jе zρx ∧ xρy ⇒ yρz , а то jетранзитивност.

Нека jе дат природан броj m већи од 1 и нека су дата два цела броjа a и b. Кадапишемо15 :

a ≡ b (mod m)кажемо да jе броj a конгруентан броjу b по модулу m , што значи да a и b имаjу jеднаке остатаке након дељења са m .

Пример 1.3.32. Показати да jе: 166 ≡ 26 (mod 7) и 370 ≡ 28 (mod 9).Решење. Тачно jе, jер 166 = 26⋅7+ 5 и 26 = 3⋅7+ 5. Друго: 370 = 41⋅9+ 1 и 28 = 3⋅9+ 1.

На пример, када jе m = 3, тада су сви природни броjеви подељени у три класееквиваленциjе, оне дељиве са три коjи се могу писати у облику 3k (за k = 1, 2, 3, . . . ),оне коjи имаjу остатак 1 (облика 3k + 1) и оне коjи имаjу остатак 2 (броjеви 3k + 2).

Задатак 1.3.33. Доказати да jе a ≡ b (mod m):i. ако и само ако jе a = b + mz за неки цео броj z;ii. ако и само ако jе разлика броjева a и b дељва са m;iii. то jе релациjа еквиваленциjе a ∼ b у односу на дати броj m .

Задатак 1.3.34. Ако jе a ≡ b (mod m) и c ≡ d;(mod m) онда jе:i. ax + cy ≡ bx + dy (mod m) за свака два цела броjа x, y ;ii. ac ≡ bd (mod m) ;iii. ако jе m = λd , d > 1, онда jе a ≡ b (mod d).Задатак 1.3.35. Нека jе P (x) полином по x са целоброjним коефициjентима. Тада из a ≡ b (mod m) следи P (a) ≡ P (b) (mod m).Пример 1.3.36. Наћи остатак делења броjа 3100 са броjем 13.Решење. Из 3 ≡ 3

(mod 13

) следи 33 ≡ 27

(mod 13

). Из 27 ≡ 1

(mod 13

) следи

33

≡ 1 (mod 13). Отуда (33

)33

≡ 133

(mod 13), односно 399

≡ 1 (mod 13). А како jе(33)33 ⋅ 3 ≡ 1 ⋅ 3 (mod 13) биће 3100 ≡ 3 (mod 13). Из 0 ≤ 3 < 13 следи закључак да jеостатак делења броjа 3100 броjем 13 броj 3.Задатак 1.3.37. Одредити остатак при делењу броjа 22011 броjем 13.

15 Гаусова ознака из његове књиге „Disquisitiones arithmeticae“ обjављене 1801. године.



30/274


1.4 Функциjа

Посебна врста релациjе jе функциjа . Ако сваком елементу x из скупа X одговара

поjедини елеменат y скупа Y , кажемо да jе скуп X пресликан у скуп Y . Први x jеоригинал, други y jе његова слика, а поступак пресликавања називамо функциjа f .Пишемо f ∶ X → Y , односно y = f (x).Сваки оригинал функциjе има наjвише jедну слику, али не мора да буде обрнуто.Када свака слика потиче од наjвише jедног оригинала, функциjа се назива инjекциjа или „1-1“. Када за сваку слику постоjи оригинал, функциjа се назива сурjекциjа или„на“. Функциjа коjа jе инjекциjа и сурjекциjа назива се биjекциjа или обострано jеднозначно пресликавање.

Slika 1.15: Граф функциjе f ∶ X → Y .

На слици 1.15 jе граф функциjе f коjа пресликава елеменат x1 домена X уелеменат y1 кодомена Y , затим x2 у y2 , али оба x3 и x4 пресликава у исти y3 , штозначи да представљена функциjа ниjе инjекциjа. Са друге стране, она ниjе нитисурjекциjа, jер за слику y4 не постоjи оригинал x ∈ X .

Задатак 1.4.1. Шта би могли бити домен и кодомен следећих функциjа? i. f (x) = 0 ако jе x парно, f (x) = 1 ако jе x непарно.ii. Jединична функциjа: f (x) = x за свако x ∈ X .iii. Проjекциjа: f

(x, y

) = x за свако

(x, y

) ∈ X × Y .

iv. Карактеристична функциjа на скупу X

: ако x ∈ X

тада f

k

(x

) = 1

, а ако x ∉ X тада f k(x) = 0.Задатак 1.4.2. Нека jе функциjа f ∶ N → N дефинисана на следећи начин: вредност f (x) jе збир цифара броjа x.i. Израчунати: f (4), f (23), f (362), f (f (234)).ii. Наћи сва решења jедначине: f (x) = 4.iii. Да ли jе ова функциjа инjекциjа?

iv. Да ли jе ова функциjа сурjекциjа?



31/274


Задатак 1.4.3. За следеће функциjе проверити да ли су инjекциjе и сурjекциjе.Наћи њихове инверзне функциjе ако постоjе.

f 1(x) = 3x − 4, f 2(x)

= 2x + 12x − 1 , f 3

(x) = x2 − 5, f 4(x)

= x2

− 1x 2 + 1 .

Задатак 1.4.4. На слици 1.16 су приказани графови у Декартовом систему. Коjи од њих су функциjе, а коjи су само релациjе?

Slika 1.16: Графови у Oxy .

Задатак 1.4.5. Дате су функциjе формулама: f (x) = 2x + 1 и g(x) = x2 − 2x + 3.Наћи композициjе f ○ g, g ○ f, g ○ g и f ○ f .Задатак 1.4.6. Дате су функциjе формулама:

f (x) = 3x − 2, h(x) = (g ○ f )(x) = g[f (x)] = 6x − 7.Наћи функциjу g(x).Задатак 1.4.7. Дате су функциjе формулама:g

(x

) =

2

3x + 1, h

(x

) =

(g ○ f

)(x

) = g

[f

(x

)] =

1

3x +

2

3 − 7.

Наћи функциjу f (x).Задатак 1.4.8. Дати су скупови A = {1, 2, 3}, B = {a,b,c}, C = {5, 6, 7} и функциjе:f = 1 2 3a b c , g = a b c5 6 7 .

Наћи композициjе: g○f ∶ A → C и (f ○g)− 1 ∶ C → A. Показати да jе g− 1 ○f − 1 = (f ○g)− 1 .Гимназиjа Бања Лука 31


32/274


Задатак 1.4.9. Нацртати граф функциjе f (x) = [x − 1], где угласта заграда значи наjвеће цело од аргумента.Пример 1.4.10. Нацртати графове функциjа:

f (x) = 1, x ≥ 0−1, x < 0 , g(x) = x + 1, x ≥ 0x − 1, x < 0 .Наћи функциjе h1 = g ○ f и h2 = f ○ g.

Решење. Горњу грану f = 1 (односно g = x + 1) цртамо само за x ≥ 0, а доњу f = − 1(односно g = x − 1) само за x < 0, као на сликама 1.17.

Slika 1.17: Функциjе f и g.

h 1(x) = g[f (x)]

=

f

(x

)+ 1, f

(x

) ≥ 0

f (x)− 1, f (x) < 0 =

2, x ≥ 0−2, x < 0 = 2f (x),

h 2(x) = f [g(x)] = 1, g(x) ≥ 0−1, g(x) < 0 = 1, x ≥ 0−1, x < 0

= f (x).Задатак 1.4.11. Нацртати графове функциjа

f (x) = x − 1 − 1, g(x) = x + 1 − 1.Наћи функциjе h1 = g ○ f и h2 = f ○ g.Задатак 1.4.12. Нацртати граф функциjе

f (x) =x + 3, x ≤ 03 − x, 1 ≤ x ≤ 33x, x > 3

.

Пример 1.4.13. Решити неjедначину x2 − 1 > 0.



33/274


Решење. За производ (x − 1)(x + 1) > 0 тражимо + ⋅ + = + и − ⋅ − = + . Налазимо, прворешење: x − 1 > 0 x + 1 > 0, односно x > 1. Друго решење: x − 1 < 0 и x + 1 < 0, односноx < −1. Коначно решење jе свако реално x ∈

(−∞ , −1

)∪

(1, +∞

).

Задатак 1.4.14. Наћи домен функциjе:

f 1(x) = √ x 2 − 4, f 2(x) = √ 4 − x 2 , f 3(x) = √ x 2 + 4x, f 4(x) = √ 4x 2 − 12x.Задатак 1.4.15. Решити неjедначине:x − 1x + 2

> 0, x + 1

x − 2 < 3, −1 ≤

1 − 4x5

≤ 1,

x 2 − 2x − 3 ≤ 0, 0 ≤ x2 + 4x ≤ 5, 0 ≤ 4x 2 − 12x + 8 ≤ 3.

Комплемент скупа S у односу на (универзум) ξ означавамо са C ξ S , односнопросто C S када се универзум подразумева.

Следећи пример jе сличан задатку 1.3.15 из секциjе о релациjама, осим што jесада реч о функциjи.

Задатак 1.4.16. Нека f пресликава X у Y и нека су A1 , A 2 ⊂ X . Тада важи:i. A1 ⊂ A 2 ⇒ f (A1) ⊂ f (A2),ii. f (A1 ∪A2) = f (A1)∪ f (A2),iii. f (A1 ∩ A2) ⊂ f (A1)∩ f (A2).Нека f ∶ X → Y . Потсетимо се да jе инверзна (реципрочна) слика елемента y ∈ Y

скуп свих елемената x ∈ X за коjе важи y = f

(x

). Реципрочну слику означавамо са

f − 1

(x

). Реципрочна слика неког елемента може бити и празан скуп, када y ∉ f

(X

).

Ако jе B ⊂ Y , реципрочна слика скупа B jе скуп свих x ∈ X таквих да jе f (x) ∈ B ,што означавамо f − 1(B).Задатак 1.4.17. За инверзну (реципрочну) слику важи:i. B1 ⊂ B 2 ⊂ Y ⇒ f − 1(B 1) ⊂ f − 1(B 2),ii. f − 1(B 1 ∪B 2) = f − 1(B 1)∪ f − 1(B 2),iii. f − 1(B 1 ∩ B 2) = f − 1(B 1)∩ f − 1(B 2),iv. f − 1(C Y B) = C X f − 1(B).Потсетимо се да jе биjекциjа (сурjекциjа и инjекциjа) свако пресликавање за коjе

важи еквиваленциjа:

x 1 ≠ x2 ⇐⇒ f (x1

) ≠ f (x

2

).У том случаjу, функциjа f ∶ X → Y од jедног оригинала x ∈ X прави тачно jеднуслику тако да се свака слика y ∈ Y инверзиjом f − 1 ∶ Y → X може врати у тачно jеданоригинал.

Задатак 1.4.18. Нека jе f ∶ X → Y и произвољни A, A 1 , A 2 ⊆ X .i. f (A1 ∩ A2) = f (A1)∩ f (A2) ⇐⇒ f jе биjекциjа.ii. Cf (A) = f (CA) ⇐⇒ f jе биjекциjа.



34/274


35/274


Решење. За квадратну, односно корену функциjу имамо, редом:

12 ⋅ 3 +

12 ⋅ 4

2

≤12 ⋅ 3

3

+12 ⋅ 4

2

, 12 ⋅ 3 +

12 ⋅ 4 ≥

12√ 3

+12√ 4,7

2

2

≤9 + 16

2 , 72 ≥ √ 3 +√ 42 .

Прва неjеднакост се своди на тачну 49 ≤ 50, а за десну након израчунавања коренадобиjамо 1, 87083 ≥ 1, 86603 што jе такође тачно.

На слици 1.19 су приказани графови функциjе y = f (x) коjа jе конвексна (лево)и конкавна (десно). Прва jе удубљена, друга jе испупчена. То значи да ће се дужкоjа спаjа две тачке графа десно цела налазити изнад графа, а одговараjућа дуждесно испод графа.

Slika 1.19: Конвексна и конкавна функциjа.

Задатак 1.4.21. Када су апсцисе краjњих тачака дужи x1 и x2 , тада:i. за свако x ∈

(x 1 , x 2

) постоjе два позитивна реална броjа p и q , таква да jе

p + q = 1 и да jе x = px 1 + qx 2 ;

ii. на конвексноj функциjи важи неjеднакост (1.4);iii. на конкавноj функциjи важи неjеднакост (1.5).

Пример 1.4.22. Показати да за конвексну функциjу y = f (x) важи неjеднакост f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3) ≤ λ 1 f (x 1)+ λ 2 f (x 2)+ λ 3 f (x 3),

где су λ 1 , λ 2 , λ 3 позитивни реални броjеви такви да jе λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1.



36/274


Доказ. Нека jе λ 1 ≠. Тада jе 1 − λ 1 = λ 2 + λ 3 ≠ 0, па имамо редом:

f

(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3

) = f

λ 1 x 1 +

(1 − λ 1

)λ 2 x 2 + λ 3 x 3

1 − λ 1

≤ λ 1 f (x 1)+(1 − λ 1)f λ 2 x 2 + λ 3 x 31 − λ 1= λ 1 f (x 1)+(1 − λ 1)f λ 2 x 2 + λ 3 x 3λ 2 + λ 3

= λ 1 f (x 1)+(1 − λ 1)f λ 2λ 2 + λ 3 x 2 + λ 3λ 2 + λ 3 x 3≤ λ 1 f

(x 1

)+

(1 − λ 1

) λ2

λ 2 + λ 3f

(x 2

)+

λ 3λ 2 + λ 3

f

(x 3

)= λ 1 f (x

1

)+ λ 2 f (x

2

)+ λ 3 f (x

3

).Задатак 1.4.23. Експоненциjална функциjа f (x) = 2x jе конвексна на целом свом домену x ∈ R . Тестирати jенсенову неjеднакост за коефициjенте λ1 = 12 , λ 2 = 13 ,λ 3 = 16 и аргументе x1 = −2, x2 = 2, x3 = 3.

Задатак 1.4.24. За конвексну функциjу y = f (x) важи jенсенова неjеднакост f

n

k = 1λ k xk ≤

n

k = 1λ k f

(xk

),

где n ∈N, за свако k = 1, 2, . . . , n jе λk > 0, при чему ∑nk = 1 λ k = 1.

Приметимо да неjеднакост 1.4.24 постаjе jеднакост ако и само ако x1 = ⋅ ⋅ ⋅ = x n

zbirka zadataka i

Documents