RACIONALIZACIN DE RADICALES Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalizacin de radicales de los denominadores. Segn el tipo de radical o la forma de la expresin que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: 1. Si el denominador contiene un solo trmino formado por una sola raz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raz cuadrada.5

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fraccin multiplicaremos numerador y denominador por 25 2 ! 5 2 2. 2 ! 5 2 22

2 ,

!

5 2 2 2 3

Otro ejemplo. Racionalizar 18 Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:2 3 18 ! 2 3 2.32

!

2 3 3 2

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por denominador:2 3 3 2 ! 2 3. 2 3 2 2 ! 2 6 6 ! 3.2 3

2 para eliminar la raz del

Tambin se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 182 3 18 ! 2 3. 18 18. 18 ! 2 54 54 ! 18 9

Y ahora extraemos factores de la raz del numerador y simplificamos. 54 2.33 3 2.3 6 ! ! ! 9 9 9 3 , como vemos da el mismo resultado.

2. Si el denominador de la fraccin contiene dos trminos en uno de los cuales o en los dos hay una raz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.7

Por ejemplo7 5 3 !

5 3 , multiplicamos numerador y denominador por 7

5 3

5 3 5 3 5 3

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o a b a b a 2 b 2 sea una expresin del tipo 7 ! 5 3

5 3 ! 7 5 3 ! 7 5 3 ! 7 5 3 53 2 5 3 5 3 5 3 72 2

2

Otro ejemplo: 3 7 , ahora multiplicamos numerador y denominador por 3 72 3 7 2 3 7 !

2 3 7 ! 97

3 7 3 7

! 2 3 7 ! 3 2

7

3. Si el denominador slo tiene un trmino con una raz de ndi ce cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raz de ndice n quecomplete una potencia de exponente n.1

Por ejemplo:

3

25 1 13

Factorizamos el radicando del denominador: multiplicar numerador y denominador por13

3

25

!

52 , y como

3

53 ! 5 , vamos a

3

5 para completar la potencia de 5

25

!

13

3 2

!

5 5

3

5

3

5 2

2 3

!

5 53

3

3

!

5 5

Otro ejemplo:

4

2

Para que se elimine la raz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por4

23

2 2 4 23 2 4 23 2 4 23 4 3 ! ! ! ! 2 4 4 4 2 2 4 2 4 23 2 Otro ejemplo ms Racionalizar el denominador de la fraccin:

x x 1 x 1Multiplicamos numerador y denominador por

x 1 x 1

x

x

!

2

x

Por tanto podemos escribir que

x x ! x 1 x 1

x 1 2

x 1 x 1

x 1 x 1

2

x 1

x 1

x 1

! x x 1

x 1

! x x 1

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 ! x 1 x 1 x 12

x 1

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Trigonomtrcas 1

sen (x)133todas funciones seno

arcsen (x)134

cosen (x)135 136

arccosec (x)

| sen (x ) |137 138

sen (2x)

cos(x)todas funciones coseno

arccos (x)

139

140

sec (x)141 142

arcsec (x)

xcos (x)143 144

cos (x) xsen (x)

tan (x)todas funciones tangente

arctan (x)

145

146

cotan (x)147 148

arccotan (x)

sen (x)cos (x)149 150

xsen (2x)

Valor absoluto - Parte entera - Parte decimal - Signo|x|1 2

|x - 1|

|x + 1|3 4

|x - 1| + |x + 1|

|x| - x 25 6

|x| x + x

|x| |x| + x7 8

x|1+ (1/x) |

E(x)9 10

(-1)E(x)

D(x)= x - E(x)11 12

D(x)(1)E(x)

D(x)(1 - (-1)E(x) ) 213 14

D2(x)

D(x)(1 - D(x))15 16

E(x) D(x)

SIGN (x)17 18

SIGN (x2 - 1)

|x2 - 2|19 20

x2 - |x| 2

|x2 + 2x - 3|

-|x2 - 4|

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Polinomios 1

(x + 1)323 24-Derivada de 23

3(x + 1)2

(x - 2)(x - 1)(x + 1)25 26-Derivada de 25

3x 2 - 4x - 1

x3 - x27 28-Derivada dee 27

3x 2 - 1

x3 + x293 2

3x 2 + 130-Derivada de 292

x -x31

3x - 2x32-Derivada de 31

x3 + x233 34-Derivada de 33

3x 2 + 2x

x3 - x 2 + x

3x 2 - 2x + 1

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Polinomios 2

x3 - 2x2 + 137 38-Derivada de 37

3x 2 - 4x

x3 - 2x2 + x39 40-Derivada de 39

3x 2 - 4x + 1

4x3 - 5x + 141 42-Derivada de 41

12x 2 - 5

x3 - 6x2 + 9x434 2

3x 2 - 12x + 944-Derivada de 433

x - 4x45

4x - 8x46-Derivada de 45

- x4 + x 247 48-Derivada de 47

- 4x3 + 2x

x4 - x 349 50-Derivada de 49

4x 3 - 3x2

- x4 + 2x2515 3

- 4x3 + 4x52-Derivada de 51

x - 5x + 4x

5x - 15x + 4

4

2

Racionales 1Al seleccionar una imagen se abrir ampliada en una nueva ventana. Cirrela despus de ver.

x-1 x+155 56-Derivada de 55

2 (x + 1)2

x2 + 1 x57 58-Derivada de 57

x2 - 1 x2

x2 - 1 x59 60-Derivada de 59

x2 + 1 x2

x2 2(x - 1)61 62-Derivada de 61

x(x - 2) 2(x - 1)2

1-x x263 64-Derivada de 63

x-2 x3

1 x2 + 165 66-Derivada de 65

2x - (x2 + 1)2

4x x2 + 467 68-Derivada de 67

4(4 - x2 ) (x2 + 4)2

x2 x2 + 169 70-Derivada de 69

2x (x2 + 1)2

1 x2 - 1

2x - (x2 - 1)2

Racionales 2Al seleccionar una imagen se abrir ampliada en una nueva ventana. Cirrela despus de ver.

x x2 - 173 74-Derivada de 73

x2 + 1 - (x2 - 1)2

x2 x2 - 175 76-Derivada de 75

2x - (x2 - 1)2

x2 + 1 x2 - 177 78-Derivada de 77

4x - 2 (x - 1)2

x3 2(x2 - 4)79 80-Derivada de 79

x2 (x2 - 12) 2(x2 - 4)2

x4 - 2x2 x2 - 181 82-Derivada de 81

2x(x4 - 2x2 + 2) (x2 - 1)2

x x2 - 5x + 483 84-Derivada de 83

4 - x2 (x2 - 5x + 4)2

x2 x2 + x - 285 86-Derivada de 85

x(x - 4) (x2 + x - 2)2

x 1 - |x|87 88-Derivada de 87

1 (|x| - 1)2

x 1 + |x|

1 (|x| + 1)2

ExponencialesAl seleccionar una imagen se abrir ampliada en una nueva ventana. Cirrela despus de ver.

e -x91 92

e|x|

e1/x93 94

xex

xe-x95 96

(1 + x)ex

(x - 1)ex97 98

(x - 1)e-x

xe1/x99x2

x2 ex100-x2

e101- x2

e102

x e103x -x

2

ex + e-x104

e -e105

1 1 - e-x106

ex x

x ex - 1

LogartmicasAl seleccionar una imagen se abrir ampliada en una nueva ventana. Cirrela despus de ver.

Log2(x)109 110

1 xLn(2)

Ln(x)111 112

1 x

LOG10(x)113 114

1 xLn(10)

Ln(-x)115 116

Ln(x + 2)

Ln(|x|)117 118

Ln(x2)

Ln(x2 + 1)119 120

Ln(x2 - 4)

Ln(x2 - 5x + 6)121 122

Ln((x2 + 1) 1/2)

xLn(x)123 124

x2Ln(x)

x2 Ln |2x + 1|125 126

1 Ln(x)

Ln(x) x127 128

x Ln(x)

exLn(x)1292

x2LN(x2)130

Ln (x)

2Ln(x) x

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Trigonomtricas 2

sen (x) + cos (x)151 152

- sen (x)

3sen (x) sen (3x)153 154

2 + sen (x)

-2 + sen (x)155 156

sen (x + 2)

sen (x - 2)157 158

2sen (x)

sen (x) 2159 160

sen (x) x

|x| sen 2161 162

sen2 (x)

cos (x) x163 164

xsen2 (x)

x1/3sen |x|165 166

sen2 (x)cos2 (x)

sen (x) + cos (2x)

sen (4x) + cos (2x)