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Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur
Bewertung von Finanzderivaten
Bachelorarbeit
eingereicht bei
Prof. Dr. Thomas Gerstner
Fachbereich Informatik und Mathematik
Institut fur Mathematik
Goethe Universitat
Frankfurt am Main
von:
Benny Xiang Li
An den Hohlgarten. 23
61138 Niederdorfelden
Matrikelnummer: 3516274
Studienrichtung: Mathematik
Niederdorfelden, 14. Juni 2011
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis III
Danksagung V
Ehrenwortliche Erklarung V
1 Einleitung 1
1.1 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Grundlagen 5
2.1 Marktannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Optionstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Pfadunabhangige Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Pfadabhangige Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Options-Bewertungsmethodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Risikoneutraler Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Black-Scholes-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Stochastik und ihre numerische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Quasi-Monte-Carlo-Verfahren 15
3.1 Niederdiskrepanz-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Halton-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Faure-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Sobol-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Theoretische Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Diskrepanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Fehlerschranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Praktische Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I
II INHALTSVERZEICHNIS
3.3.1 Integral-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Vergleich Konvergenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Randomisierte Quasi-Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Randomisierungsansatz von Tuffin . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.3 Fehler des Schatzers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Numerische Ergebnisse 43
4.1 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Bewertung von Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Europaische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Asiatische Optionen diskret geometrisch . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Asiatische Optionen kontinuierlich geometrisch . . . . . . . . . . 52
5 Zusammenfassung und Ausblick 57
A Anhang: Programmcodes 59
A.1 Niederdiskrepanz-Folgen-Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2 Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.3 Integral Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.4 Europaische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.5 Asiatische Optionen diskret geometrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.6 Asiatische Optionen kontinuierlich geometrisch . . . . . . . . . . . . . . 75
Literaturverzeichnis 79
Abbildungsverzeichnis
3.1 Halton-2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Halton-100d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Faure-2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Faure-100d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Sobol-2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Sobol-100d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Integral Konvergenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8 Integral Lineare Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten . . . . . . . . 45
4.2 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse . . . . . 46
4.3 Euro-Call Ito-Ansatz Konvergenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Euro-Call Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten . . . . 49
4.6 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse . 49
4.7 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Konvergenzverhalten . . . . . . . . . . . . 50
4.8 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse . . . . . . . . . 51
4.9 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten . 52
4.10 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressions-
analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.11 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Konvergenzverhalten . . . . . . . . 54
4.12 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse . . . . . 54
III
Danksagung
Sehr bedanken mochte ich mich an dieser Stelle bei Prof. Dr. Thomas Gerstner, der
mich beispielhaft betreute und mir auf der Suche nach Losungswegen immer Rede und
Antwort stand. Auch mochte ich mich bei Stefan Heinz bedanken, der bezuglich dieses
Themas ein ausgezeichneter Diskussionspartner war und ebenso wie Matthias Gartner
beim Korrekturlesen eine große Hilfe darstellte.
Ehrenwortliche Erklarung
Hiermit erklare ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstandig abgefaßt und keine an-
deren Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe. Ich erklare ferner, dass diejenigen
Stellen der Arbeit, die anderen Werken wortlich oder dem Sinn nach entnommen sind,
in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quellen kenntlich gemacht sind.
Niederdorfelden, 14. Juni 2011
Kapitel 1
Einleitung
Finanzderivate haben sich seit der Entwicklung des arbitragefreien Bewertungsmodells,
und im Jahre 1973 durch Fischer Black und Myron Scholes sowie unabhangig davon
Robert Merton zu einem wichtigen Bestandteil der modernen Finanzmarkte entwickelt.
Bereits im Jahre 1630 wurden in den Niederlanden Optionen auf Tulpen ausgegeben,
mit denen sich die Tulpenhandler gegen schwankende Preise absichern wollten. Aller-
dings eroffnete erst im Jahre 1973 der erste amtlich geregelte Derivatehandel Board
Option Exchange in Chicago, 1990 entstand in Frankfurt die Deutsche Terminborse.
Im Wesentlichen gibt es drei Klassen von Finanzderivaten
• Optionen: Eine Option ist ein Vertrag, der dem Halter das Recht, aber nicht die
Pflicht gibt, eine bestimmte Transaktion am oder bis zum Verfallstag zu einem
bestimmten Preis, dem Ausubungspreis, zu tatigen.
• Forwards und Futures : Ein Forward ist ein Vertrag, eine Vereinbarung zwischen
zwei Institutionen oder Personen, einen Basiswert untereinander am Verfallstag zu
einem bestimmten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Der Unterschied zur Option
ist, dass der Basiswert bei einem Forward geliefert und bezahlt werden muss.
Ein Future ist im Wesentlichen ein standardisierter Forward, mit dem gehandelt
werden kann. Der Unterschied zum Forward ist, dass der Future-Wert taglich
berechnet und von den Vertragsparteien ausgeglichen wird.
• Swaps : Ein Swap ist ein Vertrag, zu festgelegten Zeitpunkten gewisse finanzielle
Transaktionen zu tatigen, die durch eine vorgegebene Formel bestimmt werden.
Beispiele sind Zinsswaps, die Vereinbarungen zwischen zwei Parteien darstellen,
1
2 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Zinszahlungen fur einen bestimmten Betrag innerhalb eines bestimmten Zeitrau-
mes zu leisten.
Bisher gibt es nur fur wenige Derivatetypen analytische Losungen oder Approximations-
Formeln, aus diesem Grund muss auf numerische Verfahren zur Approximation des
Preises zuruckgegriffen werden. An solche Approximationsverfahren ergeben sich aus
der Praxis folgende Anforderungen
1. Konvergenz: Der Berechnungsaufwand sollte moglichst gering sein und bei einem
Einsatz relativ genaue Ergebnisse innerhalb kurzer Zeit liefern.
2. Approximationsfehler: Eine Abschatzung des Approximationsfehlers ist wichtig,
damit das Risiko der Verwendung des Approximationswerts in weiteren Berech-
nungen quantifiziert werden kann.
3. Flexibilitat: In der Praxis werden standig neue Derivatetypen entwickelt. Ein
flexibles Bewertungsverfahren reduziert den Aufwand und ermoglicht schneller
auf Anderungen zu reagieren.
Zur Approximation der Preise von Finanzderivaten existieren verschiedene Ansatze,
z.B. gitterbasierte Verfahren die Binomialbaum-Methode, Finitedifferenzen-Verfahren
usw. In der vorliegenden Arbeit beschaftige ich mich mit einem simulationsbasierten
Verfahren, das Monte-Carlo- bzw Quasi-Monte-Carlo-Verfahren. Der Grund fur die
Wahl von simulationsbasierten Verfahren ist deren Flexibilitat bezuglich immer kom-
plexer werdender Finanzinstrumente, und deren einfache Implementierung.
Ein Problem des Monte-Carlo-Verfahrens ist die geringe Konvergenzgeschwindigkeit
von O(1/√N). Mit Varianzreduktionsmaßnahmen wird die Konvergenzgeschwindigkeit
des Monte-Carlo-Verfahrens um einen konstanten Faktor verbessert. Zwei gute Metho-
den sind Antithetic Variates und Control Variates, auf die ich in dieser Arbeit nicht
eingehen werde. Fur diese Methoden verweise ich den Leser auf P. Glassermann Monte
Carlo Methods in Financial Engineering.
Erweiterung zum Monte-Carlo-Verfahren ist die Quasi-Monte-Carlo-Verfahren. Das Quasi-
Monte-Carlo Verfahren arbeitet nach dem Schema des Monte-Carlo Verfahrens, verwen-
det dabei aber deterministische Niederdiskrepanz-Folgen anstelle von Pseudo-Zufallsfolgen
zur Simulation der Basiswerte. Durch die gleichmaßigere Verteilung der Folgenglieder
im Wertebereich erreicht das Quasi-Monte-Carlo Verfahren ein asymptotisch besseres
Konvergenzverhalten als das Monte-Carlo-Verfahren, die in dieser Arbeit genauer be-
trachtet wird.
1.1. AUFBAU DER ARBEIT 3
1.1 Aufbau der Arbeit
Die vorliegende Arbeit folgt in ihrem Aufbau den bereits dargestellten Punkten
• Im Kapitel 2 werden die allgemeinen Grundlagen und Prinzipien, wie Marktan-
nahmen, Optionstypen und die arbitragefreie Options Bewertungsmethodik des
verbreiteten Black-Scholes-Modells vorgestellt. Das Black-Scholes-Modell ist fur
deterministische Portfolios eine modellspezifische stochastische Differentialglei-
chung und ihre Losung ist ein stochastisches Optimierungsproblem. Zur losung
des stochastischen Optimierungsproblems wird die Stochastik und ihre numeri-
sche Behandlung zum Schluss des Kapitels eingefuhrt.
• Kapitel 3 beschaftigt sich ausschließlich mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren.
In einem ersten Schritt werden die Niederdiskrepanz-Folgen vorgestellt, darauf
aufbauend werden die theoretische Grundlagen und die Eigenschaften des Quasi-
Monte-Carlo-Verfahrens diskutiert. Zum Abschluss des Kapitels werden das Quasi-
Monte-Carlo-Verfahren fur die Approximation des Werts eines Integrals als prak-
tische Anwendung vorgestellt, und die Ergebnisse mit dem klassischen Monte-
Carlo-Verfahren hinsichtlich Fehler und Konvergenzverhalten verglichen.
• In Kapitel 4 werden die numerischen Ergebnisse vorgestellt. In einem ersten
Schritt werden die Implementierung des Quasi-Monte-Carlo-Verfahrens vorge-
stellt, daraufhin werden mit dem Verfahren Pfadunabhangige und Pfadabhangige
Optionen bewertet und Fehler und Konvergenzverhalten des Verfahrens disku-
tiert.
• Die Arbeit schließt in Kapitel 5 mit einer Zusammenfassung der dargestellten
Verfahren und einem Ausblick auf mogliche Erweiterungen.
Kapitel 2
Grundlagen
In diesem Kapitel werden die allgemeinen Grundlagen und Prinzipien eingefuhrt, die
spater in dieser Arbeit von Bedeutung sind.
2.1 Marktannahmen
• Auf dem Markt gibt es keine Reibungsverluste, Transaktionskosten, Steuern usw.
• Auf dem Markt gibt es keine Arbitrage1-Moglichkeiten.
• Marktteilnehmer bevorzugen bei gleichen Kosten und Risiken immer die Strategie
mit dem großten Gewinn.
• Marktteilnehmer konnen beliebige Stuckzahlen von Finanzinstrumenten kaufen
und verkaufen, der Preis des Instruments wird dadurch nicht beeinflusst.
• Der Preis eines Instruments ist unabhangig von der Bonitat der Handelspartner.
• Aktien sind in beliebigen Mengen handelbar, kontinuierliches Handeln ist moglich.
• Der Optionshandel ist zu jedem Zeitpunkt t ∈ [0, T ] moglich .
2.2 Optionstypen
Im wesentlichen gibt es zwei Klassen von Optionstypen, Pfadunabhangige Optionen
und Pfadabhangige Optionen.
1Arbitrage: Ein Handelsgeschaft bei dem Preisdifferenzen fur ertrags- und risikoidentische Anlagenausgenutzt werden, um einen risikolosen Gewinn ohne Kapitaleinsatz zu erwirtschaften.
5
6 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
2.2.1 Pfadunabhangige Optionen
Definition 2.1 (Europaische Optionen) Eine Europaische Option ist ein Vertrag,
der einen Basiswert ST am Verfallstag T zum Ausubungspreis K getatigt werden kann.
Die Auszahlungsfunktion eines Europaischen Calls zum Zeitpunkt T lautet
CT = (ST −K)+.
Die Auszahlungsfunktion eines Europaischen Puts zum Zeitpunkt T lautet
PT = (K − ST )+.
Definition 2.2 (Binare Optionen) Eine Binare Option ist ein Vertrag, der wertlos
wird, wenn der Kurs des Basiswerts ST zum Verfallstag T eine festgelegte Schranke K
uber- oder unterschreitet. Im Gegensatz zur Europaischen Optionen ist die Hohe des
Auszahlungsbetrags B unabhangig vom Kurs des Basiswerts. Die Auszahlungsfunktion
eines Binaren Calls zum Zeitpunkt T lautet
CT =
B falls ST > K
0 sonst.
Die Auszahlungsfunktion eines binaren Puts zum Zeitpunkt T lautet
PT =
B falls ST < K
0 sonst.
Definition 2.3 (Chooser Optionen) Eine Chooser Option ist ein Vertrag, der den
Kaufer zum Verfallstag T wahlt lasst, ob er einen Europaischen Call CT oder einen
Europaischen Put PT erhalten mochte. Die Auszahlungsfunktion einer Choose Option
zum Zeitpunkt T lautet
VT = maxCT , PT.
2.2.2 Pfadabhangige Optionen
Definition 2.4 (Asiatische Optionen mit diskretem geometrischen Mittel) Eine
Asiatische Option ist ein Vertrag, dessen Wert von dem Durchschnitts-Kurs des Basis-
werts abhangt. Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Calls fur M Mittelungszeit-
2.2. OPTIONSTYPEN 7
punkte mit diskretem geometrischen Mittel zum Zeitpunkt T lautet
CT =
( M∏i=1
Sti
) 1M
−K
+
.
Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Puts fur M Mittelungszeitpunkte mit dis-
kretem geometrischen Mittel zum Zeitpunkt T lautet
PT =
K −( M∏i=1
Sti
) 1M
+
.
Definition 2.5 (Asiatische Optionen mit kontinuierlichem geometrischen Mittel)
Eine Asiatische Option ist ein Vertrag, dessen Wert von dem Durchschnitts Kurs des
Basiswerts abhangt. Wenn die Zahl der Mittelungszeitpunkte sehr groß wird, konnen
stattdessen auch entsprechende kontinuierliche Mittel betrachtet werden. Die Auszah-
lungsfunktion eines Asiatischen Calls fur das kontinuierliche geometrische Mittel zum
Zeitpunkt T lautet
CT =
(exp
(1
T
∫ T
0
ln(Sτ ) dτ
)−K
)+
.
Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Puts fur das kontinuierliche geometrische
Mittel zum Zeitpunkt T lautet
PT =
(K − exp
(1
T
∫ T
0
ln(Sτ ) dτ
))+
.
Definition 2.6 (Amerikanische Optionen) Eine Amerikanische Option ist ein Ver-
trag, der fur einen Zeitraum 0 ≤ t ≤ T gilt einen Basiswert St bis spatestens zum
Verfallstag T zum Ausubungspreis K getatigt werden kann. Die Auszahlungsfunktion
eines Amerikanischen Calls zum Zeitpunkt t lautet
Ct = max0≤t≤T
(St −K)+.
Die Auszahlungsfunktion eines Amerikanischen Puts zum Zeitpunkt t lautet
Pt = max0≤t≤T
(K − St)+.
8 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
2.3 Options-Bewertungsmethodik
2.3.1 Risikoneutraler Ansatz
Den Risikoneutralen Ansatz haben Cox, Ross und Rubinstein entwickelt. Sie beobachten
den Optionspreis nicht direkt von den Risikopraferenzen der einzelnen Marktteilnehmer,
sondern von einem Modell, der von Aktie und risikolosen Bonds abhangt.
Definition 2.7 (Aquivalentes Martingalmaß) Das aquivalente Martingalmaß P ∗
zu der Wahrscheinlichkeitsverteilung P von St ist dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß
unter dem der diskontierte Prozess e−rt · St ein Martingal ist
e−r∆t · E∗[St+∆t] = St fur alle t, ∆t > 0,
wobei E∗ den Erwartungswert und r die risikolose Zinsrate.
Das heißt der kunftige Gewinn der Aktie ist der risikoneutrale Zins.
Satz 2.1 (Martingal-Ansatz fur Europaische Optionen) Der faire Wert einer Op-
tion ohne vorzeitiges Ausubungsrecht ist der diskontierte Erwartungswert der Auszah-
lung unter dem aquivalenten Martingalmaß gegeben durch
V (S0) = e−rT · E∗[V (ST )],
wobei V (ST ) den Wert der Option zum Verfallstag T bezeichnet.
Beweis: Siehe Harrison, Pliska Selbstfinanzierung, Girsanov-Theorem.
Satz 2.2 (Martingal-Ansatz fur Amerikanische Optionen) Der faire Wert einer
Option mit vorzeitigem Ausubungsrecht ist ein optimale-Stoppzeit-Problem der diskon-
tierte Erwartungswert der Auszahlung unter dem aquivalenten Martingalmaß gegeben
durch
V (S0) = max0≤t≤T
e−rt · E∗[V (St)],
wobei V (St) den Wert der Option zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] bezeichnet.
Beweis: Siehe Harrison, Pliska Selbstfinanzierung, Girsanov-Theorem.
2.3. OPTIONS-BEWERTUNGSMETHODIK 9
2.3.2 Black-Scholes-Ansatz
Mit Hilfe der Black-Scholes-Formel lassen sich einige Optionspreise berechnen, wie von
Europaischen Optionen, Binaren Optionen, Asiatischen Optionen mit diskretem geome-
trischen Mittel, Asiatischen Optionen mit kontinuierlichem geometrischen Mittel usw.
Satz 2.3 (Black-Scholes-Formel fur Europaische Call)
C0 = S0Φ(d1)−Ke−rTΦ(d2)
wobei
Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−s
2/2 ds, x ∈ R,
d1 =ln(S0/K) + (r + σ2/2)T
σ√T
,
d2 = d1 − σ√T .
Satz 2.4 (Black-Scholes-Formel Asiatische Call diskret geometrisch)
VS,0 = S0AΦ(d+ σ
√T1
)−Ke−rTΦ(d)
wobei
Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−s
2/2 ds, x ∈ R,
A = exp
(−r(T − T2)− σ2(T2 − T1)
2
),
d =ln(S0/K) + (r − σ2/2)T2
σ√T1
,
T1 = T − M(M − 1)(4M + 1)
6M2∆t,
T2 = T − (M − 1)
2∆t.
Satz 2.5 (Black-Scholes-Formel Asiatische Call kontinuierlich geometrisch)
VS,0 = S0e−12
(r+σ2/6)TΦ(d+ σ
√T/3
)−Ke−rTΦ(d)
10 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
wobei
Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−s
2/2ds, x ∈ R,
d =ln(S0/K) + 1
2(r − σ2/2)T
σ√T/3
.
Definition 2.8 (Black-Scholes-Modell) Black und Scholes modellieren die Kurs-
entwicklung St einer Aktie durch eine stochastische Differentialgleichung
dSt = µdt+ σdWt
wobei
St : Kurs der Aktie S zum Zeitpunkt t
µ : Drift
dt : Zeitdifferential
σ : Volatilitat
dWt : Standard-Wiener-Prozess.
2.4 Stochastik und ihre numerische Behandlung
Um die Black-Scholes stochastische Differentialgleichung zu losen, wird die Stochastik
und ihre numerische Behandlung benotigt.
Definition 2.9 (Stochastischer Prozess) Sei (Ω,Σ, P ) ein Wahscheilichkeitsraum,
mit Ereignismenge Ω, Ereignisalgebra Σ und Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Σ. Sei
(Z,Z) ein weiterer mit einer Sigma-Algebra versehner Raum und T eine Indexmenge.
Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen
Xt : Ω→ Z
fur alle t ∈ T , wobei die Abbildung Xt Z-messbar sein muss.
Definition 2.10 (Wiener-Prozess) Ein Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochas-
tischer Prozess, der normalverteilte unabhangige Zuwachse hat und die folgenden Ei-
genschaften
• W0 = 0 fast sicher
2.4. STOCHASTIK UND IHRE NUMERISCHE BEHANDLUNG 11
• Wt ist stetig fast sicher
• Wt −Ws ∼√t− s · Φ(0, 1) = Φ(0, t− s)
wobei Φ(0, 1) eine normalverteilte Zufallszahl mit Mittelwert 0 und Varianz 1 ist.
Definition 2.11 (Euler-Maruyama-Verfahren) Sei (Wt)t≥0 ein Wiener-Prozess und
a, b : R×[0, T ]→ R zwei Funktionen mit folgendem stochastischem Anfangswertproblem
dSt = a(t, St)dt+ b(t, St)dWt, St0 = A.
Diese wird als Integralgleichung
St = St0 +
∫ t
t0
a(u, Su) du+
∫ t
t0
b(u, Su) dWu, t ≥ tt0 ,
interpretiert, wobei das zweite Integral ein Ito-Integral ist. Die stochastische Differenti-
algleichung wird diskretisiert,
Sti+1= Sti + a(ti, Sti)h+ b(ti, Sti)∆Wi, i=0,...,N−1,
wobei h = T/N die Schrittweite zu N ∈ N auf dem Gitter ti = i · h, i=0,...,N−1, ist und
∆Wi+1 = Wti+1−Wti, i=0,...,N−1.
Das wichtigste theoretische Resultat der Naherung St, bezuglich des exakten Wertes St
des Euler-Maruyama-Verfahrens, wird durch die Konvergenz des Verfahrens erfasst.
Definition 2.12 (Starke und schwache Konvergenz) Ein numerisches Verfahren
zur Losung einer stochastischen Differentialgleichung konvergiert stark mit der Ordnung
α > 0, falls fur alle p ∈ N
maxn
E[|Stn − Stn|p
] 1p ≤ K1 · hα
gilt mit einer von der Schrittweite h unabhangigen Konstante K1 > 0.
Das Verfahren konvergiert schwach mit der Ordnung β > 0, falls fur alle Polynome P
maxn
∣∣∣E[P (Stn)]− E[P (Stn)]∣∣∣ ≤ K2 · hβ
gilt mit einer von der Schrittweite h unabhangigen Konstanten K2 > 0.
12 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
Satz 2.6 (Konvergenz des Euler-Maruyama-Verfahrens) Gilt fur die Funktio-
nen a(t, S) und b(t, S) mit Konstanten K1, K2, K3, K4 > 0
1. |a(t, x) + a(t, y)|+ |b(t, x) + b(t, y)| ≤ K1|x− y|,
2. |a(t, x)|+ |b(t, x)| ≤ K2(1 + |x|),
3. |a(s, x)− a(t, x)|+ |b(s, x)− b(t, x)| ≤ K3(1 + |x|)|s− t|1/2,
4. a, b ∈ C(2+ε) fur ein ε > 0 (mehr als 2-mal differenzierbar),
dann existiert eine eindeutige Losung der stochastischen Differentialgleichung und das
Euler-Maruyama-Verfahren konvergiert stark mit der Ordnung 1/2 und schwach mit
der Ordnung 1.
Beweis: Siehe P. Kloeden Numerical Solution of Stochastic Differential Equations.
Satz 2.7 (Ito-Lemma) Sei St ein Ito-Prozess, a und b zwei Funktionen mit
dSt = a(t, St)dt+ b(t, St)dWt
und V (t, St) eine Funktion mit stetigen Ableitungen ∂V∂t
, ∂V∂St
und ∂2V∂S2
t. Dann ist V (t, St)
ein Ito-Prozess mit
dVt =
(∂V
∂t+ a(t, St)
∂V
∂St+
1
2(b(t, St))
2∂2V
∂S2t
)dt+ b(t, St)
∂V
∂StdWt
Beweis: Taylor-Entwicklung von V (t, St) in t und St
dV =∂V
∂tdt+
∂V
∂StdSt +
1
2
∂2V
∂S2t
dS2t + . . . .
ersetzen dSt = adt+ bdWt und erhalten
dV =∂V
∂tdt+
∂V
∂St(adt+ bdWt) +
1
2
∂2V
∂S2t
(a2dt2 + 2abdtdWt + b2dW 2t ) + . . . .
Fur dt → 0 konnen dt2 und dtdWt vernachlassigt werden und dW 2t strebt nach dt,
denn dW 2t → E[dW 2
t ] = dt. Nach Zusammenfassen der ubrigen Terme, ist das Lemma
bewiesen.
2.4. STOCHASTIK UND IHRE NUMERISCHE BEHANDLUNG 13
Bemerkung: Im Black-Scholes-Modell ist a(S, t) = µSt und b(S, t) = σSt.
Satz 2.8 (Ito-Formel) Die Losung der Black-Scholes-SDE ist gegeben durch
St = S0 · e(µ− 12σ2)t+σWt .
Diskretisierung
Sti+1= Sti · e(µ− 1
2σ2)h+σ
√h∆Wi ,
wobei h = T/N die Schrittweite zu N ∈ N auf dem Gitter ti = i · h, i=0,...,N−1, ist und
∆Wi+1 = Wti+1−Wti, i=0,...,N−1.
Beweis: Setze V (t, St) = ln(StS0
), dann ist
d ln
(StS0
)= 0 +
(Stµ
1
St+
1
2S2t σ
2
(− 1
S2t
)dt+ Stσ
1
StdWt
)
=
(µ− σ2
2
)dt+ σdWt.
Daraus folgt
ln
(StS0
)=
(µ− σ2
2
)t+ σWt
⇔ St = S0 · e(µ− 12σ2)t+σWt ,
wegen limt→0
St = S0 folgt die Behauptung.
Bemerkung: Der logarithmische Zuwachs ln(StS0
)ist normalverteilt mit Mittelwert(
µ− σ2
2
)t und Varianz σ2t, und somit ist St lognormalverteilt.
Es gilt E[eσWt ] = eσ2t2 , folglich ist der Erwartungswert von St
E[St] = S0 · eµt
und die Varianz von St
V ar[St] = E[S2t ]− (E[St])
2
14 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
= S20 · e(2µ+σ2)t − (S0eµt)2
= S0 · e2µt(eσ2t − 1).
Kapitel 3
Quasi-Monte-Carlo-Verfahren
Das Monte-Carlo-Verfahren kann fur Approximation des Wertes eines Integrals verwen-
det werden. Sei Ω ein zusammenhangendes Gebiet aus Rd. Die Mote-Carlo-Approximation
ist definiert als
I(f) =
∫Ω
f(u) du ≈ V ol(Ω) · 1
N
N∑i=1
f(xi),
also erfolgt zunachst die Auswertung der zu integrierenden Funktion f an zufallig
gewahlten Stellen xi fur i=1,...,N im Integrationsbereich, und das arithmetische Mittel
der Funktionswerte f(xi) approximiert den Wert des Integrals. Nach dem Gesetz der
großen Zahlen konvergiert das arithmetische Mittel der Funktionswerte mit zunehmen-
der Anzahl von Auswertungen gegen den wahren Wert des Integrals. Das Monte-Carlo-
Verfahren benutzt bei der Approximation die Pseudo-Zufallsfolgen. Das Wesentliche
ist die Zufalligkeit des Integrationsbereichs. Ein Nachteil ist das langsames Konver-
genzverhalten. Um dieses Verhalten zu verbessern, bietet sich das Quasi-Monte-Carlo-
Verfahren an. Das Quasi-Monte-Carlo-Verfahren verwenden statt Pseudo-Zufallsfolgen
Niederdiskrepanz-Folgen zur Bestimmung der Auswertungsstellen. Die Glieder dieser
Folgen sollen den Integrationsbereich gleichmaßiger ausfullen und dadurch eine schnel-
lere Konvergenz des Verfahrens erzielen.
15
16 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
3.1 Niederdiskrepanz-Folgen
3.1.1 Halton-Folge
Die Halton-Folge ist eine der am leichtesten zu berechnenden Niederdiskrepanz-Folgen.
Zur Berechnung des j-ten Elements des i-ten Glieds x(j)i wird die Zahl i in einer Basis
pj dargestellt mit
i =∞∑k=0
nkpkj .
Die benutzten Basen sind die ersten d Primzahlen (d ist Dimension der xi fur i=1,...,N).
Aus der Entwicklung von i bezuglich pj erhalt man x(j)i durch die radikal-inverse Trans-
formation
x(j)i =
∞∑k=0
nkp−k−1j .
Abbildung 3.1 Halton-2d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Halton−Folge (N = 1000)
p1 = 2
p2 =
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Halton−Folge (N = 10000)
p1 = 2
p2 =
3
In Abbildung 3.1 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten
10000-Punkte aus der 1. und 2. Komponente einer 2-dimensionalen Halton-Folge.
Die Halton-Folge verwendet fur jede Dimension unterschiedliche Basen, da andernfalls
einzelne Komponenten in jedem Glied gleich waren und bestimmte Teile des Integrati-
onsbereichs nicht abgedecken wurden. Die kleinsten moglichen Basen werden benutzt,
um ein sehr uniformes Verhalten auch bei wenigen Folgengliedern zu erreichen, je grosser
die beteiligten Basen sind, desto mehr Folgenglieder werden benotigt, um dem Raum
3.1. NIEDERDISKREPANZ-FOLGEN 17
zu fullen. Benutzt man die Basen p1 < p2 < . . . < pN , dann werden p1 · p2 · · · pN Fol-
genglieder benotigt, um den Raum in den Dimensionen zu fullen, sodass kein großerer
Bereich leer bleibt.
Fur d = 10 werden Beispielsweise (2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29) = 6469693230
Folgen benotigt. Mit steigender Dimension, wachst die Basen stark auf, so tritt eine
gleichmassige Verteilung erst fur eine sehr grosse Anzahl von Folgen auf. In Abbildung
3.2 wird das Verhalten illustriert.
Abbildung 3.2 Halton-100d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Halton−Folge (N = 1000)
p1 = 523
p2 =
541
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Halton−Folge (N = 10000)
p1 = 523
p2 =
541
In Abbildung 3.2 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten
10000-Punkte aus der 99. und 100. Komponente einer 100-dimensionalen Halton-Folge.
Hier erkennt man, dass großen Bereiche leer bleiben. Um dieses Verhalten zu verbessern,
wird die Faure-Folge vorgestellt.
3.1.2 Faure-Folge
Die Faure-Folge beruht wie die Halton-Folge auf der Entwicklung der Folgennummer i
in einer Basis p
i =∞∑k=0
nkpk.
Faure-Folgen verwenden fur alle Komponenten ein einheitliches p, die kleinste Primzahl
mit p ≥ d. Die einzelnen Zahlen nk werden fur jede Dimension j in Ziffern α(j)k wie folgt
18 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
geordnet
α(j)k =
[∞∑m≥k
(m
k
)nk(j − 1)m−k
]mod p.
Nach Umformung der Ziffern berechnen sich die Folgekomponenten x(j)i wie bei der
Halton-Folge durch Spiegelung der α(j)k am Dezimalpunkt
x(j)i =
∞∑k=0
α(j)k p−k−1.
Abbildung 3.3 Faure-2d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Faure−Folge (N = 10000)
p1 = 2
p2 =
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Faure−Folge (N = 1000)
p1 = 2
p2 =
2
In Abbildung 3.3 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten
10000 Punkte der 1. und 2. Komponente einer 2-dimensionalen Faure-Folge.
Im Unterschied zu Halton-Folge fullt die Faure-Folge den d-dimensionalen Einheitswurfel
in einheitlichen Zyklen der Lange p. Bei gleicher Dimension ist p deutlich kleiner als
die großte Basis in der Halton-Folge. Diese wirkt sich auf die Uniformitat in hoheren
Dimension aus. Das Verhalten wird in Abbildung 3.4 illustriert.
3.1. NIEDERDISKREPANZ-FOLGEN 19
Abbildung 3.4 Faure-100d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Faure−Folge (N = 1000)
p99 = 101
p100
= 1
01
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Faure−Folge (N = 10000)
p99 = 101
p100
= 1
01
In Abbildung 3.4 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten
10000 Punkte aus der 99. und 100. Komponente einer 100-dimensionalen Faure-Folge.
Hier erkennt man, dass fur wenig Simulationen immer noch großen Bereiche leer bleiben.
Um dieses Verhalten zu verbessern, wird die Sobol-Folge vorgestellt.
3.1.3 Sobol-Folge
Die Sobol-Folge ist eine der am schwierigsten zu generierenden Folgen. Zuerst generiert
man fur jede Komponente j ein primitives Polynom uber F2 der Form
Pj(x) = xdj + α(j)1 xdj−1 + α
(j)2 xdj−2 + . . .+ α
(j)dj−1x+ 1.
Die berechneten α(j)k verwendet man anschliessend zur Generierung von Mengen unge-
rader naturlicher Zahlen
M (j) = m(j)1 , . . . ,m
(j)dlog2Ne.
Hierbei ist 0 < m(j)i < 2i und N bezeichnet die Anzahl der zu generierenden Glieder.
Fur i ≤ dj wahlt man zur Generierung die d kleinsten ungeraden ganzen Zahlen aus.
Fur dj > i erhalt man m(j)i aus den α
(j)k durch die rekursive Formel
m(j)i = 2α
(j)1 m
(j)i−1 ⊕ 22α
(j)2 m
(j)i−2 ⊕ · · · ⊕ 2dj−1α
(j)dj−1m
(j)i−d+1 ⊕ 2djm
(j)i−dj ⊕m
(j)i−dj .
20 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Der Operator ⊕ bezeichnet das bitweise exklusive Oder (XOR).
Beispielsweise ist
1001101⊕ 0101001 = 1100100.
Durch Umwandlung der mji in binare Bruche erhalt man sogenannte Direction-Numbers
vji
v(j)i =
m(j)i
2ifur i = 1, 2, . . . , dlog2Ne.
Zur Generierung der einzelnen Folgenglieder xk geht man fur jede Komponente x(j)k wie
folgt vor
x(j)k−1 =
∞∑i=0
ni2−i−1.
Man bestimmt nun in einer Binardarstellung von k− 1 die Position l der am weitesten
rechts liegenden 0-Ziffer. Anschließend wird die zu l und j zugehorige Direction-Number
binar dargestellt durch
v(j)l =
∞∑k=0
ok2−k−1.
Die Ergebniskomponente x(j)k erhalt man durch XOR aus den Ziffern von x
(j)k−1 und v
(j)l
x(j)k =
∞∑i=0
(ni ⊕ oi)2−i−1.
Abbildung 3.5 Sobol-2d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sobol−Folge (N = 1000)
p1 = 2
p2 =
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sobol−Folge (N = 10000)
p1 = 2
p2 =
2
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 21
In Abbildung 3.5 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten
10000 Punkte aus der 1. und 2. Komponente einer 2-dimensionalen Sobol-Folge.
Die Sobol-Folge verwendet unabhangig von der Dimension die einheitliche Basis 2.
Durch die geringere Lange des Zyklus sollten sich Probleme bei der gleichmaßigen
Ausfullung des Raumes nicht so stark bemerkbar machen wie bei den anderen Folgen.
Abbildung 3.6 Sobol-100d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sobol−Folge (N = 1000)
p99 = 2
p100
= 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sobol−Folge (N = 10000)
p99 = 2
p100
= 2
In Abbildung 3.6 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten
10000 Punkte aus der 99. und 100. Komponente einer 100-dimensionalen Sobol-Folge.
Hier erkennt man, dass die Sobol-Folgen auch bei wenigen Simulationen eine gute
gleichmaßige Auffullung des Raumes aufweißt.
3.2 Theoretische Eigenschaft
Die wesentliche Forderung an die verwendeten Folgen ist die gleichmaßige Verteilung
der Folgenglieder.
Definition 3.1 Sei Xd = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge von Punkten, wobei jedes
xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1]d ist. Die Quasi-Monte-Carlo-Approximation mit In-
tegrationsbereich [0, 1]d ist definiert als
∫[0,1]d
f(u) du ≈ 1
N
N∑i=1
f(xi).
22 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Im Idealfall wird die endliche Folge Xd durch eine unendliche Folge Xd∗ = (x1, x2, . . .)
von Punkten aus [0, 1]d ersetzt. Die Mindestanforderung an Xd∗ ist das Konvergenzver-
halten.
Definition 3.2 Sei Xd∗ = (x1, x2, . . .) eine unendliche Folge von Punkten, wobei jedes
xi fur i≥1 ein Punkt aus [0, 1]d ist. Xd∗ heißt gleichverteilt auf [0, 1]d, wenn gilt
limN→∞
1
N
N∑i=1
f(xi) =
∫[0,1]d
f(u) du
fur alle stetigen Funktionen f ∈ [0, 1]d.
Definition 3.3 Sei Xd∗ = (x1, x2, . . .) eine unendliche Folge von Punkte, wobei jedes
xi fur i≥1 ein Punkt aus [0, 1]d ist. Xd∗ heißt gleichverteilt auf [0, 1]d, wenn gilt
limN→∞
1
N
N∑i=1
CM(xi) = λd(M)
fur alle Teilmenge M aus [0, 1]d, wobei CM die charakteristische Funktion von M und
λd das d-dimensionale Lebesgue-Maß ist.
3.2.1 Diskrepanz
Die Diskrepanz ist ein Maß fur die Gleichverteilung.
Definition 3.4 (Zahlfunktion) Sei Xd = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge von Punk-
ten, wobei jedes xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1]d ist. Außerdem seiM eine Teilmenge
aus [0, 1]d und CM die charakteristischen Funktion von M.
A(M;Xd) =N∑i=1
CM(xi)
heisst Zahlfunktion, die die Anzahl der xi ∈M fur i=1,...,N zahlt.
Die eindimensionale Diskrepanz
Definition 3.5 (Diskrepanz) Sei X = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge von Punkte,
wobei jedes xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1] ist. Außerdem seien a, b zwei Punkte aus
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 23
[0, 1] mit 0 ≤ a < b ≤ 1. Die Diskrepanz von der Folge X ist definiert als
DN(X) = sup0≤a<b≤1
∣∣∣∣A((a, b);X)
N− (b− a)
∣∣∣∣ .Definition 3.6 (Sterndiskrepanz) Sei X = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge von
Punkte, wobei jedes xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1] ist. Außerdem sei b ein Punkt aus
[0, 1] mit 0 ≤ b ≤ 1. Die Sterndiskrepanz von der Folge X ist definiert als
D∗N(X) = sup0≤b≤1
∣∣∣∣A((0, b);X)
N− b∣∣∣∣ .
Satz 3.1 Die Folge X ist gleichverteilt auf [0, 1] genau dann, wenn
limN→∞
DN(X) = 0.
Beweis: Wahle m ≥ 2. Fur 0 ≤ k ≤ m − 1 sei Ik = ( km, k+1m
). Da X gleichverteilt ist,
existiert ein N0 = N0(m) ∈ N, sodass fur N > N0 und jedes k = 0, 1, . . . ,m− 1 gilt
1
m(1− 1
m) ≤ A(Ik;X)
N≤ 1
m(1 +
1
m). (3.1)
Betrachte nun beliebige halboffene Teilintervalle J = [α, β) aus [0, 1]. Es existieren
Intervalle J1 und J2, die endliche Vereinigungen der Ik sind, mit J1 ⊆ J ⊆ J2, λ(J) −λ(J1) < 2
mund λ(J2)− λ(J) < 2
m. Aus (3.1) folgt fur alle N > N0:
λ(J1)
(1− 1
m
)≤ A(J1;X)
N≤ A(J ;X)
N≤ A(J2;X)
N≤ λ(J2)
(1 +
1
m
)und somit (
λ(J)− 2
m
)(1− 1
m
)<A(J ;X)
N<
(λ(J) +
2
m
)(1 +
1
m
).
Durch λ(J) ≤ 1 ergibt sich
− 3
m− 2
m2<A(J ;X)
N− λ(J) <
3
m+
2
m2∀ N ≥ N0. (3.2)
Da die Schranken in (3.2) unabhangig von J sind, folgt DN(X) ≤ 3m
+ 2m2 ∀ N ≥ N0.
Es kann 3m
+ 2m2 beliebig klein gemacht werden. Damit folgt die Behauptung.
24 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Satz 3.2 Fur jede Folge X = (x1, . . . , xN) aus [0, 1] gilt
1
N≤ DN(X) ≤ 1.
Beweis: Die rechte Ungleichung folgt direkt aus der Definition.
Fur die linke Ungleichung, wahle ε > 0 und sei x ein belibiege Punkt aus [0, 1]. Betrachte
das Intervall J = [x, x+ ε)∩ [0, 1]. Da x ∈ J ist, gilt A(J ;X)N−λ(J) ≥ 1
N−λ(J) ≥ 1
N− ε.
Daraus folgt DN(X) ≥ 1N− ε. Damit ist die gewunschte Ungleichung gezeigt.
Lemma 3.1 Seien X = (x1, . . . , xN) und Y = (y1, . . . , yN) zwei endliche Folgen von
Punkten, wobei jedes xi und yi fur i=1,...,N Punkte aus [0, 1] sind. Wenn |xi− yi| < ε fur
alle i erfullen, dann gelten folgende Abschatzungen
|DN(x1, . . . , xN)−DN(y1, . . . , yN)| ≤ 2ε,
|D∗N(x1, . . . , xN)−D∗N(y1, . . . , yN)| ≤ ε.
Beweis: Betrachte J = [0, b) ⊆ [0, 1). Wenn yi ∈ J ist, dann ist xi ∈ J1 := [0, b + ε) ∩[0, 1].
Daraus folgt
A(J ;Y )
N− λ1(J) ≤ A(J1;X)
N− λ1(J1) + ε ≤ D∗N(X) + ε.
Wenn xi ∈ J2 := [0, b− ε), dann ist yi ∈ J .
Daraus folgt
A(J ;Y )
N− λ1(J) ≥ A(J2;X)
N− λ1(J2)− ε ≥ −D∗N(X)− ε.
Daher gilt D∗N(Y ) ≤ D∗N(X)+ε. Durch Vertauschen von X und Y folgt D∗N ≤ D∗N(Y )+
ε, woraus |D∗N(X)−D∗N(Y )| ≤ ε folgt.
Die erste Ungleichung wird analog gezeigt.
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 25
Satz 3.3 Sei X = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge von Punkten, wobei jedes xi fur
i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1] ist. Außerdem seien die Punkte in aufsteigender Reihenfolge
sortiert, sodass 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xN ≤ 1 sind. Dann gilt
DN(X) =1
N+ max
1≤i≤N
(i
N− xi
)− min
1≤i≤N
(i
N− xi
).
Beweis: Setze x0 := 0 und xN+1 := 1. Dann ist
DN(X) = max1≤i≤j≤N
supxi<a≤xi+1xj<b≤xj+1
a<b
∣∣∣∣A([a, b);X)
N− (b− a)
∣∣∣∣= max
1≤i≤j≤Nsup
xi<a≤xi+1xj<b≤xj+1
a<b
∣∣∣∣j − iN− (b− a)
∣∣∣∣= max
1≤i≤j≤N
(∣∣∣∣j − iN− (xj+1 − xi)
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣j − iN− (xj − xi+1)
∣∣∣∣) .Setze ri = i
N− xi fur 0≤i≤N+1. Dann ist
DN(X) = max1≤i≤jN
(∣∣∣∣rj+1 − ri −1
N
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣rj − ri+1 +1
N
∣∣∣∣)= max
0≤i≤N1≤j≤N+1
∣∣∣∣ 1
N+ ri − rj
∣∣∣∣ .Wenn der letzte Term auf 1 ≤ i, j ≤ N eingeschrankt wird, dann ist DN(X) eindeutig
festgelegt durch
max1≤i≤N
ri ≥ rN ≥ 0, min1≤i≤N
ri ≤ r1 ≤1
N.
Daraus folgt, dass das Maximum entweder fur i = 0 oder j = N + 1 ist und DN(X)
nicht ubertroffen werden kann.
Satz 3.4 Sei X = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge von Punkten, wobei jedes xi fur
i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1] ist. Außerdem seien die Punkte in aufsteigender Reihenfolge
sortiert, sodass 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xN ≤ 1 sind. Dann gilt
D∗N(X) = D∗N(x1, . . . , xN) =1
2N+ max
1≤i≤N
∣∣∣∣xi − 2i− 1
2N
∣∣∣∣ .
26 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Beweis: Setze x0 = 0 und xN+1 = 1. Dann ist
D∗N(X) = max0≤i≤N
supxi<b≤xi+1
∣∣∣∣A([0, b);X)
N− b∣∣∣∣
= max0≤i≤N
supxi<b≤xi+1
∣∣∣∣ iN − b∣∣∣∣
= max0≤i≤N
max
(∣∣∣∣ iN − xi∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ iN − xi+1
∣∣∣∣)= max
1≤i≤Nmax
(∣∣∣∣ iN − xi∣∣∣∣ , ∣∣∣∣i− 1
N− xi
∣∣∣∣)=
1
2N+ max
1≤i≤N
∣∣∣∣xi − 2i− 1
2N
∣∣∣∣ .
Mehrdimensionale Diskrepanz
Definition 3.7 (Mehrdimensionale Diskrepanz) Sei Xd = (x1, . . . , xN) eine end-
liche Folge von Punkten, wobei jedes xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1]d ist. Außerdem
sei Q eine d-dimensionale Quader der Form∏d
i=1[ai, bi] mit 0 ≤ ai ≤ bi ≤ 1 fur alle i.
Dann ist die Diskrepanz von der Folge Xd definiert als
DN(Xd) = supQ⊂[0,1]d
∣∣∣∣A(Q;Xd)
N− λd(Q)
∣∣∣∣ .Definition 3.8 (Mehrdimensionale Sterndiskrepanz) Sei Xd = (x1, . . . , xN) ei-
ne endliche Folge von Punkten, wobei jedes xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1]d ist.
Außerdem sei Q∗ eine d-dimensionale Quader der Form∏d
i=1[0, bi] mit 0 ≤ bi ≤ 1 fur
alle i. Dann ist die Sterndiskrepanz von Xd definiert als
DN(Xd) = supQ∗⊂[0,1]d
∣∣∣∣A(Q∗;Xd)
N− λd(Q∗)
∣∣∣∣ .Proposition 3.1 Fur jede endliche Folge Xd, deren Punkte in [0, 1]d liegen, gilt
D∗N(Xd) ≤ DN(Xd) ≤ 2dD∗N(Xd).
Beweis: Die erste Ungleichung folgt direkt aus der Definition.
Fur die zweite Ungleichung, fur d = 1 betrachte A([0, b);Xd) − A([0, a);Xd) mit 0 ≤
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 27
a < b ≤ 1 und λ1([a, b)) = λ1([0, b))− λ1([0, a)). Daraus folgt∣∣∣∣A([a, b);Xd)
N− (b− a)
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣A([0, b);Xd)
N− b∣∣∣∣+
∣∣∣∣A([0, a);Xd)
N− a∣∣∣∣ .
Bilde das Supremum daruber, folgt die Behauptung.
Fur d = 2 betrachte
Q = (x1, x2 ∈ [0, 1]2 : a1 ≤ x1 < b1 und a2 ≤ x2 < b2
= [a1, b1)× [a2, b2) mit 0 ≤ ai < bi ≤ 1, fur i = 1, 2.
Daraus folgt
Q = ([0, b1)× [0, b2)) \ ([0, a1)× [0, b2)) \ ([0, b1)× [0, a2)) \ ([0, a1)× [0, a2))
= (Q∗1 \ Q∗2) \ (Q∗3 \ Q∗4).
Es gilt
λ(Q) = λ(Q∗1)− λ(Q∗2)− λ(Q∗3) + λ(Q∗4).
Daraus folgt
A(Q;Xd) = A(Q∗1;Xd)− A(Q∗2;Xd)− A(Q∗3;Xd) + A(Q∗4;Xd).
Durch dasselbe Argument wie fur d = 1 folgt die Behauptung.
Fur d ≥ 3 analog.
Fur allgemeine konvexe Integrationsbereiche mussen neue Arten von Diskrepanzen de-
finiert werden.
Definition 3.9 (Isotrope Diskrepanz) Sei Xd = (x1, . . . , xN) eine endliche Folge
von Punkten, wobei jedes xi fur i=1,...,N ein Punkt aus [0, 1]d ist. Außerdem sei C eine
konvexen Teilmengen aus [0, 1]d. Die isotrope Diskrepanz von der Folge Xd ist definiert
als
TN(Xd) = supC⊂[0,1]d
∣∣∣∣A(C;Xd)
N− λd(C)
∣∣∣∣Proposition 3.2 Fur jede endliche Folge Xd, deren Punkte in [0, 1]d liegen, gilt
DN(Xd) ≤ TN(Xd) ≤ 4dDN(Xd)1/d.
28 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Beweis: Siehe H. Niederreiter Diskrepanz und Distanz von Maßen bezuglich konvexer
und Jordanscher Mengen.
Aus Proposition 3.2 folgt, dass eine endliche Folge Xd genau dann auf [0, 1]d gleichver-
teilt ist, wenn limN→∞
TN(Xd) = 0 ist. Wobei TN(Xd) die isotrope Diskrepanz von Xd ist.
Fur Jordan-messbare Teilmengen von [0, 1]d gibt es eine Unterteilung nach der Kom-
plexitat ihrer Rander. Fur B ⊆ [0, 1]d und ε > 0 definiere
Bε = x ∈ [0, 1]d : ‖x− y‖ ≤ ε fur endlich viele y ∈ B,
B−ε = x ∈ [0, 1]d : ‖x− y‖ ≥ ε fur alle y ∈ [0, 1]d \ B.
Sei b eine nicht fallende Funktion fur alle ε > 0 mit limε↓0
b(ε) = 0. Weiter sei Mb die
Familie aller Lebesgue-messbaren Mengen B ⊆ [0, 1]d fur, die folgendes gilt
λd(Bε \ B) ≤ b(ε) und λd(B \ B−ε) ≤ bε fur alle ε > 0.
Jedes B ∈ Mb ist somit Jordan-messbar und umgekehrt gehort jede Jordan-messbare
Teilmenge von [0, 1]d zuMb fur eine passende Funktion b. Wenn die Funktion b fur alle
ε > 0 die Ungleichung b(ε) ≥ ε erfullt, dann kann wie folgt abgeschatzt werden
DN(Mb;Xd) ≤ 4 · b(2
√dDN(Xd)1/d).
In vielen Fallen hat die Funktion b die Form b(ε) = C fur eine Konstante C > 0. Dann
folgt die Abschatzung
DN(Mb;Xd) ≤ (4C
√d+ 2C + 1)DN(Xd)1/d.
Fur jede konvexe Teilmenge von [0, 1]d zu Mb0 mit b0 = 2dε, folgt
TN(Xd) ≤ DN(Mb, Xd).
Wenn die Funktion b die Ungleichung b(ε) ≥ 2dε fur alle ε > 0 erfullt und die Folge
Xd gleichverteilt ist auf [0, 1]d, dann gilt limN→∞
DN(Mb, Xd) = 0. Unter gewissen Vor-
aussetzungen an die Funktion b gilt auch die Umkehrung, dass limN→∞
DN(Mb, Xd) = 0
impliziert, dass Xd gleichverteilt ist auf [0, 1]d.
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 29
Bemerkung: Die folgende Aussagen sind aquivalent
• Xd ist gleichverteilt auf [0, 1]d,
• limN→∞
DN(Xd) = 0 und
• limN→∞
D∗N(Xd) = 0.
In diesem Sinn kann die Diskrepanz und die Sterndiskrepanz als Quantifizierung von
gleichverteilten Folgen in [0, 1]d gesehen werden.
3.2.2 Fehlerschranken
Jetzt kann man mit Hilfe der Diskrepanz Fehlerschranke fur die Quasi-Monte-Carlo-
Approximation angeben werden.
Die eindimensionale Fehlerschranken
Satz 3.5 (Koksma-Ungleichung) Besitzt f eine beschrankte Variation V (f) auf [0, 1],
dann gilt fur alle endlichen Folgen X = (x1, . . . , xN), deren Punkte aus [0, 1] sind,∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−∫ 1
0
f(u) du
∣∣∣∣∣ ≤ V (f) ·D∗N(X).
Beweis: Sei x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xN , setze x0 := 0 und xN+1 := 1. Durch die Verwendung
von partieller Summation und partieller Integration folgt
1
N
N∑i=1
f(xi)−∫ 1
0
f(u) du = −N∑i=0
i
N(f(xi+1)− f(xi)) +
∫ 1
0
u df(u)
=N∑i=0
∫ xi+1
xi
(x− i
N
)df(u).
Fur feste i fur i=1,...,N folgt∣∣∣∣x− i
N
∣∣∣∣ ≤ D∗N(X) fur xi ≤ x ≤ xi+1.
Durch Satz 3.4 folgt die Behauptung.
30 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Definition 3.10 Das Stetigkeitsmaß fur eine stetige Funktion f auf [0, 1] ist definiert
als
w(f ; t) = supu,v∈[0,1]|b−a|≤t
|f(b)− f(a)| fur t ≥ 0.
Satz 3.6 Ist f eine stetige Funktion auf [0, 1], dann gilt fur alle endlichen Folgen X =
(x1, . . . , xN), deren Punkte aus [0, 1] sind,∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−∫ 1
0
f(u) du
∣∣∣∣∣ ≤ w(f ;D∗N(X)).
Beweis: Sei x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xN . Aus dem Mittelwertsatz fur Integrale folgt
∫ 1
0
f(u) du =N∑i=1
∫ iN
i−1N
f(u) du =1
N
N∑i=1
f(ti)
mit i−1N< ti <
iN
. Daraus folgt
1
N
N∑i=1
f(xi)−∫ 1
0
f(u) du =1
N
N∑i=1
(f(xi)− f(ti)).
Nun gilt |xi − ti| ≤ D∗N(X) fur alle i, durch Satz 3.4 folgt die Behauptung.
Die mehrdimensionale Fehlerschranken
Die Koksma-Ungleichung lasst sich im mehr-dimensionalen Fall anwenden.
Definition 3.11 Sei f eine Funktion aus [0, 1]d mit d ≥ 2. Unter einer Partition P
von [0, 1]d versteht man eine Menge von d endlichen Folgen (η(j)0 , . . . , η
(j)mj) mit 0 =
η(j)0 ≤ η
(j)1 ≤ · · · ≤ η
(j)mj = 1 fur j=1,...,d. Der ∆j-Operator ist definiert als
∆jf(x(1), . . . , x(j−1), η(j)i , x(j+1), . . . , x(d))
= f(x(1), . . . , x(j−1), η(j)i+1, x
(j+1), . . . , x(d))− f(x(1), . . . , x(j−1), η(j)i , xj+1, . . . , xd).
Definition 3.12 Sei eine Funktion f aus [0, 1]d. Setze
V d(f) := supP
m1−1∑i1=0
· · ·md−1∑id=0
∣∣∣∆1,...,df(η(1)i1, . . . , η
(d)id
)∣∣∣ ,
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 31
wobei P alle Partitionen aus [0, 1]d durchlauft. Wenn V d(f) endlich ist, dann sagt man,
f hat eine beschrankte Variation im Sinne von Vitali.
Weitere Formulierungen
V d(f) = supP
∑J∈P
|∆j(f)|,
wobei P alle Partitionen aus [0, 1]d durchlauft. Die Gleichheit
V d(f) =
∫ 1
0
. . .
∫ 1
0
∣∣∣∣ ∂df
∂u1 . . . ∂ud
∣∣∣∣ du1 . . . dud
gilt wenn die partielle Ableitung stetig auf [0, 1]d ist.
Es folgt direkt aus der Definition des ∆j-Operators, dass V d(f) = 0 wenn die Funktion
f aus [0, 1]d von weniger als d Variablen abhangt.
Definition 3.13 Hat f eine Einschrankung auf jeden Bereich F von [0, 1]d mit der
Dimension 1, 2, . . . , d − 1 eine beschrankte Variation im Sinne von Vitali, dann hat f
eine beschrankte Variation auf [0, 1]d im Sinne von Hardy und Krause.
V (f) =d∑
k=1
∑1≤i1≤i2<···<ik≤d
V k(f ; i1, . . . , ik).
Definition 3.14 Sei f eine Funktion aus [0, 1]d mit d ≥ 2. Der ∆∗j -Operator fur j=1,...,d
ist definiert als
∆∗jf(x(1), . . . , x(d))
= f(x(1), . . . , x(j−1), 1, x(j+1), . . . , x(d))− f(x(1), . . . , x(j−1), 0, x(j+1), . . . , x(d))
Sei nun ein Ausdruck F (r, . . . , r+ p− 1; r+ p, . . . , l) gegeben, der von der Partition der
Variation ir, . . . , il in die Teile ir, . . . , ir+p−1 und ir+p, . . . , il abhangt, dann steht∑r,...,s;p
F (r, . . . , r + p− 1; r + p, . . . , l)
fur die Summe aller Ausdrucke, die von F (r, . . . , r + p − 1; r + p, . . . , l) durch das
sukzessive Ersetzen der gegebenen Partitionen ir, . . . , il durch alle anderen Partition
von dieser Menge in eine Menge aus p und eine Menge aus l − r − p + 1 Variablen
abgeleitet wurden. Jede Partition wird genau einmal verwendet. Wenn entweder p = 0
32 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
oder p = l− r+ 1 ist, dann interpretiert man die Summe als zu einem Term reduzierte
Summe.
Lemma 3.2 Seien P = (η(j)0 , . . . , η
(j)imj
) und Q = (ξ(j)0 , . . . , ξ
(j)imj
) zwei Partitionen von
[0, 1]d, bestehend jeweils aus d Folgen fur j=1,...,d. Außerdem seien f und g zwei gegebene
Funktionen aus [0, 1]d. Dann gilt
m1−1∑i1=0
· · ·mk−1∑ik=0
f(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)∆1,...,dg(η
(1)i1, . . . , η
(d)id
)
=d∑p=0
(−1)p∑
1,...,d;p
∆p+1,...,d
m1∑i1=0
. . .
mp∑ip=0
g(η1i1, . . . , ηpip , x
p+1, . . . , xd)
∆1,...,pf(ξ1i1, . . . , ξpip , x
p+1, . . . , xd).
Beweis: Siehe L. Kuipers und H. Niederreiter Uniform Distribution of Sequences.
Satz 3.7 (Koksma-Hlawka-Ungleichung) Es besitze die Funktion f die beschrank-
te Variation im Sinne von Hardy und Krause auf [0, 1]d. Außerdem sei Xd = (x1, . . . , xN)
eine endliche Folge von Punkten, sodass deren Punkte aus [0, 1]d sind. Weiter sei
Xp = (xj1 , . . . , xjp) die Projektion der Folge Xd auf den (k − p)-dimensionalen Be-
reich von [0, 1]d. Dann gilt∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−∫Idf(u) du
∣∣∣∣∣ ≤d∑p=1
∑1,...,d;p
D∗N(Xdp+1,...,d)V
p(f(. . . , 1, . . . , 1)),
wobei V p(f(. . . , 1, . . . , 1)) die p-dimensionale Variation von f(x(1), . . . , x(p), 1, . . . , 1) auf
[0, 1]p im Sinne von Vitali ist. Wo der Term der Summe p = 1 ist, versteht man
D∗N(Xd)V d(f). Die Diskrepanz D∗N(Xdp+1,...,d) ist berechnet auf dem Bereich von [0, 1]d
wo sie enthalten ist.
Beweis: Fur eine Teilmenge M aus [0, 1]d definiere die Zahlfunktion A(M;Xd) durch
A(M). Definiere eine Funktion g auf [0, 1]d durch
g(x) = g(x(1), . . . , x(d)) =1
NA([0, x(1))× · · · × [0, x(d)))− x(1) . . . x(d).
Setze
D∗N(Xd) = supx∈[0,1]d
|g(x)|
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 33
und
D∗N(Xdp+1,...,d) = sup
(x(1),...,x(p))∈[0,1]p
∣∣g(x(1), . . . , x(p), 1, . . . , 1)∣∣ .
Setze xi = (x(1)i , . . . , x
(d)i ) fur i=1,...,N.
Eine zulassige Partitionierung von [0, 1]d durch P und Q wird als Paar (P,Q) aufgefasst.
P besteht aus d Folgen (η(j)0 , . . . , η
(j)imj
) fur j=1,...,d und Q besteht ebenfalls aus d Folgen
(ξ(j)0 , . . . , ξ
(j)imj+1
) fur j=1,...,d, die in folgender Relation zueinander stehen
0 = ξ(j)0 = η
(j)0 ≤ ξ
(j)1 < η
(j)1 ≤ ξ
(j)2 < η
(j)2 ≤ · · · ≤ ξ
(j)imj
< η(j)imj
= ξ(j)imj+1
= 1 fur j=1,...,d.
Außerdem soll fur jedes j fur j=1,...,d die Folge (ξ(j)0 , . . . , ξ
(j)imj+1
) mindestens die (x(j)1 , . . . , x
(j)N )
enthalten. Mit dieser zulassigen 2er-Partition lasst sich das vorherige Lemma mit den
Funktion f und g anwenden und man erhalt
m1−1∑i1=0
· · ·mk−1∑ik=0
f(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)∆1,...,dg(η
(1)i1, . . . , η
(d)id
)
=1
N
m1−1∑i1=0
· · ·mk−1∑ik=0
f(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)∆1,...,dA([0, η
(1)i1
)× · · · × [0, η(d)id
))
−m1−1∑i1=0
· · ·mk−1∑ik=0
f(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)∆1,...,dη
(1)i1. . . η
(d)id.
Nun gilt
∆1,...,dA([0, η(1)i1
)× · · · × [0, η(d)id
))
= ∆1,...,d−1A([0, η(1)i1
)× · · · × [0, η(d)id+1
))− A([0, η(1)i1
)× · · · × [0, η(d)id
))
= ∆1,...,dA([0, η(1)i1
)× · · · × [0, η(d−1)id−1
)× [η(d)id, η
(d)id+1
))
= · · · = A([η(1)i1, η
(1)i1+1)× · · · × [η
(d)id, η
(d)id+1
)).
Somit reduziert der erste Term zu
1
N
m1−1∑i1=0
· · ·mk−1∑ik=0
f(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)A([η
(1)i1, η
(1)i1+1)× · · · × [η
(d)id, η
(d)id+1
)).
Es sind nur diejenigen d-Tupel (i1, . . . , id) von Bedeutung, die ein xi fur 1,...,N im
Quader [η(1)i1, η
(1)i1+1) × · · · × [η
(d)id, η
(d)id+1
) haben. Sollte dieser Fall eintretten und die
34 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Zusatzbedingung an Q, dass xi = ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1 ist, dann ist die Gleichung gerade
1N
∑Ni=1 f(xi) − f(ξ
(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)∆1,...,dg(η
(1)i1, . . . , η
(d)id
). Nun ist g(x) = 0, wenn aber
mindestens eine Koordinate verschwindet und ausserdem ist g(1, . . . , 1) = 0. Wenn
p = 0 ist in diesem Term, dann stimmt er mit dem aus der Gleichung aus Lemma
3.2 uberein. Es ist ∆1,...,dg(x(1), . . . , x(d))f(x(1), . . . , x(d)) daher 0. Außerdem bleiben fur
1 ≤ p ≤ d nur diese Terme uberig, bei denen die Variablen x(p+1), . . . , x(d) durch 1
ersetzt werden. Es folgt aus Lemma 3.2
d∑p=1
(−1)p∑
1,...,d;p
m1∑i1=0
· · ·mp∑ip=0
g(η(1)i1, . . . , η
(p)ip, 1, . . . , 1)∆1,...,pf(ξ
(1)i1+1, . . . , ξ
(p)ip+1, 1, . . . , 1).
Der Term lasst sich nach oben abschatzen mit
p∑p=1
∑1,...,d
m1∑i1=0
· · ·mp∑ip=0
∣∣∣g(η(1)i1, . . . , η
(p)ip, 1, . . . , 1)
∣∣∣ · ∣∣∣∆1,...,pf(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(p)ip+1, 1, . . . , 1)
∣∣∣ .Der Absolutwert bringt mit sich, dass g gleichmaßig beschrankt ist durch D∗N(Xd
p+1,...,d).
Die restliche Summe uber i1, . . . , ip ist dominiert durch V (p)(f(. . . , 1, . . . , 1)).
Daraus folgt∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−m1−1∑i1=0
· · ·md−1∑id=0
f(ξ(1)i1+1, . . . , ξ
(d)id+1)∆1,...,dη
(1)i1. . . η
(d)id
∣∣∣∣∣≤
d∑p=1
∑1,...,d;p
D∗N(Xdp+1,...,d)V
(p)(f(. . . , 1, . . . , 1)).
Die ∆1,...,dη(1)i1. . . η
(d)id
= (η(1)i1+1 − η
(1)i1
) . . . (η(1)id+1 − η
(1)id
) und die Summe uber i1, . . . , id
sind eine Riemann-Summe fur∫
[0,1]df(u) du. Die anderen Terme sind unabhangig von
der gewahlten 2er-Partition (P,Q). Der Beweis wird dadurch komplettiert, dass man
(P,Q) durch eine Folge von zulassigen 2er-Partitionen mit
max1≤j≤d
max0≤i<mj
(η(1)i1+1 − η
(1)i1
)→ 0
durchlaufen lasst.
Satz 3.8 Fur alle endlichen Folgen Xd = (x1, . . . , xN) von Punkten, deren Punkte
3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 35
aus [0, 1]d sind, und jedes beliebige ε > 0 existiert eine Funktion f ∈ C∞([0, 1]d) mit
V (f) = 1, sodas gilt ∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−∫
[0,1]df(u) du
∣∣∣∣∣ < D∗N(Xd)− ε.
Beweis: Nach Definition von D∗N(Xd) existiert eine Quader Q∗ =∏d
i=1[0, bi) mit 0 <
bi ≤ 1 fur alle i und es gilt∣∣∣∣A(Q∗;Xd)
N− λd(Q∗)
∣∣∣∣ > D∗N(Xd)− ε
2.
Außerdem existiert eine zweite Quader Q∗2 =∏d
i=1[0, ti] mit 0 ≤ ti ≤ bi und bi− ti < ε2d
fur alle i so, dass Q∗ \ Q∗2 kein xi enthalt. Fur gegebene t und b mit 0 ≤ t < b ≤ 1
sei ft,b ∈ C∞([0, 1]) eine nicht steigende Funktion mit ft,b(a) = 1 fur 0 ≤ a ≤ t und
ft,b(a) = 0 fur t ≤ a ≤ b. Dann ist
f(a) = f(a1, . . . , ad) =d∏i=1
fti,bi(ai)
eine Funktion in C∞([0, 1]d) mit 0 ≤ f(a) ≤ 1 fur alle a ∈ [0, 1]d. Sei f(a) = 1 fur
ein a ∈ Q∗2 und f(a) = 0 fur a /∈ Q∗. Daraus folgt V d(f) = 1, da f(a) = 0 und wenn
eine Koordinate von a den Wert 1 annimmt, folgt V k(f ; i1, . . . , ik) = 0 fur 1 ≤ k < d.
Daraus folgt V (f) = 1. Es ist ersichtlich, dass
1
N
N∑i=1
f(xi) =A(Q∗;Xd)
N
und dass
λd(Q∗2) ≤∫
[0,1]df(u) du ≤ λd(Q∗).
Da λd(Q∗)− λd(Q∗2) ≤∑d
i=1(vi − ti) < ε2
gilt folgt, dass∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−∫
[0,1]df(u) du
∣∣∣∣∣ >∣∣∣∣A(Q∗;Xd)
N− λd(Q∗)
∣∣∣∣− ε
2> D∗N(Xd)− ε.
36 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
Definition 3.15 Das Stetigkeitsmaß fur eine stetige Funktion f auf [0, 1]d ist definiert
als
w(f ; t) = supa,b∈Id‖b−a‖≤t
|f(b)− f(a)| fur t ≥ 0,
wobei ‖a‖ = max1≤i≤d
|ai| fur a = (a1, . . . , ad) ∈ Rd.
Satz 3.9 Ist f stetig auf Id, dann gilt fur alle Folgen Xd = (x1, . . . , xN) von Punkten
deren Punkte aus [0, 1]d sind∣∣∣∣∣ 1
N
N∑i=1
f(xi)−∫
[0,1]df(u) du
∣∣∣∣∣ ≤ 4 · w(f ;D∗N(Xd)1d ).
Beweis: Siehe L. Kuipers und H. Niederreiter Uniform Distribution of Sequences.
Alle diese Fehlerschranken laufen darauf hinaus, dass eine kleine Sterndiskrepanz einen
kleinen Integrationsfehler der Quasi-Monte-Carlo-Verfahren garantiert.
Betrachte nun noch etwas allgemeinere Integrationsbereiche.
Satz 3.10 Es besitze f eine beschrankte Variation V (f) auf [0, 1]d im Sinne von Hardy
und Krause, C sei eine konvexe Menge aus [0, 1]d, dann gilt es fur alle endlichen Folgen
Xd = (x1, . . . , xN) von Punkten, deren Punkte aus [0, 1]d sind∣∣∣∣∣∣ 1
N
∑xi∈Ci
f(xi)−∫Cf(u) du
∣∣∣∣∣∣ ≤ (V (f) + |f(1, . . . , 1)|)TN(Xd).
Beweis: Siehe L. Kuipers und H. Niederreiter Uniform Distribution of Sequences.
Satz 3.11 Es besitze f eine beschrankte Variation V (f) auf [0, 1]d im Sinne von Hardy
und Krause, J sei aus einer Familie Jordanm-messbarer Funktionen Mj, dann gilt es
fur alle endlichen Folgen Xd = (x1, . . . , xN) von Punkten, deren Punkte aus [0, 1]d sind,∣∣∣∣∣∣ 1
N
∑xi∈Ji
f(xi)−∫Jf(u) du
∣∣∣∣∣∣ ≤ (V (f) + |f(1, . . . , 1)|)DN(Mj;Xd).
Beweis: Siehe L. Kuipers und H. Niederreiter Uniform Distribution of Sequences. Der
Ausdruck |f(1, . . . , 1)| in den letzten beiden Satzen ist notwendig auch fur konstante
Funktionen f .
3.3. PRAKTISCHE EIGENSCHAFT 37
3.3 Praktische Eigenschaft
Bei experimentellen Untersuchungen weisen dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Be-
wertung pfadunabhangiger Optionen ein deutlich besseres Konvergenzverhalten auf als
Monte-Carlo-Verfahren.
Problematisch ist der Einsatz der Quasi-Monte-Carlo-Verfahren bei der Integration von
hochdimensionalen f , die bei pfadabhangigen Optionen und Optionen auf viele Aktien
auftreten.
In der asymptotischen Betrachtungsweise wachst (logN)d ·N−1 nicht so stark wie N−12 ,
wobei (logN)d · N−1 die Konvergenzordnung von Quasi-Monte-Carlo-Verfahren und
N−12 die Konvergenzordnung von Monte-Carlo-Vefahren darstellt.
3.3.1 Integral-Approximation
Folgendes Integral ist zu berechnen
I(f) =
∫[0,1]10
exp(u1 + . . .+ u10) du1 . . . du10
=
∫ 1
0
exp(u1) du1 · . . . ·∫ 1
0
exp(u10) du10
= (exp(1)− 1)10
= 224.3592464857479
Die Monte-Carlo bzw Quasi-Monte-Carlo-Approximation ist
I(f) =
∫[0,1]10
exp(u1 + . . .+ u10) du1 . . . dud ≈1
N
N∑i=1
exp(x(1)i + . . .+ x
(10)i ).
Das Integral wird mit einer Pseudo-Zufallsfolge und verschiedenen Niederdiskrepanz-
Folgen naherungsweise berechnet
• Pseudo-Zufallsfolge fur Aufwand N · d = 105 · 10
⇒ I(f) ≈ 223.9982885324653
• Halton-Folge fur Aufwand N · d = 105 · 10
38 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
⇒ I(f) ≈ 224.0982144317739
• Faure-Folge fur Aufwand N · d = 105 · 10
⇒ I(f) ≈ 224.2106475737543
• Sobol-Folge fur Aufwand N · d = 105 · 10
⇒ I(f) ≈ 224.3359566914221
Die Ergebnisse zeigen, dass bei gleichem Aufwand von 106 die Niederdiskrepanz-Folgen
bessere Approximationen fur das Integral liefern als die Pseudo-Zufallsfolge.
3.3.2 Vergleich Konvergenzverhalten
Um das Konvergenzverhalten des Monte-Carlo-Verfahrens und Quasi-Monte-Carlo-Verfahrens
zu untersuchen, wurden fur N = [103, 104, 105, 106] Simulationen mit den Folgen zu Ap-
proximation Wertes des Integrals durchgefuhrt, dabei ist die Dimension d = 10.
Abbildung 3.7 Integral Konvergenzverhalten
104
105
106
107
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
Integral Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Monte−CarloHalton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
In Abbildung 3.7 wurden bei den Berechnung Wertes des Integrals auftretenden relati-
ven Fehler gegen den Aufwand N · d auf einer logarithmischen Skala aufgetragen.
3.3. PRAKTISCHE EIGENSCHAFT 39
Abbildung 3.8 Integral Lineare Regressionsanalyse
104
105
106
107
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
Integral Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Monte−Carlo : − 0.4988Halton−Folge : − 0.8751Faure−Folge : − 1.0199Sobol−Folge : − 1.0236
In Abbildung 3.8 wurde eine lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
Die Tabelle 3.1 dokumentiert die relatven Fehler und die Konvergenzverhalten, bei der
Berechnung des Wertes des Integrals.
Aufwand Pseudo-Zufallsolge Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
103 · 10 0.027437329618 0.050570903864 0.007611077730 0.006184719899
104 · 10 0.008788743788 0.008569960038 0.000662255681 0.000389833861
105 · 10 0.002758624862 0.001163455743 0.000074817839 0.000048145171
106 · 10 0.000877448667 0.000119107581 0.000006271552 0.000004812508
Konvergenz 0.498859452388 0.875111285826 1.019923376267 1.023917233862
Tabelle 3.1: Integral Konvergenzverhalten Tabelle
Die Ergebnisse zeigen, dass bei allen betrachteten Folgen mit zunehmendem Aufwand
die relativen Fehler gegen 0 konvergieren. Dabei weisen die Niederdiskrepanz-Folgen
gegenuber der Pseudo-Zufallsfolge eine deutlich kleinere relative Fehler und schnellere
Konvergenzverhalten auf, eine auch in der Praxis festgestellte Uberlegenheit des Quasi-
Monte-Carlo-Verfahrens zur Bewertung fur niedrig-dimensionale Optionsprobleme.
40 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN
3.4 Randomisierte Quasi-Monte-Carlo-Verfahren
Niederdiskrepanz-Folgen sind auf die gleichmaßige Ausfullung des Integrationsberei-
ches mit Folgengliedern ausgerichtet. Im Unterschied zur Verwendung von Pseudo-
Zufallsfolgen versucht man durch Niederdiskrepanz-Folgen nicht, Eigenschaften wie die
Unabhangigkeit der einzelnen Glieder zueinander nachzubilden. Daher kann auch kei-
ne Schatzung der Fehlergroße auf Basis einzelner unabhangiger Funktionswerte f(xi)
durchgefuhrt werden.
Randomisierte Quasi-Monte-Carlo-Verfahren kombinieren Niederdiskrepanz-Folgen mit
Pseudo-Zufallsfolgen, um unabhangige Schatzwerte fur den Wert des Integrals zu ge-
nerieren. Mittels dieser Schatzwerte kann dann eine empirische Standardabweichung
berechnet werden.
3.4.1 Randomisierungsansatz von Tuffin
Im Randomisierungsansatz von Tuffin werden die Glieder der gewahlten Niederdiskrepanz-
Folge Xd = (x1, ..., xN) mittels eines in [0, 1]d uniform verteilten Zufallsvektors ξk ver-
schoben. Anstelle der ursprunglichen Niederdiskrepanz-Folge betrachtet man die neue
Folge Xdξk
= (x1 + ξk, . . . , xN + ξk)
Cξk =1
N
N∑i=1
f(xi + ξk)
3.4.2 Erwartungswert und Varianz
Cξk besitzt fur jede in [0, 1]d Riemann-integrierbare Funktion f den Erwartungswert
E[Cξk ] = E
[1
N
N∑i=1
f(xi + ξk)
]= E[f(xi + ξk)] = E[f(ξk)].
Fur die Varianz der Cξk gilt nach dem Satz von Tuffin
V ar[Cξk ] ∈ O(
(logN)2d
N2
),
falls die Stern-Diskrepanz D∗N der verwendeten Folge Xd in O(
(logN)d
N
)liegt.
3.4. RANDOMISIERTE QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN 41
3.4.3 Fehler des Schatzers
Berechnet man die Zufallsvariablen Cξk fur unabhangige uniform verteilte Vektoren ξk
fur k=1,...,K, kann der Fehler des Schatzers
C =1
K
K∑k=1
Cξk
auf Basis der empirischen Standardabweichung der Cξk
σξk =
√√√√ 1
K − 1
K∑k=1
(Cξk − C)2
und der Normalverteilungsannahme fur C abgeschatzt werden.
Kapitel 4
Numerische Ergebnisse
In diesem Kapitel soll dargestellt werden, auf welche Weise der Quasi-Monte-Carlo-
Verfahren Algorithmus implementiert wird. Dabei werden das Black-Scholes-Modell
betrachtet und fur verschiedene Optionstypen implementiert und zahlreiche Testlaufe
durchgefuhrt, um die Eignung der Verfahren in der Praxis zu verifizieren.
Das Quasi-Mote-Carlo-Verfahren wird in Hinblick auf
• Approximationsfehler des Verfahrens und
• Konvergenzverhalten des Verfahrens
untersucht.
4.1 Implementierung
Das Quasi-Monte-Carlo-Verfahren wird mit MATLAB realisiert, dabei werden die Quasi-
Zufallsfolge Generatoren, Auszahlungsfunktion fur die verschiedene Optionstypen und
Simulationen umfasst. (Quellcode in Anhang)
• Quasi-Zufallsfolgen Generatoren fur
– Halton-Folge
– Faure-Folge
– Sobol-Folge
• Generierung normalverteilter Zahlen
43
44 KAPITEL 4. NUMERISCHE ERGEBNISSE
– Transformation mittels der inversen Normalverteilungsfunktion, Inversions-
methode
• Simulationen von Aktienkurs-Pfadvektoren
– Black-Scholes-Modell mit Ansatz vom Euler-Maruyama-Verfahren
– Black-Scholes-Modell mit Ansatz von Ito-Formel
• Untersuchte pfadunabhangige Optionen
– Europaische Optionen
• Untersuchte pfadabhangige Optionen
– Asiatische Optionen mit diskretem geometrischem Mittel
– Asiatische Optionen mit kontinuierlichem geometrischem Mittel
• Berechnung des exakten Optionspreises
– Black-Scholes-Formel fur Europaische Optionen
– Black-Scholes-Formel fur Asiatische Optionen mit diskretem geometrischem
Mittel
– Black-Scholes-Formel fur Asiatische Optionen mit kontinuierlichem geome-
trischem Mittel
4.2 Bewertung von Optionen
Es wurden pfadunabhangige und pfadabhangige Optionen unter Verwendung verschie-
dener Niederdiskrepanz-Folgen mit verschiedenen Parametern des Black-Scholes-Modells
untersucht und mit den exakten Optionspreisen verglichen. Dabei wurde jede der 243
Kombinationen berucksichtigt, die durch Auswahl von Modellparametern auf den fol-
genden Wertebereichen gebildet werden konnen.
• Aktienkurs S0 ∈ 50, 100, 150
• Ausubungspreis K ∈ 52, 103, 155
• Zinssatz r ∈ 0.02, 0.03, 0.04
4.2. BEWERTUNG VON OPTIONEN 45
• Volatilitat σ ∈ 0.1, 0.25, 0.5
• Verfallszeit T ∈ 0.5, 1, 1.5 Jahre.
Durch die Wahl der Parameter sollen alle Auspragungen von Optionen (Option aus/im
Geld, Langlaufer/Kurzlaufer, niedriges/hohes Risiko), die in einem praktischen Einsatz
des Verfahrens auftreten konnen, berucksichtigt werden.
Jedes der einzelnen numerischen Ergebnisse weist eine Konvergenz des relativen Fehlers
gegen 0 auf, daher werde ich hier nur einige exemplarische Ergebnisse vorfuhren.
4.2.1 Europaische Optionen
Eine Europaische Call-Option mit Aktienkurs S0 = 100, Ausubungspreis K = 103,
Zinssatz r = 0.03, Volatilitat σ = 0.25, Verfallszeit T = 1 Jahr.
Der exakte Optionspreis der mit der Black-Scholes-Formel (Satz 2.3) berechnet wurde,
betragt 9.967521439954112.
Fur die Europaische Call-Option wurden N = [1 · 104, 2 · 104, 4 · 104, 8 · 104, 16 · 104] Si-
mulationen zur Berechnung des Optionspreises durchgefuhrt, dabei wird die Dimension
d = [1, 2, 4, 8, 16] im gleichen Verhaltnis wie N erhoht. Der Grund fur die gleichmaßige
Erhohung ist, den Diskretisierungs-Fehler des Verfahrens zu eliminieren.
Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz
Abbildung 4.1 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten
104
105
106
107
10−4
10−3
10−2
10−1
Euro−Call Euler−Maruyama−Ansatz Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
46 KAPITEL 4. NUMERISCHE ERGEBNISSE
In Abbildung 4.1 wurden bei der Berechnung des Wertes des Europaischen Calls mit
Euler-Maruyama-Verfahren auftretenden relativen Fehler gegen den Aufwand N · d auf
einer logarithmischen Skala aufgetragen.
Abbildung 4.2 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
104
105
106
107
10−4
10−3
10−2
10−1
Euro−Call Euler−Maruyama−Ansatz Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−Folge : − 0.5361Faure−Folge : − 0.8180Sobol−Folge : − 0.8017
In Abbildung 4.2 wurde eine lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
Die Tabelle 4.1 dokumentiert die relativen Fehler und die Konvergenzverhalten, bei der
Berechnung des Wertes des Europaischen Calls mit dem Euler-Maruyama-Verfahren.
Aufwand Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
1 · 104 · 1 0.030424360989676 0.030424360989676 0.030424360989676
2 · 104 · 2 0.009114458292331 0.008550210303867 0.008550210303867
4 · 104 · 4 0.003118451087619 0.002623836864443 0.002005340801068
8 · 104 · 8 0.002472091651737 0.000530888077963 0.000933301778260
16 · 104 · 16 0.001420888689036 0.000420888689036 0.000355451259884
Konvergenz 0.536157385826403 0.818038454094376 0.801720358124229
Tabelle 4.1: Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz relativen Fehler und Konvergenzverhal-
ten Tabelle
Die Ergebnisse zeigen, dass bei allen betrachteten Niederdiskrepanz-Folgen mit zuneh-
mendem Aufwand die relativen Fehler gegen 0 konvergieren.
4.2. BEWERTUNG VON OPTIONEN 47
Euro-Call Ito-Ansatz
Abbildung 4.3 Euro-Call Ito-Ansatz Konvergenzverhalten
104
105
106
107
10−4
10−3
10−2
Euro−Call Ito−Ansatz Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
In Abbildung 4.3 wurden bei der Berechnung des Wertes des Europaischen Calls mit Ito-
Formel auftretenden relativen Fehler gegen den Aufwand N ·d auf eine logarithmischen
Skala aufgetragen.
Abbildung 4.4 Euro-Call Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
104
105
106
107
10−4
10−3
10−2
Euro−Call Ito−Ansatz Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−Folge : − 0.0521Faure−Folge : − 0.0087Sobol−Folge : − 0.2988
In Abbildung 4.4 wurde eine lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
48 KAPITEL 4. NUMERISCHE ERGEBNISSE
Die Tabelle 4.2 dokumentiert die relativen Fehler und die Konvergenzverhalten, bei der
Berechnung des Wertes des Europaischen Calls mit dem Ito-Formel.
Aufwand Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
1 · 104 · 1 0.002323057365162 0.002323057365162 0.002323057365162
2 · 104 · 2 0.001699783491951 0.000990012640727 0.000990012640727
4 · 104 · 4 0.001528714599288 0.001088626220606 0.000104452147728
8 · 104 · 8 0.002171297095342 0.000144493660733 0.000507971446410
16 · 104 · 16 0.001432355216490 0.005721186915096 0.000408546514401
Konvergenz 0.052103239010679 0.008793067436457 0.298880230273579
Tabelle 4.2: Euro-Call Ito-Ansatz relativen Fehler und Konvergenzverhalten Tabelle
Die Ergebnisse zeigen, dass das Ito-Verfahren schon bei geringen Aufwand kleine rela-
tiven Fehler aufweist. Bei pfadunabhangige Optionen sollte man daher direkt mit der
Ito-Formel die Option bewerten, dadurch spart man an Aufwand und erhalt auch eine
bessere Genauigkeit bei den Werten.
4.2.2 Asiatische Optionen diskret geometrisch
Eine Asiatische Call-Option mit Aktienkurs S0 = 100, Ausubungspreis K = 103, Zins-
satz r = 0.03, Volatilitat σ = 0.25, Verfallszeit T = 1 Jahr und Zeitpunkt M = 12
(M = d).
Der exakte Optionspreis mit der Black-Scholes-Formel (Satz 2.4) berechnet wurde, be-
tragt 5.181006824978432.
Die Asiatische Call Option mit diskretem geometrischem Mittel wurden N = [5·103, 10·103, 20·103, 40·103, 80·103] Simulationen zur Berechnung des Optionspreis durchgefuhrt,
dabei ist die Dimension d = 12. Hier wird die Dimension nicht erhohrt, da die Zeit-
punkte schon fest sind.
4.2. BEWERTUNG VON OPTIONEN 49
Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz
Abbildung 4.5 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten
105
106
107
10−4
10−3
10−2
Asia−Call diskret Euler−Maruyama−Ansatz Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
In Abbildung 4.5 wurden bei der Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit
diskretem geometrischem Mittel mit Euler-Maruyama-Verfahren auftretenden relativen
Fehler gegen den Aufwand N · d auf eine logarithmischen Skala aufgetragen.
Abbildung 4.6 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
105
106
107
10−4
10−3
10−2
Asia−Call diskret Euler−Maruyama−Ansatz Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−Folge : − 0.3526Faure−Folge : − 0.8219Sobol−Folge : − 0.5146
In Abbildung 4.6 wurde eine Lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt, und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
50 KAPITEL 4. NUMERISCHE ERGEBNISSE
Die Tabelle 4.3 dokumentiert die relatven Fehler und die Konvergenzverhalten, bei der
Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit diskretem geometrischem Mittel mit
Euler-Maruyama-Verfahren.
Aufwand Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
5 · 103 · 12 0.008297610188939 0.004205293852263 0.005442643428294
10 · 103 · 22 0.004197508121534 0.003376623709701 0.005988231933268
20 · 103 · 12 0.004482304605234 0.000437465842291 0.002280001477266
40 · 103 · 12 0.003421711463257 0.000410976385458 0.001503310133530
80 · 103 · 12 0.002707470416369 0.000698139011228 0.001825235745356
Konvergenz 0.352631562479756 0.821969476958533 0.514643684955722
Tabelle 4.3: Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz relativen Fehler und Konver-
genzverhalten Tabelle
Die Ergebnisse zeigen, dass bei allen betrachteten Niederdiskrepanz-Folgen mit zuneh-
mende Aufwand die relativen Fehlern gegen 0 konvergieren, und die Faure-Folge die
kleinsten relativen Fehler und die schnellste Konvergenzverhalten aufweist.
Asia-Call diskret Ito-Ansatz
Abbildung 4.7 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Konvergenzverhalten
105
106
107
10−4
10−3
10−2
Asia−Call diskret Ito−Ansatz Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
In Abbildung 4.7, wurden bei der Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit
diskretem geometrischem Mittel mit Ito-Formel auftretenden relativen Fehler gegenuber
den Aufwand N · d auf eine logarithmischen Skala aufgetragen.
4.2. BEWERTUNG VON OPTIONEN 51
Abbildung 4.8 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
105
106
107
10−4
10−3
10−2
Asia−Call diskret Ito−Ansatz Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−Folge : − 0.5443Faure−Folge : − 0.5406Sobol−Folge : − 1.2899
In Abbildung 4.8 wurde eine lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
Die Tabelle 4.4 dokumentiert die relativen Fehler und die Konvergenzverhalten, bei der
Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit diskretem geometrischem Mittel mit
Ito-Formel.
Aufwand Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
5 · 103 · 12 0.007682205025533 0.003104458614172 0.003824216979071
10 · 103 · 22 0.003283784415296 0.001914685846263 0.004549129018754
20 · 103 · 12 0.003517395409312 0.000924301594618 0.000605733594411
40 · 103 · 12 0.002252138758256 0.000962015619334 0.000099726456442
80 · 103 · 12 0.001406436098152 0.000672484567038 0.000295488317570
Konvergenz 0.544301662368218 0.540651274638860 1.289945301999592
Tabelle 4.4: Asia-Call diskret Ito-Ansatz relativen Fehler und Konvergenzverhalten Ta-
belle
Die Ergebnisse zeigen, dass bei allen betrachteten Niederdiskrepanz-Folgen mit zuneh-
mende Aufwand die relativen Fehler gegen 0 konvergieren, und die Sobol-Folge die
kleinsten relativen Fehler und die schnellste Konvergenzverhalten aufweist.
52 KAPITEL 4. NUMERISCHE ERGEBNISSE
4.2.3 Asiatische Optionen kontinuierlich geometrisch
Eine Asiatische Call-Option mit Aktienkurs S0 = 100, Ausubungspreis K = 103, Zins-
satz r = 0.03, Volatilitat σ = 0.25, Verfallszeit T = 1 Jahr.
Der exakte Optionspreis mit der Black-Scholes-Formel (Satz 2.5) berechnet wurde, be-
tragt 4.769426376039782.
Fur die Asiatische call-Option mit kontinuierlichem geometrischem Mittel wurden N =
[5 ·103, 10 ·103, 20 ·103, 40 ·103, 80 ·103] Simulationen zur Berechnung des Optionspreises
durchgefuhrt, dabei wird die Dimension d = [5, 10, 20, 40, 80] im gleichen Verhaltnis wie
N erhoht. Der Grund fur die gleichmaßige Erhohung ist, den Diskretisierungs-Fehler
des Verfahrens zu eliminieren.
Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz
Abbildung 4.9 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten
104
105
106
107
10−3
10−2
10−1
100
Asia−Call kontinuierlich Euler−Maruyama−Ansatz Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
In Abbildung 4.9 wurden der bei Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit
kontinuierlichem geometrischem Mittel mit Euler-Maruyama-Verfahren auftretenden
relativen Fehler gegen den Aufwand N · d auf eine logarithmischen Skala aufgetragen.
4.2. BEWERTUNG VON OPTIONEN 53
Abbildung 4.10 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressi-
onsanalyse
104
105
106
107
10−3
10−2
10−1
100
Asia−Call kontinuierlich Euler−Maruyama−Ansatz Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−Folge : − 0.5089Faure−Folge : − 0.7054Sobol−Folge : − 0.4997
In Abbildung 4.10 wurde eine lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
Die Tabelle 4.5 dokumentiert die relativen Fehler und die Konvergenzverhalten bei
der Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit kontinuierlichem geometrischem
Mittel mit Euler-Maruyama-Verfahren.
Aufwand : N · d Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
5 · 103 · 5 0.192470297333721 0.198345750049843 0.197514959690855
10 · 103 · 10 0.094585807263369 0.097127773339536 0.095893407398357
20 · 103 · 20 0.041485194493920 0.040208601083472 0.046559267605944
40 · 103 · 40 0.007024399741505 0.006562359321326 0.026489625093971
80 · 103 · 80 0.020747447766315 0.005742242255734 0.011767399856740
Konvergenz 0.508921847548554 0.705405817442494 0.499709655042184
Tabelle 4.5: Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz relativen Fehler und Kon-
vergenzverhalten Tabelle
Die Ergebnisse zeigen, dass bei allen betrachteten Niederdiskrepanz-Folgen mit zuneh-
mende Aufwand die relativen Fehler gegen 0 konvergieren.
54 KAPITEL 4. NUMERISCHE ERGEBNISSE
Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz
Abbildung 4.11 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Konvergenzverhalten
104
105
106
107
10−3
10−2
10−1
100
Asia−Call kontinuierlich Ito−Ansatz Konvergenzverhalten
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−FolgeFaure−FolgeSobol−Folge
In Abbildung 4.11 wurden der bei Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit
kontinuierlichem geometrischem Mittel mit Ito-Formel auftretenden relativen Fehler
gegen den Aufwand N · d auf eine logarithmischen Skala aufgetragen.
Abbildung 4.12 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
104
105
106
107
10−3
10−2
10−1
100
Asia−Call kontinuierlich Ito−Ansatz Lineare Regressionsanalyse
Aufwand : N x d
Rel
ativ
er F
ehle
r
Halton−Folge : − 0.5135Faure−Folge : − 0.8738Sobol−Folge : − 0.5038
In Abbildung 4.12 wurde eine lineare Regressionsanalyse der berechneten Punkte durch-
gefuhrt und die jeweilige Geraden-Steigung (Konvergenz-Geschwindigkeit) abgelesen.
4.2. BEWERTUNG VON OPTIONEN 55
Die Tabelle 4.6 dokumentiert die relativen Fehlern und die Konvergenzverhalten, bei
der Berechnung des Wertes des Asiatischen Calls mit kontinuierlichem geometrischem
Mittel mit Ito-Formel.
Aufwand : N · d Halton-Folge Faure-Folge Sobol-Folge
5 · 103 · 5 0.195869972116154 0.202609956111959 0.201835217204533
10 · 103 · 10 0.095422304411796 0.098040640922101 0.098651870683991
20 · 103 · 20 0.041877486609307 0.041090883211523 0.046832835620440
40 · 103 · 40 0.006697344559224 0.005529652703121 0.026457239078278
80 · 103 · 80 0.021030439279334 0.001997893284779 0.011856437251069
Konvergenz 0.352631562479756 0.821969476958533 0.514643684955722
Tabelle 4.6: Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz relativen Fehler und Konvergenzverhal-
ten Tabelle
Die Ergebnisse zeigen, dass bei allen betrachteten Niederdiskrepanz-Folgen mit zuneh-
mende Aufwand die relativen Fehler gegen 0 konvergieren.
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
Das Gebiet der Optionsbewertung ist durch die Entwicklungen zu neuen und im-
mer komplexer werdenden Optionstypen und durch Verbesserungen im Bereich der
Aktienkurs-Modelle gepragt. Diese Entwicklung und die gestiegene Leistungsfahigkeit
der Parallelrechner haben das Interesse an den flexiblen Quasi-Monte-Carlo-Verfahren
neu geweckt.
Die experimentellen Untersuchungen bestatigen die Uberlegenheit des Quasi-Monte-
Carlo-Verfahren gegenuber den klassische Monte-Carlo-Verfahren in Bezug auf niedrig-
dimensionale Optionstypen. Dieser Uberlegenheit nimmt aber mit zunehmender Dimen-
sion ab, was eine Nachteil fur das Quasi-Monte-Carlo Verfahren darstellt. Zur Verbesse-
rung des Verfahrens gibt das Dimensions-Reduktions-Prinzip (effective dimension) und
weitere Niederdiskrepanz-Folgen, wie Niederreiter-Folgen, Lattice-Regeln, usw. Weitere
Verbesserungsmoglichkeiten konnten auch durch Wahl von anderen Diskretisierungsver-
fahren mit hoherer starker Ordnung, wie z.B dem Milstein-Verfahren, erreicht werden.
Mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren lassen sich auch komplizierte Optionen bewer-
ten, wie z.B.
• Bermuda-Optionen,
• Barrier-Optionen,
• Cap-Optionen,
• Shout-Optionen,
• Lokkback-Optionen,
• Multi-Asset-Optionen,
57
58 KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
• Outperformance-Optionen,
und auch mit weiteren Bewertungs-Modellen kombinieren, wie z.B. dem
• Black-Scholes-Modell mit variabler Verzinsung,
• Black-Scholes-Modell mit zeitabhangiger Volatilitat,
• Heston-Modell fur stochastische Volatilitat,
• Merton-Sprung-Diffusion-Modell und dem
• Libor-Markt Modell fur Zinsderivate,
auf die ich in dieser Bachelorarbeit nicht mehr eingehen werde, mit denen ich mich
jedoch in der Masterarbeit genauer beschafigen werde.
Anhang A
Anhang: Programmcodes
A.1 Niederdiskrepanz-Folgen-Generatoren
Programmcode A.1.1 Halton-Folge
function [qh,Z] = qmch(N,d)
format long;
hf = qrandstream(’halton’,d);
qh = rand(hf,N,d);
Z = icdf(’normal’,qh,0,1);
Programmcode A.1.2 Faure-Folge
function [Z] = qmcf(N,d)
format long;
Z = zeros(N:d);
qs = faure(N,d,13);
Z1 = icdf(’normal’,qs,0,1);
for i = 1 : d
Z(:,i) = Z1(i,1:N)’;
end
59
60 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.1.3 Sobol-Folge
function [qs,Z] = qmcs(N,d)
format long;
sf = qrandstream(’sobol’,d);
qs = rand(sf,N,d);
Z = icdf(’normal’,qs,0,1);
Programmcode A.1.4 Faure-Folge
function[a] = basexpflip(k,b)
if k
j = fix(log(k)/log(b)) + 1;
a = zeros(1,j);
q = b^(j-1);
for i = 1:j
a(i) = floor(k/q);
k = k - q*a(i);
q = q/b;
end
a = fliplr(a);
else
a = 0;
end
function[c] = comb(n,k)
if n < k
c = 0;
else
c = nchoosek(n,k);
end
function[i] = isint(x)
i = (x == floor(x));
A.1. NIEDERDISKREPANZ-FOLGEN-GENERATOREN 61
Programmcode A.1.5 Faure-Folge
function[s] = faure(k,d,b)
if ~(isint(k) && k >= 0)
error(’Input argument "k" must be a non-negative integer’)
end
if ~(isint(d) && d > 0)
error(’Input argument "d" must be a positive integer’)
end
if ~(isint(b) && b > 1)
error(’Input argument "b" must be an integer greater than 1’)
end
s = zeros(d,k+1);
K = k;
D = d;
for k = 0:K
a = basexpflip(k,b);
J = length(a);
L = J - 1;
y = zeros(J,1);
g = b.^(1:J)’;
for d = 1:D
for j = 1:J
S = 0;
for l = 0:L
c = comb(l,j-1);
h = (d-1)^(l-j+1);
if isinf(h)
h = 0;
end
S = S + c*h*a(l+1);
end
y(j) = mod(S,b);
end
s(d,k+1) = sum(y./g);
end
end
62 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
A.2 Black-Scholes-Formel
Programmcode A.2.1 Black-Scholes-Formel Euro-Call
function [C0] = bsfec(S0,K,r,sigma,T)
format long;
d1 = (log(S0 / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * T);
d2 = d1 - sigma * sqrt(T);
C0 = S0 * normcdf(d1) - K * exp(-r * T) * normcdf(d2);
Programmcode A.2.2 Black-Scholes-Formel Asia-Call diskret
function [V] = bsacdgm(S0,K,r,sigma,T,M)
format long;
dt = T / M;
T1 = T - (M * (M - 1) * (4 * M + 1) * dt) / (6 * M^2);
T2 = T - ((M - 1) * dt) / 2;
A = exp(-r * (T - T2) - (sigma^2) * (T2 - T1) / 2);
d = (log(S0 / K) + (r - (sigma^2) / 2) * T2) / (sigma * sqrt(T1));
V = S0 * A * normcdf(d + sigma * sqrt(T1)) - K * exp(-r * T) * normcdf(d);
Programmcode A.2.3 Black-Scholes-Formel Asia-Call kontinuierlich
function [V] = bsackgm(S0,K,r,sigma,T)
format long;
d = (log(S0 / K) + 1 / 2 * (r - sigma^2 / 2) * T) / (sigma * sqrt(T / 3));
V = S0 * exp(- 1 / 2 * (r + sigma^2 / 6) * T) * normcdf(d + sigma * sqrt(T / 3))
- K * exp(- r * T) * normcdf(d);
A.3. INTEGRAL APPROXIMATION 63
A.3 Integral Approximation
Programmcode A.3.1 Integral Approximation Pseudo-Zufallsfolgen
function [msm] = kbm
format long;
w = (exp(1) - 1)^10;
N = [1000,10000,100000,1000000];
sm = zeros(10000,length(N));
msm = zeros(1,length(N));
for i = 1 : length(N)
for s = 1 : 1000
mc = rand(N(i),10);
z = zeros(1,N(i));
for j = 1 : N(i)
z(j) = exp(sum(mc(j,:)));
end
ns = mean(z);
sm(s,i)=abs(w-ns)/w;
end
msm(i) = mean(sm(:,i));
end
64 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.3.2 Integral Approximation Halton-Folgen
function [ff] = kbf
format long;
w = (exp(1) - 1)^10;
N = [1000,10000,100000,1000000];
n = length(N);
ff = zeros(1,n);
for i = 1 : n
qf = faure(N(i),10,11);
z = zeros(1,N(i));
for j = 1 : N(i)
z(j) = exp(sum(qf(:,j)));
end
nf = mean(z);
ff(i)=abs(w-nf)/w;
end
Programmcode A.3.3 Integral Approximation Faure-Folgen
function [ff] = kbf
format long;
w = (exp(1) - 1)^10;
N = [1000,10000,100000,1000000];
n = length(N);
ff = zeros(1,n);
for i = 1 : n
qf = faure(N(i),10,11);
z = zeros(1,N(i));
for j = 1 : N(i)
z(j) = exp(sum(qf(:,j)));
end
nf = mean(z);
ff(i)=abs(w-nf)/w;
end
A.3. INTEGRAL APPROXIMATION 65
Programmcode A.3.4 Integral Approximation Sobol-Folgen
function [sf] = kbs
format long;
w = (exp(1) - 1)^10;
N = [1000,10000,100000,1000000];
sf = zeros(1,length(N));
for i = 1 : length(N)
s = qrandstream(’sobol’,10);
qs = rand(s,N(i),10);
z = zeros(1,N(i));
for j = 1 : N(i)
z(j) = exp(sum(qs(j,:)));
end
ns = mean(z);
sf(i) = abs(w - ns) / w;
end
Programmcode A.3.5 Integral Approximation Konvergenzverhalten
N = [1000,10000,100000,1000000];
M = 10;
N2 = N * M;
loglog(N2,kbm,’--ko’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’k’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,kbh,’--ro’,’LineWidth’,2,’MarkerEdgeColor’,’r’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,kbf,’--go’,’LineWidth’,2,’MarkerEdgeColor’,’g’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,kbs,’--bo’,’LineWidth’,2,’MarkerEdgeColor’,’b’,’MarkerSize’,8)
title(’Konvergenz’)
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relative Fehler’)
legend(’Monte-Carlo’,’Halton-Folge’,’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’)
grid
66 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.3.6 Integral Approximation Lineare Regressionsanalyseformat long;
N = [1000,10000,100000,1000000];
N2 = N * 10;
n = log10(N2);
rfmc = log10(kbmc);
pmc = polyfit(n,rfmc,1);
rfh = log10(kbh);
ph = polyfit(n,rfh,1);
rff = log10(kbf);
pf = polyfit(n,rff,1);
rfs = log10(kbs);
ps = polyfit(n,rfs,1);
N3 = [N2(1),N2(length(N))];
regmc = [10^(pmc(1) * log10(N2(1)) + pmc(2)),10^(pmc(1) * log10(N2(length(N))) + pmc(2))];
regh = [10^(ph(1) * log10(N2(1)) + ph(2)),10^(ph(1) * log10(N2(length(N)))
+ ph(2))];
regf = [10^(pf(1) * log10(N2(1)) + pf(2)),10^(pf(1) * log10(N2(length(N)))
+ pf(2))];
regs = [10^(ps(1) * log10(N2(1)) + ps(2)),10^(ps(1) * log10(N2(length(N)))
+ ps(2))];
loglog(N3,regmc,’-k’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regh,’-r’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regf,’-g’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regs,’-b’,’LineWidth’,2)
title(’Lineare Regressionsanalyse Integral’)
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relativer Fehler’)
legend(’Monte-Carlo’,’Halton-Folge’,’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’)
grid on
A.4. EUROPAISCHE OPTIONEN 67
A.4 Europaische Optionen
Programmcode A.4.1 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Halton-Folgen
function [V] = qmcechalton(S0,K,T,r,Sigma,N,M)
format long;
h = T / M;
DW = qmch(N + 1,M);
S = zeros(N,M + 1);
S(:,1) = S0;
Z = zeros(1,N);
for i = 1 : N
for j = 1 : M
S(i,j + 1) = S(i,j) + r * S(i,j) * h + Sigma * S(i,j) * sqrt(h)
* DW(i + 1,j);
end
end
for i = 1 : N
Z(i) = S(i,M + 1) - K;
if Z(i) < 0
Z(i) = 0;
end
end
V = exp(-r) * mean(Z);
68 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.4.2 Euro-Call Ito-Ansatz Halton-Folgen
function [V] = qmcechaltonito(S0,K,T,r,Sigma,N,M)
format long;
h = T / M;
DW = qmch(N + 1,M);
S = zeros(N,M + 1);
S(:,1) = S0;
Z = zeros(1,N);
for i = 1 : N
for j = 1 : M
S(i,j + 1) = S(i,j) * exp((r - Sigma^2 / 2) * h + Sigma * sqrt(h)
* DW(i + 1,j));
end
end
for i = 1 : N
Z(i) = S(i,M + 1) - K;
if Z(i) < 0
Z(i) = 0;
end
end
Fur Faure-Folge und Sobol-Folge sind die Programm-Codes Analog.
A.4. EUROPAISCHE OPTIONEN 69
Programmcode A.4.3 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhaltenformat long;
N = [10,20,40,80,160];
M = [1,2,4,8,16];
N2 = N.*M;
n = log10(N2);
rfh = zeros(1,length(N));
rff = zeros(1,length(N));
rfs = zeros(1,length(N));
for i = 1 : length(N)
rfh(i) = abs(qmcechalton(100,103,1,0.03,0.25,N(i),M(i))
- 9.967521439954112) / 9.967521439954112;
rff(i) = abs(qmcecfaure(100,103,1,0.03,0.25,N(i),M(i))
- 9.967521439954112) / 9.967521439954112;
rfs(i) = abs(qmcecsobol(100,103,1,0.03,0.25,N(i),M(i))
- 9.967521439954112) / 9.967521439954112;
end
loglog(N2,rfh,’--ro’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’r’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,rff,’--go’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’g’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,rfs,’--bo’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’b’,’MarkerSize’,8)
title(’Konvergenz’)
xlabel(’Aufwand : N * d’)
ylabel(’Relative Fehler’)
legend(’Halton-Folge’,’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’)
grid on
Fur Ito-Formel ist das Programm-Code Analog.
70 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.4.4 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanaly-
seN = [10000,20000,40000,80000,160000];
M = [1,2,4,8,16];
N2 = N.* M;
n = log10(N2);
for i = 1 : length(N)
rfh(i) = abs(qmcechalton(100,103,1,0.03,0.25,N(i),M(i))
- 9.967521439954112) / 9.967521439954112;
rff(i) = abs(qmcecfaure(100,103,1,0.03,0.25,N(i),M(i))
- 9.967521439954112) / 9.967521439954112;
rfs(i) = abs(qmcecsobol(100,103,1,0.03,0.25,N(i),M(i))
- 9.967521439954112) / 9.967521439954112;
end
rrfh = log10(rfh);
ph = polyfit(n,rrfh,1);
rrff = log10(rff);
pf = polyfit(n,rrff,1);
rrfs = log10(rfs);
ps = polyfit(n,rrfs,1);
N3 = [N2(1),N2(length(N))];
regh = [10^(ph(1) * log10(N2(1)) + ph(2)),10^(ph(1) * log10(N2(5)) + ph(2))];
regf = [10^(pf(1) * log10(N2(1)) + pf(2)),10^(pf(1) * log10(N2(5)) + pf(2))];
regs = [10^(ps(1) * log10(N2(1)) + ps(2)),10^(ps(1) * log10(N2(5)) + ps(2))];
loglog(N3,regh,’-r’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regf,’-g’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regs,’-b’,’LineWidth’,2)
title(’Euro-Call Lineare Regressionsanalyse Euler-Maruyama’)
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relativer Fehler’)
legend(’Halton-Folge’, ’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’)
A.5. ASIATISCHE OPTIONEN DISKRET GEOMETRISCH 71
Fur Ito-Formel ist das Programm-Code Analog.
A.5 Asiatische Optionen diskret geometrisch
Programmcode A.5.1 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Faure-Folgen
function [V] = qmcacfaure(S0,K,r,Sigma,T,N,M)
h = T / M;
DW = qmcf(N + 1,M);
S = zeros(N,M + 1);
S(:,1) = S0;
Z = zeros(1,N);
for i = 1 : N
for j = 1 : M
S(i,j + 1) = S(i,j) + r * S(i,j) * h + Sigma * S(i,j) * sqrt(h)
* DW(i + 1,j);
end
end
ST = zeros(1,N);
for i = 1:N
ST(i) = (prod(S(i,2 : M + 1)))^(1 / M);
end
for i = 1 : N
Z(i) = ST(i) - K;
if Z(i) < 0
Z(i) = 0;
end
end
V = exp(-0.03) * mean(Z);
72 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.5.2 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Faure-Folgen
function [V] = qmcacfaure(S0,K,r,Sigma,T,N,M)
h = T / M;
DW = qmcf(N + 1,M);
S = zeros(N,M + 1);
S(:,1) = S0;
Z = zeros(1,N);
for i = 1 : N
for j = 1 : M
S(i,j + 1) = S(i,j) + r * S(i,j) * h + Sigma * S(i,j) * sqrt(h)
* DW(i + 1,j);
end
end
ST = zeros(1,N);
for i = 1:N
ST(i) = (prod(S(i,2 : M + 1)))^(1 / M);
end
for i = 1 : N
Z(i) = ST(i) - K;
if Z(i) < 0
Z(i) = 0;
end
end
V = exp(-0.03) * mean(Z);
Fur Halton-Folge und Sobol-Folge sind die Programm-Codes Analog.
A.5. ASIATISCHE OPTIONEN DISKRET GEOMETRISCH 73
Programmcode A.5.3 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Konvergenzverhaltenformat long;
N = [10000,20000,40000,80000,160000];
M = 12;
N2 = N * M;
n = log10(N2);
rfh = zeros(1,length(N));
rff = zeros(1,length(N));
rfs = zeros(1,length(N));
for i = 1 : length(N)
rfh(i) = abs(qmcachaltonito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M)
- 5.181006824978432) / 5.181006824978432;
rff(i) = abs(qmcacfaureito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M)
- 5.181006824978432) / 5.181006824978432;
rfs(i) = abs(qmcacsobolito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M)
- 5.181006824978432) / 5.181006824978432;
end
loglog(N2,rfh,’--ro’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’r’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,rff,’--go’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’g’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,rfs,’--bo’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’b’,’MarkerSize’,8);
title(’Konvergenz’)
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relativer Fehler’)
legend(’Halton-Folge’,’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’);
grid on
Fur Euler-Maruyama-Verfahren ist das Programmcode analog.
74 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.5.4 Asia-Call diskret Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
N = [10000,20000,40000,80000,160000];
M = 12;
N2 = N * M;
n = log10(N2);
for i = 1 : length(N)
rfh(i) = abs(qmcachaltonito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M)
- 5.181006824978432) / 5.181006824978432;
rff(i) = abs(qmcacfaureito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M)
- 5.181006824978432) / 5.181006824978432;
rfs(i) = abs(qmcacsobolito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M)
- 5.181006824978432) / 5.181006824978432;
end
rrfh = log10(rfh);
ph = polyfit(n,rrfh,1);
rrff = log10(rff);
pf = polyfit(n,rrff,1);
rrfs = log10(rfs);
ps = polyfit(n,rrfs,1);
N3 = [N2(1),N2(length(N))];
regh = [10^(ph(1) * log10(N2(1)) + ph(2)),10^(ph(1) * log10(N2(length(N))) + ph(2))];
regf = [10^(pf(1) * log10(N2(1)) + pf(2)),10^(pf(1) * log10(N2(length(N))) + pf(2))];
regs = [10^(ps(1) * log10(N2(1)) + ps(2)),10^(ps(1) * log10(N2(length(N))) + ps(2))];
loglog(N3,regh,’-r’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regf,’-g’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regs,’-b’,’LineWidth’,2)
title(’Asia-Call diskret Lineare Regressionsanalyse Ito’)
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relativer Fehler’)
legend(’Halton-Folge : - 0.5443’, ’Faure-Folge : - 0.5406’,’Sobol-Folge : - 1.2899’)
Fur Euler-Maruyama-Verfahren ist das Programmcode analog.
A.6. ASIATISCHE OPTIONEN KONTINUIERLICH GEOMETRISCH 75
A.6 Asiatische Optionen kontinuierlich geometrisch
Programmcode A.6.1 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Sobol-Folgen
function [V] = qmcacsobol(S0,K,r,Sigma,T,N,M)
h = T / M;
DW = qmcs(N + 1,M);
S = zeros(N,M + 1);
S(:,1) = S0;
Z = zeros(1,N);
for i = 1 : N
for j = 1 : M
S(i,j + 1) = S(i,j) + r * S(i,j) * h + Sigma * S(i,j) * sqrt(h)
* DW(i + 1,j);
end
end
ST = zeros(1,N);
for i = 1 : N
ST(i) = (prod(S(i,2 : M + 1)))^(1 / M);
end
for i = 1 : N
Z(i) = ST(i) - K;
if Z(i) < 0
Z(i) = 0;
end
end
V = exp(-0.03) * mean(Z);
76 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.6.2 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Sobol-Folgen
function [V] = qmcacsobolito(S0,K,r,Sigma,T,N,M)
h = T / M;
DW = qmcs(N + 1,M);
S = zeros(N,M + 1);
S(:,1) = S0;
Z = zeros(1,N);
for i = 1 : N
for j = 1 : M
S(i,j + 1) = S(i,j) * exp((r - Sigma^2 / 2) * h + Sigma * sqrt(h)
* DW(i + 1,j));
end
end
ST = zeros(1,N);
for i = 1 : N
ST(i) = (prod(S(i,2 : M + 1)))^(1 / M);
end
for i = 1 : N
Z(i) = ST(i) - K;
if Z(i) < 0
Z(i) = 0;
end
end
V = exp(-0.03) * mean(Z);
A.6. ASIATISCHE OPTIONEN KONTINUIERLICH GEOMETRISCH 77
Programmcode A.6.3 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Konvergenzverhaltenformat long;
N = [5000,10000,20000,40000,80000];
M = [5,10,20,40,80];
N2 = N.*M;
n = log10(N2);
rfh = zeros(1,length(N));
rff = zeros(1,length(N));
rfs = zeros(1,length(N));
for i = 1 : length(N)
rfh(i) = abs(qmcachaltonito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M(i))
- 4.769426376039782) / 4.769426376039782;
rff(i) = abs(qmcacfaureito(100,103,0.03,0.25,1,N(1),M(1))
- 4.769426376039782) / 4.769426376039782;
rfs(i) = abs(qmcacsobolito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M(i))
- 4.769426376039782) / 4.769426376039782;
end
loglog(N2,rfh,’--ro’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’r’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,rff,’--bo’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’b’,’MarkerSize’,8);
hold on
loglog(N2,rfs,’--go’,’LineWidth’,2,’MarkerFaceColor’,’g’,’MarkerSize’,8);
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relativer Fehler’)
legend(’Halton-Folge’,’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’);
grid on
Fur Euler-Maruyama-Verfahren ist das Programmcode analog.
78 ANHANG A. ANHANG: PROGRAMMCODES
Programmcode A.6.4 Asia-Call kontinuierlich Ito-Ansatz Lineare Regressionsanalyse
N = [5000,10000,20000,40000,80000];
M = [5,10,20,40,80];
N2 = N.* M;
n = log10(N2);
for i = 1 : length(N)
rfh(i) = abs(qmcachaltonito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M(i))
- 4.769426376039782) / 4.769426376039782;
rff(i) = abs(qmcacfaureito(100,103,0.03,0.25,1,N(1),M(1))
- 4.769426376039782) / 4.769426376039782;
rfs(i) = abs(qmcacsobolito(100,103,0.03,0.25,1,N(i),M(i))
- 4.769426376039782) / 4.769426376039782;
end
rrfh = log10(rfh);
ph = polyfit(n,rrfh,1);
rrff = log10(rff);
pf = polyfit(n,rrff,1);
rrfs = log10(rfs);
ps = polyfit(n,rrfs,1);
N3 = [N2(1),N2(length(N))];
regh = [10^(ph(1) * log10(N2(1)) + ph(2)),10^(ph(1) * log10(N2(length(N))) + ph(2))];
regf = [10^(pf(1) * log10(N2(1)) + pf(2)),10^(pf(1) * log10(N2(length(N))) + pf(2))];
regs = [10^(ps(1) * log10(N2(1)) + ps(2)),10^(ps(1) * log10(N2(length(N))) + ps(2))];
loglog(N3,regh,’-r’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regf,’-g’,’LineWidth’,2);
hold on
loglog(N3,regs,’-b’,’LineWidth’,2)
title(’Asia-Call kontinuierlich Lineare Regressionsanalyse Ito’)
xlabel(’Aufwand : N x d’)
ylabel(’Relativer Fehler’)
legend(’Halton-Folge’, ’Faure-Folge’,’Sobol-Folge’)
Fur Euler-Maruyama-Verfahren ist das Programmcode analog.
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