prvky betonovÝch konstrukcÍlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/skripta... · pozn.: u...

VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V BRN� FAKULTA STAVEBNÍ

PROF. RNDr. ING. PETR ŠT�PÁNEK, CSc. ING. BOHUSLAV ZMEK, CSc.

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

MODUL M03

NAVRHOVÁNÍ DLE ULS – KOMBINACE OHYB - SÍLA, MÍSTNÍ NAMÁHÁNÍ, PROSTÝ BETON

NAVRHOVÁNÍ DLE SLS

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Prvky betonových konstrukcí · Modul M03

- 2 (81) -

© Petr Št�pánek, Bohuslav Zmek, Brno 2005

Obsah

- 3 (81) -

OBSAH

1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot�ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí�ová slova.........................................................................................5 1.5 Použitá terminologie (nepovinné) .........................................................5

2 Navrhování dle mezního stavu únosnosti (ULS)........................................7 2.1 Prvky namáhané ohybovým momentem a normálovou silou (M,N)....7

2.1.1 Porušení prvk� namáhaných (M,N)........................................7 2.1.2 Základní (vstupní) p�edpoklady p�sobení ú�ink� zatížení .....8 2.1.2.1 Stanovení silových ú�ink� na pr��ez (znaménková konvence)8 2.1.2.2 Výst�ednost normálové síly ....................................................9 2.1.2.3 Vliv štíhlosti tla�eného prutu ..................................................9 2.1.3 Základní p�edpoklady výpo�tu meze porušení pr��ezu

namáhaného (M, N) ................................................................9 2.1.4 Interak�ní diagram a plocha meze porušení (M, N) .............11 2.1.5 Posuzování pr��ez� ...............................................................18 2.1.5.1 Posouzení pr��ezu obecného tvaru .......................................24 2.1.5.2 Posouzení obdélníkového pr��ezu ........................................24 2.1.5.3 Posouzení pr��ezu vnit�ního trámu s deskou ........................24 2.1.5.4 Posouzení pr��ezu krajního trámu s deskou .........................24 2.1.6 Navrhování výztuže do pr��ez� ............................................24

2.2 Místní namáhání..................................................................................34 2.3 Prvky z prostého a slab� vyztuženého betonu ....................................34

2.3.1 Základní rozdíly v chování prvk� z prostého (slab� vyztuženého) betonu a prvk� ze železobetonu .....................34

2.3.2 Zásady pro navrhování prvk� z prostého betonu..................36 2.3.2.1 Mezní stav únosnosti prvk� porušených trhlinami ...............36 2.3.2.2 Mezní stav únosnosti prvk� z prostého betonu bez trhlin.....44 Únosnost mimost�edn� tla�eného prvku z prostého betonu................45 P�i lineárn� pružném chování prvku je tedy dosaženo mezní únosnosti

p�i vzniku trhliny pouze p�i...................................................46 2.3.3 Mezní stavy použitelnosti .....................................................47 2.3.4 Konstruk�ní ustanovení pro prvky z prostého beton ............47

2.4 Autotest ...............................................................................................49 3 Navrhování dle SLS....................................................................................51

3.1 Chování konstrukcí za provozního stavu ............................................51 3.1.1 Uvažovaná zatížení ...............................................................51 3.1.2 Stádia p�sobení betonových prvk� .......................................52 3.1.3 Ukázka nadpisu na t�etí úrovni .............................................53 3.1.3.1 Ukázka nadpisu na �tvrté úrovni...........................................53

3.2 Kontrola použitelnosti prvk� a konstrukcí..........................................53

Prvky betonových konstrukcí · Modul CM 3

- 4 (81) -

3.3 Mezní stav omezení nap�tí ................................................................. 54 3.3.1 Modely pr��ezu pro výpo�et napjatosti................................ 54 3.3.1.1 Pr��ez s trhlinou a tla�enou �ástí.......................................... 57 3.3.1.2 Trhlinou zcela porušený pr��ez (tzv. mimost�edný tah

s malou výst�edností) ........................................................... 61 3.3.2 Omezení tlakových nap�tí v betonu ..................................... 63 3.3.3 Omezení nap�tí ve výztuži ................................................... 63

3.4 Mezní stav trhlin................................................................................. 64 3.4.1 Vznik a ší�ka trhlin............................................................... 65 3.4.2 Omezení ší�ky trhlin bez p�ímého výpo�tu .......................... 69 3.4.2.1 Ur�ení nejmenší pr��ezové plochy betoná�ské výztuže....... 69 3.4.2.2 Kontrola pr�m�ru výztuže.................................................... 72 3.4.2.3 Kontrola vzdálenosti prut� výztuže...................................... 74 3.4.2.4 Postup p�i kontrole trhlin bez p�ímého výpo�tu................... 75

3.5 Mezní stav p�etvo�ení ......................................................................... 76 3.5.1 P�ípady, ve kterých lze od výpo�tu p�etvo�ení upustit......... 77 3.5.2 Výpo�et p�etvo�ení ............................................................... 78 P�i výpo�tu p�etvo�ení je nutno uvažovat........................................... 78 3.5.2.1 Závislost mezi nap�tím a p�etvo�ením u betonových prvk� 78 3.5.2.2 Model dle EN 1992-1-1........................................................ 79

3.6 Autotest...........................................Chyba! Záložka není definována. 4 Záv�r .......................................................... Chyba! Záložka není definována.

4.1 Shrnutí ............................................Chyba! Záložka není definována. 4.2 Studijní prameny ............................Chyba! Záložka není definována.

4.2.1 Seznam použité literatury.Chyba! Záložka není definována. 4.2.2 Seznam dopl�kové studijní literaturyChyba! Záložka není definována. 4.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a pramenyChyba! Záložka není definována.

4.3 Klí� .................................................Chyba! Záložka není definována.

Úvod

- 5 (81) -

1 Úvod

1.1 Cíle

V tomto modulu se nejd�íve seznámíme se zásadami navrhování a posuzování železobetonových prvk� podle mezních stav� únosnosti – ULS (xxxxxx) p�i sou�asném p�sobení normálové síly a ohybového momentu, a také p�i p�sobení místního namáhání. Dále se seznámíme se zásadami navrhování prvk� z prostého a slab� vyztuženého betonu. V poslední �ásti tohoto modulu budou uvedeny zp�soby posuzování železobetonových prvk� podle mezních stav� použitelnosti – SLS (xxxxx).

1.2 Požadované znalosti

T�etí modul prvk� betonových konstrukcí p�ímo navazuje na p�edchozí moduly CM 1 a CM 2. Krom� jejich znalosti je t�eba v pot�ebném rozsahu znát a um�t používat statiku, stavební mechaniku, pružnost a pevnost.

1.3 Doba pot�ebná ke studiu

MODUL CM 3 obsahuje látku probíranou ve �ty�ech týdnech semestru. Doba pot�ebná k jejímu nastudování bude záviset na schopnostech a p�edchozích znalostech studenta.

1.4 Klí�ová slova

železobeton, prostý a slab� vyztužený beton, únosnost, ohybový moment, nor-málová síla, interak�ní diagram (M, N), omezení nap�tí, ší�ka trhlin, p�etvo�e-ní.

1.5 Použitá terminologie (nepovinné)

železobeton (xxxxx) – beton s ú�eln� vloženou nosnou výztuží, spl�ující pod-mínky množství výztuže a stanovené konstruk�ní zásady

prostý beton (xxxxx) –

slab� vyztužený beton (xxxxx) –

interak�ní diagram (xxxxx) –

Navrhování dle ULS

- 7 (81) -

2 Navrhování dle mezního stavu únosnosti (ULS)

Pr��ezy betonových konstrukcí se navrhují na základ� p�edchozího statického výpo�tu, ze kterého vyplynuly velikosti vnit�ních sil od p�sobení vn�jšího zatí-žení. Dimenzování (zahrnuje navrhování i posuzování) se provádí za použití ur�itých zjednodušujících p�edpoklad�, které by však m�ly co nejvíce odpoví-dat skute�nosti. Základní zp�sob vyšet�ování konstrukcí a jejich prvk� je na ú�inky b�žného – jednorázového zp�sobu namáhání, který je uvažován v tomto modulu. V n�kterých p�ípadech je však nutné posuzovat i vliv mnohokrát opa-kovaného namáhání (únavu).

Dimenzování prakticky zahrnuje dva obvyklé výpo�etní postupy: − p�i návrhu jsou (na základ� d�íve zjišt�ných statických veli�in) ur�ovány

nutné rozm�ry pr��ez� a výztuž v nejnep�ízniv�ji namáhaných pr��ezech konstrukce,

− p�i posouzení se naopak na základ� daných pr��ezových (a materiálových) parametr� a vyztužení zjiš�uje únosnost pr��ez� i celé konstrukce.

V tomto modulu se zam��íme p�edevším na posuzování p�i jednorázovém na-máhání.

P�i vyšet�ování mezních stav� únosnosti se ú�inky zatížení (jejich kombinace) a pevnosti materiál� uvažují návrhovými hodnotami.

2.1 Prvky namáhané ohybovým momentem a normá-lovou silou (M,N)

Z p�edchozího statického výpo�tu byly v rozhodujících pr��ezech prvku kon-strukce získány silové ú�inky (M, N) od návrhové velikosti zatížení a jejích nejnep�ízniv�jších kombinací. Úkolem je nadimenzovat pr��ez prvku tak, aby byly spln�ny podmínky požadované spolehlivosti.

2.1.1 Porušení prvk� namáhaných (M,N)

S p�ihlédnutím k výsledk�m zkoušek a s ohledem na praktické použití, lze roz-lišit tyto zp�soby porušení:

1) Tlakové porušení (p�ípad tlaku s malou výst�edností) nastává je-li tla�en celý pr��ez nebo je tla�ena jen jeho �ást, p�i�emž ve výztuži ležící na od-vrácené stran� od tlakového centra, se p�i zv�tšující výst�ednosti zmenšuje tlakové nap�tí a p�echází do nap�tí tahového. Nap�tí v této výztuži p�i tom-to zp�sobu porušení nedosáhne meze kluzu – tato výztuž není pln� využita v tahu (obr. 2.x). V tomto p�ípad� nastane porušení dosažením mezního p�etvo�ení betonu, tedy primárn� se rozdrtí beton.

2) Tahové porušení s p�sobícím tla�eným betonem (p�ípad tlaku, pop�. tahu s velkou výst�edností, v�etn� p�ípadu prostého ohybu) nastává je-li �ást pr��ezu je tla�ena, p�i�emž nap�tí ve výztuži ležící u taženého okraje dosáhne meze kluzu – tato výztuž je pln� využita v tahu (obr. 2.xb, c).

Název p�edm�tu · Modul #

- 8 (81) -

V tomto p�ípad� je tedy primárn� dosaženo meze kluzu v tažené výztuži, která se plasticky p�etvá�í až do dosažení mezního p�etvo�ení v tla�eném betonu, který se sekundárn� rozdrtí. Výst�ednost normálové síly, p�i které je ve výztuži ležící u taženého okraje dosaženo p�etvo�ení odpovídající po-�átku meze kluzu ve výztuži, bývá ozna�ována jako ecu,bal – tento p�ípad je rozhraním mezi tlakovým porušením a tahovým porušením s p�sobícím tla�eným betonem.

3) Tahové porušení s vylou�eným p�sobením betonu (p�ípad mimost�edné-ho tahu s malou výst�edností) nastává, je-li celý pr��ez je tažen. P�sobící tahová normálová síla leží mezi výztužemi; beton nep�sobí a silové ú�inky zatížení p�enáší pouze výztuž. Ob� výztuže jsou taženy, ale pouze v jedné z nich je dosaženo meze kluzu – tato výztuž je využita (obr. 2.xd). Vý-st�ednost, p�i které p�sobící síla leží v t�žišti výztuže u jednoho okraje, bý-vá ozna�ována jako etu,bal – tento p�ípad je rozhraním mezi tahovým poru-šením s p�sobícím betonem a porušením tahovým s vylou�eným p�sobe-ním betonu.

Zvláštními p�ípady porušení jsou:

- Porušení p�i rovnom�rn� rozd�leném stla�ení betonu: p�edpokládá se rovnom�rné rozd�lení nap�tí v celém pr��ezu, p�i využití betonu a veškeré výztuže. V tomto p�ípad� je nutné však p�ihlédnout k možné nehomogenit� betonu v pr��ezu, nebo� výslednice sil v betonu na mezi únosnosti nemusí ležet v t�žišti plochy betonového pr��ezu. Za ú�elem vyjád�ení této neho-mogenity betonu se obvykle p�edpokládá, že vn�jší normálová síla p�sobí vždy s jistou imperfekcí udanou hodnotou výst�ednosti p�edepsanou v norm�.

- Porušení p�i rovnom�rném tahu: p�edpokládá se plné využití veškeré výztuže v pr��ezu v tahu.

Obr.2.1 Zp�soby porušení mimost�edn� namáhaného pr��ezu

2.1.2 Základní (vstupní) p�edpoklady p�sobení ú�ink� zatížení

2.1.2.1 Stanovení silových ú�ink� na pr��ez (znaménková konvence)

OBR. 2.2


- 9 (81) -

2.1.2.2 Výst�ednost normálové síly

OBR. 2.3

2.1.2.3 Vliv štíhlosti tla�eného prutu

DOPLNIT

2.1.3 Základní p�edpoklady výpo�tu meze porušení pr��ezu namáhaného (M, N)

V dalším bude pojednáno o pr��ezech v tzv. bezporuchových oblastech, u nichž lze p�ibližn� p�edpokládat zachování jejich rovinnosti p�ed a po zatíže-ní. Poruchové oblasti ozna�ované musí být vyšet�ovány nap�. s použitím ana-logických p�íhradových model� (viz nap�. Modul CM 2).

P�i ur�ování únosnosti železobetonových pr��ez� se vychází ze stejných p�ed-poklad�, jaké jsou uvedeny u ohybu (až na hodnoty mezních p�etvo�ení):

1) Zachování rovinnosti pr��ez� – p�etvo�ení vláken pr��ezu je p�ímo úm�rné jejich vzdálenosti od neutrální osy.

2) Dokonalá soudržnost betonu s výztuží – pom�rné p�etvo�ení soudržné betoná�ské výztuže v tahu i v tlaku je rovno pom�rnému p�etvo�ení v p�ilehlém betonu.

3) Pevnost betonu v tahu se zanedbává. 4) Nap�tí v tla�eném betonu se ur�í ze zjednodušeného návrhového pra-

covního diagramu (parabolicko-rektangulárního, bilineárního, event. rovnom�rn� rozd�leného nap�tí na �ásti tla�ené oblasti – (viz Modul CM 1).

5) Nap�tí v betoná�ské výztuži, se ur�í z návrhových pracovních diagram� (viz Modul CM 1).

6) Meze únosnosti je dosaženo p�i dosažení mezního pom�rného p�etvo�e-ní alespo� v jednom z materiál�, tj. bu� v betonu a/nebo ve výztuži.

V mezních stavech únosnosti je omezeno pom�rné p�etvo�ení: - betonu v tlaku hodnotami εcu2 nebo εcu3 v závislosti na tvaru použitého

pracovního diagramu betonu (viz Modul CM 1), - p�i uvažování zjednodušených pracovních diagram� betonu je nutno p�i

dost�edn� p�sobící mezní tlakové síle v betonu železobetonových pr��ez� uvažovat mezní pom�rné p�etvo�ení betonu hodnotami εc2 nebo εc3 (viz Modul CM 1 a obr. 2.x); teprve p�i zv�tšující se výst�ednosti této síly stou-pá mezní pom�rné p�etvo�ení betonu v tla�eném okraji až na hodnoty εcu2 nebo εcu3 v závislosti na tvaru použitého pracovního diagramu. Toto lze vysv�tlit následovn�: Správn� bychom m�li uvažovat pracovní di-agram betonu s klesající v�tví. Uvažujeme-li normálovou sílu N p�sobící v t�žišti betonového soum�rn� vyztuženého pr��ezu, pak maximální hodno-tu této síly obdržíme p�i maximální možné hodnot� nap�tí betonu, které p�i uvažování pracovního diagramu s klesající v�tví odpovídá p�etvo�ení p�i dosažení vrcholu tohoto pracovního diagramu (obr. 2.x).

- betoná�ské výztuže hodnotami εud u bilineárního pracovního diagramu se stoupající v�tví, v p�ípad� vodorovné v�tve lze p�edpokládat εud = ∞ (viz Modul CM 1).


- 10 (81) -

Obr. 2.x Stanovení NR p�i rovnom�rném stla�ení soum�rného pr��ezu

Celé spektrum pom�rných p�etvo�ení pr��ezu na mezi únosnosti je možné roz-d�lit na oblasti tak, jak je nazna�eno na obr. 2.x. Pozn.: U železobetonových pr��ez� namáhaných ohybem je nutné v p�ípadech, kdy byla použita redistribuce moment�, omezit pom�r x/d, tj. pom�r výšky tla�ené oblasti x k ú�inné výšce pr��ezu d, v závislosti na použité mí�e redistri-buce4, p�i�emž pom�r x/d nesmí být v�tší než 0,45 u beton� t�ídy C 50/60 a nižších a 0,35 u beton� t�ídy C 55/67 a vyšších. Uvedeným požadav-kem je sledováno zajišt�ní požadovaného plastického p�etvo�ení oblasti, která je p�ilehlá k vyšet�ovanému pr��ezu.

Obr. 2.x Možná rozd�lení pom�rných p�etvo�ení v mezním stavu únosnosti

Návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku fcd se stanoví následovn�:

fcd = αcc fck /γc, (2.x)

kde γc je sou�initel spolehlivosti betonu,

αcc sou�initel uvažující dlouhodobé ú�inky na tlakovou pevnost betonu a nep�íznivé ú�inky ze zp�sobu zatížení; αcc lze uvažovat v rozmezí 0,8 až 1,0, podle národní p�ílohy je doporu�ená hodnota 1,0.


- 11 (81) -

Hodnoty sou�initele spolehlivosti betonu γc budou udány v Národní p�íloze EN 1992-1-1. Doporu�ené hodnoty γc v mezních stavech únosnosti jsou: pro trvalou a do�asnou návrhovou situaci γc = 1,5, pro mimo�ádnou návrhovou situaci γc = 1,2. Menší hodnoty γc lze p�ipustit pouze p�i spln�ní zvláštních podmínek (kontrola jakosti výroby atd.). P�i návrhu na ú�inky požáru podle EN 192-1-2 je doporu�ená hodnota γc = 1,0.

P�i obvyklém používání p�edpokladu rovnom�rného rozd�lení nap�tí betonu v tla�ené oblasti v mezním stavu únosnosti, se uvažuje rovnom�rné rozd�lení tlakového nap�tí η fcd na ú�inné výšce tla�ené oblasti λx (viz Modul CM 1 a nap�. obr. 2.xc), kde

pro fck ≤ 50 MPa η = 1,0 ; λ = 0,8, (2.x)

pro 50 < fck ≤ 90 MP η = 1,0 – (fck – 50)/200 ; λ = 0,8 – (fck – 50)/200.

Pokud se ší�ka tla�ené �ásti pr��ezu sm�rem k nejvíce tla�eným vlákn�m zmenšuje, m�že být tlakové nap�tí uvažováno pouze 90 % hodnotou.

Návrhová hodnota pevnosti výztuže v tahu i v tlaku fyd se stanoví následov-n�:

fyd = fyk /γs, (2.x)

kde γs je sou�initel spolehlivosti výztuže.

Hodnoty sou�initele spolehlivosti výztuže γs budou udány v Národní p�íloze. Doporu�ené hodnoty γs v mezních stavech únosnosti jsou: pro trvalou a do�as-nou návrhovou situaci γs = 1,15, pro mimo�ádnou návrhovou situaci γs = 1,0. P�i návrhu na ú�inky požáru podle EN 192-1-2 je doporu�ená hodnota γs = 1,0.

2.1.4 Interak�ní diagram a plocha meze porušení (M, N)

P�i stanovení meze porušení pr��ezu je d�ležité, kdy výztuž v pr��ezu lze pln� zapo�ítat (nap�tí ve výztuži se rovná mezi kluzu, pop�. je v�tší uvažuje-me-li pracovní diagram oceli se stoupající v�tví; v dalším však budeme pro jednoduchost výkladu uvažovat pracovní diagram výztuže s vodorovnou v�tví) a kdy ne. Je z�ejmé, že zapo�itatelnost výztuže závisí na jejím p�etvo�ení v pr��ezu, které lze stanovit na základ� p�edpokladu zachování rovinnosti pr�-�ezu. Na obr. 2.x je vyzna�en obdélníkový pr��ez a v n�m na mezi únosnosti p�sobí-cí vnit�ní síly za p�edpokladu rovnom�rn� rozd�leného tlakového nap�tí v betonu. Na obr. 2.xc, kde je též nazna�ena jejich výslednice NRd, p�sobící spolu s ohybovým momentem MRd. P�i výpo�tu je nutno si uv�domit, kdy lze po�ítat s nap�tím v tahové i tlakové výztuži rovným mezi kluzu. Je z�ejmé, že toto nap�tí závisí na vzdálenosti této výztuže od neutrální osy. Pokud není v této výztuži dosaženo p�etvo�ení odpovídající dosažení meze kluzu (výztuž není v dostate�né vzdálenosti od neutrální osy), pak je nutné ve výztuži uvažovat nap�tí menší než je mez kluzu; nap�tí je t�eba stanovit s p�ihlédnutím k dosaženému pom�rnému p�etvo�ení této výztuže – viz obr. 2.xa a 2.xb. Z obrázk� je z�ejmé, že lze po�ítat s nap�tím rovným mezi kluzu, pokud


- 12 (81) -

v tažené výztuži ddxydcu

cubal εε

εξ+

=≤3

31, , (2.x)

v tla�ené výztuži 23

322, ddx

ydcu

cubal εε

εξ−

=≥ , je-li x ≤ h, (2.x)

kde sydyd Ef /=ε .

Obr.2.x Stanovení zapo�itatelnosti výztuže v p�ípad�, že neutrální osa prochá-

zí pr��ezem Z obr. 2.xa je možno stanovit rozhraní mezi tlakovým porušením a tahovým porušením (tahové porušení; rozhraní mezi tahovým a tlakovým porušením xbal,1 = ξbal,1d; tahové porušení x < ξbal,1d; tlakové porušení x > ξbal,1d). V p�ípad� dost�edného tlaku se jedná o zvláštní (teoretický) p�ípad porušení p�i rovnom�rném rozd�lení p�etvo�ení v tla�eném betonu; v tomto p�ípad� je nutné si uv�domit, že nap�tí ve výztuži nesmí být v�tší než odpovídá rovnom�rnému p�etvo�ení betonu (podle obr. 2.x) v okamžiku dosažení maximálního tlakové-ho nap�tí – dosažení vrcholu pracovního diagramu. Proto v n�kterých p�ípa-dech p�i tomto zp�sobu porušení nelze po�ítat s dosažením meze kluzu v tla�ené výztuži.

2.1.4.1 Interak�ní diagram MRd , NRd obdélníkového pr��ezu

Hodnoty mezní únosnosti pr��ezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem lze vyjád�it pomocí interak�ního diagramu. Pro stanovení bod� interak�ního diagramu meze porušení obdélníkového pr�-�ezu (vyztuženého u obou povrch�) namáhaného v rovin� svislé symetrie nej-prve stanovíme mezní únosnost tohoto pr��ezu v p�ípad�, kdy neutrální osa leží ve vzdálenosti xbal,1 od tla�eného kraje pr��ezu (viz obr. 2.xa). Za p�edpokladu rovnom�rn� rozd�leného tlakového nap�tí v betonu a dostate�né vzdálenosti výztuže As2 od neutrální osy, m�žeme psát:

NRd,bal = λ ξbal,1 b d η fcd + As2 fyd - As1 fyd, (2.xa)

MRd,bal = λ ξbal,1 b dη fcd 0,5 (h - λ ξbal,1 d) + As2 fyd z2 + As1 fyd z1 . (2.xb)

V interak�ním diagramu MRd, NRd – viz obr. 2.xd lze tento p�ípad znázornit bodem 2 o sou�adnicích (MRd,bal , NRd,bal ). K únosnosti pr��ezu p�ispívá beton a výztuž. P�í�inek únosnosti betonu lze v tomto diagramu znázornit vektorem Rc,bal (viz bod 2c na obr. 2.xd), p�í�inek únosnosti výztuží pak sou�tem vektor� Rs1 a Rs2.


- 13 (81) -

Z obrázku 2.xd je z�ejmé, že podle únosnosti výztuží As1 a As2 bude bod 2 vy-jad�ující mezní únosnost pr��ezu p�i jeho porušení ležet ve výseku ohrani�e-ném p�ímkami a2 a a3; pokud bude As2 > As1, pak bod bude ležet mezi p�ímka-mi a2 a a1; pokud bude As2 < As1, pak bod bude 2 ležet mezi p�ímkami a1 a a3; p�i As2 = As1 bod bude ležet na p�ímce a1.

P�ípad porušení p�i rovnom�rném rozd�lení p�etvo�ení v tla�eném betonu po celé výšce pr��ezu (viz obr. 2.xb) lze znázornit v interak�ním diagramu bodem 0 o sou�adnicích (MRd0, NRd0), kde

NRd0 = b h η fcd + As2 σs + As1 σs, (2.xa)

MRd0 = As2 σs z2 - As1 σs z1, (2.xb)

kde σs je nap�tí ve výztuži p�i rovnom�rném p�etvo�ení tla�eného betonu εc3; tj. pokud

εc3 ≥εsy = fyd / Es, potom σs = fyd ; jestliže εc3 <εsy, potom σs = εc3 Es.

Povšimn�me si op�t p�í�ink� únosnosti betonu a výztuže. P�í�inek únosnosti betonu lze v diagramu znázornit bodem 0c, p�í�inek únosnosti výztuží pak dv�ma vektory. Op�t lze konstatovat, že pokud je As2 > As1, bude výsledný bod 0, p�edstavující únosnost pr��ezu, ležet vpravo od osy N, pokud bude As2 < As1, pak bod O bude ležet vlevo od osy N, p�i soum�rné výztuži As2 = As1 bod bude ležet na ose N.

Uvažujeme-li p�ípad, kdy neutrální osa prochází práv� t�žišt�m výztuže As1 (viz obr. 2.xc), pak výztuž As1 není namáhána a na únosnosti se podílí pouze tla�ená �ást betonu a tla�ená výztuž As2. V interak�ním diagramu lze tento p�í-pad znázornit bodem 1 o sou�adnicích (MRd1, NRd1), kde

NRd1 = b λ d η fcd + As2 fyd, (2.xa)

MRd1 = b λ d η fcd 0,5 ( h - λ d) + As2 fyd z2 . (2.xb)

P�í�inek únosnosti betonu lze v diagramu znázornit bodem 1c.

Bod 4 o sou�adnicích (MRd, NRd = 0) znázor�uje p�ípad porušení prostým ohy-bem – viz Modul CM 2. Pokud bychom uvažovali další p�ípady zjistíme, že body, vyjad�ující p�í�inek únosnosti betonu, leží na parabole vyzna�ené v interak�ním digramu �árkovanou k�ivkou (viz obr. 2.xd). Je z�ejmé, že pokud bod o sou�adnicích (MEd, NEd) vyjad�ující ú�inky návrhového zatížení, leží uvnit� �árkovan� šrafované plochy (viz obr. 2.xd), pak na p�enesení ú�ink� tohoto zatížení by mohl posta�it pouze prostý beton. V tomto p�ípad� lze ov��it zda vyhoví pr��ez z prostého betonu (zde však musíme uvažovat menší návr-hovou pevnost betonu v tlaku – viz odst. 2.3); pokud pr��ez z prostého betonu nevyhoví, navrhneme minimální výztuž. Pokud bod o sou�adnicích (MEd, NEd) leží vn� šrafované plochy, musíme navrhnout výztuž, jejíž plocha musí být samoz�ejm� v�tší než je minimální (abychom mohli považovat pr��ez za vy-ztužený).


- 14 (81) -

Obr. 2.x Znázorn�ní bod� interak�ního diagramu

P�ípad porušení, kdy p�sobišt� tahové síly na mezi porušení leží v t�žišti vý-ztuže As2 lze v interak�ním diagramu vyjád�it bodem 4 o sou�adnicích (MRdt,bal, NRdt,bal), kde

NRdt,bal = As1 fyd, (2.xa)

MRdt,bal = As1 fyd z1. (2.xb)

Bod 5 o sou�adnicích (MRdt0, NRdt0) znázor�uje p�ípad, kdy p�sobišt� tahové síly na mezi porušení leží v t�žišti výztuží As1 a As2, kde

NRdt0 = As1 fyd + As2 fyd, (2.xa)

MRdt0 = As1 fyd z1 - As2 fyd z2. (2.xb)

Z obr. 2.xd je z�ejmé, že pokud je As2 > As1, bude výsledný bod 5 ležet vlevo od osy N, pokud bude As2 < As1, pak bod 5 bude ležet vpravo od osy N, p�i soum�rné výztuži As2 = As1 bod bude ležet na ose N.

Spojíme-li body vyjad�ující únosnost pr��ezu p�i jeho porušení vhodnou k�iv-kou, obdržíme interak�ní diagram meze porušení pr��ezu – �ára πu na obr. 2.xd.


- 15 (81) -

bod 1'

N'Rd1 = −−−−(λλλλ b d' ηηηη fcd ++++ Fs1)

M'Rd1 = −−−−λλλλ b d' ηηηη fcd 0,5 (h −−−− λλλλd') −−−− Fs1 z1

d' ≥≥≥≥ ξξξξbal,2d1 �� σσσσs1 = fyd

bod 2'

N'Rd,bal = −−−−(λλλλ ξξξξbal,1 b d' ηηηη fcd −−−− ∆∆∆∆Fs)

M'Rd,bal = −−−−λλλλ ξξξξbal,1 b d' ηηηη fcd 0,5. .(h −−−− λλλλ ξξξξbal,1 d') −−−− Fs1 z1 −−−− Fs2 z2

ξξξξbal,1 d' ≥≥≥≥ ξξξξbal,2 d2' �� σσσσs1 = σσσσs2 = fyd

bod 3'

N'Rd = 0

M'Rd = mez únosnosti p�i namáhání ohybem −

výztuž tla�ená As1, tažená As2

bod 4'

N'Rdt,bal = Fs2

M'Rdt,bal = −−−− Fs2 z2

Tlak N <<<< 0; tah N >>>> 0

e0 = h / 30 > 20 mm

Fs1 = As1 fyd

Fs2 = As2 fyd

∆∆∆∆Fs = (As2 −−−− As1) fyd

bod 0

NRd0 = −−−−(b h ηηηη fcd + ΣΣΣΣAs σσσσs)

MRd0 = (As2 z2 −−−− As1 z1)σσσσs

σσσσs = εεεεc2 Es ≤≤≤≤ fyd

bod 1

NRd1 = −−−−(λλλλ b d ηηηη fcd + Fs2)

MRd1 = λλλλ b d ηηηη fcd 0,5 (h −−−− λλλλ d) + Fs2 z2

d ≥≥≥≥ ξξξξbal,2 d2 �� σσσσs2 = fyd

bod 2

NRd,bal = −−−−(λλλλ ξξξξbal,1 b d ηηηη fcd + ∆∆∆∆Fs)

MRd,bal = λλλλ ξξξξbal,1 b d ηηηη fcd 0,5 (h −−−− λλλλ ξξξξbal,1 d) +

+ Fs1 z1 + Fs2 z2

ξξξξbal,1 d ≥≥≥≥ ξξξξbal,2 d2 �� σσσσs1 = σσσσs2 = fyd

bod 3

NRd = 0

MRd = mez únosnosti p�i namáhání ohybem, -

výztuž tažená As1, tla�ená As2 – viz modul CM 2

bod 4

NRdt,bal = Fs1

M'Rdt,bal = Fs1 z1

bod 5

NRdt0 = Fs1 + Fs2

MRdt0 = Fs1 z1 −−−− Fs2 z2

Obr. 2.x Interak�ní diagram meze porušení obdélníkového pr��ezu podle obr.2.x namáhaného ohybovým momentem a normálovou silou (hodnoty normálových sil jsou uvedeny se znaménkem)


- 16 (81) -

Budeme-li ozna�ovat tlakové normálové síly záporným znaménkem a tahové síly se znaménkem kladným a zavedeme-li p�edpoklad rovnom�rného rozd�le-ní nap�tí betonu v ú�inné tla�ené oblasti, lze interak�ní diagram znázornit po-mocí bod�, jejichž sou�adnice jsou uvedeny na obr. 2.x. Tento diagram lze vy-užít p�i posuzování pr��ezu.

Abychom vyjád�ili okolnost, že p�i plném využití betonového pr��ezu (p�ípad porušení p�i rovnom�rném pom�rném p�etvo�ení betonu) se m�že projevit vliv nehomogenity pr��ezu, EN 1992-1-1 [9] požaduje uvažovat minimální vý-st�ednost tlakové normálové síly hodnotou

e0 = h / 30, nejmén� však 20 mm, (2.x)

kde h je výška pr��ezu ve sm�ru namáhání ohybovým momentem, pop�. mož-ného vybo�ení tla�eného prutu. Norma požaduje uvažovat minimální výst�ed-nost e0 v p�ípad� symetricky vyztuženého pr��ezu, ale správn� výst�ednost e0 by m�la být uplatn�na i v p�ípad� nesymetricky vyztuženého pr��ezu, a to v p�ípadech, plného využití betonového pr��ezu. Uvažování výst�ednosti e0 je graficky znázorn�no na obr. 2.x �árkovanými �arami vycházejícími z po�átku sou�adného systému.

2.1.4.2 Podmínky spolehlivosti a posuzování pr��ezu pomocí interak�ního dia-gramu

Ze zavedených p�edpoklad� pro výpo�et meze porušení pr��ezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem vyplývá, že za mez porušení se po-važuje p�ípad, kdy alespo� v jednom z materiál� (v betonu nebo ve výztuži) je dosaženo mezního p�etvo�ení. P�i grafickém znázorn�ní je mez porušení po-psána �arou, pop�. plochou porušení. V p�ípad� vícesložkového namáhání lze podmínku spolehlivosti definovat tak, aby bod F popisující vícesložkový silový ú�inek zatížení, se nalézal uvnit� plochy, pop�. t�lesa omezeného �arou, pop�. plochou πu popisující návrhovou funkci porušení pr��ezu. Jakým zp�sobem se tato podmínka matematicky prokáže, je lhostejné.

Postup bude vysv�tlen na p�íkladu železobetonového pr��ezu namáhaného normálovou silou NEd a ohybovým momentem MEd. Ú�inek zatížení je znázor-n�n bodem F1, interak�ní diagram meze porušení �arou πu – viz obr. 6.7. V obrázku p�edpokládáme, že normálové síly i ohybové momenty mají kladná znaménka. Pro vyšet�ení spolehlivosti lze p�edpokládat:

1) Do meze porušení z�stává normálová síla NEd konstantní, tedy NRdA = NEd. V tomto p�ípad� stanovíme k této hodnot� odpovídající ohybový moment na mezi porušení MRdA (bod A na �á�e πu) a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru

MEd ≤ MRdA , pop�. eEd ≤ eRdA (6.11)

2) Do meze porušení z�stává konstantní ohybový moment, tedy MRdB =MEd. V tomto p�ípad� stanovíme k této hodnot� odpovídající normálovou sílu na mezi porušení NRdB (bod B na �á�e πu) a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru

NEd ≤ NRdB. (6.12a)


- 17 (81) -

Z obr. 6.7 je však z�ejmé úskalí tohoto druhého zp�sobu, nebo� pro bod F2, pro který platí MEd > MRdB, m�žeme na �á�e πu stanovit dva p�í-slušné body B ́a B ´́ a podmínku spolehlivosti musíme psát ve tvaru

NRdB ́≤ NEd ≤ NRdB´́. (6.12b)

Proto tento zp�sob posouzení spolehlivosti se nepovažuje za vhodný.

3) Do meze porušení se normálová síla i ohybový moment zv�tšují ve stejném pom�ru, tj. z�stává konstantní výst�ednost, tedy eRdC = eEd; této výst�ednos-ti odpovídá na �á�e πu bod C a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru

NEd ≤ NRdC , pop�. MEd ≤ MRdC. (6.13)

4) Do meze porušení lze teoreticky p�edpokládat jakýkoliv vývoj momentu a normálové síly vedoucí nap�. do bodu D na �á�e πu.

Obr. 6.7 Grafické znázorn�ní podmínek spolehlivosti

2.1.4.3 Interak�ní plocha porušení MRd , NRd a podmínky spolehlivosti

Zm�níme-li sm�r namáhání pr��ezu, interak�ní diagram meze porušení se zm�ní. Tyto diagramy pro r�zné sm�ry namáhání lze znázornit na ploše poru-šení – viz obr. 6.8. V obrázku je nazna�en interak�ní diagram ležící v rovin� svírající v p�doryse úhel α s osou y a jsou zde vyzna�eny možnosti pr�kazu spolehlivosti 1 až 3, uvedené v p�edchozím. Dále je v obr. 6.8 vyzna�en �ez plochy porušení s rovinou ležící v konstantní vzdálenosti NEd od roviny os y, z; tohoto �ezu v�tšinou využíváme p�i pr�kazu spolehlivosti pokud je pr��ez na-máhán ohybovým momentem majícím složky MEdy a MEdz.


- 18 (81) -

Obr. 6.8 Interak�ní plocha porušení pr��ezu namáhaného normálovou

silou a ohybovým momentem

2.1.5 Posuzování pr��ez�

6.4.3 Posouzení pr��ezu namáhaného normálovou silou p�sobící v ose soum�rnosti betonového pr��ezu

Navržený pr��ez je vždy nutno posoudit, nebo� p�i návrhu jsme n�které veli�i-ny odhadovali; teprve posouzení slouží za pr�kaz spolehlivosti, proto ve static-kém výpo�tu se �asto uvádí pouze posouzení. Jak bylo uvedeno v 6.3, posta�í prokázat, že bod daný silovými ú�inky zatížení leží uvnit� plochy vymezené sou�adnými osami a k�ivkou, pop�. plochou meze porušení pr��ezu – viz obr. 6.7 a 6.8. Interak�ní diagram meze porušení obdél-níkového pr��ezu lze jednoduše stanovit pomocí bod� 0 až 5, jak je uvedeno na obr. 6.6. V p�ípad� posuzování bez interak�ního diagramu obvykle p�edpokládáme, že na mezi porušení platí NRd = |NEd|, tj. p�edpokládáme, že porušení dosáhneme zv�tšováním ohybového momentu p�i konstantní normálové síle. P�i posouzení m�žeme pro zjednodušení nahradit interak�ní diagram v oblasti p�evládajícího tlaku úse�kami mezi body 0,1 a 1,2 (pop�. úse�kou mezi body 0,2), v oblasti p�evládajícího tahu pak úse�kou mezi body 4,5 a obdobn� mezi body s �árkou. jak je patrné z obr. 6.13 p�i MEd > 0.


- 19 (81) -

Obr. 6.13 Zjednodušení interak�ního diagramu pro posouzení pr��ezu

Z obr. 6.13 je z�ejmé, že pro posouzení ú�inku zatížení znázorn�ného bodem F (MEd, NEd) p�i p�edpokladu NRd = |NEd|, sta�í ov��it podmínku spolehlivosti MEd ≤ MRd. (6.50) P�edpokládáme-li náhradu interak�ního diagramu mezi body 1,2 úse�kou, pak hodnotu MRd m�žeme stanovit jako pr�se�ík dvou p�ímek daných vztahy N = NEd , (6.51)

( )EdRdbalRdRd

RdbalRdRd NN

NN

MMMM +

−−

+= 1,1

1,1 .

(6.52) Pro pr�se�ík platí

( )EdRdbalRdRd

RdbalRdRdRd NN

NN

MMMM +

−−

+= 1,1

1,1 ,

(6.53) kde hodnoty MRd,bal, NRd,bal, MRd1, NRd1 vy�íslíme podle vztah� (6.5a), (6.5b), (6.7a), (6.7b). Obdobn� lze postupovat i v p�ípadech, kdy bod (MRd, NRd) leží v rozmezí úse-�ek 0,1, pop�. 0,2 nebo 4,5. P�i posuzování pr��ez� u nichž p�evládá ohyb, tj. mezi body 2 a 4,stanovíme polohu neutrální osy ze sou�tové výminky rovnováhy, op�t za p�edpokladu NRd = |NEd|. Zde je však nutné sledovat zapo�itatelnost výztuže As2 – viz obr. 6.4. Tuto výztuž lze pln� zapo�ítat pokud je spln�na podmínka (6.4). Pokud nerov-nost (6.4) není spln�na, je t�eba uvažovat nap�tí v této výztuži v závislosti na jejím p�etvo�ení, a proto v t�chto p�ípadech nelze p�ímo ur�it polohu neutrální osy ze sou�tové výminky, ale je nutno postupovat itera�n�. Pouze u obdélníko-vých pr��ez�, p�i uvažování rovnom�rného, pop�. bilineárního rozd�lení nap�tí v tla�eném betonu, lze p�ímo stanovit polohu neutrální osy, avšak z kvadratic-kých, pop�. kubických rovnic. Postup posouzení obdélníkového pr��ezu


- 20 (81) -

V dalším p�edpokládáme op�t obdélníkové rozd�lení tlakového nap�tí v ú�inné tla�ené oblasti betonu. Nejprve je t�eba zkontrolovat podmínky minimálního a maximálního vyztužení s použitím vztah� (6.34) až (6.38). Mimost�edný tlak Posouzení provedeme za p�edpokladu NRd = |NEd| (NEd má záporné znaménko, jedná se o tlak). Ur�íme hodnoty ξbal,1 a ξbal,2

ydcu

cubal εε

εξ+

=3

31, ,

(6.54)

ydcu

cubal εε

εξ−

=3

32,

(6.55) a stanovíme hodnotu NRd,bal = λ ξbal,1 b d η fcd + As2 σs2 - As1 fyd ,

(6.56)

kde σs2 = fyd pokud 22,1, dd balbal ξξ ≥ , jinak ( )

dddE

bal

balscus

1,

21.32 ξ

ξεσ −= .

(6.57) Rozhodneme, zda se jedná o p�evládající tlak, nebo p�evládající tah, a to:

- pokud |NEd| > NRd,bal jedná se o p�evládající tlak – postup a, - pokud |NEd| ≤ NRd,bal jedná se o p�evládající tah – postup b.

a) P�evládající tlak Ur�íme NRd0, NRd1 s využitím vztah� (6.6a), (6.7a) a v závislosti na velikosti

|NEd| ov��íme zda se nacházíme v �ásti 0,1 lomeného interak�ního diagramu – viz obr. 6.13. Pokud vychází |NEd| > NRd0 pr��ez nevyhovuje.

Pokud vychází NRd0 >>>> ||||NEd|||| >>>> NRd1, vy�íslíme MRd0 a MRd1 s použitím vzta-

h� (6.6b) a (6.7b) a ur�íme hodnotu MRd bodu (NEd , MRd) ležícího na p�ím-ce dané body 0,1 s použitím vztahu

( )EdRdRdRd

RdRdRdRd NN

NNMM

MM +−−+= 0

10

010 ,

(6.58) do vztahu (6.58) musíme dosazovat hodnotu ohybového momentu MRd0

podle (6.6b) se znaménkem. Dále stanovíme sou�adnice bodu 1 ́ (MRd1 ,́ NRd1 )́ a obdobn� stanovíme hodnotu MRd ́ležícího na p�ímce dané body 0,1 .́ Ov��íme podmínku spolehlivosti

MRd ́ ≤ MEd ≤ MRd. (6.59) Pokud je

eRd0 – e0 ≤ eEd = MEd /|NEd| ≤ eRd0 + e0, (6.60)

kde eRd0 = MRd0/ NRd0, e0 = h / 30, nejmén� však 20 mm – viz (6.10),


- 21 (81) -

je t�eba ješt� ov��it, zda nejsme v oblasti vymezené �árkovanými �arami v obr. 6.13 (ve vrcholu interak�ního diagramu). Pro pr�se�ík p�ímky dané sm�rnicí (eRd0+e0) s interak�ním diagramem (viz bod 6 na obr. 6.13) m�-žeme stanovit

( ) aRd

RdaRdRd eee

NeMN

+++=

00

116 ,

(6.61) ( )0066 eeNM RdRdRd += ,

(6.62)

kde 10

01

RdRd

RdRda NN

MMe

−−= .

Obdobn� lze stanovit hodnotu NRd6 ́a MRd6 ́pro bod 6 .́ Pro pr�se�ík p�ímky dané sm�rnicí eEd = MEd / NEd s p�ímkou danou body 6 a 6 ́m�žeme stanovit

bEd

RdbRdRdn ee

NeMN

++= 66 ,

(6.63)

kde 66

66

´´

RdRd

RdRdb NN

MMe

−−= .

Pokud platí nerovnost |NEd| > NRdn (6.64) pr��ez nevyhovuje. Pokud vychází NRd1 >>>> ||||NEd|||| >>>> NRd,bal, vy�íslíme hodnoty NRd1 a MRd1 s využitím vztah� (6.7a) a (6.7b) a k hodnot� NRd,bal, již d�íve vy�íslené podle vztahu (6.56), dopo�teme MRd,bal = λ ξbal,1 b dη fcd 0,5 (h - λ ξbal,1 d) + As2 σs2 z2 + As1 fyd z1. (6.65) Dále stanovíme hodnotu MRd ze vztahu (6.53). Pro podmínku spolehlivosti platí vztah (6.50). Obdobn� lze postupovat, pokud interak�ní diagram v oblasti 0,2 nahradíme p�ímkou; tato náhrada je však dosti konzervativní.

b) P�evládající tah Mimost�edný tlak a ohyb

Za p�edpokladu NRd = |NEd| stanovíme ze sou�tové výminky rovnováhy po-lohu neutrální osy

cd

ydsssEd

fb

fAANx

ηλσ 122 +−

= , (6.66)

kde v prvním kroku p�edpokládáme σs2 = fyd. Pokud vyjde x ≥ ξbal,2 d2 (6.67) byl p�edpoklad správný a takovou výztuž lze tedy pln� zapo�ítat. Pokud však nerovnost (6.67) není spln�na, musíme hodnotu x ur�it iterací. V ite-ra�ním kroku lze hodnotu σs2 vyjád�it z obrazce p�etvo�ení p�i uvažování


- 22 (81) -

hodnoty x stanovené v p�edchozím itera�ním kroku, tedy v 1. itera�ním kro-ku lze uvažovat

( )

scu

s Ex

dx 232

−= εσ . (6.68)

Po stanovení hodnoty x stanovíme z momentové podmínky ( ) 112225,0 zfAzAxhfbxM ydssscdRd ++−= σληλ . (6.69) Pro podmínku spolehlivosti platí vztah (6.50).

Mimost�edný tah Posouzení provedeme za p�edpokladu NRd = NEd (NEd má kladné znaménko, jedná se o tah). Stanovíme hodnotu NRdt,bal = As1 fyd .

(6.70) Rozhodneme: - pokud NEd < NRdt,bal, jedná se o tah s p�sobícím tla�eným betonem – postup

a, - pokud NEd ≥ NRdt,bal, jedná se o tah s vylou�eným taženým betonem – po-

stup b. - a) Tah s p�sobícím tla�eným betonem

Postup je stejný jako u tlaku s p�evládajícím ohybem, avšak ve vztahu (6.66) bude |NEd| = - NEd, tedy

cd

ydsssEd

fb

fAANx

ηλσ 122 +−−

= .

b) Tah s vylou�eným taženým betonem

Stanovíme NRdt0 = (As1 + As2) fyd . (6.71)Pokud je NEd > NRd0, pr��ez nevyhovuje. Pokud uvedená nerovnost není spln�na, stanovíme MRdt0 = As1 fyd z1 - As2 fyd z2 ,

(6.72) MRdt,bal = As1 fyd z1 (6.73)a ur�íme hodnotu MRd bodu (NEd , MRd) ležícího na p�ímce 4,5 s použitím vztahu

( )EdRdtbalRdtRdt

RdtbalRdtRdtRd NN

NN

MMMM −

−−

+= 0,0

0,0 .

(6.74) Do vztahu (6.74) musíme dosazovat hodnoty ohybových moment� se zna-

ménkem. Dále stanovíme sou�adnice bodu 4 ́(NRdt,bal ́= As2 fyd, MRdt,bal ́= - As2 fyd z2) a obdobn� stanovíme hodnotu MRd ́ležícího na p�ímce 4 5́. Ov��íme podmínku spolehlivosti MRd ́ ≤ MEd ≤ MRd.

(6.59)


- 23 (81) -

6.4 Posouzení pr��ez� namáhaných normálovou silou p�sobí-cí mimo osy soum�rnosti betonového pr��ezu

Mez porušení vyztuženého pr��ezu namáhaného normálovou silou p�sobící mimo hlavní osy setrva�nosti betonového pr��ezu se obecn� vyšet�uje za p�ed-poklad� uvedených v odst. 6.2. Pokud nevyužíváme po�íta�ové programy, pak p�i zavedení p�edpokladu parabolicko lineárního, nebo bilineárního rozd�lení nap�tí v tla�eném betonu a uvažování pracovního diagramu výztuže se stoupa-jící v�tví, je výpo�et velmi pracný. S výhodou lze využít n�kterých zjednodu-šených metod, nebo použít grafického �ešení, které je názorné. P�i použití zjednodušených metod musíme však respektovat omezující podmínky pro je-jich použití. Povšimneme-li si interak�ní plochy porušení – viz obr. 6.8; je z�ejmé, že pokud p�sobišt� síly bude ležet poblíže hlavní osy soum�rnosti (bude ležet ve vyšra-fovaných plochách (viz obr. 6.14). Pak je možné pr��ez navrhnout i posoudit p�i zanedbání výst�ednosti v druhém sm�ru. Odd�lené posouzení v hlavních osách soum�rnosti se p�ipouští, pokud jsou spln�ny podmínky

2,0/

/≤

be

he

z

y nebo 2,0// ≤hebe

y

z , (6.75)

kde b,h jsou náhradní rozm�ry pr��ezu dále stanovené– viz obr. 6.14, 12yib = a 12zih =

iy,iz je polom�r setrva�nosti pr��ezu vzhledem k ose y,z, ez = MEdy /NEd; výst�ednost ve sm�ru osy z, ey = MEdz /NEd; výst�ednost ve sm�ru osy y, MEdy návrhová hodnota ohybového momentu p�sobícího kolem osy y, MEdz návrhová hodnota ohybového momentu p�sobícího kolem osy z, NEd návrhová normálová síla. Pozn.: U štíhlých prvk� (viz. kap. 7) musí být ješt� spln�ny podmínky pom�r� štíhlostí λy/λz ≤ 2 a λz/λy ≤ 2 , kde λ = l0 / i s ohledem na p�íslušné osy y, z).

Obr. 6.14 Definice výst�edností ey a ez


- 24 (81) -

V p�ípad�, že podmínka (6.75) není spln�na, lze využít k�ivku �ezu interak�ní-ho diagramu vedeného v úrovni NRd = NEd - viz obr. 6.8. Podmínku spolehli-vosti pak lze psát ve tvaru

0,1≤��

��

�+�

��

��

�a

Rdz

Edz

a

Rdy

Edy

MM

M

M, (6.76)

kde MEdy, MEdz je návrhová hodnota ohybového momentu, vyvozeného zatížením, to�ícího kolem osy y, resp. z,

MRdy, MRdz návrhová hodnota ohybového momentu na mezi únosnosti to�ícího kolem osy y, z ,

a sou�initel, jehož hodnota závisí na tvaru pr��ezu a pom�ru NEd /NRd; pro kruhové a eliptické pr��ezy: a = 2 pro pravoúhelníkové pr��ezy: NEd /NRd0 0,1 0,7 1,0 a = 1,0 1,5 2,0 pro mezilehlé hodnoty NEd /NRd0 lze interpolovat, NEd návrhová hodnota normálové síly vyvozené zatíže-ním, NRd0 návrhová hodnota normálové síly na mezi únosnosti

daná vztahem NRd0 = Ac η fcd + As fyd , Ac plocha betonového pr��ezu, As pr��ezová plocha podélné výztuže. Text kapitoly…

2.1.5.1 Posouzení pr��ezu obecného tvaru

Text kapitoly…

2.1.5.2 Posouzení obdélníkového pr��ezu

Text kapitoly…

2.1.5.3 Posouzení pr��ezu vnit�ního trámu s deskou

Text kapitoly…

2.1.5.4 Posouzení pr��ezu krajního trámu s deskou

Text kapitoly…

2.1.6 Navrhování výztuže do pr��ez�

6.3 Návrh a posouzení pr��ez� namáhaných normálovou si-lou p�sobící v ose soum�rnosti betonového pr��ezu

6.3.1 Návrh rozm�r� pr��ezu V praxi se setkáváme velmi �asto s obdélníkovými pr��ezy soum�rn� vyztu-ženými, pokud p�evládá namáhání tlakovými normálovými silami, nebo nor-málovými silami a ohybovými momenty p�sobícími v p�ibližn� stejných veli-kostech v obou sm�rech – nap�. p�i zatížení v�trem, pop�. i nesoum�rn� vy-


- 25 (81) -

ztuženými, pokud p�evládá namáhání normálovými silami a v�tšími ohybo-vými momenty p�sobícími pouze v jednom sm�ru (lze p�edpokládat cca ed > 0,25 h). P�i návrhu je t�eba zvážit následující kombinace namáhání: - v absolutní hodnot� maximální tlaková normálová síla s p�íslušným ohybo-

vým momentem: max|NEd|, MEd; - maximální hodnota ohybového momentu a p�íslušnou normálovou sílou:

max|MEd1|, |NEd1|; - maximální hodnota ohybového momentu p�sobícího v opa�ném sm�ru než

p�sobí MEd1 s p�íslušnou hodnotou normálové síly max|MEd2|, |NEd2|. P�i návrhu rozm�r� pr��ezu vycházíme z hodnoty normálové síly NEd a ohy-bového momentu MEd. V rovnicích rovnováhy se p�edpokládá, že návrhové hodnoty meze porušení se práv� rovnají návrhovým hodnotám ú�ink� zatížení, tj. NRd = NEd, MRd = MEd. P�i p�evládající normálové síle NEd, pop�. p�i prvním kroku návrhu, pokud nejsme jisti, že p�evládá ohybový moment, ur�íme návrhovou plochu tla�eného betonu ze vztahu

0,9

Edcd

cd s s

NA

fη ρ σ≅

+ ,

(6.14) kde ρs je celkový zvolený geometrický stupe� vyztužení ρs = � As / Acd; σs = fyd pokud fyd ≤ εc2 Es, jinak σs = εc2 Es. Dále ur�íme

cdAhd =

(6.15) a hd porovnáme s výst�edností eEd. Pokud platí eEd ≤ 0,1 hd, navrhneme �tver-cový pr��ez o stran� h ≥ hd. Ve vztahu (6.14) zpravidla volíme ρs v rozmezí 0,003 až 0,03. Jedná-li se nap�. o sloup vícepodlažní rámové konstrukce a chceme-li navrhnout sloup stejného pr��ezu p�es n�kolik podlaží, pak p�i návr-hu plochy Acd nejvíce namáhaného sloupu m�žeme volit ρs = 0,02 až 0,04. Pokud vychází 0,1 hd < eEd ≤ 0,5 hd, navrhneme obdélníkový pr��ez o výšce

23 /Ahcd

≥ a o ší�ce b ≥ 2h /3.

P�i p�evládajícím ohybovém momentu, tj. pokud vychází 0,5 hd < eEd ≤ 2 hd, m�žeme pr��ezové rozm�ry stanovit z momentové výminky pro rozhraní mezi tlakovým a tahovým porušením, tj. ze vztahu (6.5b). Uvažujeme-li MRd,bal = MEd, d = 0,9 hd, z1 = z2 = 0,4 hd, ρs = (As1 + As2) / (b hd), obdržíme po dosazení do vztahu (6.5b) MEd = λ ξbal,1 b 0,9 hd η fcd 0,5 (hd - λ ξbal,1 0,9 hd) +ρs b hd fyd 0,4 hd, odkud

( )[ ]bf,f,,

Mh

ydscd,bal,bal

Edd ρηλξλξ 40901450 11 +−

= .

(6.16) Zvolíme-li b, m�žeme ze vztahu (6.48) stanovit hd, p�i�emž by m�lo vyjít hd ≈ (0,5až 0,67) b; pokud nedosáhneme tohoto pom�ru, zvolíme nové b a postup opakujeme. Výšku pr��ezu pak navrhneme h ≈ hd.


- 26 (81) -

P�evládá-li významn� ohybový moment, tj. eEd > 2 hd, pak rozm�ry pr��ezu lze navrhnout jako u ohýbaného jednostrann� vyztuženého obdélníkového pr�-�ezu namáhaného momentem MEd p�i uvažování ξmax – viz kap. 4. Mo-mentová výminka vztažená k t�žišti tažené výztuže p�i uvažování MRd = MEd je MEd = λ ξmax b dd η fcd (dd – 0,5 λ ξmax dd) odkud

( ) .,fb

Md

maxmaxcd

Edd λξλξη 501−

=

(6.17) Zvolíme-li b, m�žeme ze vztahu (6.17) stanovit dd; volíme-li d1 = 0,1dd (obr. 6.4), bude hd = 1,1 dd, p�i�emž by m�lo platit b ≈ (0,5 až 0,67) hd; pokud nedo-sáhneme tohoto pom�ru, zvolíme nové b a postup opakujeme. Výšku pr��ezu pak navrhneme h ≈ hd. Navržené rozm�ry se obvykle zaokrouhlují na násobek 50 mm, pop�. s p�ihlédnutím k rozm�r�m použitého bedn�ní. 6.4.2 Návrh výztuže P�i návrhu ekonomické výztuže mimost�edn� namáhaného pr��ezu daného tvaru, budeme navrhovat výztuž pouze tam, kde v ní nap�tí dosahuje návrhové pevnosti, tj. výztuž je pln� využita. Z obr. 6.9 je z�ejmé, že pokud bude bod daný ú�inky návrhového zatížení (MEd, NEd) ležet vn� vyšrafované plochy, je t�eba navrhnout výztuž.

Obr. 6.9 Optimální výztuž obdélníkového pr��ezu mimost�edn� namáhaného

Pokud je NEd tlakovou silou (NEd < 0) pak platí: ||||NEd|||| >>>> Nc,bal , jedná se o p�ípad tlakového porušení, tj. bude rozhodovat p�e-vládající tlak, ||||NEd|||| ≤≤≤≤ Nc,bal, jedná se o p�ípad tahového porušení, bude rozhodovat p�evláda-jící tah ve výztuži. Pokud je NEd tahovou silou (NEd >0), jedná se vždy o tahové porušení.


- 27 (81) -

V obr. 6.9 jsou p�ímkami až a5 vyzna�eny oblasti, ve kterých lze v závislosti na namáhání pr��ezu r�zn� využit tla�ený beton: v oblasti I bude výška tla�ené oblasti x = xbal,1 ; je t�eba navrhnout výztuž As1 a As2, v oblasti II bude výška tla�ené oblasti xbal,1 < x < h; je t�eba navrhnout pouze výztuž As2, v oblasti III bude výška tla�ené oblasti x < xbal,1 ; je t�eba navrhnout výztuž As1, v oblasti IV bude tla�en celý betonový pr��ez; je t�eba navrhnout výztuž As1 a As2, v oblasti V beton nep�sobí; je t�eba navrhnout výztuž As1 a As2. Poznámka: P�ímky a2 a a4 jsou dány úhlem arctan (1/z2), obdobn� p�ímky a3 a

a5 jsou dány úhlem arctan (1/z1)- viz obr. 6.9. P�i návrhu budeme uvažovat návrhovou hodnotu normálové síly NEd se zna-ménkem kladným, pokud je tahem, a se znaménkem záporným, pokud je tla-kem, MEd je vždy uvažován jako kladný moment. Návrh ekonomické výztuže obdélníkového pr��ezu namáhaného normálo-vou silou p�sobící v ose symetrie betonového pr��ezu Pro výpo�et je vhodné vyjád�it ohybový moment od návrhového zatížení k t�žišti výztuže As1 a As2 – viz obr. 6.10 1 1Ed Ed EdM M N z= − , (6.18) 2 2Ed Ed EdM M N z= + . (6.19)

Obr. 6. 10 Mimost�edn� namáhaný pr��ez – momenty vztažené k t�žištím výztu-

ží P�i p�evládajícím tlaku není t�eba v oblasti II P�i p�evládajícím tlaku není t�eba v oblasti II tahová výztuž, p�edpokládáme že ú�inek zatížení bude p�ená-šet pouze tla�ený beton a tlaková výztuž As2. Proto z momentové podmínky psané k t�žišti výztuže As2 stanovíme polohu neutrální osy; pro obdélníkový pr��ez lze použít vztah

��

��

�−+=

cd

Ed

fbdMd

xηλ 2

2

22 211 ;

(6.20) - pokud vychází xbal,1 < x < h/�, nalézáme se v oblasti II a návrhovou (poža-

dovanou – required) plochu výztuže As2,req stanovíme ze sou�tové výminky

yd

cdEdreq,s f

fbxNA

ηλ−−=2 ;

(6.21)


- 28 (81) -

- pokud vychází x ≥ h/�, nalézáme se v oblasti IV a návrhové plochy výztuže As1,req a As2,req stanovíme z momentových podmínek

( )21

221 zz

zfbhMA

s

cdEdreq,s +

−−=σ

η,

(6.22)

( )21

112 zz

zfbhMA

s

cdEdreq,s +

−=σ

η.

(6.23) kde σs = fyd pokud fyd ≤ εc2 Es, jinak σs = εc2 Es; v oblasti IV je t�eba vždy po�ítat s minimální výst�edností e0, tj. uvažovat hodnotu ohybového momentu MEd2 MEd,min= NEd e0; s ohledem na požadovanou minimální výst�ednost e0, doporu�uje se v oblasti IV stanovit As1,req a As2,req a navrh-nout symetrickou výztuž Asi > max (As1,req ; As2,req);

- pokud vychází x ≤ xbal,2 a sou�asn� x ≤ xbal,1, pop�. x vychází jako nereálné �íslo, pak se nalézáme v oblasti I a návrhové plochy výztuže As2d a As1d sta-novíme z momentové a sou�tové podmínky

( )

( )21

1112

50zzf

dh,fdbMA

yd

,balcd,balEdreq,s +

−−=

ξηξλ,

(6.24)

dsyd

cdEdreq,s A

ffbxN

A 21 ++= ηλ.

(6.25) P�i p�evládajícím tahu není t�eba v oblasti III tlaková výztuž, p�edpokládáme že ú�inek zatížení bude p�enášet pouze tla�ený beton a tahová výztuž As1. Proto z momentové podmínky psané k t�žišti výztuže As1 stanovíme polohu neutrální osy. Pro obdélníkový pr��ez platí

��

��

�−−=

cd

Ed

fbdMd

xηλ 2

1211 ;

(6.26) - pokud vychází 0 < x ≤ xbal,1, nalézáme se v oblasti III a návrhovou plochu

výztuže As1d stanovíme ze sou�tové výminky

yd

cdEdreq,s f

fbxNA

ηλ+=1 ;

(6.27) - pokud se nalézáme v oblasti I, položíme x = xbal,1, návrhové plochy výztuže

As1d a As2d stanovíme op�t ze vztah� (6.24) a (6.25); - pokud se nalézáme v oblasti V, p�edpokládáme, že beton nep�sobí; návr-

hové plochy výztuže As1d a As2d stanovíme z momentových podmínek

( )21

21 zzf

MA

yd

Edreq,s +

= ,

(6.28)

( )21

12 zzf

MA

yd

Edreq,s +

−= .

(6.29) Poznámka:


- 29 (81) -

Pro stanovení hodnoty x ze vztah� (6.20), pop�. (6.26), m�žeme postupovat též následovn�: a) ov��íme zda nejsme ve vyšrafované oblasti (obr. 6. 9), tj. zda platí p�i NEd < 0 |NEd | ≥ λ b x η fcd (6.30)

MEd ≥ λ b x η fcd 0,5 (h - λ x) (6.31)

b) pokud jsou spln�ny nerovnosti (6.26) a (6.27), m�žeme ú�inky NEd, MEd rozložit na �ást p�enášenou betonem a zbývající, kterou bude t�eba p�enést vý-ztužemi – viz obr. 6. 11; plochy výztuží stanovíme ze vztah�

ss

req,s zMN

Aσ

∆∆ 121 −= ,

(6.32)

ss

req,s zMN

Aσ

∆∆ 122 += ,

(6.33)

kde σs = fyd; avšak v oblasti IV σs = fyd pouze pokud fyd ≤ εci Es, jinak σs = εci Es,

∆N = - NEd - Fc , (6.34)

∆M = MEd - Mc, (6.35)

Fc = λ b x η fcd, (6.36)

Mc = λ b x η fcd 0,5 (h - λ x). (6.37)

Navrhneme výztuž tak, aby platilo že plocha provedené (poskytnuté – provi-ded) výztuže byla v�tší nebo rovna ploše návrhové (požadované – required) výztuže a zárove� spl�ovala požadavky kladené normou na minimální a maxi-mální plochu výztuže Asi,prov ≥ Asi,req ≥ Asi,min, (6.38) kde i = 1, 2. Tam, kde výztuž není staticky nutná, navrhujeme u prvk� mimost�edn� namá-haných Asi,prov ≥ Asi,min , (6.39) p�i�emž pro plochu obou výztuží As = As1 + As2 musí platit As,min ≤ As,prov ≤ As,max, (6.40) kde podle normy EN 1992-1-1 [9] - pro tla�enou výztuž platí


- 30 (81) -

Asi,min je v�tší z hodnot Asi,min ≥ 0,05 NEd / fyd ; Asi,min ≥ 0,001 Ac, (6.41a) As,min = 2 Asi,min, (6.41b)

As,max = 0,04 Ac, (6.41c) Ac je celková plocha pr��ezu (b. h);

- pro taženou výztuž platí Asi,min je v�tší z hodnot Asi,min ≥ 0,26 fctm bt d / fyk ; Asi,min ≥ 0,0013 bt d, (6.42) bt je ší�ka tažené oblasti, d je ú�inná výška pr��ezu.

Obr. 6.11 Návrh hospodárné výztuže obdélníkového mimost�edn� namáhaného

pr��ezu Návrh symetrické výztuže obdélníkového pr��ezu je jednoduše proveditelný pouze v p�ípad�, že p�i NEd < 0 pro

cd

Ed

fb

Nx

ηλ=

(6.43)


- 31 (81) -

platí

dxd balbal 1,22. ξξ ≤≤ , (6.44)

v tomto p�ípad�

( )

yds

EdEdreq,sreq,s fz

xh,NMAA

λ−+== 5021 .

(6.45)

V ostatních p�ípadech lze navrhnout nesymetrickou výztuž, kterou symetrizu-jeme podle v�tší z navržených výztuží; tento postup je však nehospodárný, zejména pokud p�evažuje ohybový moment p�sobící v jednom sm�ru.

V praxi se pro návrh symetrické výztuže tla�ených sloup� používají nomo-gramy. P�i použití t�chto graf� se potupuje následovn�:

a) stanovíme pom�rný moment cd

Ed

fbhM

ηµ 2= ,

(6.46)

b) pom�rnou normálovou sílu cd

Ed

fbh

N

ην = ,

(6.47)

c) z graf� ode�teme mechanický stupe� vyztužení cd

ydsi

fbh

fA

ηϖ �= ,

(6.48)

d) pomocí hodnoty ω stanovíme yd

cddsds f

fbhAA

ηω5,021 == .

(6.49)

P�íklad nomogramu pro návrh symetrické výztuže obdélníkového pr��ezu, p�e-vzatý z literatury [24], je uveden na obr. 6.12. Graf je sestrojen pro betony C 12/16 až C 50/60 (η = 1,0) p�i uvažování parabolicko rektangulárního rozd�le-ní nap�tí v tla�eném betonu, ocel s charakteristickou hodnotou meze kluzu 500 MPa a pro pom�r vzdálenosti t�žišt� výztuže As1 od bližšího okraje pr��ezu d1

k celkové výšce pr��ezu h rovný 0,067. Na obrázku je pro dané namáhání pr�-�ezu znázorn�no i jeho p�etvo�ení.


- 32 (81) -

Obr. 6.12 Nomogram pro návrh symetrické výztuže obdélníkového pr��ezu

podle [24]

6.6 Ovinuté sloupy Ovinutím sloupu hustými t�mínky nebo šroubovicí s malým stoupáním zabrá-níme p�í�nému p�etvo�ení betonu. P�i zatížení sloupu vzniká pak trojrozm�rný stav napjatosti, p�i kterém se zvýší pevnost betonu ovinutého jádra. P�íznivý ú�inek ovinutí se zv�tšuje, pokud nap�tí ve výztuži nep�esáhne mez kluzu, což ve výpo�tech na mezi únosnosti se zohled�uje tím, že ve výztuži ovinutí uva-žujeme návrhovou hodnotu pevnosti této výztuže. Na obr. 6.15 je porovnáno chování neovinutého a ovinutého sloupu p�i teore-ticky dost�edném zatížení (obr. 6.15a) a p�i zatížení p�sobícím s výst�edností e = 0,25 h (obr. 6.15b). Z t�chto obrázk� je z�ejmé, že p�íznivý vliv ovinutí se m�že výrazn� uplatnit pouze v p�ípad�, kdy k mezi porušení pr��ezu výrazn� p�ispívá beton, tj. v p�ípadech tlakového porušení p�i velmi malé výst�ednosti (cca eEd ≤ h/ 8). Vlivem ovinutí se též výrazn� zvýší mezní pom�rné p�etvo�ení betonu, což je významné zejména v oblastech, kde se m�že uplatnit seismicita.

Obr. 6.15 Chování neovinutého a ovinutého sloupu a) p�i dost�edném zatíže-ní, b) p�i zatížení p�sobícím s výst�edností e = 0,25 h


- 33 (81) -

Ovinutí tedy p�ízniv� ovlivní pracovní diagram betonu (tlakové nap�tí uvažo-váno kladnou hodnotou) – viz obr. 6.16. Ovinutím dochází ke zvýšení jak pev-nosti betonu v tlaku, tak jeho p�etvo�ení, a to v závislosti na tom, jaké bo�ní tlakové nap�tí σ2 je schopno toto ovinutí vyvinout. P�ibližn� lze podle EN 1992-1-1 [10] uvažovat: fck,c = fck (1,000 + 5,0 σ2 / fck) p�i σ2 < 0,05 fck (6.77) fck,c = fck (1,125 + 2,5 σ2 / fck) p�i σ2 > 0,05 fck (6.78) εc2,c = εc2 (fck,c / fck)2 (6.79) εcu2,c = εcu2 + 0,2 σ2 / fck. (6.80)

Obr. 6.16 Pracovní diagram ovinutého betonu

Návrhovou mez porušení v tlaku p�i teoretickém plném využití materiál� ovi-nutého pr��ezu lze stanovit ze vztahu NRd0 = Ac0 fcd,c + As fyd, (6.81) kde Ac0 plocha betonu ovinutého jádra, fcd,c zvýšená návrhová pevnost betonu v tlaku vlivem ovinutí fcd,c = fck,c /γc, As pr��ezová plocha podélné výztuže.

P�íklad 2.1

P�íklady, úkoly a cvi�ení doporu�ujeme vysázet odsazen� od levého okraje a zvýraznit kurzívou. Obdobn� naformátovat úkoly a cvi�ení – viz styl „P�í-klad“.

P�íklady, úkoly, cvi�ení, ale i obrázky a tabulky se �íslují dv�mi �ísly, kde první �íslo je �íslo hlavní kapitoly, druhé pak po�adové �íslo v rámci této kapitoly, nap�.: Tab. 2.1: To a to

Text kapitoly…

Úkol 2.1

Zadání kontrolního úkolu.

Text kapitoly…

Cvi�ení

Cvi�ení…


- 34 (81) -

�ešení

�ešení úkol�, cvi�ení apod., nejsou-li uvedeny souhrnn� v klí�i.

Kontrolní otázky

Kontrolní otázky �i otázky k zamyšlení op�t uvést odsazen�, kurzívou, se svislou �arou podél textu otázky. Sta�í jim p�i�adit styl „Otázka“.

P�ichystání dalších „typ�“ text� s p�íslušnými ikonkami (možno kamkoliv do dokumentu nakopírovat).

Poznámka

Text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky …

Informace

Informacemi m�že být „Pr�vodce modulem“, mohou jimi být dopl�kové informace pro studující apod.

Koresponden�ní úkol

Zadání a pokyny k úkolu(-�m), který je t�eba zaslat (klasicky �i elektronicky) vyu�ujícímu apod.

2.2 Místní namáhání

Text kapitoly…

2.3 Prvky z prostého a slab� vyztuženého betonu

2.3.1 Základní rozdíly v chování prvk� z prostého (slab� vy-ztuženého) betonu a prvk� ze železobetonu

Prvky z prostého betonu jsou prvky nevyztužené betoná�skou výztuží, schop-nou po vzniku trhlin od návrhového zatížení p�evzít v tahové oblasti betonové-ho pr��ezu p�íslušné tahové síly.

Prvky ze slab� vyztuženého betonu mají sice ur�itou betoná�skou výztuž, která však nespl�uje požadavky na minimální stupe� vyztužení železobetonového pr��ezu, což znamená, že po vzniku trhlin ani na mezi únosnosti není schopna p�evzít tahové síly p�enášené do vzniku trhlin samotným betonovým pr��ezem. Z t�chto d�vod� lze chování prvk� ze slab� vyztuženého betonu uvažovat po-dobn� jako u prvk� z prostého betonu, zvlášt� na mezi únosnosti po vzniku trhlin. Betoná�skou výztuž slab� vyztužených prvk� lze však využít p�i posou-zení místních mezních stav� namáhání (nap�. p�í�ných tah� v místech soust�e-d�ného zatížení, zvýšení bezpe�nosti proti p�eklopení v pracovních spárách apod.), pop�. i pro zvýšení použitelnosti a životnosti prvku.


- 35 (81) -

Vznik trhlin je proto u prvk� z prostého i slab� vyztuženého betonu rozhodující mezí pro posouzení jejich dalšího chování.

Do vzniku trhlin se chovají tyto prvky totiž prakticky jako pružné homogenní prvky s tím, že jejich stavební materiál beton má pevnost v tahu fct �ádov� menší než pevnost v tlaku fc (fct ≅ fc/10) a jejich zp�sob porušení proto závisí p�edevším na chování nejvíce namáhaných (kritických) betonových pr��ez� p�i vzniku trhliny.

Pokud nemá v kritickém pr��ezu vzniknout trhlina, musí pro nejv�tší normálo-vé nap�tí v tahu �ct,max, stanovené podle teorie lineární pružnosti, platit pod-mínka

�ct,max fct (11.1)

Je však nutné si uv�domit, že v nap�tí �ct,max se p�i pružném chování pr��ezu uplat�ují nejen ú�inky p�ímých zatížení prvku, ale i zatížení nep�ímých, vyvo-laných objemovými zm�nami (nap�. smrš�ováním a dotvarováním betonu, tep-lotními zm�nami a teplotním spádem), jejich ú�inek se �asto obtížn� zjiš�uje a pracn� vyhodnocuje. V t�chto p�ípadech je pro prvky z prostého betonu zna�n� nevýhodná jeho nízká pevnost v tahu, která zpravidla nebývá ani zaru�ena pr�-kazními zkouškami, ale odvozuje se jen velmi p�ibližn�, a tedy nep�esn�, z charakteristické pevnosti betonu v tlaku fck (nap�.: fct ≅ 0,3 fck

(2/3)).

Pokud se podle podmínky (11.1) nezabrání vzniku trhlin v kritických pr��e-zech, je t�eba si uv�domit, že prvky z prostého betonu se náhle neporuší pouze tehdy, jestliže kritické pr��ezy jsou i nadále schopny p�enášet alespo� ú�inky p�ímých zatížení. Ú�inky nep�ímých zatížení se v potrhaných prvcích rychle zmenšují, takže na mezi porušení kritického pr��ezu je lze zpravidla zanedbat.

Nap�. ohýbané prvky z prostého betonu ztratí po vzniku trhliny svou únosnost, nebo� normálové nap�tí betonu v ohybové trhlin� �ct = 0. Náhlá ztráta únosnos-ti nastane p�itom p�i malém p�etvo�ení prvku, takže porušení má charakter k�ehkého lomu a nevyhovuje p�íliš požadavk�m na duktilitu stavebního prvku.

Z uvedených d�vod� vyhovují po vzniku trhlin prvky z prostého betonu prak-ticky pouze p�i namáhání mimost�edným tlakem do ur�ité výst�ednosti. Z uvedeného d�vodu doporu�uje EN 1992-1-1 [9] používat prvky z prostého betonu jen pro n�které masivní konstrukce namáhané p�evážn� staticky, a to p�edevším tlakem s malou výst�edností (nikoliv však zám�rn� p�edpjaté) jakou jsou nap�.:

• podp�ry: pilí�e a monolitické st�ny, • obloukové konstrukce: stropní, mostní a tunelové klenby, • op�rné zdi a st�ny, • základové konstrukce: patky, pásy, pop�. vrtané piloty o pr�m�ru ale-

spo� 600 mm, u kterých tlakové nap�tí v t�žišti pr��ezu Ac od návrhové normálové (tlakové) síly NEd splní podmínku �c0 = |NEd| / Ac 0,3fck.


- 36 (81) -

2.3.2 Zásady pro navrhování prvk� z prostého betonu

2.3.2.1 Mezní stav únosnosti prvk� porušených trhlinami

Jak již bylo uvedeno v 11.1, prvky z prostého betonu se používají p�edevším p�i namáhání tlakovou návrhovou normálovou silou NEd p�sobící na kritický pr��ez s omezenou návrhovou výst�edností eEd, pokud takové prvky i po vzniku trhliny v kritickém pr��ezu jsou schopny až do porušení (mezního stavu únos-nosti) splnit jednu z následujících podmínek:

|NEd| NRd p�i eEd = eRd , (11.2a)

eEd eRd p�i |NEd| = NRd , (11.2b)

kde NRd je normálová síla na mezi únosnosti,

eRd p�íslušná návrhová výst�ednost síly NRd.

Pro b�žn� používané prvky z prostého betonu do pevnostní t�ídy C 50/60 a obdélníkového pr��ezu, lze pro vyjád�ení síly NRd uvažovat v ú�inné tla�ené oblasti pr��ezu na mezi únosnosti do vzdálenosti λx od tla�eného okraje plné zplastizování tla�eného betonu (viz 3.1) p�i jeho návrhové pevnosti v tlaku fcd (obr. 11.1) podle vztahu

fcd = �cc,pl fck / γC, (11.3)

kde �cc,pl je reduk�ní sou�initel p�ihlížející k menší duktilit� (p�etvo�itelnosti) zplastizovaného tla�eného betonu. P�i mezním pom�rném stla�ení betonu εcu = 3,5 o/oo EN 1992-1-1 [9] doporu�uje volit hodnotu �cc,pl = 0,8.

V tažené oblasti pr��ezu lze tahovou pevnost betonu fctd ve prosp�ch bezpe�-nosti zanedbat a p�ipustit volné otevírání trhliny s p�ípadným omezením její délky (h – x).

P�i uvážení stejných výst�edností normálových sil NEd a NRd, tj. p�i

eEd = eRd = ed,

plyne pak z obr. 11.1 pro 0,5 λx = 0,5 h - ed

rozm�r ú�inné tla�ené oblasti ze vztahu

λ x = h – 2ed = h (1 – 2 ed / h). (11.4)

Sou�initel λ ú�inné tla�ené oblasti betonového pr��ezu zavádí EN 1992-1-1 [9] hodnotou

λ = 0,8 pro betony do pevnostní t�ídy C 50/60.


- 37 (81) -

Obr. 11.1 Namáhání prvku z prostého betonu s trhlinou mimost�edným tlakem na mezi únosnosti.

Únosnost mimost�edn� tla�eného prvku z prostého betonu, u kterého lze za-nedbat možnost jeho vybo�ení, tj. p�i vzp�rné (ú�inné) délce l0 7h (1- 2ed/h), lze ur�it ze vztahu

NRd = fcd b λ x = fcd b h (1- 2 ed / h). (11.5)

Vztahy (11.4) a (11.5) platí s teoretickým omezením návrhové výst�ednosti

0 ed h / 2 . (11.6)

P�itom výst�ednost ed je t�eba považovat za celkovou výst�ednost etot normálo-vé síly NRd

ed = etot = e0 + ei, (11.7)

kde e0 je statická výst�ednost prvního �ádu,

ei p�ídavná výst�ednost pokrývající ú�inky geometrických imperfekcí.

Teoretický dost�edný tlak p�i ed = 0 podle vztahu

NRd0 =fcd b h , (11.8)

se tedy prakticky nedá uvažovat, nebo� i p�i e0 = 0 je ed = ei. Také teoretickou hodnotu

ed = h/2 nelze využívat, pon�vadž p�i ní je NRd = 0. Ve skute�nosti je maxi-mální hodnota ed < h/2 ovlivn�na stabilitou prvku proti p�eklopení, pop�. požadavkem na omezení délky trhliny (h – x) podle obr. 11.1. Nap�. pro délku trhliny (h – x) = 0,75 h, lze odvodit mezní výst�ednost eRd,lim = 0,4 h.

Komplexn�jší posouzení únosnosti mimost�edn� tla�ených prvk� z prostého betonu v kritickém pr��ezu po vzniku trhliny poskytne interak�ní diagram NRd a MRd (obr.11.2), který lze získat následujícím zp�sobem: p

rotože je

MRd = NRd ed , (11.9)


- 38 (81) -

p�i�emž ze vztahu (11.4) plyne

ed = 0,5(h - λ x) = 0,5 h (1 - λ x / h). (11.10)

Podle vztahu (11.5) a (11.8) lze vyjád�it

λ x / h = NRd / (fcd b h) = NRd / NRd0. (11.11)

Takže též podle (11.10)

ed = 0,5 h (1 - NRd / NRd0). (11.12)

Moment únosnosti lze získat dosazením do vztahu (11.9)

MRd = (NRd - NRd2 / NRd0) 0,5h.

(11.13a)

Vztah (11.13a) vyjad�uje parabolickou závislost MRd na NRd v interak�ním dia-gramu (k�ivka 1 na obr. 11.2) s maximem p�i NRd = 0,5 NRd0 a ed = 0,25 h:

MRd,max = 0,25.NRd0 0,5 h = NRd .0,25h. (11.14)

Pro teoretický dost�edný tlak NRd = NRd0 a pro NRd = 0 vychází ze vztahu (11.13a) op�t

MRd = 0.

Obr. 11.2 Interak�ní diagram únosnosti NRd a MRd

V dolní �ásti obr. 11.2 je však interak�ní diagram omezen podmínkou ed ≤ eRd,lim, p�i které platí vztah

MRd = NRd eRd,lim. (11.13 b)

Pro všechna namáhání (NEd a MEd) ležící uvnit� interak�ního diagramu jsou spln�ny podmínky spolehlivosti.

Na obr. 11.2 je p�ípad namáhání nazna�en bodem E a postup posouzení jednak podle podmínky spolehlivosti (11.2a) a dále podle podmínky (11.2b).


- 39 (81) -

U štíhlých tla�ených prvk� z prostého betonu je však jejich mezní stav únosnosti ovlivn�n vybo�ením, tj. p�í�ným p�etvo�ením tla�eného prvku.

Štíhlost tla�eného prvku je zpravidla dána vztahem:

λh = l0 / ih, (11.15)

kde ih je polom�r setrva�nosti betonového pr��ezu neporušeného trhlinami ve sm�ru

tlouš�ky h a výst�ednosti eEd (obr. 11.1),

l0 ú�inná délka prvku, kterou lze uvažovat:

l0 = β lw , (11.16)

lw sv�tlá výška prvku,

β sou�initel závislý na podmínkách podep�ení:

pro sloupy lze uvažovat β = 1,0, tj. kloubové podep�ení konc� sloupu,

pro konzolové sloupy nebo st�ny β = 2,0,

pro ostatní st�ny je hodnota β uvedena v Tab. 11.1.

Nejv�tší štíhlost tla�ených prvk� z prostého betonu by nem�la p�estoupit hod-notu λmax = 86, aby bylo možné použít zjednodušené posouzení ú�ink� vybo-�ení prvk�.

U obdélníkových pr��ez�, kde polom�r setrva�nosti ih = h /√12, lze štíhlost prvku vyjád�it i vztahem λh = 3,46 l0 / h, takže nejv�tší štíhlost prvku je dosa-žena p�i pom�ru l0 / h = 25.

Údaje uvedené v Tab. 11.1 jsou stanoveny na základ� p�edpokladu, že ve st�n� nejsou otvory vyšší než lw/3 a plochy v�tší než je 1/10 plochy st�ny.

U st�n podep�ených podél t�í nebo �ty� okraj�, které mají otvory p�esahující uvedené limity, se považují �ásti st�n mezi t�mito otvory za podep�ené pouze podél dvou okraj�. P�i p�í�ném oslabení st�n drážkami nebo kapsami, musí být hodnoty β p�im��en� zv�tšeny.

P�í�ná st�na m�že být považována za ztužující, pokud:

- její tlouš�ka není menší než 0,5 hw , kde hw je tlouš�ka ztužené st�ny, - má stejnou výšku lw jako je výška uvažované ztužené st�ny, - její délka lht je nejmén� rovna lw / 5, kde lw je sv�tlá výška ztužené st�-

ny, - na délce lht nemá p�í�ná st�na otvory.


- 40 (81) -

V p�ípad� st�ny spojené podél horního i dolního okraje ohybov� tuhým zp�so-bem s monolitickým betonem a výztuží tak, že mohou být p�eneseny okrajové momenty, lze uvedené hodnoty β vynásobit sou�initelem 0,85.

U sloup� s menší ší�kou b než jeho tlouš�kou h (obr. 11.1), je t�eba p�ihlédnout k možnosti vybo�ení sloupu ve sm�ru kolmém na rovinu namáhání, ur�enou výst�edností eEd síly NEd. Toto vybo�ení ve sm�ru ší�ky b lze pak uvažovat p�i výst�ednosti edb = ei síly NEd pro prvek se štíhlostí λb = 3,46 l0 / b.

Tab. 11.1. Hodnoty β pro r�zné podmínky podep�ení

Typ pode-p�ení

Ná�rtek Výraz Sou�initel β

Podél dvou

okraj�

β = 1,0 pro

všechny

pom�ry lw/b

lw/b β

0,2

0,4

0,6

0,8

0,26

0,59

76

0,85 Podél

t�í okraj�

2

31

1

��

��

�+

=

blw

β

1,0

1,5

2,0

5,0

0,90

0,95

0,97

1,00

Podél pro lw ≥ b lw/b β


- 41 (81) -

0,2

0,4

0,6

0,8

0,10

0,20

0,30

0,40

�ty� okraj�

pro lw ≥ b

1,0

1,5

2,0

5,0

0,50

0,69

0,80

0,96

Pokud není použit p�esn�jší postup pro stanovení únosnosti štíhlého prvku z prostého betonu zatíženého mimost�edným tlakem, lze užít následující zjed-nodušující vzorec pro stanovení normálové síly na mezi únosnosti štíhlého prvku obdélníkového pr��ezu:

NRds = fcd b h Φ , (11.17)

kde Φ je sou�initel vyjad�ující (v�etn� ú�ink� druhého �ádu a dotvarování) vliv výst�ednosti ed = etot a štíhlosti prvku, pomocí pom�ru l0 / h vztahem:

Φ = 1,14 (1 – 2 ed / h) – 0,02 l0 / h. (11.18)

Ve srovnání se vztahem (11.5) musí pro NRds platit podmínka

NRds < NRd (11.19)

a tedy i

Φ < (1 – 2 ed / h). (11.20)

Prvek z prostého betonu lze tedy uvažovat jako štíhlý, pokud jeho vzp�rná (ú�inná) délka spl�uje podmínku

l0 > 7 h (1 – 2 ed / h), (11.21)

p�i�emž sou�asn� platí omezení horní hodnoty vzp�rné délky l0 následujícími podmínkami p�i:

ed 0,28 h l0 25 h,

ed > 0,28 h l0 57 h (1 – 2 ed / h). (11.22)

Mimost�edn� tla�ené prvky z prostého betonu mohou však být též namáhány smykem od posouvající síly VEd. Dochází k tomu vždy, pokud se u tla�eného prvku po jeho délce m�ní výst�ednost eEd tlakové síly |NEd| a tedy i moment


- 42 (81) -

MEd = |NEd| eEd, jehož derivací v uvažovaném pr��ezu získáme p�íslušnou hod-notu VEd > 0. U prvk� porušených trhlinami, p�i o�ekávaném tlakovém poruše-ní, se namáhání obdélníkového pr��ezu soust�edí do jeho ú�inné tla�ené oblasti (obr. 11.1) o ploše

Acc = b λ x = b h (1 – 2 ed / h). (11.23)

Na této ploše lze p�edpokládat plastické chování betonu p�i návrhovém normá-lovém nap�tí v tlaku �cd > 0 rozd�leném rovnom�rn�

�cd = |NEd| / Acc

(11.24)

a spojitém rozd�lení smykového nap�tí c s maximální hodnotou

cd = k VEd / Acc, (11.25)

p�i�emž EN 1992-1-1 [9] doporu�uje uvažovat bezpe�n� klasické parabolické rozd�lení nap�tí c s hodnotou k = 1,5 (obr. 11.3).

Obr. 11.3 Interakce nap�tí �c a c v kritickém pr��ezu

P�i kombinaci namáhání prvku z prostého betonu smykem za mimost�edného tlaku, je t�eba si uv�domit, že pr��ez na mezi únosnosti je schopen p�enést smykové nap�tí τcd pouze v závislosti na sou�asn� p�sobícím normálovém na-p�tí σcd v tomto pr��ezu. Za p�edpokladu pln� zplastizované ú�inné tla�ené oblasti pr��ezu namáhané rovnom�rným nap�tím �cd = fcd a vylou�ení jeho ta-hové oblasti, není pr��ez již schopen p�enášet smykové nap�tí, tj.τcd = 0.

Pon�vadž ob� nap�tí �c a c p�sobí v ú�inné ploše Acc sou�asn�, nelze tedy pln� využít tlakovou pevnost betonu fcd a musí platit

�cd < fcd

(11.26)

a smykové nap�tí musí splnit podmínku

τcd fcvd. (11.27)


- 43 (81) -

Návrhovou pevnost betonu fcvd p�i sou�asném p�sobení tlaku �c a smyku c lze stanovit z následujících závislostí:

- pokud σcd ≤ σc,lim, pak fcvd se stanoví ze vztahu

ctdcdctdcvd fff σ+= 2 (11.28)

- pokud σcd > σc,lim, pak fcvd se stanoví ze vztahu

2

,lim2

2cd c

cvd ctd cd ctdf f fσ σ

σ−� �= + − � �

� � , (11.29)

p�i�emž σc,lim, se stanoví ze vztahu

( ),lim 2c cd ctd ctd cdf f f fσ = − + . (11.30)

Uvedené vztahy pro fcvd lze odvodit následovn�:

U mimost�edn� tla�eného prvku z prostého betonu porušeného trhlinami, lze po�ítat i s návrhovou pevností betonu v tahu fctd ur�enou ze vztahu:

fctd = �ct,pl fctk,0.05 / γC, (11.31)

kde �ct,pl je reduk�ní sou�initel duktility zplastizovaného taženého betonu p�i vzniku trhliny, uvažovaný v EN 1992-1-1 [9] doporu�enou hodnotou �ct,pl = 0,8, obdobn� jako u vztahu (11.3).

Obecn� pevnost betonu p�i kombinaci nap�tí �cd a cd, tj. p�i dvojosé napjatosti, m�že být stanovena z Mohrovy kružnice nap�tí, která se dotýká Mohrovy pa-rabolické obálky porušení. Vztah pro tuto obálku pro návrhové nap�tí σcd a τcd je

τcd2 = A (σcd + fctd),

( )2cd ctd ctd ctd cdA f f f f f = + − +� �

,

kde fcd a fctd se uvažují jako kladné hodnoty.

Na obr. 11.4 je znázorn�na Mohrova obálka porušení pro návrhová nap�tí spo-lu s Mohrovými kružnicemi p�edstavujícími návrhové hodnoty p�i prostém tahu a tlaku.

Obrázek 11.5 ukazuje limitní kombinace návrhových hodnot normálového σcd a smykového �cd nap�tí.


- 44 (81) -

Obr. 11.4 Mrschova parabolická obálka pro návrhová nap�tí σcd a τcd

Obr. 11.5 Limitní kombinace návrhových hodnot normálového σcd a smykové-ho τcd nap�tí

Normálovým nap�tímσcd menším než σc,lim = A – 2 fctd odpovídá (viz též obr. 11.4) Mohrova kružnice procházející bodem (-fctd, 0) a smyková pevnost fcvd je pak dána vztahem (11.28). Normálovým nap�tím σcd v�tším než σc,lim = A – 2 fctd odpovídá Mohrova kružnice, která prochází bodem fcd a dotýká se obálky porušení v bod� pro který je σcd rovno σc,lim; smyková pevnost fcvd je pak dána vztahem (11.29).

Mimost�edn� tla�ené prvky z prostého betonu porušené trhlinami mohou být navíc namáhány smykem od kroucení. Pro namáhání kroutícím momentem se však b�žn� takové prvky z prostého betonu nenavrhují.

2.3.2.2 Mezní stav únosnosti prvk� z prostého betonu bez trhlin

Prvky z prostého betonu bez trhlin se obvykle uvažují p�i mezním stavu únos-nosti jen v p�ípadech, kdy po vzniku trhliny v kritickém pr��ezu prvku není možná rovnováha vn�jších a vnit�ních sil, takže dojde k náhlému porušení. Takové p�ípady nastávají nap�. p�i namáhání prvku z prostého betonu �istým ohybovým momentem MEd nebo malou tlakovou normálovou silou NRd > 0, která spl�uje podmínku (obr. 11.2)

NRd < NRd,lim . (11.32)

Pro tažené prvky se prostý beton zpravidla nenavrhuje.


- 45 (81) -

V uvedených p�íkladech lze p�edpokládat, že o porušení vznikem trhliny roz-hoduje malá tahová pevnost betonu fct podle podmínky (11.1), p�i�emž prvek z prostého betonu se bude chovat lineárn� pružn� až do této meze únosnosti. P�i uvážení ú�ink� návrhových zatížení p�ímých i nep�ímých (viz 11.1) lze pro maximální normálové nap�tí v tahu stanovit podmínku spolehlivosti:

σctd,max ≤ fctd, (11.33)

kde návrhová pevnost prostého betonu v tahu fctd se ur�í ze vztahu (11.31). V tomto p�ípad�, s ohledem na malou duktilitu a nebezpe�í náhlého porušení prostého betonu, je t�eba dbát opatrnosti p�i ur�ování reduk�ního sou�initele �ct,pl:

Doporu�it lze následující hodnoty:

• �ct,pl = 0,8 p�i spln�ní dvou podmínek: 1. výstižném stanovení nep�ímých návrhových zatížení, 2. zaru�ení charakteristické pevnosti betonu v tahu fctk,0.05

pr�kazními zkouškami použitého betonu; • �ct,pl = 0,6 pokud není spln�na alespo� jedna z p�edešlých dvou podmí-

nek; • �ct,pl = 0,4 pokud nejsou spln�ny ob� uvedené podmínky.

Únosnost prvku z prostého betonu v kritickém pr��ezu �istým ohybovým momentem MEd0 lze p�i lineárn� pružném chování, nap�. obdélníkového pr��e-zu, vyjád�it vztahem

|MRd0| = �h fctd b h2 / 6, (11.34)

kde �h je sou�initel tlouš�ky pr��ezu h (mm)

�h = (1,6 – h / 1000) 1,0. (11.35)

Spolehlivost ohýbaného prvku pak zajistí podmínka

MEd0 MRd0 . (11.36)

Únosnost mimost�edn� tla�eného prvku z prostého betonu

P�i lineárn� pružném chování prvku z prostého betonu bez trhlin se mezní stav únosnosti kritického pr��ezu uplatní pouze p�i malých hodnotách tlakové nor-málové síly |NEd| > 0 a její velké výst�ednosti eEd > eRd,lim (obr. 11.2), jak bude dále ukázáno. Rozd�lení normálového nap�tí je p�i pružném chování prvku v pr��ezu také rozd�leno lineárn� a pro mez únosnosti (tj. mez vzniku trhliny) rozhoduje op�t podmínka (11.33).

Nap�. pro obdélníkový pr��ez namáhaný normálovou silou NEd s výst�edností eEd > eRd,lim (obr. 11.6), je normálové nap�tí v nejvíce taženém vlákn� pr��ezu dáno vztahem


- 46 (81) -

,max

/ 6/ 6

Ed Edctd

N e hbh h

σ −� �= � ��

, (11.37)

kde h/6 je jádrová úse�ka obdélníkového pr��ezu p�i namáhání ve sm�ru tlouš�ky h.

Obr. 11.6 Rozd�lení normálového nap�tí �c p�i lineárn� pružném chování

mimost�edn� tla�eného prvku z prostého betonu p�ed vzni-kem trhliny p�i eEd = h / 2

Ze vztahu (11.37) je z�ejmé, že p�i pružném chování prvku vznikají tahová nap�tí v obdélníkovém pr��ezu již p�i eEd > h / 6, tj. mnohem d�íve než je dosa-ženo meze výst�ednosti eEd = eRd,lim, p�i které již pr��ez s trhlinou p�estává být schopen p�enést p�íslušný ohybový moment MEd = |NEd| eEd, tj. splnit požadav-ky interak�ního diagramu, vyjád�ené k�ivkou 1 tlakové únosnosti na Obr. 11.2.

P�i lineárn� pružném chování prvku je tedy dosaženo mezní únosnosti p�i vzniku trhliny pouze p�i

eEd > eRd,lim a �ctd,max = αh fctd , (11.38)

kdy lze položit

NEd = NRd,el a eEd = eRd,el . (11.39)

Po dosazení (11.38) a (11.39) do vztahu (11.37) a jeho následující úprav� s použitím vztahu (11.34)

�h fctd b h2 / 6 = MRd0 = NRd,el (eRd,el - h / 6),

lze odvodit vztah pro moment únosnosti p�i lineárn� pružném chování prvku

MRd,el = NRd,el eRd,el = MRd0 + NRd,el h / 6, (11.40)

vyjad�ující pr�b�h p�ímky 2 , v interak�ním diagramu na obr 11.2.


- 47 (81) -

S ohledem na malou hodnotu mezní únosnosti v tlaku

NRd,lim = MRd0 / (eRd,lim – h / 6), (11.41)

p�i pružném chování prvku z prostého betonu bez trhlin není t�eba (p�i dodrže-ní štíhlostního pom�ru l0 / h < 25) tyto prvky zpravidla vyšet�ovat na vybo�ení.

P�i sou�asném p�sobení normálových tahových nap�tí �ctd > 0 a smykových nap�tí cd u prvk� z prostého betonu bez trhlin, lze pro stanovení hlavního na-p�tí betonu v tahu �c1 použít klasický pružnostní vztah

2

21 2 2

ctd ctdc cd

σ σσ τ� �= + +� ��

,

(11.42)

a požadovat spln�ní podmínky spolehlivosti

c1 fctd.. (11.43

2.3.3 Mezní stavy použitelnosti

V pr��ezu, ve kterém se o�ekává konstruk�ní vetknutí prvku z prostého betonu, mají být ov��ována jeho nap�tí.

Pro zajišt�ní mezních stav� použitelnosti, je t�eba uvažovat následující opat�e-ní:

a) s p�ihlédnutím ke vzniku trhlin: • omezení tahových nap�tí na p�ijatelné hodnoty, • zabezpe�ení pomocného konstruk�ního vyztužení (povrchová výztuž,

soustava ztužujících táhel), • z�ízení spár, • použití vhodné technologie betonu (nap�. vhodné složení sm�si, ošet�o-

vání), • volba vhodných metod provád�ní;

b) s p�ihlédnutím k omezení deformací: • dodržovat alespo� dále uvedené minimální rozm�ry pr��ez�, • dodržovat omezení štíhlosti u tla�ených prvk�.

2.3.4 Konstruk�ní ustanovení pro prvky z prostého beton

Obecná ustanovení. Tlouš�ka hw st�n z monolitického betonu nemá být menší než 120 mm. U prvk� s rýhami a prohlubn�mi, je t�eba zajistit pevnost a stabi-litu.

Pokud se o�ekává v pracovních stycích vznik tahových nap�tí v betonu, je t�e-ba pro omezení trhlin navrhnout výztuž.


- 48 (81) -

Patkový základ z prostého betonu se chová jako tlustá deska, u které p�evlá-dá st�nové, pop�. prostorové namáhání a pro p�ípadný vznik trhlin a tudíž i dosažení meze únosnosti, jsou rozhodující hlavní nap�tí v betonu v tahu.

V mezním stavu únosnosti se p�enáší tlaková síla NSd (p�sobící v dosedací ploše sloupu) tla�enými pruty do spodní �ásti základu. Únosnost t�chto tla�e-ných prut� závisí podstatn� na tahovém nap�tí p�sobícím kolmo k t�mto pru-t�m. Tahové nap�tí vzr�stá se zmenšujícím se úhlem sklonu α (obr 11.7). Toto nap�tí je �áste�n� zmenšováno aktivací t�ecí síly p�sobící v úrovni základové spáry.

Obr. 11.7 Model p�sobení základu z prostého betonu

Obr. 11.8 Nevyztužené patkové základy

Pro návrh výšky patkového základu z prostého betonu (viz obr. 11.8) je v norm� EN 1992-1-1 [9] je uveden vztah

0,85 hf / a = √(3 σgd / fctd), (11.44)

odkud

31,176 gd

fctd

h af

σ≅ ; (11.45)


- 49 (81) -

jako konzervativní zjednodušení dovoluje norma použít vztah

hf = 2 a, (11.46)

což odpovídá úhlu roznášení zatížení γ ≅ 63°.

Zjednodušen� si lze p�edstavit, že odstupek základové patky p�sobí jako kon-zola vetknutá v teoretickém �ezu 1 – 1 (obr. 11.8), zatížená ze spodu návrhovou hodnotou normálového nap�tí v základové spá�e σgd = NEd /( bf . lf). Ve vetknu-tí konzoly vzniká ohybový moment MEd = 0,5 σgd . lf. (β . a)2 ; moment únos-nosti v teoretickém �ezu je MRd = fctd . lf. bf . hf

2 /6. Z porovnání obou hodnot m�žeme stanovit

hf = 1,176 a √(3 σgd / fctd), což je vztah (11.45). Z vedeného tedy vyplývá, že myšlený teoretický �ez leží za lícem sloupu ve vzdálenosti 0,176 a.

V n�kterých d�ív�jších doporu�eních bylo navrhováno uvažovat myšlený teore-tický �ez ve vzdálenosti 0,15 hs za lícem sloupu, kde hs je rozm�r sloupu ve vyšet�ovaném sm�ru patky.

2.4 Autotest

Autotest vztahující se k u�ivu dané kapitoly… (správné odpov�di jsou pak uvedeny v „Klí�i“).

Záv�r

- 51 (81) -

3 Navrhování dle SLS

Posouzením mezních stav� použitelnosti se prokazují vlastnosti konstrukce z hlediska pot�eb uživatele objektu. Nutnost posouzení této skupiny mezních stav� nabývá na významu zejména v poslední dob�, kdy jsou stále �ast�ji pou-žívány kvalitní materiály (beton i ocel s vysokými pevnostmi), které umož�ují navrhovat (z hlediska mezního stavu únosnosti) subtilní konstrukce.

Cílem posudku betonové konstrukce dle mezních stav� použitelnosti je zabrá-n�ní takovým stav�m konstrukce, p�i kterých by bylo omezeno (nebo znesnad-n�no) užívání objektu z hlediska

• nadm�rných p�etvo�ení a deformací konstrukce nebo jejich �ástí (mezní stav p�etvo�ení),

• vzniku nebo rozev�ení trhlin, které vedou ke snížení životnosti konstrukce z d�vod� možného oslabení výztuže korozí (mezní stav vzniku trhlin, mez-ní stav ší�ky trhlin).

V sou�asné dob� nar�stají požadavky na konstrukce z hlediska jejich trvanli-vosti, tj. z hlediska jejich dlouhodobého využívání a to i za zohledn�ní poža-davku na minimalizaci náklad� na budoucí opravy p�i správn� provád�né údrž-b�.

Trvanlivá konstrukce musí spl�ovat požadavky z hlediska použitelnosti, pev-nosti a stability po dobu jejich provozní životnosti (EN 1990 [1]), a to bez vý-znamné ztráty funk�nosti (tj. schopnosti jejího využívání k projektovaným ú�e-l�m) nebo nadm�rné nep�edpokládané údržby. Požadovaná ochrana konstrukce musí být projektem ur�ena již p�i zohledn�ní jejího zamýšleného používání, provozní životnosti, plánované údržby a zatížení, hutnosti, kvalit� a tlouš�ce krycí vrstvy betonu a na trhlinách.

Mezi obvyklé mezní stavy použitelnosti �adí EC2

a) mezní stav omezení nap�tí z hlediska podmínek použitelnosti, b) mezní stav trhlin, c) mezní stav p�etvo�ení. Jiné mezní stavy použitelnosti (nap�. vibrace) se mohou u n�kterých konstrukcí rovn�ž uplatnit. T�mito mezními stavy se však v tomto textu nebudeme zabý-vat.

3.1 Chování konstrukcí za provozního stavu

3.1.1 Uvažovaná zatížení

P�i výpo�tu mezních stav� použitelnosti u železobetonových konstrukcí se uplat�ují následující kombinace zatížení:

a) charakteristická, která se používá obvykle pro nevratné mezní stavy použi-telnosti,

b) �astá, která se používá obvykle pro vratné mezní stavy použitelnosti,

c) kvazi stálá, která se používá v�tšinou pro kontrolu mezních stav� použitel-nosti týkajících se d�sledk� dlouhodobých ú�ink� a vzhledu konstrukce.


- 52 (81) -

Je t�eba p�ipomenout, že v mezních stavech použitelnosti uvažujeme zatížení bez sou�initel� zatížení; podrobnosti týkající se stanovení kombinací zatížení v mezních stavech použitelnosti jsou uvedeny v kap. 2.

3.1.2 Stádia p�sobení betonových prvk�

U železobetonových prvk�, ve kterých p�i p�sobení vn�jšího zatížení vzniká tahová oblast, závisí velikost p�etvo�ení na tom, zda v prvku vznikají �i ne-vznikají trhliny. P�i deformování prochází konstrukce t�emi stadii, ve kterých se m�ní její tuhost. Protože tuhost je veli�ina vztažená k pr��ezu, budeme sta-dia deformování konstrukce popisovat na extrémn� namáhaném pr��ezu, tj. na pr��ezu s extrémním (maximálním) zat�žovacím ú�inkem. Dále p�edpokládá-me, že je konstrukce zatížená proporcionáln� rostoucím zatížením. P�i rostou-cím zatížení prochází pr��ez následujícími stadii (obr. 9.1)1.

a) Stadium I. Nastává v po�áte�ní fázi zat�žování, kdy jsou p�etvo�ení a nap�tí v pr��ezu malá. Na p�enášení zatížení se podílí celý pr��ez. Nap�tí v daném míst� je p�ímo úm�rné jeho vzdálenosti od neutrálné osy. Celý pr��ez (tj. jak beton tak i výztuž) p�sobí pružn�. Toto stadium trvá až do okamžiku, kdy v tažených vláknech je dosaženo mezní hodnoty nap�tí, kterou je scho-pen beton p�enést. V pr��ezu je v tomto okamžiku práv� dosažena mez vzniku trhlin.

b) Stadium II. Toto stadium po�íná na mezi vzniku trhlin. P�i rostoucím zatí-žení se trhlina v pr��ezu rozši�uje a postupuje pr��ezem sm�rem od nejvíce tažených vláken blíže k neutrálné ose. V jiných pr��ezech prvku se mohou postupn� rozevírat další trhliny. Toto stadium kon�í, když je trhlinou pro-stoupena celá tažená �ást pr��ezu s výjimkou malé �ásti poblíž neutrálné osy. P�i postupném prohlubování a rozevírání trhliny od rostoucího zatížení se neutrálná osa posouvá blíže k tla�enému okraji pr��ezu. V tomto stadiu ovliv�uje tuhost pr��ezu nejen velikost tla�ené oblasti a síla p�enášená ta-ženou výztuží, ale i velikost tažené oblasti, která není prostoupena trhlinou.

− Stadium III. P�i dalším zv�tšování zatížení již dochází k postupnému zplas-tizování betonu v tla�ené oblasti, trhlina v tažené oblasti se již neprohlubuje (nepostupuje blíže k neutrálné ose). Tuhost pr��ezu je ur�ena zejména velikostí tla�ené �ásti pr��ezu (a z ní vy-plývající tlakové síly p�enášené betonem a výztuží) a velikostí síly p�enáše-né tla�enou výztuží; vliv velikosti tahové síly p�enášené betonem na tuhost pr��ezu je zanedbatelný.

Obr. 9.1 Stadia p�sobení pr��ezu;

1 Poloha pr��ezu na konstrukci je charakterizována u prutových prvk� sou�adnicí x, poloha místa v pr��ezu je ur�ena jeho y-ovou a z-ovou sou�adnicí.

Záv�r

- 53 (81) -

a) stadium I - pr��ez p�sobí pružn� b) stadium II – pr��ez v tažené �ásti �áste�n� narušený trh-

linou c) stadium III – pr��ez v tažené �ásti je zcela porušen trhli-

nou P�i výpo�tu p�etvo�ení prvk� je nutno stanovit tuhost konstrukce. Vzhledem k prom�nnosti vnit�ních sil po konstrukci, m�ní se i tuhost konstrukce. Pro zjednodušení p�edpokládáme, že

a) ve stadiu I p�sobí celý pr��ez. Závislost mezi nap�tím a p�etvo�ením je až do dosažení meze vzniku trhlin lineární – obr. 9.2.

b) po p�ekro�ení meze vzniku trhlin je tuhost pr��ezu závislá na hloubce trhli-ny (resp. na velikosti �ásti betonového pr��ezu, která není porušena trhli-nou).

Obr. 9.2 Tuhost pr��ezu; závislost mezi zatížením F a p�etvo�ením ω; Fr ú�i-nek na mezi vzniku trhlin

3.1.3 Ukázka nadpisu na t�etí úrovni

Text kapitoly…

3.1.3.1 Ukázka nadpisu na �tvrté úrovni

Text kapitoly…

3.2 Kontrola použitelnosti prvk� a konstrukcí

V závislosti na tom, v jakém prost�edí se konstrukce po dobu jejího užívání vyskytuje, jsou obvykle formulovány požadavky z hlediska vzniku, resp. ší�ky trhlin. U n�kterých konstrukcí mohou být formulovány požadavky, které p�e-depíší, že v konstrukci nemusí vzniknout trhliny v�bec; u jiných konstrukcí se vznik trhlin p�ipouští a omezuje se jejich ší�ka.

Zatím co konstrukce navrhované z hlediska mezního stavu vzniku trhlin se jednozna�n� na-chází ve stadiu 1, tak konstrukce navrhované z hlediska p�ípustné ší�ky trhlin se mohou vy-

skytovat ve stadiu 2 a 3. Výpo�et ší�ky trhlin je pom�rn� komplikovaný, proto lze dle filozo-fie EC 2 výpo�et ší�ky trhlin nahradit podmínkami ekvivalentními, kterými jsou

− mezní stav omezení nap�tí v betonu a v betoná�ské výztuži, − ur�ení minimální plochy výztuže v tažené oblasti, − omezení plochy (pr�m�ru) výztužného prutu, omezení vzdálenosti výztuž-

ných prut�. Další skupinu kritérií, které jsou z hlediska mezních stav� použitelnosti p�edepisovány, tvo�í

mezní stavy p�etvo�ení. Obvykle se kontroluje velikost p�etvo�ení konstrukce (nap�. pr�hybu,


- 54 (81) -

sto�ení, diferen�ního pr�hybu) od celkového, resp. od ur�itého konkrétního zatížení, resp. od kombinace n�kterých zatížení.

3.3 Mezní stav omezení nap�tí

Omezení nap�tí z hlediska podmínek použitelnosti se v EC2 p�edepisuje pro a) tlaková nap�tí v betonu.

Nadm�rné hodnoty tlakových nap�tí v betonu mohou v provozním stavu na konstrukci vyvolat − vznik podélných trhlin, − rozvoj mikrotrhlin v betonu, − vyšší hodnoty dotvarování. P�itom tyto jevy mohou vést ke vzniku takových stav�, které znemožní po-užívání konstrukce,

b) tahová nap�tí ve výztuži. Cílem omezení napjatosti výztuže je zamezení vzniku nadm�rného nepruž-ného p�etvo�ení výztuže (a tím i celého prvku) a zamezení vzniku širokých, trvale otev�ených trhlin v betonu.

Omezení nap�tí mohou vycházet i z jiných požadavk� na funkci a trvanlivost konstrukce. Nap�. zvýšené nároky na trvanlivost (p�ípadn� i vodot�snost) kon-strukce lze vyjád�it požadavkem, aby pro n�kterou kombinaci zatížení byl pr�-�ez namáhán požadovaným zp�sobem (nap�. celý tla�en, resp. pr��ez s omezenou hodnotou max. tahového nap�tí). Tyto požadavky jsou kladeny na konstrukce v n�kterých prost�edích, resp. speciální požadavky m�že vznést investor.

3.3.1 Modely pr��ezu pro výpo�et napjatosti

P�i výpo�tu napjatosti pr��ezu lze využít následující modely

a) pr��ez bez trhliny (pln� p�sobící pr��ez v tahu i v tlaku), b) pr��ez s trhlinou a tla�enou �ástí, c) zcela trhlinou porušený pr��ez (pr��ez bez tla�ené �ásti). Kritériem pro použití jednotlivých model� je hodnota tahového nap�tí vypo�-teného v krajních vláknech betonového pr��ezu. Výpo�et mezního stavu ome-zení nap�tí je proto nutno vždy zahájit výpo�tem napjatostí na pln� p�sobícím pr��ezu složeném z betonu a výztuže.

Uvažujme pr��ez výšky h dle obr. 9.3.1a, kde

).( 21 ss ArespA je plocha dolní (resp. horní) betoná�ské výztuže,

).( 21 drespd je vzdálenost t�žišt� plochy dolní (resp. horní) betoná�-ské výztuže od dolního (resp. horního) okraje pr��ezu.

Na obr. 9.3 je dále Cgc t�žišt� betonového pr��ezu, Cgi t�žišt� ideálního pr��e-zu; význam dalších ozna�ení je z�ejmý z p�edchozího textu a z obrázku.

Záv�r

- 55 (81) -

Obr. 9.3.1

Obr. 9.3.2

Obr. 9.3.3

Obr. 9.3 Modely betonového pr��ezu pro výpo�et napjatosti

(obr. 9.3.1 pr��ez bez trhliny – pln� p�sobící celý betonový pr��ez,

obr. 9.3.2 pr��ez s trhlinou a tla�enou �ástí,

obr. 9.3.3 celý betonový pr��ez je prostoupen trhlinou)

Základní charakteristiky ideálního pr��ezu tvo�eného betonovou �ástí pr��ezu a cmse EE /=α 2) násobkem výztuže pr��ezu dle obr. 9.3c jsou:

− plocha ideálního pr��ezu ( ) ,21 sseci AAAA ++= α

(9.1a)

2) Ecm je st�ední hodnota se�nového modulu pružnosti betonu ve stá�í 28 dní– viz Tab. 3.1 a obr. 3.14a


- 56 (81) -

− vzdálenost t�žišt� ideálního pr��ezu od horního okraje ( )[ ] ,/.. 221 isseccgi AdAdAaAa ++⋅= α

(9.1b) − moment setrva�nosti ideálního pr��ezu k jeho t�žišti

( ) ( ) ( )[ ] .222

21

2 daAadAaaAII gisgisecgicci −+−+−+= α

(9.1c) V tomto vztahu byly zanedbány momenty setrva�nosti horní i dolní výztuže k jejich t�žištím. U „obvyklých“ vyztužených pr��ez� jde o veli�iny významn� menší než jsou veli�iny ostatní než ve vztahu (9.1c).

Ve vztazích (9.1) a na obr. 9.3.1 zna�ícA plochu betonové �ásti pr��ezu,

cI moment setrva�nosti betonové �ásti pr��ezu k jeho t�žiš�ové ose,

ca vzdálenost t�žišt� betonové �ásti pr��ezu gcC od horních vláken,

1dhd −= .

P�i výpo�tu nap�tí v pr��ezu se má p�ihlížet krom� ú�ink� vn�jšího zatížení i k ú�ink�m dotvarování a smrš�ování betonu, dále pak i k jiným nep�ímým za-tížením (nap�. k ú�ink�m teploty), které mohou výsledná nap�tí v pr��ezu vý-znamn� ovlivnit.

Uvažujme zatížení pr��ezu dle obr. 9.3.1a, na kterém je p�sobící zatížení vzta-ženo k t�žišti betonového pr��ezu Cgc: kdN (obr. 9.3.1 b1) je p�sobící normálo-vá síla3) a kdM je p�sobící ohybový moment4). Pokud provedeme transformaci p�sobícího zatížení k t�žišti ideálního pr��ezu giC dle obr. 9.3.1 b3, pak zís-

káme normálovou sílu kdN a ohybový moment5)kdiM . Potom nap�tí v krajních

vláknech pr��ezu viz obr. 9.3.1 f ur�íme ze vztah� pro

− horní vlákna

,.

2i

gikdi

i

kdc I

aM

AN

−=σ

( 9.2a) − dolní vlákna

( ).

.1

i

gikdi

i

kdc I

ahM

AN −

+=σ

(9.2b) Pokud vypo�tená nap�tí spl�ují podmínky

3) Konvence p�sobící normálové síly je uvažována dle pružnosti; tlak -, tah +. 4) Je uvažována znaménková konvence ohybových moment� obvyklá v betonu i v pružnosti, tj. kladný moment vyvozuje v dolních vláknech pr��ezu tahy. 5) Je uvažována znaménková konvence ohybových moment� obvyklá v betonu i v pružnosti, tj. kladný moment vyvozuje v dolních vláknech pr��ezu tahy.

Záv�r

- 57 (81) -

effctceffctc faf ,2,1 ≤≤ σσ ,

(9.3)

pak trhliny kolmé ke st�ednici prvku vyvozené ú�inkem kdikd MN , nevznik-nou a výpo�et nap�tí lze provést s charakteristikami ideálního pr��ezu (9.1), tj. za p�edpokladu pln� p�sobícího pr��ezu v tahu i v tlaku.

Pevnost betonu v tahu effctf , je uvažována hodnotou ctmf , což je st�ední hod-

nota pevnosti betonu v tahu6), resp. flctmf , , což zna�í st�ední hodnotu pevnosti

betonu v tahu za ohybu7), za p�edpokladu, že ur�ení minimální plochy tažené výztuže bylo provedeno se stejnou hodnotou.

3.3.1.1 Pr��ez s trhlinou a tla�enou �ástí

Pokud pro nap�tí v krajních betonových vláknech vypo�tená na pln� p�sobícím pr��ezu dle vztah� (9.3) platí

02,1 � ceffctc af σσ ,

(9.4a)

resp.

01,2 � ceffctc af σσ ,

(9.4b)

je z�ejmé, že v pr��ezu vzniknou trhliny a existuje i tla�ená �ást. Pak se ur�í pro výpo�et na-p�tí charakteristiky pr��ezu za p�edpokladu, že

(p1) v tažené �ásti pr��ezu beton v tahu nep�sobí, tj. je prostoupen trhlinou,

(p2) pom�rné p�etvo�ení pr��ezu po výšce je lineární,

(p3) nap�tí v tla�ené �ásti betonového pr��ezu a ve výztuži (tažené i tla�ené) je p�ímo úm�rné p�etvo�ení pr��ezu v daném míst�; konstantou úm�rnosti je mo-dul pružností daného materiálu.

Uvažujme obecný železobetonový pr��ez dle obr. 9.3.2 a. Konvenci pro po-m�rná p�etvo�ení, nap�tí i p�sobící zatížení budeme uvažovat op�t dle pružnos-ti, jak bylo již výše uvedeno. Na pr��ez p�sobí normálová síly Nkd s výst�ed-ností kdkdkd NMe /= m��ené od t�žišt� Cgc betonové �ásti pr��ezu (viz obr. 9.3.2.b1 a 9.3.2.b2); op�t lze provést transformaci zatížení tak, aby bylo uvažo-váno k t�žišti ideálního pr��ezu Cgi – obr. 9.3.2.b3.

Z podobnosti trojúhelník� v obrazci pr�b�hu pom�rného p�etvo�ení (obr. 9.4.c) je možno odvodit

6) Hodnoty fctm viz Tab. 3.1. 7) Hodnota fctm,fl viz vztah (3.20)


- 58 (81) -

( )1 / ,s c d x xε ε= − −

(9.5a)

( )2 2 /s c x d xε ε= −

(9.5b)

a pro výslednice nap�tí v jednotlivých materiálech obr. 9.4d platí

,5,0 cmccccc EAF ε= (9.5c)

,111 ssss EAF ⋅⋅= ε

(9.5d)

;222 ssss EAF ⋅⋅= ε

(9.5e)

dále ccA je plocha tla�ené �ásti betonového pr��ezu.

Pro pr��ez na obr. 9.3.2.b2 a výslednice vnit�ních sil p�sobící v jednotlivých materiálech pr��ezu dle obr. 9.3.2.f lze psát

− podmínky rovnováhy osových sil ccsskd FFFN ++= 21 ,

(9.6a) − momentovou podmínku k hornímu okraji pr��ezu

3/221 xFdFdFeN ccsskd ⋅+⋅+⋅=⋅ , (9.6b)

kde e = ekd + ac .

Po dosazení (9.5) do (9.6) obdržíme po úprav� nelineární rovnici pro výpo�et výšky x tla�ené �ásti pr��ezu

( ) ( )

( ) ( )

21 2 2

1 2 2 2

1 16 2

0 .

s scc cc e

s se

x xe A d e A d e x

A d d e A d d e

A A αα

− + − + − − � �

− − + − = � �

Po vy�ešení velikosti tla�ené �ásti pr��ezu x z rovnice (9.7) je možno ur�it charakteristiky ideálního pr��ezu s trhlinou. Pro výpo�et charakteristik ideální-ho pr��ezu je možno použít vztahy analogické výraz�m (9.1), do kterých za plochu betonové �ásti pr��ezu Ac dosadíme plochu tla�ené �ásti betonového pr��ezu ccA .

Pro pr��ez s trhlinou pak lze ur�it

− plochu ideálního pr��ezu ( ) ,21 ssecci AAAA ++= α

(9.8a)

− vzdálenost t�žišt� ideálního pr��ezu od horního okraje ( )[ ] ,/221 cssccccgi AdAdAaAa ++= α

(9.8b)

− moment setrva�nosti ideálního pr��ezu k jeho t�žišti

Záv�r

- 59 (81) -

( ) ( ) ( )[ ] ;222

21

2 daAadAaaAII gisgisccgicccci −+−+−+= α

(9.8c)

ccI je moment setrva�nosti tla�ené �ásti betonového pr��ezu k jeho t�žišti.

Nap�tí v krajních tla�ených vláknech betonu ur�íme ze vztah�

( ) .1 ��

��

−+=

i

gigii

i

kdc I

aeaA

ANσ

(9.9a)

Nap�tí ve výztuži vypo�teme ze vztah�

( ) ,11 ei

gigii

i

kds I

daeaA

AN ασ �

�

��

−−+=

(9.9b)

( ) .1 22 e

i

gigii

i

kds I

daeaA

AN ασ �

�

��

−−+=

(9.9c)

Pokud uvažujeme železobetonový obdélníkový pr��ez dle obr. 9.4 je možno p�i odvození postupovat stejn�. Na pr��ez p�sobí normálová síly Nkd s výst�ednos-tí kdkdkd NMe /= m��ené od t�žišt� Cgc betonové �ásti pr��ezu (viz obr. 9.4.b1 a obr. 9.4.b2).

Z podobnosti trojúhelník� v obrazci pr�b�hu pom�rného p�etvo�ení (obr. 9.4.c) je možno op�t odvodit vztahy (9.5a), (9.5b). Výrazy pro výslednice nap�tí v jednotlivých materiálech dle obr. 9.4d lze získat ve tvaru (9.5c) až (9.5e); vztah (9.5c) lze ješt� upravit vyjád�ením velikosti plochy tla�ené �ásti betonu

bxAcc = .

Je nutno upozornit na skute�nost, že v obr. 9.4d jsou zakresleny skute�né ori-entace výslednic Fs1, Fs2 , Fcc 8) v jednotlivých materiálech, zatímco ve vzta-zích (9.6) a dalších do podmínek rovnováhy p�íslušná znaménka (+ pro tah, - pro tlak) generují práv� vztahy (9.5).

Pro obdélníkový pr��ez obdržíme po úprav� kubickou rovnici pro výpo�et výš-ky x tla�ené �ásti pr��ezu ve tvaru

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] .06

63

2221

22123

=−+−−

−−+−+−

eddAeddAb

xedAedAb

exx

sse

sse

α

α

8) Proto jsou v obr. 9.4d užity u tlakových sil Fs2 a Fcc absolutní hodnoty.


- 60 (81) -

Další postup výpo�tu – stanovení nap�tí v betonu a ve výztuži – je analogický jako u obecného pr��ezu; použijeme vztahy (9.9).

Obr. 9.4 Železobetonový obdélníkový pr��ez s trhlinou a tla�enou �ástí namá-

haný excentricky p�sobící normálovou silou

Pro obdélníkový železobetonový pr��ez namáhaný pouze ohybovým momen-tem Mkd 9)dle obr. 9.5 je možno sestavit pouze podmínku rovnováhy ve sm�ru osy prutu

021 =++ ccss FFF 10),

(9.11)

do které je možno dosadit ze vztah� (9.5) a (9.6). Po úpravách získáme kvadra-tickou rovnici pro výpo�et výšky x tla�ené �ásti pr��ezu

( ) ( ) ,022

221212 =+−++ dAdA

bxAA

bx ss

ess

e αα

(9.12)

jejímž �ešením lze získat velikost (výšku) tla�ené oblasti betonu

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .2

11

2

21

22121

221

2

2121

��

��

++++−+=

=++��

��

+++−=

ss

ss

ess

e

sse

sse

sse

AAdAdAb

AAb

dAdAb

AAb

AAb

x

αα

ααα

(9.13)

Moment setrva�nosti trhlinou oslabeného pr��ezu ur�íme z podmínky, že t�-žištní osa trhlinou oslabeného ideálního pr��ezu p�i namáhání ohybovým mo-mentem leží ve vzdálenosti x od horního okraje pr��ezu, ve tvaru

9)Protože pr��ez je namáhán pouze ohybovým momentem ( 0=kdN ) platí Mkd = Mkdi; Mkdi.je

moment p�sobící na pr��ez v t�žišti ideálního pr��ezu. 10) Poznámka: Znaménková konvence použitá p�i sestavení vztah� (9.8) a (9.9) umož�uje

použít, tento pro betoná�e pon�kud netradi�ní zápis, podmínky rovnováhy. Znaménko + pro tlaky a – pro tlaky vznikne ve vztahu (9.11) z podmínek podobnosti trojúhelník� v pr�b�hu prom�nných p�etvo�ení (9.10). Na obr. 9.5d je vyzna�en skute�ný smysl p�sobení výsled-nic v jednotlivých materiálech.

Záv�r

- 61 (81) -

( ) ( )[ ] .31 2

222

13 dxAxdAbxI ssei −+−+= α

(9.14)

Nap�tí extrémn� namáhaných vláken tla�eného betonu je

.xI

M

i

kdc −=σ

(9.15)

Obr. 9.5 Železobetonový obdélníkový pr��ez s trhlinou namáhaný ohybovým

momentem

3.3.1.2 Trhlinou zcela porušený pr��ez (tzv. mimost�edný tah s malou výst�ed-ností)

Pokud na obou okrajích taženého pr��ezu platí

effctceffctc faf ,2,1 �� σσ (9.16)

je pr��ez po celé výšce prostoupen trhlinou. Jedná se o namáhání mimost�ed-ným tahem s malou výst�edností a ideální pr��ez pro výpo�et nap�tí ve výztuži je tvo�en pouze výztuží – obr. 9.3.3.

Charakteristiky ideálního pr��ezu v tomto p�ípad� pak jsou

− plocha ideálního pr��ezu ( ) ,21 ssei AAA ++= α

(9.17a)

− vzdálenost t�žišt� ideálního pr��ezu od horního okraje ( )1 2 2. . / ,gi e s s ia A d A d Aα= +

(9.17b)


( ) ( )2 2

1 2 2 .i e s gi s giI A d a A a dα = − + −� ��

(9.17c)

Nap�tí ve výztuži se pak ur�í ze vztah� a) p�i namáhání normálovou silou Nkd p�sobící s výst�edností ekd = Mkd/Nkd

vztaženou k t�žišti betonové �ásti pr��ezu Cgc

( )1 1 ,gikds i gi e

i i

a dNA a e

A Iσ α

− = + −� �

� �

(9.18a)


- 62 (81) -

kde e = ekd + ac ,

b) p�i namáhání ohybovým momentem Mkd

( ) ,1 xdI

M

i

kdes −= ασ

(9.19a)

( ) .22 xdI

M

i

kdes −= ασ

(9.19b)

Pokud na obou okrajích taženého pr��ezu platí

effctceffctc faf ,2,1 �� σσ (9.16)

je pr��ez po celé výšce prostoupen trhlinou. Jedná se o namáhání mimost�ed-ným tahem s malou výst�edností a ideální pr��ez pro výpo�et nap�tí ve výztuži je tvo�en pouze výztuží – obr. 9.3.3.

Charakteristiky ideálního pr��ezu v tomto p�ípad� pak jsou

− plocha ideálního pr��ezu ( ) ,21 ssei AAA ++= α

(9.17a)

− vzdálenost t�žišt� ideálního pr��ezu od horního okraje ( )1 2 2. . / ,gi e s s ia A d A d Aα= +

(9.17b)


( ) ( )2 2

1 2 2 .i e s gi s giI A d a A a dα = − + −� ��

(9.17c)

Nap�tí ve výztuži se pak ur�í ze vztah�c) p�i namáhání normálovou silou Nkd p�sobící s výst�edností ekd = Mkd/Nkd

vztaženou k t�žišti betonové �ásti pr��ezu Cgc

( )1 1 ,gikds i gi e

i i

a dNA a e

A Iσ α

− = + −� �

� �

(9.18a)

kde e = ekd + ac ,

d) p�i namáhání ohybovým momentem Mkd

( ) ,1 xdI

M

i

kdes −= ασ

(9.19a)

( ) .22 xdI

M

i

kdes −= ασ

(9.19b)

Záv�r

- 63 (81) -

3.3.2 Omezení tlakových nap�tí v betonu

Pokud tlaková nap�tí v betonu p�ekro�í ur�itou kritickou hodnotu, mohou v betonové konstrukci vzniknout podélné trhliny, které mohou vést ke snížení trvanlivosti konstrukce. Pokud se neu�iní jiná opat�ení (nap�. zv�tšení krycí vrstvy podélné tla�ené výztuže nebo omezení p�í�ných p�etvo�ení p�í�nou vý-ztuží) je vhodné u konstrukcích nacházejících se v t�ídách prost�edí XD, XF a XS (viz Tab. 3.3) splnit podmínku

σ ≤c ckk f1/ / , (9.20)

kde ckf je charakteristická hodnota pevnosti betonu v tlaku, cσ je nap�tí betonu v tlaku p�i charakteristické kombinaci zatížení, k1 je sou�initel, jehož hodnota bude udána v Národní p�íloze EN 1992-1-1 – doporu�ená hodnota je 0,6.

Lineární dotvarování betonu lze uvažovat, pokud nap�tí betonu v tlaku spl�uje podmínku 11)

c ckk f2/ / ,σ ≤ (9.21)

kde nap�tí cσ je stanoveno pro charakteristickou kombinaci zatížení, k2 je sou�initel, jehož hodnota bude udána v p�íloze EN 1992-1-1 – doporu�ená hodnota je 0,45.

3.3.3 Omezení nap�tí ve výztuži

Tahové nap�tí ve výztuži se omezuje proto, aby v d�sledku trvalých nepruž-ných pom�rných p�etvo�ení výztuže nevznikaly v prvcích široké, trvale otev�e-né trhliny nebo nadm�rná p�etvo�ení.

Pro charakteristickou kombinaci zatížení se kontrolují podmínky

s ykk f3σ ≤ ;

(9.22a)

je-li nap�tí ve výztuži vyvozeno vynuceným p�etvo�ením, je možno použít podmínku

s ykk f4σ ≤ ,

(9.22b)

kde nap�tí sσ je stanoveno pro charakteristickou kombinaci zatížení, k3 a k4

jsou sou�initele, jejichž hodnoty budou udány v p�íloze EN 1992-1-1 – dopo-ru�ené hodnoty jsou 0,8 a 1,0, fyk je charakteristická hodnota meze kluzu beto-ná�ské výztuže.

St�ední hodnota nap�tí v p�edpínací výztuži má spl�ovat podmínku

p pkk f5σ ≤ ;

(9.23) 11) V opa�ném p�ípad� je nutno uvažovat nelineární creep.


- 64 (81) -

kde nap�tí pσ je stanoveno pro charakteristickou kombinaci zatížení, k5 je sou-

�initel, jehož hodnota bude udána v p�íloze EN 1992-1-1 – doporu�ená hodno-ta je 0,75, fpk je charakteristická hodnota tahové pevnosti p�edpínací výztuže.

3.4 Mezní stav trhlin

Trhliny v betonových konstrukcích mohou mít – zejména v p�ípadech trhlin širokých a dlouhodob� rozev�ených – limitující vliv na trvanlivost a životnost konstrukce. Trhliny vznikají bu� p�sobením p�ímého zatížení, nebo vynuce-ným p�etvo�ením, resp. kombinací obou zp�sob�.

Trhliny v železobetonových konstrukcích namáhaných ohybem, smykem, kroucením nebo tahem12) jsou v�tšinou nevyhnutelné (tedy jsou v betonových konstrukcích vesm�s obvyklé). P�itom ší�ka trhlin závisí na vyztužení (tj. na množství výztuže, velikosti a vzdálenosti profil� výztužných prut�, na druhu výztuže), na pevnosti betonu v tahu, na soudržnosti výztuže a betonu, na krytí (tj. na tlouš�ce krycí vrstvy) a uspo�ádání výztuže na rozm�rech prvku a na jeho namáhání. Ší�ka trhliny w na povrchu betonu se m�ní v závislosti na vzdá-lenosti místa s trhlinou od výztužných prut� – viz obr. 9.6.

Obr. 9.6 Ší�ka trhliny v závislosti na vzdálenosti od výztužných prut� (schéma-

ticky)

EN 1992-1-1 vychází z filosofie, že

− není možné p�esn� stanovit ší�ku trhliny (zejména s ohledem na rozptyl tahové pevnosti betonu a soudržnost výztuže s betonem) pomocí jednodu-chých vztah�,

− znalost p�esné ší�ky trhliny není pro trvanlivost betonové konstrukce vý-znamná,

a proto norma považuje za ú�eln�jší stanovit zásady uspo�ádání výztuže pro zamezení vzniku širokých trhlin než komplikovan� stanovit ší�ku trhliny vý-po�tem.

Cílem návrhu konstrukce z hlediska mezního stavu ší�ky trhlin je zajistit, že trhliny nezhorší použitelnost a trvanlivost konstrukce. Posouzení lze provést dv�ma zp�soby:

12) Tato namáhání mohou být vyvolána bu� silovým zatížením nebo vnucenými deformacemi.

Záv�r

- 65 (81) -

− p�ímým výpo�tem ší�ky trhlin a kontrolou podmínky spolehlivosti, která vyjad�uje, že ší�ka trhliny nep�estoupí p�edepsanou, resp. dohodnutou hod-notu,

− dodržením jistých doporu�ení (konstruk�ních zásad). Konstruk�ní zásady pro dostate�né vyztužení pr��ezu, velikost profil� a vzdálenost vložek jsou formulovány tak, že jejich d�sledkem je zajišt�ní dostate�né spolehlivosti konstrukce dle mezního stavu ší�ky trhlin. P�itom se ší�ka trhlin nepo�ítá.

EN 1992-1-1 se nezabývá trhlinami, které mohou vzniknout od jiných jev� než je p�ímé zatížení a vynucená p�etvo�ení, tj. nap�. trhlinami vyvolanými plastic-kým smrš�ováním, resp. chemickými reakcemi v tvrdnoucím betonu.

P�i odvození pokyn� pro stanovení minimálního množství a uspo�ádání výztu-že se vychází z doporu�ených hodnot maximální ší�ky trhliny wmax – viz Tab. 9.1.

Pokud nejsou kladeny na konstrukci speciální požadavky z hlediska omezení jejich trhlin (nap�. vodot�snost), lze p�edpokládat, že limitní ší�ky trhlin uvede-né pro kvazistálou (resp. �astou) kombinaci zatížení budou zajiš�ovat pro že-lezobetonové prvky (resp. pro p�epjaté prvky) dostate�nou spolehlivost se z�e-telem na jejich vzhled a trvanlivost.

Tab. 9.1 Doporu�ená ší�ka trhliny wmax [mm]

železobetonové, p�edpjaté s nesoudržnou výztuží

p�edpjaté se soudržnou výztuží

T�ída prost�edí kvazistálá kombinace zatížení �astá kombinace zatížení

XO, XC1

XC2, XC3, XC4

XD1, XD2, XS1 až XS3

0,4*)

0,3

0,3

0,2

0,2**)

dekomprese***)

*) V prost�edí XO a XC1 nemá ší�ka trhlin vliv na trvanlivost konstrukce; tato limitní hodnota zajiš�uje p�ijatelný vzhled. Pokud nejsou kladeny požadavky na vzhled, ne-ní nutno ší�ku kontrolovat

**) V t�chto t�ídách prost�edí m�že být zaveden požadavek dekomprese pro kvazistálou kombinaci

***) Dekompresí je ozna�ován požadavek, že veškerá soudržná p�edpínací výztuž leží min. 25 mm v tla�ené �ásti betonu

3.4.1 Vznik a ší�ka trhlin

Závislost mezi p�sobícím zatížením a pom�rným p�etvo�ením výztuže obdél-níkového železobetonového symetricky vyztuženého centricky taženého prutu je zakreslena na obr. 9.7.


- 66 (81) -

Obr. 9.7 Pom�rné p�etvo�ení výztuže u centricky taženého prutu

V prvku nevzniknou trhliny až do dosažení pevnosti betonu v tahu; p�sobící zatížení má velikost NI a odpovídá mu p�etvo�ení výztuže εI . Do tohoto okamžiku se prvek nachází ve stavu I, p�sobí plný ideální pr��ez tvo�ený ta-ženým betonem a výztuží s plochou Ai .

Po dosažení tahové síly I i ctmN A f= vzniknou primární trhliny. V míst� trhliny již neplatí rovnost mezi pom�rným p�etvo�ením výztuže a betonu; mimo trhli-nu, kde je zachována soudržnost mezi betonem a výztuží je rovnost pom�rných p�etvo�ení betonu a výztuže zachována. Vzdálenost mezi primárními trhlinami je velká – obr. 9.8a. Mezi trhlinami spolup�sobí na p�enášení zatížení tažený beton i výztuž; v míst� trhliny je nap�tí v betonu rovno nule a veškeré tahové síly p�enáší pouze výztuž.

Po vzniku primárních trhlin dochází ke snížení tuhosti taženého prvku, nebo� tažený beton v míst� trhlin nep�sobí. P�i zachování zhruba stejné hodnoty zatí-žení se za�ínají rozvíjet sekundární trhliny (obr. 9.7 a 9.8).

Fáze rozvoje trhlin je ukon�ena v bod� ( )IIIIIIN ,, ; ε dle obr. 9.7.

P�i dalším zvyšování zatížení již dochází ke zvyšování napjatosti ve výztuži, spolup�sobení betonu s výztuží mezi trhlinami se p�i rostoucím zatížení zmen-šuje. Napjatost a p�etvo�ení výztuže nar�stá až dosažení meze skluzu výztuže (bod ( )yyN ε, na obr. 9.7. Vzhledem k rostoucímu zatížení klesá podíl �ásti

zatížení p�eneseného mezi trhlinami taženými betonem; závislost mezi zatíže-ním a p�etvo�ením se p�ibližuje teoretickému stavu p�sobení prvku II, ve kte-rém se již spolup�sobení taženého betonu mezi trhlinami neuvažuje.

Podobným zp�sobem by bylo možno popsat chování železobetonového ohýba-ného prvku u taženého okraje; jednotlivá stadia p�sobení prvku z hlediska vzniku a rozvoje trhlin by byla obdobná.

Záv�r

- 67 (81) -

Obr. 9.8 Centricky tažený symetrický železobetonový prvek

a) stav po vzniku primárních trhlin b) stadium ukon�eného rozvoje trhlin

Charakteristická ší�ky trhliny wk se vypo�ítá ze vztahu

( ) ,max, cmsmrk sw εε −=

(9.24)

kde max,rs je maximální vzdálenost, smε je st�ední hodnota pom�rného p�etvo-

�ení výztuže p�i dané kombinaci zatížení (v�etn� zahrnutí vlivu vnucených de-formací a tahového zpevn�ní), cmε je st�ední hodnota p�etvo�ení betonu mezi trhlinami.

EN 1992-1-1 umož�uje použít pro ur�ení rozdíl� pom�rných p�etvo�ení výztu-že a betonu vztah

( ) ;11

,,

,

��

��

+−=− effpe

effp

effctts

scmsm

fk

Eρα

ρσεε

(9.25)

s omezením

./6,0 sscmsm Eσεε ≥− (9.26)

Ve vztazích (9.25) a (9.26) zna�í

sσ nap�tí v tažené výztuži vypo�tené na pr��ezu porušeném trhlinou,

/e s cmE Eα = pom�r modul� pružnosti výztuže a výztuže,

( ) effcpseffp AAA ,2

1, /ξρ += je ú�inný stupe� vyztužení efektivní tažené oblasti

betonu effcA , ,

Ap je plocha p�edpínací výztuže (u železobetonových nep�edpjatých prvk� je Ap = 0 ),


- 68 (81) -

effcA , je plocha betonu obklopující taženou výztuž o výšce

( ) ( ){ } ,2/,3/,5,2min, hxhdhh effc −−=

tk sou�initel vyjad�ující vliv doby trvání zatížení ( 6,0=tk pro krátkodobé zatížení; 4,0=tk pro dlouhodobé zatížení).

Význam dalších symbol� je patrný z obr. 9.9, ξ1 je upravený pom�r soudržnos-ti betonu a výztuže zohled�ující r�zné pr�m�ry p�edpínací a betoná�ské výztu-že (viz vysv�tlivka za vztahem (9.32).

Obr. 9.9 Efektivní tažená plocha betonu Ac,eff , typické p�íkla-

dy a) nosník (nosníková deska, deska) b) tažený prvek

Maximální vzdálenost trhlin s r,max m�že být ur�ená ze vztah�

a) v p�ípadech, kdy vzdálenost prut� tažené výztuže soudržných s betonem je malá, tj. kdy podle EN 1992-1-1 platí ( )2/5 φ+≤ cs , pak

effpr kkkcks ,4213max, / ρφ+⋅= upr.

(9.27a)

Hodnoty sou�initel� k3 a k4 definuje národní p�íloha; doporu�ené hodnoty jsou k3 = 3,4 a k4 = 0,425.

b) pro p�ípad výztuže soudržné s betonem ve vzdálenostech ( )2/5 φ+� cs , resp. pro p�ípad nesoudržné výztuže v tažené zón�

( ),3,1max, xhsr −=

(9.27b)

c) pro st�ny vystavené teplotnímu namáhání, u kterých vodorovná výztuž ne-spl�uje podmínku minimální výztuže dané vztahem (10.30) a u kterých je spodní �ást spojena monoliticky s d�íve provedeným základem, m�že být uvažováno

,3,1max, Hsr =

(9.27c)

kde H je výška st�ny.

Ve vztazích (9.27) zna�í

φ pr�m�r výztuže; pokud je v pr��ezu použito n1 vložek pr�m�ru φ1, n2 vložek pr�m�ru φ2 atd., pak se ve vztahu (9.27a) použije ekvivalentní

Záv�r

- 69 (81) -

pr�m�r vložky ( ) ( ) ,..../.... 2211

222

211 ++++= φφφφφ nnnn

c krytí výztuže,

k1 sou�initel vyjad�ující vliv soudržnosti výztuže; k1=0,8 pro výztuž s velkou soudržností (za výztuž s velkou soudržností je uvažována výztuž s žebírkovým povrchem); k1=1,6 pro výztuž s hladkým povrchem, tj. nap�. p�edpínací výztuž,

k2 sou�initel vyjad�ující vliv rozd�lení pom�rného p�etvo�ení po výšce pr��e-zu. Platí

k2 = 0,5 pro ohyb; k2 = 1,0 pro prostý tah; ( ) 1212 2/ εεε +=k pro p�ípad mimost�edného tahu, resp.místního namáhání; ε1 (resp. ε2) je v�tší (resp. menší) tahové p�etvo�ení okraj� pr��ezu vypo�tené pro trhlinami porušený pr��ez,

k3, k4 sou�initele, jejichž hodnota bude uvedena v národní p�íloze, doporu�ené hodnoty jsou 3,4 a 0,425,

h výška prvku a x je velikost tla�ené oblasti.

V p�ípad�, že úhel �, který svírá sm�r hlavních nap�tí a sm�r výztuže u prvk� vyztužených ve dvou navzájem kolmých sm�rech je v�tší než 15o, vypo�te se maximální vzdálenost trhlin ze vztahu

,sincos

1

max,,max,,

max,

zryr

r

ss

s θθ +=

(9.28)

kde jrs max,, je vzdálenost trhlin vypo�tená pro sm�r j= y, z dle (9.27).

3.4.2 Omezení ší�ky trhlin bez p�ímého výpo�tu

Cílem omezení ší�ky trhlin je zajišt�ní takového stavu konstrukce, aby nedošlo v d�sledku existence trhlin k omezení životnosti a trvanlivosti konstrukce, resp. ke zhoršení jejího estetického p�sobení. P�itom u železobetonových konstrukcí namáhaných ohybem, tahem, smykem nebo kroucením nelze bez zvláštních opat�ení zabránit vzniku trhlin. Ší�ku trhlin lze na p�ijatelnou míru omezit do-držením ur�itého minimálního množství výztuže, která je soudržná s betonem. P�itom je nutno kontrolovat pr�m�r prut� výztuže a jejich vzdálenost.

3.4.2.1 Ur�ení nejmenší pr��ezové plochy betoná�ské výztuže

Minimální množství soudržné výztuže v tažené oblasti m�že být stanoveno z podmínky rovnosti tahové síly p�enášené betonem t�sn� p�ed vznikem trhliny a tahové síly p�enášené výztuží po vzniku trhliny. P�itom nap�tí ve výztuži m�že být uvažováno hodnotou nap�tí na mezi kluzu fyk, nebo menší, pokud to je nutné z hlediska omezení ší�ky trhlin.

P�itom nap�tí ve výztuži σs po vzniku trhliny je možno uvažovat hodnotou nap�tí na mezi kluzu (resp. menší – pokud je to nutné z hlediska omezení ší�ky trhlin).


- 70 (81) -

Pro obdélníkový pr��ez namáhaný

a) ohybovým momentem platí dle obr. 9.10a za p�edpokladu ramene vnit�ních sil z = 0,85 h

,.4,0 ,effctctss fAA =σ

(9.29a) b) dost�edným tahem (obr. 9.10b)

.. ,effctctss fAA =σ

(9.29b) Ve vztazích (9.29) je Act pr��ezová plocha taženého betonu p�ed vznikem trhliny, effctf , pevnost betonu v tahu v okamžiku vzniku trhlin, As pr��ezová

plocha výztuže a σs nap�tí ve výztuži.

Obr. 9.10 Ur�ení minimální pr��ezové plochy betoná�ské výztuže pro pr��ez namáhaný

a) ohybovým momentem, b) dost�edným tahem

EN 1992-1-1 uvádí pro výpo�et minimální plochy výztuže min.sA vztah

scteffctcs AfkkA σ/... ,min, = ,

(9.30)

který je velmi podobný již odvozeným vztah�m (9.29). Ve vztahu (9.30) krom� již zavedených symbol� ve vztazích (9.29) zna�í

kc je sou�initel vyjad�ující vliv rozd�lení nap�tí p�ed vznikem trhliny a zm�nu ramene vnit�ních sil; uvažuje se

- prostý tah je 0,1=ck , - pro obdélníkové pr��ezy namáhané ohybem nebo excentricky p�sobící

normálovou silou

( ) ,1*/

14,0 ,1

≤��

��

−= effct

cc f

hhkk

σ

(9.31a)

- pro p�íruby kom�rkových a T-pr��ez�

Záv�r

- 71 (81) -

,

0,9 0,5crc

ct ct eff

Fk

A f= ≥ ,

(9.31b)

σc st�ední nap�tí betonu p�sobící na pr��ez ( ) ,/ bhN Edc=σ

EdN osová síla p�sobící na pr��ez, která je ur�ená z charakteristických hodnot p�edp�tí a osových sil v uvažované kombinaci zatížení (tlaková síla má v tomto vztahu kladné znaménko),

*h náhradní výška prvku ( )mhpromhmhprohh 0,10,1*;0,1* ≥= = ,

k1 sou�initel vyjad�ující vliv osových sil na rozložení nap�tí ( 5,11 =k , je-li

EdN tlaková; ( )hhk 3/*21 = , je-li EdN tahová síla),

Fcr je absolutní hodnota tahové síly v p�írub� t�sn� p�ed vznikem trhliny vyvolané momentem na vzniku trhlin ur�eným nap�tím v taženém beto-nu o hodnot� fct,eff,

k sou�initel vystihující vliv nerovnom�rného rozd�lení vlastních rov-novážných nap�tí od vynucených p�etvo�ení, která vedou k redukci omezujících sil

1,0k = pro žebra s h 300 mm nebo p�íruby ší�ky menší než 300 mm,

0,65k = pro žebra s h 800 mm nebo p�íruby ší�ky v�tší než 800 mm,

pro mezilehlé hodnoty m�že být použito lineární interpolace.

Nap�tí σs je maximální nap�tí ve výztuži, kterém p�ipustíéme okamžit� po vzniku trhliny. M�že být uvažováno jako mez kluzu fyk ; menší hodnoty σs mu-sí být použity, pokud vyplynou z kritéria použitého pr�m�ru výztuže nebo ze vzdálenosti mezi vložkami.

Soudržná p�edpjatá výztuž v tažené zón�, která leží ve vzdálenosti menší nebo rovné 150 mm od t�žišt� p�edpínací výztuže m�že být zapo�tena do výztuže podílející se na omezení trhlin. Vztah (9.30) pak p�ejde do tvaru

( ) ,/1,min, sppcteffetcs AAfkkA σσξ ∆−=

(9.32)

kde Ap je plocha soudržné p�edpínací výztuže (p�edem nebo dodate�n� p�ed-pjaté), která leží uvnit� efektivní tažené plochy betonu,

Ac,eff (viz obr. 9.9),

ξ1 ps φφξ /.= je upravený pom�r soudržnosti betonu a výztuže, zohled-

�ující rozdílné pr�m�ry betoná�ské a p�edpínací výztuže; p�i použi-tí pouze soudržné p�edpínací výztuže regulující ší�ku trhlin je ξ1

ξ= .


- 72 (81) -

ξ pom�r soudržnosti p�edpínací a betoná�ské výztuže podle tab. 9.2 p�evzaté z EN 1992-1-1 [9],

φs nejv�tší pr�m�r betoná�ské výztuže, φp je ekvivalentní pr�m�r p�edpínací výztuže, který se uvažuje φp = 1,6 �Ap pro svazky p�ed-pínací výztuže o ploše Ap, φp = 1,75 (1,20) φwire pro 7 (3) drátová lana s pr�m�rem drátu φwire,

∆σp zm�na nap�tí v p�edpínací výztuži vyvolaná p�etvo�ením betonu od zatížení.

Tab. 9.2 Upravený pom�r ξ soudržnosti p�edpínací a betoná�ské výztuže

ξ

dodate�n� p�edpjatá P�edpínací výztuž p�edem p�edpja-tá ≤ C50/60 ≥ C70/85

Hladké pruty a dráty nepoužívat 0,3 0,15 Lana 0,6 0,5 0,25 Dráty s vtisky 0,7 0,6 0,3 Žebírkové pruty 0,8 0,7 0,35 Poznámka: Pro mezilehlé hodnoty mezi C 50/60 a C 70/85 lze interpolovat.

3.4.2.2 Kontrola pr�m�ru výztuže

Ší�ku trhliny lze vypo�ítat ze vztahu (9.24), ze kterého po dosazení (9.25) z (9.27a) získáme

( ),3 1 2 4 ,

, ,

1 1ct effsk t e p eff

p eff s p eff

fw k c k k k k

Eσφ α ρ

ρ ρ� �

= + − +� � � �� .

(9.33)

Omezíme-li se na železobetonové prvky obdélníkového pr��ezu ší�ky b platí

( ) ./ ,, effcseffp hbA ⋅=ρ

(9.34)

Geometrický stupe� vyztužení ρh je definován jako podíl plochy výztuže As a plochy pr��ezu

( )hbAsh ⋅= /ρ . (9.35)

Efektivní stupe� vyztužení lze vyjád�it úpravou (9.39) a (9.40) ve tvaru

effcheffp hh ,, /⋅= ρρ .

(9.36)

Dosazením (9.34) až (9.37) do (9.33) je možno ur�it pr�m�r výztuže φ ve tvaru

Záv�r

- 73 (81) -

21,

,

,

,

425,01

4,3

11

kkhh

c

hh

hh

fk

wE

effch

effche

effch

effctts

ks ρ

ραρ

σ

φ

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−

��

�

��

�

��

��

�⋅+

⋅−

=

(9.37)

Pokud do vztahu (9.37) dosadíme fct,eff = 2,9 MPa, budeme uvažovat výztuž s velkou soudržností a dlouhodobé zatížení, pak pro zvolenou ší�ku trhliny wk a nap�tí ve výztuži σs získáme funk�ní závislost mezi pr�m�rem výztuže a geometrickým stupn�m vyztužení

( ) ,hρφφ = (9.38)

která pro p�ípad prostého ohybu i dost�edného tahu symetricky vyztuženého prutu má zhruba stejné minimum φmin ; samoz�ejm� minima je dosaženo pro r�zné stupn� vyztužení ρh. Hodnota φmin v závislosti na ší�ce trhliny wk a uva-žovaném nap�tí ve výztuži p�edstavuje maximální p�ípustný profil výztuže, který p�i napjatosti σs zajistí trhlinu ší�ky wk .

Hodnoty maximálních p�ípustných pr�m�r� prut� φs*zajiš�ujících ší�ku trhlin

v požadovaných mezích jsou uvedeny v tab.9. 3.

Poznámka: P�i stanovení hodnot v tabulce byly užity pro výpo�et následující hodnoty:

c = 25 mm;. fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5; h – d = 0,1 h;

k1 = 0,8; k2 = 0,5; k3 = 3,4; k4 = 0,425; kt = 0,4; kc = 0,4; k = 1,0; a k´ = 1,0 ?.

Podle EN 1992-1-1 je možno maximální pr�m�r prutu φ*s uvedený v Tab. 9.3

upravit, tj. v konstrukci lze použít pruty o pr�m�ru φs dle vztah�

( )

),(9,2

,29,2

*,

*,

taženýpr��ezcelý

touexcentricimaloustahemnamáhánídh

hkf

ohybemnamáháníprodh

hkf

scrceffct

scrceffct

s

φ

φ

φ

−⋅

−

=

(9.39)


- 74 (81) -

kde h je výška pr��ezu, hcr je výška tažené zóny bezprost�edn� p�ed vznikem trhliny od kvazistálé kombinace zatížení.

Tab. 9. 3 Maximální pr�m�ry prut� pro zajišt�ní dostate�né spolehlivosti kon-

strukce z hlediska ší�ky trhlin wk

Maximální pr�m�r prutu φs*

[mm] Nap�tí ve výztuži

σs [MPa] wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm

160

200

240

280

320

360

400

450

40

32

20

16

12

10

8

6

32

25

16

12

10

8

6

5

25

16

12

8

6

5

4

-

3.4.2.3 Kontrola vzdálenosti prut� výztuže

Pokud uvažujeme obdélníkový pr��ez výšky h s výztuží o pr�m�ru φ v jedné vrstv� ve vzdálenosti s je možné ur�it geometrický stupe� vyztužení

( )2 / 4h shρ πφ= ,

(9.40)

ze kterého lze vypo�ítat vzdálenost výztuže

( )hs hρπφ 4/2= . (9.41)

Dosadíme-li do vztahu (9.46) za pr�m�r φ ze vztahu (9.42) získáme závislost mezi vzdáleností výztuže s , nap�tím výztuže sσ , ší�kou trhliny wk , výškou pr��ezu h.

EC2 uvádí tabulku maximálních vzdáleností prut� pro zajišt�ní dostate�né spolehlivosti z hlediska ší�ky trhlin – Tab. 9.4.

Tab. 9.4 Maximální vzdálenost prut� pro zajišt�ní dostate�né spolehlivosti konstrukce z hlediska ší�ky trhlin

Maximální vzdálenost výztuže s [mm]] Nap�tí ve výztuži

σs [MPa] wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm

160 300 300 200

Záv�r

- 75 (81) -

200

240

280

320

360

300

250

200

150

100

250

200

150

100

50

150

100

50

-

-

Pozn.: P�i stanovení hodnot v tabulce byly uvažovány stejné hodnoty jako v poznámce v odst. 9.4.2.2.

3.4.2.4 Postup p�i kontrole trhlin bez p�ímého výpo�tu

V p�edchozích odstavcích byly nazna�eny zp�soby odvození pro ur�ení mini-mální plochy výztuže v tažené oblasti, pro stanovení maximálního profilu a vzdálenosti výztuže.

Pokud provádíme posouzení konstrukce z hlediska ší�ky trhlin bez jejího p�í-mého výpo�tu, je možno postupovat podle následujících bod�

(1) u železobetonových nebo p�edepjatých desek a u prvk� namáhaných ohy-bem bez významných osových sil, není nutno provád�t žádné posouzení, pokud výška desky nep�ekro�í 200 mm a pokud byly dodrženy konstruk�ní zásady týkající se vzdálenosti výztužných prut� apod., jak je uvedeno v 4.8.

(2) pokud je dodrženo minimální množství výztuže dle vztahu (9.30) a budou-li dodrženy následující zásady, trhliny nebudou ovliv�ovat spolehlivost a použitelnost konstrukce.

a) Pokud jsou trhliny p�evážn� vyvolány vynucenými p�etvo�eními, sta�í provést kontrolu maximálního pr�m�ru výztuže dle Tab. 9.3. P�itom σs je hodnota nap�tí ve výztuži ur�ená bezprost�edn� po vzniku trhliny.

b) Jsou-li trhliny vyvolány p�evážn� zatížením, kontroluje se jak maxi-mální pr�m�r výztuže (Tab. 9.3), tak i maximální vzdálenost výztuže (Tab. 9.4). Nap�tí ve výztuži σs je ur�eno od uvažované kombinace za-tížení na trhlinami porušeném pr��ezu.

Je nutno poznamenat, že potencionální nebezpe�í vzniku širokých trhlin je zejména v pr��ezech, kde dochází k náhlým zm�nám napjatosti, tj. v pr��ezech (a v jejich blízkosti) kde

a. p�sobí koncentrované zatížení (osam�lá b�emena), b. je výztuž stykována (curtailed), c. jsou velká nap�tí v soudržnosti, d. dochází k náhlé zm�n� rozm�r� pr��ezu.

V t�chto pr��ezech je nutno minimalizovat náhlé zm�ny stavu napjatosti. Po-kud ale jsou dodrženy konstruktivní zásady popsané v kapitolách 8 a 9 EC2 (resp. v odstavcích 4.8, 5.5, 5.6 a 5.7.3 tohoto skripta) lze obvykle považovat požadavky na odolnost proti trhlinám za spln�né.

Kritéria pro kontrolu trhlin vyvolaných posouvající silou se považují za spln�-ná, pokud jsou dodrženy konstruktivní zásady popsané v odst. 9.2.2, 9.2.3, 9.3.2 a 9.4.3 EC2, (resp. 9.4.2.1 až 9.4.2.3, a 5.5 a 5.6 tohoto skripta).


- 76 (81) -

U p�edem p�edpjatých prvk�, kde je omezení ší�ky trhlin provád�no zejména p�edpjatou soudržnou výztuží, mohou být Tab. 9.2 a 9.3 použity; nap�tí ve vý-ztuži σs ur�íme jako rozdíl celkového nap�tí ve výztuži a p�edp�tí.

Pro dodate�n� p�edpjaté prvky, u kterých je omezení ší�ky trhlin zajišt�no zejména betoná�skou výztuží, mohou být Tab. 9.2 a 9.3 použity rovn�ž; nap�tí ve výztuži se ur�í se zapo�tením vlivu p�edpínání.

U nosník� vyšších než 1000 mm, u kterých je hlavní nosná výztuž soust�ed�na pouze v malé �ásti prvku, musí být provedena dodate�ná povrchová výztuž omezující trhliny, resp. zabra�ující odlupování krycí vrstvy betonu – obr. 9.11. Množství povrchové výztuže nesmí být menší než min,sA vypo�tené dle (9.30)

s hodnotami k = 0,5 a yks f=σ . Vzdálenosti prut� a profil dodate�né povr-

chové výztuže lze získat z Tab. 9.3 a 9.2 za p�edpokladu dost�edného tahu a nap�tí ve výztuži rovnému polovin� nap�tí σs ur�eného pro hlavní výztuž.

Obr. 9.11 Povrchová výztuž trámu

3.5 Mezní stav p�etvo�ení

P�etvo�ení prvku nebo konstrukce musí být takové, aby nep�ízniv� neovliv�o-valo ani funk�nost ani vzhled.

Mezní hodnoty p�etvo�ení mají brát v úvahu povrch a funkci konstrukce, její povrchové úpravy (omítky, podhledy, atd.), p�í�ky a zp�sob upevn�ní. V EC2 jsou uvedeny jen orienta�ní hodnoty mezních p�etvo�ení:

a) Kritérium obecné použitelnosti: Pr�hyb p�i kvazistálém zatížení nemá p�ekro�it 1/250 vzdálenosti podpor. Pro omezení pr�hybu m�že být použito nadvýšení; velikost nadvýšení bed-n�ní by nem�la p�ekro�it 1/250 rozp�tí.

b) Kritérium pr�hybu po zabudování prvku. Pr�hyb po zabudování (provedení) prvku by nem�l p�estoupit hodnotu 1/500 rozp�tí p�i kvazistálé kombinaci zatížení. Ostatní omezení by m�la být uvažována v závislosti na náchylnosti k porušení p�ipojených prvk�. Toto kritérium je formulováno s ohledem na možné poškození p�ipojených �ástí konstrukce.

Tato kritéria byla odvozena z ISO 4356 a m�la by zajistit dostate�nou spolehli-vost (použitelnost) v objektech využívaných pro ú�ely bydlení, kancelá�e, ve-�ejné budovy nebo továrny.

Další omezení, která jsou kladena na projektovanou konstrukci by m�la vyply-nout z požadavk� investora a závisí nap�íklad také na technologii instalované v objektu, resp. na požadavku zabrán�ní nesprávné funkce objektu nebo jeho

Záv�r

- 77 (81) -

�ástí. Nap�. m�že jít o požadavek správného odvodn�ní plochých st�ech (za-brán�ní shromaž�ování vody, která nem�že odtéct z místa s nadm�rnými de-formacemi).

Ov��ení mezního stavu p�etvo�ení m�že být provedeno

a) bez výpo�tu p�etvo�ení. Používají se jednodušší metody založené nap�. na ov��ení štíhlosti prvku,

b) výpo�tem p�etvo�ení a srovnáním vypo�tených hodnot s p�ípustnými limit-ními hodnotami.

Tyto limitní hodnoty by m�l zejména definovat uživatel (s výjimkou kritérií obecné použitelnosti a pr�hybu po zabudování prvk� – viz úvod tohoto odstav-ce.

V p�ípad�, že prvek nespl�uje podmínky kritéria ohybové štíhlosti, je nutno provést posouzení výpo�tem. Provedeným výpo�tem m�že být prokázána po-žadovaná spolehlivost konstrukce.

3.5.1 P�ípady, ve kterých lze od výpo�tu p�etvo�ení upustit

U betonových desek a nosník�, které spl�ují podmínku ohybové štíhlosti

ddl λ≤ ,

(9.42)

se p�edpokládá, že jsou spln�na kritéria obecné použitelnosti a pr�hybu po za-budování prvku. Ve vztahu (9.42) zna�í l rozp�tí prvku, d ú�innou výšku pr��ezu a dλ vymezující ohybovou štíhlost

=dλ ,321 dtabccc λκκκ ⋅⋅⋅ (9.43)

kde

,121

5,111

12,35,111 ,

2/3

,

oo

cko

ck

oo

cko

ck

tabd

proffK

proffK

ρρρρ

ρρρ

ρρρρ

ρρ

λ

��

��

′+

′−+

≤��

��

��

��

�−++

=

(9.44)

K je sou�initel závislý na statickém schématu konstrukce a na poloze pr��ezu,

ve kterém je posuzováno p�etvo�ení, 310−⋅= cko fρ , ( )dbA provs /,=ρ je

geometrický stupe� vyztužení tahovou výztuží v extrémn� namáhaném pr��ezu konstrukce (uprost�ed pole pro nosníky, ve vetknutí pro konzolu), provsA , je

plocha výztuže v extrémn� namáhaném pr��ezu o rozm�rech b a h , ρ′ = stu-pe� vyztužení takovou výztuží v extrémn� namáhaném pr��ezu, κc1 je sou�ini-tel závislý na tvaru pr��ezu (κc1 = 0,8 pro T pr��ezy s pom�rem ší�ky p�íruby k ší�ce žebra v�tší než 3; κc1 = 1,0 v ostatních p�ípadech), κc2 sou�initel závis-lý na rozp�tí (κc2 = 7/l pro l >7,0 m; κc2 = 1,0 pro l ≤ 7,0 m),


- 78 (81) -

reqs

provs

yksc A

A

f ,

,3

500310 == �ρ

κ sou�initel nap�tí tahové výztuže σs v extrémn� na-

máhaném pr��ezu p�i �asté kombinaci provozního zatížení, reqsA , pr��ezová

plocha výztuže v pr��ezu pot�ebná k p�enesení extrémního momentu.

Hodnoty ohybové štíhlosti tabd ,λ vypo�tené pro beton C 30/37, nap�tí σs = 310

MPa, stupn� vyztužení ρ = 1,5% a ρ = 0,5% a doporu�ené hodnoty sou�initele K jsou uvedeny v Tab.9.5.

Tab. 9.5 Vymezující ohybové štíhlosti tabd ,λ a sou�initel K

Nosná konstrukce K ρ = 1,5% ρ = 0,5%

Prost� podep�ený nosník, prost� podep�ená deska (nosná v jednom a ve dvou sm�rech)

1,0

14

20

Krajní pole spojitého nosníku nebo desky nosné v jednom sm�ru, krajní pole desky nosné ve dvou sm�rech, spojité ve sm�ru kratšího rozp�tí

1,3

18

26

Vnit�ní pole spojitého nosníku nebo desky nosné v jednom nebo ve dvou sm�rech

1,5

20

30

Deska lokáln� podep�ená 1,2 17 24

Konzola 0,4 6 8

3.5.2 Výpo�et p�etvo�ení

P�i výpo�tu p�etvo�ení je nutno uvažovat − takové zat�žovací kombinace, které jsou p�im��ené posuzované situaci, − výstižné chování konstrukce p�i p�íslušném zatížení (tj. v p�ípad�, že

vzniknou trhliny v konstrukci, je nutno respektovat jejich vliv na tuhost konstrukce).

3.5.2.1 Závislost mezi nap�tím a p�etvo�ením u betonových prvk�

Na obr. 9.12 je zakreslena závislost mezi nap�tím σs výztuže a pr�m�rným p�etvo�ením výztuže u centricky taženého nebo ohýbaného prvku. Pokud p�so-bící zatížení (osová síla Nkd, resp. ohybový moment Mkd) p�ekro�í hodnotu silového ú�inku na mezi vzniku trhlin (osovou sílu Nr , resp. moment Mr), za�nou vznikat první trhliny a tuhost prvku se za�ne snižovat.

P�etvo�ení prvku vzr�stá, dochází k zahuš�ování trhlin (tato situace již byla podrobn�ji popsána v p�edchozím textu − viz odst. 9.4.1).

Pr�m�rné pom�rné tahové p�etvo�ení smε lze vyjád�it jako rozdíl pom�rného p�etvo�ení výztuže v trhlin� 2sε a pom�rného p�etvo�ení výztuže sε∆ , které vyjad�uje vliv spolup�sobení betonu mezi trhlinami

Záv�r

- 79 (81) -

.2 sssm εεε ∆−= (9.45)

Experimenty bylo ov��eno, že platí

,2

max,s

srss σ

σεε ∆=∆

(9.46)

kde srσ je nap�tí ve výztuži p�i dosažení meze trhlin vypo�tené za p�edpokla-du, že beton v tahu nep�sobí; 2sσ je nap�tí ve výztuži vyvozené na trhlinami porušeném pr��ezu od uvažovaného zatížení a

;12max, rsrss εεε −=∆

(9.47)

další ozna�ení je patrné z obr. 9.12.

Obr. 9.12 Závislost mezi nap�tím σs a pr�m�rným p�etvo�ením tažené výztu-že smε

Pokud zvážíme platnost vztah� dle obr. 9.12

,//

,//

211

222

ssrsrs

ssrsrs

σσεεσσεε

==

(9.48)

které dosadíme do (9.45), získáme po úprav�

( ) ,1 12 sssm εξεξε −+⋅= (9.49)

kde

( ) ./1 2ssr σσξ −=

(9.50)

3.5.2.2 Model dle EN 1992-1-1

EN 1992-1-1 zavádí pro p�evážn� ohýbané prvky ve kterých vzniknou trhliny model, který umož�uje predikci chování ve tvaru


- 80 (81) -

( ) ;1 III αξαα −+= (9.51)

α je hledaná deforma�ní veli�ina (nap�. pom�rné p�etvo�ení, pooto�ení nebo k�ivost), αI (resp. αII ) je hodnota deforma�ní veli�iny stanovená za p�edpo-kladu pln� p�sobícího trhlinami neporušeného pr��ezu (resp. za p�edpokladu trhlinami pln� porušené konstrukce), ξ je sou�initel vystihující tahové zpevn�ní

( ) ,/1 2ssr σσβξ −=

(9.52)

β je sou�initel vyjad�ující vliv doby nebo opakování zatížení (β = 1,0 pro jed-norázové krátkodobé zatížení; β = 0,5 pro dlouhodob� p�sobící nebo opakova-ná zatížení). Nap�tí sσ a srσ mají stejný význam jako v p�edchozím odstavci.

Závislost mezi ohybovým momentem Mkd a p�etvo�ením a je zakreslena na obr. 9.13.

Obr. 9.13 Závislost mezi ohybovým momentem Mkd a p�etvo�ením a

Celkové deformace, které zahrnují i vliv deformací vyvolaných dotvarováním betonu mohou být vypo�teny použitím efektivního modulu pružností betonu

( ) ,,1,

o

cmeffc t

EE

∞+=

ϕ

(9.53)

kde ( )ot,∞ϕ je sou�initel dotvarování.

K�ivost od smrš�ování csr/1 je možno stanovit ze vztahu

IS

r ecscs

αε=1,

(9.54)

Záv�r

- 81 (81) -

kde csε je pom�rné p�etvo�ení betonu vyvolané smrš�ováním, ,/ ,effcs EE=α S

statický moment pr��ezové plochy výztuže k t�žišti pr��ezu, I moment setrva�-nosti pr��ezu.

Pokud se o�ekává vznik trhlin ur�í se pom�r S/I dle vztahu

( )ξξ −+= 1I

I

II

II

IS

IS

IS

,

(9.55)

který je analogický obecnému vztahu (9.51).

prvky betonovÝch konstrukcÍlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/skripta... · pozn.: u...

Documents