REPORTAJE

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RATONES EN EL ECUADOR.

Presentamos a continuación un problema, casi una broma, muy famosa pero que a todos sorprende cuando se descubre. En atención a nuestros lectores más jóvenes lo traemos a esta portada.

B.,onde est

Consideremos que la Tierra es una esfera perfecta de 6.378 Km. de radio. Supongamos, además, que ajustamos una cuerda al ecuador, tensa, de modo que un ratón no pueda pasar entre el suelo y ella. Por tanto, su “forma” será una circunferencia 6.378 Km. de radio, y 40.074 Km. de longitud. Ahora, supongamos que hacemos lo mismo con una cuerda un metro más larga. Evidentemente ahora la cuerda no “ajusta” al ecuador, sino que presenta una pequeña holgura. Si ponemos la cuerda de modo que su “altura” sea la misma sobre todo el ecuador, ¿pasaría el ratón por debajo?

Bien, hagamos cuentas. Sea r el radio de la Tierra, y R el radio de la cuerda una vez alargada un metro. El perímetro del ecuador es P=2πr, luego la circunferencia de la cuerda alargada tiene un perímetro P+1= 2πR. Despejando:

π2

1+=

PR

Por tanto,

πππ 2

1

22

1=−

+=−

PPrR

Sorprendentemente R-r es, aproximadamente de ¡16 cm.! Repasemos: como el radio de la Tierra es r= 6.378 Km., el perímetro es, aproximadamente, 40.074 Km. Y con un metro más de perímetro aumenta el radio en casi 16 cm. Pero no sólo es sorprendente lo visto. Obsérvese que todo el desarrollo es independiente de r,

luegoπ2

1=− rR sirve para el planeta tanto

como para una moneda.

BOLETÍN DE MATEMÁTICAS DEL I.E.S. MATARRAÑA – Número 34- OCTUBRE 2.011

REPORTAJE

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SENSACIÓN TÉRMICA Un concepto que habitualmente aparece en los medios de comunicación es el de sensación térmica. Se usa para indicar que en invierno el viento frío hace que se perciba una temperatura inferior a real y, por el contrario, en verano la humedad del aire hace que la temperatura parezca superior. En este artículo vamos ha hablar un poco de ello.

est

En invierno la ropa y la calefacción nos ayudan a mantener el calor del cuerpo, pero en la calle, si estamos mucho tiempo o no vamos adecuadamente vestidos, el viento frío puede hacer que nuestra sensación de frío sea mayor ya que nos roba calor corporal. En verano nuestro cuerpo intenta bajar su temperatura sudando, pero si el ambiente es húmedo, el sudor se evapora con más dificultad y nuestra sensación de calor aumenta. En ambos casos el cálculo de la sensación térmica, es decir, la temperatura exterior equivalente que se percibiría en invierno en ausencia de viento o en verano con una humedad normal, puede calcularse mediante unas fórmulas que presentaremos a continuación. La sensación de calor o frío que siente una persona no depende sólo de la temperatura del aire, sino también del balance térmico de la persona con el medio ambiente, en el que influyen, además de la temperatura, otras variables meteorológicas como el viento y la humedad. Sea T la temperatura en grados centígrados y v la velocidad del viento en kilómetros por hora, entonces, la sensación térmica TS, en centígrados, será, según Paul Sipple (1948):

22

)33()2778'0271'545'10(33

TvvTs

−⋅−+−=

O, si la velocidad está en millas por hora y la temperatura en grados Fahrenheit, la sensación térmica TS , en ºF, será:

22

)4,91()447'0686'645'10(4'91

TvvTs

−⋅−+−=

Para la velocidad del viento, se debe introducir la velocidad relativa. Ejemplo: si el viento sopla a 20 Km/h y usted corre a 10 Km/h en dirección opuesta, entonces la velocidad total es de 30

Km/h. Cuando usted corre en la misma dirección del viento la velocidad total es de 10 Km/h.

Por otro lado es frecuente escuchar cuando hace mucho calor que “no es el calor, es la humedad” la que provoca esa sensación tan agobiante. Estrictamente hablando, no es cierto, es la combinación de ambas, a través de la siguiente fórmula, la que produce una sensación térmica, ITH, en grados centígrados:

6'39

)168'1()22'023(

9

20 −⋅++=

THITH

Donde H es la humedad en porcentaje y T la temperatura en centígrados. Si las temperaturas T e ITH son en grados Fahrenheit:

22

)48()22'023(36

−⋅++=

THITH

Escribimos ITH porque, cuando se trata de la sensación térmica producida por la combinación de humedad y temperatura, se habla de Índice Temperatura-Humedad. A decir verdad, existen varias de estas fórmulas, la recogida aquí se deben a Clint Brookhart. Vamos con un par de ejemplos: Un día invernal en Zaragoza de 10ºC y un viento de 50 Km./h., la sensación térmica será de TS=-2’4ºC. Un día de verano en Barcelona, a 30ºC y una humedad del 70%, la sensación térmica será de 39ºC. El primer cuadro de la página siguiente recoge la sensación térmica según la velocidad del viento y la temperatura. Obsérvese que para una velocidad pequeña del viento la sensación, según la fórmula utilizada, aumenta la temperatura. El motivo es que para v=0, en las fórmulas anteriores no se obtiene TS=T, como sería de desear.

3

La tabla 1 recoge la sensación térmica para un amplio rango de velocidades del viento, en Km./h., y temperaturas, en grados centígrados. La tabla 2 recoge el Índice Temperatura - Humedad para un amplio rango de humedades del aire, en tanto por ciento., y temperaturas, en grados centígrados.

Para el cálculo de la sensación térmica no se tiene en cuenta la humedad, aunque, como tal vez sepa el lector, a menor humedad, más confortable es la sensación en tiempo frío. Hasta donde hemos llegado parece no existir una

fórmula que una velocidad del viento, humedad y temperatura para calcular la sensación térmica.

Como se ha mencionado existen otras formas de calcular la sensación térmica, por ejemplo el Nuevo Índice Windchill, usado desde 2.004, para la temperatura en grados centígrados y el viento en Km/h es:

16'016'0 3965'037'116215'012'13 vTvTTs ⋅⋅+⋅−⋅+=

Se ha de tener en cuenta que este viento es a 10 metros de altura, valor oficial de la altura del anemómetro. Su ventaja frente al de Sipple es que es aplicable a más zonas climáticas del planeta.

Velocidad del viento

(Km/h) 5 -17,2 -12,5 -7,7 -3 -0 1,73 3,62 6,47 9,3 11 13 16 21

10 -25,6 -20,1 -15 -9 -6 -3,51 -1,3 2,02 5,3 7,6 9,8 13 19 20 -35,6 -29,1 -23 -16 -12 -9,7 -7,1 -3,2 0,7 3,2 5,8 10 16 30 -41,6 -34,6 -28 -21 -16 -13,5 -11 -6,4 -2,2 0,6 3,4 8 15 40 -45,7 -38,3 -31 -23 -19 -16 -13 -8,6 -4,1 -1 1,8 6 14 50 -48,5 -40,8 -33 -25 -21 -17,7 -15 -10 -5,4 -2 0,7 5 13 60 -50,4 -42,5 -35 -27 -22 -18,9 -16 -11 -6,3 -3 -0 5 13 70 -51,6 -43,6 -36 -28 -23 -19,7 -16 -12 -6,9 -4 -0,5 4 12

-20 -15 -10 -5 -2 0 2 5 8 10 12 15 20 Temp. ºC

Tabla 1.

Humedad % 20 22,3 23,5 24,8 26 27,3 28,5 31 33,5 36 38,5 41

30 23,9 25,2 26,6 27,9 29,3 30,6 33,3 36 38,7 41,4 44,1 40 25,5 27 28,4 29,8 31,3 32,7 35,6 38,5 41,4 44,3 47,2 50 27,1 28,7 30,2 31,8 33,3 34,8 37,9 41 44,1 47,2 50,3 60 28,7 30,4 32 33,7 35,3 37 40,3 43,5 46,8 50,1 53,4 70 30,3 32,1 33,8 35,6 37,3 39,1 42,6 46,1 49,5 53 56,5 80 32 33,8 35,6 37,5 39,3 41,2 44,9 48,6 52,3 55,9 59,6 90 33,6 35,5 37,5 39,4 41,3 43,3 47,2 51,1 55 58,9 62,7

25 26 27 28 29 30 32 34 36 38 40 Temp. ºC

Tabla 2.

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EL ÁREA DEL TRIÁNGULO

A todos nos han enseñado una fórmula par calcular el área del triángulo, en éste número de Materrraña vamos a ver otras dos. Una la de Herón, tiene la ventaja de que se obtiene a partir de los lados, fáciles de medir, no como la altura que, en situaciones reales, puede ser difícil de determinar, y por tanto, de medir. La segunda forma, recogida aquí como lema para obtener la fórmula de Herón, destaca por la belleza de su demostración.

est

En números anteriores de nuestro boletín ya apareció la destacada fórmula de Herón

))·()·(·( cpbpappS −−−=

que da S, el área de un triángulo cuyos lados miden a, b y c, y en la que p es el semiperímetro. En este artículo vamos a dar una demostración de este resultado. Sea ∆ABC un triángulo cuyos lados miden a, b y c. Considerando las bisectrices en cada vértice se tiene el incentro (centro de la circunferencia inscrita), de radio r (inradius lo llamó Herón).

A continuación vamos a dividir el triángulo en seis triángulos rectángulos; consideremos el segmento de cada bisectriz que une cada vértice con el incentro. A continuación se consideran los radios del círculo inscrito a los puntos de tangencia entre el triángulo y la circunferencia que, como sabemos, son perpendiculares.

Para que la demostración que sigue sea un poco más leve, la separamos en dos lemas.

Lema 1. El área, S, de un triángulo es el producto r·p, el inradio por el semiperímetro. Y la demostración, sin palabras:

El segundo lema es más cotoso, dice así: Lema 2. Si α, β y γ son tres ángulos, positivos, que suman 90º, entonces:

1tantantantantantan =⋅+⋅+⋅ αγγββα

Para empezar la demostración se construye un triángulo rectángulo con ángulo agudo α y cateto adyacente de longitud 1.

Por tanto, el cateto opuesto medirá tan α y la hipotenusa sec α. Sobre la hipotenusa, pero ahora como cateto, se construye un nuevo triángulo rectángulo con ángulo β, cuyo cateto opuesto mide sec α ·tan β.

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A continuación se traza, sobre el cateto menor, un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos es α y cuyos catetos miden tan β y sec α ·tan β.

Finalmente se añade el triángulo rectángulo de ángulo γ, cuyos catetos miden tan α+·tan β y tan γ· (tan α +tan β) Como α+β +γ=90º, la figura resultante es un rectángulo que, igualando las longitudes de los lados verticales lleva al resultado buscado.

Bien, pues ya estamos en condiciones de afrontar la demostración del Teorema de Herón. Recordar que estábamos en

aplicando el lema 2 a los ángulos α, β y γ, que suman 90º, se tiene

1tantantantantantan =⋅+⋅+⋅ αγγββα

como la tangente de un ángulo, en un triángulo rectángulo es “cateto opuesto partido por cateto contiguo”:

1=⋅+⋅+⋅x

r

z

r

z

r

y

r

y

r

x

r

( )1

··

·

··

22

==++

zyx

pr

zyx

zyxr

Según el lema 1, S=r·p, por tanto

1······

···

··

·· 2

===pzyx

S

pzyx

pprr

zyx

prr

y de ahí:

pcpbpappzyxS )·)·()·((··· −−−==

pues p=x+a=y+b=z+c.

No nos podemos resistir a acabar este artículo sin hacer referencia a otra propiedad de los triángulos similar al lema 2. Dice que si α, β y γ son tres ángulos de un triángulo acutángulo, entonces:

γβαγβα tantantantantantan ⋅⋅=++

Esta es la demostración, (otra demostración sin palabras)

Y, para acabar, una propuesta. Dado un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia, cuyos lados miden a, b, c y d, demuestre la Fórmula de Brahmagupta para el área del cuadrilátero:

))·()·()·(( dpcpbpapS −−−−=

Donde p es el semiperímetro del cuadrilátero.

6

LA TRISTE HISTORIA DE PLUTÓN El concepto de planeta ha sufrido cambios radicales que reflejan el estado de la ciencia del momento. Estos cambios impactaron a la sociedad de su tiempo. Hoy estamos viviendo otro de estos cambios… Antes de que existieran los telescopios, el ser humano ya hablaba de los “planetas” observables a simple vista… Distinguía entre las estrellas “fijas” y siete cuerpos que se movían respecto a las estrellas: el Sol, la Luna y los cinco planetas que se ven a simple vista: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, y Saturno. Denominaba a los siete cuerpos como “planetas” (que significa errantes en griego). El modelo geocéntrico de Tolomeo (90- 168) era el entonces considerado correcto. La importancia de estos siete cuerpos quedó plasmada en los siete días de la semana… • Lunes (día de la Luna) • Martes (día de Marte) • Miércoles (día de Mercurio) • Jueves (día de Júpiter) • Viernes (día de Venus) • Sábado = Saturday (día de Saturno) • Domingo = Sunday (día del Sol) El primer gran cambio en el concepto de planeta ocurrió cuando, basándose en las observaciones de Tycho Brahe y de Kepler, en 1543 Copérnico publica su libro “Sobre las Revoluciones de las Esferas Celestes”. Este cambio implicó: • El Sol y la Luna no son “planetas” y salen de la lista. • Pero, la Tierra sí es un planeta y entra a la lista. Con el descubrimiento del telescopio, se encontraron más planetas… • Urano (1781 por William Herschel) • Neptuno (1846 por Johann Galle) • Plutón (1930 por Clyde Tombaugh) Un nuevo planeta por siglo, hasta completar nueve (incluyendo a la Tierra). En 1801, antes del descubrimiento de Neptuno y Plutón, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió un cuerpo entre Marte y Júpiter. Este cuerpo, que se llama Ceres, fue identificado originalmente como un planeta. Pero pronto quedó claro que Ceres es un cuerpo mucho más pequeño que los otros planetas (con un radio de 475 km). Más aún, Ceres es sólo el cuerpo más grande de un enorme número de asteroides que existen en un Cinturón entre Marte y Júpiter. Ceres fue reclasificado como asteroide.

Recientemente hemos presenciado dos cambios importantes en el concepto de planeta: 1) la redefinición que llevó a sacar a Plutón de la lista de planetas, y 2) el descubrimiento de planetas alrededor de otras estrellas (distintas al Sol).

Primeras Imágenes de Plutón/Caronte

En 1976 se descubre que Plutón tiene una luna, Caronte y en 2.005 que otras dos lunas orbitan alrededor de Plutón: S/2005 P 1 y S/2005 P 2.

El Sistema Plutón

Plutón es extraño en varios aspectos, por su tamaño: es mucho menor que los otros planetas, inclusive que nuestra Luna. Por su órbita: es muy elíptica y fuera del plano en comparación con el resto de planetas. En la década de los 1950, Gerald Kuiper predijo que más allá de la órbita de Plutón habría un “nuevo” cinturón de asteroides. En 1992, con el incremento en la potencia de los telescopios, se comenzaron a detectar asteroides del Cinturón de Kuiper…

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En 2.003 se descubre el objeto 2003 UB313, y resulta ser más grande que Plutón. Sus descubridores reclamaban, aparentemente con justicia, que ahora sí este es el décimo planeta. Incluso se propuso para él el nombre de Xena. Nótese que Plutón, clasificado como un planeta, es menor que nuestra Luna, clasificada como un satélite.

Después se le descubre una luna a Xena; y se le da el nombre de Gabrielle.

En palabras de Dave Jewitt, Universidad de Hawai, el dilema está claro, o se considera a Plutón como el más pequeño y más peculiar planeta moviéndose en la órbita más excéntrica e inclinada de todos los planetas o aceptar que Plutón es el mayor (esto es antes de 2003 UB313), pero en otros conceptos completamente típico objeto del Cinturón de Kuiper. Si no se hacía ningún cambio, Xena tiene tanto derecho a ser considerada un planeta como Plutón. En tal caso el número de planetas podría crecer mucho. No hay más remedio que redefinir el concepto de planeta.

En la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional celebrada en Praga en 2006 se toma la siguiente resolución: "Un planeta es un cuerpo celeste que (a) está en órbita alrededor del Sol, (b) tiene suficiente masa para que su propia gravedad domine a las fuerzas de cuerpo rígido de modo que tenga una forma

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aproximadamente redonda, y (c) haya limpiado la vecindad de su órbita de otros cuerpos.“ Plutón cumple con los puntos (a) y (b), pero no con el (c), luego se queda en “planeta enano”. La mayoría de los cuerpos en el Cinturón de Asteroides, entre Marte y Júpiter, no lo cumplen. Son cuerpos de kilómetros a cientos de kilómetros, su fuerza de gravedad no es lo suficientemente grande para hacerlos esféricos. Se requiere un radio mayor a 450 km. Esta resolución ha causado mucha molestia entre ciertos grupos, en particular los de la NASA involucrados en la misión “New Horizons”, enviada al espacio en 19 de enero del 2006, para estudiar a Plutón. Ahora encuentran que lo que van a investigar ya no es un planeta sino tan solo un “planeta enano”. Un enfoque para el Siglo XXI: el Sistema Solar está formado por seis grandes familias de cuerpos: – Estrella (el Sol) – Planetas rocosos – Cinturón de asteroides – Grandes planetas gaseosos – Cinturón de Kuiper – Nube de Oort Con respecto a 2003 UB313 o Xena, ya está clasificado como planeta enano, como Plutón. La Unión Astronómica Internacional tuvo la última palabra y le puso el nombre definitivo a este cuerpo, llamándole Eris, y a su satélite Dysnomia, por la hija de Eris. Eris es la diosa griega de la discordia. Pero, además de los problemas de casa (entiéndase, el Sistema Solar), hay planetas alrededor de otras estrellas: los planetas extrasolares. Después de milenios de especulación, en la última década se han descubierto al fin planetas en otras estrellas, fuera de nuestro Sistema Solar. • ¿Cómo ocurrió esto? ¿Se han descubierto ya planetas similares a la Tierra? ¿Habrá vida, más aún, inteligencia en alguno de estos planetas extrasolares? Ya se han descubierto planetas en otras estrellas, aunque no son como la Tierra. Encontrar otra Tierra no será fácil porque: los planetas terrestres

son pequeños y están relativamente cerca de su estrella.

La estrella Gliese 581, Wolf 562 o HIP 74995 es una enana roja situada a 20,5 años luz del planeta Tierra. Es una de las 100 estrellas más cercanas al Sistema Solar. Su masa es un tercio más pequeña que la de nuestro Sol, lo que hace que sea menos luminosa y más fría.

Gliese 581 tiene a su alrededor 6 planetas siendo tras HD 10180 el Sistema extrasolar conocido con más planetas. Sus planetas reciben los nombre Gliese b, c, d, e, f y g. Algunos de estos exoplanetas (planetas no pertenecientes al Sistema Solar) son los primeros que parecen cumplir los requisitos fundamentales para albergar vida. Gliese 581 g, está en el centro de la zona de habitabilidad, Gliese 581 c orbita en el límite interior de dicha zona y Gliese 581 d, el borde exterior. Los otros tres están fuera.

Gliese 581 b, descubierto en 2005, tiene aproximadamente 17 veces la masa de la Tierra y completa una vuelta alrededor de su estrella en 5,336 días a una distancia de 6 millones de kilómetros de la misma. Su temperatura superficial ronda los 150 °C y podría estar compuesto por elementos pesados.

Gliese 581 c, descubierto en 2.007, podría ser un planeta rocoso, tiene una masa 5 veces mayor a la masa de la Tierra y su radio es aproximadamente 1,5 veces el terrestre. Su órbita dura 13 días y está situado 14 veces más cerca de su estrella de lo que está la Tierra respecto al Sol. Su temperatura media oscila entre 0ºC y 40ºC. Todo ello le permitiría albergar agua líquida. Pero presenta un problema: muestra siempre la misma cara a la estrella.

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Gliese 581 d es el tercer exoplaneta alrededor de Gliese 581. Tiene aproximadamente 8 veces la masa terrestre y describe su órbita en 84 días. Modelos atmosféricos realizados en 2011, sugieren que una atmósfera base de dióxido de carbono calentaría lo suficiente la superficie como para permitir la existencia de agua líquida.

Gliese 581 e es el exoplaneta más pequeño descubierto hasta la fecha. Tiene 1.9 veces la masa de la Tierra, por lo que es el planeta más pequeño descubierto y el más cercano en tamaño al la Tierra. Su órbita es muy cercana a la estrella, que hace difícil que posea una atmósfera. Sus temperaturas superarían los 100 grados centígrados, imposibilitando la presencia de agua líquida.

Astrónomos del observatorio Keck en Hawai anunciaron el 29 de septiembre del 2010 el descubrimiento de los planetas Gliese 581 f y g. Gliese g parece ser el primer exoplaneta descubierto apto para albergar vida. Además tiene la gravedad suficiente para mantener una atmósfera (3 a 4 veces la masa de la Tierra) y la temperatura media adecuada para albergar agua liquida.

Pero hay más: Gliese 876 es una estrella enana roja situada a 15 años luz de la Tierra en la constelación de Acuario. Esta estrella cuenta con la mitad de masa que nuestro Sol.. Alberga tres planetas: dos parecidos a Júpiter, que se encuentran acoplados en una resonancia orbital 2:1, y otro con una masa de menos de la mitad de

Neptuno, de tipo terrestre y el primero en ser descubierto de tan baja masa.

En 1998 se anunció el descubrimiento de un planeta extrasolar en órbita alrededor de Gliese 876; el planeta fue designado Gliese 876 b y su detección se efectuó a través de la medición de la velocidad radial de la estrella, que era alterada por la gravedad del planeta. Gliese 876 b, que posee una masa cercana al doble de Júpiter, completa su órbita alrededor de su estrella en aproximadamente 61 días, a una distancia de sólo 0,208 UA (menos que la distancia que existe entre el Sol y Mercurio.

Un segundo planeta fue detectado dentro del sistema en 2001, en una órbita interior a la de Gliese 876 b. Este nuevo planeta, designado Gliese 876 c y con el 0,62 de la masa de Júpiter, se halla en una resonancia orbital de 1:2 con el planeta exterior y tarda 30,340 días en completar su movimiento alrededor de la estrella. Esta relación de períodos orbitales fue lo que inicialmente ocultó la velocidad radial del planeta, haciéndola pasar como una mayor excentricidad del Gliese 876 b. Ambos planetas atraviesan fuertes interacciones gravitatorias mientras orbitan su estrella, lo que provoca que sus elementos orbitales cambien a gran velocidad.

Observaciones realizadas en 2005 revelaron un tercer planeta en el sistema, dentro de las órbitas de los dos planetas antes mencionados: Gliese 876 d. Posee poca masa (tan sólo 5,88 veces la masa de la Tierra) y podría tratarse de un planeta terrestre. Los dos planetas tipo Júpiter se encuentran dentro de la zona de habitabilidad 'tradicional' de Gliese 876, que se extiende entre 0,116 y 0,227 UA desde la estrella. Esto deja poco espacio para un planeta habitable adicional del tamaño de la Tierra en esa parte del sistema. No obstante, en caso de que los gigantes gaseosos posean lunas de gran tamaño, estas podrían ser capaces de albergar vida. Además, la zona de habitabilidad para planetas de rotación sincrónica con su movimiento de translación podría ser más amplia que los límites tradicionales, lo que puede permitir la existencia de planetas habitables en otros lugares del sistema.

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Tres problemas fáciles.

1. Pon en cada casilla los signos aritméticos (+, -, x, ÷) necesarios para llegar la resultado.

4 2

3 = 20

↑↑ 5 5

2. The three digit number 5A4 is divisible

by 4 and the three digit number 37B is divisible by 3. Determine the largest positive difference between 5A4 and 37B.

3. Sobre la mesa hay tres cartas de baraja

colocadas en fila. Una es de oros, otra de copas y otra de espadas. Una es un cuatro, otra un seis y otra un caballo. Con las siguientes pistas, averigua en qué orden están. 1. La de oros está a la derecha de la de espadas (aunque puede que no estén juntas)

2. El seis está a la izquierda de la de espadas (aunque puede que no estén juntos)

3. El caballo está a la derecha del cuatro (aunque puede que no estén juntos)

Y tres no tan fáciles.

1. Manuel puede cortar el césped de su jardín de dos modos: con el viejo cortacésped le cuesta una hora, y con el nuevo sólo 14 minutos. Cuando ha cortado el 90% del césped con el nuevo, éste se para y tiene que acabar con el viejo. ¿Cuánto tiempo ha estado Manuel cortando el césped?

2. El producto de cinco números primos impares es del tipo ABCAB, con C=0. Determina todas las posibilidades de elegirlos.

0

3. El área del triángulo ACD es doble que la del cuadrado BCDE, cuyos lados miden 10 cm., si F es el punto de intersección de AD y BE, determina el área del cuadrilátero BCDF.

Recuerde nuestras direcciones: materranya@yahoo.es

http://www.catedu.es/materranya