rapport de projet de première année conception d’un...

ECO

LE N

ATI

ON

ALE

DES PONTS ET CHAUSSEES

Rapport de Projet de Première Année

Conception d’un xylophone

Réalisé par Lionel Lacassin et Olivier Lachambre

Encadré par Denis Duhamel et Hai-Ping Yin

Le 11 février 2003

Remerciements

Nous tenons à remercier nos tuteurs de projets, MM. Denis Duhamel et Hai-Ping Yin, qui ont tous deux

fait preuve de la plus grande compétence, de beaucoup de patience et de gentillesse dans l’encadrement de

ce projet, ainsi que les membres du LAMI qui nous ont aidés, notamment lors des séances de mesure en

laboratoire et lors de la réalisation du xylophone.

3

Introduction

A première vue assez «artistique», ce sujet de projet de première année a été pour nous la porte d’entrée

de la physique musicale, domaine passionnant et varié, encore assez largement inexploré.

A défaut d’explorer des domaines inconnus du monde scientifique, nous en avons découvert et appro-

fondi qui nous étaient encore étrangers au début de cette année : mécanique des milieux continus, théorie

du rayonnement sonore. . .

Cependant, nous n’avons pas abordé que des sujets théoriques : après avoir vérifié en partie, de ma-

nière expérimentale, la validité de la théorie développée précédemment, nous avons réalisé ce qui n’était

plus seulement un prétexte à notre projet, mais son véritable aboutissement, c’est-à-dire un instrument de

musique totalement opérationnel.

Ce xylophone - en réalité un métallophone, car notre instrument est en aluminium et non en bois -

produit même un son tout-à-fait agréable, après qu’on l’eût grossièrement et empiriquement accordé.

5

Table des matières

1 Éléments d’acoustique musicale 9

1.1 La gamme musicale occidentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Le timbre de la voix et des instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 La perception du son par l’oreille humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Les différents types de vibraphone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Théorie mécanique et acoustique du xylophone 13

2.1 Théorie mécanique de la vibration des poutres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3 Détermination des constantes en fonction des conditions limites . . . . . . . . . . 14

2.2 Rayonnement sonore d’une poutre vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Les équations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Précisions sur les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Rayonnement des ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Mesures de la vibration d’une poutre 19

3.1 Description du matériel utilisé et du protocole expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Instruments d’excitation et de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Protocole expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Vibration d’une poutre à section carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Interprétation des résultats et confrontation à la théorie . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Vibration d’un poutre à section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2 Interprétation des résultats et confrontation à la théorie . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Réalisation et tests du xylophone 27

4.1 Dimensionnement du xylophone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Confrontation de la pratique à la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7

8 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Éléments d’acoustique musicale

Nous allons ici brièvement présenter, à l’usage d’un public novice en matière musicale, les bases de

l’acoustique musicale.

1.1 La gamme musicale occidentale

La gamme occidentale classique est composée d’octaves, divisées en��

demi-tons chacune.

On choisit comme référence, par exemple, le la �� , qui correspond à fréquence de �� (il s’agit de

la fréquence de la tonalité du téléphone en France). Depuis cette note, on obtient les autres en multipliant

cette fréquence par�� pour passer au demi-ton supérieur, ou en divisant cette même fréquence par

�� pour atteindre le demi-ton inférieur.

Le lecteur aura compris que l’on passe à l’octave supérieure ou inférieure en multipliant ou en divisant

une fréquence donnée par� ��

.

On donne ci-dessous, accompagnées des fréquences qui leur correspondent en �� , les notes de la

gamme de do, sur une octave comprenant le la �� :

ré mi fa la si dosol

ré# fa# sol# la#

do

do#

261,6 293,7 349,2 392,0 493,9 523,3

311,1 370,0 415,3 466,2277,2

440,0329,6

1.2 Le timbre de la voix et des instruments

La théorie présentée jusqu’à maintenant supposait que le son émis par un instrument de musique était

purement sinusoïdal, c’est-à-dire que l’on pouvait lui attribuer une fréquence unique. Les sons sinusoïdaux

9

10 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D’ACOUSTIQUE MUSICALE

purs sont très rares dans la «nature» (ils peuvent par contre être aisément générés en laboratoire), et sont

pauvres d’un point de vue musical.

En réalité un son émis par un instrument de musique est composé de nombreuses composantes fréquen-

tielles, appelées harmoniques, qui donnent à l’instrument ou à la voix son timbre.

On peut présenter de la manière suivante un modèle simplifié d’un son instrumental : une note est

composée de la superposition d’une fréquence fondamentale � , et d’harmoniques correspondant aux fré-

quences� � , �� , �� , etc. A priori, toutes les harmoniques sont présentes dans le son considéré, mais avec

des amplitudes propres à chacune. C’est la répartition de ces amplitudes entre les différentes fréquences

qui va donner son timbre au son produit, et qui va nous permettre de reconnaître la voix d’un proche par

exemple.

Il faut cependant garder en tête que le signal que l’on a décrit ici possède une extension temporelle

infinie : il n’a ni début, ni fin, et est invariable dans le temps. Une note de musique, quant à elle, est en

général composée d’une attaque, puis de la note elle-même qui diminue d’amplitude avec le temps. La

composition fréquentielle du signal évolue dans le temps, et avec elle les harmoniques présentes dans le

signal.

Une autre limite au modèle présenté est le fait que les harmoniques ne sont pas entière pour certains

instruments, dont le xylophone que nous avons conçu (voir à ce sujet le chapitre suivant).

1.3 La perception du son par l’oreille humaine

La description que nous avons faite jusqu’à présent ne tient pas compte du tout de la perception du son

par l’oreille humaine, qui «corrige» très fortement la nature des sons mesurés par des appareils physique.

Tout d’abord, l’oreille humaine n’est sensible qu’à une gamme de fréquence restreinte comprise environ

entre� �� et

� �� . Ensuite, elle est surtout sensible à l’intervalle de fréquence correspondant à la voix

humaine, ce que l’on peut observer sur le graphique suivant :

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 50

0

IdB

log(f)

Seuil d’audibilité

VoixHumaine

Seuil de douleur

Ainsi, il ne faudra considérer dans une étude acoustique d’un instrument de musique que les sons émis

dans cette gamme de fréquence.

1.4. LES DIFFÉRENTS TYPES DE VIBRAPHONE 11

1.4 Les différents types de vibraphone

L’instrument que nous étudions dans ce projet n’est pas à proprement parler un xylophone - mot qui

a été choisi pour des raisons de lisibilité de l’intitulé du sujet - mais un métallophone, qui est plus facile

à réaliser et à étudier qu’un xylophone (le bois est un matériau autrement plus complexe que le métal) et

qui donne un résultat plus satisfaisant du point de vue de la puissance d’émission sonore notamment. Tous

les instruments de cette famille sont qualifiés de vibraphones, quel que soit le matériau utilisé dans leur

construction.

Il existe des vibraphones de natures très diverses, et qui diffèrent par les caractéristiques suivantes :

– le matériau utilisé : bois, métaux, éventuellement céramique ou autres

– la géométrie des poutres : parallélépipédique ou autre

– les dimensions des poutres, et par là le registre en fréquence du xylophone

– la présence ou non d’une caisse de résonance, appelée aussi résonateur

– ...

12 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D’ACOUSTIQUE MUSICALE

Chapitre 2

Théorie mécanique et acoustique du

xylophone

2.1 Théorie mécanique de la vibration des poutres.

Cette partie consiste à mettre en place un modèle de poutre de manière à connaître son comportement

dynamique et ainsi de prévoir ses modes de vibration propres. Pour cela, on considère une poutre métallique

de longueur � , de largeur � et d’épaisseur � .

L

a

h

dx

2.1.1 Mise en équations

Considérons un élément infinitésimal de cette poutre de longueur � .

dxx x+dx

M(x) M(x+dx)

F(x)

F(x+dx)

On montre dans un premier temps que le moment des efforts intérieurs appliqués à l’élément étudié

s’exprime, conformément aux lois de comportement des matériaux, sous la forme :

� �� 13

14 CHAPITRE 2. THÉORIE MÉCANIQUE ET ACOUSTIQUE DU XYLOPHONE

Où � représente le module d’Young du matériau considéré et le moment d’inertie directement relié à

la section locale de la poutre.

D’autre part, en exprimant l’équilibre d’un tel élément soumis à chargement, on montre que le champ

des efforts intérieurs suit la relation : Figure 2 et� � � ��

� ��

��

Ainsi en appliquant le principe fondamental de la dynamique à l’élément considéré, il vient une équa-

tion différentielle régissant le mouvement de la poutre :� � � ��

Nous n’explorerons que le cas où �� est constant, c’est à dire le cas où la section de la poutre est

constante. Nous verrons plus tard que jouer sur la section de la poutre localement nous permettrait de

maîtriser l’amplitude des différentes harmoniques. Ainsi, l’équation précédente devient :

� � ��

2.1.2 Résolution de l’équation

Pour la résolution de cette équation passons dans le domaine complexe avec �� . Ainsi,

on montre d’une part que la vitesse de propagation � de l’onde dépend de sa fréquence (d’où le caractère

dispersif de la poutre) : � � � � ! �"�D’autre part, toute solution de l’équation peut s’écrire sous la forme :

� �$#&%(')�*� �)+-, �/.10 #&%2'43 � � �� +65 '�71893 � � �� +-: #;%2' � � �� +=< '�718 � � �� >Ceci avec 0 ,

5,:

, et<

des constantes réelles dépendant des conditions aux limites imposées à la

poutre (notamment les conditions d’appui).

2.1.3 Détermination des constantes en fonction des conditions limites

Dans le cadre du xylophone, on considère que les poutres sont totalement libres. De ce fait, on com-

prend qu’aux extrémités de la poutre, aucun moment ni force de cisaillement n’est appliqué, ce qui se

traduit mathématiquement par les conditions en � � � et en � � � :?A@ �B@DC � � E Pas de force de cisaillement appliquée@DF B@DC F � � E Pas de moment appliqué

Ceci nous donne la relation suivante entre G et H :IKJ 8 � �� : �ML IKJ 893 � �� :

2.2. RAYONNEMENT SONORE D’UNE POUTRE VIBRANTE 15

Les solutions de l’équationIKJ 8 � �� L IKJ 893 � �� sont les abscisses des points d’intersection des trois

courbes sur le graphique suivant :

0

y

2 4 6 8 10

x

Ceci nous permet enfin de trouver toutes les fréquences de résonance de la poutre :�� ! �"�$#%#$#$�'&)(�*,+ �'- ��$#%#$#%.Si l’on considère que

�/�102/346567 8�9:�; �� est la fréquence fondamentale de la barre, on s’aperçoit

que les autres fréquences de résonance de la poutre ne sont pas des multiples entiers de cette fréquence

fondamentale (mais presque).

2.2 Rayonnement sonore d’une poutre vibrante

2.2.1 Les équations de base

L’acoustique est une partie de la mécanique des fluides puisque le son résulte de la propagation d’ondes

de pression dans l’air. Ainsi, en notant,�

la masse volumique de l’air et <= > sa vitesse, on utilise les équations

suivantes :

L’équation de Navier-Stokes?�A@'B <= ? >BDC +FE <= ? >HG <�< =grad I G <=? >KJ �L� E <�< =grad

� I + <= �L’équation de conservation de la masseBNM�BDC + div

E � <= M> I � MOOn peut, dans le cas de l’acoustique, supposer que les phénomènes ondulatoires se résument à de petites

perturbations autour de situations d’équilibre caractérisée par une masse volumique de l’air�6P

, une vitesse


nulle et une pression nulle. On peut alors écrire�� + ��G � � + G�� + �

En rajoutant à ces approximations la relation liant la pression � , la masse volumique � et la vitesse � du

son estimée à � �� : � � � � �on obtient le système d’équations suivant, en notant � l’ensemble des forces volumiques appliquées au

fluide ?�� @��@ � + � � div

�� G � �� @ �� @ � +��

Ce qui nous permet de mettre en place l’équation d’onde de d’Alembert qui régit la propagation des

ondes sonores dans un milieu continu :

�� div �

Si désormais, on passe dans le domaine complexe, l’équation précédente devient l’équation de Hel-

motz :

�� ! � � + � � � � div

��

2.2.2 Précisions sur les conditions aux limites

Le terme F désignant l’ensemble des forces volumiques appliquées au fluide permet en fait de relier

les vibrations des poutres du xylophone et la naissance des ondes sonores dans l’air. En effet, il faut qu’a

l’interface métal air, il y ait continuité de la vitesse normale d’une part, et de la pression d’autre part.

"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#""#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#""#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#""#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#""#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$#$

σSolide

Champ de déplacement

Tenseur des efforts intérieurs

u(x,t)

Vitesse

PressionFluide

v(x,t)

p(x,t)

La continuité de la pression s’écrit %'& ( ) *,+.-0/( ) 1324La continuité de la vitesse normale s’écrit5 26 75.8 ( 26 )91 26 : ( 26 )

2.2. RAYONNEMENT SONORE D’UNE POUTRE VIBRANTE 17

2.2.3 Rayonnement des ondes sonores

On cherche dans cette partie à évaluer l’état physique � �� G�� en tout point de l’espace, connaissant l’état

vibratoire des poutres. Pour cela, connaît l’équation de Helmotz et on introduit la fonction de Green G, qui

vérifie cette équation, s’exprimant de la façon suivante :

� � �� avec � �� B + � � � �� On montre alors, après un calcul assez long, que l’on peut exprimer la pression en tout point de l’espace

de la manière suivante : � � �� surface de

la poutre

� � ��

Que l’on peut mettre sous la forme suivante, � étant une constante et une application fonction dé-

pendant uniquement de � : � � �� #&%('�� θ

Direction d’écoute

Un résultat est à retenir de ce calcul. Il montre en effet que le rayonnement sonore de la poutre est essen-

tiellement reparti au-dessus et au-dessous d’elle, théoriquement il devrait être nul dans son plan horizontal.

La poutre se comporte en fait comme un dipôle physique.

Voici l’amplitude de l’onde acoustique en fonction de l’angle d’écoute :

–1

–0.5

0.5

1

Chapitre 3

Mesures de la vibration d’une poutre

Dans tout ce chapitre, on utilise des barres d’acier pour réaliser nos expériences, on rappelle que l’acier

a un module d’Young � de l’ordre de� � � �� et une masse volumique � de l’ordre de �� .

3.1 Description du matériel utilisé et du protocole expérimental

3.1.1 Instruments d’excitation et de mesure

L’excitation de la barre est réalisée grâce au marteau suivant, qui fait a aussi pour fonction d’enregistrer

l’impulsion fournie à la barre :

L’accélération de la surface de la barre est mesurée grâce à un accéléromètre :

19

20 CHAPITRE 3. MESURES DE LA VIBRATION D’UNE POUTRE

Le signal enregistré peut aussi provenir d’un microphone, mais doit dans ce cas être amplifié par l’am-

plificateur suivant :

Tous les signaux sont ensuite enregistrés et analysés par un analyseur, comme celui-ci :

3.2. VIBRATION D’UNE POUTRE À SECTION CARRÉE 21

Nous avons réalisé des mesures d’accélération assez peu fructueuses grâce à cet appareil pourtant assez

performant, mais dont les données sont difficilement exportables pour être exploitées par un ordinateur par

exemple.

Les analyseurs modernes ne sont en réalité que des interfaces de capture du signal, qui est ensuite en-

voyé sur un ordinateur et entièrement traité de façon logicielle. Cela représente un avantage énorme par

rapport à la génération précédente d’analyseurs, en terme de coût, de puissance de traitement, d’encombre-

ment, et surtout de possibilité d’exportation des données pour exploitation dans d’autres environnements

logiciels.

Les graphiques qui suivent ont tous été obtenus de cette manière, grâce à un analyseur moderne présent

dans un des laboratoires de l’école.

3.1.2 Protocole expérimental

Les mesures suivantes ont été réalisés à l’aide d’un marteau (excitation de la barre) et d’un microphone

placé à distance constante de la barre -� � � - (mesure du son produit).

Les graphiques produits sont les rapports des transformées de Fourier de chacun des deux signaux

( microphonemarteau ), c’est-à-dire la fonction de transfert en fréquence de la barre soumise à une excitation méca-

nique(si l’on considère la réponse à l’excitation comme étant linéaire, ce qui n’est aberrant).

Pour chacune des deux géométries, nous avons fait deux mesures : l’une en plaçant le microphone dans

le plan de l’excitation réalisée par le marteau, l’autre dans le plan normal à cette même excitation.

3.2 Vibration d’une poutre à section carrée

La poutre utilisée dans ce paragraphe est une barre d’acier, de � �� de longueur et de section carrée� � � � �� .


3.2.1 Résultats

Mesure dans le plan de l’excitation :

Frequency Response H1( microphone,Marteau) - Input (Magnitude)

Working : Input : Input : FFT Analyzer

0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]

Frequency Response H1(microphone,Marteau) - Input (Magnitude)Working : Input : Input : FFT Analyzer

0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]

[dB/1,00 Pa/N]

Mesure dans le plan normal au plan de l’excitation :

3.2. VIBRATION D’UNE POUTRE À SECTION CARRÉE 23



0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]


0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]

[dB/1,00 Pa/N]

3.2.2 Interprétation des résultats et confrontation à la théorie

Tout d’abord, on peut distinguer sur ces deux graphiques, les mêmes fréquences de résonance de la

barre d’acier, qui sont reportées dans le tableau suivant, accompagnées des fréquences théoriques corres-

pondantes.

Fréquence expérimentale de résonance � � Fréquence théorique de résonance � � Rapport��

�� On peut observer un écart important (près de

� � ) entre les valeurs expérimentales et théoriques, mais

cet écart est constant, ce qui laisse supposer :

– qu’une erreur d’identification ou de mesure du matériau s’est immiscée dans nos calculs.

– que le modèle déterminé dans la partie théorique est relativement intéressant, puisqu’il nous permet

de prévoir les harmoniques supérieures de la barre de métal, une fois connue la fréquence fondamen-

tale de vibration.

Par contre, ces mesures ne révèlent pas clairement le phénomène de directivité des émissions sonores de la

barre. Ceci est dû d’une part au fait que la géométrie de la barre ne privilégie pas les vibrations verticales

par rapport aux vibrations verticales (la rigidité de la barre dans les deux directions est la même), et d’autre

part au fait que l’excitation produite par le marteau n’est en réalité pas dans un plan vertical, car elle est

réalisée de manière imprécise, à la main.


3.3 Vibration d’un poutre à section rectangulaire

La poutre utilisée dans ce paragraphe est une barre d’acier, de � � � de longueur et de section

rectangulaire � � � �� .

3.3.1 Résultats

Mesure dans le plan de l’excitation :



0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]


0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]

[dB/1,00 Pa/N]

Mesure dans le plan normal au plan de l’excitation :

3.3. VIBRATION D’UN POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE 25



0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]


0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1,6k

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

[Hz]

[dB/1,00 Pa/N]

3.3.2 Interprétation des résultats et confrontation à la théorie

Contrairement au cas de la barre à section carrée, seule la mesure dans le plan de l’excitation de la

barre par le marteau permet de déterminer les fréquences de résonance de la barre, qui sont reportées dans

le tableau suivant, accompagnées des fréquences théoriques correspondantes.

Fréquence expérimentale de résonance � � Fréquence théorique de résonance � � Rapport� ��

� � � � ��

Encore une fois, les écarts entre la théorie et la pratique sont très importants (environ� � ), mais

toujours constants, c’est pourquoi nous émettons les mêmes réserves et conclusions sur ce calcul que dans

le paragraphe précédent.

Cependant, on peut mesurer à présent une forte directivité de l’émission sonore de la barre. Celle-ci est

présente alors qu’elle ne l’était pas dans le cas précédent, car la direction de l’excitation (direction normale

à la face de plus grande largeur) est maintenant une direction privilégiée pour la vibration de la barre (la

rigidité de la barre est beaucoup plus faible dans cette direction que dans l’autre).

On n’a cependant pas pu mesurer quantitativement la formule � � �� #;%2'�� , pour la raison

expliquée ci-dessous.

On ne peut envisager de choisir l’angle � avec une incertitude inférieure à� � �

. Choisissons un angle��

, alors #&%('�� ce qui correspond à une diminution de � de l’ordre de � � 5 (l’échelle verticale


du tracé de la fonction de transfert est logarithmique). Or, cette valeur de � � 5 est très faible par rapport

aux variations de � dues aux mauvaises conditions de l’expérience : bruit parasite de l’ordinateur et de la

ventilation, mauvaise maîtrise de l’excitation provoquée par le marteau, etc. C’est pourquoi nos tentative de

mesures quantitatives de la directivité du rayonnement sonore sont restées vaines, et que nous nous sommes

contentés ici de mesurer l’aspect qualitatif du phénomène de directivité.

Chapitre 4

Réalisation et tests du xylophone

A partir de la théorie précédemment développée, nous touchons maintenant au but de ce projet : la

réalisation effective du xylophone. Outre une satisfaction personnelle non négligeable, ce produit fini nous

permet aussi de vérifier expérimentalement la validité des modèles utilisés et ainsi se rapprocher des dé-

marches d’étude de recherche faisant interagir modèle et expérimentation dans le but de se rapprocher

d’une réalité physique.

4.1 Dimensionnement du xylophone

Les poutres que nous utilisons pour la conception sont en aluminium, dont les caractéristiques sont� � � � �� , � � � � �� .� � � , et présentent une section � �� . Notre objectif est de compléter

les gammes déjà réalisées par nos homologues des années précédentes, c’est pourquoi nous avons choisi

de tailler des poutres adéquates aux deuxièmes et troisièmes octaves étant donné que les quatrièmes et

cinquièmes ont déjà été réalisées.

A la lecture des rapports des années précédentes, il nous a paru inutile d’accorder les barres à l’aide des

appareils de mesures en fréquence puisque l’accéléromètre notamment à tendance à perturber les mesures.

27

28 CHAPITRE 4. RÉALISATION ET TESTS DU XYLOPHONE

De plus, notre but étant de compléter la gamme déjà construite, il nous semblai plus important de respecter

les intervalles musicaux avec les poutres déjà taillées plutôt que de s’attacher formellement aux formules

donnant la longueur de la barre en fonction de la fréquence désirée.

Notre démarche de construction a donc été la suivante : nous savons que pour un demi-ton, le rapport

des fréquences est de� �� , et qu’ainsi le rapport des longueurs est de

� � �� , étant donnée la formule reliant

la longueur des poutres et leur fréquence fondamentale :

� � � � � ��

��! �"�

Nous avons donc continué les découpes de nos poutres à partir de la première poutre de l’année précé-

dente en respectant l’évolution géométrique des longueurs.

Il était clair que la découpe ne pouvait pas être précise avec une seule scie à métaux, c’est pourquoi nous

avons coupé toutes nos barres un millimètre de plus que ce qui était prévu (suivant la suite géométrique)

pour ensuite accorder les poutres à la lime et à l’oreille en ayant comme référence un générateur midi sur

ordinateur qui constitue une base de confiance pour l’accord.

4.2 Confrontation de la pratique à la théorie

Cependant, il est intéressant de mettre alors en vis à vis les longueurs théoriques et les longueurs

pratiques pour vérifier la validité des modèles utilisés :

Note Fréquence Longueur théorique Longueur effective Écart relatif

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La �� On se rend compte que les longueurs théoriques et pratiques se recoupent puisqu’on ne dépasse jamais� d’écart relatif. Deux enseignements sont à tirer de ces résultats : d’une part les longueurs taillées les

années précédentes étaient justes, et d’autre part, le modèle utilisé est validé.

4.2. CONFRONTATION DE LA PRATIQUE À LA THÉORIE 29

Conclusion

Ce projet ne peut pas être considéré comme achevé, car notre xylophone, très sommaire, pourrait encore

être amélioré, ainsi que le peut être tout instrument de musique, jamais parfait.

Évidemment ce xylophone est plus loin de la perfection - si celle-ci existe seulement - qu’un bon

instrument disponible dans le commerce, mais il dépasse sans aucun doute les plus médiocres, ne serait-ce

que par le fait qu’il sonne à peu près juste.

Nous aurions pu augmenter la puissance de l’instrument en lui adjoignant une caisse de résonance.

Nous aurions aussi pu modifier son timbre en adoptant pour les barres une section non constante, ce qui

aurait privilégié d’autres harmoniques du xylophone que celles présentes dans celui que nous avons réalisé.

Cette détermination d’une nouvelle géométrie des barres aurait pu être menée empiriquement dans un

premier temps, puis numériquement ou éventuellement analytiquement ensuite, à partir d’objectifs sur des

harmoniques «agréables» à privilégier pour obtenir un son harmonieux.

Enfin, le registre du xylophone aurait pu être élargi en fabriquant d’autres barres, correspondant à des

notes plus basses ou plus élevées, ou à tous les demi-tons de chaque octave.

Ce travail pourrait être repris là où il en est dans les années qui suivent, dans le cadre d’un projet de

première année, qui consisterait en la réalisation d’une partie au moins de ces améliorations.

Malgré toutes ses faiblesses, la réalisation de ce xylophone, point d’aboutissement de ce projet, nous a

apporté, avec tous les travaux préliminaires que nous avons effectués, une grande satisfaction.

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Bibliographie

[1] Vincent Doutaut, Étude expérimentale et simulation numérique d’instruments de percussion à clavier,

Thèse de doctorat de l’École Nationale Supérieure des Télécommunications, 1996

[2] Jean-Claude Risset, Son musical et perception auditive in Les instruments de l’orchestre, Bibliothèque

Pour la Science, 1995

[3] Frederick Saunders, Physique et Musique in Les instruments de l’orchestre, Bibliothèque Pour la

Science, 1995

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rapport de projet de première année conception d’un...

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