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HES-SO - Energétique ::: | convection | ::: 1/ 64
COURS DE THERMIQUECOURS DE THERMIQUE
© HES-SO - 2004
Jean-Bernard [email protected]
Ecole d‘Ingénieurs de Genève
Séance N°5
HES-SO - Energétique ::: | convection | ::: 2/ 64
7 séances
• 1 - Introduction et Généralités• 2 - La conduction thermique• 3 - L'équation de la chaleur• 4 - Le rayonnement thermique• 5 - La convection thermique• 6 - Les échangeurs de chaleur• 7 - Petite Classe d'application
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Transfert par conduction
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Transfert radiatif
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Transfert convectif
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Chauffage par convection
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Coefficient d'échange de chaleur par convection
d2Q : Quantité de chaleur qui traverse dSpendant le temps dt, en Joules
( )dQdtd ( )dQdtd
Flux de chaleur, en Watt
( ) dtdSTThQd p 2∞−=
en W/(m2.K)
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Détermination du coefficient h
h dépend:
• de la conduction entre les particules de fluide
• du mélange de ces particules par suite dumouvement d'ensemble du fluide
• l'échange de chaleur peut être accompagné d'unchangement de phase
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Différents échanges convectifs
• échange thermique monophasique en convection forcée• échange thermique monophasique en convection naturelle• échange thermique accompagné d'ébullition• échange thermique accompagné de condensation
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Convection forcée sans changement d'état
Le problème consiste à préciser l'expression du flux thermique Φ échangé entre le fluide extérieur à la température T∞ et une longueur unité de la surface du tuyau à la température Tp
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Flux thermique transféré par l'écoulement autour d'un tube
( )Φ = h T - T Dp ∞ π
Surface d'échange par m de tuyau, en m2Ecart de température
entre paroi extérieureet fluide à l'infini, en K
Flux transféré, en Watt
en W/(m2.K)
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Analyse dimensionnelle
8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ
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Analyse dimensionnelle
Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet de prévoir que la forme la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira:
F( , , , ) = 01 2 3 4π π π π
( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
où les πi sont des groupements sans dimension de la forme:
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Equations aux dimensions des 8 grandeurs
D U∞ ρ µ λ C h Tp-T∞
L, Longueur
M, Masse
T, Temps
θ, température
1
1
-3
-1
2
0
-2
-1
0
1
-3
-1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
-1
0
-3
1
0
0
-1
1
-1
0
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Dimension d'un groupement p
Définition d'un groupement π
( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
où
a, b, c, d, e, f, g, i
sont 8 paramètres inconnus
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
rien rien d e b rien g riencontribution de la Masse à la dimension du groupement π
soit: b + d + e + g = 0
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
a c -3d -e b 2f rien riencontribution de la Longueurà la dimension du groupement π
soit: a + b + c - 3d - e + 2f = 0
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
rien -c rien -e -3b -2f g riencontribution du Temps à la dimension du groupement π
soit: - 3b - c - e - 2f - 3g = 0
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
rien riencontribution de laTempératureà la dimension du groupement π
rien rien -b -f -g i
soit: - b - f - g + i = 0
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Dimension d'un groupement p
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]π θ = M L T b+d +e+g a+b+c-3d-e+2f -3b-c-e-2f -3g -b-f -g+i
Chacun de ces termes en exposant doit être nul
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Groupements p sans dimension
b + d + e + g = 0
a + b + c- 3d - e + 2f = 0
- 3b - c - e - 2f - 3g = 0
- b - f - g + i = 0
4 conditions pour que qu'un π soit adimensionnel
mais 8 paramètres inconnus !
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
4 des 8 paramètres peuvent être choisisde manière arbitraire
g = 1 Pour obtenirune loi de la forme h = f ( . . .)
c = d = 0 Le groupement π trouvé nedépendra pas de l'énergiecinétique du fluide ρU2
i = 0 Le groupement π trouvé nedépendra pas de l'écart detempérature Tp - T∞
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Résolution du système déterminant le premier groupement adimensionnel p
Avec g = 1 et c = d = i = 0
b + d + e + g = 0
a + b + c- 3d - e + 2f = 0
- 3b - c - e - 2f - 3g = 0
- b - f - g + i = 0
a = 1 b = - 1 e = 0 f = 0
b + e = -1
a + b + 2f - e = 0
- 3b - e - 2f = 3
- b - f = 1
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Nombre de Nusselt Nu
Avec : g = 1 et : c = d = i = 0
a = 1 b = - 1 e = 0 f = 0
λπ Dh N u1 ==
( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
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Signification du Nombre de Nusselt Nu
Nu = Coefficient de convection h mis sous forme adimensionnelle
Fconvecté = h ( Tp - T∞ ) ( DL )
Flux de référence = flux de conduction = λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]
=h ( Tp - T∞ ) ( DL )
λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]
h D
λ
Nu =Fconvecté
Flux de référence
=
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire
b = 0
f = 0
g = 0
i = 0
de manière à ne conserver que les caractéristiques de l'interactionfluide-obstacle créant le transfert de chaleur:
ω celles du fluide: ρ , µ
ω celles de l'écoulement: U∞ , D
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Nombre de Reynolds Re
Avec :
b = f = g = i = 0
µρπ D U R e2
∞==
( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
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Signification du Nombre de Reynolds Re
Re =Forces d'inertie
Forces de viscosité=
ρ U∞ D
µ
Re caractérise la forme du profil de vitesse de l'écoulement fluide
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( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire
a = 0
c = 0
g = 0
i = 0
de manière à ne conserver que les caractéristiques du fluide:
ρ, µ, λ, C
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Nombre de Prandtl Pr
( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−
i
Avec :
a = c = g = i = 0
λµπ C P r3 ==
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Signification du Nombre de Prandtl Pr
Pr =Viscosité dynamique
Diffusivité thermique=
µ / ρ
λ /ρC
µ C
λ =
Pr compare les influences respectives:
• du profil de vitesse du fluide (viscosité)
• du profil de température (diffusivité)
Pour les gaz usuels, Pr est voisin de 0.75
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Influence de la diffusivité thermique a
tT
a1 =
xT2
2
∂∂
∂∂
ca
ρλ
=avec dT proportionnel à a
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Conclusion de l'analyse dimensionnelle
Le transfert de chaleur convectif implique une relation entre 4 nombres sans dimension
0 = ) , , , F( 4321 ππππ
F (Nu , Re , Pr , Ec ) = 0
λDh Nu =
µρ DU Re
∞=
λµ C Pr =
Le quatrième groupement adimensionnel possible est le Nombre d'Eckert.
Il n'intervient que dans la description d'écoulements proches de la vitesse du son.
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Nombres dérivés
• Nombre de Peclet: papport des flux thermiques par convection et par conduction
• Il existe aussi les nombres de Stanton , Grashof, Froude, Weber, Rayleigh
p.C thermiqueédiffusivit a, avec
.
....Pr.Re
ρλ
λµ
µρ
=
=
==
aDUPe
CDUPe p
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Loi de la convection forcée
F (Nu , Re , Pr) = 0
ou
Nu = f (Re , Pr)
= ∞
λµ
µρ
λCDU ,f hD
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Écoulement dans un tube
• Régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de diamètre intérieur D.
• Flux de chaleur dΦ échangé à travers l’aire latérale de paroi dS comprise entre les abscisses x et x + dx:
( ) dx D T - Th = d pm πΦ
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Coefficient d’échange en régime turbulent
• Pour les nombres de Reynolds : 104 < Re < 1,2.105
• Formule de Colburn – corrélation expérimentale:
Conditions d’application:• Le régime d’écoulement doit être parfaitement établi x/D > 60
• 0,7 < Pr < 100.
0,8e3
1ru R P 0.023 = N
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Régime turbulent non établi
• x/D < 60
0.70.8
e31
ru xD + 1 R P 0.023 = N
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Régime laminaire
• Re < 2000, • corrélations expérimentales de Lévêque, avec:
pC
DV
. avec
.Dx
P R1 =A
re
ρλα
α
=
=
0.05 <A pour A 1.06 = N
0.05 >A pour 3.66 = N0.4 -
u
u
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Exemple d’application
• Tuyau de diamètre D = 20 mm • Débit Q = 0,5 l/s d’eau à 50°C.• Déterminer le flux thermique transmis par convection du
fluide vers la paroi, par mètre linéaire de conduite, dans le cadre des hypothèses suivantes:– Température d’entrée de l’eau constante;– Paroi du tube assez mince - on néglige la conduction;– Température extérieure = 15°C;– Ecoulement parfaitement établi
• Propriétés physiques de l’eau:– Masse volumique à 50°C: ρ = 988 kg/m3– Viscosité dynamique à 50°C: µ = 0.55.10-3 Pa.s– Conductivité thermique à 50°C: λ = 0.639 W/(m.°C)– Capacité thermique massique à 50°C: Cp = 4’184 J/(kg.°C)
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Résolution d'un problème de convection forcée
1 une géométrie
2 une dimension caractéristique L
3 L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide
4 La vitesse U∞ du fluide
5 ρ , µ, C et λ du fluide
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1 une géométrie
Exemple:
Un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude.
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2 une dimension caractéristique L
Exemple:
un tuyau de diamètre
D = 20 mm
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3 L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide
Exemple:
Le tuyau transporte de l'eau à la température moyenne:
Tm = 50 °C
alors que la paroi est à la température:
Tp = 15 °C
EcoulementFlux de chaleur
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4 La vitesse U∞ du fluide
Exemple:
Le tuyau transporte un débit:
Q = 0,5 l/s
La vitesse moyenne de l'écoulement est alors:
Um = Q/S = 1,6 m/s1,6 m/s
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5 ρ , µ, C et λ du fluide
Masse volumique à 50°C: ρ = 988 kg/m3
Viscosité dynamique à 50°C: µ = 0.55.10-3 Pa.s
Conductivité thermique à 50°C: λ = 0.639 W/(m.°C)
Capacité thermique massique à 50°C: C = 4184 J/(kg.°C)
Pour de l'eau:
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Calcul du coefficient de transfert convectif h
= ∞
λµ
µρ
λCDU ,f hD
13h4
2
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1 - Calcul du Nombre de Prandtl du fluide
3.60 = 0.639
41840.55.10 = C = P-3
r×
λµ
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2 - Calcul du Nombre de Reynolds du fluide
57124 0.55.10
0.021.59988 = D U = R 3-m
e =××
µρ
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3 - Choix de la corrélation expérimentale Nu = f(Re, Pr)
Pour: 104 < Re < 1.2 x105
et: 0,7 < Pr < 100
on applique la corrélation de COLBURN:
0,8e3
1ru R P 0.023 = N
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Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn)
N = 0,023 P Ru r1
3e
0,8
Pr = 1
Pr = 3,6
Pr = 10
NR = 57124
Nu = 224
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4 - Calcul de h
N = 224 = h D
u λ
C). W/(m7156 0.02
2240.639 = DN =h 2u °=
×λ
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Calcul du Flux thermique transmis par convection
( ) dxd D T - Th = p π∞Φ
( ) kW/m 15.7 = D T - Th = dxd =W pm πΦ
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Ecoulement autour d’un tube
31.0PrRe11.1
:liquideun Pour Re
:gazun Pour
⋅⋅⋅=
⋅=
m
m
A Nu
A Nu
Re A m 1 < Re < 4 0.891 0.330 4 < Re < 40 0.821 0.385 40 < Re < 4.103 0.615 0.466 4.103 < Re < 4.104 0.174 0.618 4.104 < Re < 4.105 0.024 0.805
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Cas des échangeurs à tubes
( ) ( )
0.33 B :quinconceen Faisceau 0.26 B :alignéFaisceau
P R B = N 33.0r
6.0eu
==
⋅⋅
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Exercice d’application
• Calculer la longueur de tube nécessaire à un échangeur air-eau
• Températures• Air in = 800 °C• Air out = 40°C• Eau in = 15°C• Eau out = 40°C• Puissance moyenne fournie = 10 kW• Diametre du tube= 10 mm
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Ecoulement le long d’une plaque
( )]./[
n T
T - T - =h
dt dS T - Th = Qd
:laminairecouche-souslaDans
2
0=np
p2
0
2
KmW
n T = - λ
dS dtQd =
dSdΦ
m
m
n=
°
⋅
∂∂λ
∂∂
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Cas d’une paroi plane – Régime laminaire
µρ L U = Re m
L
λL h uN L =
( ) ( )
( ) ( ) 33.08.0LL
33.05.0LL
Pr Re 0,036 = uN
: turbulentRégime
Pr Re 32 = uN
:2000Relaminaire Régime <
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Convection naturelle: nombres de Grashof et de Froude
2
3
cte = p
2
3
.
T1 parfait fluideun Pour
T v
v1 =
fluidedu isobare volumiquedilatation det coefficien avec
...
γ
α
∂∂α
αγ
α
DgTTGr
TDgGr
⋅∆
=
=
=
∆=
Rapport entre forces de poussée ascensionnelle dues à une différence de température et forces de viscosité
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Nombre de Froude
LgUFr
.
2=
• Rapport entre forces de viscosité, de gravité et d’inertie.
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Couche limite de convection naturelle
2
32 r
L T g = Gµ
ρα ∆
G = g T
1L
r
3
α
µρ
∆
2
Forces de gravitéPar unité de volume
Forces de frottement visqueux par unité devolume
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Convection naturelle laminaire et turbulente
( )
1/3 n :Turbulent 1/4 n :Laminaire
paroi-fluide moyenne, re températula à calculés
P . G C = N rru
==
n
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Facteur de forme C
Géométrie et orientation de la paroi
Dimension caractéristique
L
C en convection
laminaire
C en convection
turbulente Plaque verticale
Hauteur 0,59 (104 < Gr.Pr < 109)
0,13 (109 < Gr.Pr < 1013)
Cylindre horizontal
Diamètre extérieur 0,53 (103 < Gr.Pr < 109)
0,10 (109 < Gr.Pr < 1013)
Plaque horizontale chauffant vers le haut
Largeur 0,54 (105 < Gr.Pr < 2.107)
0,14 (2.107 < Gr.Pr < 3.1010)
Plaque horizontale chauffant vers le bas
Largeur 0,27 (3.105 < Gr.Pr < 3.1010)
0,07 (3.1010 < Gr.Pr < 1013)
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Exemple d’application: mur ensoleillé
Tp = 313°KTa = 293°KTm = 303°Kρ = 1,149 kg/m3λ = 0.0258 W/(m.K)µ = 18.4 10-6 Pa.sCp = 1006 J/(kg.K)
H=6 m
L=10 m
K W/m13.4.960.13.0
10.02.4
10.61.5
72.0Pr
2
333.0
11
11
°==
==
=
=
=
LNuh
RaNu
Ra
Gr
λ