računarska grafika

Računarska geometrija i računarska grafika• Računarska geometrija:

– deo matematike koji se bavi algoritamskim rešavanjem geometrijskih problema

• Računarska grafika:– granična oblast računarstva i geometrije koja se bavi vernim prikazivanjem

geometrijskih objekata na ekranu

Kontinualni i diskretni prostori• 2D prostor u kome se modeliraju matematički objekti je kontinualan

– duži, kružnice ili krive nemaju “debljinu”

• Ekran (ili drugi rasterski izlazni uređaj) je diskretan– sastavljen od konačnog skupa tačaka (piksela)– tačke mogu biti u dva stanja (monohromatski) ili većeg broja stanja iz

konačnog skupa (kolor)

• Kako verno predstaviti geometrijske objekte na ekranu?

Bresenhamov algoritam za crtanje duži 1/6

• Izračunava piksele koje treba “osvetliti” odnosno uključiti• Inkrementalni algoritam

– izračunava se piksel po piksel


• Pretpostavimo da je osvetljena tačka P(x,y)• Koju sledeću tačku treba osvetliti: Q1 ili Q2?

Q2(x+1,y+1)

M

P(x,y) Q1(x+1,y)


• Tačka M se nalazi na polovini duži Q1Q2

• Ako duž prolazi iznad M, osvetlićemo Q2

• U drugom slučaju osvetlićemo Q1

Q2(x+1,y+1)

M

P(x,y) Q1(x+1,y)


• Prikazani algoritam radi ispravno samo ako duž ima nagib od 0° do 45°

• Preostali slučajevi:– 45° - 90°– -45° - 0°– -90° - -45°

0° - 45°

Zona 1

Zona 2

Zona 3

Zona 4


• Za tekuću tačku P(x,y) naredna tačka se bira na sledeći način:– Zona 1:

• Q1(x+1,y) ili Q2(x+1,y+1)

– Zona 2:• Q1(x,y+1) ili Q2(x+1,y+1)

– Zona 3:• Q1(x-1,y) ili Q2(x-1, y-1)

– Zona 4:• Q1(x,y-1) ili Q2(x-1,y-1)


• Primer

Linije različite debljine• Prekrivanje centara piksela paralelogramom• Širina paralelograma određena je debljinom linije• Oni pikseli čiji centri su unutar paralelograma su osvetljeni

Isecanje vidljivog dela duži (clipping)• u slučaju da se duž prostire izvan vidljivog dela ravni potrebno je pre

crtanja ukloniti delove koji se neće videti

(xmax, ymax)

(x’0, y’0)

(x’1, y’1)

(x1, y1)

(xmin, ymin)

(x0, y0)

Bresenhamov algoritam za crtanje kružnice 1/4

• Simetrija kružnice– Ako je osvetljen piksel P(x,y) tada su osvetljeni i sledeći pikseli:

• (-x,y)• (-x,-y)• (x,-y)• (y,x)• (y,-x)• (-y,x)• (-y,-x)

(x,y)

(y,x)

(-y,-x)

(-x,-y)

(-y,x)

(-x,y)

(y,-x)

(x,-y)


• Izračunavanje piksela koji se osvetljavaju radi se samo za interval[45°, 90°] – osmina kruga

• Na osnovu izračunatog piksela osvetljava se i preostalih sedam simetričnih piksela


• Pretpostavimo da je osvetljena tačka P(x,y)• Koju sledeću tačku treba osvetliti: Q1 ili Q2?

P(x,y) Q1(x+1,y)

Q2(x+1,y-1)

M


• Tačka M se nalazi na polovini duži Q1Q2

• Ako je tačka M unutar kružnice, osvetlićemo Q1

• U drugom slučaju osvetlićemo Q2

P(x,y) Q1(x+1,y)

Q2(x+1,y-1)

M

Crtanje splajnova 1/3

• Hornerov metodZa splajn dat parametarskim polinomima:x(t) = axt3 + bxt2 +cxt +dx

y(t) = ayt3 + byt2 + cyt +dy

prethodne izraze zapišemo u drugačijem obliku:x(t) = [(axt + bx)t + cx]t + dx

y(t) = [(ayt + by)t + cy]t + dy

– Za izračunavanje jedne koordinate jedne tačke potrebna su tri množenja i tri sabiranja


• Bézierov metod– osvetlimo središnju tačku splajna– određivanje središnje tačke:

• tačka X je na sredini duži AB• tačka Y je na sredini duži BC• tačka Z je na sredini duži CD• tačka P je na sredini duži XY• tačka Q je na sredini duži YZ• tačka M – središnja tačka splajna – je na sredini duži PQ

B C

MX

Y

Z

P Q

A D


• Bézierov metod– sada podelimo splajn na dva segmenta oko središnje tačke– dobijemo splajnove određene tačkama AXPM i MQZD– za njih ponovimo postupak– postupak ponavljamo sve dok poligon koji obuhvata splajn ne bude dovoljno

“tanak”, odnosno blizak duži

B C

MX

Y

Z

P Q

A D

Popunjavanje figure bojom 1/3

• Za dati piksel popuniti površinu figure koja ga sadrži• Različiti algoritmi

– Algoritam poplave– Popunjavanje pomoću semenke (seed)


• Flood fill– obojiti izabrani piksel– za izabrani piksel proveriti sva četiri suseda (sever, jug, istok, zapad)– ako neki od njih nije obojen ponoviti postupak za njega


• Popunjavanje pomoću semenke– popuni se horizontalna linija koja sadrži izabrani piksel– traže se nove semenke u liniji iznad tekuće– traže se nove semenke u liniji ispod tekuće– za nove semenke se ponovi postupak

5 5 65

2 3 2 3 2 32 3

1

4

1 114 44

korak 1 korak 2 korak 3 korak 4

5 6 5 65 6 5 6

2 3 2 32 3 2 3

14

14

7 8

1 144

7 87 8

9 109 10

korak 5 korak 6 korak 7 korak 8

Aliasing 1/3

• Aliasing je potencijalni problem kad god se analogni signal konvertuje u digitalni

• U prikazu 2D grafike tipičan problem je pojava nazubljenih ivica kosih linija

Originalna kriva koja se projektuje na matricu piksela Oblik dobijen iscrtavanjem

Aliasing 2/3

• Gubitak detalja– gustina matrice piksela nije dovoljna za prikaz sitnih detalja

Aliasing 3/3

• Teksture koje gube svoje vizuelne karakteristike

Antialiasing 1/4

• Metode za korekciju efekta aliasinga• Dve klase metoda:

– prefiltering– postfiltering (supersampling)

Antialiasing 2/4

• Prefiltering– piksel se tretira kao 2D objekat koji ima dimenzije (kvadrat)– njegova boja se izračunava na osnovu boja koje su prisutne u crtežu na

površini koju on prekriva

Antialiasing 3/4

• Prefiltering– prikaz slova– tehnika je nezavisna od izabranog fonta

Antialiasing 4/4

• Postfiltering (supersampling)– slika se renderuje na n puta većoj rezoluciji nego što će biti prikazana– boja konačnog piksela se računa kao prosek boja pod-piksela od kojih se on

sastoji

– Primer• za sliku 512x512 iscrtava se slika sa 3 puta gušćom matricom 1536x1536• boja piksela se računa kao prosek boja devet pod-piksela od kojih se sastoji• nije svaki pod-piksel jednako značajan – u račun se uvode težinski koeficijenti

1/16 1/8 1/16

1/8 1/4 1/8

1/16 1/8 1/16

računarska grafika

Documents

q1 ili q2

ili q2

antialiasing prefiltering

antialiasing

supersampling

aliasing