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INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL ANTONIO NARIÑO

GUÍA DE MATEMÁTICAS OCTAVO PRIMER PERIODO

REALIZADO POR: ADRIANA CUADRADO

GUÍA No. 1 AÑO: 2016

ÁREA: MATEMÁTICAS ASIGNATURA: ÁLGEBRA

GRADO: OCTAVO PERIODO: PRIMERO

TIEMPO ESTIMADO: TIEMPO DE INICIO:

DOCENTE: ADRIANA CUADRADO

FRASE DE REFLEXIÓN: “No digas no puedo ni en broma, porque el inconsciente no tiene sentido del humor, lo tomara en serio y te lo recordará cada vez que lo intentes” Facundo Cabral COMPETENCIA (S):

Resolución de problemas El razonamiento La comunicación La modelación Ejercitación de Procedimientos

ESTÁNDAR(ES):

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Utiliza números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos. Identifico la potenciación, logaritmos y la radicación para representar situaciones matemáticas

y no matemáticas y resolver problemas. Utilizo la notación científica para representar cantidades y medidas.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA:

1. Realiza la descomposición en factores primos de las siguientes cantidades: a. 256 b. 441 c. 1525 d. 1936 e. 2020

2. Une por medio de una línea las cantidades que tengan el mismo valor:

1




FRACCIÓN DECIMAL

41 0,925

2071 0,8

500481 0,25

54 0,962

4037 3,5

3. Encuentra el valor de las siguientes expresiones:

4. Determina el valor faltante en cada uno de los casos:

a. 2 5 [ ] + 1 = 1 b. 5 9 1 − [ ] = 1 c. ) 5 2 * ([ ] + 3 = 1

MARCO CONCEPTUAL

NÚMEROS REALES El hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparición en la tierra hasta nuestros días, para ello comenzó a usar los números 1, 2, 3, 4, 5…, a los que llamó números naturales, pero pronto se dió cuenta que estos números no eran suficientes, pues requería solo de la suma y no de la resta, para ello creó los números negativos y el elemento neutro (al número que llamamos cero) que se conocen ahora como números enteros, los cuales son: 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Aún así, no fue suficiente, el hombre se percató de tomar números que se expresaran como resultado de la división de dos números enteros, a ellos los llamó números racionales como por ejemplo: , 3

2 contando precisamente que el divisor fuese diferente de cero., 4

1 50

Luego, contó con las cantidades que no fueran posibles expresar como el cociente de dos números enteros a los que llamó racionales, por ejemplo: , , , √3 √3 2 √5 81 π Al unir los números anteriores, se forman los números REALES, los cuales se representan en la recta numérica:

2




PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES: Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que si sumas y multiplicar números reales el resultado va a pertenecer a los números reales, de ahí que se desprenda la siguiente tabla de propiedades:

PROPIEDAD SUMA EJEMPLOS MULTIPLICACIÓN

EJEMPLOS

Cerradura ϵ R a + b ϵ R 3 + 5 = 8 ϵ R a * 2)(− ) − ϵ R ( 3 = 6

Conmutativa a + b = b + a 21 + 7

3 = 73 + 2

1 a * b = b * a 2)( ) )(2)( 51 = (5

1

Asociativa b ) a ) a+ ( + c = ( + b + c

3 ) ) √5 + ( + 4 = (√ 5 + 3 + 4 b ) a ) a * ( * c = ( * b * c 2 ) 3 ) 3 * ( * 5 = ( * 2 * 5

Elemento Neutro

a + 0 = a 5 + 0 = 5 a*1=a 7*1=7

Inverso − )a + ( a = 0 − )2 + ( 2 = 0 a * (a1) = a 5 * (51) = 1

Distributiva (b ) b ca + c = a + a (7 )2 + 3 = 2 * 7 + 2 * 3

Valor absoluto de un número: Es la distancia que existe desde cero hasta el punto que representa a dicha cantidad en la recta numérica. El valor absoluto de un número a se representa: Determina el valor absoluto de − 3. Solución Eee representa − 3 en la recta numérica:

De cero a − 3 se observa que hay 3 unidades de distancia, por tanto, el valor absoluto de − 3 es igual a 3 y se representa como: − 3 = |3|.

*SOLUCIONA LA ACTIVIDAD 1*

POTENCIAS Es la operación en la cual la cantidad que llamamos base se debe multiplicar por ella las mismas veces que indique el exponente:

3




.... (n veces) an = a * a * a * a * a a−n = 1

an

PROPIEDADES EJEMPLOS

(a )m n = am n* 2( 3)4 = 23 4*

am * an = am+n 45 * 43 = 45+3

anam = an−m 63

64 = 64−3

a0 = 1 90 = 1

am/n = √m an 43/2 = √3 42

RADICACIÓN:

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Operaciones con radicales

1. Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantess, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

2. Producto de radicales

1 Radicales del mismo índice

3. Radicales de distinto índice

4




Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

4. Cociente de radicales

4.1 Radicales del mismo índice

4.2 Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

5 Potencia de radicales

5 Raíz de un radical

SOLUCIONA LA ACTIVIDAD 2

LOGARITMACIÓN El logaritmo de un número, es la operación que permite hallar el exponente al que se debe elevar un número llamado base para obtener el número dado; es decir El signo de la operación se indica con la abreviatura log y un número pequeño como subíndice, que indica la base en que se está trabajando, por ejemplo:

16log4 = 2 36log6 = 2

NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica se utiliza para expresar cantidades en función de potencias de 10 y por lo regular se usa para cantidades muy grandes o muy pequeñas. Ejemplos de potencias de 10:

5




Para expresar una cantidad en notación científica el punto se recorre una posición antes de la primera cifra, si la cantidad es grande, o un lugar después de la primera cifra si la cantidad es pequeña. El número de lugares que se recorre el punto decimal es el exponente de la base 10.

SOLUCIONA LA ACTIVIDAD 3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera. Ejemplos: 3a + 2b − 5, en esta expresión son constantes 3, 2, − 5 y las variables son a y b. ( + 8)( − 7), en esta expresión son constantes 8, 5 y − 7, variable “z” y 2, 4 exponentes.x2 5z4

TÉRMINOS ALGEBRAICOS Término algebraico. Es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término algebraico se le denomina monomio y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s). Ejemplo:

MONOMIO: Es una expresión algebraica que consta de un solo término

POLINOMIO: Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos. Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS. Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.

6




OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS SUMA Y RESTA:

Términos semejantes Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma, aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. Ejemplo: y 5 son términos semejantes, además −4 y 35 también son términos semejantes, a2 a2 a2 a2 pues su parte literal es decir a2 es la misma. Algunos ejemplos más: 3 y −83 , +1 y −8 , etc. En estos casos las parejas de términos tienen términosab2 ab2 a3 bm a3 bm+1 semejantes, la primera pareja tiene a como término semejante y en la segunda pareja lo es ab2 a3

. El hecho de que tengamos términos semejantes en una expresión algebraica nos permite reducirbm+1 dichos términos haciendo las operaciones que sean posibles entre ellos.

SOLUCIONA LA ACTIVIDAD 4, 5 Y 6

7




ACTIVIDAD 1

1. EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS: clasifica las siguientes cantidades en racionales o irracionales, describe los procedimientos en el cuaderno:

2. LA COMUNICACIÓN: Compara las siguientes cantidades y coloca los símbolos >, < , ó = según corresponda:

3. LA MODELACIÓN; Determina el valor absoluto de:

4. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

a. El costo y la disponibilidad de boletos para un concierto en el centro de espectáculos “El Huracán” es: preferente A: 224 a $840, preferente B 184 a $650, balcón C 125 a $430 y

8




balcón D 96 a $280. Si para el día del evento se agotaron los boletos, ¿cuál es el ingreso de las entradas?

b. Karen recibe un salario de $850 semanales y, por ser una buena estudiante, tiene asignada una beca de $1 000 mensuales. ¿Cuál es la cantidad de dinero que recibe en un mes? (Considera un mes igual a 4 semanas.)

c. A Maritza le da su papá $20 diarios. Si en un año ella destina para pasajes y diversión $2 300 anuales, ¿qué cantidad de dinero le sobra para sus otros gastos? (Considera un año igual a 365 días.)

d. Un cuarteto de músicos recibe como pago $240 diarios por tocar entre semana en un restaurante, mientras que por tocar en el mismo lugar los fines de semana el pago es de $480 diarios. ¿Cuánto dinero percibe cada integrante del grupo, si lo que ganan se reparte en forma equitativa? (Considera una semana igual a 7 días.)

e. El sueldo de un capturista de datos es de $150 diarios con su respectivo descuento de $30 por concepto de impuestos. ¿Qué cantidad recibe en un mes? (Considera un mes igual a 30 días.)

f. En la repartición de una herencia el abuelo designa en partes iguales un terreno de 12 hectáreas a 3 de sus nietos, si el precio por metro cuadrado es de $250, ¿cuál es el monto que recibió cada uno de los herederos? (Considera una hectárea igual a 10 000 m2.)

g. Benito estudió 1.5 horas el lunes, 2.3 el martes, 1.25 el miércoles y una hora el jueves, ¿cuántas horas estudió para presentar su examen el viernes?

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ACTIVIDAD 2:

1. soluciona las actividades y escribe las operaciones en una hoja a parte, para entregar:

2. La ejercitación de procedimientos: Simplifca la s siguientes expresiones:

a. b.

10




3.

11




4. La ejercitación de procedimientos: Realiza las siguientes multiplicaciones:

a. b.

c. ACTIVIDAD 3

1. La ejercitación de procedimientos: Expresa en notación científica las siguientes cantidades:

a. b.

12




c. 2. Solución de problemas; Soluciona y realiza las operaciones en una hoja o en el cuaderno.

a. En un almacén hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo, 25 de ancho y 25 de alto. Si cada par se vende en US $25 ¿Cuánto vale la pila?

b. En un cajón hay 12 cajas de lápices cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón?

c. Supón que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de 1 hora. Si había 640 gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? ¿Cuánto horas han de pasar para que la sustancia sea de 1 gramo?

d. El área de un terreno cuadrado es de 625 m2 ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? e. Si las longitudes de una tarjeta en forma de rectángulo es de 12 cm de largo y el

ancho es de 5 cm. Si se desea escribir un mensaje en la diagonal de la tarjeta ¿Cuánto mide la diagonal?

4. La Modelación. Une con flechas las potencias y su logaritmo de relación

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ACTIVIDAD 4: Resolución de problemas:

1.

2.

14




3.

4.

5. ACTIVIDAD 5:

1. El Razonamiento. Expresar en lenguaje matemático cada uno de los siguientes

enunciados:

A. El triple de a, aumentado en el doble de b B. La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a y el cubo de b C. El cubo de la diferencia entre x e y D. El doble del cuadrado de a E. El cuadrado del doble de a F. La suma de tres números pares consecutivos G. El triple de la cuarta parte del cuadrado de b

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H. El cuadrado de la cuarta parte del triple de b I. El triple de un número equivale al doble del mismo número aumentado en

15 J. La suma de tres números consecutivos K. La diferencia entre el quíntuple de x y la mitad de y L. La suma de tres impares consecutivos

2. Ejercitación de Procedimientos. Determina el grado absoluto y el grado relativo de las siguientes expresiones algebraicos

3. El Razonamiento. Escribe las partes de los siguientes términos algebraicos

4. La modelación; completa la siguiente tabla

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ACTIVIDAD 6:

1. Ejercitación de Procedimientos. Encuentra el valor numérico de las siguientes

expresiones algebraicas, si a = 1, b = 2, m = 0, n = 1, x = 2, y = 3

2. Solución de Problemas. Determina la solución a los siguientes problemas.

A. En física, en el estudio del movimiento uniforme variado, el espacio recorrido por un cuerpo esta dado por la expresión , donde x es el espacio recorrido, vo es

la velocidad inicial, t es el tiempo empleado y a es la aceleración del cuerpo. Si ¿Cuál es el espacio recorrido por el cuerpo?

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B. La fuerza se define en física como el producto de la masa por la aceleración, o sea . Si la m = 50 y la aceleración a = 30 ¿Cuál es valor de la fuerza?

C. La energía potencial gravitacional esta determinada por la formula , donde m representa la masa, g la fuerza gravitatoria y h es la altura. ¿Cuál será la energía de un ascensor, sube a cuatro personas con una masa de 800 kg y asciende 30 metros? Además la

gravedad es de 10 3. La Comunicación. Encierra de un mismo color, los términos que sean semejantes

4. Ejercitación de Procedimientos. Realiza las siguientes operaciones

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ACTIVIDAD 7 SELECCIONA LA RESPUESTA CORRECTA Y JUSTIFICA TU RESPUESTA:

1. si “h” representa un número positivo ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a h+h+h+h+h?

a. h+5 b. 5*h c. h5 d. 5*(h+1)

2. José tiene 5 Sombreros menos que María y Clara tiene 3 veces más sombreros que José, si María tiene n Sombreros ¿cuál de las siguientes expresiones representa el número de sombreros que tiene Clara?

a. (53n) b. 3n c. (3n5) d. 3(5n)

3. La expresión no es un polinomio porque:x y x y xyz 32 3 − 4

1 21 + 3 − 2

a. Contiene dos términos negativos b. No todos los exponentes son números enteros c. Contiene un número que no es monomio d. Contiene más de una variable

4. Al eliminar el paréntesis en el polinomio nos queday ) x − ( + z − z + z a. z − y + 2 + x b. x 2 − y c. x − y + z d. x + z

5. Cuando de la suma: le restamos obtenemos 2x x ) − x ) ( 2 + 5 − 4 + ( 3 − 4 + 4x2 6x x )( 2 − 8 − 8 como resultado:

a. 2 b. 8 c. 10x d. 2

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ACTIVIDAD DE SÍNTESIS: Juegos de adivinar números Las primeras aplicaciones del álgebra fueron para resolver pasatiempos con números. Así, el primer problema de naturaleza algebraica que figura en el papiro del Rhind (1550 a. C.) dice: “Un montón y su séptima parte hacen un total de 19. El montón se calcula...” Los problemas de Diofanto (275 d. C.) eran, frecuentemente, de este tipo, por ejemplo, el primero del Libro I: “Dividir un número en dos partes que tengan una diferencia dada”. Aryabhata, matemático hindú (S. VI d. C.), expone el siguiente problema: “Si 4 es añadido a un número, el resultado se divide por 2 y lo que da se multiplica por 5 y, finalmente, restamos 6 resultando 29, ¿puedes encontrar el número?.” En los siglos XVII y XVIII este tipo de juegos recreativos (adivinanzas numéricas) estaba muy de moda. Estas cuestiones provocaban una gran admiración hacia los que las proponían o resolvían. A continuación proponemos algunos juegos de este tipo: • JUEGO 1

1. Piensa un número. 2. Multiplícalo por 2. 3. Añade 5 al resultado. 4. Multiplica lo que has obtenido por 5. 5. Añade 10 al resultado. 6. Multiplica el resultado por 10. 7. Dime lo que sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

• JUEGO 2 1. Piensa un número. 2. Súmale 2. 3. Eleva el resultado al cuadrado. 4. Réstale cuatro veces tu número inicial. 5. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

• JUEGO 3

1. Piensa un número. 2. Elévalo al cuadrado. 3. Resta tu número al resultado. 4. Divide ahora por tu número inicial menos 1. 5. ¿Cuánto te da?. ¿Por qué?.

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CRONOGRAMA: ACTIVIDAD

FECHA

EVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN COEVALUACIÓN HETEROEVALUACIÓN

Actividad 1

Actividad 2

Actividad 3

Evaluación 1

Actividad 4

Actividad 5

Evaluación 2

Actividad 6

Actividad 7

Evaluación 3

P.Sintesis

DIRECCIONES SITIOS WEB DE INTERES: Numero Reales http://www.youtube.com/watch?v=tMHJbmUGcQk http://www.youtube.com/watch?v=ZhDcvReFAE http://www.youtube.com/watch?v=4mSl7FezoA http://www.youtube.com/watch?v=EjBNmnISWQY http://www.youtube.com/watch?v=2L2CWG6ZheU Algebra Básica http://www.youtube.com/watch?v=z902TyTcC2Y http://www.youtube.com/watch?v=RLFRKSy1b3s http://www.youtube.com/watch?v=be9g9m49pU http://www.youtube.com/watch?v=PeBw6syIV70 http://www.youtube.com/watch?v=cM2FXlztr6s BIBLIOGRAFIA

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James R. Velasco Mosquera, Luis Ernesto Rojas Morantes, Yolanda Gallardo de Parada; POSTPRIMARIA, MATEMÁTICAS 8; Enlace Editores Limitada; Abril de 2005, Bogotá D.C., Colombia. Padilla Beltrán Eduardo, Melo Rodríguez Clara Esther, Barraza Burgos William Enrique, Sánchez Bernal Edgar. ESTRATEGIAS MATEMÁTICAS 8. Primera Edición 2003. Educar Editores S. A. Bogotá Colombia. Faberth Díaz C, María Victoria Quijano; PENSAMIENTO MATEMÁTICO 8; Editorial Libros & Libros S. A. Año 2002, Bogotá D. C.

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