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ModelosCualitativos
EduardoMorales,
Enrique Sucar
Introduccion
QSIM
Simulacion
Algoritmo
Modelos Cualitativos
Eduardo Morales, Enrique Sucar
INAOE
Eduardo Morales, Enrique Sucar (INAOE) Modelos Cualitativos 1 / 40
ModelosCualitativos
EduardoMorales,
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Introduccion
QSIM
Simulacion
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Contenido
1 Introduccion
2 QSIM
3 Simulacion
4 Algoritmo
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Simulacion
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Modelos Cualitativos y QSIM
• Conocimiento superficial vs. profundo.• Normalmente los SE tienen conocimiento superficial en
forma de reglas de produccion.• El conocimiento superficial representa conocimiento
que puede utilizarse en situaciones especıficas, endonde las conclusiones se derivan directamente de lasobservaciones, e.g.,
IF el tanque esta vacioThen el coche no arranca
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Modelos Cualitativos y QSIM
• Un sistema fısico puede describirse en terminos de suscomponentes y conecciones.
• La motivacion es capturar conocimiento de sentidocomun de los expertos.
• El conocimiento profundo se refiere a las estructurasinternas y causales de un sistema y considera lasinteracciones entre sus componentes.
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Modelos Cualitativos y QSIM
• Una forma de representar conocimiento profundo espor medio de modelos cualitativos.
• Normalmente se hace una simulacion cualitativa.• Surgio al tratar de resolver problemas de ingenierıa y
dandose cuenta que simuladores mas grandes omejores resolvedores de ecuaciones no resolveriantotalmente el problema.
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Modelos Cualitativos y QSIM
Sistema - ComportamientoFısico Real
? ?Ecuaciones solucion numerica - fi : R∗ → R
Diferenciales o analıtica
? ?Restricciones simulacion - Descripcion delCualitativas cualitativa Comportamiento
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Modelos Cualitativos y QSIM
• Un modelo cualitativo consiste en un conjunto devariables de estado (o parametros) del sistema y unconjunto de restricciones que relacionan las variables.
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Modelos Cualitativos y QSIM
Restricciones Valores Corresp. VariablesCantA + CantB = Total CantA (0 AMax∞)PresA = M+(CantA) (0 0) (∞∞) CantB (o BMax∞)PresB = M+(CantB) (0 0) (∞∞) PresA (0∞)PresA - PresB = ∆PAB PresB (0∞)flujoA−>B = M+(∆PAB) (−∞−∞) ∆PAB (-∞ 0∞)
(0 0)(∞∞)d CantB/dt = flujoA−>B flujoA−>B (-∞ 0∞)d CantA/dt = - flujoA−>B Total (0∞)
Dada una descripcion inicial queremos predecir elcomportamiento.
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Modelos Cualitativos y QSIM
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Modelos Cualitativos y QSIM
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Variables Cualitativas
Operan sobre funciones razonables. Si [a,b] ⊆ R∗, lafuncion f : [a,b]→ R∗ es una funcion razonable sobre [a,b]si:
1 f es continua es [a,b]
2 f es continuamente diferenciable en (a,b)
3 f tiene un numero finito de puntos de infleccion(crıticos) en cualquier intervalo cerrado
4 existen los lımites limt→af ′(t) = f ′(a) ylimt→bf ′(t) = f ′(b)
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Espacios Cualitativos - ValoresCaracterısticos
• El espacio cualitativo esta definido por un conjunto desımbolos totalmente ordenado (valores landmark(caracterısticos))
l1 < l2 < . . . < lk
• Cada landmark es un nombre simbolico de un valorparticular cuyo valor actual no se conoce. Por default:(−∞,0,∞)
• Se debe de incluir un valor landmark por cada punto deinfleccion (i.e., f ′(t) = 0), por lo que durante lasimulacion a veces es posible crear nuevos landmarks.
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Restricciones Cualitativos
• Las restricciones representan versiones cualitativas deoperaciones matematicas comunes, tales como suma,multiplicacion y diferenciacion, y permiten mapeardirectamente una gran cantidad de ecuacionesdiferenciales.
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QSIM
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QSIM
QSIM
• QSIM es un sistema para simulacion cualitativadesarrollado por B. Kuipers y otros
• Dado un conjunto incompleto de estados de variables yun conjunto de restricciones, QSIM determina todos losposibles estados que son consistentes con lasrestricciones.
• El estado cualitativo de un variable es una lista con suvalor cualitativo (en o entre valores caracterısticos) y laderivada cualitativa: aumentando (inc), decreciendo(dec) o constante (std).
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Estado Cualitativo
Defn: Sean l1 < . . . < lk los valores caracterısticos def : [a,b]→ R∗, para cualquier t ∈ [a,b]. Un estadocualitativo de f en t , QS(f , t), en un par <qval,qdir> definidocomo:
qval =
{lj if f (t) = lj ; un landmark(lj , lj+1) if f (t) ∈ (lj , lj+1)
qdir =
inc if f ′(t) > 0std if f ′(t) = 0dec if f ′(t) < 0
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QSIM
Estado Cualitativo
• A pesar de que esta definido continuamente, ladescripcion se hace en puntos discretos.
• Entre puntos distinguibles ti y ti+1 podemos definir unvalor cualitativo QS(f , ti , ti+1) para todo el tiempo entreti y ti+1.
• Si un sistema, es un conjunto F = {f1, . . . , fm} defunciones fi : [a,b]→ R∗, el comportamiento cualitativode un sistema se describe como una secuencia deestados de la forma:
QS(F , t0),QS(F , t0, t1),QS(F , t1), . . . ,QS(F , tn−1, tn),QS(F , tn)
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Restricciones Cualitativas
• El estado cualitativo se expresa en terminos de losvalores de las variables. Las relaciones entre lasvariables esta dado por las restricciones cualitativas:suma, mult, menos, deriv, M+, M− y constante.
• Dada cualquier ODE (ecuaciones diferencialesordinarias), estan las podemos traducir a su equivalenteQDE (ecuaciones diferenciales cualitativas), pero unaQDE puede mapear a un numero infinito de ODE.
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Ejemplo
d2u/dt − du/dt + arctanku = 0
f1 = du/dt deriv(u, f1)f2 = df1/dt deriv(f1, f2)f3 = ku mult(k ,u, f3)f4 = arctanf3 M+(f3, f4)f2 − f1 + f4 = 0 suma(f2, f4, f1)
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Valores Correspondientes
Los valores correspondientes son tuplas de valoreslandmark que pueden tomar las variables en un tiempodeterminado (e.g.,M+(x , y), [(0,0)]).[V ] = el signo de V
[V ]0 = signo(V )
[+] if V > 0[0] if V = 0[–] if V < 0
[V ]V0 = signo(V − V0)
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Restricciones
SUMA: suma(x , y , z)[(x1, y1, z1), ...] (corresponding values)1 [X ] + [Y ] = [Z ]
suma [+] [0] [-][+] [+] [+] [+]/[0]/[-][0] [+] [0] [-][−] [+]/[0]/[-] [-] [-]
2 [X ]xi + [Y]yi = [Z]zi
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QSIM
Restricciones
MULT: mult(x , y , z)[(x1, y1, z1), ...]
1 [X ]0[Y ]0 = [Z ]0mult [+] [0] [-][+] [+] [0] [-][0] [0] [0] [0][−] [-] [0] [+]
2 [Y ]0[X ] + [X ]0[Y ] = [Z ]
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Restricciones
MENOS:1 [X ] = −[Y ]
2 [X ]xi = −[Y ]yi
3 Valores correspondientes: (0 0), (-∞,∞), (∞, -∞)
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Restricciones
M+: Monotonicamente creciente1 [X ] = [Y ]
2 [X ]xi = [Y ]yi
M−: Monotonicamente decreciente1 [X ] = −[Y ]
2 [X ]xi = −[Y ]yi
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QSIM
Restricciones
DERIV1 [X ] = [Y ]0
CONSTANT1 [X ] = 02 [X ]a = 0
• Tambien pueden existir para operaciones de muchasvariables.
• Se pueden combinar los landmark con valorescuantitativos para tener mas informacion
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Manejo de restricciones
• Propagacion de restricciones: Es eficiente, local,pero no siempre exitosa
• Propagar descripciones cualitativas entre variables atraves de restricciones, e.g., si M+(x , y) y[x ]∗ = [+] => [y ]∗ = [+], si suma(x , y , z) y [x ]0 = [+] y[z]0 = [−] => [y ]0 = [−].
• Ejemplo, en el caso de tubo-U, dada la descripcioninicial de Tanque A lleno y Tanque B vacıo (CantA =AMax y CantB = 0), podemos propagar para conocerlos otros valores de las otras variables.
• Satisfaccion de restricciones: encuentra todas lassoluciones, pero es computacionalmente caro.
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Simulacion
Tabla de transiciones de estados desde un punto:
Trans-P QS(f , ti) ⇒ QS(f , ti , ti+1)
P1 < lj , std > < lj , std >P2 < lj , std > < (lj , lj+1), inc >P3 < lj , std > < (lj−1, lj),dec >P4 < lj , inc > < (lj , lj+1), inc >P5 < (lj , lj+1), inc > < (lj , lj+1), inc >P6 < lj ,dec > < (lj−1, lj),dec >P7 < (lj , lj+1),dec > < (lj , lj+1),dec >
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Simulacion
Tabla de transiciones de estados desde un intervalo:
Trans-I QS(f , ti , ti+1) ⇒ QS(f , ti+1)
I1 < lj , std > < lj , std >I2 < (lj , lj+1), inc > < lj+1, std >I3 < (lj , lj+1), inc > < lj+1, inc >I4 < (lj , lj+1), inc > < (lj , lj+1), inc >I5 < (lj , lj+1),dec > < lj , std >I6 < (lj , lj+1),dec > < lj ,dec >I7 < (lj , lj+1),dec > < (lj , lj+1),dec >I8 < (lj , lj+1), inc > < l∗, std >I9 < (lj , lj+1),dec > < l∗, std >
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SimulacionEntrada:
1 Un conjunto de {f1, . . . , fm} de sımbolos representandofunciones en el sistema
2 Un conjunto de restricciones aplicadas a los sımbolosfuncionales: ADD(f ,g,h), MULT (f ,g,h), MINUS(f ,g),DERIV (f ,g), M+(f ,g), M−(f ,g). Cada una puede tenerrelacionada valores correspondientes
3 Cada funcion esta asociada con un conjunto ordenadode sımbolos, representando valores caracterısticos(cada funcion tiene por los menos el conjunto:{−∞,0,+∞})
4 Cada funcion puede tener asociada lımites superiores einferiores (valores caracterısticos donde lasrestricciones ya no aplican)
5 Un punto temporal inicial, t0, y los valores cualitativospara cada de las fi en t0
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Simulacion
Salida: una o mas descripciones cualitativas para lasfunciones dadas. Cada descripcion tiene:
1 Una secuencia {t0, . . . , tn} de sımbolos, representandolos puntos temporales
2 Cada funcion fi tiene un conjunto totalmente ordenadode valores caracterısitcos, posiblemente mayor que eloriginal
3 Cada funcion tiene una descripcion cualitativa en cadapunto temporal o intervalo entre puntos temporales
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Coloca en ACTIVOS el estado inicial.REPEAT Until ACTIVOS = vacıo o Tiempo ≥ tiempo lımite.
1 Selecciona un estado cualitativo de ACTIVOS2 Para cada funcion determina sus posibles transiciones
(usando la tabla)3 Para cada restriccion, genera un conjunto de tuples y
filtra de acuerdo a consistencia4 Realiza filtrado de consistencia entre conjuntos de
tuples (transiciones adyacentes deben de concordarcon las transiciones de los parametros comunes)
5 Genera todas las intepretaciones globales6 Aplica filtros globales y anade los estados restantes a
ACTIVOS
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Filtros
1 No cambio2 Valores infinitos3 Reconocer estado estable (quiescent)4 Nuevos landmarks5 Nuevos valores correspondientes en puntos temporales6 Aparear estados e identificar ciclos7 Propagar inconsistencias hacia atras8 Regiones de transicion
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Ejemplo: Tiro vertical
Restricciones: deriv(Y ,V ),deriv(V ,A),A(t) = gEstado Inicial:QS(A, t0, t1) =< g, std >QS(V , t0, t1) =< (0,∞),dec >QS(Y , t0, t1) =< (0,∞), inc >
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Ejemplo: Tiro vertical
A I1: < g, std > =>< g, std >
V I5: < (0,∞),dec > =>< 0, std >I6: < (0,∞),dec > =>< 0,dec >I7: < (0,∞),dec > =>< (0,∞),dec >I9: < (0,∞),dec > =>< L∗, std >
Y I4: < (0,∞), inc > =>< (0,∞), inc >I8: < (0,∞), inc > =>< L∗, std >
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Ejemplo: Tiro vertical
deriv(Y,V) deriv(V,A)(I4,I5) c (I5,I1) c(I4,I6) c (I6,I1)(I4,I7) (I7,I1)(I4,I9) w (I9,I1) c(I8,I5) w(I8,I6)(I8,I7) c(I8,I9) c
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Algoritmo
Algoritmo
Ejemplo: Tiro vertical
Y V AI4 I7 I1I8 I6 I1
QS(A, t1) =< g, std >QS(V , t1) =< 0,dec >QS(Y , t1) =< Ymax , std >
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QSIM
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Algoritmo
Algoritmo
Ejemplo: Tanque
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QSIM
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Modelos Cualitativos y QSIM
• Se puede demostrar que QSIM garantiza incluir todoslos comportamientos que exhiben las ecuacionesdiferenciales originales (sound), pero no garantizaincluir solo esas (no complete) y normalmente generacomportamientos que no representan realidadesfısicas.
• Uno de los problemas es ambiguedad en la derivada deexpresiones complejas. Por ejemplo: z = xy, x = inc, y =dec, entonces z = inc, dec o std.
• Las derivadas solo estan restringidas porconsideraciones de continuidad y no por valorescaracterısticos.
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QSIM
Simulacion
Algoritmo
Algoritmo
Modelos Cualitativos y QSIM
Posibles soluciones (Kuipers y Chiu ’87)• Ignorar la direccion de cambio de una variable (Kuipers
y Chiu ’87)• Restricciones de “curvatura” cuando la derivada de una
variable es cero para validar o refutar las curvaturaspropuestas por QSIM (Kuipers y Chiu ’87)
• Restricciones en las trayectorias de las variables en elplano de la fase (NIC: Non-Intersection of phase-spaceConstraint) (Lee y Kuipers ’88, Struss ’88)
• Incorporacion de conocimiento cuantitativo• Abstracciones de comportamientos en uno solo• Derivadas de alto orden
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