propositioner: sammensatte (molekylære)

Jörg Zeller FOL-modul2 1

Propositioner:sammensatte (molekylære)

Sammensatte (molekylære) propositioner (påstand) kan vha. af logiske operatorer (konnektiver) der svarer til konjunktioner (bindeord) i naturlige sprog, bygges af atomare.

Den mest simple af disse operatorer er negations-operatoren (skrevet ) som svarer til bestemte negationsformer i naturlige sprog.

F.eks. vil sætningen Henrik elsker ikke sin far se sådan ud i FOL:

ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1))


Konjunktion

Andre logiske propositions-operatorer svarer til nogle (sætnings-) konjunktioner i naturlige sprog.

F.eks. svarer bindeordet og i naturlige sprog til FOL’s konjunktions-operator (skrevet som ) (se konjunktion).

Sætningen Henrik elsker sin far og ikke sin mor skrives i FOL:

ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1)) ELSKER (HENRIK1,mor(HENRIK1))


Disjunktion, inklusive, eksklusive

Bindeordet eller er flertydigt og svarer til to forskellige logiske operatorer.

Den første kaldes disjunktion (skrevet ) og svarer til en interpretation af sætningen Henrik elsker Ingrid eller Anne, hvor der regnes med muligheden at han elsker dem begge to.

ELSKER(HENRIK1, INGRID2) ELSKER(HENRIK1, ANNE1)

Den anden operator kaldes det eksklusive eller (skrevet ) og svarer til den interpretation der kun regner med at han elsker den ene eller den anden, men ikke dem begge (på samme tid).

ELSKER(HENRIK1, INGRID2) ELSKER(HENRIK1, ANNE1)


Implikation

En vigtig logisk operator er implikations-operatoren, skrevet , der nogenlunde svarer til sprogets konjunktion hvis …så i sætninger som hvis Henrik ikke har penge, så kan han ikke købe bil

HAR (HENRIK1,PENGE) KAN_KØBE(HENRIK1, BIL)


Ækvivalens

Endelig svarer den logiske ækvivalens-operator (også kaldet bivalens-operator), skrevet , udtrykket hvis og kun hvis i naturlige sprog som i sætningen

Henrik kommer til festen hvis og kun hvis Anne kommer.

De to nævnte personer vil med andre ord enten begge to deltage i festen eller ingen af dem.

KOMMER_TIL(HENRIK1, FEST) KOMMER_TIL(ANNE5, FEST)


Variabler

Det sidste udtryksmiddel i FOL, vi skal beskæftige os med, er den kvantificerede variabel.

En variabel er i logikken et ubestemt udtryk af en bestemt udtrykstype (se glossar: variabel). Man bruger fx genstandsvariabler, prædikatsvariabler, propositionsvariabler.


genstandsvariabler

Genstandsvariabler er ubestemte genstandstegn og skrives som små bogstaver fra slutningen af alfabetet x, y, … .

Genstandsvariabler i FOL svarer til natursproglige ubestemte stedord som nogen/noget, en/et eller anden/andet.

Variabler bruges i FOL på samme måde – de har den samme syntaks – som de tilsvarende konstante udtryk.

Vil man fx mhp. modelsituation1 udtrykke at nogle af situationens individer er mennesker, så skriver man

MENNESKE(x)


propositionsvariabler

Propositionsvariabler skrives med små bogstaver som p, q, r, … som repræsenterer ubestemte propositioner.

Nogle gange bruges der også store bogstaver P, Q, … som metasproglige tegn, dvs. hvis der ikke skal siges noget om en situation, men om sproget der beskriver en eller anden situation - fx hvordan propositionstegn i FOL bliver brugt (jf. slide 29).

Propositionsvariabler bruges i propositionslogikken (PL, jf. slide) for tydeligere at kunne vise strukturen (og dermed logikken) i sammensatte propositioner. PL-love skrives med propositions-variabler, fx De Morgans lov:

(p q) p q


Propositionsformer, kvantorer

FOL-udtryk der indeholder variabler har ingen bestemt mening.

Udtrykket MENNESKE(x) brugt med henblik på modelsituation1 siger ikke noget om hvem eller hvad der påstås at være et menneske i denne situation. Propositionen er altså hverken sand eller falsk.

Propositionslignende udtryk der indeholder variabler bliver derfor kaldet propositionsformer. Man kan dog bruge propositionsformer i forbindelse med operatorer, kaldet kvantorer, der forvandler dem til propositioner.

Vha. af en sådan operator kan man fx i FOL udtrykke hvad der svarer til den natursproglige sætning der findes nogle mennesker (i modelsituation1) eller alle (genstande i modelsituation1) er mennesker.


Eksistenskvantor

Der bliver altså to nye operatorer introduceret for at fastlægge den måde hvordan genstandsvariabler skal interpreteres på.

Eksistenskvantoren, skrevet , bliver brugt i forbindelse med variabler for at udtrykke propositioner som der findes (mindst) en kvinde som elsker Henrik. Det kunne repræsenteres i FOL ved følgende formel:

x(KVINDE(x) ELSKER(x, HENRIK1))


Universel kvantor

Den universelle kvantor (også al-kvantor, se kvantor), skrevet , bliver anvendt på variabler i sætninger som alle kvinder elsker Henrik. Det bliver i FOL repræsenteret som

y (KVINDE(y) ELSKER(y, HENRIK1))


Parenteser og operatorersrækkevidde

Da logiske operatorer kan blive indlejret i hinanden, kan der opstå flertydigheder i formler afhængigt af hvilken operator der optræder i rækkevidden (gyldighedsområde, eng. scope) af hvilken anden operator.

F.eks. kunne formelen

P Q

læses som konjunktion af to formler ( P Q) eller som negation af formelen P Q, dvs. som (P Q).

For at undgå denne mulige tvetydighed anvender man konventionen at negationsoperatoren altid er forbundet med den mindst mulige rækkevidde. Skal den anvendes på et større gyldighedsområde så skal der bruges parenteser som sket ovenfor med formelen (P Q).


Parenteser og kvantorersrækkevidde

Samme flertydighed som med konnektivernes rækkevidde kan opstå med kvantorernes. Også her bruger man parenteser for at eliminere flertydigheden.

Tag fx den natursproglige sætning enhver pige elsker et eller andet husdyr. Oversætter man til FOL, så vil det se sådan ud:

x (PIGE(x) y (HUSDYR(y) ELSKER( x,y)))


FOL-vokabular

syntaktisk funktion eksempel

Term/genstandstegn

a. (individ)konstant HENRIK1, ANNA2

b. (individ)variabel x, y, z, …; x1, x2, …

c. funktion far(ANNA2), bror(VIBEKE)

Prædikat/begrebstegn

a. egenskab, genstandstype HVID(…), TERMOKANDE(…)

b. relation SØSTER(…, …), MELLEM(…,…,…)

Proposition/sætningstegn

Propositionsvariabler p, q, r, …, p1, p2, …


FOL-vokabularforts.

Syntaktisk funktion eksempel

Konnektiv/propositionsoperator

Negation p

Konjunktion p qDisjunktion p q

Implikation p qÆkvivalens p q

Kvantor

Eksistenskvantor x …Universal-/al-kvantor x …

Parenteser/interpunktionstegn ( )


FOL-syntaksregler (formationsregler)

De logiske syntaksregler angiver hvordan man anvender det logiske sprogs vokabular for at danne korrekte (også kaldt velformede) udtryk af dette sprog. Omdrejningspunktet for disse regler er begrebet velformet formel (forkortet: vff, se glossar). FOL-regler for dannelsen af vff’s i FOL ser således ud:

1. Hvis , , … er en (konstant eller variabel) term og P er et prædikatstegn, så er P(), P(,), P(,, …, ) vff’s.

2. Hvis p, q, … er propositionstegn og , , ,, er propositionsoperatorer, så er p, p q, p q, p q, p q vff’s.

3. Hvis p er et propositionstegn med x som fri variabel og x, x er kvantorer, så er x p og x p vff’s.


Oversættelse fra et naturligt sprogtil FOL

Natursprogligt udtryk FOL-udtryk

Henrik HENRIK1

Henriks far far(HENRIK1)

Henrik elsker sin far ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1))Henrik elsker ikke sin søster ELSKER(HENRIK1, søster(HENRIK1))Henrik er klog eller en flot fyr KLOG(HENRIK1) FLOT_FYR(HENRIK1)

Henrik er enten klog eller en flot fyr KLOG(HENRIK1) FLOT_FYR(HENRIK1)

Henrik er både klog og flot KLOG(HENRIK1) FLOT(HENRIK1)Hvis Anna tænker logisk så er TÆNKER_LOGISK(ANNA3) KLOG(ANNA3)

hun klog

Henrik går til fest hvis og kun GÅR_TIL(HENRIK1, FEST4)

hvis Gitte går GÅR_TIL(GITTE8, FEST4)Danmark har en hovedstad y HOVEDSTAD(y, DANMARK)Alle lande har en hovedstad x(LAND(x) y(HOVEDSTAD(y, x)))


Øvelse 2.1

Oversat følgende danske sætninger til FOL:

1. Picasso er en mand og Jacqueline er Picassos kone.

2. Hvis Meurice ikke holdes fast, så falder han ned fra geden.

3. Ikke alle børn er Picassos børn.

4. Et barn er hverken Picassos eller Jacquelines barn.

5. Der findes to personer med sandaler på.

6. Picasso er en gammel mand eller han er maler.

7. Meurice morer sig hvis og kun hvis Paloma morer sig.

8. Solen skinner ikke eller er ikke stået op endnu.

9. Paloma er Picassos datter, men ikke Kathys søster.

10. Alle personer er enten af hankøn eller af hunkøn, men ikke begge dele.


Øvelse 2.2

Oversat følgende FOL-udtryk til dansk:

1. x(HAR_PÅ(x, SANDALER) HANKØN(x))

2. y(GED(y) SIDDER_PÅ(MEURICE, y))

3. KONE(JACQUELINE, PICASSO) MAND(PICASSO, JACQUELINE)

4. HEDDER(bror(PALOMA), CLAUDE) SØN(CLAUDE, PICASSO)

5. x(MENNESKE(x) BESLÆGTET(x, MEURICE))

6. x((PERSON(x) HAR_PÅ(x, HÅRBÅND)) y(HAVEBÆNK(y) BAGVED(y, x)))

7. (KIKKER_PÅ(CLAUDE, GED) KIKKER_PÅ(PALOMA, GED)) x(BARN(x, PICASSO) KIKKER_PÅ(x, GED))

8. x((BARN(x) GLAD(x)) BARN(PICASSO)) GLAD(PICASSO)

propositioner: sammensatte (molekylære)

Documents