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Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

17 juillet 2019

Victor Dansage

An experiment is a question which science poses to Natureand a measurement is the recording of Nature’s answer.

Max Planck

Niveau : L3 Physique

Prérequis➢ Jauge de Coulomb

➢ Équation de Maxwell

➢ Théorème d’équipartition de l’énergie

➢ Fonction de partition (canonique)

Bibliographie� Mécanique quantique tome 1, Claude Aslangul

� Thermodynamique, Olivier et Gié

� Thermodynamique, Landau et Lipschitz

� Electrodynamique classique, Jackson

Table des matières

1 Étudier ce rayonnement 2

1.1 Mise en évidence du rayonnement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Précense de matière - Corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Formule de Rayleigh-Jeans (1900) - Cas classique 4

2.1 Ensemble d’oscillateurs harmoniques immateriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Castastrophe ultraviolette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Loi de Planck 6

3.1 Quantification de l’énergie des oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Loi de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Loi de Stephan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1

1 ÉTUDIER CE RAYONNEMENT Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

IntroductionVous avez probablement déjà étudié deux modes de transfert thermique, à savoir la conduction lorsque vous vous

brulez avec une cuillère trempant dans l’eau des pates et la convection qui s’oppère pour chauffer une pièce avec desradiateurs. Aujourd’hui nous allons en étudier un troisième, les transfert thermique par radiation donc sous forme derayonnement. Un exemple que vous avez probablement connu, lorsque vous êtes au bord d’un feu de camp et qu’unepersonne passe entre le foyer et vous. A l’inverse des deux précédent ce mode de transfert thermique ne nécessite pasla présence de matière et peut opérer dans le vide. C’est grâce à ce mécanisme que la Terre reçoit de l’énergie du soleil.

L’objectif de cette leçon est d’étudier ce rayonnement en tant qu’objet thermodynamique, de voir pourquoi ilnécessite l’introduction d’un nouvel objet : le corps noir, et pourquoi il a été à l’origine du développement de laphysique quantique.

Étudier ce rayonnementMise en évidence du rayonnement thermique

Le rayonnement thermique d’un corps à une certaine température est le rayonnement électromagnétique émispar un corps porté à cette température. Le spectre du rayonnement correspond à la part que prend une tranche defréquence donnée dans le rayonnement. C’est à dire uν tel que la densité d’énergie volumique est u =

� ∞0 uνdν où

uν est la densité d’énergie volumique à la fréquence ν dans une tranche de largeur dν. C’est de ce rayonnement quel’on parle lorsque le forgeron porte le fer "au rouge" mais c’est également ce qui est utilisé pour l’éclairage avec lesampoules à filament. Pour des températures ordinaires (≤ 500K) les corps émettent dans l’infrarouge (d’où l’utilisationde caméra infra-rouge), puis lorsque la température augmente, le corps devient rouge sombre, rouge brillant, jaune,blanc puis bleu. Une image classique pour comprendre l’origine de ce rayonnement : l’agitation thermique impliqueque l’accélération des particules est rarement nulle, et l’accélération des particules chargées est source de rayonnement.

Figure 1 – Densité spectrale d’énergie volumique du rayonnement d’équilibre thermique de l’étoile Vega

Cependant on remarque que le spectre du rayonnement, c’est à dire la répartition en fréquence dépend fortementdu matériau dont est fait le corps comme on peut le voir pour l’étoile Véga sur la Figure 1. Le rayonnement thermiqued’un corps quelconque n’a donc rien d’universel même si l’allure générale est conservée (Figure 2).

Précense de matière - Corps noirLe rayonnement électromagnétique est un système physique à part entière et son étude relève de la thermodyna-

mique. Or comme nous l’avons déjà énoncé, ce qui nous intéresse est le rayonnement d’équilibre. Ainsi on se demande

www.proscorrect.fr 2

1 ÉTUDIER CE RAYONNEMENT Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

Figure 2 – Densité spectrale d’énergie volumique du rayonnement d’équilibre thermique à différentes température.

comment un excés d’énergie disposé dans une tranche de fréquences se réparti dans le spectre. Or les équations del’électromgnétisme sont linéaires. En effet, si l’on choisit de décomposer le champs électromagnétique sur la base desondes planes, les composantes des différentes fréquences vérifient des équations découplées. Deux fréquences différentessont donc totalement indépendantes et le rayonnement seul ne peut trouver son équilibre.

Il faut donc nécessairement qu’il y est présence de la matière pour prendre de l’energie dans une certaine gamme defréquence et la redistribuer où il le faut. Le rôle de la matière et des parois sont donc indispensables à l’établissementd’un équilibre.

Cependant, nous avons observé que la répartition en fréquence du rayonnement thermique d’un corps dépendaitprécisement de la nature du corps et de l’état de sa surface.

� Transition

Le dépendance du rayonnement d’un materiau en la nature et l’état de surface du dit matériau ne permet doncpas d’étudier directement les propriétes intrinsèques du rayonnement thermique puisque que certaine fréquence serontd’avantage absorbées que d’autres. Le but est de concevoir un système matériel dont la surface absorbe intégralementet uniformément toute radiation venant de l’extérieur.

Un système absorbant uniformément et intégralement toutes radiations électromagnétiques est appelé corps noir.C’est donc ce corps noir (qui efface toute signature propre à l’identité de la matière) qui permet d’étudier les propriétésintrinsèques du rayonnement électromagnétique à l’équilibre.

Une question se pose dèsormais, comment réaliser un tel corps ? On ne connait aucune matière présentant de tellespropriétes. C’est pourquoi on considère une enceinte rigide, maintenue à une certaine température et percée d’un trèspetit trou. Dès lors, tout rayonnement incident rentrant dans l’enceinte ne pourra jamais en ressortir et ce peu importela fréquence. Le rayonnement se propage, est réflechi sur les parois, ou absorbé, mais fini par trouver son équilibre oule maintien par des échanges avec les parois.

De ce fait l’ouverture fonctionne comme la petite surface d’un corps noir en absorbant uniformément et intégrale-ment toutes radiations incidentes quelque soit sa fréquence.

Pour observer le rayonnement d’équilibre themique du corps noir, il suffit alors d’installer un spectromètre devantla petite ouverture. On observe ainsi la distribution en fréquence du rayonnement à l’équilibre présent dans l’enceinte.

• La distribution spectrale ne dépend ni de la forme, ni de la nature physique des parois

• Loi de Wien (on y reviendra)

☞ Propriétés observées


2 FORMULE DE RAYLEIGH-JEANS (1900) - CAS CLASSIQUE Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

• La répartition spectrale de l’énergie est une fonction universelle de la température et de la fréquence cequi implique exclusivement des processus élémentaires ne dépendant que des constantes fondamentalesde la physique

• A température et fréquence fixées, l’intensité émise par le corps noir est toujours supérieure à celle den’importe quel autre corps porté à la même température (d’où son autre nom de radiateur idéal).

Formule de Rayleigh-Jeans (1900) - Cas classiqueEnsemble d’oscillateurs harmoniques immateriels

On veut ici montrer que le rayonnement dans l’enceinte constituant le corps noir est analogue à un ensembled’oscillateurs harmoniques. Pour cela on va décomposer les champs �E et �B comme une combinaison de solutionsstationnaires, c’est à dire à variables séparées.

Or expérimentalement on a remarqué que la forme de l’enceinte n’avait pas d’influence sur la distribution enfréquence de l’énergie volumique du rayonnement. C’est pourquoi nous sommes libres de considérer la forme qui nouspermettera de simplifier les calculs. On considère alors une boite cubique de côté arbitraire L et on décrira le problèmedans le repère cartésien associé à cette boite.

Les parois étant réfléchissantes, le champ �E est normal aux parois.Conformément aux équation de Maxwell, on peut définir le champ �E à partir du potentiel scalaire et du potentiel

vecteur et faire un choix de jauge judicieux. Ici on se place dans la jauge de Coulomb. Le problème étant considérésans charge, on a :

div(A) = 0 (1)

E = −∂A∂t

(2)

B = rot(A) (3)

Dès lors, l’équation de Maxwell-Ampere permet d’écrire :

ΔA − 1c2

∂A∂t

= 0 (4)

Et on cherche les solutions sous la forme stationnaire : a(t) · f1(x) · f2(y) · f3(z) tel que f ��j + k2fj = 0. D’où :

Au(r, t) =�

kl,km,kn

au,kl,km,kn(t) · fu,kl,1(x) · fu,km,2(y) · fu,kn,3(z) (5)

Les conditions aux limites sont imposées dans les plans u = 0 u = L où u ∈ {x, y, z} et sont E//n. Dèslors, en x = 0 et x = L : ∂tAy = ∂tAz = 0. Pour avoir une solution physiquement intéressante, on a alors :Ay(x = 0, L) = Az(x = 0, L) = 0 donc contiennent un facteur sin(p πx

L ).Donc on a Ax(r, t) = ax(t) · f1(x) · sin(py

πyL ) · sin(pz

πzL ) En appliquant la condition de jauge de Coulomb en x = 0

et en x = L, on obtient f1(x) = cos(pxπxL ). On fait de même sur les coordonnées y et z. Puisque les conditions de

nulité aux limites sont respectées pour chaque mode, la combinaison linéaire de ces modes respectent également cesconditions aux limites.

Ax(r, t)=�

n an,x(t) · cos(nxπxL ) · sin(ny

πyL ) · sin(nz

πzL )

Ay(r, t)=�

n an,y(t) sin(nxπxL ) · cos(ny

πyL ) · sin(nz

πzL )

Az(r, t)=�

n an,z(t) sin(nxπxL ) · sin(ny

πyL ) · cos(nz

πzL )

(6)

Pour ne pas compter plusieurs fois les mêmes modes du fait des propriétés de parité et d’imparité des fonctionscosinus et sinus on prend n ∈ N3.

Dès lors, on écrit la condition de jauge de Coulomb :�

n(an,x

nxπ

L+ an,y

nyπ

L+ an,z

nzπ

L) sin(nx

πx

L) sin(nz

πz

L) sin(nz

πz

L) (7)


2 FORMULE DE RAYLEIGH-JEANS (1900) - CAS CLASSIQUE Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

Cette condition devant être réalisée pour tout r ∈ [0, L]3, on en déduit que an ⊥ kn = πL

nx

ny

nz

.

Ainsi, la donnée d’un n permet de déterminer un an à un facteur près donc d’un mode de potentiel vecteur et doncd’un mode de En associé qui est orthogonal à kn. On peut à présent s’interroger sur la polarisation du champ En.Comme il est orthogonal à kn, on définit deux vecteurs orthogonaux en,1 et en,2

Et donc : an(t) = qn,1(t)en,1 + qn,2(t)en,2L’équation de propagation donne alors :

d2qn,α

dt2 + c2[�

u=x,y,z

(nuπ

L)2]qn,α = 0 (α = 1, 2; n ∈ N3) (8)

d2qn,α

dt2 + c2k2nqn,α = 0 (α = 1, 2; n ∈ N3) (9)

On retrouve l’équation d’un oscillateur harmonique. Ainsi le champ dans sa boite se comporte comme une collectiond’oscillateurs harmoniques indépendants (car dans chaque equation, un seul mode figure à la fois).

Ex(r, t) = −�

n

∂an,x

∂tcos(nx

πx

L) sin(ny

πy

L) sin(nz

πz

L) (10)

Bx(r, t) = π�

n(an,z

ny

L− an,y

nz

L) sin(nx

πx

L) cos(ny

πy

L) sin(nz

πz

L) (11)

�

R3drE2 = L3

8�

nan

2 = L3

8�

n,α

˙qn,α2 (12)

�

R3drB2 = L3

8�

n(an ∧ kn)2 = L3

8�

n,α

q2n,αk2

n (13)

E = V

16�0�

n,α

[ ˙qn,α2 + ω2

nq2n,α] (14)

Il faut à présent dénombrer le nombre d’oscillateurs harmoniques en vu d’un calcul de physique statistique. Unmode correspond à un oscillateur harmonique qui est la donnée d’un n et d’un α.

Ainsi le nombre d’oscillateurs harmoniques de vecteur d’onde plus petit que | k | en norme est :

N(≤| k |) = 2 ·43 πk3

8 · 1( π

L )2 = (kL)3

3π2 (15)

D’où N(≤ ν) = 8π3 · ( Lν

c )3 et donc dN(ν) = g(ν)dν avec :

g(ν) = 8πν2

c3 (16)

Castastrophe ultravioletteUn oscillateur harmonique représentant un mode stationnaire présente deux degrés de liberté quadratique qui

apparaissent dans l’expression de l’énergie. Dès lors, on peut utiliser le théorème d’équirépartition de l’énergie etaffirmer qu’un oscillateur harmonique, donc un mode, contribue à l’énergie à hauteur de < EOH >classique= 2 · 1

2 kBT =kBT . Donc :

uR−J (ν, T ) = g(ν) < EOH >classique= 8πν2

c3 kBT (17)

u(T ) =� +∞

0uR−J (ν, T )dν ∝

� +∞

0ν2dν = +∞ (18)

C’est ce qu’on appelle la catastrophe ultraviolette. Ce n’est pas acceptable physiquement que l’energie volumiquesoit infinie dans un volume non nul... Le nom de catastrophe ultraviolette vient du fait que le problème est situé àhaute fréquence et les hautes fréquences sont les UVs pour l’oeil humain.

Il est tout de même à noter que cette expression de la distribution d’énergie en fréquence colle bien avec lesobservations expérimentales à basses fréquences.


3 LOI DE PLANCK Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

Loi de PlanckQuantification de l’énergie des oscillateurs

Pour Planck, il y avait une zone d’ombre sur laquelle la lumière n’avait pas été faite. Pourquoi l’énergie desoscillateurs harmoniques ne dépend pas de la fréquence ν ?

Ce résultat surprenant provient du théorème d’équirépartition de l’énergie et donc de la façon dont sont somméesles variables dynamiques de l’oscillateur harmonique c’est à dire de façon continue au sein de deux intégralesgaussiennes.

� Identification du problème

Pour rompre avec ce résultat, il fut contraint d’admettre que l’énergie d’un oscillateur (ou résonnateur pour collerà sa terminologie) était discrète et ne pouvait être que le multiple entier de quelque chose. Une énergie spécifique del’oscillateur ne pouvant dépendre que de la fréquence, il introduisit une nouvelle constante h homogène à une actiontel que le quanta d’énergie associée à un oscillateur harmonique soit hν donc Eosc = nhν, n ∈ N.

On exprime alors la fonction de partition d’un oscillateur harmonique de fréquence ν :

Z =+∞�

n=0e−βnhν =

+∞�

n=0(e−βhν)n = 1

1 − e−βhν(19)

< Eosc >= 1Z

·+∞�

n=0nhνe−βnhν = − ∂

∂βln(Z) = hν

eβhν − 1 (20)

La différence fondamentale est que l’énergie moyenne de l’oscillateur harmonique dépend à présent de la fréquence.

u(ν, T ) = 8πν2

c3 · hν

eβhν − 1 (21)

On a éliminé le problème de la catastrophe ultraviolette. En effet cette expression est intégrable sur R.

A basses fréquences on retrouve le résultat de Rayleigh-Jeans.☞ Remarque

Loi de WienLa loi de Wien est une loi empirique, qui donne l’expression de la longueur d’onde/fréquence du maximum de la

distribution d’énergie en fonction de la température. De plus Wien avait montré par une fine analyse expérimentaleque la densité d’énergie contenait une fonction universelle de variable x = hν

kBT (préfacteur à posteriori) telle queu(ν, T ) · T −3 = f(x). Le résultat de Planck permet d’expliciter cette fonction :

u(ν, T ) · T −3 = f(x) = 8πk3B

c3h2( hν

kBT )3

eβhν − 1 = 8πk3B

c3h2x3

ex − 1 (22)

On obtient également immédiatiatement la loi du déplacement de Wien par une simple dérivation de la densitéd’énergie pour obtenir les coordonnées du maximum de la fonction universelle f :

λmaxT = Cνmax

T= C � (23)

Avec C = 0.201 hckB

et C � = 2.820 kB

h


3 LOI DE PLANCK Rayonnement d’équilibre thermique - Corps noir

Loi de StephanLa loi de Stephan est une loi empirique donnant la dépendance du pouvoir émissif, émittance, puissance totale

émise par unité de surface US :

US = σT 4 σ = 5.7 × 10−8W · m−2 · K−4 (24)

Or on peut montrer que US = c4 u. La loi de Stephan découle donc directement du calcul de Planck.

US = c

4 · T 3 · 8π

c3 h

� +∞

0dx

x3

ex − 1 · (kB

h)3 · kBT

h(25)

US = 2πk4BT 4

h3c2

� +∞

0dx

x3

ex − 1

� +∞

0dx

x3

ex − 1 = π

15 (26)

US = 2π

15 · k4B

h3c2 · T 4 (27)

On démontre ainsi la loi de Stephan. Le calcul de Planck est remarquable puisque qu’il permet d’expliquer l’originedes lois empiriques jusqu’ici finement analysées mais jamais expliquées.

ConclusionPour conclure, nous avons au cours de cette leçon cherché à étudier le rayonnement électromagnétique à l’équilibre à

une température donnée. Pour cela nous avons été obligé de considérer la précense de matière nécessaire à la conditiond’équilibre et donc développer un prototype de corps, le corps noir. Nous avons ensuite explorer l’histoire de ce problèmepour en comprendre la résolution et l’erreur qui a été faite. Enfin, nous avons pu comprendre l’origine de la mécaniquequantique à travers la quantification de l’énergie d’un mode stationnaire.


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