prova scritta di meccanica analitica 20 settembre...

Prova scritta di Meccanica Analitica17 gennaio 2020

1) In un piano verticale, un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza ` e libera di ruotare attorno al suoestremo fisso O, origine di un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Una seconda asta BC, identica allaprima, ha il punto medio M vincolato a scorrere sulla prima asta e si mantiene sempre ortogonale ad essa.Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul punto M agisce una forza elastica sempre verticale di coefficientek > 0 e polo sull’asse x. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema;

2. discuterne la stabilita;

3. trovare le posizioni di equilibrio di confine;

4. scrivere le equazioni del moto.

O

y

x

k

A

m, ℓ

ξ

M

B

C

m, ℓ

ϑ

2) Si calcoli la matrice d’inerzia della lamina piana rappresentata in figura rispetto al sistema di riferimentoindicato (l’asse z e ortogonale al piano del foglio). La massa della lamina e 2m.

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ

Prova scritta di Meccanica Analitica20 settembre 2019

1) Un’asta AB di massa m e lunghezza 2` e libera di ruotare attorno al proprio estremo A, che scorresull’asse orizzontale di un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. All’estremo B e vincolata una secondaasta BC, uguale alla prima, che puo ruotare liberamente attorno a B e ha l’estremo C anch’esso vincolatoa scorrere sull’asse x.Su tutto il sistema agisce la forza peso; inoltre sull’estremo A agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 epolo l’origine, mentre sull’estremo comune B agisce una forza elastica sempre verticale di coefficiente k > 0e polo sull’asse x. Supposti i vincoli lisci e posto λ = mg

k` , si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema al variare di λ;

2. discuterne la stabilita in funzione di λ;

3. determinare l’energia cinetica del sistema;

4. scrivere la lagrangiana linearizzata attorno a una posizione di equilibrio stabile..

x

A

B

C

k

m, 2ℓm, 2ℓ

O

D

y

k

ξ

ϑ

2) La lamina piana rappresentata in figura e formata da due corone circolari tangenti esternamente, unadi raggi R, 2R e l’altra di raggi 2R, 3R. Se ne calcoli la matrice d’inerzia rispetto al sistema di riferimentoindicato (l’asse z e uscente dal foglio), sapendo che la massa totale della figura e m.

2R, 3R

R, 2R


1) Una lamina quadrata OABC omogenea di massa m e lato ` e libera di ruotare attorno al suo vertice fissoO, origine di un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Al vertice B della lamina opposto ad O e agganciatoil vertice di una seconda lamina quadrata BDEF , identica alla prima, che puo ruotare liberamente attornoa B.Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul vertice B agisce una forza elastica sempre verticale di coefficientek > 0 e polo sull’asse x. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:




4. scrivere le equazioni del moto.

A

C

B

ϕ

k

m, ℓ

O

D

m, ℓ

E

F

D

y

x

ϑ

2) La lamina piana rappresentata in figura e formata da otto triangoli emiequilateri (ovvero con gli angoli di30, 60, 90) uguali, ognuno di massa m e ipotenusa 2`. Se ne calcoli la matrice d’inerzia rispetto al sistemadi riferimento indicato (l’asse z e uscente dal foglio).

x

y

Prova scritta di Meccanica Analitica12 luglio 2019

I) In un sistema piano, una lamina quadrata omogenea ABCD di lato ` e massa m scorre lungo un’astaomogenea PQ di massa m e lunghezza 2`, in modo che il lato AB sia sempre contenuto nell’asta (A nonpuo oltrepassare P e B non puo oltrepassare Q). L’asta PQ e libera di ruotare attorno al suo baricentro,che e fissato nell’origine O di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto medio del lato AB della lamina quadrata agisceuna forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto O. Si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema al variare del parametro meccanico λ =mg

k`;

2. discutere la stabilita di tali posizioni;

3. trovare le eventuali posizioni di equilibrio di confine;

4. scrivere la lagrangiana del sistema.

C

D

A

B

E

O

x

y

m, 2ℓ

m, ℓ

ξ

ϑ

P

Q

(Nota: il disegno non e in scala)

II) Un corpo rigido e formato da tre aste omogenee: AB di massa 2m e lunghezza 2`, BC e BD ognuna dimassa m e lunghezza

√2`, disposte come in figura.

• Si determini il valore dell’angolo α in modo che l’ascissa del baricentro del corpo rigido valga xG =5

4`.

• Per quel valore di α, si trovi la matrice d’inerzia del corpo rigido rispetto al sistema di riferimentoindicato.

C

D

α

α B A

y

x

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 14 giugno 2019

I) Un lamina circolare omogenea di raggio R e massa m rotola senza strisciare sull’asse z di unsistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, ed e libera di ruotare attorno a tale asse.Sul centro G della lamina agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto E di coordinate(0, R, 0).Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita. Si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio del sistema e discuterne la stabilita;

2. determinare le equazioni differenziali del moto del sistema;

3. scrivere la lagrangiana approssimata attorno alla posizione di equilibrio stabile.

ϑ

ξx

z

yE

m,R

k

G

II) Un corpo rigido piano e formato da un’asta OA di lunghezza 2R, massa m e densita linearecrescente da O verso A e da un semidisco di massa m e raggio R, disposti come in figura.Se ne determini la matrice d’inerzia nel sistema di riferimento indicato.

O

A

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 31 maggio 2019

I) Un lamina quadrata omogenea ABCD di lato 2` e massa m e libera di ruotare attorno al suo latoAB, che scorre sull’asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz.Sul vertice D della lamina agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto E dicoordinate (2`, 0, 0).

Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita. Supposti i vincoli lisci e posto λ =mg

k`, si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio del sistema;

2. discuterne la stabilita in funzione del parametro meccanico λ;

3. determinare la lagrangiana del sistema;

4. scrivere la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile.

O

x

y

z

k

ϑ

ξA

C

D

BE

2ℓ

m, 2ℓ

II) Un corpo rigido piano e formato da:

• un’asta AB di massa m e lunghezza ` con densita quadratica crecente da A verso B;

• due triangoli emiequilateri omogenei, ognuno di massa m, con base comune OB.

Sapendo che O e il baricentro dell’asta, si determini la matrice d’inerzia del corpo rigido nel sistemadi riferimento indicato.

A BO

Prova scritta di Meccanica Analitica1 febbraio 2019

I) In un piano verticale, un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza 2` e vincolata a ruotareattorno all’estremo O. Nell’estremo A e vincolato il vertice di una lamina quadrata omogeneaABCD di massa m e lato `, libera di ruotare attorno ad A. Sull’estremo A agisce una forza elasticaverticale di coefficiente k > 0 e polo H sull’asse x di un sistema di riferimento cartesiano ortogonaleOxyz. Inoltre tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita.Supposti i vincoli lisci, ponendo λ = mg/k`, si chiede di:



3. determinare la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile.

k

O

ϑ

C

B

D

A

H

ℓ,m

ϕ

2ℓ,m

II) Si calcoli la matrice d’inerzia della lamina piana omogenea della figura, formata da due quadrati,ognuno di massa m e lato `, rispetto al sistema indicato. Si calcoli poi il momento d’inerzia rispettoall’asse tratteggiato.

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello dell’11 gennaio 2019

I) In un piano verticale, un’asta omogenea OA di massa 2m e lunghezza 2` e vincolata a ruotareattorno all’estremo O. Nel punto medio B di OA e vincolato l’estremo di una seconda asta omogeneaBC, di massa m e lunghezza `, libera di ruotare attorno a B. Sull’estremo libero C agisce una forzaelastica verticale di coefficiente k > 0 e polo D sull’asse x di un sistema di riferimento cartesianoortogonale Oxyz. Inoltre tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita.Supposti i vincoli lisci, ponendo λ = mg/k`, si chiede di:



3. discuterne la stabilita nel caso λ = 3;

4. sempre nel caso λ = 3, scrivere le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizionedi equilibrio stabile.

C

k

O D

B

A

ℓ,m

ϕ

ϑ 2ℓ, 2m

II) Si calcoli la matrice d’inerzia della lamina piana omogenea della figura, formata da due trian-goli equilateri, rispetto al sistema indicato. Si calcoli poi il momento d’inerzia rispetto all’assetratteggiato.

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 14 settembre 2018

I) Un lamina quadrata omogenea ABCD di lato ` e massa m e libera di ruotare attorno al suolato AB, che scorre sull’asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz.

Sul vertice D della lamina agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto E dicoordinate (0, 0, `).

Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:


2. discuterne la stabilita in funzione dei parametri meccanici;



O

k

x

y

z

A

C

D

B

ℓ

E

m, ℓ

II) Un corpo rigido AOBC e formato da tre aste omogenee AO, OB, BC, tutte di massa me lunghezza `, perpendicolari tra loro e disposte come in figura. Se ne calcoli la matrice d’inerziarispetto al sistema di riferimento indicato.

O

x

z

Ay

B

C


I) Un corpo rigido piano e formato da due aste AB e BC, entrambe di massa m e lunghezza `,saldate ad angolo retto. Tale corpo si muove in modo che l’asta AB scorra sull’asse y di un sistemadi riferimento cartesiano ortogonale Oxyz. Inoltre il corpo puo ruotare attorno all’asse y.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sull’estremo C della seconda asta agisce una forzaelastica di polo l’origine e coefficiente k > 0. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:



3. scrivere le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile.

O

ϑk

ξ A

B

C

II) Data la trasformazione Q =q

p

√kp2 − 1

P = k√kp2 − 1

si trovino i valori di k ∈ R per cui essa e canonica. Nei casi affermativi si trovi poi una funzionegeneratrice del tipo F2(q, P ).

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 6 luglio 2018

1) Sia dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy in un piano verticale. Unalamina quadrata omogenea di massa m e lato ` e libera di ruotare attorno al suo vertice A, chescorre sull’asse verticale. Sulla lamina agisce la forza peso e sul vertice C opposto ad A agisce unaforza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine O.

Supposti i vincoli lisci, si chiede di:


2. discuterne la stabilita al variare del parametro mgk` ;

3. determinare l’energia cinetica del sistema e mostrare che la matrice dell’energia cinetica einvertibile;

4. discutere l’esistenza di integrali primi del moto.

m, ℓ

k

x

y

A

B

C

D

O

ϑ

2) Una lamina piana omogenea di massa m e formata da quattro triangoli rettangoli di cateti`, 2` disposti come in figura. Se ne calcoli la matrice d’inerzia nel sistema di riferimento indicato(l’asse z e perpendicolare al foglio).

Prova scritta di Meccanica Analitica15 giugno 2018

I) In un sistema piano, una lamina quadrata omogenea ABCD di lato√

2` e massa m ruota attornoal suo centro G, il quale si muove su una guida circolare di centro O e raggio 2`.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul vertice A della lamina agisce una forza elasticadi coefficiente k > 0 e polo il punto O. Si chiede di:


2. discuterne la stabilita in funzione del parametro meccanico λ =mg

kR;

3. scrivere la lagrangiana del sistema;

4. scrivere l’equazione delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile.

O

A

BD

m,√2ℓ

2ℓ

C

ϕ

ϑ

G

II) Si calcoli la matrice d’inerzia del corpo rigido in figura rispetto al sistema di riferimento indicato.Il corpo e formato da un’asta AB omogenea di massa m e raggio 4` e da una semicirconferenzaomogenea di massa m e raggio `.

A

O

B

x

y

Prova scritta di Meccanica Analitica1 giugno 2018

I) In un sistema piano, un disco omogeneo di raggio R e massa m ruota senza strisciare lungo un’astaomogenea AB di massa m e lunghezza 10R. L’asta AB e libera di ruotare attorno al suo baricentro,che e fissato nell’origine O di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul centro C del disco agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 e polo il punto D di coordinate

(0, mg

k

). Si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema in funzione del parametro meccanico

λ =mg

kR;



4. scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni differenziali del moto.

B

O

A

m,R

mgk

D

m, 10R

ϑ

k

C

II) Un corpo rigido e formato da tre aste omogenee, ognuna di massa m e lunghezza `, dispostecome in figura (le aste sono mutuamente perpendicolari). Se ne trovi la matrice d’inerzia rispetto alsistema di riferimento indicato.

Prova scritta di Meccanica Analitica2 febbraio 2018

I) Una circonferenza materiale di raggio R e massa m e libera di ruotare attorno a un suo punto,fissato nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Un punto materiale P di massam scorre sula circonferenza materiale.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto P agisce una forza elastica verticale conpolo sull’asse x e coefficiente k > 0. Considerando tutti i vincoli lisci, si chiede di:



kR;


P,m

O

k

R,m

ϑ

ϕ

II) Un corpo rigido piano omogeneo di massa m ha la forma disegnata in figura. Se ne calcoliil baricentro e la matrice d’inerzia rispetto al sistema di riferimento indicato (l’asse z non erappresentato).

Prova scritta di Meccanica Analitica12 gennaio 2018

1) Un corpo rigido formato da una circonferenza materiale di raggio R e massa m e libero di traslarein verticale, in modo che un suo diametro resti sempre sull’asse y di un sistema di riferimentocartesiano ortogonale. Un punto materiale P di massa m scorre sula circonferenza materiale.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto P agisce una forza elastica con polonell’origine e coefficiente k > 0. Considerando tutti i vincoli lisci, si chiede di:



kR;

3. scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni differenziali del moto;

4. scrivere le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile.

P,m

R,m

k

O

2) Una corpo rigido piano omogeneo e formato da tre aste, due di lunghezza 2` e una di lunghezza`, disposte come in figura. Sapendo che la massa totale del corpo rigido e m, se ne calcoli la matriced’inerzia rispetto al sistema di riferimento indicato (l’asse z non e rappresentato).


1) Un corpo rigido e formato da due aste omogenee OA, AB, ognuna di lunghezza 2` e massa m,saldate ad angolo retto nell’estremo comune A. Il corpo e libero di ruotare in un piano verticale e ilpunto O e fisso nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Sull’asta AB scorrepoi un punto P di massa trascurabile.

Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto P agisce una forza elastica verticalecon polo sull’asse orizzontale e coefficiente k > 0. Considerando tutti i vincoli lisci, si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema e discuterne la stabilita;

2. trovare le eventuali posizioni di equilibrio di confine del sistema;


P

k

A

B

O

2ℓ,m

2ℓ,m

C

2) Una lamina piana omogenea e formata da un semidisco di raggio R e massa m saldato a unrettangolo di lati R, 2R. Se ne calcoli la matrice d’inerzia rispetto al sistema di riferimento in figura(l’asse z non e rappresentato).

x

y

O

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello dell’8 settembre 2017

1) Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’asse orizzontale di unsistema di riferimento piano Oxy. Un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 4R ha l’estremoA vincolato al centro del disco ed e libera di ruotare attorno ad esso.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e sull’estremo B dell’asta agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 e polo il punto O. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:

(a) trovare le posizioni di equilibrio del sistema;

(b) discuterne la stabilita in funzione del parametro meccanico adimensionale λ =mg

kR;

(c) determinare la lagrangiana del sistema.

O

y

x

km, 4R

m,R

B

A

2) Una lamina piana omogenea e formata da due semicerchi di raggi R, 2R disposti come in figura.Sapendo che la massa della lamina vale 5m, se ne calcoli la matrice d’inerzia rispetto al sistema diriferimento indicato.


1) Un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 8R e libera di ruotare attorno al suo baricentro,fisso nell’origine di un sistema di riferimento piano Oxy. Un disco omogeneo di massa m e raggio Rrotola senza strisciare sull’asta, in modo che il punto di contatto D non esca dall’asta.

Si denoti con ξ la lunghezza con segno del vettore (D−O) e con θ l’angolo tra la parte positivadell’asse delle ascisse e l’asta.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul centro C del disco agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 e polo il punto O. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:

(a) trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema;

(b) discuterne la stabilita in funzione di λ =mg

kR;

(c) trovare le eventuali posizioni di equilibrio di confine;

(d) determinare l’energia cinetica del sistema.

O

y

C

B

Am, 8R

m,R

x

ϑ

ξD

2) Determinare per quali valori di k ∈ R la trasformazione{Q(q, p) = kqp

P (q, p) = log(kp)− log q

e canonica e trovarne una funzione generatrice del tipo F (q, P ).


1) Un corpo rigido piano e formato da un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza 4R al cuiestremo A e saldato il bordo di una lamina circolare omogenea di massa m e raggio R. Il corposi muove in modo che l’asta OA stia nel piano verticale yz di un sistema di riferimento Oxyz eil punto O sia fisso nell’origine.

Sul punto A agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto E di coordinate(0, 4R, 0).

Il sistema e soggetto alla forza peso e tutti i vincoli sono lisci. Posto λ = mgkR si chiede di:

1. trovare la matrice d’inerzia del corpo rigido nel sistema indicato nella prima figura;


3. determinare la lagrangiana del sistema.

O

A

y′

x′

O ϑ k

Ex

z

y

B

A

ϕ

2) Una lamina piana e formata da un’asta lunga ` e con densita del tipo

ρ(y) = ρyn, ρ ∈ R

e da una lamina triangolare omogenea con base ` e altezza `/2. Sapendo che entrambe le laminehanno massa m e che l’ordinata del baricentro dell’asta e 4`/5, si calcoli la matrice d’inerzia delcorpo rigido rispetto al sistema di riferimento indicato.


1) Una lamina circolare omogenea di massa m e raggio R e libera di ruotare attorno alsuo vertice fisso O che e l’origine di un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Al punto A sulbordo della lamina diametralmente opposto ad O e agganciato l’estremo di un’asta omogeneaAB di massa m e lunghezza 2R, che puo ruotare attorno a A. L’estremo B dell’asta evincolato a scorrere sull’asse x. Inoltre, sull’asta AB scorre un punto materiale P di massam.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e tra il punto P e l’estremo B dell’asta intercorreuna forza elastica di coefficiente k > 0. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema e discuterne la stabilita in funzione

del parametro meccanico λ =mg

kR;




x

O

A

B

m,R

P,m

k

y

m, 2Rϑ

2) Una lamina piana omogenea e formata da quattro rettangoli di lati a, 2a disposti comein figura. Sapendo che la massa di ogni rettangolo vale m, se ne calcoli la matrice d’inerziarispetto al sistema di riferimento indicato.

y

x

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 17 febbraio 2017

1) Una lamina circolare omogenea di massa m e raggio R e libera di ruotare attorno alsuo vertice fisso O che e l’origine di un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Al punto A sulbordo della lamina diametralmente opposto ad O e agganciato l’estremo di un’asta omogeneaAB di massa m e lunghezza 2R, che puo ruotare liberamente attorno a A.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul punto A agisce una forza elastica sempreverticale di coefficiente k > 0 e polo sull’asse x. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:



3. determinare l’energia cinetica del sistema.


ϕ

x

O

k

m,R

m, 2R

A

B

ϑ

2) In una lamina rettangolare omogenea di lati a < b e praticato un foro circolare nelcentro, di raggio a/2. Sapendo che la massa della parte rimanente vale m, se ne calcoli lamatrice d’inerzia rispetto a un sistema di riferimento baricentrale opportuno.


1) Una lamina quadrata omogenea ABCD di massa m e lato ` e libera di ruotare attornoal lato AB, che scorre sull’asse verticale di un sistema di riferimento cartesiano ortogonaleOxyz.Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul punto D agisce una forza elastica di coefficientek > 0 e polo il punto E(0, `, 0).Si chiede di:

A) trovare le posizioni di equilibrio del sistema e discuterne la stabilita;

B) determinare le equazioni differenziali del moto;

C) scrivere le equazioni del moto linearizzate attorno a una posizione di equilibrio stabile.

A

B C

Dϕ

k

z

xy

O

E

2) Si calcoli la matrice d’inerzia della figura composta da tre aste omogenee, tutte di massa m,mostrata in figura rispetto al sistema di riferimento indicato (l’asse z e ortogonale al foglio).

m, ℓ/2

m,√3ℓ/2

x

y

m, ℓ


1) Un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza 2` e libera di ruotare attorno all’estremoO, fisso in un sistema di riferimento cartesiano Oxyz. Una seconda asta AB, identica allaprima, ha l’estremo A vincolato a quello della prima asta e l’estremo B che puo scorrere sullaparte positiva dell’asse x.Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul punto B agisce una forza elastica di coefficientek > 0 e polo il punto O.Si chiede di:

A) trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema;

B) discuterne la stabilita delle posizioni di equilibrio ordinarie;

C) trovare le eventuali posizioni di equilibrio di confine;

D) determinare l’energia cinetica del sistema.

k

B

O

A

ϕ

ϑ

2) Si calcoli la matrice d’inerzia della lamina omogenea di massa m mostrata in figura rispettoal sistema di riferimento indicato (l’asse z e ortogonale al foglio).

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ


1) Una lamina quadrata omogenea ABCD di massa m e lato ` si muove in modo che il latoAB scorra sull’asse x di un sistema di riferimento Oxyz. Sull’estremo D della lamina agisceuna forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto E di coordinate (0, 0, `).

Il sistema e soggetto alla forza peso e tutti i vincoli sono lisci. Si chiede di:




4. trovare le equazioni differenziali del moto linearizzate attorno a una posizione di equi-librio stabile.

z

y

k

x

ϑ D

C

A

B

O

E

2) Si trovi la posizione del baricentro della lamina omogenea indicata in figura, formata dadue rettangoli di lati 2`, ` e una corona semicircolare di raggi 2`, `, nel sistema di riferimentoindicato.

ℓ ℓ2ℓ

2ℓ

3) Si trovi la matrice d’inerzia della lamina dell’esercizio 2) nel sistema di riferimento indicato.


1) Un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 2` si muove in modo che l’estremo Ascorra sull’asse orizzontale e l’estremo B sull’asse verticale di un sistema di riferimento pianoverticale Oxy. Sull’asta AB scorre un punto materiale P di massa m.

Sul punto P agisce una forza elastica sempre verticale di coefficiente k > 0 e polo sull’assedelle ascisse.





4. trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile.

C A

B

P,m

O

kξ

ϑ

2) Si calcoli la matrice d’inerzia del corpo rigido formato da un’asta omogenea di massa me lunghezza 2` e un punto materiale di massa m nel suo baricentro, rispetto al sistema diriferimento indicato in figura.

m

π/4

m, 2ℓ

y

x


1) Un corpo rigido e formato da un’asta omogenee OA di massa m e lunghezza 2` a cui esaldata una lamina quadrata ABCD di massa m e lato `, come si vede in figura. Il corpo simuove in modo che l’asta OA stia nel piano orizzontale xy di un sistema di riferimento Oxyze il punto O sia fisso nell’origine. La lamina quadrata si muove in modo da ruotare attornoall’asta OA.

Sull’estremo D della lamina agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto Edi coordinate (`, 0, 0).



2. trovare la matrice d’inerzia del corpo rigido nel sistema indicato in figura;


4. trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile;

5. scrivere la quantita di moto del sistema in funzione dei parametri lagrangiani.

A

O

ϕ

B

C

D

k

E ϑ

z

x

y

O D A

BCz

y′

2) Determinare per quali valori di k 6= 0 la trasformazione{Q(q, p) = q2e

− pkq

P (q, p) = epkq



1) Un corpo rigido e formato da due aste omogenee AB e BC di massa m e lunghezza `saldate ad angolo retto nell’estremo comune B. Tale corpo e libero di ruotare attorno alpunto B, che si muove sull’asse verticale di un sistema di riferimento piano Oxy.Su tutto il sistema agisce la forza peso e sui punti A e C agiscono due forze elastiche sempreverticali di coefficiente k > 0 e poli sull’asse delle x.Si chiede di:

A) trovare le posizioni di equilibrio del sistema;

B) discuterne la stabilita delle posizioni di equilibrio;

C) determinare le equazioni differenziali del moto;

D) scrivere le equazioni del moto linearizzate attorno a una posizione di equilibrio stabile.

y

O x

A

C

k

k

m, ℓB

m, ℓ

2) Si calcoli la matrice d’inerzia di un corpo rigido formato da due aste omogenee AO e OB dimassa m e lunghezza ` saldate ad angolo retto nel punto O, disposte a 45◦ rispetto al sistemadi riferimento indicato in figura (l’asse z e ortogonale al foglio).

x

y

O

A B

m, ℓm, ℓ

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 26 gennaio 2016

1) Un corpo rigido e formato da due aste AD e BC di massa m e lunghezza ` e due aste ABe CD di massa m e lunghezza `

√2, disposte in un poligono intrecciato come in figura. Si

calcoli la matrice d’inerzia del corpo rigido rispetto al sistema di riferimento indicato (l’assez e ortogonale al foglio).

yA

B C

D

x

2) Il corpo rigido dell’esercizio precedente e vincolato a mantenere il punto medio dell’astaAD nell’origine di un sistema di riferimento piano Oxy ed e libero di ruotare attorno ad esso.Sull’asta BC scorre senza attrito un punto materiale P di massa m.Il sistema giace in un piano orizzontale e sul punto P agisce una forza elastica di coefficientek > 0 e polo sull’asse x, che si mantiene sempre parallela all’asse y.Si chiede di:

A) trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema;

B) trovare le posizioni di confine;

C) discutere la stabilita delle posizioni di equilibrio ordinarie;

D) determinare la lagrangiana del sistema.

C

B

k

P,m

O

y

D

A

x

[Nota: non c’e bisogno di dirvi che “piano orizzontale” significa assenza di forza peso]


1) Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’asse orizzontale di unsistema di riferimento piano Oxy. Sul bordo del disco scorre senza attrito un punto materialeP di massa m.Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul punto P agisce una forza elastica di coefficientek > 0 e polo il punto O.Si chiede di:


2. discuterne la stabilita delle posizioni di equilibrio;

3. determinare le equazioni differenziali del moto;

4. scrivere le equazioni del moto linearizzate attorno a una posizione di equilibrio stabile.

O

P,mm,R

k

y

x

2) Data la trasformazione Q(q, p) =k

pe2q

P (q, p) = p2e−2q

determinare per quali k > 0 e canonica e trovarne una funzione generatrice del tipo F (q, P ).

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello dell’11 settembre 2015

1) Un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza 2` e libera di ruotare attorno all’origine di unsistema di riferimento piano Oxy. Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciaresull’asta, in modo che il punto di contatto B non esca dall’asta.

Si denoti con ξ la distanza del punto B dall’origine e con θ l’angolo tra la parte positiva dell’assedelle ascisse e l’asta.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul centro C del disco agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 e polo il punto O. Inoltre, sull’estremo A dell’asta agisce una forza FA dipotenziale UA = mgR cos θ.


1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema e discuterne la stabilita in funzione diλ = k`

mg ;



4. nel caso λ = 1 trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibriostabile.

x

y

O

C A

FAB

m, 2ℓ

m,R

2) Si calcoli la matrice d’inerzia del corpo rigido piano in figura, formato da un’asta omogeneadi massa m e lunghezza 4` e un disco di massa m e raggio `, in cui un punto del bordo del disco esaldato al baricentro dell’asta, rispetto al sistema di riferimento indicato.

y

x

m, 4ℓ

m, ℓ


1) Un corpo rigido e formato da due aste omogenee AB e BC, entrambe di massa m e lunghezza2`, saldate ad angolo retto nell’estremo B. Tale corpo si muove in un piano ruotando attorno al suoestremo A, che puo scorrere sull’asse orizzontale di un riferimento cartesiano ortogonale Oxy.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e su A agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 epolo l’origine O. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:



3. scrivere le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile.

O

y

A

C

m, 2ℓ

B

m, 2ℓ

k

x

2) Si calcoli la matrice d’inerzia dela lamina piana omogenea di massa m rappresentata in figurarispetto a un opportuno sistema di riferimento centrato in A, sapendo che AB = AF = 2` eBC = CD = DE = EF = `.

Si calcoli poi il momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse r tratteggiato in figura.

B

F

C

E

r

A

D


1) Un corpo rigido e formato da due aste omogenee OA e AB, entrambe di massa m elunghezza 2`, saldate ad angolo retto nell’estremo A. Il corpo si muove in modo che l’astaOA stia nel piano orizzontale xy di un sistema di riferimento Oxyz e il punto O sia fissonell’origine.

Sull’estremo A dell’asta agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto C dicoordinate (2`, 0, 0).




3. trovare le equazioni del moto linearizzate attorno a una posizione di equilibrio stabile.

k A

O

ϑ

ϕ

B

C

2) Determinare per quali valori di a, b ∈ R la trasformazioneQ(q, p) = aeq + bp2e−q

P (q, p) = arctanp

eq



1) In un sistema piano, un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza 2` e libera di ruotareattorno al suo estremo fisso O, centrato in un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Sull’asta OAscorre il centro G di una seconda asta BC uguale alla prima e che resta sempre ortogonale a OA,come in figura.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e su G agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 epolo l’origine. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema e discuterne la stabilita in funzione diλ = mg/k`;



4. nel caso λ = 1, trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibriostabile.

O x

y

m, 2ℓ

k

C

BA

m, 2ℓ

2) Si calcoli la matrice d’inerzia del corpo rigido formato da due aste omogenee di massa m elunghezza ` saldate ad angolo retto in un loro estremo, rispetto al sistema di riferimento indicato infigura.

O

A B


1) Un’asta omogenea OA di massa m e lunghezza 2` e libera di ruotare attorno al suo estremofisso O, centrato in un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. All’estremo A dell’asta e agganciato ilvertice di una lamina quadrata omogenea di massa m e lato 2`, che puo ruotare liberamente attornoa A. Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul vertice C della lamina agisce una forza elasticasempre verticale di coefficiente k > 0 e polo sull’asse x. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:




4. nel caso mg = 10k`, scrivere la lagrangiana approssimata attorno ad una posizione di equilibriostabile.

O x

ϕ

A

B

D

C

m, 2ℓ

m, 2ℓ k

y

ϑ

2) Una lamina piana e formata da due semicerchi omogenei di raggio R e massa m tangenti inO e da un triangolo isoscele omogeneo di altezza 3R e massa 2m disposto come in figura. Si calcolila matrice d’inerzia della lamina rispetto a un opportuno sistema di riferimento centrato in O.

O


1) Una lamina quadrata omogenea di massa m e lato ` e libera di ruotare attorno al suo verticefisso O, in modo da non occupare mai il semipiano y > 0 di un riferimento cartesiano ortogonaleOxy. Al vertice B della lamina opposto ad O e agganciato l’estremo di un’asta omogenea BD dimassa m e lunghezza `, che puo ruotare liberamente attorno a B.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul vertice B agisce una forza elastica sempre verticaledi coefficiente k > 0 e polo sull’asse x. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:



3. trovare le eventuali posizioni di confine;

4. determinare l’energia cinetica del sistema.

��

��

A

C

B

ϕ

k

m, ℓ

m, ℓ

O

D

x

ϑ

2) In una lamina quadrata omogenea di lato ` e praticato un foro quadrato concentrico, di lato`/2, ruotato di 45◦ rispetto alla lamina. Sapendo che la massa della parte rimanente vale m, se necalcoli la matrice d’inerzia rispetto al sistema di riferimento indicato.


1) Sia dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy in un piano verticale. Unalamina quadrata omogenea di massa m e lato ` e libera di ruotare attorno al suo vertice A, chescorre sull’asse verticale.

Sulla lamina agisce la forza peso e sul vertice C opposto ad A agisce una forza elastica sempreverticale di coefficiente k > 0 e polo sull’asse x.





4. trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile.

x

y

k

m, ℓ

A

B

C

D

E

2) Una lamina piana omogenea di massa m e formata da due quadrati di lato `/2 opposti alvertice. Se ne calcoli la matrice d’inerzia nel sistema di riferimento indicato in figura.

z

y

x


1) Sia dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy in un piano verticale. Unalamina omogenea e formata da due dischi di massa m e raggio R saldati in un loro punto sul bordo.La lamina e libera di ruotare attorno al centro A del primo disco, che scorre sull’asse verticale.

Sulla lamina agisce la forza peso e sul centro B del secondo disco una forza elastica di coefficientek > 0 e polo il punto C(2R; 0).






NOTA CORRETTIVA: il conto per trovare le posizioni di equilibrio e troppo complicato!

m,R

m,R

k

x

y

A

B

C

2) Una lamina piana omogenea di massa m e formata da due quarti di un disco di raggio Ropposti al vertice. Se ne calcoli la matrice d’inerzia nel sistema di riferimento indicato in figura.

z

y

x


1) Sia dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy in un piano verticale. Nelsemipiano {x ≥ 0}, una lamina quadrata omogenea ABCD di massa m e lato ` e libera di ruotareattorno al suo vertice D. Tale vertice puo scorrere sull’asse verticale x = 0.

Sulla lamina agisce la forza peso. Inoltre, sul vertice A della lamina agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 e polo l’origine.



2. discutere l’esistenza di posizioni di equilibrio di confine;



��

��

A

B

C

D

k

m, ℓ

2) Data una lamina omogenea a forma di triangolo rettangolo ABC di cateti AB = c, AC = b emassa m, se ne trovi il momento d’inerzia rispetto all’asse perpendicolare alla lamina passante perC.

Si applichi tale risultato per trovare il momento d’inerzia di una lamina omogenea a forma ditriangolo equilatero di lato ` e massa m, rispetto ad un asse perpendicolare alla lamina passante perun suo vertice.


1) Un corpo rigido e formato da una circonferenza materiale di massa m e raggio R a cui e saldataun’asta AB di massa m e lunghezza

√3R, in modo che gli estremi A e B stiano sulla circonferenza.

Tale corpo rigido si muove in modo che l’asta AB scorra sull’asse y di un sistema di riferimentocartesiano ortogonale Oxyz, e il corpo sia libero di ruotare attorno a tale asse. Inoltre sull’estremoA dell’asta agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine.




3. scrivere la lagrangiana approssimata e trovare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attornoalla posizione di equilibrio stabile.

O

x

y

z

k

θ

A

B

m,R

m,√3R

2) La lamina omogenea di massa m in figura e formata da un semidisco di raggio R cui e statotolto un semidisco di raggio R/2 e aggiunto un altro semidisco di raggio R/2. Se ne calcoli la matriced’inerzia rispetto al sistema di riferimento indicato.

R

x

y

z


1) Un lamina quadrata omogenea ABCD di lato ` e massa m e libera di ruotare attorno al suolato AB, che e fissato sull’asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz in modoche A disti ` dall’origine.

Sul lato AD della lamina scorre un punto P di massa m, su cui agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 e polo l’origine.



2. discutere l’esistenza di posizioni di equilibrio di confine;



O

k

x

y

z

A

C

D

B

ℓ

P,mm, ℓ

2) Ricordando che il momento d’inerzia di una lamina a forma di triangolo rettangolo omogeneadi cateti a, b e massa m rispetto a un asse passante per il cateto a vale 1

6mb2, si calcoli il momentod’inerzia della lamina omogenea di massa m in figura rispetto all’asse indicato.

a b


1) Un corpo rigido piano e formato da un disco omogeneo di massa m e raggio R a cui e sovrappostauna circonferenza materiale omogenea concentrica di massa m e raggio R. Tale corpo si muove inmodo che il punto A della circonferenza scorra sull’asse y di un sistema di riferimento cartesianoortogonale Oxyz. Inoltre il corpo puo ruotare attorno all’asse y.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto B del diametro AB agisce una forzaelastica di polo l’origine e coefficiente k > 0. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:




O

k

A

B

2) Data la trasformazione Q =p

q

√1− kq2

P = k√

1− kq2

si trovino i valori di k ∈ R per cui essa e canonica. Nei casi affermativi si trovi poi una funzionegeneratrice del tipo F (q,Q).


1) Un corpo rigido e formato da tre aste omogenee OA, AB, BC, ognuna di lunghezza 4` e massam, saldate a i tre lati di un quadrato. Il corpo e libero di ruotare in un piano verticale e il puntoO e fisso nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Sull’asta AB scorre poi unpunto P , anch’esso di di massa m.

Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto P agisce una forza elastica verticalecon polo sull’asse orizzontale e coefficiente k > 0. Considerando tutti i vincoli lisci, si chiede di:




CP,m

k

A

B

O

2) Con riferimento al corpo rigido dell’esercizio precedente (senza il punto P ), se ne trovi la matriced’inerzia in un sistema di riferimento baricentrale opportuno.


1) Una semicirconferenza materiale ACB di diametro AB = 2R e massa m si muove in modoche il diametro AB scorra sull’asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz e lasemicirconferenza possa anche ruotare attorno a tale asse.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul punto C della semicirconferenza piulontano dall’asse y agisce una forza elastica di polo l’origine e coefficiente k > 0. Supposti i vincolilisci, si chiede di:




[Si ricorda che il baricentro di una semicirconferenza di raggio R giace a distanza2R

πdal diametro.]

O

k

A

B

C

2) Si calcoli la matrice d’inerzia della figura precedente in un sistema di riferimento opportunocentrato nel punto A.


1) In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si muovono due aste, OA e AB, entrambedi massa m e lunghezza 2`. L’estremo O della prima asta e vincolato a stare nell’origine, e le dueaste sono vincolate ad avere l’estremo A in comune. Infine, l’estremo B della seconda asta e liberodi scorrere in modo liscio sulla parte positiva dell’asse y.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul punto A agisce una forza elastica dicoefficiente k > 0 che ha polo sull’asse y e resta sempre perpendicolare a tale asse.Si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema in funzione del parametro λ = mgk` ;


3. discutere la stabilita delle posizioni di equilibrio ordinarie in funzione di λ;

4. determinare la lagrangiana del sistema.

O

ϑ

ϕ

B

A

z

y

x

2) Si calcoli la matrice d’inerzia del corpo rigido OABC, formato da tre aste OA, OB, BC, tutte dimassa m e lunghezza 2`, rispetto al sistema di riferimento indicato in figura.[Si faccia attenzione alla possibile presenza di prodotti d’inerzia!]

CB

OA


1) Un corpo rigido e formato da tre aste omogenee AB, BC, CD, ognuna di lunghezza 2` e massam, saldate a i tre lati di un quadrato.

Il corpo e libero di ruotare in un piano verticale e il punto A scorre sull’asse x di un sistema diriferimento cartesiano ortogonale. Inoltre il corpo deve sempre stare nel semipiano delle ordinatenegative.

Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto A agisce una forza elastica di polol’origine e coefficiente k > 0. Considerando tutti i vincoli lisci, si chiede di:




4. scrivere le equazioni differenziali del moto linearizzate attorno alla posizione di equilibriostabile.

y

D

x

B

O θ

C

Ak

2) Con riferimento al corpo rigido dell’esercizio precedente, se ne trovi la matrice d’inerzia in unsistema di riferimento solidale opportuno centrato in A.


1) Un corpo rigido e formato da quattro aste omogenee AB, BC, CD, DA, ognuna di lun-ghezza ` e massa m, saldate a formare il perimetro di un quadrato. Al vertice C e saldato unpunto materiale P di massa m.

Il corpo si muove in un piano verticale in modo che il punto A possa scorrere sull’assex di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Inoltre il corpo deve sempre stare nelsemipiano delle ordinate negative.

Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e sul punto P agisce una forza elastica dipolo l’origine e coefficiente k > 0. Si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema in funzione del parametro λ = mgk` ;

2. discutere la stabilita delle posizioni di equilibrio ordinarie al variare di λ;



AO

y

C ≡ P

D

ξ

x

Bθ

2) Con riferimento al corpo rigido dell’esercizio precedente, se ne trovi la matrice d’inerzia inun sistema di riferimento solidale opportuno centrato in A.


1) Un corpo rigido e formato da un’asta AB di lunghezza 2` e massa m a cui e saldato un semidiscodi massa m e raggio `, in modo che gli estremi del diametro del semidisco coincidano col punto medioe con l’estremo B dell’asta.

Tale corpo rigido si muove in un piano verticale e l’estremo A e vincolato a scorrere sull’asseorizzontale di un sistema di riferimento Oxy. Inoltre il punto B deve sempre stare nel semipianodelle ordinate negative: denotando con ϑ l’angolo antiorario formato dalla parte negativa dell’asseverticale con l’asta AB, si deve quindi avere ϑ ∈ [−π

2 ,π2 ].

Sul punto A agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine. Inoltre sul corporigido agisce un momento M = k`2 sinϑ e3.

Sapendo che tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e che i vincoli sono lisci, si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie e di confine del sistema in funzione del parametroλ = k`

mg ;

2. discutere la stabilita delle posizioni di equilibrio ordinarie al variare di λ;


4. nel caso λ = 12 scrivere la lagrangiana approssimata attorno alla posizione di equilibrio stabile.

ϑ

B

O

m, 2ℓ

m, ℓ

M

AM = kℓ2 sinϑ e3k

2) Con riferimento al corpo rigido dell’esercizio precedente, se ne trovi la matrice d’inerzia in unsistema di riferimento solidale opportuno centrato in A.

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello dell’8 febbraio 2013

1) In un piano verticale un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 2` ha l’estremo A vincolatoa scorrere attorno a una guida circolare di centro l’origine e raggio `, e puo ruotare liberamenteattorno a tale estremo. All’estremo B dell’asta e saldato un punto materiale di massa m, su cuiagisce una forza elastica di coefficiente k ≥ 0 e polo il punto E della guida circolare di coordinate(0, `).

Sapendo che tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e che i vincoli sono lisci, si chiede di:

1. trovare il potenziale del sistema;


3. trovare le posizioni di equilibrio del sistema nel caso k = 0;

4. sempre nel caso k = 0, scrivere le equazioni differenziali del moto linearizzate attorno allaposizione di equilibrio stabile.

E

OA

k

B,m

m, 2ℓ

2) Data la lagrangianaL(q, q) = log(1 + q2)q2 − q2q

determinarne l’hamiltoniana associata e le equazioni differenziali di Hamilton.


1) In un sistema piano, un’asta omogenea AC di massa m e lunghezza 2` puo ruotare attorno alsuo baricentro collocato al centro di un sistema di riferimento Oxy. All’estremo C e vincolato ilcentro di un disco di massa m e raggio `/2 e tale disco puo ruotare attorno al suo centro. Sul bordodel disco e saldato un punto materiale P di massa m, su cui agisce una forza elastica di coefficientek > 0 e polo il punto B(`, 0). Sapendo che tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita e che tuttii vincoli sono lisci, si chiede di:

1. trovare il potenziale e la lagrangiana del sistema;

2. scrivere le equazioni differenziali del moto linearizzate attorno a una generica posizione diequilibrio;

3. se il disco viene saldato all’asta, in modo che il punto P si trovi sul prolungamento dell’astaoltre C, si trovino le posizioni di equilibrio del corpo rigido e se ne discuta la stabilita.

A

C

O

P

B

k

m, ℓ/2

m, 2ℓ

2) Si trovi la matrice d’inerzia dell’asta omogenea di massa m e lunghezza ` nel sistema di riferimentoindicato nella prima figura.

Si usi poi tale risultato per calcolare la matrice d’inerzia di un corpo rigido formato da tre aste,ognuna di massa m e lunghezza `, disposte a triangolo equilatero secondo il sistema di riferimentoindicato nella seconda figura.

α


1) In un piano verticale, un corpo rigido e formato da un’asta EC di massa m e lunghezza 2` cui evincolata la diagonale di una lamina quadrata ABCD, di lato `/

√2 e massa m, come in figura.

Il corpo rigido ha l’estremo E che puo scorrere sull’asse x e ruota attorno a tale punto.Su C agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine O di un sistema di riferimentocartesiano ortogonale Oxy.Sapendo che il sistema e soggetto alla forza peso e che i vincoli sono lisci, si chiede di determinare:

1. le posizioni di equilibrio;

2. la stabilita di tali posizioni;

3. la lagrangiana del sistema;

4. la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile.

O

A

D

C

m, 2ℓ

m,ℓ√2

E

k

B

2) Determinare per quali valori di k ∈ R la seguente trasformazione e canonica:Q =

p

kq2− kq

P = −q3.

Nei casi affermativi, trovarne una funzione generatrice del tipo F (q,Q).Trovare infine come si trasforma l’hamiltoniana H(q, p) = p2 + q2.


1) Un corpo rigido piano e formato da due aste AB e BC di massa m e lunghezza ` saldate per-pendicolarmente nel punto B. Il corpo rigido si puo muovere in un piano dotato di un sistema diriferimento Oxy, in modo che l’estremo A sia vincolato in modo liscio all’asse orizzontale.Si denoti con ξ l’ascissa di A e con θ l’angolo formato dalla verticale discendente con l’asta AB.Le forze agenti sul corpo rigido sono:

• la forza peso;

• una forza elastica di polo l’origine e coefficiente k > 0 agente sul punto A;

• un momento M = k`2 cos θez (ricordiamo che il potenziale di un momento M = f(θ)ez e unaprimitiva di f).

Si chiede di:


2. discuterne la stabilita al variare del parametro λ = k`mg ;


4. scrivere le equazioni del moto linearizzate attorno a una posizione di equilibrio stabile.

k

ξ

ϑ

M

m, ℓ

m, ℓC

A

B

2) Data la lagrangiana

L(q1, q2, q1, q2) =q212q2

+q222q1− q1 − q2

se ne trovi l’hamiltoniana associata. Si scrivano poi le equazioni di Hamilton relative all’hamiltonianatrovata.


1) Un corpo rigido piano e formato da una semicirconferenza materiale ABC di diametro AC = 2Re massa m a cui e saldata, a partire dal centro D e perpendicolarmente al diametro, un’asta DB dimassa m e lunghezza R (si veda la figura). Il corpo rigido si muove in modo che il punto B scorrasull’asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz e l’asta resti sempre ortogonaleall’asse y (il corpo puo anche ruotare attorno a tale asse).Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul punto A agisce una forza elastica di polol’origine e coefficiente k > 0. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:



3. scrivere le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile;

4. determinare eventuali integrali primi del sistema.

O

k

A

C

B

D

2) Data la trasformazione Q = − arctan(pq

)P = k(q2 + p2)

se ne trovino i valori di k ∈ R per cui e canonica.Nei casi affermativi si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q,Q).

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 13 aprile 2012

1) In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, una lamina quadrata omogenea OABCdi lato ℓ e massa m si muove in modo che il suo vertice O sia fisso nell’origine e il lato OA restisempre nel piano orizzontale xy.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul vertice A agisce una forza elastica dipolo il punto E(ℓ, 0, 0) e coefficiente k > 0. Si chiede di:



3. scrivere le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile;

4. determinare eventuali integrali primi del sistema.

'

#

B

C

k

E

O

A

2) Si calcoli la matrice d’inerzia di un’asta omogenea di massa m e lunghezza 2ℓ nei due sistemi diriferimento baricentrali indicati in figura (l’asse z e ortogonale al foglio). Le due matrici d’inerziasono uguali?

�

x

y

x

y

�

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 30 marzo 2012

1) Un corpo rigido e formato da tre aste omogenee e mutuamente perpendicolari AB, MN , CD,tutte di lunghezza 2ℓ e massa m, in modo che M sia saldato nel punto medio di AB e N nel puntomedio di CD.Tale corpo rigido e vincolato ad avere l’asta AB che scorre su una guida verticale e puo liberamenteruotare attorno a tale asta.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul punto N agisce una forza elastica di poloil punto E(0, 2ℓ, 0) e coefficiente k > 0. Si chiede di:

1. calcolare la matrice d’inerzia baricentrale del corpo rigido in un sistema di riferimento oppor-tuno;



4. scrivere la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile e le relativeequazioni del moto linearizzate.

O

k

A

M

B

N

E

C

D

2) Data la trasformazione {Q = qp− qeq

P = log(p+ keq)

se ne trovino i valori di k ∈ R per cui e canonica.Nei casi affermativi si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q, P ).


1) In un piano verticale, un’asta OA di lunghezza 2ℓ e massa trascurabile e libera di ruotare attornoal suo estremo fisso O. Una seconda asta BC, di lunghezza 2ℓ e massa m, si muove nel pianorestando perpendicolare alla prima asta e in modo da avere l’estremo B sulla prima asta.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul punto B agisce una forza elastica di polol’origine e coefficiente k > 0. Introducendo il parametro λ = kℓ

mg , si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema e discuterne la stabilita in funzione di λ;



4. scrivere la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile (si fissi unvalore di λ opportuno).

C

A

k

O

B

ξ

ϑ

2) Data la trasformazione Q =kp

√p− q

P = (√p− q)2

se ne trovino i valori di k ∈ R per cui e canonica.Nei casi affermativi si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q, P ).

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 9 dicembre 2011

1) Un corpo rigido e formato da una lamina quadrata ABCD omogenea di massa m e lato ℓ alcui estremo C e saldato un punto materiale, anch’esso di massa m. Il corpo si muove in un pianoverticale in modo che il punto A possa scorrere sull’asse x di un sistema di riferimento cartesianoortogonale.Tutto il sistema e soggetto alla forza di gravita; inoltre, sul punto C agisce una forza elastica di polol’origine e coefficiente k > 0. Si chiede di:

1. trovare le posizioni di equilibrio della sistema;

2. discutere la stabilita delle posizioni di equilibrio in funzione del parametro λ = mgkℓ ;


4. scrivere la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile (si fissi unvalore di λ opportuno).

AO

y

x

C

B

D

2) Data la lagrangiana

L(q1, q2, q1, q2) = (2 + cos q2)q21 + (2 + sin q2)q

22 + q22

se ne determini l’hamiltoniana associata e le equazioni di Hamilton.Si trovino poi due integrali primi del moto.


1) Un corpo rigido e formato da un’asta AC di massa trascurabile e lunghezza R/2, saldataperpendicolarmente nel centro C di un disco di raggio R e massa m.Il punto A e libero di scorrere sull’asse verticale z di un sistema di riferimento Oxyz, in modo chel’asta resti sempre nel piano yz e perpendicolare a tale asse.Su un punto P situato sul bordo del disco agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo ilpunto B di coordinate (0, R/2, 0).Il corpo e soggetto alla forza peso e tutti i vincoli sono lisci. Si chiede di:




4. scrivere la lagrangiana approssimata del sistema attorno a una posizione di equilibrio stabile.

P

y

z

A

B

C

2) Dati a > b > c > 0, si dica quando e possibile costruire un corpo rigido che ammetta i treparametri come momenti principali d’inerzia.Nei casi in cui e possibile, si dia poi un esempio di tale corpo rigido.


1) Un corpo rigido e formato da un’asta OA di massa 2m e lunghezza 2ℓ, un’asta AB di massa me lunghezza ℓ saldata ad angolo retto alla prima nell’estremo comune A, e da un punto materiale Pdi massa m saldato all’estremo B della seconda asta.Tale corpo rigido si puo muovere in modo che l’asta OA stia nel piano verticale yz di un sistema diriferimento Oxyz e il punto O sia fisso nell’origine.Sul punto A agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto C di coordinate (2ℓ, 0, 0).Il sistema e soggetto alla forza peso e tutti i vincoli sono lisci. Si chiede di:



3. trovare la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile.

z

x

P ≡ B

Oy

A

C

2) Data la trasformazione Q = kq3 cos2

(1 + p

q2

)+ 1

P = tan

(1 + p

q2

)se ne trovino i valori di k ∈ R per cui e canonica.Nei casi positivi si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q, P ).


1) Un corpo rigido e formato da due aste, AB e CD, entrambe di massa m e lunghezza 2`, in modoche l’estremo B della prima asta sia saldato perpendicolarmente alla seconda asta nel punto medio.L’estremo A del corpo rigido si muove sull’asse z di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale,mentre l’asta CD e vincolata a giacere sempre nel piano xy.Oltre alla forza peso, sul corpo rigido agiscono due forze elastiche di coefficiente k > 0: la prima hapolo nell’origine e agisce sull’estremo A, la seconda ha polo nel punto E(2`, 0, 0) e agisce sul puntoB.Si ponga λ =

k`

mg. Sapendo che il corpo rigido e soggetto anche alla forza peso e che i vincoli sono

lisci, si chiede di determinare:




4. le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile (scegliendoun opportuno valore di λ).

BD

C

E

A

k

k

Oϑ

ϕ

2) Si determinino i valori di k ∈ R per cui la trasformazioneQ = k√p sin q

P =√p cos q

e canonica. Si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q, P ).Infine, data l’hamiltoniana H(q, p) = −p sin(2q), si risolvano le equazioni di Hamilton associate allenuove variabili (Q,P ).


1) In un piano verticale, un’asta AB di massa m e lunghezza ` ha l’estremo A che scorre sull’assex e si muove nel semipiano y ≤ 0 restando sempre ortogonale a tale asse. All’estremo B dell’asta evincolato il vertice di una lamina quadrata BCDE, di lato ` e massa m, che puo ruotare liberamenteattorno a B. Inoltre sul vertice C della lamina e saldato un punto materiale P di massa M .Su B agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine O di un sistema di riferimentocartesiano ortogonale Oxy.Sapendo che il sistema e soggetto alla forza peso e che i vincoli sono lisci, si chiede di determinare:




4. la lagrangiana approssimata attorno a una posizione di equilibrio stabile.

O A

D

E

m, ℓ

m, ℓ

k

C

B

P,M

2) Determinare per quali valori di k ∈ R la seguente trasformazione e canonica:Q = log(kq2p)

P = kqp.

Nei casi in cui la trasformazione sia canonica, trovarne la funzione generatrice del tipo F (q,Q).Trovare infine come si trasforma l’hamiltoniana H(q, p) = q3p2 e dedurne le nuove equazioni diHamilton in funzione di (Q,P ).

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 5 aprile 2011

1) Un corpo rigido e formato da due aste omogenee AB e BC, entrambe di massa m e lunghezza `,saldate ad angolo retto nell’estremo comune B.Tale corpo rigido si puo muovere in un piano verticale in modo che il punto A si mantenga sempresull’asse x di un sistema di riferimento Oxy.Sull’estremo A agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine O.Il sistema e soggetto alla forza peso e tutti i vincoli sono lisci. Si chiede di:




A

B

C

O

2) Data la trasformazione {Q = pekq

P = −ehq

si trovino i valori di h, k ∈ R per cui e canonica.Nei casi positivi si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q,Q).

Prova scritta di Meccanica AnaliticaAppello del 25 marzo 2011

1) Un corpo rigido e formato da un disco omogeneo di massa m e raggio R e da un’asta omogeneaOA di massa m e lunghezza 2R. L’estremo A dell’asta e saldato ad un punto del bordo del disco inmodo che l’asta sia perpendicolare al piano del disco.Tale corpo rigido si puo muovere in modo che l’asta OA stia nel piano orizzontale xy di un sistemadi riferimento Oxyz e il punto O sia fisso nell’origine.Sull’estremo A dell’asta agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto B di coordinate(2R, 0, 0).Il sistema e soggetto alla forza peso e tutti i vincoli sono lisci. Si chiede di:




O

B

k A

2) Data la trasformazione {Q = 2kp

P = q + arccos p

se ne trovino i valori di k ∈ R per cui e canonica.Nei casi positivi si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q, P ).


1) Un corpo rigido piano e formato da un disco di massa M e raggio R a cui e saldato sulbordo un punto materiale P di massa m.Il corpo rigido si muove in un piano verticale, in modo che il centro C del disco possa scorrerein modo liscio sull’asse orizzontale di un sistema di riferimento Oxy.Una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo l’origine O agisce sul punto P , e tutto il sistemae sottoposto alla forza peso.

Si chiede di:

(a) trovare le posizioni di equilibrio del corpo rigido, e in particolare discuterne l’esistenzaal variare del parametro λ = mg

k`;

(b) studiare la stabilita delle posizioni di equilibrio al variare di λ;

(c) determinare la lagrangiana del moto;

(d) trovare le equazioni del moto linearizzate attorno a una posizione di equilibrio stabile.

P,m

R,M

CO

k

2) Si trovino i valori di k ∈ R per cui la trasformazioneQ =q

1− k tan2 p

P = tan p

e canonica. Si trovi poi una funzione generatrice del tipo F (q, P ).

prova scritta di meccanica analitica 20 settembre...

Documents