RA^UNARSKA SIMULACIJA PROLAZA ELEKTRONA KROZ SUPSTANCIJU

Radovan D. IliInstitut za nuklearne nauke “Vin~a”

SA@ETAK

Posle otkria elektrona, trebalo je da protekne gotovo 70godina do pojave prvih ideja o simulaciji prolaza elektrona krozsupstanciju na ra~unaru. Pedesetih i ezdesetih godina ovog vekazapo~iwe primena metoda Karlo Monte za stvarawe algoritama ira~unarskih programa za simulaciju prolaza elektrona. U proteklimdecenijama napisano je vie ra~unarskih programa za izvo|ewenumeri~kih eksperimenata, koji se odvijaju na ra~unaru u potpunomskladu sa fizi~kom slikom prolaza elektrona kroz sva agregatnastawa supstancije, to je postignuto i u naem programu FOTELP.Prvi put FOTELP je objavqen 1988.g., a od 1991.g. nalazi se ume|unarodnoj razmeni programa. U proteklim godinama poboqan jemodel Monte Karlo transporta fotona, elektrona i pozitrona,uvedene su nove numeri~ke metode ra~unawa verovatnoa prelaza~estica, poboqana je tehnika odabira slu~ajnih veli~ina izwihovih raspodela, ukqu~en novi geometrijski modul za debele itanke slojeve materijalnih zona u 3D. Raspolo`ive bibliotekenuklearnih podataka omoguile su da program FOTELP postane alatza numeri~ke eksperimente u dozimetriji, radioterapiji,radijacionim oteewima mikroelektronskih komponenti, ra~unawuefikasnosti radijacionih detektora i drugim oblastima.

Povodom stogodiwice otkria elektrona, daje se pregleduspona metoda Monte Karlo i saoptavaju se rezultati usavravawaprograma FOTELP, sa osvrtom na modele drugih autora, i rezultatiizvedenih numeri~kih eksperimenata kojima se potvr|uje vaqanostprimewenih modela i usavrenih tehnika.

SADR@AJ

PREDGOVOR

1. UVOD

1.1. Model prolaza elektrona kroz supstanciju1.2. Monte Karlo algoritam

2. MODELOVAWE SLU^AJNIH VELI^INA

2.1. Metoda inverzne funkcije2.2. Metoda odbacivawa2.3. Metoda superpozicije2.4. Generatori pseudoslu~ajnih brojeva2.5. Ra~unarske metode prikazivawa raspodela

3. TEHNIKA SIMULACIJE

3.1. Koordinatni sistem3.2. Emisija elektrona iz izvora3.3. Geometrija3.4. Vremenska zavisnosy3.5. Prekid istorije elektrona

4. PRIPREMA VEROVATNO]A PRELAZA ELEKTRONA

4.1. Sredwi gubitak energije4.2. Fluktuacija gubitka energije na jonizaciju4.3. Gubitak energije zako~nim zra~ewem4.4. Ugaona raspodela4.5. Delta elektroni4.6. Anihilacija pozitrona4.7. Relaksacija pobu|enog atoma

5. RA^UNARSKI PROGRAMI

5.1. Prolaz fotona kroz supstanciju5.2. Prolaz elektrona kroz supstanciju5.2.1. Prostorna raspodela5.2.2. Elektron u elektri~nom i magnetnom poqu5.2.3. Apsorpcija energije blizu granice zona5.2.4. Sekundarne ~estice5.2.5. Ultra tanki slojevi5.3. Spregnuti transport fotona, elektrona i pozitrona

6. NUMERI^KI EKSPERIMENTI

P O G O V O R

PREDGOVOR

Sto godina od otkria elektrona svakako je prava prilika da se sumirajui javnosti prika`u dostignua u mnogo mla|oj nau~noj oblasti - ra~unarskojsimulaciji prolaza elektrona kroz supstanciju. Od obiqa u toj oblasti razvijenihmetoda izdvajaju se metode Monte Karlo i wihovi sinonimi: statisti~komodelovawe, statisti~ko ispitivawe, pa i imitacija ili simulacija na ra~unarufizi~kih procesa koji prate prolaz elektrona kroz supstanciju. Metode MonteKarlo, a u posledwe vreme nazvane tehnikama Monte Karlo, primewuju se umnogim oblastima qudskog stvaralatva. Metode Monte Karlo imaju osobine kojeih izdvajaju od drugih metoda. One omoguavaju numeri~ku imitaciju na ra~unarufizi~kog procesa u svemu kako taj proces odgovara naim predstavama. Pri tomene postoje ograni~ewa u pogledu fizi~ke ili geometrijske slo`enosti. Poprirodi stvari, ove metode zahtevaju fizi~kom problemu primereni ra~unar i dasimulacija traje dovoqno dugo da se dobije rezultat sa zadovoqavajuomstatisti~kom grekom.

Metode Monte Karlo postale su dostupne javnosti 1949 godine kada suNojman (Neumann) i Ulam (Ulam) objavili monografiju Monte Carlo Methods. Dotada wihov razvoj bio je u slu`bi projekta Menhetn (Manhattan). Ba zbog toga,metode su bile usmerene na probleme prolaza neutrona, a kasnije i fotona krozslo`ene geometrije konstrukcija nuklearnih naprava. Ubrzo zatim, zapo~iweprimena ovih metoda i u drugim oblastima deterministi~ke i statisti~keprirode. Danas je teko navesti oblasti u kojima se one ne primewuju, a pogotovood pojave ra~unara sa poluprovodni~kim tehnologijama i diskovima velikogkapaciteta.

Simulacija prolaza elektrona kroz supstanciju dobija na zamahu tek uposledwe tri decenije. Prvenstveni razlog tome je slo`enost fizi~kih procesakoji prate prolaz elektrona, pa tek onda ograni~ewa ra~unarske tehnike. Bio jeto izazov autoru ove publikacije da svojim algoritmima i ra~unarskim programimadoprinese irewu primene metoda Monte Karlo kod nas. Kako prolaz elektronakroz supstanciju prati stvarawe ~estica druge vrste, koje kasnije stvarajuelektrone, svaki model prolaza elektrona mora da obuhvati i prolaz tih~estica. Simulacija se tada svodi na tzv. spregnuti prolaz svih ~estica. Iako jeova publikacija posveena elektronima, nema fizi~kog opravdawa da se izostaveone ~estice koje prate prolaz elektrona. Mo`da ba ta okolnost daje posebnudra` stogodiwici otkria elektrona.

1. UVOD

1.1. MODEL PROLAZA ELEKTRONA KROZ SUPSTANCIJU

U sudarima elektrona sa atomom i wegovim elektronskim omota~omodigravaju se razli~iti i slo`eni procesi. Oni su ovde sistematizovani premafizi~koj prirodi i potrebi stvarawa algoritma simulacije metodama MonteKarlo. Svi procesi se dele na elasti~no rasejawe i neeleasti~no rasejawe.Elasti~no rasejawe odvija se na slobodnom elektronu i na atomu u poquelektronskog omota~a. Neelasti~no rasejawe deava se dominantno na atomu -zako~no zra~ewe, a jonizacija, pobuda i zako~no zra~ewe na elektronima atomskogomota~a. Stawe elektrona potpuno je definisano wegovom energijom, polo`ajem uprostoru i ortom wegove brzine.

Posle svakog sudara novo stawe elektrona odre|uju iste te veli~ine saizmewenim vrednostima. Model prolaza elektrona, prema tome, trebamatemati~kim formulama i logi~kim operacijama da opie u svakom sudaru staweelektrona. Pri prolazu elektrona kroz supstanciju on gubi energijudo`ivqavajui na putu veoma veliki broj sudara. Zato se tra`e i nalaze modelisimulacije u kojima se o~uvava fizi~ka slika prolaza, a da ra~unarski programipak u razumnom vremenu obavi simualciju. U tom smislu dominiraju dva pristupa.Prvi je verna imitacija svakog sudara, a drugi da se ograni~en broj sudara zamenijednim ekvivalentnim sudarom. Prema prvom pristupu radi se o analognom modelu.Uvo|ewe ekvivalentnog sudara, dovodi do primene teorije viestrukog rasejawa.Ona nije uvedena samo zbog re~enih ograni~ewa, ve i zato to je ona posledicamakroskopske slike laboratorijskih eksperimenata prolaza elektrona.

U sudarima elektrona (pozitrona) sa atomima i wegovim elektronimaodvijaju se kaskadni stohasti~ki procesi. U wima se pri zako~nom zra~ewustvaraju fotoni ~ija energija pokriva opseg do energije elektrona. Nastalifotoni osloba|aju fotoelektrone pri apsorpciji, elektrone pri nekoherentnomrasejawu, a kad im je energija dovoqna stvaraju i parove elektron - pozitron.Pri prolazu pozitrona kroz supstanciju odigravaju se elasti~ni i neelasti~nisudari sli~ni takvim sudarima elektrona sa supstancijom, a konkurentna wima jeanihilacija pozitrona i kao posledica toga stvarawe anihilacionih fotona.Stawa fotona i elektrona (pozitrona), koje oni stvaraju, potpuno su definisanaenergijom, polo`ajem u prostoru i ortom wihove brzine. Model prolaza fotonakroz supstanciju jednostavnije se postavqa ba zato to foton na jednici putaima mali broj sudara. Zato dominiraju analogni modeli u kojima se imitirafizi~ka slika prolaza fotona.

Stohasti~ku prirodu sudara opisuje presek i iz wega izvedene gustineraspodele, a one omoguavaju ra~unarsku simulaciju prolaza ~estice krozsupstanciju. Preseci sa svoje strane odre|uju ta~nost simulacije. Na `alost, uirokom opsegu energije elektrona preseci nisu poznati sa zadovoqavajuomta~nou, a u nekim intervalima energije i rednih brojeva elemenata preseci su

dobijeni kombinovawem malobrojnih eksperimenata i teorijskih modela. Sve topokazuje da prolaz elektrona nije zaokru`en, pa korektni Monte Karlo algoritmine mogu da pru`e vie od onoga to se danas zna o elementarnim procesima. Ovoisti~emo zato, to svi modeli Monte Karlo operiu sa statisti~kom grekom,iako su poznati pokuaji da se u~ine procene kvaliteta simulacije na osnovugreke preseka.

1.2. MONTE KARLO ALGORITAM

Simulacija prolaza ~estica - elektrona, pozitrona i fotona, zasniva sena stohasti~koj prirodi sudarnih procesa. Izmeu dva uzastopna sudara ~esticaprelazi slu~ajan put koji je odre|en totalnim makroskopskim presekom i gustinomraspodele. Pri svakom sudaru ~estica gubi energiju, a gubitak energije se odre|ujeiz odgovarajue gustine raspodele. Posle sudara ~estica mewa smer u odnosu nasmer pre sudara, a ugao skretawa je slu~ajna veli~ina koja se bira iz ugaoneraspodele. Na svom putu ~estica gubi energiju do neke grani~ne energije pri kojojse smatra da je ~estica apsorbovana, ili sa nekom energijom naputa aktuelniprostor. Svi sudari na putu ~estice pripadaju wenoj istoriji. Ponavqawemvelikog broja istorija dobija se prostorna i energijska raspodela ~estica uaktuelnom prostoru. Apsorbovana energija u datom prostoru mewa osobinesupstancije, a nastale promene uti~u na prolaz ~estica narednih istorija, jer semewaju temperatura i gustina supstancije, a ako se deavaju i nuklearne reakcije,mewa se i izotopski sastav supstancije.

Svaki algoritam, pa i Monte Karlo algoritam, izra`ava unapredpostavqeni ciq simulacije prolaza ~estica. Prema teoriji Monte Karlo metoda,taj ciq je ostvaren kada je odre|ena sredwa vrednost tom ciqu odgovarajueveli~ine i wena statisti~ka greka. Simulacijom dobijena vrednost nekeveli~ine ima nepoznatu gustinu raspodele. Za odre|ivawe sredwe vrednosti istatisti~ke greke upotrebqava se centralna grani~na teorema. Ukupan brojistorija deli se na barem 20 skupova i za svaki skup formira zbir slu~ajnih

veli~ina Y Xb i

i

i n

==

=

∑1

. Tako se dobija skup slu~ajnih veli~ina ~ija gustina

raspodele, prema centralnoj grani~noj teoremi, te`i gustini normalne raspodele.Tek sa takvom transformacijom slu~ajnih veli~ina, mogue je korektno odreditisredwu vrednost i statisti~ku greku prolazom ~estica nastale slu~ajneveli~ine. Ukupan broj istorija odre|uje se iz predodre|ene greke, a ova opada

sa M , gde je M broj istorija.

Jednostavan Monte Karlo algoritam podrazumeva da su svi procesimatemati~ki opisani, da su pripremqene verovatnoe prelaza ~estice izprethodnog u naredno stawe faznog prostora, da je pripremqen efikasanalgoritam slu~ajnog odabira tih verovatnoa, da se raspola`e brzim i pouzdanimmodelom koji opisuje slo`eni geometrijski prostor i, na kraju, da upotrebqenira~unar ima pouzdan generator pseudoslu~ajnih brojeva. Kad su svi ti usloviispuweni, mogue je algoritam prevesti u ra~unarski program i pristupitisimulaciji prolaza ~estica, odnosno elektrona. U odeqcima koji slede bie upotrebnoj meri svakom od ovih uslova posveena odgovarajua pa`wa.

2. MODELOVAWE SLU^AJNIH VELI^INA

Prema stohasti~koj prirodi fizi~kih procesa koji prate prolazelektrona, ili bilo koje ~estice kroz suspstanciju, stawe ~estice posle sudaraodre|uje skup slu~ajnih veli~ina. Sve one su, zbog fizi~ke prirode sudara,kontinualne ili diskretne. Slu~ajna veli~ina mo`e se dobiti iz gustineraspodele ili raspodele tehnikama matemati~ke statistike. Postupak dobijawaslu~ajne veli~ine naziva se modelovawe slu~ajne veli~ine. U matemati~kojstatistici razvijene su mnoge metode modelovawa slu~ajnih veli~ina. ^esto nepostoje jasni razlozi za prethodnu pripremu gustine raspodele pre primene nekeod metoda; intuicija se namee poznavawem fizi~kog procesa.

2.1. METODA INVERZNE FUNKCIJE

Svaka slu~ajna veli~ina ima gustinu raspodele p x( ) koja zadovoqava

uslove

p x p x dx x( ) ( ) ;> = − ∞ ≤ ≤ +∞∫0 1; (2.1)

Raspodela slu~ajne veli~ine definie se kao integral

p t dt F xx

( ) ( )=−∞∫ . (2.2)

Slu~ajna veli~ina x koja odgovara verovatnoi R j dobija se kao reewe

jedna~ine (2.2) po gorwoj granici integrala, pa otuda i ime ove metode. Broj R j

ima uniformnu gustinu raspodele u intervalu (0,1).

Metoda inverzne funkcije mo`e se primeniti na mali broj gustinaraspodele, jer su u veini slu~ajeva gustine raspodela slo`ene funkcije koje sene mogu integraliti kvadraturama, a kad je to i mogue, raspodela postaje tako|eslo`ena pa nije mogue analiti~ki dobiti inverznu funkciju. Zato u praksidominira primena numeri~kih metoda za integraciju i inverziju. Tok preseka ufunkciji energije ili ugla sa otrim usmerewem unapred, iziskuje primenu takvomtoku primerenih metoda integracije diferenciijalnog preseka. Od raspolo`ivihmetoda numeri~ke integracije naj~ee se upotrebqava Gaus-Le`androva (Gauss-Legendre) adaptivna integraciona formula, a za inverziju metoda sa kubnimspjalnovima. Ove metode postaju neizbe`ne naro~ito kada treba pripremitiverovatnoe prelaza iz gustine raspodele koja zavisi od vie slu~ajnihveli~ina. U tom slu~aju uspeno se primewuju metode inverzne funkcije zaformirawe uslovnih verovatnoa.

2.2. METODA ODBACIVAWA

Gustina raspodele p x( ) neke slu~ajne veli~ine η u intervalu ( , )a bmo`e imati takav oblik da nije mogue analiti~kim postupkom dobiti inverznuraspodelu. Za pojedine klase gustina raspodele Nojman je razvio metoduodbacivawa jo u vreme po~etka razvoja metoda Monte Karlo. Iz integralnogra~una poznato je da je povrina ispod neke krive u ravni jednaka integralufunkcije (gustine raspodele) u granicama wene definisanosti. Ta povrina

srazmerna je raspodeli. Ako se du` X-ose slu~ajno odabere ta~ka

x a R b aj1 = + −( ) , a du` Y-ose ta~ka y p Rk1 = max , pa ako se u sistemu XOY

ta~ka ( , )x y1 1 nalazi ispod krive p x( ) , onda je pogo|ena povrina ispod krive

i na|ena je slu~ajna veli~ina. Ako se ta~ka ( , )x y1 1 na|e iznad krive, promaena

je povrina ispod krive te nije na|ena slu~ajna veli~ina. Nojmanov postupak seponavqa dok se ne pogodi povrina ispod krive i zato se ova metoda zove

metoda odbacivawa. U prikazu Nojmanovog modela R j i Rk su pseudoslu~ajni

brojevi iz intervala (0,1), a o wima bie re~i neto kasnije.

Metoda odbacivawa primewuje se na one gustine raspodela koje imaju toveu povrinu ispod krive. Ako se slu~ajna veli~ina dobija metodom odbacivawai kad ona nije efikasna, onda se to ~ini u slu~ajevima kad su to retki doga|aji uodnosu na druge konkrurentne doga|aje. Poveawe memorije i brzine izvravawaaritmeti~kih operacija savremenih ra~unara sve vie potiskuje metoduodbacivawa, jer se drugim metodama mogu formirati inverzne raspodele sajednostavnim pozivawem slu~ajne veli~ine iz memorije ra~unara.

2.3. METODA SUPSTITUCIJE

Gustina raspodele p x( ) slu~ajne veli~ine η ~esto ima vie od jednog

~lana zato to je dobijena aproksimacijom ekperimentalnih podataka, ili jegustina raspodele namerno ba radi primene ove metode razvijena u obliku zbirafunkcija. Takva gustina raspodele ima oblik p x A g x B q x C s x( ) ( ) ( ) ( ) ....= + + + .Kada se na takve gustine raspodela primeni metoda inverzne funkcije, mogua sumnoga ograni~ewa da se dobije raspodela, a jo vea da se na|e inverznaraspodela. Metoda superpozicije omoguava da se do tog rezultata do|e nazaobilazni na~in. Prvo se na|u te`inski prinosi svakog od sabiraka gustineraspodele, a zatim, slu~ajnim odabirom, odredi koji sabirak ima zadatuverovatnou. Posle toga, iz tog sabirka, bira se slu~ajna veli~ina metodominverzne raspodele ili metodom odbacivawa. Ova metoda dokazala je svojuefikasnost kad se gustina raspodele aproksimira sa nekoliko gausijana.

2.4. GENERATORI PSEUDOSLU^AJNIH BROJEVA

Teorija verovatnoe i matemati~ka statistika dokazuju da se iz bilo kojeraspodele slu~ajnih veli~ina mo`e dobiti slu~ajna veli~ina pomou uniformneraspodele. Po definiciji uniformna raspodela ima sredwu vrednost 1/2 idisperziju 1/12. Iz uniformne raspodele slu~ajne veli~ine dobijane sumatovitim tehnikama: od upotrebe belog uma, preko signala detektoranuklearnog zra~ewa do numeri~kih metoda. Numeri~ke metode dokazale su svojusuperiornost i ve du`e vreme one dominiraju, a posebno od vremena kad suproizvo|a~i ra~unara u matemati~ke biblioteke ukqu~ili funkciju za generisawepseudoslu~ajnog broja koji ima gotovo idealnu uniformnu raspodelu.

Od svih numeri~kih generatora dominantno mesto zauzimaju generatori nabazi multiplikativne kongruentalne metode koju su postavili Ulam (Ulam) iLehman (Lehmann). Prema tom modelu, slu~ajni broj ima uniformnu raspodelu,~ija uniformnost zavisi od izbora brojeva C i N. Ovi brojevi biraju se u skladusa arhitekturom ra~unara i statisti~kim testovima u kojima se proveravajuuniformnost i perioda. U toku simulacije prolaza ~estica potrebno je generisativie desetina miliona slu~ajnih brojeva, a da se ne ponovi isti broj. Savremeni

32-bitni ra~unari imaju dovoqno veliku periodu da bez ponavqawa generiupotreban broj slu~ajnih brojeva.

Pri transformaciji neke raspodele pomou uniformne raspodelepojavquje se potreba da se ra~una logaritam slu~ajnog broja iz intervala (0,1).Kada se desi da je slu~ajan broj blizak nuli, logaritam tog broja mo`e biti izvanopsega realnih brojeva datog ra~unara, pa kao posledica toga ra~unar prijavqujearitmeti~ku greku. Proizvo|a~i ra~unara nisu standardizovali generatorepseudoslu~ajnih brojeva te se tako pojavquju generatori sa brojevima iz intervala(0,1), [0,1), (0,1] ili [0,1]. Da se smawi broj aritmeti~kih operacija u slu~ajevimakada je potrebno ra~unati ( )1− R j , koristi se osobina uniformne raspodele po

kojoj raspodela ostaje uniformna zamenom razlike samim brojem. U zavisnosti odprirode procesa, nekada je uputno dobijeni broj normalizovati da se izbegnu nulai jedinica, na primer (0+ε,1-ε).

2.5. RA^UNARSKE METODE PRIKAZIVAWA RASPODELA

Pretpostavimo da smo nekom od metoda pripremili raspodele slu~ajnihveli~ina. Svaka raspodela predstavqa skup brojeva F x( ) ili F x y z( , ; ) u kojima

su x i y slu~ajne veli~ine, a z parametar raspodele. Ako se iz takve raspodelepoziva slu~ajna veli~ina, taj poziv zna~i da se za zadatu verovatnou na|ereewe jedna~ine F x R j( ) = . U numeri~kom smislu to zna~i da u skupu brojeva

treba nai najbli`u vrednost i izvriti interpolaciju izme|u dve susednevrednosti. Takva operacija mora se ponavqati svaki put kada algoritam zahtevanovu slu~ajnu veli~inu iz wene raspodele. Prvi korak se mo`e zaobiitransformacijom raspodele u inverznu raspodelu sa odabranim verovatnoama.Ako se to u~ini sa svim potrebnim raspodelama, dolazi se do baze podataka kojutreba tako organizovati da se iz we mogu na jednostavan na~in dobiti slu~ajneveli~ine ba onako kako algoritam prolaza ~estica to zahteva. I tako, kao i koddrugih metoda numeri~ke matematike ( kona~ni elementi, kona~ne razlike i dr.),problem se svodi na mre`u.

Brzina izvrewa ra~unarske simulacije prolaza elektrona ili drugih~estica kroz supstanciju namee potrebu da se mre`a napravi, a da baza podatakabude to mawa i da se iz we mogu dobiti slu~ajne veli~ine sa to mawim brojemaritmeti~kih operacija. Dakle, problem se svodi na odabir predodre|enihverovatnoa sa kojima se prave inverzne raspodele, pa tek onda na organizacijuzapisa baze podataka. Taj problem postaje jasniji kada se kao ilustracija navedeugaona raspodela rasejavawa elektrona. Ta raspodela zavisi od rednog brojaelementa atoma na kome se odigrava rasejavawe, energije elektrona i ugla. Zazapis te raspodele potrebna je 4-dimenziona matrica. Ako se napravi inverznaraspodela sa predodre|enim verovatnoama, jedna dimenzija se mo`e odbaciti,ali tada redosled zapisa inverzne raspodele mora da odgovara tokupredodre|ene verovatnoe. Poto preseci, iz kojih su izvedene raspodele, imajutok koji li~i na logaritamski, predodre|ene verovatnoe treba prirodno da imajuba takav tok. Iz toga sledi da se indeks zapisane slu~ajne veli~ine dobija izlogaritma uniformne raspodele. Ako je raspodela monotono rastua funkcija,tada je mogue odabrati predodre|ene verovatnoe sa konstantnim priratajem islu~ajnu veli~inu pozivati pomou indeksa iz uniformne raspodele.

Prema re~enom, sa logaritamskim ili konstantnim priratajempredodre|ene verovatnoe dobijene raspodele se invertuju i po zadatomredosledu zapisuju u bazu podataka. Jednom napravqen ra~unarski program mora

se usavravati ili zbog poboqavawa samog modela ili novih podataka zapreseke. Zato kompaktna baza podataka mo`e biti ograni~ewe tim potrebama.Dobar ra~unarski program svakako je onaj koji omoguava jednostavne izmene.Takvom programu odgovara baza podataka usaglaena sa fizi~kim procesima kojiprate prolaz elektrona (i drugih ~estica) kroz supstanciju. Dakle, svaki procestreba da ima svoju bazu podataka. Ovako krut stav pisca ovih redova usuprotnosti je sa pristupom organizaciji baza podataka u savremenominformati~kom smislu. Iskustvo pokazuje da je primena drugog pristupajednostavnija i jednozna~na tek kada se striktno sprovede prvi pristup. A prvipristup predodre|en je te`wom da se o~uva fizi~ka slika procesa.

Broj podataka u svakoj bazi podataka treba da prati tok raspodele izkoje se sa to boqom rezolucijom mogu dobiti slu~ajne veli~ine. Piscira~unarskih programa ~esto se nalaze u dilemi: da li brojem podataka sa~uvatito vernije fizi~ku sliku procesa ili napraviti skromniju bazu podataka da biprogram mogao da radi na svakom ra~unaru. Takva dilema nije karakteristi~nasamo za Monte Karlo simulacije; ona je svojstvena i deterministi~kim istohasti~kim problemima. Kada se u literaturi ~italac susretne sa obavetewemda je neki slo`eni simulacioni program osposobqen da radi i na personalnimra~unarima, tra~ak istra`iva~ke sumwe pomoi e mu da lake prihvatirezultate simulacije dobijene prvim, odnosno drugim programom. Ma kako pisacsimulacionog programa reio nare~enu dilemu, ostaje mu nezaobilazan zadatak daorganizuje zapis inverznih raspodela. Na svu sreu na savremenim ra~unarima zazapis postoje razne mogunosti koje po iskustvu ovog autora treba kombinovati uskladu sa obimom podataka i potrebom wihove kontrole.

3. TEHNIKA SIMULACIJE

Simulacija prolaza ~estice kroz supstanciju metodama Monte Karlosastoji se od skupa simulacionih radwi takvih, da se deterministi~kim istohasti~kim metodama odre|uje prostor u kome se odvija simulacija, po~etnipolo`aj ~estice, energija ~estice i vektor orta wene brzine, energija i ugloviposle sudara i po potrebi vremenska zavisnost toka simulacije. Ovaj odeqakposveen je tim problemima, koji su zajedni~ki za simulaciju prolaza bilo koje~estice, pa, prema tome, i za elektrone.

3.1. KOORDINATNI SISTEM

Metode Monte Karlo primewuju se u svim poznatim koordinatnimsistemima ili u wihovim kombinacijama. Naa navika da pojave zamiqamo ukartezijanskom koordinatnom sistemu i potpuna analogija simulacije prolaza~estica sa fizi~kim procesima, predodredili su da se takav koordinatni sistemgotovo iskqu~ivo primewuje. U tom sistemu definie se prostor gde se odigravasimulacija, a delove tog prostora zauzimaju materijali razli~itog sastava. To sumaterijalne zone razli~itog agregatnog stawa ukqu~ujui i vakuum. Izvan zadatogprostora mogu, tako|e, da se nalaze materijalne zone ili vakuum. Zbog uticaja tihspoqwih zona na prolaz ~estica, uobi~ajeno je da se stvori jedinstven prostorokru`en vakuumom. Tako definisani prostor naziva se geometrija simulacije. Utaj prostor, ili izvan wega, stavqa se izvor ~estica proizvoqnog spektra iprostorne raspodele te tako zapo~iwe primena tehnike Monte Karlo simulacije.

Slu~ajna ta~ka u prostoru modeluje se metodom inverzne funkcije izravnomerne raspodele. Neka je sfera radijusa R sa centrom u koordinatnompo~etku. Slu~ajna ta~ka u koordinatnom sistemu odre|ena je koordinatama

x R y R z R= = =sin( ) cos( ); sin( ) sin( ); cos( )θ ϕ θ ϕ θ (3.1)

i sa Jakobijanom prelaza na sferni koordinatni sistem gustina raspodele

p R r R( , , ) / ( )θ ϕ π= 3 42 3 (3.2)

mo`e se transformisati u proizvod tri nezavisne gustine raspodele

p r r R( , , ) ( / ) ( sin ) ( )θ ϕ θπ

= 31

2

1

22 3 , (3.3)

a ove modelovati metodom inverzne funkcije, tako|e nezavisno. Prema tome,raspodele su

F r r R F F( ) ( / ); ( )cos

; ( )= =−

=3 12 2

θθ

ϕϕπ

(3.4)

iz kojih se sa tri slu~ajna broja nalaze slu~ajne veli~ine

r R R R Rj j j= = − =13

2 32 1 2; cos( ) ; θ ϕ π (3.5)

~ime je odre|ena slu~ajna ta~ka u prostoru.

Slu~ajan smer emisije ~estice iz slu~ajne ta~ke u prostoru dobija setako|e iz ravnomerne raspodele po istom modelu kao to je modelovana slu~ajnata~ka, a jedina je razlika to se modelovawe obavqa unutar jedini~ne sfere okoslu~ajne ta~ke u prostoru.

Kretawe ~estice izme|u dva sudara je slobodno samo ako je gustinamaterijalne zone konstantna i ako u toj zoni ne postoji elektromegnetsko poqe.Ako je gustina promenqiva, mora se prostor diskretizovati tako da se promenagustine unutar odabranog koraka mo`e zanemariti. Ako to nije mogue, zbog uticajana gustinu prethodnih istorija ~estice, moraju se primeniti posebni modeli kojiizlaze iz okvira ove monografije. U prisustvu elektromagnetnog poqa, elektronizme|u dva sudara nema pravolinijsko kretawe, ve se kree po trajektoriji kojuodre|uje to poqe.

Neka je elektron od prethodnog do narednog sudara preao put ∆s u smeru

orta wegove brzine. Tada je ta~ka novog sudara r r a0= + ∆s , a ort a ra~una sepo formuli sli~noj sa formulom (3.6) sa podacima iz prethodnog stawa.

Promena smera kretawa ~estice posle sudara u saglasnosti je sa sfernomgeometrijom. Neka je ort brzine ~estice pre sudara a , a posle sudara ~esticamewa smer du` orta b , onda su projekcije orta b

bx =sinθ b cosϕ b ; by =sin θb sinϕ b ; bz =cosθ b , (3.6)

u kojima su

cosθ b =cosθ a cosω -sinθ a sinω cosξ (3.7)

sinθ b =+ 1 2− cos θ (3.8)

pri ~emu je ω ugao skretawa ~estice u odnosu na smer pre sudara, a ugao ξozna~ava rotaciju ravni rasejawa oko orta upadne ~estice. Pored toga, iz sfernegeometrije postoji veza

sin sin cos( ) cos sin( )

cos cos cos( ) sin sin( )

sin( ) sin sin / sin

cos( ) (sin cos sin cos cos ) / sin

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ω ξ θϕ θ ω ω ξ θ θ

b a a

b a a

b

a a b

= −= +

== +

∆ ∆∆ ∆

∆∆

(3.9)

gde je ∆ϕ ϕ ϕ= −b a razlika uglova u ravni XOY pre i posle sudara ~estice.Sekundarna ~estica, emitovana u ovom sudaru, kree du` orta c , koji le`i uravni rasejawa i u odnosu na smer upadne ~estice pomeren je za ugao ψ suprotno

od orta b . Zbog toga sabirci u formulama (3.7 i 3.9) mewaju znak. Izra~unateprojekcije ortova b i c ne moraju da imaju modul identi~ki jednak jedinici, zbogzaokru`ivawa i numeri~kog odsecawa. Poto su odstupawa od jedinice naj~eena 6. decimali za 32-bitnu digitalnu re~, dobijene ortove treba normalizovatina jedinicu i tom normom podeliti wihove ranije izra~unate projekcije. Tapopravka nema geometrijskog uticaja na daqi tok simulacije, ali se mora uvesti

zbog identiteta sin cos .2 2 1α α+ ≡

3.2. EMISIJA ELEKTRONA IZ IZVORA

Simulacijom emisije elektrona iz izvora zapo~iwe prolaz elektrona izna~i po~etak wegove istorije. Izvor elektrona mo`e biti monoenergijski sajedini~nom funkcijom ugaone raspodele. To je najjednostavniji izvor elektrona isimulacija emisije se svodi na dodeqivawe elektronu po~etne ta~ke, wegoveenergije i tog predodre|enog smera u prostoru. U praksi se pojavquju izvorielektrona koji imaju prostornu, energijsku i ugaonu raspodelu, a ponekad ivremensku zavisnost. Gustina raspodele takvog izvora elektrona uglavnom semo`e prikazati kao proizvod gustina raspodele svake slu~ajne veli~ine. Tada semodelovawe tih veli~ina iz takvog izvora svodi na modelovawe svake slu~ajneveli~ine iz wene raspodele. Pri tome se za svaku veli~inu primewuje neka odmetoda modelovawa koje su ranije opisane.

Izvor elektrona (ili drugih ~estica) bilo da je dobijen eksperimentalnoili je stvoren u prethodnim simulacijama prolaza elektrona, po pravilu imasvoju energijsku raspodelu. Raspodela mo`e biti u obliku histograma ili na nekidrugi na~in pretvorena u kontinualnu krivu. Ma kako bio zadat spektar, uputno jeod wega napraviti histogram i metodom inverzne funkcije pretvoriti u inverznispektar sa konstantnim ili nekim drugim priratajem energije, pa posle toga“emitovati” elektrone iz izvora iz tako dobijene raspodele. Poto u nekimdelovima spektar mo`e da ima mali prinos, a taj interval energije ne sme da seignorie, simulacija prolaza dovoqnog broja elektrona iz ~itavog spektra obi~notraje zbog toga veoma dugo. Uputno je izdvojiti privremeno taj deo spektra i samosa wim izvriti simulaciju te na osnovu toga zakqu~iti kako nastali problemmo`e da se rei. U tom smislu na raspolagawu su razne metode smawewavarijanse kojima se kvari fizi~ka slika, a dobijeni rezultat sa mawe ~esticazadovoqava statisti~ke uslove.

3.3. GEOMETRIJA

Metode Monte Karlo omoguavaju simulaciju prolaza ~estica krozsupstanciju slo`enog geometrijskog oblika i sastava delova prostora. Ovaprednost na prvi pogled problem geometrije svodi na drugorazredni posao. Ako seima u vidu sistematizovano iskustvo poznatih laboratorija, problem geometrijepostaje centralni problem Monte Karlo simulacija. Prema tom iskustvu odukupnog vremena simulacije do 10% se utroi na fizi~ke procese, a svepreostalo vreme na geometrijske probleme i na ulaz/izlaz operacije. Ako se ima uvidu da po`eqna simulacija traje nekoliko ~asova, a nekad i nekoliko dana,geometrijski problem nesumwivo je svojevrsni izazov.

Geometrijski problemi Monte Karlo simulacije prolaza ~estica svode sena numeri~ko odre|ivawe kraja ta~ke slu~ajne du`i u prostoru, utvr|ivawe kojojmaterijalnoj zoni pripada ta ta~ka i da li je ta du` u sastavu polazne ili usastavu naredne materijalne zone. Za reavawe tog problema primewuju sealgoritmi sa polovi~nim ili zadovoqavajuim ishodom. Najpoznatije i utrodimenzionalnim geometrijama upotrebqavane metode zasnivaju se na tzv.kombinovanoj geometriji i na teoriji funkcija Rva~eva. Iskustvo pisca ovihredova pokazuje da je zbog mnogo razloga prakti~na primena teorije funkcijaRva~eva superiornija. Ostale metode, ilustracije radi vaqa podvui, imajutekoa kada elektron iz prethodne u narednu materijalnu zoni pristi`eprolazei kroz vakuum.

Sa teorijom funkcija Rva~eva stvoreni su efektni algoritmi igeometrijski moduli (programi) koji omoguavaju geometrijsko praewe istorije~estice u prostoru koji se mo`e opisati ravnima i povrinama drugog reda.Wihovom vetom kombinacijom mo`e se opisati geometrijski prostor jednozna~noi jednostavno.

3.4. VREMENSKA ZAVISNOST

Vremenska zavisnost emisije ~estica iz izvora ozna~ava da izvor ima tosvojstvo. Dakle, gustina raspodele ima jo jednu slu~ajnu veli~inu koju trebamodelovati kao i ostale slu~ajne veli~ine. Transformacija gustine raspodeleemisije ~estice, prema tome, svodi se na proizvod gustina raspodele svake odslu~ajnih veli~ina, pa, prema tome, i vremenske zavisnosti.

U simulacijama prolaza ~estica metodama Monte Karlo naj~ee imapotrebe da se uzme u obzir vremenska zavisnost emisije ~estica, ali i nastalihefekata pri prolazu ~estica iz izvora. Dostupni rezultati primene impulsnogmlaza elektrona za izu~avawe ponaawa materijala pokazuju enorman porasttemperature i pritiska u maloj zapremini u materijalu. Uobi~ajeni modeliprolaza elektrona nailaze na velike tekoe da uzmu u obzir nastale efekte umaterijalu i da odr`e primenqivim algoritam za stacionarne procese. Usimulaciji prolaza neutrona kroz fuzione materijale efekat kretawa jezgara “nadramati~an na~in” uti~e na sudarne procese.

Vremenska zavisnost prolaza elektrona u kontekstu re~enog predstavqaposeban problem ~ije bi daqe razmatrawe iziskivalo posebnu monografiju. Ovdesmo takvu vremensku zavisnost samo nagovestili da ilustrujemo potrebu novihnapora i drugih autora do nove godiwice otkria elektrona.

3.5. PREKID ISTORIJE ELEKTRONA

“Emitovani” elektron gubi energiju u mnotvu elasti~nih i neelasti~nihsudara. U toku wegove istorije on dosti`e neku grani~nu energiju posle koje nemanaro~itog opravdawa da se wegova istorija nastavi. Pri dostizawu prekidneenergije, uzima se da je elektron apsorbovan na mestu svog dospea. Ne postoji uliteraturi ~vrst kriterijum po kome se mo`e odabrati ta grani~na energija.Nekada se za izbor te energije uzima prostorno i energijsko razlagaweapsorbovane energije, a nekada neki od efekata koje proizvode sekundarne~estice: fotoni zako~nog zra~ewa, fluorescentni fotoni ili O`e elektroniposle udarne jonizacije. Ponekad birawe grani~ne energije skriva nepoznavawepreseka blizu te energije, a izbor se opravdava ili visokom energijom elektronaiz izvora ili okolnou da pri niskim energijama elektron prelazi veoma malarastojawa. Tako se u literaturi i u raspolo`ivim ra~unarskim programimasusreu grani~ne energije oko 1 [keV] ili reda 10 [keV].

4. PRIPREMA VEROVATNO]A PRELAZA ELEKTRONA

Detaqno poznavawe preseka sudara elektrona sa elektronima i atomimaneophodan je uslov za bilo koji model prolaza elektrona kroz supstanciju, pa,prema tome, i za Monte Karlo modele. Deterministi~ki modeli operiu satotalnim presecima i ne mogu da tretiraju svaki proces pri rasejawu elektrona.Monte Karlo modeli mogu neki od procesa i da zanemare, ali za wih je neophodnopoznavawe svih procesa. Uopteno govorei, svaki sudar predstavqa jedno staweelektrona. Vie sudara ~ine skup stawa elektrona u faznom prostoru u kome suta~ke, kako je ranije pokazano, definisane energijom i polo`ajem u prostoru. Zbogstohasti~ke prirode sudara ta~ke u faznom prostoru su slu~ajne veli~ine, awihove raspodele izvedene su iz preseka elementarnog sudara elektrona. Prelaziz prethodne u narednu ta~ku faznog prostora zove se verovatnoa prelaza. Kadje poznata verovatnoa prelaza, mogue je metodama Monte Karlo simuliratiprolaz elektrona kroz supstanciju. U ovom odeqku pozabaviemo se pripremomverovatnoa prelaza. Pri tome svaki aktuelni proces bie posebno tretiran dabi se kasnije pri opisu ra~unarskog programa lake uo~ila o~iglednostsimulacije i sva lepota metodama Monte Karlo ostvarene slike tog prolaza, baonako kako se odvijaju fizi~ki procesi. Priprema verovatnoa prelaza zasniva sena teorijskim i eksperimentalnim rezultatima dobijawa preseka, koji susistematizovani u du`em periodu u preglednim radovima i monografijama [1, 2, 4,5] i tamo citiranoj literaturi.

U drugom poglavqu podvu~eno je da se problem verovatnoa prelazasvodi na nala`ewe svrsi simulacije primerene mre`e koju ~ine slu~ajneveli~ine oformqene u vidu baza podataka. U literaturi se susreu raznolikiprilazi mre`i i u vezi s tim odabir reprezentativne fizi~ke veli~ine od kojee zapo~eti mre`a. U Monte Karlo simulacijama prolaza elektrona takmi~e sedva prilaza. Prvi za reprezentativnu veli~inu uzima gubitak energije, a drugipre|eni put elektrona. Iako se oba prilaza mogu svesti teorijski na jedan, ipakse modeli Monte Karlo simulacija i iz wih izvedeni ra~unarski programi znatnorazlikuju. Vodei ra~unarski programi ETRAN, ITS i FOTELP za reprezentativnuveli~inu uzimaju gubitak energije, pa e, stoga, daqe izlagawe pripremeverovatnoa prelaza biti zasnovano na tom modelu i sa wim ste~enimiskustvima.

4.1. SREDWI GUBITAK ENERGIJE

Priprema verovatnoa prelaza temeqi se na modelu [2] kondenzovaneistorije elektrona (pozitrona), po kome se trajektorija ~estice deli na odse~kedu` kojih se odigravaju elasti~ni i neelasti~ni sudari. Te odse~ke odre|ujesredwi gubitak energije.

Du`ina koraka odre|uje se iz uslova da ~estica na wemu gubi energiju sa

faktorom ( / )1 2 M. Tada je du`ina koraka

Sn = [ ]Tn

Tn

col raddT S T S T+∫ +

1

/ ( ) ( ) (4.1)

gde je T Tn nM

+ =1 2/ , a S Tcol ( ) i S trad ( ) su radijaciona, odnosno jonizacionazaustavna mo [12]:

Jonizaciona zaustavna mo je

− =++

++

dT

dxr m c Zn

m c

If2

1

2

2

202

02

0

202 4 2

2π

ττ τ

τ ττ

( )

( )ln

( )( ) , (4.2)

gde su τ - koli~nik energije elektrona (pozitrona) i energije mirovawa, n0 -

broj atoma u jedinici zapremine, I - sredwi jonizacioni potencijal, Z - rednibroj elementa, a drugi sabirak u Bete-Blohovoj (Bethe-Bloch) formuli odnosi naelektrone i pozitrone i ima oblikza elektrone

f tt

t

t

t

t− =

++

+

−+

+( )

( ) ( )ln

1

1

1

8 1

2 1

12

2

2

2, (4.3)

odnosno za pozitrone

f tt t

t t t+ = −

++

++

++

( ) ln

( )

( ) ( )2 2

2

12 123

14

2

10

22 2 . (4.4)

Radijacionu zaustavnu mo u empirijskom obliku dobili su Berger(Berger) i Selcer (Seltzer) i podatke o woj za elemente i jediwewa publikovali[12] zajedno sa evaluacijom eksperimentalnih podataka za jonizacioni potencijali konstantama aproksimacije uticaja gustine (polarizacije) prema[ternhajmerovom (Sternheimer) modelu.

Ugaona raspodela viestruko rasejanih elektrona (pozitrona) sporo semewa od jednog do drugog koraka, pa logaritamska energijska skala sa M=16 iliM=32 i vie dobro prati promenu gubitka energije i veinu preseka.

4.2. FLUKTUACIJA GUBITKA ENERGIJE NA JONIZACIJU

Na koraku Sn elektron (pozitron) gubi sredwu energiju ∆T T Tn n= − +1

sa fluktuacijom jonizacionog gubitka energije koga odre|uje Landauova [13]raspodela. Ovu raspodelu pa`qivo su ra~unali Bor-Supan (Borsch-Supan) [14]unutar -4 ≤ λ ≤ +100 i Ili [15] unutar -20 ≤ λ ≤ +10000. Landauovaraspodela izvedena je sa pretpostavkom da je gubitak energije vei od sredweeksitacione energije. Zna~ajno poboqawe raspodele dobili su Blunk-Lajzegang(Blunck-Liezegang) ukqu~ivawem drugog momenta u konvoluciju Landauoveraspodele. ^e~in (Chechin) i Ermilova (Ermilova) [16] odredili su sa drugimmomentom relativnu greku, a Selcer (Seltzer) [17] uveo podeavawe varijanseBlunk-Vestfalovih (Blunck - Westfal) [18] gausijana. U Monte Karlo modelima

po izboru se koristi Landauova raspodela sa grani~nim λ cat kako je u programu

ETRAN upotrebio Selcer, ili raspodela sa 9 gausijana [4]. Fluktuacija gubitkaenergije na jonizaciju je slu~ajna veli~ina, koja se algebarski sabira sa sredwimgubitkom energije pri jonizaciji. Tako se dobija slu~ajni gubitak energije najonizaciju.

4.3. GUBITAK ENERGIJE ZAKO^NIM ZRA^EWEM

Du` trajektorije elektron (pozitron) emituje fotone zako~nog zra~ewa.Gustina raspodele fotona zako~nog zra~ewa dobija se iz sinteti~ke formule zadiferencijalni presek [19]. Makroskopski presek odre|en je integracijomdiferencijalnog preseka i koristi se za odabir verovatnog broja fotona izPuasonove (Poisson) raspodele. Na sli~an na~in formira se raspodela za odabirenergije emitovanog fotona. Integracijom po uglu i energiji preseka 2BN i 2CSsa skriningom (oznake [20]) formira se uslovna inverzna raspodela uglaemisije fotona. Male razlike u preseku za elektrone i pozitrone omoguavaju dase na isti na~in tretira zako~no zra~ewe elektrona i pozitrona, a za obe~estice mo`e se zanemariti fluktuacija gubitka energije u ovom procesu.

Zako~no zra~ewe na koraku Sn ima malu verovatnou. Mogue je da se

wegova energija pribli`i energiji elektrona i zbog toga gubitak energije budemaksimalan. Kao posledica toga, transport elektrona se svodi na transportfotona zako~nog zra~ewa. Ba zato priprema verovatnoa prelaza za elektronemora da obuhvati i pripremu verovatnoa za fotone. Poto je ovaj rad posveenelektronima, na implikacije wegovog prolaza u vezi sa fotonima vratiemo sekasnije.

4.4. UGAONA RASPODELA

Prema modelu za sredwi gubitak energije, energija elektrona opada“polako dole”. Takav model podstakao je vie autora da se pozabave ugaonomraspodelom elektrona (pozitrona). Teorijski vrlo pojednostavqene ugaoneraspodele izveli su Fermi (Fermi) i Viliams (Williams) prvenstveno sa nameromda omogue interpretaciju eksperimentalnih podataka prolaza elektrona krozfolije od zlata i aluminijuma. Tim problemom kasnije se bave Molier (Moliere) iBete (Bethe) [21] te Gudsmit (Gaudsmit) i Sanderson (Saunderson) [23]. Uliteraturi se sreu i drugi pokuaji dobijawa ugaone raspodele sa razli~itimmodelima atoma. Ipak, zbog niza teorijskih pretpostavki i raspolo`ivih

eksperimentalnih provera, ugaone raspodele za elektrone konvergiraju premaMolierovoj, odnosno Gudsmit-Sandersonovoj ugaonoj raspodeli.

Po~etne verzije svih programa razvijane su sa Molierovom (Moliere) [21]ugaonom raspodelom, ~iju je gustinu Molier izveo u obliku reda

[ ]f s d f f B f B f B dnn( , ) ( ) ( ) / ( ) / ... ( ) /θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + +0 1 2

2 (4.5)

u kojoj je ϕθ

χ=

c B bezdimenzioni ugao, B - parametar raspodele koji se dobija

iz jedna~ine B-lnB=eb

; b je srazmerno broju elementarnih sudara na putu s

bs Z Z

bA a=

+

+ln

( )

( , )

/6889 1

1 3 34

1 3

2; χ

πβ

cn se Z Z

pc2 0

4

2

4 1=

+( )

( ). (4.6)

Opti ~lan reda Molierove gustine ugaone raspodele (4.5) glasi

fn

yJ yy y y

dyn ( )!

( )( ln ) exp( )ϕ ϕ= −∞

∫1

4 4 40

0

2 2 2

(4.7)

a u wemu je J0 - Beselova (Bessel) funkcija, n - redni broj ~lana u formuli (4.5).Tako dobijenu gustinu raspodele Bete je doveo u vezu sa Gudsmit-Sandersonovomraspodelom i pokazao da se Molierova raspodela svodi na Gudsmit-Sandersonovu

gustinu raspodele ako se uvede korekcija [ ]sin( ) //θ θ 1 2

. Kada se sa tom korekcijom

izra~una gustina raspodele, wenom integracijom i inverzijom dobija se inverznaugaona raspodela. Molierova raspodela je veoma privla~na, jer se ra~una samojedna ugaona raspodela u funkciji bezdimenzionog ugla. Ona se stoga ~esto nazivai univerzalnom.

Kod svakog akta rasejawa ra~una se sredwi broj sudara b i iz relacije

B-lnB=ebodre|uje vrednost B sa kojom je iz datoteke dobija vrednost ugla

skretawa elektrona. Znatno poveawe brzine rada posti`e se formirawembiblioteke inverznih Molierovih raspodela, bez naknadnog ra~unawa b i B, nakoja upozorava Selcer[17]. Ovaj model primewen je u programu FEPDAT.

Gudsmit-Sandersonova ugaona raspodela definisana je formulom

[ ]f sp

n sG s Pn n( , ) ( ) exp ( ) (cos )θ θ= + −∑1

2

1

2 (4.8)

u kojoj su Pn (cos )θ Le`androvi polinomi, G sn ( ) je transportni presek

G sn ( ) =2πN d d dσ θ θπ

/ sinΩ°∫0

- 2πN d d P dnσ θ θ θπ

/ (cos ) sinΩ0∫ (4.9)

koji smo namerno razdvojili na dva sabirka to e se kasnije pokazati va`nimdetaqom.

Ra~unawu gustine ugaone raspodele (4.8) posveeno je dosta radova.Me|utim svi su oni varijacije na model koji je postavio Spenser [28] , a kasnije uprogram ETRAN uveli Berger i Selcer [17]. Glavni problem ra~unawa teraspodele iziskuje potreba ra~unawa velikog broja ~lanova u formuli (4.8) i uvezi s tim integracija diferencijalnog preseka prema formuli (4.9). Bez obzirana to, a zbog na~ina na koji je ova gustina raspodele izvedena i to ona va`i zasvaki presek elementarnog akta rasejawa, ova raspodela se smatra referentnom.Razumqivo je stoga nastojawe da se ba ona primeni za pripremu verovatnoaprelaza elektrona i, naravno, drugih naelektrisanih ~estica. Tom iskuewu nijeodoleo ni autor ovih redova postavqawem sopstvenih modela i algoritama.

Prvo smo [24] izra~unali RM - odnos Motovog (Mott) [25] i

Raderfordovog (Rutherford) diferencijalnog preseka za Z= 6, 13, 29, 50 i 82, azatim Gudsmit-Sandersonovu ugaonu raspodelu za elektrone [26]. Ovi ra~uni

bili su osnova za izbor podataka za RM i kasnije za aproksimaciju Motovog

preseka.

Za ra~unawe inverzne Gudsmit-Sandersonove ugaone raspodele usvojilismo aproksimaciju diferencijalnog preseka elasti~nog rasejawa elektrona na

atomu [27] i aproksimaciju RM [2]. Zapazili smo da se po modelu [2] mnogo

jednostavnije ra~unaju transportni preseci ako se oni ra~unaju kao dva integralai onda koristi rekurzija Le`androvih polinoma. Na taj na~in mogue je biratibroj n dovoqno veliki da, u zavisnosti od dimenzija materijalne sredine i

geometrijske rezolucije apsorbovane energije, biramo faktor 1/2M

sa

vrednostima M=8 ( )2 kgde je k=1, 2, 3...

Prethodni prikaz kona~nog rezultata ra~unawa Gudsmit-Sandersonoveugaone raspodele predpostavqa da je odabran diferencijalni presek elasti~nograsejawa elektrona na jezgru. U literaturi ima vie diferencijalnih preseka zarasejawe elektrona na atomu - na ta~kastom jezgru bez ekranizacije. Svi tipreseci izvedeni su sa raznim predpostavkama za model atoma i na~in ra~unawaatomskog form-faktora. Klasi~ni Raderfordov (Rutherford) presek Mot (Mott)[25] je modifikovao uvo|ewem korekcije RM . Modifikacija va`i za elektrone i

za pozitrone zahvaqujui ~emu ugaona raspodela razlikuje promenu smera ovih~estica. Dakle, Motov presek najoptije ima oblik

d

dR

d

dM

MRσ σ

Ω Ω= , (4.10)

gde je Raderfordov klasi~ni diferencijalni presek bez korekcije naekranizaciju elektronima atomskog omota~a dat formulom

d

d

r Z

pRσ

β θΩ=

−02 2

2 2

1

1( ) ( cos ). (4.11)

Motova korekcija, ili uobi~ajeno Motov presek bez Raderfordovog ~lana,

prikazana formulom (4.12) daje RM u funkciji ugla u CM, energije i rednog broja

elementa Z

Rt

Fp

t

G

ZM =

++

+4 2

1

4 2

1 2

2

2

22 4

2 2

2

2

sin /

( )

sin /

( ) cos / ( )

θ θθ α

(4.12)

Amplitude F i G u formuli (4.12) su kompleksne funkcije u obliku beskona~nihsuma iz kojih su izdvojeni nulti ~lanovi zbog rekurzije u ra~unawu ostalih~lanova primenom Ojlerovih (Euler) tranformacija.

Fi iq

iqiq0

2

211

2=−+

ΓΓ

( )( )

exp( sin / )θ (4.13)

G iqF0 02 2= − cot /θ ;

[ ]Fi

kD k D Ps k k

k

kk= + + −

=

∞

∑21 1

0

( ) ( ) (cos )θ ; (4.14)

[ ]Gi

k D k D Ps k k

k

kk= − + −+

=

∞

∑21 12 2

10

( ) ( ) (cos )θ , (4.15)

gde su Pk (cos )θ - Le`androvi polinomi, a Dk - kompleksna funkcija

Dik

k iq

iq

iq

esp i

iq

iq

iqk =−+

−+

−−+

−+

exp( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

π ρπρ

ρρ

ΓΓ

ΓΓ

1

1, (4.16)

q Z= α β/ ; ρ α= −( )k Z2 2 2 .

Sa izra~unatim funkcijama Dk mogue je formirati sume za Fs i Gs azatim i Motov diferencijalni presek, neophodne ~lanove za gustinu raspodele ikona~no formirati ugaone raspodele te wihovu inverziju sa konstantnimpriratajem verovatnoe. Tako dobijena inverzna ugaona raspodela ukqu~uje prekodiferencijalnog preseka ekranizaciju jezgra elektronima atomskog omota~a

dodavawem “ugla ekranizacije” [21, 22] u brojilac ( cos )1 2− +θ η i zamenom Z 2

sa Z(Z+1) za relativisti~ku korekciju.

Gubitak energije na koraku trajektorije ~estice uzima se u obzir zamenomproizvoda sG(s) integralom ∫G(s)ds i upotrebom aproksimacije [28] ili

integracijom ∫G(T)/(dT/dx)dT; na algoritam daje prednost integraciji. Zara~unawe ugaone raspodele potrebni su integrali Le`androvih

polinoma H P dn n(cos ) (cos ) (cos )θ θ θ= ∫ koji se dobijaju iz rekurzione relacije

( ) (cos ) ' (cos ) ' (cos )2 1 1 1n P P Pn n n+ = −− +θ θ θ .

Posle malih transformacija dobija se ugaona raspodela u funkcijienergije i ugla

F T C T Hn n( , ) ( ) (cos )θ θ= ∑1

2, (4.17)

gde je ( ) (cos ) (cos ) (cos )2 1 1 1n H P Pn n n+ = −− +θ θ θ , a ~lan koji zavisi od energije

C T G t dtn n( ) exp ( )= −

∫ .

Na model, prema tome, po izboru priprema jednu od ove dve inverzneugaone raspodele po istom formatu. On mo`e da pripremi inverzne ugaoneraspodele kombinujui ih u raznim intervalima energije ~estice. U naimnumeri~kim eksperimentima [33] upotrebqene su Molierova i Gudsmit-Sandersonova raspodele u zavisnosti od energije ~estice i osobina materijalnesredine.

4.5. DELTA ELEKTRONI

Elasti~no rasejawe elektrona na slobodnom elektronu opisuje Melerov(Meller) [30] diferencijalni presek

d

dwr

w w w w

σπ

ττ τ

ττ

ττ

=++

−−

++

+−

++

2

1

2

1 1

1

2 1

1

1

1 102

2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (4.18)

u kome je w parametar raspodele energije izme|u upadnog i rasejanog elektrona,

a τ koli~nik energije upadnog elektrona i energije mirovawa m c02. Poto se ne

razlikuju upadni od rasejanog elektrona, w je u granicama (0,1/2), pa jedan

elektron ima energiju wE/m c02, a drugi (1-w)E/ m c0

2. Rasejani elektron ~esto se

naziva i delta-elektron. Poto rasejani elektron mo`e da ima vrlo maluenergiju, priprema verovatnoe prelaza ograni~ava se na tu malu energiju da bise takvi elektroni razlikovali od elektrona pri jonizaciji. Integracijom

preseka (4.18) po parametru raspodele energije od grani~ne vrednosti wg do 1/2

dobija se raspodela. Sa konstantnim priratajem verovatnoe invertuje seraspodela. Osim ovog modela, primewuje se i model superpozicije [2] upotrebqenu programu ITS. Uglovi elektrona posle rasejawa dobijaju se iz kinemati~kihrelacija odr`awa energije i momenta (formula 4.20).

Diferencijalni presek elasti~nog rasejawe pozitrona na slobodnomelektronu izveo je Baba (Bhabha) [31] i na sli~an na~in prikazan formulom (4.19)kao i Melerov presek (formula 4.18):

ds

dwpr

t

t t

t t

t

t

t=

++

−+

++

+

−21

21

2

1 2 102

2 2 2

2

2

( )

( )

( )

( ) ( ) (4.19)

−+

++

−+

++

+

+wt

t

t

tw

t t

tw

t

t2

3

12

2

1 122

2

2

( )

( ) ( )

++

++

++

− −+

w w ww

22

2 2

2

2 22

1

2

1

1

3

2 11

1

1ττ τ τ

ττ( ) ( )

( )( )

,

u kome su uglovi pozitrona i elektrona posle sudara odre|eni formulom (4.13)

cosϕ=w t

wt

( )/+

+

22

1 2

; cosω=( )( )

( )

/1 2

1 2

1 2− +− +

w t

w t (4.20)

Posle rasejawa pozitrona na elektronu me|u wima postoji jasna razlika, pa jeparametar raspodele energije w u granicama (0,1). Za pripremu inverzneraspodele energije primewuje se isti model kao i za elasti~no rasejaweelektrona na slobodnom elektronu.

4.6. ANIHILACIJA POZITRONA

Sudar pozitrona sa slobodnim elektronom sa velikom verovatnoom dovodi doanalihacije pozitrona. Zbog konzervacije, energije ishod sudara je jednofotonska,dvofotonska ili trofotonska anihilacija. U modelima pripreme verovatnoaprelaza pozitrona usvojena je dvofotonska anihilacija, jer je ona mnogo putaverovatnija od jednofotonske i trofotonske anihilacije pozitrona. Pored toga,fizi~ki je ispravniji model anihilacije pozitrona na letu po kome pozitron imamalu, ali kona~nu verovatnou anihilacije pre termalizacije. Presekdvofotonske anihilacije pozitrona totalne energije τ (u jedinici energijemirovawa) [4]

s rt

t t

tt t t tan =

++ +

−+ − − + −

02

2

22 2

1

4 1

11 3 1

πln( ( ) ( ) ( ) , (4.21)

daje verovatnou anihilacije na putu s. Prvi foton ima energiju T m c+ 02 , a

drugi m c02 , gde je T energija pozitrona pre anihilacije. Oba fotona emituju se u

opoziciji i imaju uniformnu ugaonu raspodelu u 4π.

4.7. RELAKSACIJA POBU\ENOG ATOMA

Posle udarne jonizacije unutraweg nivoa atom se nalazi u pobu|enom stawu, avraa se u stabilno stawe emisijom karakteristi~nog zra~ewa (fluorescentnifotoni) ili emisijom O`e (Auger) elektrona. Kao i kod simulacije prolaza

elektrona, i u ovom procesu neophodno je ograni~iti energije nastalih ~estica uovom procesu. Poto fotoni imaju drasti~no vei domet od elektrona, a prvidoprinose vie prostornoj raspodeli apsorbovane energije, dowa grani~naenergija tih fotona trebalo bi da bude to ni`a. Pri tome, ovaj problem trebapovezati sa grani~nom energijom za fotone iz izvora i sa prekidnom energijom zaelektrona. Kada se sve uzme u obzir proizlazi da grani~na energija treba da budeoko 1 [keV].

Problemom udarne jonizacije i s tim u vezi relaksacijom pobu|enogjonizovanog atoma najtemeqnije se bavio Grizinski (Gryzinski), pa su wegovimodeli upotrebqeni [10] u programu SANDYL za formirawe banke podatakarelaksacije atoma posle fotoefekta ili udarne jonizacije. Kasnije je ova bankaprimewena u programima ITS i FOTELP. Pobu|eni atomski jon prelazi ustabilno stawe sukcesivnim prelazima K, L1, L2, L3, M (sredwe) i N (sredwe).U banci podataka sadr`ane su verovatnoe prelaza i svi potrebni preseci zaemisiju fluorescentnih fotona i O`e elektrona.

Na po~etku ovog poglavqa podvu~eno je da su verovatnoe prelazaelektrona iz prethodnog u naredno stawe faznog prostora samo jedan od uslovada postavqeni model i algoritam mogu da se prevedu na ra~unarski program.Uva`avajui sva raspolo`iva i brojnim primenama dokazana dobra iskustva, usledeem poglavqu izlo`iemo funkcionisawe ra~unarskog programa simulacijeprolaza elektrona kroz supstanciju.

5. RA^UNARSKI PROGRAMI

Teorija viestrukog rasejawa elektrona prvi put je primewena 1963.godine [2] u postavqawu modela i algoritma za ra~unarski program ETRAN. Odtog vremena do danas taj program bio je osnova razvoja programa SANDYL, akasnije i familije programa ITS. U posledwih 10 godina na tim modelima iiskustvima razvijan je program FOTELP, te e ovo poglavqe biti posveeno ovomprogramu.

Kontinualan razvoj programa FOTELP [1] obuhvatao je poboqawamodela Monte Karlo transporta fotona, elektrona i pozitrona, preciznijepreseke interakcije tih ~estica sa elementima od Z=1 do Z=100 u opsegu energijeod reda 1 [keV] do 20 [MeV], nove numeri~ke metode ra~unawa verovatnoaprelaza ~estica iz prethodnog u naredno stawe faznog prostora, poboqanutehniku odabira slu~ajnih veli~ina iz wihovih raspodela i efikasangeometrijski modul u 3D za debele i tanke slojeve materijalnih zona.Raspolo`ive biblioteke nuklearnih podataka omoguile su da program FOTELPpostane alat za numeri~ke eksperimente.

Program FOTELP tehnikama Monte Karlo simulie u 3D vremenskinezavisan transport fotona, elektrona i pozitrona iz izvora tih ~estica sazadatim energijskim spektrom u 3D. U toku simulacije transporta bilo koje~estice iz izvora, nastale sekundarne ~estice ukqu~uju se u transport.Geometrijski modul RFG [3] ra~una geometrijske podatke na svakom koraku~estice i pouzdano podr`ava numeri~ku simulaciju.

Verovatnoe prelaza ~estica priprema program FEPDAT u oblikuinverznih raspodela prema modelima opisanim u poglavqu 4. Sve raspodele su

invertovane sa razumnim korakom verovatnoe, a slu~ajna veli~ina poziva se izmemorije pomou slu~ajnog indeksa. Makroskopske preseke i inverzne raspodeleprogram FEPDAT priprema za materijale koji ~ine materijalne zone bezponavqawa. Pripremqene podatke koristi program FOTELP za viematerijalnih zona istog sastava. Time je postignuta ekonomi~nost pripremepodataka, koji se mogu koristiti u raznim geometrijskim kombinacijama.

Programi FOTELP i FEPDAT, kao i ostali ovde spomenuti programi,napisani su u FORTRAN 77. Nai programi koriste se na VAX i PC ra~unarimau numeri~kim eksperimentima u dozimetriji, radioterapiji, radijacionimoteewima mikroelektronskih komponenti i ra~unawu efikasnosti radijacionihdetektora. Prelaz na druge ra~unare jednostavan je i svodi se na uskla|ivawe sawihovim specifi~nostima (merewe vremena, slu~ajni brojevi, datum).

Ograni~eni prostor ove monografije ne doputa da se programi opiu nana~in kako je to uobi~ajeno za softverski paket. Zato se ograni~avamo nanajva`nije delove rada programa koji olakavaju interpretacija numeri~kiheksperimenata., a za brojne ostale detaqe preporu~uju se monografije [2, 4, 5].

5.1. PROLAZ ELEKTRONA KROZ SUPSTANCIJU

Simulacija prolaza fotona bazira na konvencionalnoj tehnici [6] u kojojse interakcije odabiraju slu~ajno imitirajui fizi~ke procese. Preseci zaapsorpciju, koherentno rasejawe, nekoherentno rasejawe i stvarawe parapozitron-elektron uzeti su iz biblioteke [7] za pripremu makroskopskihpreseka i verovatnoa. Sa tim verovatnoama slu~ajno se bira atom-meta sa kojiminteraguje foton i verovatna reakcija, a slu~ajni domet fotona modeluje se izinverzne funkcije eksponencijalnog slabqewa.

Energija fotoelektrona odre|uje se iz razlike energije fotona i energijequske na kojoj se ta reakcija slu~ajnim odabirom desila. Ugao emisijefotoelektrona bira se iz raspodela [8,9] u zavisnosti od energije fotona.Pobu|eni atom u ovom procesu relaksira se emisijom fluorescentnih fotona iO`e elektrona sukcesivno na K, L1, L2, L3 i sredwe energije M i N quske saodgovarajuim verovatnoama. Pri nekoherentnom rasejawu, energija i ugao fotonai elektrona odabiraju se iz Klajn-Niina (Klein-Nishina) preseka. U ovom procesuzanemarena je emisija fluorescentnih fotona i O`e elektrona. Za modelovawekoherentnog rasejawa uzet je Tomsonov (Thompson) presek pomno`en form-faktorom [10]. Za odre|ivawe energije elektrona i energije pozitronaupotrebqena je energijska raspodela [11], a ugao emisije bira se iz raspodele

1/(1-cosθ ) 2.

Model transporta fotona sa imitacijom wegovih interakcija samaterijalnom sredinom nije efikasan, jer ocewena sredwa vrednost slabokonvergira matemati~kom o~ekivawu. Od vie metoda smawewa varijanse uprogramu FOTELP usvojena je metoda eksponencijalne transformacije saforsirawem rasejawa fotona, a parametar forsirawa se nalazi u granicama(0,1).

5.2. PROLAZ ELEKTRONA KROZ SUPSTANCIJU

5.2.1. Prostorna raspodela

U Monte Karlo modelima uobi~ajeno je da se za elektrone (pozitrone)odabere takav korak na wihovoj trajektoriji koji dozvoqava da se zanemarirazlika izme|u dometa i dubine prodirawa elektrona. Me|utim, u numeri~kimeksperimentima u kojima je va`na dobra rezolucija prostorne raspodeleapsorbovane energije, ta razlika se ne mo`e ignorisati. Zato se po potrebikoristi Jangova (Yang) [29] raspodela fluktuacije dometa elektrona.

5.2.2. Elektron u elektri~nom i magnetnom poqu

Program FOTELP po izboru ukqu~uje simulaciju transporta elektrona(pozitrona) u stacionarnom elektri~nom i magnetnom poqu. Pravolinijska

trajektorija ~estice na koraku Sn zamewuje se trajektorijom koja se dobija iz

jedna~ine kretawa. U modelu, koji opisuje ovaj proces. iskorien je program zasimboli~nu algebru te je dobijeno kona~no reewe jedna~ine kretawa

md

dte

vE v B= + ×

sa razvijenim determinantama za vektor brzine ~estice. Diskretizacijatrajektorije ~estice prilago|ena je dimenzijama materijalne zone, a na svakomdelu trajektorije geometrijski modul RFG kontrolie mogui prelaz ~estice u

sledeu materijalnu zonu. Na kraju odse~ka S v t dtn ≥ ∫ ( ) ~estica ima veu ili

mawu energiju nego na po~etku i uglove sa kojima se nastavqa daqi transport.

5.2.3. Apsorpcija energije blizu granice zona

Efekti na granicama zona sami po sebi su va`ni, a naro~ito dolaze doizra`aja u numeri~kim eksperimentima u mikrodozimetriji i radijacionimoteewima komponenata mikroelektronike. Na model za efekte na granici

uzima odnos du`ine koraka Sn i rastojawa do granice Ln kao osnovu za

ponderisawe svih procesa. Kada je S Ln n/ ≤ 1, svi procesi koji bi se desili na

koraku Sn (gubitak energije sa fluktuacijom, broj fotona zako~nog zra~ewa,

udarna jonizacija, broj delta elektrona i dr.) mno`e se tim odnosom i numeri~ki

eksperiment izvrava kao da je Sn toliko puta mawe. Posle toga elektron se

vektorski premeta u sledeu zonu za 0,1 nm, a ugao skretawa ra~una iz relacije

[17] cos ( cos )ϕ θ= − −1 1 Sn / Ln , gde cosθ odgovara odnosu S Ln n/ ≤ 1.

5.2.4. Sekundarne ~estice

Broj fotona zako~nog zra~ewa odre|uje se iz Puasonove raspodele u kojojje sredwi broj doga|aja odre|en iz proizvoda makroskopskog preseka i putaelektrona (pozitrona) izme|u dva sudara. Energija fotona zako~nog zra~ewa birase slu~ajno iz inverzne energijske raspodele i oduzima od energije elektrona presudara. Ugao emisije fotona bira se slu~ajno iz energijsko-ugaone uslovneinverzne raspodele. Postupak se ponavqa do dostizawa broja emitovanih fotona,

s tim da se on prekida onda kada zbir energija fotona postane blizak energijielektrona. Stawe svakog fotona zapisuje se u banku te vrste sekundarnih ~estica.

Broj delta elektrona energije iznad prekidne energije odre|uje se izPuasonove raspodele u kojoj je sredwi broj doga|aja odre|en iz proizvodamakroskopskog preseka [30] za elektrone i preseka [31] za pozitrone i pre|enogputa izme|u dva sudara. Ugao emisije delta elektrona bira se iz kinemati~kihrelacija (4.20) odr`awa energije i impulsa. Od gubitka energije sa fluktuacijomoduzima se energija delta elektrona na mestu gde je on emitovan; istovremeno owemu se u banku sekundarnih ~estica zapisuju podaci za wegov kasniji transport.Ovakav model tretirawa delta elektrona ima opravdawa zato to je energijadelta elektrona sadr`ana u sredwem gubitku energije elektrona (pozitrona). Saovim modelom posti`e se prirodnija prostorna raspodela apsorbovane energije.

U naem modelu data je prednost dvofotonskoj anihilaciji pozitrona, jerje ona 370 puta verovatnija od jednofotonske anihilacije. Usvojen je modelanihilacije pozitrona na letu po kome pozitron ima malu, ali kona~nuverovatnou anahilacije pre termalizacije.

Fluorescentni fotoni i O`e elektroni prate relaksaciju pobu|enogatoma. Energija fluorescentnog fotona i O`e elektrona odre|uje se slu~ajnimizborom iz banke podataka relaksacije atoma. Sredwi gubitak energije elektronasa fluktuacijom ve sadr`i energiju ovih ~estica te za daqu simulaciju od toggubitka oduzima se wihova energija na mestu udarne jonizacije, a polo`aj ~estica,wihove energije i uglovi iz uniformne raspodele u 4π zapisuju u bankusekundarnih ~estica. Ovakav tretman fluorescentnih fotona i O`e elektronadoprinosi realnoj prostornoj distribuciji apsorbovane energije i prelazu ~esticaiz prethodne u narednu zonu.

5.2.5. Ultra tanki slojevi

Dimenzije materijalnih zona u numeri~kim eksperimentima mogu biti uirokom opsegu: od nekoliko cm do nekoliko µm, pa i mawe. U slu~aju da su one

veoma male, uslovno se nazivaju ultra tanke. Za wih je karakteristi~no da je Sn

iz formule (4.1) viestruko vee od wihovih dimenzija. Zato je u programu

FOTELP uobi~ajeni model sa Sn proiren da se numeri~ki eksperiment odvija

bez izmene osnovnog modela. Ugaone raspodele se vrlo sporo mewaju sa opadawem

Sn , pa je mogue unutar Sn uzeti ugaonu raspodelu koja odgovara Sn /N mawem

koraku. Proirewe modela se, prema tome, sastoji u poveawu broja koraka i

smawewu gubitka energije na koraku ∆E=∆ Tn /N. Energijsko-prostorno rezlagawe

mo`e biti zadovoqeno ako je M=8 i vee. Pomenuta osobina ugaone raspodeleomoguava da se N puta redukuje baza podataka verovatnoa prelaza, pa takoFOTELP mo`e da radi bez poveavawa memorijskog prostora kad radi sa ultratankim slojevima.

5.3. SPREGNUTI TRANSPORT FOTONA, ELEKTRONA I POZITRONA

Kada se jednostavna ema Monte Karlo primeni na vie ~estica i uzmu uobzir svi relevantni fizi~ki procesi koji prate prolaz tih ~estica krozmaterijalne sredine slo`enog sastava, u kona~nom se dobija algoritam spregnutogtransport ~estica. Na algoritam takvog transporta detaqno je opisan [5, 33], aovde se prezentuje ideja funkcionisawa programa FOTELP.

Posle u~itavawa ulaznih podataka i biblioteka koje formira programFEPDAT, a u zavisnosti od ulazne ~estice, po~iwu da rade upravqa~ki moduli:TRANFOT za fotone, TRANELEK za elektrone ili TRANPOZ za pozitrone.Simulaciju transporta svake ~estice nastavqaju odgovarajue sekcije: FOTONI zafotone, ELEKTRONI za elektrone ili POZITRONI za pozitrone. U ovimsekcijama svaka ulazna ~estica zavrava svoju istoriju. Sekundarne ~estice kojenastaju u bilo kojoj sekciji zapisuju se u banku podataka koju modul ulazne ~estice~ita sukcesivno od posledwe sekundarne ~estice i tu ~esticu tretira kao iostale ~estice iz izvora. Ovakav tretman nemaju elektroni i pozitroni nastaliu fotonskim reakcijama. ^im oni nastanu, poziva se sekcija ELEKTRONI iPOZITRONI i u tim sekcijama te ~estice zavravaju svoje istorije.

Kad sekundarna ~estica u bilo kojoj sekciji stvori novu sekundarnu~esticu, podaci o woj se dodaju na mesto prethodno pozvane sekundarne ~estice.Nova ~estica iz izvora ulazi u modul tek kada se zavri transport svihsekundarnih ~estica prethodne ~estice iz izvora. Bankom sekundarnih ~esticaupravqa rutina POTOMCI. One su u ovoj rutini klasifikovane na fotonezako~nog zra~ewa, fluorescentne fotone, O`e elektrone i delta elektrone.Ovakva organizacija banke sekundarnih ~estica omoguava da zahtevani prostor posvakoj sekundarnoj ~estici bude mawi od 6 x 128 re~i. Neprekidno puwewe ipra`wewe banke podataka o sekundarnim ~esticama organizovano je tako dasekundarna ~estica, potomak sekundarne ~estice zauzima n+1 mesto u banciwenog tipa sekundarne ~estice.

Broj ~estica iz izvora podeqen je sa najmawe 20, pa tako svaki modulformira sredwe vrednosti slu~ajnih veli~ina za evaluaciju statisti~ke greke urutini STATFIN u saglasnosti sa centralnom grani~nom teoremom. Po toj teoremigustina raspodele zbira slu~ajnih veli~ina nepoznate raspodele te`i gustininormalne raspodele kod velikog broja realizacija slu~ajne veli~ine. Na tomprincipu rutina STATFIN ra~una sredwu vrednost 20 slu~ajnih veli~ina i wenuvarijansu.

Program FOTELP koristi osobine FORTRAN 77 da u svaki modul,sekciju, rutinu i funkciju ukqu~i sa INCLUDE fajl FOTCOM u kome su saPARAMETER definisani konstante i poqa u COMMON. Osim toga, u programuse koristi ~asovnik ra~unara za dobijawe po~etnog slu~ajnog broja, ra~unarskerutine i funkcije za generisawa velikog broja uniformnih slu~ajnih brojeva imerewe vremena, te rutine za zapis i obradu podataka numeri~kih eksperimenta.

Sa istim pristupom organizovan je i program FEPDAT u kome su za svakiproces napisane rutine i pripadajue funkcije u kojima se ra~unaju tom procesuodgovarajue verovatnoe prelaza. Svaka rutina zapisuje te verovatnoe uposebnu datoteku, to zna~i da program FOTELP ~ita ulazne podatke kojiodgovaraju fizi~kim procesima. Time je postignut komfor neophodan za kontrolurada programa FOTELP, ali i istovremeno mogunost lakeg poboqavawamodela bilo kog procesa.

Program FOTELP je otvoren za izbor re`ima wegovog rada u zavisnostiod svrhe numeri~kog eksperimenta. To je postignuto nizom identifikatora ~ijevrednosti se u~itavaju iz datoteke FOTELP.INP.

6. NUMERI^KI EKSPERIMENTI

Verovatnoama prelaza elektrona (pozitrona) izra`ava se konkretnafizi~ka predstava prolaza elektrona kroz supstanciju. Ra~unarki program,zasnovan na metodama Monte Karlo, izvrava numeri~ku simulaciju prolazamnotva elektrona (pozitrona) da se na kraju dobiju sredwe vrednosti slu~ajnihveli~ina koje opisuju posledicu tog prolaza. Na taj na~in, izvodi se na ra~unarueskperiment koji u fizi~kom smislu zadr`ava sve osobine laboratorijskogeksperimenta. Zato ima opravdawa da se takav eksperiment nazove numeri~kimeksperimentom i time on razlu~i od laboratorijskog eksperimenta upravqanogra~unarom.

Ovde su prikazani neki numeri~ki eksperimenti [33], ostvareniprogramom FOTELP u jednostavnim geometrijama debelih i tankih slojeva. U obaslu~aja namera je da ti rezultati poka`u mogunosti primene programa FOTELP urutinskim numeri~kim eksperimentima i tako ilustruju dostignua primenetehnika Monte Karlo u simulaciji prolaza elektrona kroz supstanciju. Numeri~kieksperimenti izvedeni su bez vremenskog ograni~ewa i polo`aja supstancije uprostoru. Polo`aj supstancije mo`e biti u sastavu nekog mernog ure|aja ulaboratoriji, a mo`e se nalaziti bilo gde u kosmosu. To pokazuje preimustvoovih tehnika u simulaciji onih eksperimenata sa elektronima koji se jo ne moguizvesti u laboratoriji. Prisustvo “posmatra~a” u laboratorijskim eksperimentimasa elektronima ograni~ava takve eksperimente, pa je primena tehnika MonteKarlo uputna da usmeri izvo|ewe laboratorijskog eksperimenta i uka`e na putevesmawewa uticaja “posmatra~a”.

Od obiqa numeri~kih eksperimenata koji su napravqeni pomou programaFOTELP, ovde su izdvojeni oni koje smo smatrali reprezentativnim u smislu goreistaknute potrebe. Svi rezultati na slikama koje slede prikazani su uizvornom obliku, kako su dobijeni u numeri~kom eksperimentu - bez naknadneobrade ili peglawa. Prostorne raspodele apsorbovane energije date su u [MeV

/(g/cm 2 )] po jednoj ~estici iz izvora u funkciji odnosa debqine i dometa~estice. Raspodela apsorbovane energije dobijena je sa statisti~kom grekommawom od 0,5%, to je zahtevalo da se iz izvora “emituje” mali, a nekad i vrloveliki broj ~estica u zavisnosti od debqine

Na slici 1. pokazana je dubinska raspodela apsorbovane energijeelektrona u funkciji proizvoda debqine i gustine u plo~ama od zlata ialuminijuma. Mlaz elektrona energije 2 [MeV] pada normalno na plo~u od zlatadebqine 0,0178 [cm] iza koje se nalazi plo~a od aluminijuma debqine 0,242 [cm].Dubinska raspodela apsorbovane energije elektrona dobijena je koriewemMolierove - ML i Gaudsnit-Sandersonove - LP ugaone raspodele.

Poveawe apsorbovane energije na granici plo~a ukazuje na dobru osobinumodela u programu FOTELP, kojim se tretira prelaz na granici dva materijala

Slika 1. Dubinska raspodela apsorbovane energije elektrona 2 [MeV] koji padaju upravno na plo~e od zlata i aluminijuma u funkciji proizvoda debqine i gustine

Apsorbovana energija elektrona u plo~ama sugerie da razlike izme|u rezultatasa ML i LP poti~u od ugaonih raspodela. U okviru diskusije o ugaonimraspodelama daemo osvrt na taj problem.

Slika 2. Dubinska raspodela apsorbovane energije elektrona i pozitrona energije 0,5 [MeV]koji upravno padaju na plo~u od aluminijuma u funkciji odnosa debqine i dometa elektrona.

Slika 2. prikazuje dubinsku raspodelu apsorbovane energije elektrona ipozitrona u plo~i od aluminijuma debqine 1,2 dometa elektrona. Mlaz elektronai pozitrona energije 0,5 [MeV] normalno pada na plo~u od aluminijuma. Podistim tim uslovima izvren je numeri~ki eksperiment u magnetnom poqunormalnom na snop elektrona, indukcije 0,4 T.

Smawewe apsorbovana energije elektrona i pozitrona (slika 2.) priwihovom prolazu kroz aluminijum u magnetnom poqu posledica je uticaja tog poqana kretawe tih ~estica. Po uslovu ovog numeri~kog eksperimenta, ~im ~esticakrene iz izvora, na wu deluje magnetno poqe te`ei da se ~estica kree pokru`nici. Na svakom koraku ~estica ima mawu energiju i vei ugao skretawa, pase mewa i radijus kru`nice. Ve posle nekoliko sudara deo ~estica naputaaluminijumsku plo~u to ima za posledicu smawewe apsorbovane energije. Uslu~aju magnetnog poqa koje je kolinearno sa brzinom upadnih ~estica,apsorbovana energija je vea nego u odsustvu poqa. Ako se, pak, magnetno poqepostavi pod uglom 0 ≤θ≤π/2, raste broj sudara u plo~i, a tim i apsorbovanaenergija. Ovaj efekat je koristan za numeri~ke eksperimente u kojima se umaterijalima velikog rednog broja mogu proizvesti ja~i fluksevi fotona zako~nogzra~ewa.

U problemima vieslojne zatite ili problemima u kojima se posledicaprolaza elektrona u nekoj sredini ocewuje kada je ta sredina obuhvaenamaterijalima druge vrste, apsorbovana energija u svakom sloju sama po sebi jezanimqiva. Me|utim, nekada je va`no i poznavawe gomilawa apsorbovane energijeili naelektrtisawa na granici. Taj efekat je pokazan na slici 1, a u numeri~komeksperimentu koji sledi, efekat je praen kroz tri plo~e: aluminijum, zlato,aluminijum. Kao i u primeru na slici 1. mlaz elektrona energije 2 [MeV]upravno pada na tri plo~e, a rezultat numeri~kog eksperimenta pokazan je naslici 3. - dubinska apsorbovana energija u funkciji proizvoda debqine plo~a iwihovoh gustina.

Slika 3. Dubinska deponovana energija elektrona 2 [MeV] koji upravno padaju na plo~e od aluminijuma, zlata i aluminijuma u funkciji proizvoda debqine i dometa elektrona.

Pozitronski emisioni tomograf (PET) koristi anihilacione fotone zadobijawe slike organa u koji je prethodno unet izvor pozitrona. Pretpostavqa seda je raspodela izvora uniformna unutar sfernog organa i da je vremeposmatrawa slike mnogo krae od poluvremena `ivota izvora. Simulacijomprolaza pozitrona u sferi dobijene su dve prostorne raspodele mesta

anihilacije pozitrona karakteristi~nog spektra 18F , maksimalne energije 0,635

[MeV] Prva prostorna raspodela mesta anihilacije pozitrona pokazana je ufunkciji radijusa (4π), a druga u funkciji wegove projekcije na ravan XOY (2π).Prema raspodelama na slici 4 mogue je suditi o rezoluciji tomografa. ProgramFOTELP omoguava da se numeri~ki eksperimenti ove vrste proire i naefikasnost tomografa; mo`e se pratiti koincidencija anihilacionih fotona patako usmeravati izbor broja i oblika detektora fotona.

Slika 4. Spektar mesta anihilacije pozitrona u funkciji radijusa u [cm]

Numeri~ki eksperimenti izvedeni su sa metama razli~itih dimenzija irednih brojeva elemenata. Zapazili smo da aktuelne verzije programa FEPDAT iFOTELP nisu imale znake nestabilnosti u toku wihovog rada.

P O G O V O R

Prethodna poglavqa prikazuju uspon razvoja modela za primenu metodaMonte Karlo u prolazu elektrona kroz supstanciju. Model viestrukog rasejawaelektrona neprekidno je usavravan da bi primewen u programima ETRAN, ITS,EGS4 i FOTELP doprineo stvarawu alata za numeri~ke eksperimente. Svaki odtih programa, unutar opte fizi~ke slike prolaza elektrona, ima za pojedineprocese razli~ite modele pripreme verovatnoa prelaza i odabira slu~ajnihveli~ina iz wihovih raspodela. Ba zato to je najmla|i i to je preuzeo iz

ranijih programa biblioteke nuklearnih podataka, i iskustva ste~ena primenomwegovih prethodnika, program FOTELP mo`e se smatrati reprezentativnim zanumeri~ke eksperimente. U wemu je ostvarena zamisao da se mo`e “~itati” to ga~ini razli~itim od wegovih prethodnika.

U programu FEPDAT primeweni modeli ra~unawa verovatnoa prelazapostavqeni su u saglasnosti sa teorijom viestrukog rasejawa elektrona i saraspolo`ivim diferencijalnim presecima sudara elektrona, pozitrona i fotonasa supstancijom. Mnogim testovima ustanovili smo korektnost primene modela ipreseka te se mo`e smatrati da je program FEPDAT zaokru`en sa sadawimstawem preseka. To se, me|utim, ne odnosi na modele za ra~unawa ugaonihraspodela viestruko rasejanih elektrona i pozitrona. Molierova ugaonaraspodela, ra~unata po naem algoritmu, pokazuje veoma dobru zavisnost odenergije i ugla.

Na slici 5 pokazana je inverzna Molierova ugaona raspodela u funkcijikosinusa ugla za zlato i aluminijum za 10, 20, 30, 50 i 100 [keV], sa faktoromopadawa energije M=32 Zbog takve osobine ove raspodele, gotovo svi numeri~kieksperimenti [33] ura|eni su sa tom ugaonom raspodelom. U ekperimentima saultra tankim slojevima u 3D upotrebqena je Gudsmit-Sandersonova ugaonaraspodela, ra~unata po naem modelu, zato to ta raspodela dozvoqavara~unawe sa veoma malim gubitkom energije na koraku trajektorijeelektrona.

Slika 5. Inverzna Molierova ugaona raspodela u funkciji kosinusa ugla za zlato i aluminijum za razne energije sa faktorom opadawa energije M=32.

U svim primenama Gudsmit-Sandersonove ugaone raspodele [2, 4, 10,17, 19,32] koristi se isti algoritam ra~unawa ove raspodele. Sledei teorijske osnovete ugaone raspodele, napravili smo vie algoritama za weno ra~unawe. Prvialgoritam je pokuaj imitacije Berger-Selcerovog algoritma iz wihovih programaETRAN i ITS. Poto ova raspodela po definiciji zahteva veliki broj sabiraka,nismo prihvatili ograni~ewa na mali broj sabiraka koje su autori uveli preko

empirijske zavisnosti L Z Tmax ( , ) , odnosno Molierovog ugla ekranizacije. Tako|e,

nismo nali dovoqno opravdawa za uoptavawe Spenserovog modelaaproksimacije integrala ∫G(s)ds kao funkcije dometa elektrona. Na algoritamra~unawa Gudsmit-Sandersonove ugaone raspodele svodi se na dva centralnapristupa. Prvo, da se eliminie ograni~ewe broja sabiraka i, drugo, da se u~inipokuaj zamene integrala ∫G(s)ds integralom ∫σ(T)dT/(dT/dx). Zbog osobinapodintegralne funkcije, ovaj integral zahteva posebni numeri~ki postupak zakoji smo usvojili Gaus-Le`androvu integracionu formulu sa relativnom grekommawom od 0,1%. Pa ipak, i pored svih predostro`nosti prelaz na granici od 256[keV] sa Rajlijeve (Riley) aproksimacije preseka na Berger-Selcerov pristup.prema Spenserovom modelu, pokazuje nelogi~an tok ugaone raspodele. Ba zatosmo prednost dali Molierovoj ugaonoj raspodeli sa Beteovom i Fanovomkorekcijama, ukqu~ujui i korekcije koje su predlo`ili Selcer i Ermilova. Sastrogim numeri~kim pristupom u naem algoritmu ra~unawa Molierove ugaoneraspodele i sa tim korekcijama, ova raspodela pokazuje prirodniji tok u funkcijienergije i ugla (Slika 5.) za sve materijale od svih varijanti u algoritmimara~unawa Gudsmit-Sandersonove raspodele. Pored toga, svaka gustina raspodeleje normalizovana i zato mora da zadovoqi uslov (2.2). Taj uslov za veliko Z iniske energije ne zadovoqava Gudsmit-Sandersenova raspodela kada se onara~una po bilo kom od spomenutih algoritama. Na taj problem ukazuje i Bjelajev(Bielajew) [34] konstatujui samo numeri~ku nestabilnost raspodele.

Program FOTELP koristi verovatnoe prelaza koje priprema programFEPDAT. Detaqnim testovima uticaja svakog od modela, kojima je opisantransport ~estica, ustanovili smo da je najvei uticaj na rezultate numeri~kiheksperimenata imala ugaona raspodela viestruko rasejanih elektrona(pozitrona). Rajlijev model aproksimacije diferencijalnog preseka, sa naimmodelom ra~unawa parametara ugaone raspodele, pru`a nadu da se uverqivijetretiraju ugaone raspodele za niske energije. Spenserova aproksimacija preseka

pomou formule h k( ) ( cos )θ θ η= − +1 2 sa eksponentom k=j ili k=j/2 treba dabude zamewena nekom boqom aproksimacijom, na primer, proirewem Rajlijeveaproksimacije na vie energije. Bez tih aproksimacija, Gudsmit-Sandersonova

ugaona raspodela primenqivija je na malim koracima Sn . Verovatno su to

razlozi to program EGS4 koristi Molierovu ugaonu raspodelu, a ba tajstanfordski program, kao standard, iskqu~ivo se primewuje u radiologiji ionkologiji.

Svaki model Monte Karlo transporta ~estica predstavqa pokuaj da sestvori baza podataka iz koje se to jednostavnijim uzorkovawem slu~ajnihveli~ina simulira transport ~estica. Skroman pokuaj u tom pravcu u~inio jeTomson (Thompson) 1974. godine proirujui energijski skalu sa 64 na 81 ta~ku[32]. U programu FOTELP energijska skala se bira prvenstveno sa nameromizbegavawa kvarewa fizi~ke slike procesa, a sa druge strane da se dobijerezultat sa predodre|enom prostorno-energijskom rezolucijom. Sa M=16 ili M=32,a po potrebi i veim, energijska skala ima nekoliko stotina ta~aka. Takav porastsledi sli~an trend u Monte Karlo neutronskom transportu gde se broj grupastalno poveava: od 28 grupa pre 30 godina na nekoliko stotina u posledwevreme. Ocewujemo da e ovakav trend u~initi Monte Karlo transport elektrona(pozitrona) i tekih naelektrisanih ~estica atraktivnijim u onim oblastima ukojima je numeri~ki eksperiment potreban a drugim tehnikama nezamenqiv.

U te`wi da stvore fizi~ki prihvatqiv model prolaza elektrona krozsupstanciju, mnogi autori ograni~avaju svoje modele na opseg energija elektrona odnekoliko [keV] do reda 10 [MeV]. Proirewe modela na vie energijepodrazumeva zanemarivawe onih sudarnih procesa koji su karakteristi~ni zavie energije elektrona ili se ti procesi pojednostavqeno opisuju empirijskimformulama. Na model prolaza elektrona ograni~ili smo na opseg energijaelektrona od 1 [keV] do 20 [MeV] izostavqajui nuklearne reakcije saelektronima.

LITERATURA

[1] Ili,R.DIli,R.D.,Simulacija transporta fotona, elektrona i pozitrona metodom Monte Karlo,XXXII Jugoslovenska konferencija ETAN, NT (1988) 138.[2] Berger,M.J,Berger,M.J, Monte Carlo calculation of the penetration and diffusion of fast chargedparticles, in Methods in computational physics, Vol.I (1963) 135, Accad. Press, N.Y.[3] Altiparmakov,D.V.,Beli~ev, P.,Altiparmakov,D.V.,Beli~ev, P., An efficiency study of the R-function methodapplied as solid modeler for Monte Carlo calculations, Progres in Nuclear Energy, 24(1990) 77.[4] Akkerman A.FAkkerman A.F.‚Modelirovanie traektorij zar]‘ennwh ~astic vve\öestve‚ >energoatomizdat‚ Moskva 1991.[5] Ili,R.D.,Ili,R.D.,Tehnike Monte Carlo u transportu ~estica, Nau~na knjiga, Beograd. 1991.[6] Fano,U., Spencer L.V., Berger,M.J.Fano,U., Spencer L.V., Berger,M.J., Penetration and diffusion of X-rays. InEncyclopedia of Physics, Vol 38/2, (1959) 660, Springer,Berlin.[7] Berger,M.J., Hubbell,J.H.,Berger,M.J., Hubbell,J.H., XCOM:: Photon cross sections an a personalcomputer,NBS Rep, (1987) NBSIR 87-3567.[8] Fischer,F., Fischer,F.,Beitrage und Theorie der Absorption von Rontgenstrahlung, Ann.Phys. 8(1931) 821.[9] Sauter,F.,Sauter,F., Uber den atomaren Photoeffekt bei grosser Harte anregenden Strahlung,Ann.Phys. 9. (1931) 217.[10] Colbert,H.M., Colbert,H.M.,SANDYL - A computer program for calculating combined photon-electron transport in complex systems, Sandia Labs.,Livermore, (1974) SLL-74-012.[11] Hough, P.V.V., Low energy pair production, Phys.Rev. 73 (1948) 266.[12] Berger, M.J., Seltzer, S.M.Berger, M.J., Seltzer, S.M., Stopping powers and ranges of electrons andpozitrons, National Bureau of Standards Report (1982) NBSIR 82-2550.[13] Landau,L.Landau,L.,On the energy loss of fast particles by ionization, J.Phys.(USSR) 8(1940) 201.

[14] Borsch-Supan,W.,Borsch-Supan,W., On the evaluation of the function Φ(λ)=1/2πi∫exp(ulnu+λu)du,J.Res.NBS 65B (1961) 245.[15] Ili, R.D.,Ili, R.D., Evaluacija gustine Landauove raspodele gubitka energije elektrona, NTPXXXVII 8 (1988) 23.[16] Chechin,V.A., Ermilova,V.C.,Chechin,V.A., Ermilova,V.C., The ionization-loss distribution of very smallabsorber thickness, Nucl.Instr. and Methods 13B (1976) 551.[17] Seltzer,S.M.,Seltzer,S.M., Electron-photon Monte Carlo calculation- The ETRAN Codes,Appl.Rad.Isot. 42 (1991) 917.[18] Blunck,O., Westphal,K.Blunck,O., Westphal,K., Zum Energieverlust energiereicher Elektronen in dinnenSchichten,Z.Phys. 130 (1951) 641.[19] Seltzer,S.M., Berger, M.J.Seltzer,S.M., Berger, M.J., Bremsstrhlung spectra from electron interactions withscreened atomic nuclei and orbital electrons, Nucl.Instr. and Meth. B12 (1985) 95.[20] Koch,H.W., Motz,J.W.Koch,H.W., Motz,J.W., Bremsstrahlung cross section formulas and related data,Rev.Mod.Phys. 31 (1959) 920.[21] Moliere, G.,Moliere, G., Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen II: Mehrfach - undVielfachstreuung. Z.Naturforsch 3a (1948) 78; Bethe,H.A., Bethe,H.A., Moliere’s theory of multiplescattering, Phys.Rev.89 (1953) 1256.[22] Nigam,B.P.,Mathur,V.S.,Nigam,B.P.,Mathur,V.S., Difference in the multiple scattering of electrons andpositrons, Phys.Rev. 121 (1961) 1577; Nigam, B.P., Sundersen,M.K., Ta-You Wu,Nigam, B.P., Sundersen,M.K., Ta-You Wu,Theory of multiple scattering: Second Born approximation and correction to Moliere work,Phyd.Rev.115 (1959) 491.[23] Goudsmit,S.,Saunderson,J.L., Goudsmit,S.,Saunderson,J.L., Multiple scattering of electrons, Phys.Rev. 57(1940) 24.[24] Ili,R.D.,Ili,R.D., Prora~un Mottovog preseka elasti~nog rasdsejanja elektrona i pozitronana ta~kastom jezgru, NTP XXXIX, 8 (1989) 12.[25] Mott,N.F., Massey,H.S., The theory of atomic collisions, Oxford Univ.Press., N.Y.1949.[26]Ili,R.D.,Ili,R.D., Prora~un Goudsmit-Saundersonove raspodele viestrukog rasejanjaelektrona, NTP XL 8-9 (1990) 123.[27] Riley,M.E., Riley,M.E., Theoretical electron-atom elastic scattering cross sections, Atomic Dataand Nuclear Data Tables 15 (1975) 443.[28] Spencer,L.V., Coyne, J., Spencer,L.V., Coyne, J., Theory of the deep penetration of electron and chargeparticles, Phys. Rev.128 (1961) 2230.[29] Yang,C.N.,Yang,C.N., Actual path length of electron in foils, Phys.Rev. 84 (1951) 599.[30] Moller,C.,Moller,C., Zur Theorie des Durchgang schneller Elektronen durch Materie, Ann.Phys. 14 (1932) 568.[31] Bhabha,H.J.,Bhabha,H.J., The scattering of positrons by electrons with exchange on Dirac’stheory of the positron, Proc.Roy.Soc. (London) A154 (1936) 195.[32] Thompson,W.L.,Thompson,W.L., Gamma-Ray and Electron Transport by Monte Carlo, Universityof Virginia, Ph.D., 75-4667,(1974).[33] Ili,R.D.Ili,R.D., Numeri~ki eksperimenti transporta fotona, elektrona i pozitrona tehnikamaMonte Karlo, Izvetaj Instituta za nuklearne nauke “Vin~a” 1609 (1996).[34] Bielajew A.F.,Bielajew A.F., Advances in Monte Carlo Electron Transport, Radiotherapy &Oncology, 37 Suppl.1 (1995) S28.

ELECTRON TRANSPORT TROUGH MATERIAL COMPUTATIONALELECTRON TRANSPORT TROUGH MATERIAL COMPUTATIONALSIMULATIONSIMULATION

Radovan D.IliRadovan D.IliInstitute of Nuclear Sciences “VIN^A”

Nuclear Engeneering Laboratory Beograd, P.O. Box 522, Yugoslavia

AbstractAbstract

First version of the program FOTELP has presented at ETAN Conference in1988. From 1991 this program has included in the international distribution(RSIC,Tenn.,USA CCC-581). During the previous years the models of the Monte Carlotransport of photons, electrons and positrons were been modified, and includes the newcross section for elements from Z=1 to Z=100 in energy range from 1 [keV] to 20[MeV]. The actual version of the program has the new numerical methods for probabilitycalculations, and new techniques for sampling random values from their inversedistributions. The geometric module O5R were been replaced by more efficient moduleRFG for tic and tins zones in 3D. The experiences with programs ETRAN and ITS werebeen included. Available libraries of cross sections enabled program FOTELP to becomethe tool for numerical experiments in dosimetry, radiotherapy, radiation damage inelectronics, and calculations radiation detectors efficiency.

Considering the 100 years of electron discovery the new results of the programmodifications were been presented with consideration on the models of other authors,

and results of numerical experiments that approve validity of the new models included inthe program.