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待ち行列のシミュレーション

Kobe.R #4

2014.05.17

@florets1

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待ち行列のモデル

到着要素はランダムに到着する。

待ち行列サービスが使用中であれば、要素は待ち行列を作る。

待ち行列規則：サービスを受ける順番。到着順、ランダムなど。

サーバー要素にサービスを提供する。

サービス時間はランダム。

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待ち行列システムの総コスト

総コスト＝サービスコスト＋待ち行列コスト

レジ増設→サービスコスト増大、待ち行列コスト減少

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洗車場を例に

顧客は 1時間あたり平均 15台（ 4分に 1台）、ランダムに到着

洗車時間は 1台につき平均 3分（ 1時間あたり 20台）、変動あり

つまり洗車スピードは車の到着より速い。

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分析的なモデル

単位時間あたりに到着する顧客数（平均到着率）： λ

単位時間あたりにサービスを受ける顧客数（平均サービス率）： μ

)9(15.0)1520(20

15

)(: 分時間平均待ち時間 =

−=

−=

λµµλ

Wq

)12(2.0)1520(20

11: 分時間間システムにいる平均時 =

−=

−=

λµW

25.020

1511: 0 =−=−=

µλ

Pサーバーのアイドル率

57.020

15: ===

µλρサーバーの利用率

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分析的なモデルの弱み

平均到着率 λが平均サービス率 μより大きいと計算できない。

現実の待ち行列は平均を中心にして大きく変化する。

数学的に解を求めるために、モデルを制限しないといけない。

ウォ－ムアップ期間のことはわからない。

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待ち行列システムをシミュレート (1)

1. 顧客が到着する。

2. サーバーが作業中であればサービスを待つ。

3. サービスを受ける。

4. システムから出発する。

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待ち行列システムをシミュレート (2)

a. 顧客が到着したときにサーバーがアイドル中なら、到着と同時にサービスを開始できる。

b. 顧客が到着したときにサーバーが作業中なら、その顧客の前に到着した顧客のサービスが完了するまで、サービスは開始できない。

c. 顧客のサービス完了時刻は、サービス開始時刻に実際のサービス時間を足したものである。

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待ち行列システムをシミュレート (3)

arrival.time[i] 顧客 iの到着時刻

start.time[i] 顧客 iのサービス開始時刻

completion.time[i] 顧客 iのサービス完了時刻

wait.time[i] 顧客 iの待ち時間

idle.time[i] 顧客 i-1と顧客 iの間のサーバーアイドル時間

tba[i] 顧客 i-1と顧客 iの到着間隔

st[i] 顧客 iのサービス時間

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待ち行列システムをシミュレート (4)

simulate()で 100人の顧客の行列をシミュレートする。

trial() は simulate()を 1000回試行して、平均待ち時間やアイドル率を計算する。

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待ち行列システムをシミュレート (5)

Histogram of mean.wait.time

mean.wait.time

Frequency

0 10 20 30 40 50

050

100

150

Histogram of mean.idle.rate

mean.idle.rate

Frequency

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

010

30

分析的なモデルでは 9分

分析的なモデルでは 0.25

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参考文献

James R. Evans (著 ), David L. Olson (著 )

リスク分析・シミュレーション入門―Crystal Ballを利用したビジネスプランニングの実際