pružnost a plasticita ii cd03 · pružnost a plasticita ii cd03 luděk brdečko _____ vut v brně,...
TRANSCRIPT
Pružnost a plasticita II
CD03
Luděk Brdečko _________________________________________________________
VUT v Brně, Fakulta stavební,
Ústav stavební mechaniky
tel: 541147368
email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz
http://www.fce.vutbr.cz/STM/brdecko.l/html/distcz.htm
Obsah předmětu
• 1. přednáška
spolehlivost konstrukcí
výpočtové modely
základní veličiny pružnosti
základní vztahy pružnosti
nelineární pružnost
• 2. přednáška
těleso (základní veličiny a vztahy)
prut (základní veličiny a vztahy)
• 3. přednáška
Rovinný problém - stěny (základní veličiny a vztahy)
desky (základní veličiny a vztahy)
skořepiny
• 4. přednáška
metody řešení – přesné, přibližné
variační metody – Ritzova metoda, Metoda konečných prvků
Rovinný problém
0
z
v
z
u
• 2D model konstrukce
• 2 rozměry výrazně větší než třetí
• střednicová plocha je rovinná
zatížení a okrajové podmínky působí
ve střednicové rovině
Předpoklady odvození:
deformace a napětí ve střednicové rovině xy se ve směru z kolmém na tuto rovinu
nemění
všechny veličiny jsou funkcí xy
0
z
v
z
u
0
y
w
x
ww
Rovinný problém
• Důsledky předpokladů
0
z
v
0
y
w
0
x
w
0
z
u
0
x
w
z
uzx
0
z
v
y
wyz 0 yzyz G
0 zxzx G
Rovinný problém
• napětí ve stěně
Rovinný problém
• dvě varianty fyzikálních vztahů
1. rovinná napjatost
- deformace v příčném směru není omezena
- napětí vzniká pouze v rovině střednice
- typickým příkladem je běžná stěna
2. rovinná deformace
- je zamezen posun bodů ve směru kolmém na střednici
- deformace vzniká pouze v rovině střednice
- použije se pro výseky dlouhých prizmatických konstrukcí jako jsou opěrné zdi,
tunely apod.
- pokud jsou okrajové podmínky konstantní ve směru z lze tímto způsobem
redukovat 3D na 2D
Rovinný problém
• dvě varianty fyzikálních vztahů
• rovinná napjatost
• rovinná deformace
Rovinný problém
• dvě varianty fyzikálních vztahů
• rovinná napjatost
• rovinná deformace
Rovinný problém
• Rovinná napjatost
• pouze složky napětí ležící v rovině xy jsou nenulové
• není bráněno deformaci v příčném směru nevzniká žádné napětí
• vektor napětí má tedy tvar
• dosazením vektoru napětí do fyzikálních vztahů
Txyyx 0,0,,0,,
C
0z
• se obdrží vektor deformace
• deformace v příčném směru z je způsobena vlivem Poissonova součinitele a
vzniká působením normálových napětím ve střednicové rovině
• deformaci z je možno vyjádřit dodatečně, ale při výpočtu se s ní nepracuje
Rovinný problém
0
0
0
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
1
xy
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
Txyzyx 0,0,,,,
0)( yxzE
Rovinný problém
• zbylé tři rovnice lze zapsat pomocí matice poddajnosti
• matice tuhosti se získá inverzí [D]=[C]-1
)1(2
100
01
01
1 2
ED
)1(200
01
011
EC
Txyyx ,,
Txyyx ,,
C
D
Rovinný problém
• Rovinná deformace
• pouze složky deformace ležící v rovině xy jsou nenulové
• posun bodů ve směru osy z je nulový nevzniká žádná deformace v tomto směru
• vektor deformace má tedy tvar
• dosazením vektoru deformace
do fyzikálních vztahů
0
z
wz
Txyyx 0,0,,0,,
D
• se obdrží vektor napětí
• napětí v příčném směru je způsobeno vlivem Poissonova součinitele
• napětí z je možno vyjádřit dodatečně, ale při výpočtu se s ním nepracuje
Rovinný problém
Txyzyx 0,0,,,,
0)()21)(1(
yxz
E
0
0
0
)21(2
100000
0)21(2
10000
00)21(2
1000
0001
0001
0001
)21)(1( xy
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
Rovinný problém
• zbylé tři rovnice lze zapsat pomocí matice tuhosti
• matice poddajnosti se získá inverzí [D]=[C]-1
Txyyx ,,
Txyyx ,,
C
D
1
200
011
01
1
1 2
EC
)21(2
100
01
01
)21)(1(
ED
Rovinný problém
• geometrické vztahy
• získají se redukcí prostorových vztahů pro rovinu xy
• maticový zápis
u - T
y
u
x
vxy
x
ux
y
vy
xy
yx
//0
/0/
Tyx uuu , Txyyx ,,
Rovinný problém
• diferenciální podmínky rovnováhy
• získají se redukcí prostorových vztahů do roviny xy
• maticový zápis
kde X = { X, Y}T
je vektor objemových sil
0
X
yx
yxx
0
Y
yx
yxy
0 X
xy
yx
//0
/0/
Txyyx ,,
Rovinný problém
• vnitřní síly ve stěně
• předpoklad konstantního rozložení napětí a deformace po tloušťce stěny
• vnitřní síly jsou definovány na jednotku délky řezu
• jednotkou je kN/m
• t ... je tloušťka desky
tn xx
tn yy
tn xyxy
Rovinný problém
• Rekapitulace veličin
• vektor napětí
• vektor deformace
• vektor přemístění
• Rekapitulace vztahů
• diferenciální podmínky rovnováhy (2)
• fyzikální vztahy (3)
nebo
• geometrické vztahy (3)
Txyyx ,,
Txyyx ,,
C D
u - T
Tyx uuu ,
0 X
Desky
• Definice
• 2D model konstrukce
• 2 rozměry výrazně větší než třetí
• střednicová plocha je rovinná
• zatížení a okrajové podmínky působí kolmo ke střednicové rovině
Desky
• Předpoklady odvození
• Kirchhofova (tenká) deska – technická teorie desek
• body střednicové roviny se v této rovině neposunují
• normálové napětí a deformace ve směru normály ke střednicové rovině se zanedbají
• body na normále ke střednici zůstávají po deformaci v přímce, která je kolmá k
ohybové ploše
• Mindlinova (tlustá) deska
• body střednicové roviny se v této rovině neposunují
• normálové napětí a deformace ve směru normály ke střednicové rovině se zanedbají
• body na normále ke střednici zůstávají po deformaci v přímce, která není kolmá k
ohybové ploše
• Rozdíl pojetí
• u tlusté desky se uvažuje vliv smyku na průhyb desky, deformace od smykového
působení způsobí změnu úhlu mezi ohybovou plochou a původní normálou ke
střednicové ploše.
Desky
• napětí v desce
Desky
• vnitřní síly v desce
Desky
• podmínky rovnováhy
• silová SFz,i=0
• momentové
SMy,i=0
SMx,i=0
0
p
y
v
x
v yx
0
x
xyyv
y
m
x
m
0
x
xyx vy
m
x
m
Desky
• geometrické vztahy - ohyb
zzxx
zuz mx
y
x
)()(
x
y
mx
zzyy
zvz my
xy
)()(
y
xmy
zzxyx
v
y
ux mxy
xy
xy
)(
xy
xy
mxy
Desky
• geometrické vztahy – vliv smyku
vxydx
dw
yvxdx
dw
xvydy
dw
vyxdy
dw
Desky
• Fyzikální podmínky - ohyb
• každá vrstva ve stavu rovinné napjatosti:
kde je tzv. desková tuhost
dzzE
dzzm
h
h
xy
h
h
yy
2
2
2
2
21
mxmyy Dm
dzzE
dzzm
h
h
xy
h
h
xyxy
2
2
2
2
2 2
)1(
1
mxyxy Dm
2
)1(
mymxx Dm
yxx
E
21
xyy
E
21
xyxy
E
)1(
1 2
)1(12 2
3
EhD
dzzE
dzzm
h
h
yx
h
h
xx
2
2
2
2
21
Desky
• fyzikální podmínky - smyk
• platí obdobné vztahy jako pro prut
• průřez je obdélník -> redukovaná smyková plocha:
• vztahy jsou odvozeny na základě energetických podmínek
2.1
AA
2
2
h
h
zxx dzv
2
2
h
h
yzy dzv
vxx
Ghv
2.1
vyy
Ghv
2.1
VV
AGGAV
2,1
Desky
• Mindlinova deska (s vlivem smyku) versus Kirchhofova deska
• u Kirchhofovy desky zanedbáváme vliv smyku na průhyb a uvažujeme
• normála ke střednici, zůstává po deformaci normálou k ohybové ploše
• fyzikální podmínky pro měrné posouvající síly a zkosení ztrácí význam
• dosazením za a vyloučením se získají nové geom. pod.
x
y
mx
2
2
x
wmx
2
2
y
wmy
y
xmy
yx
w
xy
w
xy
xy
mxy
22
xy
wmxy
2
2
yvxdx
dw
dx
dwy
xvydy
dw
dy
dwx
Gh 0 vyvx
v
vxx
Ghv
2.1 vyy
Ghv
2.1
Desky
• rekapitulace veličin / vztahů - Mindlinova – tlustá deska (s vlivem smyku)
• měrné vnitřní síly
• deformace průřezu
• přemístění
podmínky statické podmínky geometrické podmínky fyzikální
yxw ,,
0
p
y
v
x
v yx
0
x
xyyv
y
m
x
m
0
x
xyx vy
m
x
m
x
y
mx
y
xmy
xy
xy
mxy
yvxdx
dw
xvydy
dw
mxmyy Dm
mxyxy Dm
2
)1(
mymxx Dm
vxx
Ghv
2.1
vyy
Ghv
2.1
yxxyyx vvmmm ,,,,
vyvxmxymymx ,,,,
Desky
• rekapitulace veličin / vztahů - Kirchhofova – tenká deska (bez vlivu smyku)
• měrné vnitřní síly
• deformace průřezu
• přemístění
podmínky statické podmínky geometrické podmínky fyzikální
yxxyyx vvmmm ,,,,
w
0
p
y
v
x
v yx
0
x
xyyv
y
m
x
m
0
x
xyx vy
m
x
m
mxmyy Dm
mxyxy Dm
2
)1(
mymxx Dm
2
2
x
wmx
2
2
y
wmy
xy
wmxy
2
2
mxymymx ,,
Desky
• Tenká deska – vnitřní síly vyjádřené pomocí průhybů
2
2
2
2
y
w
x
wDmx
2
2
2
2
x
w
y
wDmy
yx
wDmxy
2
1
mxmyy Dm
mxyxy Dm
2
)1(
mymxx Dm
2
2
x
wmx
2
2
y
wmy
xy
wmxy
2
2
Desky
• Desková rovnice
2
2
2
2
y
w
x
wDmx
2
2
2
2
x
w
y
wDmy
yx
wDmxy
2
1
0
p
y
v
x
v yx
0
x
xyyv
y
m
x
m
0
x
xyx vy
m
x
m
D
p
y
w
yx
w
x
w
4
4
22
4
4
4
2
Desky
02
yx
w
• Okrajové podmínky - vetknutí
0w
0y
012
yx
wDmxy
0xym
0
y
wx
0
x
wy
0w
0y
Desky
2
2
2
2
y
w
x
wDmx
• Okrajové podmínky – prosté podepření
zbývá vyřešit kroutící momenty (převedou se do posouvajících sil na hraně)
0w
0xm
0w 02
2
y
wx
02
2
x
w
0xym
Desky
• Okrajové podmínky – prosté podepření
• Kroutící moment na délce Dy
• nahrazený dvojicí sil
• rozdíl sousedních sil
• pomocí Taylorova rozvoje
• přírůstek síly vyjádřený na jednotku délky
• se přidá k posouvajícím silám na hraně
(doplněná posouvající síla)
y
mvv
xy
xx
ymM xyD
xymy
MF
D
ixyixyii mmFFF ,1,1 D
yy
mymy
y
mymymyymmmF
xy
xy
xy
xyxyxyixyixy D
D
DD )()()()(,1,
y
m
y
Fv
xy
x
D
DD
Desky
• Okrajové podmínky – volný okraj
0xm
0xm
0xv
0xym
0xv
0xym
02
2
2
2
y
w
x
wDmx
y
mvv
xy
xx
Desky
• rohové síly
• dvojice sil od kroutících momentů se v rozích nevyruší, ale sečtou, vznikne rohová
síla
• pokud nejsou rohy desky uchyceny, zvedají se, zvýší se momenty v poli a průhyby
• pokud jsou uchyceny vznikají v rozích kroutící momenty
xymA 2
Deskostěna
• 2 rozměry výrazně větší než třetí
• střednicová plocha je rovinná
• zatížení a okrajové podmínky působí obecně
• měrné vnitřní síly – definované na jednotku délky řezu
• membránové
• - od konstantního průběhu napětí po tloušťce (obdoba stěnového chování)
• ohybové
• - od lineární ho průběhu napětí po tloušťce a příčného smyku (obdoba deskového
chování)
yxxyyx vvmmm ,,,,
xyyx nnn ,,
• vnitřní síly
Deskostěna
Skořepiny
• 2 rozměry výrazně větší než třetí
• střednicová plocha není rovinná
• zatížení a okrajové podmínky působí obecně
• Technická teorie tenkých skořepin: (tloušťka, rozměry)
(poloměry křivosti)
• měrné vnitřní síly – definované na jednotku délky řezu
• membránové
𝑛𝑥 , 𝑛𝑦, 𝑛𝑥𝑦, 𝑛𝑦𝑥
• - od konstantního průběhu napětí po tloušťce (obdoba stěnového chování)
• ohybové
𝑚𝑥 , 𝑚𝑦, 𝑚𝑥𝑦, 𝑚𝑦𝑥 , 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦
• - od lineární ho průběhu napětí po tloušťce a příčného smyku (obdoba deskového
chování)
• Oblý tvar u dobře navržené skořepiny zajišťuje výrazně membránové působení –
efektivní využití materiálu – štíhlé konstrukce
yx LLh ,
yx rrh ,
Skořepiny
• vnitřní síly