raccolta di esercizi · 2014-07-13 · demografia (g. de santis): esercizi risolti - p. 2/27 nb non...

Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 1/27 NB NON guardare le risposte prematuramente!

Domande Una popolazione, originariamente, di 1000 individui, tocca quota 1500 dopo 50 anni. 1) Qual è il tasso di incremento aritmetico? Quanti individui si troverebbero (con questo tasso) dopo

70 anni? 2) Qual è il tasso di incremento geometrico o esponenziale (a vs. scelta)? Quanti individui si

troverebbero, con questo tasso, dopo 70 anni? 3) Giustificare la differenza tra i due casi, dire quale dei due tassi è migliore e perché. Considerate la popolazione di questa tabella

Età(x) Donne di cui: nulibi Matrim.(1) (2) (3) (4)

0-14 3000 3000 0 15-24 1500 1300 60 25-34 2000 1000 40 35-44 3000 1000 60 45-49 3000 600 30

4) Se la popolazione della tabella crescesse secondo una curva logistica, partendo dal minimo empiricamente osservato (nella tabella), fino a un massimo di 25 mila persone dopo 100 anni, che andamento avrebbe su un opportuno grafico cartesiano?

5) Se, invece, la popolazione della tabella avesse una crescita geometrica o esponenziale (a Vs. scelta), sapendo che raggiunge l'ammontare di 25 mila persone dopo 100 anni, che andamento avrebbe su un opportuno grafico cartesiano? E quale sarebbe il corrispondente tasso medio annuo di crescita?

6) Nei due casi: dopo quanto tempo si raggiunge l'ammontare di 18.750 persone?

Risposte

1) La formula è %101,0100050

10001500

0

0

Pt

PPr ta . Dopo 70 anni si avrebbero

17007001.0110001070 trPP a individui.

2) Con il tasso geometrico, la formula è %81,00081,011000

15001 50

0 t tg

P

Pr . Dopo 70 anni si

avrebbero 1,764.10081.0110001 70070

tg rPP individui (cioè, più che non con il tasso aritmetico, perché la popolazione "cresce su se stessa").

Con il tasso geometrico, infine, la formula è %81,00081,050

40547.0ln

0 t

P

P

r

t

(appena inferiore

al tasso geometrico, ma le differenze si notano solo a partire dal 5° decimale). Dopo 70 anni si

avrebbero 1,764.11000 700081.0070 eePP rt individui (cioè, esattamente gli stessi ottenuti con

il tasso geometrico: il valore assoluto del tasso esponenziale è lievemente inferiore, ma lo si applica nel continuo, e il risultato finale è lo stesso). 3) Ovviamente, è preferibile usare il tasso di incremento geometrico (o esponenziale) perché, per lunghi intervalli di tempo, l'ipotesi di crescita lineare (che implica che i nuovi arrivati non contribuiscono a loro volta alla crescita) è poco difendibile. 4) Bisogna riferirsi solo al complesso delle donne (senza distinzione per stato civile) e considerare il loro totale, senza distinzione per età. Abbiamo cioè 12.500 donne all'inizio, e 25.000 alla fine (dopo 100 anni) per cui la figura è, all'incirca (linea continua):


12.5

15

17.5

20

22.5

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5) Il tasso è di 0,6931% se esponenziale e 0,6956% se geometrico (crescita su 100 anni). La curva corrispondente è quella tratteggiata. 6) Con la crescita logistica, tale ammontare (intermedio tra il punto di inizio e il punto di fine) si raggiunge dopo (circa) metà del tempo totale, cioè 50 anni. Con la crescita esponenziale (o geometrica), invece, ci vogliono t=ln(tP/0P)/r=58.5 anni circa.

§§§§§§§§§§§§

Domande Tutti e diecimila i maschi di una certa generazione sopravviventi al compimento del 25° compleanno sono ancora celibi. In seguito, danno origine ai seguenti flussi

Età Matr. Decessi25 100 5026 200 5227 300 5428 400 5629 500 5830 600 60

1) Sapendo che solo i celibi muoiono e si sposano, e che la popolazione è chiusa, disporre su un diagramma di Lexis tutti questi dati di flusso e indicare anche il numero dei celibi ai vari compleanni (fino al 30°) e il numero medio di celibi alle varie età.

*** Si dispone dei dati seguenti, relativi ai morti per età (Mx) di una popolazione immaginaria chiusa ai movimenti migratori e in cui nessuno raggiunge il 5° compleanno.

x Mx 0 40 1 20 2 10 3 20 4 10 5 0

2) Disporre i dati della tabella precedente su un diagramma di Lexis, in due ipotesi: a) i dati si riferiscono a una generazione b) i dati si riferiscono a contemporanei.


3) In quale caso è possibile calcolare il numero dei sopraviventi alle varie età, e perché?

Risposte 1) Celibi 25enni

8230

2950

0 (58

)

8788

400 (

56)

2950

0 (58

)

28

9244

300 (

54)

27

400 (

56)

28

9598 300 (

54)

200 (

52)

26

27

9850 200 (

52)

25

26

100 (

50)

10000

2000 2001 2002 2003

2510

0 (50

)

2004 ***

2) Morti bambini, per contemporanei (tra parentesi), e per generazioni (in obliquo).

0

4 10(10)

10

(20)

3020

4 10

3

102 (10)

4010

201

2

(20)

6020

0

1

40(40)

100

1004

0 40

1000 1001 1002 1003 3) Solo nel caso di dati per generazione è possibile calcolare il numero dei sopravviventi alle varie età (scritto in orizzontale: 100, 60, ...). Nell'altro caso, infatti, non si sa quanti erano al momento della nascita, né quanti ne sono morti prima dell'anno in questione.

§§§§§§§§§§§§§

Domande Questa è la popolazione residente italiana al 31.12.2003 (dati in milioni).

Età M F M+F 0 - 9 2.72 2.58 5.30 10 - 19 2.95 2.80 5.74 20 - 29 3.75 3.65 7.41 30 - 39 4.67 4.60 9.27 40 - 49 4.00 4.03 8.04 50 - 59 3.55 3.69 7.23 60 - 69 3.09 3.46 6.54 70 - 79 2.18 2.97 5.15 80 - 89 0.75 1.45 2.21 90 - oltre 0.11 0.33 0.44

27.77 29.55 57.321) Che cosa si intende per "residente" e quale concetto (da definire) si contrappone a questo?


2) Da quali e quanti uffici provengono le informazioni della tabella? 3) Perché di una popolazione interessa indagare la struttura per età? (evidenziare cause e effetti) 4) Come si può calcolare la struttura per età in maniera analitica? 5) Come si può rappresentare graficamente la struttura per età della popolazione italiana? 6) Calcolare l'età media e l'età mediana della popolazione nel suo complesso (M+F).

*** Data la seguente tabella relativa a corsi di laurea triennali, e alla carriera universitaria delle matricole dell'anno 2000 (con osservazione che termina al 31.12.2004, e sotto l'ipotesi di assenza di eventi perturbatori - cioè nessuno muore, nessuno emigra, ecc.)

Iscritti Laureati LAUREA M F M F

Letteraria 100 500 90 420 Economica 200 200 120 130 Scientifica 400 100 200 40 Totale 700 800 410 590

7) Considerando solo i maschi (M), e ignorando le differenze tra tipi di laurea, organizzare i dati su un diagramma di Lexis (specificando bene cosa c'è sugli assi, cosa può essere classificato esattamente e cosa solo approssimativamente).

8) Apparentemente le donne (F) hanno migliori carriere universitarie. Elaborando i dati della tabella, trovare indicatori che confortano questa affermazione.

9) In realtà, però, un'analisi per singolo tipo di laurea fornisce un'impressione diversa. Trovare indicatori adatti per questa affermazione, e giustificare l'apparente incompatibilità con l'affermazione precedente.

10) Standardizzando con la popolazione tipo che si ottiene unendo maschi e femmine, calcolare un opportuno tasso di successo scolastico standardizzato per i due sessi, e commentare

Risposte 1) Residente = con dimora abituale in Italia. Contrapposto a presente (=che si trova occasionalmente

in Italia). 2) Dato che non è un anno di censimento, i dati provengono dagli uffici anagrafici, che sono uno per

comune, cioè circa 8100. 3) Perché risente delle passate vicende demografiche (crisi di mortalità; declino di nascite; correnti

migratorie), se queste sono state abbastanza forti da lasciare effetti visibili. E perché influenza praticamente tutti i fenomeni: demografici (natalità, mortalità, ...), sociali (criminalità, preferenze politiche, ...) e economici (occupazione, carico pensionistico, ecc.).

4) Calcolando i cx=Px/P, ovvero il peso relativo degli individui nelle varie classi di età. Ad esempio, c60-69=6,54/57,32=11,4%.

M+F x' x' P Cum.5.30 5 26.50 5.305.74 15 86.10 11.047.41 25 185.25 18.459.27 35 324.45 27.728.04 45 361.80 35.767.23 55 397.65 42.996.54 65 425.10 49.535.15 75 386.25 54.682.21 85 187.85 56.890.44 95 41.80 57.33

57.33 2422.75 28.6742.26 41.18

Piramide x età, Italia, 31.12.2003

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

0-9

10-19

20-2930-39

40-49

50-59

60-69

70-7980-89

90-oltre

valo

ri %

Classi di età

% Maschi % Femmine


5) V. figura 6) L'età media è 42,3; l'età mediana è 41,2. 7) La figura è approssimativamente come questa, nell'ipotesi che i 410 che arrivano alla laurea lo

facciano non prima del terzo anno di studio. Restano 290 non laureati.

8)

290

410

4

3

700

20032000 2001 2002

4103

0

1

2

2004 9) Donne=73,7% di laureate, contro 58,6% per gli uomini. 10) I maschi vanno meglio delle donne in termini di "tassi di laureati" nelle materie letterarie e

scientifiche; vanno (un po') peggio soltanto nelle materie economiche. (v. col. 5 e 6 della tabella). 11) 14. Si può procedere con una popolazione tipo, ad esempio data dalla somma delle 2 popolazioni

(M+F; v. tab.). Con una popolazione comune, i tassi generici (standardizzati) di conseguimento della laurea passano al 69% per i maschi e al 64% per le femmine. Morale: in questo esempio, le femmine fanno mediamente meglio dei maschi perché scelgono lauree "più facili".

Iscritti Laureati Tassi Totale (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

LAUREA M F M F M F Iscr.T m(T) f(T) Letteraria 100 500 90 420 0.9 0.84 600 540 504 Economica 200 200 120 130 0.6 0.65 400 240 260 Scientifica 400 100 200 40 0.5 0.4 500 250 200 Totale 700 800 410 590 0.5857 0.7375 1500 1030 964 0.6867 0.6427

§§§§§§§§§§§

Domande Data questa tavola di mortalità,

x lx dx qx Lx Tx ex 0 1000 0.3 1 140 2 3 112 4 168 5 0

1) Completare la tavola di mortalità (ipotizzando che i deceduti a età 0 vivano, mediamente, solo

4 mesi). 2) Rappresentare graficamente, sullo stesso grafico, le due serie degli lx e degli Lx, evidenziando

bene i collegamenti tra le due serie.


3) In caso di mortalità costante, e assenza di migrazioni, se, nell'anno 2005, vi fossero 540mila nati, quanti di questi festeggerebbero il 2° compleanno? E quanti arriverebbero vivi al 31 dicembre del 2009?

*** 4) Quali sono (se esistono), il valore massimo e il valore minimo dei rischi di morte?

Empiricamente, questi valori sono osservati oggi in Italia (esattamente, circa, ...)? A quali età? 5) Ammettiamo che il rischio di morte per i maschi sia, mediamente, del 2% all'anno, tra il

compimento del 40° e del 50° compleanno. Se si parte con 5000 quarantenni, quanti di questi festeggeranno il 50° compleanno, tra 10 anni?

6) Si ha adesso il problema inverso: nel corso di un'indagine longitudinale, di 9mila quarantenni originari, solo 8mila arrivano poi a festeggiare il 50° compleanno. Qual è il rischio annuo di morte? E quanti di questi individui saranno vivi al momento del 45° compleanno?

7) Organizzare i dati della domanda (e della risposta) precedente su un diagramma di Lexis.

Risposte 1) V. tabella qui sotto. Vi possono essere solo due difficoltà. La prima: l4 (=336) lo si trova perché

L4 (=168) è la media aritmetica semplice tra l4 (ignoto) e l5 (=0). La seconda: vivere 4 mesi del primo anno di vita equivale a vivere 1/3 del tempo. L0 (=800) si trova quindi media ponderata tra l0 (con peso 1/3) e l1 (con peso 2/3).

x lx dx qx Lx Tx ex 0 1000 300 0.3 800 2494 2.49 1 700 140 0.2 630 1694 2.42 2 560 112 0.2 504 1064 1.90 3 448 112 0.25 392 560 1.25 4 336 336 1 168 168 0.5 5 0 0 -- 0 0 --

2) V figura qui sotto.

Lx (istogrammi) e lx (linee)

0100200

300400500600700

800900

1000

0 1 2 3 4 5

Lx

3) Al 2° compleanno arriverebbero 302.400 individui (56% di 540 mila). Al 31.12.2009 (a 4 anni

compiuti) arriverebbero 90.720 (16,8% di 540 mila). 4) Teoricamente, il minimo per qx è 0, e il massimo è il 100%. Empiricamente, il minimo si trova oggi

(nel 2000**) in Italia per le femmine, a 13 anni, ed è pari allo 0,3 per mille. Il massimo non si ha: i dati della mortalità alle età estreme sono frutto di perequazioni varie (aggiustamenti con funzioni matematiche, ecc.).

5) Se q=2%, allora p=98%. Pertanto la probabilità di sopravvivere per 10 anni è 10px=(0,98)10=0,817. Se ne deduce che, dei 5000 individui originari, ne sopravvivono circa 4085.


6) Si trova che 988,001,09000

80001010 xp , e quindi che 10qx=1,2% circa. Inoltre P45=P40 p5=

9000 (0,988)5=8485 circa. 7) V. sotto Età

50 8000

49

548

8

547

4

8464544 8485

434241 9000

400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo

4

1

5

5

§§§§§§§§§§

Domande E' data la seguente tabella.

Età(x) Donne di cui: nulibi Matrim.(1) (2) (3) (4)

0-14 3000 3000 0 15-24 1500 1300 60 25-34 2000 1000 40 35-44 3000 1000 60 45-49 3000 600 30

1) Calcolare i tassi di nuzialità specifici. 2) Calcolare tasso di nuzialità totale e, coerentemente con questo, il nubilato definitivo. 3) Calcolare l’età media al matrimonio sulla base dei tassi. 4) Senza calcolare i tassi specifici, ma utilizzando direttamente il numero dei matrimoni, si

sarebbe potuto dire qualcosa dell'intensità della nuzialità? Se no, perché? Se sì, cosa? (precisare quanto è necessario, e, ove fattibile, confrontare con risposta a domanda 2)

5) Senza calcolare i tassi specifici, ma utilizzando direttamente il numero dei matrimoni, si sarebbe potuto dire qualcosa della cadenza della nuzialità? Se no, perché? Se sì, cosa? (precisare quanto è necessario, e, ove fattibile, confrontare con risposta a domanda 3)

6) Calcolare il nubilato definito sui dati di stock. 7) Perché la risposta data alla domanda (6) è diversa da quella data alla domanda (2)? 8) Calcolare l’età media al matrimonio sui dati di stock (metodo di Hajnal). 9) Perché la risposta data alla domanda (8) è diversa da quella data alla domanda (3)? 10) Ammettiamo che i dati si riferiscano a una località in Italia. Da quale/i fonte/i ufficiale/i

possono provenire? Ci parlano di presenti o di residenti? (precisare!)


Risposte La tabella completa per le risposte è qui sotto.

Età x

Donne D di cui:nulibi N

Matrim. S x' D x' s=S/D A A s A s x' A S A S x' n=N/D n A

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)0-14 3000 3000 0 7.5 22500 0.00 15 0.00 0.000 0 0 1 15

15-24 1500 1300 60 20 30000 0.04 10 0.40 8.000 600 12000 0.86667 8.66725-34 2000 1000 40 30 60000 0.02 10 0.20 6.000 400 12000 0.5 535-44 3000 1000 60 40 120000 0.02 10 0.20 8.000 600 24000 0.33333 3.33345-49 3000 600 30 47.5 142500 0.01 5 0.05 2.375 150 7125 0.2 1 28.75

12500 375000 0.85 24.38 1750 55125 3330.0 0.15 28.68 31.5 10 never

23 ever 1) I tassi di nuzialità specifici s sono riportati nella col. 7. 2) Questi vanno moltiplicati per l'ampiezza A delle classi di età (col. 8) per ottenere i dati As della

col. 9. (Attenzione: le classi di età hanno ampiezze diverse). La loro somma dà il tasso di nuzialità totale, oTNT =.85. Il nubilato definitivo è il complemento a 1, ovvero 0.15 .

3) Per calcolare l'età media al matrimonio occorre tener conto del punto centrale di ogni classe di età x' (col. 5) e dei valori As della col. 9. Il loro prodotto riga per riga è nella col. 10, e la somma è

24,38. L'età media al matrimonio sulla base dei tassi è dunque 68,2885,0

38,24'

xx

xxs

sA

sAxx

4) No, non si sarebbe potuto dir nulla, perché il numero dei matrimoni può essere alto o basso in funzione non soltanto di quanto ci si sposa (che è quello che interessa qui) ma anche di quanto numerosa è la popolazione.

5) L'età media al matrimonio sulla base dei matrimoni effettivamente osservati si può calcolare

(considerando l'ampiezza delle classi!), ed è 5,311750

55125'

xx

xxS

SA

SAxx . Ma non è un buon

indicatore della cadenza, perché è "sporcata" dalla struttura per età. Qui la popolazione in età da matrimonio è anziana (poche quindicenni, molte quarantenni), e quindi l'età media dei matrimoni è più alta dell'età media dei tassi di matrimonio.

6) Il nubilato definito sui dati di stock andrebbe calcolato al compimento del 50° compleanno. Qui è impossibile, per mancanza di dati. Si può usare però, con poco errore, la quota di nubili 45-49 anni, che è di 0,2 (v. in fondo a col. 13).

7) Perché nella domanda (6) si fa riferimento a una sola generazione (quella, quinquennale, nata 45-49 anni prima). Nella domanda (2) si parla invece di contemporanei, e quindi di circa 35 generazioni contemporaneamente.

8) Questa misura si chiama anche SMAM, o Singulate Mean Age at Marriage. Qui SMAM=28,75. Si calcola, nella col. 14, il n. totale di anni vissuti da nubile (33), di cui un po' (10) dovuti a chi non si sposerà e un po' (23) a chi invece si sposerà. Questi 23 anni "nubili", divisi per 0.8 (ever married) danno SMAM=28.75.

9) Perché nella domanda (3) si fa riferimento alla nuzialità nel solo anno di osservazione (contemporanei), mentre nella domanda (8) si fa riferimento a un periodo di tempo "strano", in cui le generazioni tra i 15 e i 49 anni sono "osservate" per un periodo di tempo che va dal compimento del 15° compleanno all'età che hanno al momento della rilevazione. (es. la quota di donne nubili tra le 40enni dipende da quante di queste donne si sono sposate tra i 15 e i 40 anni, ovvero a partire da 25 anni prima). Su un diagramma di Lexis, il periodo di tempo "osservato" corrisponde a un triangolo.

10) Le col. (2) e (3) possono provenire da un censimento (donne o presenti o residenti) o da un'anagrafe (donne residenti). La col. (4), invece, può provenire o da uno stato civile (matrimoni di pop. presente - NB solo i matrimoni, NON anche la popolazione) o da anagrafe (matrimoni di pop. residente).


§§§§§§§§§

Domande Data la seguente tabella:

Età Donne Nati (M+F) 0-19 1500 0 20-29 600 100 30-39 450 100 40-49 300 0 50-59 150 0 60-w 0 0

Calcolare, indicando le formule: 1. L'età media della popolazione femminile 2. L'età mediana della popolazione femm. 3. Il tasso generico di natalità (per il quale serve un'ipotesi: quale?) 4. Il tasso generico di fecondità FG. 5. Il TFT (tasso di fecondità totale) 6. Che differenza concettuale c'è tra tutte queste misure di fecondità? Definirle tutte e tre a parole,

e precisare quale è più adatta per lo studio della fecondità. 7. L'età media al parto rispetto alle nascite. 8. L'età media al parto rispetto ai tassi di fecondità. 9. Che differenza concettuale c'è tra queste due misure di cadenza della fecondità? Definirle

entrambe, a parole, e precisare quale è più adatta per lo studio della fecondità. 10. Rappresentare TUTTI i dati della tab. precedente su un opportuno diagramma di Lexis.

Risposte (Le risposte successive faranno riferimento a questa tabella).

Età Donne Nati fx ax fx x' x' Dx x' Nx x' ax fx Età Donne Lx (l0=1) ax Lx * px Tx ex(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

0-19 1500 0 10 15000 0-9 800 0.80 8.0 0.800 30.0 30.020-29 600 100 0.17 1.67 25 15000 2500 41.67 10-19 700 0.70 7.0 0.875 22.0 29.330-39 450 100 0.22 2.22 35 15750 3500 77.78 20-29 600 0.60 6.0 0.857 15.0 23.140-49 300 0 45 13500 30-39 450 0.45 4.5 0.750 9.0 17.150-59 150 0 55 8250 40-49 300 0.30 3.0 0.667 4.5 12.060-w 0 0 65 0 50-59 150 0.15 1.5 0.500 1.5 6.7Tot. 3000 200 3.89 67500 6000 119.4 60-w 0 0 0 0.000 0.0

3.3% TFT 22.5 30 30.7 Tot. 3000 3030

19.0%

Tabella per risposta a domanda 13Tabella per risposta a domande 1-8

1) Dopo aver trovato il punto medio X' di ogni classe (col. 6), lo si moltiplica per il numero di donne

(col. 7), e si divide per il totale delle donne (3000) per trovare età media= 22.5. 2) Mediana = 20 (il 20° compleanno divide la pop. in due gruppi equi-numerosi, i più giovani e i più

vecchi, entrambi di 1500 persone). 3) Bisogna assumere qualcosa sulla popolazione maschile. Facendo finta che M=F, allora la pop. totale

è di 6 mila persone, e quindi, n=N/P=200/6000=3.3%. 4) FG=N/(Donne in età feconda). Prendendo, in questo caso, le età feconde tra 20 e 39 anni, si

ottiene FG=200/1050=19%. 5) Il TFT è la somma degli fx (tassi di fecondità specifici per età - col. 4). Tenendo conto

dell'ampiezza delle classi di età (col. 5), e sommando, si ottiene 3.89 (v. tabella). 6) Solo il TFT non risente della struttura per età della popolazione (FG ne risente meno di n, ma ne è

comunque influenzato). Pertanto, il TFT è la miglior misura della sola fecondità.


7) L'età media al parto rispetto alle nascite è 30200

6000'

x

xN

N

Nxx (col. 8)

8) L'età media al parto rispetto ai tassi di fecondità è 7,3089,3

4,119'

x

xf

f

fxx (col. 9)

9) Solo l'età media al parto rispetto ai tassi di fecondità (fx) non risente della struttura per età della popolazione, ed è pertanto più adatta per lo studio della cadenza della fecondità.

10) V. figura qui sotto

(0)

(0)

(100)

(100)

(0)

(0)

(200)

Dati Stock

800

700

30-39 450

600

t

50-59 150

40-49 300

0-9

10-19

20-29

§§§§§§§

Domande E' data la seguente tabella:

Età Pop al 31.12.1990

Pop. al 31.12.1991

Lx

(con l0=1) 0 400 450 0,8 1 200 300 0,4 2 150 100 0,3 3 100 100 0,2 4 50 50 0,1 5 0 0 0

e inoltre si sa che nell'anno 1991 sono nati 500 bambini. 1. Riportare su un diagramma di Lexis i dati relativi ai nati e alla popolazione alle 2 date. 2. Calcolare i sopravviventi "teorici" per ogni età al 31.12.1991. 3. Calcolare il saldo migratorio per ogni età. 4. Scrivere l'equazione della popolazione in forma completa. 5. Qual è il tasso di incremento effettivo della popolazione?


6. Quella in esame è una popolazione stazionaria? Perché (due motivi)? ***

Data la seguente tabella, relativa a una popolazione (media) in un certo anno solare Età Popol. Immigrati Emigrati

(1) (2) (3)

0-9 1000 10 20 10-19 2000 20 40 20-29 3000 30 90 30-39 4000 40 20 40-49 5000 50 20 50-59 4000 40 20 60-69 3000 30 20 70-79 2000 20 10

7. Cosa si può dire del saldo migratorio? 8. Eppure, l'analisi del TIT (tasso di immigratorietà totale) e del TET (tasso di emigratorietà totale)

dà un'immagine diversa. Perché questa differenza? 9. Qual è la "vera" età media alla emigrazione?

Risposte Età Pop al

31.12.90 Pop. al

31.12.91 Lx (con

l0=0) px (*) Pop. teor. Immigr.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (nati) (500) 0.80

0 400 450 0.8 0.50 400 50 1 200 300 0.4 0.75 200 100 2 150 100 0.3 0.67 150 -50 3 100 100 0.2 0.50 100 0 4 50 50 0.1 0 50 0 5 0 0 0 0 0

Tot. 900 1000 1.8 900 100 1) Diagr. di Lexis: v. sotto. 2) Come si vede in tabella, bisogna prima calcolare i coeff. di sopravvivenza px(*) (col. 4 - NB Calcolati

sugli Lx e non sugli lx), che sono dati dal rapporto tra Lx successivi. Es. per stimare i sopravviventi tra quelli che hanno inizialmente 2 anni, bisogna considerare il rapporto p2=L3/L2=0,2/0,3=0,67. Cioè, solo i 2/3 delle persone sopravvive fino all'anno dopo. Poiché di queste persone ce ne sono 150 (90P2), i loro sopravviventi attesi, o teorici sono 100 (91P3). Per chi nasce nell'anno 1991, e può quindi sopravvivere fino al 31.12.1991, la probabilità di sopravvivenza è data da pN=L0/l0=0,8/1=0,8. Poiché i nati sono 500, i loro sopravviventi attesi, o teorici sono 400 (91P1).

3) E' la differenza tra quelli che ci sono veramente e i sopravviventi teoricamente attesi della risposta precedente (v. col. 6).

4) 1P=0P+N-M+I-E.

5) Su un solo anno, si può fare, semplicemente, %1,11111,0900

9001000

0

0

Pt

PPr t

6) Il totale cambia, e ci sono migrazioni.


150

100

200

300

400

450

5 0 0

4 50 50

3 100

100

0

1

2

1992

500

19911990

*** 7) V. tabella. Il saldo migratorio è nullo, perché vi sono 240 immigrati e 240 emigrati. 8) Per il calcolo del TIT=ix (dove ix=Ix/Px), v. col. (4), mentre per il calcolo del TET=ex (dove

ex=Ex/Px), v. col. (5). In entrambi i casi, ricordarsi moltiplicare per 10 (ampiezza della classe). Si trova che TIT=0,8 (cioè 8 immigrazioni ogni 10 persone che vivono per tutta la vita in questa popolazione), mentre TET=0,96 (cioè 96 emigrazioni ogni 100 persone che vivono per tutta la vita in questa popolazione). Vi è dunque prevalenza di emigrazioni. La differenza con la domanda precedente dipende dalla diversa distribuzione per età del fenomeno. Nel caso di tassi generici, la struttura per età della popolazione incide sulle misure. Nel caso invece di tassi specifici (e delle loro somme, TIT e TET), la struttura per età cui si fa implicitamente riferimento è quella rettangolare.

9) La misura si può calcolare sia sulle emigrazioni vere (Ex) sia sui tassi di emigratorietà (ex). E' preferibile questo secondo calcolo, che non risente della struttura per età della popolazione.

Età Popol. Immigrati Emigrati ix ex smx x'Ex x' Ex x'

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

0 - 9 1000 10 20 0.01 0.020 -0.010 5 100 0.100 10 19 2000 20 40 0.01 0.020 -0.010 15 600 0.300 20 29 3000 30 90 0.01 0.030 -0.020 25 2250 0.750 30 39 4000 40 20 0.01 0.005 0.005 35 700 0.175 40 49 5000 50 20 0.01 0.004 0.006 45 900 0.180 50 59 4000 40 20 0.01 0.005 0.005 55 1100 0.275 60 69 3000 30 20 0.01 0.007 0.003 65 1300 0.433 70 79 2000 20 10 0.01 0.005 0.005 75 750 0.375 24000 240 240 0.08 0.096 -0.016 7700 3 0.8 0.96 -0.157 32.1 27.1

§§§§§§§§§


Domande La popolazione femminile per età, al 31.12.1980, è la seguente:

Età Popolazione 0- 9 40 10-19 30 20-29 20 30-39 10 40-w 0

I rischi di morte nel corso dei successivi dieci anni di età durante il periodo 1971-80 sono stati: a 0-9 anni = 1/4, a 10-19 anni = 1/3, a 20-29 anni = 1/2 e a 30-39 anni = 100%. Per i neonati, inoltre, si è osservato il valore L0-9/10l0=0,8. I tassi di fecondità (relativi alle sole nate femmine) sono stati i seguenti: f20-29=0,2 e f30-39=0,1. Nell'ipotesi che anche per il decennio 1981-1990 le condizioni di mortalità e di fecondità non mutino (e in assenza di migrazioni), calcolare (organizzando i dati in un tabella e in un diagramma di Lexis):

Parte a 1) la struttura per età e l'età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1980; 2) la popolazione per età oltre i 10 anni, alla fine del 1990; 3) la popolazione femminile media nelle classi di età feconde; 4) il TFT; 5) il numero di nate femmine del periodo; 6) la popolazione femminile di età 0-9 al 1990; 7) la struttura per età e l'età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1990; 8) l'età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità; 9) l'età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre,

giustificando la differenza con la risposta precedente; 10) la tavola di mortalità del periodo 1981-90, distinguendo tra dati disponibili e dati stimabili

sulla base delle ipotesi più semplici (di linearità dei decessi); organizzare poi i dati su un diagramma di Lexis;

11) l'età media, mediana e modale alla morte; 12) i tassi medi di incremento annuo (aritmetico, geometrico e esponenziale), giustificando le

differenze tra i tre. 13) il numero di morti nel decennio 1981-1990; 14) il tasso medio di incremento 1981-1990 come differenza tra tasso di natalità e di mortalità,

giustificando le eventuali differenze con la risposta 12; 15) il tasso specifico di mortalità mx,x+9 a tutte le età. Tale tasso verifica, a tutte le età, la relazione

prevista tra mx,x+9 e il rischio di morte qx? 16) la relazione che, in questa popolazione, si verifica tra i tassi di mortalità specifici e quello

generico; Parte b

10. Rispondere di nuovo alle domande 2-16 ipotizzando che, invece, nel periodo 1981-1990 la fecondità e la mortalità dimezzino rispetto al periodo precedente (con Lq40-49=100%).

Risposte


1) [Struttura per età e età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1980.]La struttura per età è la serie dei cx=Px/P. In questo caso, il totale della popolazione è 100, per cui il peso percentuale delle singole classi di età sul totale coincide con la loro numerosità: c0-9=40%; c10-19=30%; c20-29=20%; c30-39=10%. La formula per il calcolo dell'età media x=x'P/P, dove x' è quella "centrale" della propria classe. Per esempio, nella classe 10-19 (che va, per la precisione, dal momento del 10° compleanno fino al momento del 20°) il punto centrale della classe è il 15. I calcoli sono sviluppati nella tab. 1: l'età media risulta essere di 20 anni. L'età mediana compresa tra il 10° e il 20° compleanno. Nell'ipotesi di distribuzione lineare della popolazione tra questi due compleanni si avrebbe medianax= 10 + 10 (50-40)/(70-40) = 13,3. La classe di età modale, infine, è la prima (0-9 anni).

Tab. 1 - Età media della popolazione al 31.12.1980 1980 1980 1980 1980 1980 x (medio) Pop. x Pop. Età media Cum.

Età (1) (2) (3) (4) (5) 0 9 5 40 200 40 10 19 15 30 450 70 20 29 25 20 500 90 30 39 35 10 350 100 40 w -- 0 -- 100 Totale -- 100 1500 15

(3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale]

2) [Popolazione per età oltre i 10 anni alla fine del

1990].

0

10

20

30

40

w

40

30

20

10

0

31.12.80 31.12.90

Età

Persone

30

20

10

0

Persone

Fig. 1 - Previsioni demografiche sul diagramma di Lexis

??

I calcoli sono sviluppati nella fig. 1 e nella tab. 2. Ad esempio, le 40 donne che hanno età 0-9 nel 1980 hanno un rischio di morte del 25% (0,25). Ne sopravvive quindi solo il 75% (0,75), e pertanto solo 30 saranno in vita anche nel 1990, e saranno di 10 anni più vecchie, cioè in età 10-19. Lo stesso ragionamento si può ripetere anche per le restanti classi di età: in definitiva, si trovano 60 persone vive nel 1990 con oltre 10 anni di età, tutte derivanti da coloro che erano già in vita nel 1980.


Tab. 2 - Previsioni demografiche per i già vivi al 1980 1980 81-90 81-90 1990 Età al Pop. Lqx Lpx Pop. 31.12.80 (1) (2) (3) (4) 0 9 40 0.25 0.75 ?? 10 19 30 0.33 0.67 30 20 29 20 0.50 0.50 20 30 39 10 1.00 0.00 10 40 w 0 0 Totale 100 -- -- (60) (3) = 1 - (2) (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

3) [Popolazione femminile media nelle classi di età feconde.]In questo caso, le classi feconde sono quelle comprese tra i 20 e i 40 anni. La popolazione femminile media si calcola come media aritmetica semplice tra i due anni estremi del periodo (1980 e 1990). Poiché il numero delle donne è lo stesso nei due casi (20 e 10 rispettivamente per i 20-29 e per i 30-39 anni), identico rimane anche il numero delle donne feconde medie del periodo (cfr. tab. 3).

Tab. 3 - Calcolo della pop. femminile media in età feconda 1980 1990 81-90 Pop. Pop. Pop.

Età (1) (2) (3) 20 29 20 20 20 30 39 10 10 10

Totale 30 30 30 (3) = media tra (1) e (2)

4) [Calcolo del TFT]Consideriamo dapprima i tassi di fecondità riferiti alle sole nate femmine specifici per età, da 20 in su, e sommiamoli, per ottenere un indice (che si chiama R - cfr. cap. 13 del libro) R = f20 + f21 + ... + f39. D'altra parte f20 = f21 = ... = f29 = 0,2, per cui sommare questi dieci termini è come prendere 10 volte

uno di essi, quindi fx

29

20 =10 f20=2. Analogamente, fx

39

30 =10 f30=1. Si ha pertanto che R=2+1=3.

R si riferisce alle sole nate femmine, che sono, in media, 100 su 206 nati totali (maschi più femmine). Occorre quindi moltiplicare R per 2,06 per ottenere il TFT, pari a 6,18 (cfr. tab. 4).

Tab. 4 - Calcolo di R e del TFT nel 1981-90 fx

Età (1) 20 29 0.2 30 39 0.1

R = Somma x 10 3 TFT = R x 206/100 6.18

5) [Numero di nate femmine nel periodo.]Il numero di nate femmine di ogni classe di età è dato dal prodotto Px fx (in questo caso, dato che la popolazione è solo quella femminile e che i tassi di fecondità si riferiscono alle sole nate femmine). I calcoli sono sviluppati nella tab. 5, in cui si noterà anche, un'altra volta, la moltiplicazione per 10, per ottenere non solo un valore riferito a una singola classe di età media all'interno dell'intervallo decennale considerato (tra 20 e 29 o tra 30 e 39), bensì un valore


riferito al totale della classe, 10 volte più ampia di ciascuna delle sue classi medie. Nel periodo nasceranno quindi 40 bambine da donne di 20-29 anni e 10 bambine da donne di 30-39, per un totale di 50.

Tab. 5 - Calcolo del numero delle nate femmine nel 1981-90 Pop. fx N(x)

Età (1) (2) (3) 20 29 20 0.2 40 30 39 10 0.1 10

Totale 30 3 50 (3) = (1) x (2) x 10 [Totale escluso]

5) [Popolazione femminile di età 0-9 al 1990]Il calcolo della popolazione femminile in età 0-9 al 1990 è ora immediato (cfr. la tab. 6, che riprende e allarga la tab. 2). Abbiamo detto che vi sono 50 nate nel periodo 1981-90 e si sa che la probabilità che queste hanno di arrivare vive al 31.12.1990 è, complessivamente, pari all'80% (Complessivamente, perché vi saranno sia bambine nate proprio il 31.12.1990, che sono quasi sicure di arrivare vive sino alla mezzanotte, sia bambine nate invece il 1° gennaio del 1981, per le quali questa eventualità è assai meno probabile). Di queste 50 bambine, quindi, solo 40 saranno vive per allora, ovviamente in età compresa tra 0 e 9 anni compiuti.

Tab. 6 - Previsioni demografiche per il complesso della popolazione femminile 1980 81-90 81-90 1990 Pop. ^qx ^px Pop.

Età (1) (2) (3) (4) Nate nel periodo (50) 0.20 0.80

0 9 40 0.25 0.75 40 10 19 30 0.33 0.67 30 20 29 20 0.50 0.50 20 30 39 10 1.00 0.00 10 40 w 0 0 0

Totale 100 -- -- 100 (3) = 1 - (2) (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

7) [Struttura per età e età media, mediana e modale della popolazione femminile al 1990]La popolazione al 1990 è identica a quella del 1980. Di conseguenza, anche struttura per età, età media, età mediana e età modale sono le stesse. 8) [Età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità] La logica del calcolo è identica a quella del calcolo dell'età media della popolazione, salvo che si considerano gli fx, al posto dei Px, come "pesi". Il risultato dei calcoli (cfr. tab. 7) è a=28,3 anni.

Tab. 7 - Età media al parto calcolata sugli fx nel 1981-90 x (medio) fx x fx Età media Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 0.2 5.0 30 39 35 0.1 3.5 Totale -- 3 85 28.3


9) [Età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre] La logica del calcolo (cfr. tab. 8) è identica a quella del calcolo dell'età media al parto vista sopra, salvo che, come "pesi", si considerano le nate per età della madre, N(x), al posto dei tassi di fecondità fx. Il


risultato è di 27 anni, inferiore ai 28,3 calcolati prima. Per capire meglio la ragione della differenza conviene ricordare che N(x)= fx Px. Quando ci si riferisce agli fx, si considera, implicitamente, una struttura per età rettangolare, con tutti i Px= 1. Quando ci si riferisce agli N(x), invece, si considera una struttura per età "vera", normalmente (e anche in questo caso) con più persone in età giovani che non in età anziane. Di conseguenza, la popolazione effettiva che si considera è più giovane di quella "rettangolare", e così anche la sua età media al parto.

Tab. 8 - Età media al parto calcolata su N(x) nel 1981-90 x (medio) N(x) x N(x) Età media Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 40 1000 30 39 35 10 350 Totale -- 500 13500 27.0


10) [Tavola di mortalità del periodo e diagramma di Lexis].La tavola di mortalità che è possibile ricostruire sulla base dei dati disponibili non è una tavola completa (tab. 9). In primo luogo è una tavola abbreviata (per intervalli decennali di età) e, in secondo luogo, non può essere definita rispetto a tutte le sue funzioni biometriche. Le uniche disponibili sono quelle riportate, e cioè la serie dei Lpx e dei Lqx (riferiti cioè agli Lx e non agli lx, dette ) e la serie, conseguente, degli Lx. La somma degli Lx consente di calcolare la retrocumulata degli anni vissuti Tx e, in particolare, T0=20. Si ottiene poi e0=T0/l0.=20.

Tab. 9 - Sviluppo della tavola di mortalità abbreviata per il 1981-90. (tra parentesi, i valori ottenuti sulla base delle ipotesi più semplici, discusse nel testo) lx Lqx Lpx Lx,x+9 Tx ex dx,x+9 qx

Età (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 0 1.00 0.20 0.80 8.00 20.00 20.00 (0.30) (0.30) 10 (0.70) 0.25 0.75 6.00 12.00 (17.14) (0.20) (0.29) 20 (0.50) 0.33 0.67 4.00 6.00 (12.00) (0.20) (0.40) 30 (0.30) 0.50 0.50 2.00 2.00 (6.67) (0.30) (1.00) 40 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 -- (0.00) --

Totale -- -- -- 20.00 -- 1.00 -- (3) = 1 - (2). (4) [1^ riga] = (1) x (3) x 10 [ampiezza della classe]. (4) [altre righe] = Riga precedente x (3). (1) [2^ -> ultima riga] = media semplice tra 2 righe del (4), diviso 10. (5) = Somma retrocumulata (=dal basso) di (4) (6) = (5) / (1). (7) = Diffenzenze successive tra le righe di (1). (8) = (7) / (1).


0

10

20

30

40

w

60

40

20

Età

Fig. 2 - Tavola di mortalità del periodo 1980-90.

100

80

A B

CD

EF

GH

IL

Corrispondente popolazione stazionaria rappresentata sul diagramma di Lexis

M N

0

0

(70)

(50)

(30)

(0)

Nota: tra parentesi, i valori ottenuti sulla base di stime. A questo punto sono finite le informazioni certe fornite dall'esercizio. Se, come richiesto, non ci si vuole fermare, conviene proseguire sulla base di ipotesi semplici: la più semplice di tutti è quella di un'evoluzione lineare dei decessi nei periodi per cui non si dispone di informazioni dirette. Con l'aiuto anche del diagramma di Lexis della fig. 2, si vede che l'ipotesi di linearità porta ai valori di lx indicati tra parentesi. Occorre qui aprire un inciso. Di solito, l'ipotesi di linearità si avanza per calcolare i valori di Lx sulla base dei valori lx e non viceversa. Tuttavia, questa scelta non è obbligatoria: anzi spesso è introdotta per ragioni di comodo, per passare da ciò che è disponibile (lx)a ciò che non lo è (Lx). Qui, il problema è rovesciato (si conoscono gli Lx e si vogliono stimare gli lx), e appare legittimo procedere di conseguenza. Tra parentesi si può notare che l'evoluzione degli lx, e degli Lx è tale che vale, in generale, anche la relazione consueta Lx = (lx+lx+1)/2, con due eccezioni. La prima è che risulta L0,9 = (l0 x 1/3 + l10 x 2/3) x 10, cosa che non è del tutto inverosimile, data la maggior concentrazione dei decessi infantili nei primi istanti di vita. La seconda è che risulta L30,39 = (l30 x 2/3 + l40 x 1/3) x 10, anch'essa difendibile, in quanto i decessi alle età anziane (e qui siamo vicini all'età limite di questa popolazione particolare) si concentrano di solito verso l'inizio del periodo). Infine, si noti la decisione di aver supposto l40 = 0, non 10. Questo dipende dal fatto che, nel problema, si dice che L40,49 = 0. Ma se ci fosse almeno una donna sopravvivente all'età esatta di 40 anni, sarebbe impossibile non osservare almeno una frazione di anno vissuto da questa donna nelle età tra il 40° e il 50° compleanno, per cui si avrebbe che L40,49 > 0. 11) [Età media, mediana e modale alla morte] L'età media alla morte, o speranza di vita alla nascita e0=T0/l0 , è pari a 20 anni (cfr. risposta precedente). Il calcolo preciso dell'età mediana alla morte è impossibile, poiché, come si è detto, non si dispone della serie degli lx. Sulla base delle ipotesi che si sono fatte, tuttavia, si ne dovrebbe dedurre che tale età è di 20 anni, perché lì si stima sia ancora sopravvivente esattamente il 50% del contingente iniziale. Il fatto che età media e età mediana alla morte coincidano, suggerisce una distribuzione simmetrica dei


decessi. In effetti così è: nel diagramma di Lexis della fig. 2 si vede che tutti i triangoli compresi nella striscia tra AB e IL racchiudono 10 casi di decesso, tranne i due estremi (ABC e HIL), che ne racchiudono 20. Questo risponde anche all'ultima domanda, sulla (classe di) età modale alla morte. Le maggiori densità di frequenza si osservano nei primi 10 anni di vita (e in particolare, nel triangolo ABC) e negli ultimi 10 (e in particolare nel triangolo HIL). 12) [Tassi di incremento annuo] Come si è detto, nel periodo 1981-90 la popolazione non è cresciuta. Il tasso di incremento medio annuo è quindi 0, indipendentemente dal modo di calcolo. 13) [Numero di morti nel decennio 1980-1990] Si è già detto che si tratta di una popolazione stazionaria, per cui il numero dei decessi deve essere uguale a quello delle nascite = 50. In alternativa, si può applicare l'equazione della popolazione (chiusa), per cui M = 0P - tP + N, cioè 100-100+50 = 50. Infine, si può calcolare il numero dei decessi come somma di prodotti tra la popolazione esposta al rischio (80Px) e il corrispondente rischio di morte. I calcoli sono sviluppati nella tab. 12, e il totale è ancora 50. 14) [Tasso di incremento 1980-1990 come differenza tra tasso di natalità e di mortalità] Il numero dei nati nel decennio è 50, con una media annua di 5. La popolazione media è P = (tP + 0P)/2, cioè 100. Il tasso di natalità nel periodo è quindi del 5%. Idem per la mortalità (5%), per cui risulta r=n-m=0%. 15) [Tasso specifico di mortalità mx,x+9 e relazione con il rischio di morte qx] Ricordiamo innanzi tutto che il rischio di morte è la probabilità che si verifichi l'evento morte in un certo intervallo di tempo, mentre il tasso di mortalità è la frequenza dell'evento morte per numero medio di anni persona di presenza in quella popolazione. Nella nostra popolazione (che è stazionaria) il numero medio di persone anno, ad esempio, nelle età 0-9 è pari a 40 persone mediamente presenti per 10 anni = 400 persone anno. Il numero dei decessi (parzialmente stimato) è (10+5)=15. Il tasso di mortalità è quindi 15/400, ovvero del 38 per mille. Analogamente si procede al calcolo degli altri tassi specifici di mortalità, secondo i calcoli indicati nella tab. 10 (cfr. anche la fig. 3).

Tab. 10 - Calcolo dei tassi di mortalità specifici Pop. Ampiezz. Anni Morti mx media classe persona stimate per mille

Età (1) (2) (3) (4) (5) 0 9 40 10 400 (15) (38) 10 19 30 10 300 (10) (33) 20 29 20 10 200 (10) (50) 30 39 10 10 100 (15) (150)

Totale 100 -- 1000 (50) (50) (3) = (1) x (2) (4) = con ipotesi di distribuzione lineare dei decessi. (5) = (4) / (3) x 1.000.


0

10

20

30

40

w

40

30

20

10

0

31.12.80 31.12.90

Età

Persone

30

20

10

0

Persone

Fig. 3 -Viventi e decessi nel periodo organizzati sul diagramma di Lexis

40

50

10

(5)

(5)

(5)

(5)

(5)

(5)

10

A

B

E

D

C

A'

B'

E'

D'

C'

Nota: Nei triangoli sono indicati i decessi del periodo. I decessi tra parentesi sono stimati

in ipotesi di linearità del fenomeno. La relazione teoricamente attesa tra il tasso specifico di mortalità e il corrispondente rischio di morte

è data dalla formula m = )2(

2

qn

qm

, dove n è l'ampiezza della classe. Per tutte le età, i calcoli sono

sviluppati nella tab. 11, dalla quale si vede che il valore di mx,x+9 teoricamente atteso coincide con quello effettivamente calcolato solo per gli anni in cui la relazione tra gli lx e gli Lx è quella teoricamente attesa, e cioè Lx = ½(lx +lx+1).

Tab. 11 - Confronto tra i tassi di mortalità e i rischi di morte Ampiezz. qx mx per mille classe per mille teorico effettivo differenza Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 10 (300) (35) (38) -(2) 10 19 10 (286) (33) (33) (0) 20 29 10 (400) (50) (50) (0) 30 39 10 (1000) (200) (150) (50) Totale -- -- -- -- -- (3) = [2x(2)]/[2-(2)], diviso (1) [N.B. (2) considerato in frazioni di unità]

(5) = (2) - (4), con arrotondamenti. 16) [Relazione tra i tassi di mortalità specifici e il tasso generico] La relazione che si verifica in questa, come in tutte le possibili popolazioni, è che il tasso generico è una

media ponderata dei tassi specifici, e cioè

x

xx

P

Pmm . Per la verifica, cfr. tab. 12.

Tab. 12 - Confronto tra tassi di mortalità specifici e tasso generico Pop. Ampiezz. mx media classe per mille Px mx Età (1) (2) (3) (4)

0 9 40 10 (38) (1500) 10 19 30 10 (33) (1000)


20 29 20 10 (50) (1000) 30 39 10 10 (150) (1500) Totale 100 -- (50) (50)

(4) = (1) x (3) (4, totale) = somma dei (4) / somma degli (1)

PARTE B

(Nota: nelle risposte a queste domande, le spiegazioni sono omesse o ridotte al minimo in tutti i casi in cui valgono i ragionamenti condotti nella corrispondente domanda della parte a) 2b) [Popolazione per età oltre i 10 anni alla fine del 1990]

0

10

20

30

40

w

40

30

20

10

0

31.12.80 31.12.90

Età

Persone

35

25

15

5

Persone

Fig. 1b - Previsioni demografiche sul diagramma di Lexis

??

I calcoli sono sviluppati nella fig. 1b e nella tab. 1b. Le persone vive nel 1990 con oltre 10 anni di età sono 80 (contro le 60 del caso a).

Tab. 1b - Previsioni demografiche per i già nati 1980 81-90 81-90 1990 Pop. Lqx Lpx Pop. Età (1) (2) (3) (4)

0 9 40 0.125 0.875 ?? 10 19 30 0.167 0.833 35 20 29 20 0.250 0.750 25 30 39 10 0.500 0.500 15 40 49 0 1.000 0.000 5 50 59 0 0 Totale 100 -- -- (80)

(3) = 1 - (2) (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga.

3b) [Popolazione femminile media nelle classi di età feconde] Media aritmetica semplice tra i due anni estremi del periodo (1980 e 1990) per le classi di età 20-29 e 30-39 (cfr. tab. 2b): si hanno 35 anni-donna nelle età feconde, di cui 22,5 nelle età 20-29 e 12,5 nelle età 30-39.

Tab. 2b - Calcolo della pop. femminile media in età feconda


1980 1990 81-90 Pop. Pop. Pop.

Età (1) (2) (3) 20 29 20 25 22.5 30 39 10 15 12.5

Tot. 30 40 35 (3) = media tra (1) e (2)

4b) [Calcolo del TFT] R = 1,5 e TFT = 3,09 (cfr. tab. 3b).

Tab. 3b - Calcolo del TFT nel 1981-90 fx

Età (1)

20 29 0.10 30 39 0.05

R = Somma x 10 1.50

TFT = R x 206/100 3.09 5b) [Numero di nate femmine nel periodo] Cfr. tab. 4b. Nel periodo nasceranno 22,5 bambine da donne di 20-29 anni e 6,25 bambine da donne di 30-39, per un totale di 28,75 (che, in fase di diffusione dei risultati, si arrotonderà a 29, mentre in fase di sviluppo dei calcoli seguenti si terrà come numero decimale).

Tab. 4b - Nate femmine nel 1981-90 Pop. fx N(x) Età (1) (2) (3)

20 29 22.5 0.10 22.50 30 39 12.5 0.05 6.25 Totale 35 1.5 28.75

(3) = (1) x (2) x 10 [Totale escluso] 6b) [Popolazione femminile di età 0-9 al 1990] (cfr. tab. 5b, che riprende e allarga la tab. 1). Delle 28,75 nate nel 1981-90, con mortalità dimezzata rispetto all'ipotesi precedente (e quindi Lqnati,10=10%), 25,875 (arrotondabili a 26) saranno presumibilmente vive (in età 0-9) alla fine del 1990.

Tab. 5b - Previsioni demografiche per il complesso della popolazione femminile 1980 81-90 81-90 1990 Media Pop. qx px Pop. Pop.

Età (1) (2) (3) (4) (4) Nate nel periodo 28.75 0.100 0.900

0 9 40 0.125 0.875 25.875 32.94 10 19 30 0.167 0.833 35 32.50 20 29 20 0.250 0.750 25 22.50 30 39 10 0.500 0.500 15 12.50 40 49 0 1.000 0.000 5 2.50 tasso di incr. per mille 50 59 0 0 0.00 arit geom esp.

Totale 100 -- -- 105.875 102.94 5.875 5.72522 5.7089 (3) = 1 - (2)


(4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga. 7b) [Struttura per età e età media della popolazione femminile al 1990] Cfr. tab. 6b. x=19,2, contro 15 del 1980: la diminuzione della fecondità e l'aumento della sopravvivenza alle età anziane hanno provocato un invecchiamento che l'aumento della sopravvivenza alle età giovani non è riuscito a contrastare.

Tab. 6b - Struttura per età e età media della popolazione al 1990 1990 1990 x (medio) Pop. x Pop. Età media cx Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 5 25.88 129.38 24.44 10 19 15 35.00 525.00 33.06 20 29 25 25.00 625.00 23.61 30 39 35 15.00 525.00 14.17 40 49 45 5.00 225.00 4.72 50 59 55 0.00 0.00 0.00 Totale -- 105.88 2029.38 19.17 100.00

(3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] (5) = distribuzione percentuale di (4).

8b) [Età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità] E' ovvio che non è mutata rispetto a 8a), perché i tassi di fecondità sono diminuiti tutti nella stessa proporzione (si sono dimezzati). I calcoli, comunque, sono sviluppati nella tab. 7b: a=28,3 anni.

Tab. 7b - Età media al parto calcolata sugli fx nel 1981-90 x (medio) fx x fx Età media Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 0.10 2.5 30 39 35 0.05 1.8 Totale -- 1.5 42.5 28.3


9b) [Età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre] Per i calcoli, cfr. tab. 8b, e per i commenti, cfr. 8a. Si noti l'invecchiamento rispetto alla risposta 9a (27,2 contro 27), dovuto esclusivamente al fatto che è un po' invecchiata anche la popolazione femminile in età feconda (per i tassi si è già detto che le variazioni non provocano alterazione dell'età media al parto).

Tab. 8b - Età media al parto calcolata su N(x) nel 1981-90 x (medio) N(x) x N(x) Età media Età (1) (2) (3) (4)

20 29 25 22.5 563 30 39 35 6.25 219 Totale -- 287.5 7812.5 27.2


10b) Tavola di mortalità del periodo e diagramma di Lexis. I calcoli sono nella tab. 9b e nella fig. 2b. Emerge il forte innalzamente della vita media, rispetto ai calcoli della parte a (da 20 a 30,8 anni). Si noti tuttavia che nella tab. 9b, tuttavia, rispetto alla tab. 9a,


la relazione Lx = ½ (lx + lx+1) non è mai rispettata esattamente, per cui i risultati riportati per gli lx e i qx devono essere considerati validi solo approssimativamente.

Tab. 9b - Sviluppo della tavola di mortalità abbreviata per il 1981-90. (tra parentesi, i valori ottenuti sulla base delle ipotesi più semplici, discusse nel testo)

lx Lqx Lpx Lx,x+9 Tx ex dx,x+9 qx Età (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 0 1.00 0.100 0.900 9.00 30.82 30.82 (0.16) (0.16) 10 (0.84) 0.125 0.875 7.88 21.82 (25.86) (0.12) (0.14) 20 (0.72) 0.167 0.833 6.56 13.95 (19.32) (0.15) (0.20) 30 (0.57) 0.250 0.750 4.92 7.38 (12.86) (0.21) (0.36) 40 (0.37) 0.500 0.500 2.46 2.46 (6.67) (0.37) (1.00) 50 0.00 1.000 0.000 0.00 0.00 -- (0.00) --

Totale -- -- -- 30.82 -- 1.00 -- (3) = 1 - (2). (4) [1^ riga] = (1) x (3) x 10 [ampiezza della classe]. (4) [altre righe] = Riga precedente x (3). (1) [2^ -> ultima riga] = media semplice tra 2 righe del (4), diviso 10. (5) = Somma retrocumulata (=dal basso) di (4) (6) = (5) / (1). (7) = Diffenzenze successive tra le righe di (1). (8) = (7) / (1).

0

10

20

30

40

50

79

66

49

Età

Fig. 2b - Tavola di mortalità del periodo 1980-90.

100

90

A B

CD

EF

GH

IL

Corrispondente popolazione stazionaria rappresentata sul diagramma di Lexis

M N

25

(0)

(84)

(72)

(57)

(37)

Nota: tra parentesi, i valori ottenuti sulla base di stime. 11b) [Età media, mediana e modale alla morte] e0=30,8 anni. Come si è detto, gli lx valgono solo approssimativamente, per cui il calcolo preciso dell'età mediana alla morte è impossibile. Inoltre, tale calcolo non si effettua mai su classi poliennali troppo ampie, come queste. Tuttavia, volendo a tutti i costi procedere, si può notare che l'età mediana dovrebbe essere compresa tra il 30° e il 40° compleanno. Anzi, se valesse la tradizionale ipotesi di linearità dei decessi, si potrebbe procedere persino a una interpolazione lineare, che darebbe come risultato, 33,6 anni.


La classe di età modale alla morte, infine, è l'ultima, oltre il 40° anno di età (37 decessi), e in particolare all'interno del triangolo LMN (25 decessi). 12b) [Tassi medi di incremento annuo] Si ha 80P=100, 90P=105,875 e t=10. Le tre formule di calcolo danno, come risultato, ar=5,87 per mille, gr=5,73 per mille e er=5,71 per mille. La popolazione è crescente, quindi si ha che ar > gr > er. 13b) [Numero di morti nel decennio 1981-90] Con l'equazione della popolazione (chiusa), si ha M= 100-105,9+28,8=22,9. Come somma di prodotti tra la popolazione esposta al rischio (80Px) e il corrispondente rischio di morte, i calcoli sono sviluppati nella tab. 10b, e il totale è ancora 22,9.

Tab. 10b - Decessi femminili nel 1981-90 1980 81-90 81-90 Pop. ^qx Decessi

Età (1) (2) (3) Nate (28.75) 0.10 2.88

0 9 40 0.13 5.00 10 19 30 0.17 5.00 20 29 20 0.25 5.00 30 39 10 0.50 5.00 40 49 0 1.00 0.00 50 59 0 0.00 0.00 Totale 100 -- 22.875

(3) = (1) x (2) 14b) [Tasso di incremento 1980-1990 come differenza tra tasso di natalità e di mortalità] Si ha che n = N/P= 27,93 per mille e m = 22,22 per mille, per cui, per differenza, dr= +5,71 per mille. Il risultato è analogo a quello ottenuto per l'incremento geometrico, benché si sia considerata una popolazione media in senso aritmetico. In realtà, dr < ar perché in dr si considera al denominatore la popolazione media del periodo, che è maggiore della popolazione iniziale considerata invece in ar. 18b) [Tasso specifico di mortalità mx,x+9 e relazione con il rischio di morte qx] I calcoli per gli mx,x+9 sono indicati nella tab. 11b (cfr. anche la fig. 3b).


0

10

20

30

40

w

40

30

20

10

0

31.12.80 31.12.90

Età

Persone

35

25

15

5

Persone

Fig. 3b -Viventi e decessi nel periodo organizzati sul diagramma di Lexis

25,9

28,8

2,9

(2,5)

(2,5)

(2,5)

(2,5)

(2,5)

(2,5)

(2,5)

A

B

E

D

C

A'

B'

E'

D'

C'

Nota: Nei triangoli sono indicati i decessi del periodo. I decessi tra parentesi sono stimati

in ipotesi di linearità del fenomeno.

(2,5)

F F'

Tab. 11b - Calcolo dei tassi di mortalità specifici

Pop. Ampiezz. Anni Morti mx media classe persona stimate per mille Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 32.94 10 329.38 (5.38) (16) 10 19 32.50 10 325.00 (5.00) (15) 20 29 22.50 10 225.00 (5.00) (22) 30 39 12.50 10 125.00 (5.00) (40) 40 49 2.50 10 25.00 (2.50) (100) Totale 102.938 -- 1029.38 (22.88) (22)

(3) = (1) x (2) (4) = con ipotesi di distribuzione lineare dei decessi. (5) = (4) / (3) x 1.000.

Nella tab. 12b, invece, si sviluppa il confronto tra mx,x+9 e qx. Come si vede, La relazione tra le due variabili vale solo approssimativamente, perché, come si è già detto, non è strettamente vero che Lx sia ottenuto come media semplice tra due lx successivi, ma in generale gli mx teorici (ottenuti in funzione dei qx) e quelli effettivi sono molto vicini. L'unica eccezione notevole si osserva per la classe di età terminale, e questo si deve al fatto che, nel passaggio dal '71-'80 all'81-'90 la mortalità si è abbassata, e si è osservata, eccezionalmente, una distribuzione dei decessi alle età anziane molto irregolare. Si noti, in particolare, nella fig. 3b che non vi è nessun morto nel triangolo EFF', mentre, una volta "a regime" ve ne saranno diversi e ciò contribuirà a innalzare il valore degli mx effettivi, portandoli vicini ai valori teoricamente attesi.

Tab. 12b - Confronto tra i tassi di mortalità e i rischi di morte Ampiezz. qx mx per mille classe per mille teorico effettivo differenza Età (1) (2) (3) (4) (5)

0 9 10 (156) (17) (16) (1) 10 19 10 (144) (16) (15) (0)


20 29 10 (205) (23) (22) (1) 30 39 10 (357) (43) (40) (3) 40 49 10 (1000) (200) (100) (100) Totale -- -- -- -- -- (3) = [2x(2)]/[2-(2)], diviso (1) [con (2) in frazioni di unità]. (5) = (2) - (4), con arrotondamenti.

19b) Relazione tra i tassi di mortalità specifici e quello generico. E', come sempre, verificata: cfr. tab. 13b.

Tab. 13b - Cfr. tra tassi di mortalità: specifici e generico Pop. Ampiezz. mx media classe per mille Px mx Età (1) (2) (2) (3)

0 9 32.94 10 (16) (538) 10 19 32.50 10 (15) (500) 20 29 22.50 10 (22) (500) 30 39 12.50 10 (40) (500) 40 49 2.50 10 (100) (250) Totale 102.938 -- (22) (22)

(4) = (1) x (3) (4, totale) = somma dei (4) / somma degli (1)

raccolta di esercizi · 2014-07-13 · demografia (g. de santis): esercizi risolti - p. 2/27 nb non...

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