49

RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI

Generalità

I procedimenti per le proiezioni ortogonali di un solido sono del tutto analoghe a quelle utilizzate per le figure piane.

Si basano infatti sulle proiezioni degli elementi notevoli costituenti un solido, cioè gli spigoli e i relativivertici, che ne delimitano lefacce e il volume.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

50

Tutti i solidi rappresentati, ad accezione della sfera, hanno la base sopra il primo quadro, la quale risulta in prima proiezione nella sua vera forma.

Proiezioni ortogonali di un cubo retto con asse perpendicolare al piano π1.

Questo caso particolare mostra la stessa immagine sui due piani di proiezione. In ogni proiezione vediamo sovrapporsi le due facce opposte;coincidono quindi i lati che le limitano, i loro estremi e i vertici del cubo. Per questo motivo l’immagine proiettata è sempre contraddistinta da una doppia denominazione dei punti notevoli.

RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI

REGOLARI AD ASSE VERTICALE

G’= C’

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

51

solidi regolari ad asse verticale

Proiezioni ortogonalidi una piramide retta a base quadrata.

Partendo dalla proiezione sul piano π1conduciamo le proiettanti al piano π2, riportandovi l’altezza

del solido.Notiamo che sul piano π2 compaiono linee tratteggiate

rappresentanti gli spigoli nascosti. L’altezza và indicata con linea tratto punto.

Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo rettoRappresentiamo sul piano π1 la proiezione in vera grandezza delle due basi rettangolari sovrapposte. Essendo il parallelepipedo appoggiato sul π1, coincide anche la base inferiore che nelle altre proiezioni disegneremo coincidente con la LT.Riportiamo poi su π2 l’altezza del solido determinando l’aspetto frontale e laterale. In questo caso gli spigoli nascosti coincidono con quelli in vista, per cuinon compaiono linee tratteggiate.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

52

solidi regolari ad asse verticale

Proiezione ortogonale di un cilindro retto con asse perpendicolare al piano π1.

Proiezioni ortogonali di un cono retto con asse perpendicolare al piano π1.

Disegniamo sul piano π1 la proiezione della circonferenza di base, dichiarando come punti

notevoli il centro (corrispondente a V’ prima proiezione del vertice V) e le intersezioni sulla

circonferenza del diametro. Quindi proiettiamo sul piano π2 riportando l’altezza del cono, di cui

indichiamo il volume con i segmenti V’’ A’’ e V’’ B’’.(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

53

RAPPRESENTAZIONE DI SEZIONI

DI SOLIDI. GeneralitàSezionare un solido significa tagliarneuna porzione servendosi di un pianoche attraversandolo ne separa le parti,individuando una superficie interna,detta appunto sezione.Per determinare il contorno della sezione sarà sufficiente individuare i punti di intersezione fra gli spigoli del solidoe la traccia del piano sezionantevisto in scorcio totale. Per fare ciò, dobbiamo servirci di un piano ausiliario che posizionato perpendicolarmente rispetto al piano sezionante avrà su di se lo scorcio totale della sezione.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

54

Intersezione di una retta f con un parallelepipedo ad asse verticale.Applicando le considerazioni fatte sopra si trova facilmente il punto I di incontro con la f, con la faccia ADGE forata, individuando I’e successivamente I’’.Analogamente il punto L d’incontro con la f con la faccia BCHFsi trova individuando L’e successivamente L’’.

INTERSEZIONI

LT

1

2

C'= H'A'= E'

B'= F'

D'= G'

A"

F" G"

C"D"B"

E" H"

I'T1f

T2f

L'

I"

L"

f'

f"

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

55

RAPPRESENTAZIONE DI SEZIONI

DI SOLIDI

Proiezioni ortogonalidi un parallelepipedosezionato da un pianoperpendicolare al piano π1e inclinato rispetto al piano π2.Partendo dallo scorcio totaledella sezione in prima proiezione,è possibile disegnarela seconda proiezione della sezione in scorcio parziale.

Nota:I solidi non devono essere parzializzati, restano interi. Il piano di sezione è per convenzione trasparente.Le linee nascoste sono tratteggiate.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

56

sezioni di solidi

Proiezioni ortogonali di un cubo sezionatoda un piano perpendicolare al piano π2ed inclinato rispetto al piano π1.La sezione si presenta in scorcio totale sulla seconda proiezione e in scorcio parziale sulla prima proiezione.

Proiezione ortogonale di una piramide retta a base quadrata sezionata da un piano parallelo al piano π1.

La parte di traccia di α2 che attraversa il solido coincide con lo scorcio totale della sua sezione in quanto il π2 risulta

perpendicolare al piano sezionante.I punti di intersezione fra gli spigoli della piramide e π2 sono i

punti di contorno della sezione che proiettatiin prima proiezione sugli spigoli corrispondenti,

individuano il contorno della sezione operata.(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

57

RICERCA DI VERA FORMA E GRANDEZZA DELLE SEZIONI DI SOLIDI

Quando la sezione di un solido si presenta in vista di scorcio in tutte le sue proiezioni, possiamo ritrovarne la vera forma e grandezza ribaltando su uno dei piani fondamentali il piano sezionante che la contiene.

Vera grandezza della sezione di un parallelepipedo tagliatoda un piano perpendicolare al piano π1e inclinato rispetto al piano π2.Usando come asse di rotazionela traccia α2, ribaltiamo il piano sezionante a, e con esso la sezione, fino a farlo coincidere con il piano π2, su cui la sezione si mostrerà in vera forma e grandezza.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

58

Vera grandezza della sezionedi un cubo tagliato da un piano perpendicolare al piano π2ed inclinato rispetto al piano π1.In questo caso il ribaltamento del piano sezionante è stato effettuato sul π1, usando come asse di rotazione la prima traccia di α.E’ sul π1 quindi che otterremo l’immagine della sezione in vera forma e grandezza.

vera forma e grandezza

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

59

SEZIONI CONICHE. CILINDRI

GENERATRICE

VERTICE IMPROPRIO (all'infinito)

DIRETTRICE

Rappresentazione di cilindri e coniche.

Ricordando che una superficie cilindrica si può sempre pensare come una superficie conica il cui vertice è un punto improprio, in questo caso abbiamo un cilindro.

Esso può anche configurarsi come una superficie che si ottiene, proiettando da un punto improprio (vertice) tutti i punti di una curva (direttrice) non appartenente al vertice; oppure, come una superficie rigata, creata da una generatrice che scorre su una linea fissa (direttrice),mantenendosi parallela a se stessa.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

60

Rappresentazione di cilindri e coniche.

Determinazione di un punto P, di cui è data la prima immagine, sulla superficie di un cilindro, a basi parallele, del quale siano note una direttrice D e una generatrice s.

Se D1 è la direttrice su p1 essa è la generatrice dl cilindro e P1 la prima immagine del punto P, per la soluzione del problema è sufficiente far passare per P1 una retta generatrice,parallela a quella assegnata, in prima e seconda proiezione e trovare P2 mediante una retta di proiezione passante per P1.

SEZIONI CONICHE. CILINDRI

2

1

LTD2

D1 C1

C2

P1

P2

s2

s1

r2

r1

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

61

2

1

LT

A"

B"

V"

A'

B'

V'

1= r'

2

r"

Rappresentazione di cilindri e coniche.

Intersezione fra un cilindro e una retta.Trovare il punto di entrata e di uscita determinato dall’intersezione di una retta con un cilindro.

Il problema si risolve facendo passare per la retta r un piano proiettante α, verticale. La prima traccia α1 coincida con r1. Questo piano intersecherà il cilindro secondo un rettangolo formato dalle generatrici di A, e B e dalle secanti. La retta r attraversa le generatrici nei punti A = (A’, A’’) e B = (B’, B’’) che sono i punti cercati.

SEZIONI CONICHE. CILINDRI

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

62

SEZIONI CONICHE GENERALITA’

VERTICE

ASSE

GENERATRICE

DIRETTRICE

Definiamo cono quadrico o circolare, quello che ammette, fra le sue direttricipiane, una circonferenza: un cono circolare, dicesi retto, quando il vertice cade sulla normale condotta per il centro della direttrice; obliquo, quando ciò non accade.Sezionando un cono retto oppure obliquo che sia, con un piano non passante per il vertice, si determinano, sezioni diverse, che prendono il nome di conichecaratterizzate però da proprietà geometriche comuni. Consideriamo a questo proposito, un cono circolare retto e un piano proiettante α: questo può assumere tre posizioni diverse.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

63

Intersezione di una retta con un solido.In generale possiamo dire che si tratta di trovare i due punti in cui la retta r fora la superficie del solido. Le proiezioni di tali punti dovranno soddisfare la proprietà di essere, sopra una stessa normale alla LT, della superficie del solido intersecate da r.

Questi punti comuni di una retta con il solido si determinano mediante il piano ausiliario proiettante verticalmente o orizzontalmente la retta.Definite le tracce del piano ausiliario si determina la sezione di questo piano col solido e sulle proiezioni della sezione troveremo anche le proiezioni dei punti di intersezione cercati.

INTERSEZIONI DI RETTE E SOLIDI

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

1

LT

2

A" B"

V"

A' B'V'1'

2'

3'

4'

X'

Y'

X"

Y"

r"= 2

r'

1

64

Cono intersecato da una retta qualsiasi.Considerato il piano ausiliario sezionante α2=r” e α1, si determinano le proiezioni della sezione; comuni a queste e a quelle proiezioni della retta data, si individuano X’ Y’ e X” Y”, proiezioni dei punti di intersezione fra retta e solido.

INTERSEZIONI

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

65

SEZIONI CONICHE GENERALITA’

Il piano proiettante α, non parallelo all’asse del cono, attraversa il solido da parte a parte e non incide la sua base. Come già visto questo piano genera una ellisse.

1

LT

2

V" V"'

1"'

4"

4' 1'

1"

4"'

2"'

2'

3"'3"

2"

1*2*3*

4*

3

V'

( )2

1

2

O

3'

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

66

SEZIONE CONICA ELLITTICA. proiezioni ortogonali

Considerato un piano sezionante α perpendicolare a π2 e inclinato rispetto a π1(con inclinazione maggiore della retta generatrice del cono), troviamo le varie proiezioni e l’immagine in vera grandezza, della sezione ellittica che si produce nella maniera seguente:• Servendosi dei piani ausiliari β, γ e δ paralleli alla π1, identifichiamo sulla sezione in scorcio totale i suoi punti notevoli. • Proiettando da essi sulla prima proiezione sul piano α ribaltato su π2, possiamo individuare la vera grandezza della sezione che è un ellisse.

1

LT

2

V" V"'

1"'

4"

4' 1'

1"

4"'

2"'

2'

3"'3"

2"

1*2*3*

4*

3

V'

( )2

1

2

O

3'

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

67

SEZIONI CONICHE GENERALITA’

In questo caso piano proiettante α, non parallelo all’asse del cono, incide la sua base, generando una parabola.

1

LT

2

A" B"

V"

A' B'

V"'

3

V'

A"' B"'

1"'

4"'

2"'

3"'

4"

1"

3"

2"

4'

1'2'

3'

1*

2*

3*

4*( )2

1

2

O

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

68

SEZIONE CONICA PARABOLICA. proiezioni ortogonali

1

LT

2

A" B"

V"

A' B'

V"'

3

V'

A"' B"'

1"'

4"'

2"'

3"'

4"

1"

3"

2"

4'

1'2'

3'

1*

2*

3*

4*( )2

1

2

O

In questo caso il piano sezionante α è inclinato rispetto al piano π1 e parallelo alla retta generatrice del cono.

La sezione risultante è quindi una parabola,di cui individuiamo i punti con procedimento analogo al precedente.

Nell’esempio sono stati utilizzati solo tre piani ausiliari β, γ e δ.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

69

SEZIONI CONICHE GENERALITA’

In questo caso piano proiettante α, è parallelo all’asse del cono, incide la sua base generando una iperbole. I tre casi visti sono risolvibili tutti con l’ausilio di piani che consentono di determinare i punti di intersezione piano/cono per descrivere la curva generata. Maggiore sarà il numero dei piani presi migliore sarà la precisione della curva.

1

LT

2

V" V"'

1"'

4"

4'

1'

1"

4"'

2"'

2'

3"'3"

2"

3

V'

( )2

1

2

O

3'

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

70

SEZIONE CONICA IPERBOLICA proiezioni ortogonali

Il piano sezionante è perpendicolare al piano π1 e π2 e parallelo all’asse del cono.

La sezione conica così prodotta è un’iperbole, che troviamo in vera grandezza in terza proiezione, grazie ai piani ausiliari β, γ e δ paralleli al piano π1.

1

LT

2

V" V"'

1"'

4"

4'

1'

1"

4"'

2"'

2'

3"'3"

2"

3

V'

( )2

1

2

O

3'(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

71

Intersecare due solidi significa fonderli in un unico volume, che assume nuove caratteristiche spaziali.

Quando i due solidi si intersecano determinano una compenetrazione che può essere completa o parziale.

INTERSEZIONI DI SOLIDI

Nelle proiezioni ortogonaliil procedimento consiste nel

disegnare i due solidi e il loro confine reciproco detto linea di intersezione.

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

72

Attraverso le proiezioni ortogonali possiamo individuare gli elementi caratteristici della compenetrazione dei due solidi.

Proiettiamo quindi i due cubi, uno alla volta sui piani fondamentali.Avremo così in evidenza il nuovo volume, nonché le porzioni di spazio comuni ai due solidi.Viene a delinearsi nelle due proiezioni la linea di intersezione che limita il confine fra i due cubi.

INTERSEZIONI DI SOLIDI

Intersezioni di due cubi ruotati fra loro.

3

A'= B' C'= D'E'= F'

G'= H'

B"

A"

C"

D"

F"= H"

E"= G"

H'"

G'"E'"

F'"B'"=C'"

A'"=D'"

LT

1

2

O

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it

73

Intersezione di un prisma triangolare orizzontale con un parallelepipedo verticale.

Le due superfici hanno gli assi che non si incontrano.

Con l’ausilio della figura disegnata su un piano laterale (definibile anche piano ausiliario), che rappresenta la proiezione sopra un piano normale a π1 restituisce l’immagine sul piano ausiliario, dei solidi visti da sinistra, si determinano, per punti, le proiezioni delle linee di intersezione delle due superfici.

INTERSEZIONI DI SOLIDI

LT

1

2

F" G"E" H"

F'

A'

C'

D'

B'

E'

A"

B"

C"

D"

E"

F" A*= F*

E*= B*

C*

D*

1

2

(C) g

iovan

ni mon

giello

- Polib

a.it