prostokĄty ŁaciŃskie - wydział informatyki politechniki...
TRANSCRIPT
PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
dr hab. inż. Małgorzata Sterna
www.cs.put.poznan.pl/msterna/
PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE
Prostokąt łaciński o wymiarze pq o elementach ze zbioru
{1, 2, ..., n} to macierz o wymiarze pq o elementach
wybranych ze zbioru {1, 2, ..., n}, w której w żadnym wierszu i w
żadnej kolumnie elementy nie powtarzają się.
134
251 prostokąt łaciński o wymiarze 23
ze zbioru {1,2,3,4,5}
132
321
213kwadrat łaciński o wymiarze 33
Kwadrat łaciński o wymiarze nn (p=q=n) to prostokąt łaciński,
w którym każdy wiersz i kolumna składa się z dokładnie n
elementów.
© Małgorzata Sterna
2
Matematyka Dyskretna
ZASTOSOWANIA PROSTOKĄTÓW ŁACIŃSKICH
Określ sposób przeprowadzenia testów 4 prototypowych
produktów {A, B, C, D} na 4 specjalistycznych maszynach
{1, 2, 3, 4} w ciągu 4 dni roboczych {P, W, Ś, C}.
Każdy pełen plan testów jest kwadratem łacińskim 44, np.:
21536
42153
74361
C
B
A
PCŚWP
1234
2143
3412
4321
D
C
B
A
CŚWP
Inne plany opisują prostokąty łacińskie, np. 35 ze zbioru
{1,2,...,7}:
© Małgorzata Sterna
3
Matematyka Dyskretna
PROBLEMATYKA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH
Rozszerzanie prostokątów łacińskich do kwadratów łacińskich
321
256
165
152643
623514
516432
465321
341256
234165
3412
1234
2143
4321
vs
1234
2143
3412
4321
)3,1()4,2()1,3()2,4(
)1,2()2,1()3,4()4,3(
)2,3()1,4()4,1()3,2(
)4,4()3,3()2,2()1,1(
Ortogonalność kwadratów łacińskich
© Małgorzata Sterna
4
Matematyka Dyskretna
POSTAĆ PODSTAWOWA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH
Kwadrat łaciński jest w postaci podstawowej, jeśli jego pierwszy
wiersz ma postać (1, 2, ..., n).
32415
43152
51243
24531
15324
32154
13542
45213
21435
54321
Kwadrat łaciński można sprowadzić do postaci podstawowej
poprzez przemianowanie symboli.
© Małgorzata Sterna
5
Matematyka Dyskretna
POSTAĆ PODSTAWOWA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH -
PRZYKŁAD
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
6
32415
43152
51243
24531
15324
1 5
4 1 5 4
32115
13152
51213
21531
15321
32114
13142
41213
21431
14321
32114
13142
41213
21431
14321
32154
13542
45213
21435
54321
ROZSZERZANIE PROSTOKĄTÓW ŁACIŃSKICH
Czy następujący prostokąt 24 można rozszerzyć do kwadratu
łacińskiego 44?
1243
3412
2134
4321
4315
2153
5431
Czy następujący prostokąt 34 można rozszerzyć do kwadratu
łacińskiego 55?
2134
4321tak
nie
...............
...............
24315
...2153
25431
© Małgorzata Sterna
7
Matematyka Dyskretna
ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn
Twierdzenie 1
Każdy prostokąt łaciński wymiaru pn
o elementach ze zbioru {1, ..., n}
może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego
wymiaru nn.
pn nn
© Małgorzata Sterna
8
Matematyka Dyskretna
DOWÓD TWIERDZENIA 1
L - prostokąt łaciński pn, p<n
p+1
i
n
L p
aiAi
IAIi
i}n,...,2,1{I
Ai - zbiór liczb ze zbioru {1,...,n} nie występujących w kolumnie i
jeśli rodzina A={A1, A2, ..., An} ma transwersalę, to L można
rozszerzyć o dodatkowy wiersz (p+1) zbudowany z tej
transwersali
dowód sprowadza się do wykazania, że rodzina A posiada
transwersalę, czyli zgodnie z twierdzeniem Halla musi zachodzić
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn
dowód Twierdzenia 1 przedstawia procedurę rozszerzania
prostokąta pn do kwadratu nn
p+1
i
n
L p
aiAi
prostokąt jest rozszerzany wiersz po wierszu
w danym kroku należy:
wyznaczyć rodzinę zbiorów kandydatów do dołączenie w
każdej z kolumn A={A1, A2, ..., An}
znaleźć transwersalę rodziny A, która określa elementy
nowego wiersza
© Małgorzata Sterna
10
Matematyka Dyskretna
ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn - PRZYKŁAD
Plan testów p produktów na n stanowiskach w ciągu n dni należy
rozszerzyć do planu dla n produktów.
43215
35421
pro
dukt
dzień stanowisko
24153
12534
51342
43215
35421
pro
dukt
dzień stanowisko
© Małgorzata Sterna
11
Matematyka Dyskretna
pro
dukt
dzień stanowisko
43215
35421
w celu wygenerowania dodatkowego wiersza, należy wyznaczyć
różnych reprezentantów (transwersalę) zbiorów elementów, które
nie zostały dotychczas uwzględnione w kolumnie – Ai, 1i5:
A1={2,3,4} A2= {3,4,5} A3= {1,3,5} A4= {1,2,4} A5= {1,2,5}
51342
43215
35421
© Małgorzata Sterna
12
Matematyka Dyskretna
w analogiczny sposób następuje rozszerzenie prostokąta o
kolejny wiersz
12534
51342
43215
35421
51342
43215
35421
A1={3,4} A2= {3,5} A3= {1,5} A4= {2,4} A5= {1,2}
© Małgorzata Sterna
13
Matematyka Dyskretna
ostatni wiersz zostaje utworzony z elementów dotychczas nie
uwzględnionych w kolumnach
24153
12534
51342
43215
35421
12534
51342
43215
35421
A1={3} A2= {5} A3= {1} A4= {4} A5= {2}
© Małgorzata Sterna
14
Matematyka Dyskretna
ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq
DO KWADRATU nn
rozszerzenie wymaga dodania kolumn i wierszy
n
n
n-q
L’ p
q
L
nqp)i(Ln,...,2,1i
niech L(i) oznacza liczbę wystąpień
liczby i w obszarze L
każdy element kwadratu nn musi
występować w każdym wierszu, tym
samym musi występować p razy w p
górnych wierszach obszaru L L’
każdy element i musi występować w
obszarze L’ p-L(i) razy
obszar L’ ma n-q kolumn, w których należy rozmieścić p-L(i) wystąpień
poszczególnych elementów i, czyli musi zachodzić: p-L(i) n-q
Warunek konieczny i dostateczny
rozszerzenia prostokąta łacińskiego L
o wymiarze pq do kwadratu nn
© Małgorzata Sterna
15
Matematyka Dyskretna
Twierdzenie 2
Prostokąt łaciński L o wymiarze pq
o elementach ze zbioru {1,...,n}
może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego o wymiarze nn
wtedy i tylko wtedy,
gdy L(i) oznaczające liczbę wystąpień elementu i w L
spełnia warunek:
nqp)i(Ln,...,2,1i
© Małgorzata Sterna
16
Matematyka Dyskretna
ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq
DO KWADRATU nn
DOWÓD TWIERDZENIA 2
Dowód Twierdzenia 2 oparty jest o:
transwersalową postać Twierdzenia Halla,
twierdzenie o istnieniu transwersali zawierającej zbiór P,
własność prostokątów łacińskich.
© Małgorzata Sterna
17
Matematyka Dyskretna
dowód Twierdzenia 2 przedstawia procedurę rozszerzania prostokąta
pq do kwadratu nn
transwersala zawierająca zbiór P={i: 1in L(i)=p+q-n} pozwala
rozszerzyć prostokąt L o wymiarze pq do prostokąta L’ o wymiarze
p(q+1)
nowy prostokąt L’ nadal posiada własność: n)1q(p)i('Ln,...,2,1i
fakt ten umożliwia iteracyjne zastosowanie procedury, aż do otrzymania prostokąta
o wymiarze pn
następnie na mocy Twierdzenia 1 prostokąt pn może być rozszerzony do
kwadratu nn
iP L(i)=p+q-n
L’(i)=L(i)+1 L’(i)=(p+q-n)+1 =p+(q+1)-n ≥ p+(q+1)-n
iP L(i)>p+q-n
L’(i)≥L(i) L’(i) ≥ L(i) > p+q-n L’(i) ≥ p+(q+1)-n
© Małgorzata Sterna
18
Matematyka Dyskretna
ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq
DO KWADRATU nn
1. rozszerzenie prostokąta pq do prostokąta pn
(w oparciu o Twierdzenie 2) 1. pq
2. 2. rozszerzenie prostokąta pn do kwadratu nn
(w oparciu o Twierdzenie 1)
© Małgorzata Sterna
19
Matematyka Dyskretna
PRZYKŁAD
321
256
165 p=3
q=3
n=6
5321
1256
4165
i 1 2 3 4 5 6
L(i) 2 2 1 0 2 2
p+q-n=3+3-6=0
P={i:1i6L(i)=0}={4}
Rozszerzanie prostokąta 33 o elementach ze zbioru {1,2,...,6}
do prostokąta 36
w nowej kolumnie muszą być
umieszczone elementy ze zbioru
P={i:1i6L(i)=p+q-n}
321
256
165 A1={2,3,4}
A2={1,3,4}
A3={4,5,6}
szukamy transwersali zawierającej P={4}
© Małgorzata Sterna
20
Matematyka Dyskretna
p=3
q=4
n=6
i 1 2 3 4 5 6
L(i) 3 2 1 1 3 2
p+q-n=3+4-6=1
P={i:1i6L(i)=1}={3,4}
w nowej kolumnie muszą być
umieszczone elementy ze zbioru
P={i:1i6L(i)=p+q-n}
A1={2,3}
A2={3,4}
A3={4,6}
szukamy transwersali zawierającej P={3,4}
5321
1256
4165
5321
1256
4165
65321
41256
34165
© Małgorzata Sterna
21
Matematyka Dyskretna
465321
341256
234165
152643
623514
516432
465321
341256
234165
465321
341256
234165
ostatnia kolumna jest tworzona w sposób jednoznaczny
65321
41256
34165 A1={2}
A2={3}
A3={4}
rozszerzenie prostokąta o wymiarze 36 do kwadratu 66 odbywa
się na mocy Twierdzenia 1
© Małgorzata Sterna
22
Matematyka Dyskretna
ORTOGONALNOŚĆ KWADRATÓW ŁACIŃSKICH
Dwa kwadraty łacińskie L=(lij)nn i M=(mij)nn są
ortogonalne
jeśli wszystkie n2 par (lij,mij) dla 1 i, j n
jest różne.
tablica par liczb stworzona z dwóch ortogonalnych kwadratów łacińskich, ((lij,mij))nn, nazywana jest:
kwadratem grecko-łacińskim
lub
kwadratem Eulera
© Małgorzata Sterna
23
Matematyka Dyskretna
PRZYKŁAD
1234
2143
3412
4321
D
C
B
A
CŚWP
sam
ochód
sam
ochód
dzień dzień
)3,1()4,2()1,3()2,4(
)1,2()2,1()3,4()4,3(
)2,3()1,4()4,1()3,2(
)4,4()3,3()2,2()1,1(
D
C
B
A
C Ś W Psam
ochód
dzień
paliwo biokomponent
Plan testów wszystkich
możliwych kombinacji par
paliwo-biokomponent
(paliwo, biokomponent)
3412
1234
2143
4321
D
C
B
A
CŚWP
© Małgorzata Sterna
24
Matematyka Dyskretna
PROBLEM EULERA (PROBLEM 36 OFICERÓW)
Na defiladzie każdy z 6 regimentów jest reprezentowany przez 6 oficerów
w 6 różnych rangach.
Czy można ustawić oficerów w równobok 66, tak aby w żadnym rzędzie i
kolumnie nie powtarzał się reprezentowany regiment ani ranga?
pytanie postawione przez Eulera w 1782 roku to pytanie o istnienie
ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze 66
odpowiedź negatywną w 1900 roku udzielił Tarcy
© Małgorzata Sterna
25
Matematyka Dyskretna
TWIERDZENIE BOSEGO-SHRIKHANDE-PARKERA (1960)
Dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich n,
n2,
n6,
istnieją pary ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn.
© Małgorzata Sterna
26
Matematyka Dyskretna
TWIERDZENIE 3
Dla dowolnego n>1 istnieje co najwyżej n-1 wzajemnie
ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn.
Ponadto można dowieść, że:
Jeśli n jest liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej,
to istnieje dokładnie n-1 wzajemnie orogonalnych kwadratów
łacińskich o wymiarze nn.
© Małgorzata Sterna
27
Matematyka Dyskretna
DOWÓD TWIERDZENIA 3 niech L1, L2, ..., Lq oznacza q różnych ortogonalnych kwadratów
łacińskich o wymiarze nn w postaci podstawowej
nj1 j l kj1
qk1
qk1 ,nj,i1 ) l(L kijk
)l,l()l,l( jll 212121 kj1
kj1
k21
k21
k21
k21
knn
k2n
k1n
kn2
k22
k21
l...ll
............
l...ll
n...21
kwadraty są w postaci podstawowej, więc
kolejne elementy lk21 kwadratów 1≤k≤q mogą przyjąć tylko wartości
różne od 1, czyli ze zbioru {2,...,n}
każdy z kwadratów musi mieć inną wartość lk21, aby były one
wzajemnie ortogonalne
w przeciwnym wypadku dla pewnej pary kwadratów k1, k2
ponieważ istnieje n-1 możliwych wartości lk21 tym samym
istnieje co najwyżej n-1 wzajemnie ortogonalnych kwadratów o
wymiarze nn (qn-1)
© Małgorzata Sterna
28
Matematyka Dyskretna
PRZYKŁAD Istnieją 3 wzajemnie ortogonalne kwadraty łacińskie wymiaru 44
(n=4=22 istnieją (n-1)=3 wzajemnie ortogonalne kwadraty 44)
1234
2143
3412
4321
3412
1234
2143
4321
2143
3412
1234
4321
)3,1()4,2()1,3()2,4(
)1,2()2,1()3,4()4,3(
)2,3()1,4()4,1()3,2(
)4,4()3,3()2,2()1,1(
)2,3()1,4()4,1()3,2(
)3,1()4,2()1,3()2,4(
)1,2()2,1()3,4()4,3(
)4,4()3,3()2,2()1,1(
)2,1()1,2()4,3()3,4(
)3,2()4,1()1,4()2,3(
)1,3()2,4()3,1()4,2(
)4,4()3,3()2,2()1,1(
© Małgorzata Sterna
29
Matematyka Dyskretna