Universiteti i Gjakovës ”Fehmi Agani”

Fakulteti i Edukimit-Gjakovë

PUNIM DIPLOME

Programi Fillor

TEMA: Bashkësitë –Veprimet me bashkësi

Mentori: Kandidatja:Prof.Dr.Neki Dervishi Lindita Morina

Gjakovë, 2017

2

© [2017] - [Lindita Morina]

Të gjitha të drejtat të rezervuara.

3

FALËNDERIM

Përfundimi i këtij punimi është mundësuar falë ndihmës profesionale të mentorit

Prof.Dr.Neki Dervishi, ligjërues në lëndën “Metodologji e nocioneve matematikore” i cili me

ndihmën, përkrahjen dhe këshillat ndihmojë që më lehtë të punojë rreth saj. Falënderoj edhe

kolegët të cilët më përkrahen me sygjerimet e tyre në hulumtimin e materialeve, në mënyrë

që sa më lehtë të sigurojë materialet dhe literaturën për punimin e temës së diplomës.

Nuk mund të përshkruhet të gjitha ato që kanë ndodhur që kur fillova studimet pranë këtij

fakulteti “Univerziteti i Gjakovës” program fillor .

Falëminderit professor!

Falenderoj miqët e mi për mbështetjen që kanë dhënë në çdo qast .

Dëshiroj,në fund, të shpreh një mirënjohje të thellë për familjen time së cilës i detyrohemshumë për fillimin dhe finalizimin me sukses të këtij udhëtimi, sa të vështirë aq edhe tëbukur.

Falënderoj të gjithë !

4

PËRMBAJTJA

FALËNDERIM .....................................................................................................................................3

PËRMBAJTJA......................................................................................................................................4

ABSTRAKTI .........................................................................................................................................5

HYRJE ...................................................................................................................................................6

KAPITULLI I........................................................................................................................................7

BASHKËSITË DHE ELEMENTET E SAJ .......................................................................................7

BASHKËSIA BOSHE ........................................................................................................................11

NËNBASHKËSIA...............................................................................................................................12

KAPITULLI II ...................................................................................................................................14

BARAZIMI I BASHKËSIVE ............................................................................................................14

KAPITULLI III ..................................................................................................................................16

VEPRIMET ME BASHKËSI ..........................................................................................................16

UNIONI (BASHKIMI) I DY BASHKËSIVE ...............................................................................19

DIFERENCA E BASHKËSIVE ....................................................................................................21

A \B ={x: ëx ∈ A dhe xB}.................................................................................................................21

PRODHIMI KARTEZIAN I DY BASHKËSIVE.......................................................................22

PËRFUNDIM ......................................................................................................................................24

AUTOBIOGRAFIA ..................................................................................................................................25

BURIMET DHE LITERATURA..................................................................................................................26

Bibliografia: ......................................................................................................................................26

5

ABSTRAKTI

Bashkësitë janë një tërësi e rëndësishme në matematikë. Bashkësitë kuptohen me anë

të shembujve të ndryshëm lidhur me kuptime matematike apo shembuj të tjerë.

Vërejmë me kujdes se në secilin shembull kemi të bëjmë me objekte të cilat mund të

shpjegohen edhe të kuptohen si tërësi.

Çdo shembull i objekteve që kanë veti të veqanta (të përbashkëta) paraqet një bashkësi.

Për të treguar që një objekt i përket një bashkësie, atëherë bëjmë përdorimin e shenjes .

Thuhet se bashkësia B është nënbashkësi e bashkësisë A dhe atë fjalë e shënojmë BA.

Bashkësia e zbrazët është ajo bashkësi që nuk ka asnjë element.

Bashkësit janë të barabarta nëse të gjitha elmentet i kanë të njejta.

Veprimet me bashkësi janë prerja, unioni dhe diferenca e dy bashkësive .

Me anë të dyshes së rënditur formojnë prodhimin kartezian të dy bashkësive.

Fjalët kyçe: Bashkësia, nënbashkësia, barazim i bashkësive, union, prerje, diferenca,bashkësia boshe (zbrazët), prodhimi kartezian, etj.

6

HYRJE

Ne jetojmë në një kohë në të cilën ndeshemi dhe mbështetemi shpesh në koncepte

matematikore, atëherë niveli i formimit matematikor dhe aftësia për të zhvilluar problem

është rritur dukshëm në të gjitha profesionet.

Përfshirja e individëve në hapsira me kufiza të caktuara për qëllim grumbullimin dhe

numërimin e tyre si elemente është vështrim parimor në fillesat e trajtimit të një të

ashtëquajtur bashkësi.Ne jetojmë në një lagje, në një qytet, në një shtet, në një kontinent, në

një botë dhe ky është qëllimi i këtij punimi, duke treguar se çdo gjë i përket (i takon, është

pjesë) e një bashkësie të vogël ose edhe shumë të gjerë.

Për pjesën kryesore në këtë punim janë bashkësitë dhe veprimet me bashkësi të cilat janë

marrë si pjesë kryesore në këtë diplomë.

Në vazhdim është folur për prejardhjen e bashkësive duke filluar nga objektet tëndryshme që

të iu lehtësojë fëmijëve përgatitjet e tyre.

Duke pasur parasysh që mësimdhënja ka pasur ndryshime të mëdha në këtë kohë atëherë

edhe matematika ka pësuar ndryshime.

Ky punim ka për qëllim aftësimin e nxënësve që të dijnë më shumë për bashkësitë, prodhimin

kartezian.

7

KAPITULLI I

BASHKËSITË DHE ELEMENTET E SAJ

Bashkësia është kuptim themelor në matematikë, si e tillë nuk përkufizohet, por

shembuj bashkësish janë të mjaftueshme për të ndërtuar njohurit tona mbi bashkësinë1

Pa dashur të japim ndonjë përkufizim për bashkësinë do ta kuptojmë atë si grumbull

objektesh (ose sendesh).

Objektet i quajmë elemente të bashkësisë, bashkësitë i shënojmë me shkronja të mëdha

A,B,C...., kurse elementet i shënojmë me shkronja të vogla a,b,c….

Vërejmë me kujdes se në secilin shembull kemi të bëjmë me objekte, të cilat mund të

shqyrtohen dhe të kuptohen si tërësi.Pra çdo shembull i objekteve që kanë veti të njëjta (të

përbashkëta) paraqet një bashkësi.

Çdo objekt në një bashkësi quhet element i asaj bashkësie. Po e shqyrtojmë edhe këtë

shembull: bahkësinë e zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe (a,e,ë,i,o,u,y,). Këto shkronja

krijojnë një bashkësi të veçantë sepse paraqesin zëra (tinguj).

P.sh. a i përket kësaj bashkësie, kurse t nuk i përket

A A

.t

ose

1 Ramadan Zejnullahu,Rexhep Gjergji,Eda Vula,Sejdi Bilalli,Matematika, Shtëpia botuese “Dukagjini”, Pejë,2004,fq.7

.a .e .ë

.i .o

.y .u

.a

8

Një interpretim të tillë grafik të bashkësisë e quajmë diagram i Venit.

Mund të konstatojmë në mënyrë të përmbledhur bashkësia paraqet çdo bashkim objektesh të

përbashkëta aq mire sa që për çdo njërin nga ato objekte mund të konstatohet se është në atë

bashkësi, apo për objekte të tjera se nuk janë në atë bashkësi.

Për të emëruar bashkësinë elementet e saj i vëmë në kllapa të mëdha {,} dhe aty mandej e

shënojmë me një shkronjë të madhe.

Zakonisht elemente e bashkësive i shënojmë me shkronja të vogla 2p.sh.

A={1,2,3,4,5}, B={a,e, ë,i,o,u,y}

A është bashkësi që i ka elementet 1,2,3,4,5….

B është bashkësia me elementet a,e, ë,i,o,u,y

Për të treguar se një object i përket një bashkësie përdorim shenjen ∈ p.sh. i ∈ B kurse t nuk

është në bashkësin B, atëherë shënojmë t B

Siç pamë më sipër bashkësia është e përcaktuar plotësisht kur dihen elementet e saja.Mënyra

më e thjeshtë e paraqitjes së saj me atë rast është kur elementet e saj i rradhisim brenda

kllapave të mëdha, kur kjo është e mundur.

Shembulli 1:

Bashkësia e muajve të vitit që fillojnë me shkronjen sh është :

M= {shkurti, shtatori}

Kështu veprohet te bashkësitë e fundme, ku janë të njohura të gjitha elementet e bashkësisë3.

Nëse një bashkësi A është e pafundme (ka pakufi shumë elemente), nuk është e mundur që

të gjitha elementet e saja të shkruhen brenda kllapave .

2 Po aty,fq.73 Po aty,fq.8

9

Në këtë rast bashkësia A përcaktohet duke ditur vetinë V të elementeve të saja.

Shkruajmë:

A={x:x e ka vetin V}

Marrim bashkësinë :

A={x:x është numër natyror më i madh se 7}

Më poshtë po e përshkruajmë se si lexojmë në këtë rast.

A= { x : x është numër natyror më i madh se 7 }.

Bashkësia A e dhënë më sipër në disa raste e shkruajmë duke e rënditur brenda kllapave

vetëm disa elemente të saja:

A={8,9,10,11,…}

Tri pika brenda kllapave tregojnë se pas numrit 11 ka pa kufi shumë elemente 4.

4 Po aty,fq.9

Bashkësia e të gjitha

Elementeve

Të tillë që

Përshkrimi i vetisë

10

Shembulli 2:

Le të jetë dhënë bashkësia A={1,2,3,4,5,6,} fjalitë5 :

a) Elementet 1 dhe 6 i takoin bashkësisë A

b) Elementet 7 dhe 9 nuk i takojin bashkësis A simbolikisht shkruhet kështu:

a) 1∈A dhe 6∈A

b) 7 ∈ A dhe 9∈ A

Shembull 3:

Le të jetë dhënë bashkësia:

A={x:x është numër natyrorë më i vogël se 1 }

Nuk ka fare elemente, sepse asnjë numër natyrorë nuk është më i vogël se 1.

Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi boshe dhe e shënojmë me simbolin Ø.

5 Po aty,fq.9

11

BASHKËSIA BOSHE

Bashkësia që nuk ka elemente , quhet bashkësi boshe6.

Shembull 1:

A={x|x∈N,3<x<4}=Ø

B={x|x-muaji i vitit me më shumë se 31 ditë}=Ø

A

Bashkësia boshe

Shembull 2:

X={x|x-nxënësi i klasës së V-të me më shumë se 20 jetë}= Ø

6 Dr.Ejup Hamiti,Dr.Emrush Gashi,Matematika VI, Shtëpia botuese “Libri shkollor”, Pejë, 2000,fq.230

12

NËNBASHKËSIA

Shpesh ndodh që të gjitha elementet e një bashkësie A bëjnë pjesë në një bashkësi

tjetër B. Në këtë rast thuhet se bashkësia A përfshihet në bashkësin B. Për të konkretizuar

kuptimin e përfshirjes së një bashkësie në një tjetër ose kuptimin e nënbashkësisë së një

bashkësie, po marrim disa shembuj7.

Themi se bashkësia B është nënbashkësi në A. Atë fakt e shënojmë: BA

Shembulli 1:

Le të jen dhënë bashkësit:

A={2,x,3,1,b,5,c} dhe B={b,1,3,x}

Vërejmë se çdo element i bashkësis B është edhe element i bashkësis A.

Këtë fakt simbolikisht e shënojmë B A dhe themi se bashkësia B është nën bashkësi e

bashkësisë A.

Thuhet se bashkësia B është nënbashkësi e bashkësis A, nëse gjdo element i bashkësis B

është element i bashkësis A.

Diagrami i Venit: A

BA

7 Dr.Ejup Hamiti, Dr.Emrush Gashi, Matematika VI, Shtëpia botuese “Libri shkollor”, Pejë, 2000,fq.231

B

13

Bashkësia boshe është nënbashkësi e çdo bashkësie.

Çdo bashkësi është nënbashkësi e vetvetes.

Shembulli 1:

Le ta shënojmë me A bashkësinë e qyteteve të Kosovës8 pra:

A={x:x është qyteti i Kosovës}.

Kurse me B bashkësinë:

B={Prishtina,Prizereni,Peja,Mitrovica}.

Është e qartë se BA.

Shembulli 2:

Disa nga nënbashkësit e bashkësisë A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,} janë:

B={2,4,6,8,10,} – numrat çiftë të bashkësisë A.

C={1,3,5,7,9,} – numrat tek të bashkësis A

D={2,3,5,7,} – numrat e thjeshtë të bashkësisë A.

Shembulli 3 : A

B

C

D

8 Po aty,fq.232

2 4

6 8

10

1 35 792 3

5 7

14

KAPITULLI II

BARAZIMI I BASHKËSIVE

Barazimi i bashkësive shenohet: A=B

Dy bashkësi A,B thuhet se janë të barabarta, nëse çdo element i bashkësisë A është element i

bashkësisë B dhe anasjeltas çdo element i bashkësisë B është element i bashkësisë A9. Do të

shenojmë :A =B

Me fjalë të tjera: Bashkësitë A dhe B janë të barabarta, nëse të gjitha elementet i kanë të

njëjta.

Shembulli 1:

Janë dhënë bashkësitë:

A={1,a,2,3,x,,y,z} B={2,x,z,y,3,1,a,}

Vërejmë se çdo element i bashkësisë A është element i bashkësisë B dhe çdo elemnt i

bashkësisë B është element i bashkësisë A. Prandaj sipsa përkufizimit të barazimit të

bashkësive përfundojmë se A=B.Pra :

{1,a,2,3,x,y,z}={2,x,z,y,3,1,a}

Shënim:

Nga barazimi i mësipërm vërejmë se radhitja e elementeve nënbashkësi nuk ka ndonjë rol.

9 Jovo Stefanofski,Naum Cellakoski, Matematika VI, Shkup, 2011,fq.8

15

Shembulli 2 :

Janë dhënë bashkësitë:

A={a,b,a,c,d,c,c} dhe B={a,b,c,d,}

Vërejmë se çdo element i bashkësisë A është element i bashkësis B dhe çdo element i

bashkësis B është element i bshkësis A.Prandaj sips përkufizimit të barazimit të bashkësive

përfundojnëse A=B.10Pra: {a,b,a,c,d,c,c,}={a,b,c,d,}

Shënim:

Elementet në bashkësi nuk përseriten.

=

Këto dy bashkësi janë me elemente të barabarta.

Shembull :

Bashkësitë A={a,b,x,c,d} dhe B={a,b,c,d} nuk janë të barabarta, sepse

bashkësia A ka një element (elementin), që nuk e ka bashkësia B.

Faktin se bashkësitë A dhe B nuk janë të barabarta simbolikisht e shënojm me A B .

10 Po aty,fq.12

1 2

4

3 9

9 23

1 4

16

Shembullin 3 :

B A mirpo A B.

Këto dy bashkësi nuk janë të barabarta

KAPITULLI III

VEPRIMET ME BASHKËSI

Konsiderojmë bashkësitë:

A={5,7,a,b,x,z,u} dhe B={3,4,5,a,b,c,x,y}.

Vërejmë se elementeve të përbashkëta të bashkësive A dhe B janë: {5,a,b,x}. Bashkësinë eelementeve të përbashkëta të dy bashkësive A dhe B e shënojmë me A∩B dhe e quajmëprerje të bashkësive A dhe B 11. Në rastin tonë A∩B = {5,a,b,x}.

Prerja A∩B

Prerje e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e të gjitha elementeve të përbashkëta të tyre.Simbolikisht shënohet:

11 Dr.Ejup Hamiti, Dr.Emrush Gashi,Matematika VI, Shtëpia botuese “Libri shkollor”, Pejë, 2000,fq.231

1 4

32

3

4

17

A∩B={ x : x ∈ A dhe x ∈ B }.

Diagrami i Venit për prerjen e dy bashkësive A dhe B është dhënë me figurën.

A B

Pra A ∩ B është prerja e dy bashkësive12.

Shembull 1.

Janë dhënë bashkësitë: A={ 1, 2, 3 }, B={ 2, 3, 4, 5 } dhe C={ 4, 5 }.

Gjeni bashkësitë:

1) A∩B 2) B∩C 3) A∩C

Kemi:

1) A∩B={ 1, 2, 3 } ∩ { 2, 3, 4, 5 }={ 2, 3 }.

Ngjajshëm sikur:

1),gjejmë se :

2) B∩C={ 2, 3, 4, 5}∩{ 4, 5,}={ 4, 5}3) A∩C={ 1, 2, 3,}∩{ 4, 5 }=∅

Vërejmë se bashkësitë A dhe C nuk kanë elemente të përbashkëta d.m.th. prerja e tyre është

bashkësi boshe. Bashkësitë të cilat nuk kanë elemente të përbashkëta i quajmë BASHKËSI

DISJUNKTE

12 Dr.Ejup Hamiti, Dr.Emrush Gashi,Matematika VI, Shtëpia botuese “Libri shkollor”, Pejë, 2000,fq.231

A ∩ B

18

Shembulli 2:

Le të jenë dhënë bashkësitë A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} dhe B={ 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Diagrami i Venit

për prerjen e bashkësive13 A dhe B është dhënë me figurën:

A B

A

C= A ∩ B = { 4, 5, 6 }

Shembull 3:

Janë dhënë bashkësitë A={ 1, 2, 3, 4 } dhe B={ 3, 4, 5, 6,7}, caktoni bashkësitë A∩B dhe

B∩A.

Kemi:

A∩B={ 1, 2, 3, 4}∩{ 3, 4, 5, 6, 7}={ 3, 4 }

B∩A={ 3, 4, 5, 6,7}∩{ 1, 2, 3, 4}={ 3, 4}

Nga ky shembull vërejmë se A∩B=B∩A.

13 Ramadan Zejnullahu,Rexhep Gjergji,Eda Vula,Sejdi Bilalli,Matematika, Shtëpia botuese “Dukagjini”, Pejë,2004,fq.11

.2

.3

.1

.9

.7

.8

.5

.4

.6

19

UNIONI (BASHKIMI) I DY BASHKËSIVE

Konsiderojmë A={ u, v, x, a, 0, z} dhe B={ a, b, u, c, z,}.

Duke ditur se elementet në bashkësi nuk përsëriten, si dhe rënditja e elementeve brenda

bashkësisë nuk ka rëndësi, bëjmë bashkimin e elementeve të bashësis A dhe bashkësis B. Pra

merret bashkësia { u, v, x, a, 0, z, b, c,} të cilën e quajmë union të bashkësive14 A dhe B e

shënojmë me simbolin A∪B

A∪B={ u, v, x, a, 0, z, b, c,}.

Unioni i bashkësive A dhe B quhet bashkësia që përbëhet nga të gjitha elementet ebashkësisë A dhe të gjitha elementet e bashkësië B.

Simbolikisht:

A∪B={ x:x∈A ose xϵB}.

Diagrami i Venit për Unionin e Bashkësive është dhënë ne figurë.

A B

A ∪ B

14 Po aty,fq.16

20

Shembull 1:

Janë dhënë bashkësitë15 A={ 3, 4, 5, 6} dhe B={ 5, 6, 7, 8 }.Gjeni bashkësitë A ∪ B dhe B∪ A.

Kemi:

A∪ B ={ 3, 4, 5, 6} ∪{ 5, 6, 7, 8}={ 3, 4, 5, 6, 7, 8}

B∪A ={ 5, 6, 7, 8} ∪ { 3, 4, 5, 6}={ 5, 6, 7, 8, 3, 4}

Duke ditur se renditja e elementeve në bashkësi nuk lunan rol, vërejmë se bashkësitë A∪Bkanë elemente të njejta .Prandaj

A∪B= B ∪ A

Shënim:

Unioni i bashkësive e plotëson ligjin e ndërrimit të vendeve . Pra, për çdo dy bashkësi A dheB vlen barazimi A∪B=B∪A.

Prej nga vërejmë se :

Unioni i bashkësive e plotëson ligjin e shoqërimit. Pra, për çdo tri bashkësi A, B dhe C, vlebbarazimi ( A∪B)∪C = C∪(A∪B)

15 Po aty,fq.17

21

DIFERENCA E BASHKËSIVE

Diferencë e dy bashkësive16 A dhe B quhet bashkësia që merret nga bashkësia A, kur nga ajo

i largojm elementet e bashkësisë B.

Pjesa e hijezuar në diagram të Venit të dhënë në figurë paraqet diferencën A \ B

Simbolikisht shënohet:

A \B ={x: ëx ∈ A dhe xB}

Shembull 1:

Le të jetë dhënë A bashkësia e të gjithë nxënësve të klasës sonë dhe B bashkësia e

nxënësve të klasës sonë, të cilët në klasën e V-të kishin notën 5 nga matematika.

Konsiderojmë tani se bashkësinë e nxënësve të klasës sonë, të cilët në klasën e V-të nuk

kishin notën 5 nga matematika. Kjo bashkësi formohet kur nga elementi i bashkësisë A i

largojmë elementin e bashkësisë B.

Shembull 2:

Janë dhënë bashkësitë A= {1, 2, 4, 6, 8,11} dhe B={2, 5,8,10}.

Formo bashkësinë C me elementet e bashkësisë A, që nuk janë në B.

C=A\B={1,2,4,6,8,11}\{2,5,8,10}={1,4,6,11}

Shënim:

Diferenca e bashkësive nuk e plotëson ligjin e ndërrimit të vendeve.

16 Jovo Stefanofski,Naum Cellakoski, Matematika VI, Shkup, 2011,fq.17

A\B

22

PRODHIMI KARTEZIAN I DY BASHKËSIVE

Konsiderojmë bashkësinë me dy elemente {x,y}.Më parë mësuam se renditja e elementeve

në një bashkësi nuk luan rol,pra, mund të shkruajmë:

{x,y}={y,x}

Nëse në bashkësinë {x,y} përcaktomë renditjen, dmth dihet se elementi x është në vend të

parë, kurse elementi y në vend të dytë,në vend të{x,y} shkruajmë (x,y).

Bashkësinë(x,y) e quajmë dyshe të renditur të elementeve x,y.

Me shembullin e mëposhtëm janë emërtuar pjesët e një dysheje të renditur të numrave17.

(2,1)

Në bazë të përkufizimit të dyshes së renditurmund të shkruajë:

(x,y) (y,x),x y.

(x,y)=(y,x) atëherë dhe vetëm atëherë kurx=y

(x,y)=(3,5) atëherë dhe vetëm atëherë kur x=3 dhe y=5

17 Ramadan Zejnullahu,Rexhep Gjergji,Eda Vula,Sejdi Bilalli,Matematika, Shtëpia botuese “Dukagjini”, Pejë,2004,fq.19

Komponentja e parë Komponetja e dytë

Dyshja e rënditur

23

Shembulli 1:

Janë dhënë bashkësitë:A={a,b,c,d} dhe B={1,2,3}. Të formojnë të gjitha dyshet e renditura,

ku komponentja e parë është nga bashkësia A, kurse komponentja e dytë nga bashkësia B.

Kemi:

Dyshet ku komponentja e parë është a janë (a,1),(a,2),(a,3)

Dyshet ku komponentja e parë është b janë (b,1),(b,2),(b,3)

Dyshet ku komponetja e parë është c janë (c,1),(c,2),(c,3)

Dyshet ku komponentja e parë është d janë (d,1),(d,2),(d,3)

Unionin e të gjitha këtyre dysheve të renditura e shënojmë AxB dhe e quajmë prodhim

kartezian të bashkësive A dhe B18.

AxB={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Vërejme se bashkesia AxB ka 12 elemente.

Prodhimi kartezian i dy bashkësive A dhe B quajmë bashkësinë e të gjitha dysheve të

renditura (a,b), ku a∈A dhe b∈B. Simbolikisht shënohet:

AxB={(a,b):a∈A dhe b ∈B}.

18 Dr.sc. Qamil Haxhibeqiri, Mr.sc. Melinda Mula, Mr.sc. Ramadan Limani Mbështetur nga Prof. Dr. Joachim

Schroeder - Matematika dhe mësimdhënia e matematikës Udhëzues për klasat 1 – 5.

24

PËRFUNDIM

Puna me bashkësi është bërë pothuajse e domosdoshme në çdo grup moshe. Andaj themi se

puna jonë si mësimdhënës është çelësi i suksesit të çdo individi që ka të bëjë me ngritjen e

nivelit të njohurive me bashkësi dhe veprimeve të tyre. Edhe bashkësitë janë veprime të

pandashme pothuajse poashtu sa edhe vet matematika.

Leonardo Da Vinçi ka thënë “Asnjë e arritur njerëzore nuk mund të quhet shkencë e vërtetë,

nëse matematikisht nuk mund të vërtetohet”. Pra, matematika është shkenca që ju paraprin

zhvillimeve në çdo shkencë tjetër. Si e tillë, s’ka se si të mos ketë një lidhje të fortë mes saj

dhe thyesave.

Gjatë punimit të temës, edhe unë si mësimdhënëse me dëshirë dhe vullnet pata rastin që t’i

njoh në mënyrë më të gjerë bashkësitë dhe veprimet me bashkësi, duke më ndihmuar në

ngritjen time të mëtutjeshme profesionale.

Këtë punim diplome do ta përmbyllja me frazën se:

Sido që të jetë, zotohem së pari para vetes, para mentorëve të mi, para nxënësve të mi, që

do të punoj me të gjitha format dhe teknikat e duhura dhe të nevojshme të punës mësimore,

për të arritur dhe ngritur në nivel sa më të lartë mësimdhënien, arsimimin, edukimin e

nxënësve të mi.

25

AUTOBIOGRAFIA

Unë quhem Lindita (Vokshi) Morina, e lindur më 21.05.1971 në Gjakovë ku edhe sot

jetoj dhe punoj. Rrjedh nga një familje arsimdashëse me një fëmijëri të lumtur.

Shkollimin fillor e kam kryer pranë shkollës fillore“Zekirja Rexha”,ish “Vojo

Llakiqeviq”. Më pas shkollën e mesme e kam vazhduar në gjimnazin “Hajdar Dushi” në

drejtimin Matematiko, ku gjatë shkollimit jam dalluar me rezultate të mira.

Pasioni im është arsimi-mësimdhënia për çka nuk e ndërroj me asnjë profesion. Nga

profesioni në fjalë kam shprehur dëshirën dhe interesimin për të arriturat e këtij profili në hap

me kohën për ta përkrahur arsimin si një nga shtyllat kryesore të shoqërisë në përgjithësi

duke ndjekur trajnime të shumta me qëllim avancimi dhe profesionalizimi të detyrës. Jam e

martuar, bashkëshorti im është Bashkim Morina dhe kemi tre fëmijë Shqipja, Albulena dhe

Besniku,që janë duke u shkolluar për së mbari, gjë që më bën të ndihem krenare për familjen

time dhe profesionin.

26

BURIMET DHE LITERATURA

Bibliografia:

1. Dr.sc. Qamil Haxhibeqiri, Mr.sc. Melinda Mula, Mr.sc. Ramadan Limani Mbështetur

nga Prof. Dr. Joachim Schroeder - Matematika dhe mësimdhënia e matematikës

Udhëzues për klasat 1 – 5.

2. Jovo Stefanofski,Naum Cellakoski, Matematika VI, Shkup, 2011

3. Ramadan Zejnullahu, Armend Shabani “Matematika” Detyra të zgjidhura për klasën

e VI të shkollës së mesme të ulët.

4. Ramadan Zejnullahu, Rexhep Gjergji, Eda Vula, Sejdi Bilalli “Matematika” për kl. VI

të shkollës së mesme të ulët.