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Rappel: limites à gauche et à droite
DéfinitionSoit f : A →R, A intervalle de R et a ∈R (a est dans A ou c’est uneextrémité de A ). On dit que la limite à gauche de f en a existe si:
∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ A , a − δ < x < a =⇒ |f(x)− L | < ε.
La limite à droite se définit de la même manière avec a < x < a + δ.Dans le cas où les valeurs de f(x) s’approchent de la limite en restanttoujours au-dessus (ou en-dessous) on le notera « avec un plus »:
DéfinitionOn dit que limx→a f(x) = L+ si limx→a f(x) = L et f(x) > L pour x prochede a .
De la même manière, on peut aussi écrire limx→ax<a
f(x) = L+, etc...
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ExempleLa fonction x 7→ x a une limite nulle en 0. On peut cependant être plusprécis et écrire :
limx→0<
x = 0− limx→0>
x = 0+.
Avec les règles de calcul étendues ceci donne :
limx→0<
1x=
10−
= −∞ limx→0>
1x=∞.
RemarqueLorsque la limite de f en a existe, alors les limites à gauche et à droiteexistent et valent limx→a f .
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Notations de Landau:
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Notations de Landau:
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Notations de Landau:
Notation de Landau
Il arrive souvent qu’on ait besoin de comparer des fonctions « sur lelong terme ».
ExempleDeux populations de bactéries peuvent avoir le même nombred’individus au début, mais leur nombre va-t-il rester comparable toutle temps? Les deux nombres vont-ils rester du même ordre degrandeur?
ExempleSi deux algorithmes pour factoriser le nombre n prennentrespectivement f(n) et g(n) secondes, comment savoir lequel est leplus rapide lorsque n devient grand?
Nous allons voir une définition permettant de comparer cesgrandeurs.
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Notations de Landau:
Grands O
DéfinitionSoient f ,g :R→R deux fonctions. Supposons qu’il existe r ∈R et c > 0tels que pour tout x ∈ ]r ,+∞[ on a
|f(x)| ≤ c · |g(x)|On dit alors « f est un O(g) » (prononcer « f est un grand O de g »).
RemarqueCette notion indique que f /g reste borné. Généralement on compareune fonction f intéressante à une fonction g bien connue. On diraaussi que l’ordre de grandeur de f est inférieur à celui de g .
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Notations de Landau:
Exemple
I 10x est O(x). En effet, si x > 0, on a bien 10x ≤ cx (par exemplec = 10 fonctionne).
I Inversement, x est O(10x) car x ≤ c10x avec c = 110 .
I sin(x)+ x2 est en O(x2) car sin(x)+ x2 ≤ 1+ x2 ≤ 2x2 si x ≥ 1.I x est O(x2) mais x2 n’est pas O(x).
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Notations de Landau:
Une charactérisation des O
RésultatConsidérons la limite limx→∞
∣∣∣∣ f(x)g(x)
∣∣∣∣.I Si elle existe dans R, alors f(x) est O(g(x)).I Si elle est infinie, alors f(x) n’est pas O(g(x)).
Dans le premier cas, si la limite existe, c’est que∣∣∣∣ f(x)
g(x)
∣∣∣∣ reste bornéquand x devient suffisamment grand. Et donc
f(x) = O(g(x)
).
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Notations de Landau:
Exemplexn est O(xk ) si et seulement si n ≤ k . En d’autres termes : xn est d’unordre de grandeur inférieur à xk si et seulement si n ≤ k .En effet: on calcule le quotient
∣∣∣ xn
xk
∣∣∣= ∣∣∣xn−k∣∣∣ :
I Si n ≤ k alors l’exposant n − k est négatif ou nul, donc le quotienttend vers 0 ou 1.
I Si n > k , alors l’exposant est strictement positif et donc lequotient tend vers +∞.
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Notations de Landau:
« Petit o »Une définition similaire est la suivante :
DéfinitionLorsque limx→∞
∣∣∣∣ f(x)g(x)
∣∣∣∣= 0, on dit alors que f(x) est o(g(x)).
Remarque
I En particulier f(x) est en O(g(x)) mais être « peit o » donne plusd’informations (c’est plus fort).
I Si g(x) tend vers 0 et f(x) est un o(g(x)), alors f tend vers 0 plusvite que g !
Exemple
I x2 est un o(x3) (pour x→∞)I x3 n’est pas un o(x2) (pour x→∞),
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Notations de Landau:
DéfinitionLes définitions de o et O se définissent de la même manière lorsque xtend vers a ∈R ou vers −∞. Il faut alors préciser à chaque fois quelleest la limite pour x !
Exemple
I x3 est un o(x2) (pour x→ 0), car
limx→0
∣∣∣∣∣∣x3
x2
∣∣∣∣∣∣= limx→0|x |= 0.
I x2 n’est pas un o(x3) (pour x→ 0).I (x −1)3 est o((x −1)2) (pour x→ 1),I x −a est o(1) quand x→ a .
RemarqueÉcrire f(x) = o(1) quand x→ a » (ici a peut être fini ou ±∞) signifiejuste: limx→a f(x) = 0.
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Continuité
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Continuité
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Continuité
DéfinitionSoit f : A → B une fonction réelle et a ∈ A . La fonction f est ditecontinue au point a si
limx→a
f(x) = f(a)
RemarqueUne fonction est continue en a si ses valeurs près de a tendent verssa valeur en a .
Définitionf est discontinue au point a si f n’est pas continue au point a .
Définitionf est continue (sur son domaine) si elle est continue en chaque point ade son domaine.
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Continuité
ExemplePar exemple, la fonction
f :R0→R : x 7→ 1x
est continue car elle est continue en chaque a ∈R0 =R\{0}.
Attention, cette fonction n’est pas définie en 0. Donc ça n’a pas desens de parler de sa continuité en 0!
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Continuité
Exemple
1. Les fonctions suivantes sont continues :I g :R→R : x 7→ x2,I h :R→R : x 7→ |x | etI i :R+→R+ = x 7→
√x
2. La fonction
j :
R→Z
x , 0 7→ x|x |
0 7→ 0est discontinue en 0.
Leitmotiv: Une fonction est continue si on peut tracer son graphesans lever le crayon. Ou encore: si son graphe n’a pas de « sauts ».
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Continuité Continuité et opérations
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ContinuitéContinuité et opérationsPropriétés importantes des fonctions continues
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Continuité Continuité et opérations
Soient deux fonctions f et g continues en un point a . Soit c ∈R uneconstante. Alors
f +g est continue en a
cf est continue en a
fg est continue en aSi, de plus, g(a) , 0, alors
fg
est continue en a .
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Continuité Continuité et opérations
RésultatSi f : A → B et g : C → D, avec A ,B ,C ,D ⊂R et Im f ⊂ C (de sorte que lacomposée g ◦ f a du sens), si f est continue en a et g est continue enf(a) alors
g ◦ f est continue en a .
RemarqueCes règles de calculs sont des conséquences directes des règles decalculs pour les limites.
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Continuité Propriétés importantes des fonctions continues
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ContinuitéContinuité et opérationsPropriétés importantes des fonctions continues
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Continuité Propriétés importantes des fonctions continues
Le théorème des bornes atteintes
Théorème (Théorème des bornes atteintes)Soit f : [a ,b ]→R une fonction continue. Alors l’image f([a ,b ]) estencore un intervalle fermé: il existe u ,v deux réels dans [a ,b ] tels quef([a ,b ]) = [f(u),f(v)].
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Continuité Propriétés importantes des fonctions continues
ExempleL’image de [0,2π] par la fonction sinus est [−1,1], qu’on peuteffectivement ré-écrire [sin(3π/2),sin(π/2)].
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Fig.: Graphe de sin
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Continuité Propriétés importantes des fonctions continues
Théorème des valeurs intermédiaires
Il est intuitivement clair que si le graphe d’une fonction continue« démarre » en dessous d’une droite horizontale et se termine audessus de cette droite, il doit croiser la droite quelque part. C’estl’objet du résultat suivant :
Théorème (Théorème de la valeur intermédiaire.)Soit f : [a ,b ]→R une fonction continue. Pour tout γ ∈R strictementcompris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ ]a ,b [ tel que f(c) = γ.
Une conséquence frappante est la suivante:
RésultatSoit f : [a ,b ]→R une fonction continue telle que f(a) < 0 et f(b) > 0.Alors il existe c ∈ ]a ,b [ tel que f(c) = 0.
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Continuité Propriétés importantes des fonctions continues
Continuité des fonctions réciproques
RésultatSoit f une fonction réelle bijective définie sur un intervalle. Si f estcontinue en a, alors sa réciproque est continue en f(a).
Attention, ça ne marche plus si f n’est pas définie sur un intervalle! Parexemple si f est définie sur une union d’intervalles. (Uncontre-exemple est dans le syllabus).
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Dérivées
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Dérivées
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Dérivées
RappelConsidérons la droite D du plan passant par les points (x ,y) et(x +∆x ,y +∆y), avec ∆x , 0. Cette droite possède une pente
m B∆y∆x
qui vaut, lorsque le repère est orthonormé, la tengente de l’angleformé par la droite avec l’horizontale.
DéfinitionSoit f : A ⊂R→R une fonction, et soit a un point intérieur à A (cen’est pas une extrémité de A ). Si la limite
limx→a
f(x)− f(a)x −a
existe dans R, on appelle cette limite le nombre dérivé de f en a et onle note f ′(a).
Quand cette limite existe, on dit que f est dérivable au point a , ouencore que f ′(a) existe.
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Dérivées
6
-
y
x
∆y
∆x
P2
P1
y = f(x)
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Dérivées
6
-
y
x
P2P1
y = f(x)
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Dérivées
ExempleSi f(x) = x2, le nombre dérivé de f en a est 2a
Démonstration.On remarque que
f(x)− f(a)x −a
=x2 −a2
x −a=
(x −a)(x +a)x −a
= x +a
pour tout x , a . Dès lors lorsque x→ a , la limite vaut bien 2a .
On notera donc f ′(a) = 2a , ou f ′(x) = 2x .
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Dérivées
RemarqueLes deux écritures suivantes sont identiques :
limx→a
f(x)− f(a)x −a
= limh→0
f(a +h)− f(a)h
On a juste posé h = x −a , qui tend vers 0 lorsque x tend vers a . Onchoisira de calculer l’expression la plus simple en fonction ducontexte donné.
Étant donnée f une fonction, la notion de dérivabilité ci-dessus donnelieu à une nouvelle fonction, notée f ′ qui à chaque valeur x pourlaquelle f est dérivable associe le nombre dérivé de f en x , c’est-à-diref ′(x). Cette fonction f ′ est appelée la fonction dérivée de f .
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Dérivées
Opérations sur les fonctions dérivables
RésultatSi c est une constante, et f et g sont des fonctions dérivables, on a
1. (cf)′ = cf ′
2. (f +g)′ = f ′ +g ′
3. (fg)′ = f ′g + fg ′
4. Sur un domaine où g ne s’annule pas :(
fg
)′= f ′g−fg ′
g2 .
Nous allons détailler les preuves de 1 et 3 (les autres sont dans lesyllabus).
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Dérivées
RésultatSi c est une constante et f une fonction dérivable, alors (cf)′ = cf ′
Démonstration.Il faut montrer que pour tout u dans le domaine de f ′ ,(cf)′(u) = cf ′(u). On calcule simplement :
limx→u
(cf)(x)− (cf)(u)x −u
= limx→u
cf(x)− cf(u)x −u
= limx→u
cf(x)− f(u)
x −u
= c limx→u
f(x)− f(u)x −u
= cf ′(u)
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Dérivées
Avant de prouver la formule pour le produit, nous aurons besoin durésultat suivant :
RésultatSi f est dérivable en u, alors f est continue en u.
Démonstration.On suppose que limx→u
f(x)−f(u)x−u existe et vaut alors le nombre réel
f ′(u). On écrit alors que, pour tout x , u :
f(x) =f(x)− f(u)
x −u(x −u)+ f(u)
et donc en passant à la limite :
limx→u
f(x) = limx→u
( f(x)− f(u)x −u
(x −u)+ f(u))= f ′(u)0+ f(u) = f(u).
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Dérivées
RésultatSi f et g sont des fonctions dérivables en u,alors(fg)′(u) = f ′(u)g(u)+ f(u)g ′(u)
Démonstration.
limx→u
(fg)(x)− (fg)(u)x −u
= limx→u
f(x)g(x)− f(u)g(u)x −u
= limx→u
f(x)g(x)− f(x)g(u)+ f(x)g(u)− f(u)g(u)x −u
= limx→u
f(x)(g(x)−g(u))+ (f(x)− f(u))g(u)x −u
= limx→u
f(x)(g(x)−g(u))x −u
+(f(x)− f(u))g(u)
x −u
= limx→u
f(x)g(x)−g(u)
x −u+ lim
x→u
(f(x)− f(u))x −u
g(u)
= f(u)g ′(u)+ f ′(u)g(u)
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Dérivées
Dérivées de fonctions élémentaires
RésultatLa dérivée de f définie par f(x) = x est la fonction f ′ telle que f ′(x) = 1.En général, on dira simplement « La dérivée de x est 1 ».( Parfois on précisera « par rapport à x ».)
Démonstration.
f ′(u) = limx→u
x −ux −u
= 1
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Dérivées
RésultatSoit n un entier naturel. La dérivée de la fonction x 7→ xn vaut nxn−1
Démonstration.On prouve par récurrence que la proposition
P(n): « La dérivée de x 7→ xn vaut nxn−1 »est vraie pour tout n ≥ 0.Initialisation: Si n = 0, cela revient à prouver que la dérivée de lafonction nulle est la fonction nulle, qui est vrai.Récurrence: Fixons n ≥ 0 et supposons que la dérivée de xn vautnxn−1 pour cette valeur fixée. Alors:(xn+1)′ = (x·xn)′ = (x)′xn+x(xn)′ = 1·xn+x·nxn−1 = xn+nxn = (n+1)xn
ce qui est bien la formule attendue pour n +1.
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Dérivées
Dérivée des fonctions exponentielles
RésultatSoit a > 0 et soit f la fonction f :R→]0,+∞[ donnée par f(x) = ax .Alors f est dérivable en tout point et f ′(x) = ax ln(a).
Preuve incomplète.
(ax)′ = limh→0
ax+h −ax
h= lim
h→0ax ah −1
h= ax lim
h→0
ah −1h
Il se trouve qu’on a:
limh→0
ah −1h
= ln(a),
mais nous ne pouvons pas encore le démontrer actuellement (et nousl’admettons donc!)
Conséquence: comme ln(e) = 1, la dérivée de la fonctionexponentielle exp(x) est elle-même!
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Dérivées
Dérivation de fonctions composées
RésultatSi f et g sont des fonctions et a est intérieur au domaine de f ◦g, si gest dérivable en a et f dérivable en g(a), alors
(f ◦g)′(a) = f ′(g(a))g ′(a).
Nous ne le prouverons pas ici.
ExempleSi f(x) = exp(nx), c’est la composée de l’exponentielle et de x 7→ nx .La dérivée de l’exponentielle est elle-même, la dérivée de nx est n , dèslors f ′(x) = n exp(nx).On peut également écrire f(x) = (expx)n , d’où on voit f comme lacomposée de t 7→ tn et de l’exponentielle. La dérivée de tn par rapportà t est ntn−1, dès lors f ′(x) = n(expx)n−1 expx = n(expx)n .Le résultat est évidemment le même.
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Dérivées
RésultatSi f : A → B est une bijection dérivable en a avec f ′(a) , 0, alors saréciproque f−1 est dérivable en f(a) et
(f−1)′(f(a)) =1
f ′(a).
Démonstration.Comme f est une bijection dérivable en a , elle est également continueen a et son inverse est donc continue en f(a). Dès lors nous avonslimt→f(a) f−1(t) = f−1(f(a)) = a .On a donc successivement
limt→f(a)
f−1(t)− f−1(f(a))t − f(a)
= limx→a
f−1(f(x))− f−1(f(a))f(x)− f(a)
= limx→a
x −af(x)− f(a)
=1
f ′(a).
La première égalité s’obtient par composition des limites en posantt = f(x). La dernière égalité est la définition du nombre dérivé de f−1
en f(a).
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Dérivées
ExempleLa dérivée de ln(x) vaut 1/x .
Démonstration.On sait que ln est la réciproque de exp. Et exp′(x) = exp(x) > 0 pourtout x ∈R. Dès lors:
ln′(x) =1
exp′ ln(x)=
1exp(lnx)
=1x.
ExempleLa fonction f :R0→R : x 7→ ln |x | a pour dérivée 1
x .
Démonstration.
I Pour x > 0, c’est simplement lnx ;I pour x < 0, c’est ln(−x), dont la dérivée vaut 1
−x (−x)′ = 1x
également par la règle sur la dérivée d’une composée.
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Dérivées
RésultatLa dérivée de xn vaut nxn−1 pour tout réel n, x > 0.
Démonstration.On écrit que, pour tout n ∈R et x > 0:
xn = exp(ln(xn)) = exp(n ln(x))En dérivant cette dernière expression nous obtenons le résultat.
Exemple
I Nous savons que c’est vrai pour n naturel.I Pour n = 1/2, on peut donner une autre preuve :
limh→0
√x +h −
√x
h= lim
h→0
(√
x +h −√
x)(√
x +h +√
x)
h(√
x +h +√
x)
= limh→0
h
h(√
x +h +√
x)=
1
2√
x=
12
x−1/2
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Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .
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DérivéesDérivée seconde, troisième, etc. . .
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Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .
Questions de notations
Dans vos cours vous rencontrerez les notations suivantes pour ladérivée d’une fonction f en un point a :I f ′(a)
Idfdx
(a)
Ou, ayant écrit y = f(x) :I y ′(a)
Idydx
(a)
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Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .
Dérivées d’ordres successifs
SupposonsI f est dérivable dans un intervalle ouvert ]a ,b [, etI sa dérivée f ′ est aussi dérivable dans ]a ,b [,
alors on définit la dérivée seconde, notée f ′′ par :f ′′(x) = (f ′)′(x); x ∈ ]a ,b [
Si f ′′ admet à son tour une dérivée dans ]a ,b [, on l’appelle dérivéetroisième, notée f ′′′ ou f 3 et ainsi de suite, c’est-à-dire
f (n+1) = (f n)′
par récurrence, pour tout n .