Proporo ureaAluso seo urea na estao Saldanha do metr de Lisboa.Proporourea, nmerodeouro, nmeroureo,seco urea, proporo de ouro uma constante realalgbrica irracional denotada pela letra grega (PHI),em homenagem ao escultor Phideas (Fdias), que a te-ria utilizado para conceber o Parthenon, e com o va-lor arredondado a trs casas decimais de 1,618. Tam-bm chamada de se(c)o urea (do latim sectio au-rea)[1], razo urea,[2] razo de ouro, mdia e extremarazo (Euclides), divinaproporo, divinaseo (dolatim sectio divina), proporoemextremarazo[3],diviso de extrema razo ou urea excelncia.[4][5] Onmero de ouro ainda frequentemente chamado razode Phidias .[6][7][8]Desde a Antiguidade, a proporo urea usadana arte.[9]frequentea sua utilizaoempinturasrenascentistas, como as do mestre Giotto. Este nmeroest envolvido com a natureza do crescimento. Phi (noconfundir com o nmero Pi ), como chamado o n-mero de ouro, pode ser encontrado de forma aproximadano homem (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, porexemplo), nas colmeias, entre inmeros outros exemplosque envolvem a ordem de crescimento na natureza.Justamente por ser encontrado em estudos decrescimento o nmero de ouro ganhou umstatusde ideal, sendo alvo de pesquisadores, artistas eescritores.O fato de ser apoiado pela matemtica queo torna fascinante.1 Propriedades matemticasDiviso em mdia e extrema razo. A partir de um segmentode 10 unidades, determina-se a sua seo urea multiplicando-opor 0,618 (mdia). Para encontrar-se um segmento maior, emextrema razo, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por1,618.1.1 Denio algbricaA razo urea denida algebricamente como:a + ba=ab= .A equao da direita mostra que a = b, o que pode sersubstitudo na parte esquerda, resultando em:b + bb=bb.Cancelando b em ambos os lados, temos: + 1= .Multiplicando ambos os lados por , resulta: + 1 = 2.Finalmente, subtraindo2deambososmembrosdaequao e multiplicando todas as parcelas por 1, en-contramos:12 2 PROPORO UREA NA NATUREZA21 = 0, que uma equao quadrticada forma ax2+bx+c = 0, emque a = 1,b =1 e c = 1.Agora, basta resolver essa equao quadrtica. Pela Fr-mula de Bhskara: =bb24ac2a =(1)(1)241(1)21 =11+42 =152A nica soluo positiva dessa equao quadrtica a se-guinte: =1+52 1.61803398875, que o nmero.1.2 Sequncia de FibonacciRepresentao da sequncia de Fibonacci na Mole Antonellianaem Turim, Itlia.O nmero ureo est presente na frmula dotermo geral da Srie de Fibonacci:F(n) =n+n+=15[(1+52)n(152)n]O nmero ureo pode ser aproximado pela diviso do n-simo termo da Srie de Fibonacci pelo termo anterior,sendo a aproximao tanto melhor quanto maior for n.Por exemplo:21=2;32=1, 5;85=1, 6;138=1, 625;8955= 1, 61818... ;67654181= 1, 6180339...1.3 Srie de fraesO nmero ureo tambm pode ser encontrado atravsde fraes contnuas, normalmente representadas como[a,b,c,d,e,...], o que resulta em:[10]a +1b +1c+1d+1eA aproximao do nmero ureo vem com a quantidadede nmeros 1 em uma representao de Srie de Fraes.O valor varia em torno do nmero ureo, sendo maiorou menor alternadamente, mas sempre se aproximandodeste.[1; 1] = 1 +11= 1 + 1 = 2.[1; 1, 1] = 1 +11 +11= 1 +12=32= 1, 5.[1; 1, 1, 1] = 1+11 +11+11= 1+132= 1+23=53= 1, 666.[1; 1, 1, 1, 1] = 1+11 +11+11+11= 1+153= 1+35=85= 1, 6.Um nmero irracional sempre pode ser aproximado pornmeros racionais, e os convergentes da representaoem frao contnua so as melhores aproximaes. Aaproximao to melhor quando se corta a expansoem um coeciente grande; por exemplo, uma boa apro-ximao de = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] obtida aose tomar ~= [3; 7, 15, 1] = 3.141592920.... Como to-dos os coecientes da frao contnua de so um, todassuas aproximaes por racionais so ruins - de fato, o pior nmero para ser aproximado por racionais.[10]1.4 Srie de razes1 +1 +1 +1 + ...2 Proporo urea na natureza2.2 Vegetais 3Segmentos do pentagrama esto na proporo urea, como mos-tra a gura. O pentagrama obtido traando-se as diagonais deumpentgono regular. Opentgono menor, formado pelas inter-sees das diagonais, est emproporo como pentgono maior,de onde se originou o pentagrama. A razo entre as medidas doslados dos dois pentgonos igual ao quadrado da razo urea.2.1 Figuras geomtricasUm decgono regular, inscrito numa circunferncia, temos lados emproporo urea como raio da circunferncia.Um pentagrama regular obtido traando-se as diago-nais de um pentgono regular. O pentgono menor, for-mado pelas intersees das diagonais, tambm est emproporo com o pentgono maior, de onde se originou opentagrama. A razo entre as medidas dos lados dos doispentgonos igual ao quadrado da razo urea. A razoentre as medidas das reas dos dois pentgonos igual aquarta potncia da razo urea.Chamando os vrtices de um pentagrama de A, B, C, De E, o tringulo issceles formado por A, C e D tem seuslados em relao dourada com a base, e o tringulo iss-celes A, B e C tem sua base em relao dourada com oslados.Quando Pitgoras descobriu que as propores no penta-grama eram a proporo urea, tornou esse smbolo es-trelado como a representao da Irmandade Pitagrica.Esse era um dos motivos que levava Pitgoras a dizer quetudo nmero, ou seja, que a natureza segue padresmatemticos.2.2 VegetaisComo os vegetais no tm formas exatas, a ponto de se-rem construdos com rgua e compasso, a divina propor-o, bem como a srie Fibonacci, s podem ser encon-tradas por aproximao.[11][12]2.3 AnimaisNos animais, as medidas tambmso aproximadas.[11][12]Populao de abelhas A proporo entre abelhasfmeas e machos em qualquer colmeia.Concha do caramujo Nautilus A proporo emque cresce o raio do interior da concha desta espciede caramujo. Este molusco bombeia gs para dentrode sua concha repleta de cmaras para poder regulara profundidade de sua utuao. Obs.: at hoje nose encontrou nenhum caramujo Nautilus que com-prove essa armao amplamente difundida.Outros phi esto tambm nas escamas de peixes,presas de elefantes, crescimento de plantas.2.4 Corpo humanoO Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As ideias de pro-poro e simetria aplicadas concepo da beleza humana.Aaltura do corpo humano e a medida do umbigo ato cho.4 3 APLICAESPropores ureas em uma mo.A altura do crnio e a medida da mandbula at oalto da cabea.A medida da cintura at a cabea e o tamanho dotrax.A medida do ombro ponta do dedo e a medida docotovelo ponta do dedo.O tamanho dos dedos e a medida da dobra centralat a ponta.A medida da dobra central at a ponta dividido e dasegunda dobra at a ponta.Essas propores anatmicas ideais foram representadaspelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.Dimenso do tero em mulheres jovens (16 e 20anos), segundo o pesquisador Jasper Vergtus, daUniversidade de Leuven.[13]3 AplicaesO homem, em muitas ocasies, tem buscado o ideal daperfeio nas linguagens artsticas.3.1 ArteA proporo urea foi muito usada na arte,em obrascomo O Nascimento de Vnus, quadro de Botticelli, emque Afrodite est na proporo urea. Essa proporoestaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar aperfeio da beleza.Em O Sacramento da ltima Ceia, de Salvador Dal, asdimenses do quadro (aproximadamente 270 cm 167As linhas vermelhas representam os eixos vertical e horizontal.As linhas brancas so divises ureas. Os olhos e a boca estoposicionados nessa estrutura geomtrica.[14]cm) esto numa Razo urea entre si. Na histria daarte renascentista, a perfeio da beleza em quadros foibastante explorada com base nessa constante. Vrios pin-tores e escultores lanaram mo das possibilidades que aproporo lhes dava para retratar a realidade com maisperfeio.A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporourea nas relaes entre o tronco e a cabea, bem comonos elementos da face, mas isso uma caracterstica ine-rente ao ser humano e tais propores podem ser encon-tradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenhasido respeitada.[15] Medies feitas por computador mos-traram que os olhos de Mona Lisa esto situados em sub-divises ureas da tela.[14]3.2 Retngulo douradoEmgeometria, o retngulo de ouro surge do processo dediviso em mdia e extrema razo, de Euclides. Ele as-sim chamado porque ao dividir-se a base desse retngulopela sua altura, obtm-se o nmero de ouro 1,618.[16]5Proporo urea em retngulos.3.3 MsicaO nmero de ouro est presente em diversas obras decompositores clssicos, sendo o exemplo mais notvela famosa sinfonia n. 5, de Ludwig van Beethoven[17].O compositor hngaro Bla Bartk tambm se utilizoudesta relao de proporcionalidade constantemente emsua obra[18], assim como o fez o francs Claude Debussyem diversas de suas sonatas[19].No jazz h msicos que usam os nmeros da srie Fibo-nacci na diviso rtmica e dos compassos.[20]3.4 LiteraturaNo livro O Nmero de Ouro, Matila Ghyka demons-trou a existncia da proporo urea em textos escritospor Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valry, Pierre Louys,entre outros. Na pesquisa Ghyka relacionou as estrofes deacordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmoprosdico.[21]3.5 CinemaO diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do nmero no lme O Encouraado Potemkin para marcar os inciosde cenas importantes da trama, medindo a razo pelo ta-manho das tas de pelcula.4 Linha do tempoLinha do tempo baseada nos estudos de PriyaHemenway:[22]Phidias (490430 aC) projetou o Partenon que con-tm propores ureas.Plato (427347 aC), no seu Timeu, descre-veu os slidos platnicos: tetraedro, hexaedro(cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro).Podemser encontradas propores ureas em partes dosslidos.[23]Euclides (325265 aC), em sua obra Os Elementos,registrou a construo geomtrica diviso em m-dia e extrema razo (Em grego: ).[3]Fibonacci (11701250) mencionou a sequncia n-merica conhecida como Sequncia de Fibonacci;que so aproximaes do nmero de ouro.Luca Pacioli (14451517) estudou a divina propor-o em sua obra de mesmo nome. O termo foi su-gerido por Leonardo Da VinciMichael Maestlin (15501631) publicou a fraodecimal do nmero de ouro.Johannes Kepler (15711630) provou que a propor-o urea o limite da relao entre os nmeros con-secutivos da srie Fibonacci,[24] e descreveu a pro-poro urea como uma jia preciosa": A geome-tria tem dois grandes tesouros: um o Teorema dePitgoras, e o outro a diviso urea.Charles Bonnet (17201793) apontou a presena dasrie Fibonacci nas espirais logartmicas presentesnas plantas, tanto no sentido-horrio, como no anti-horrio.Martin Ohm (17921872) acredita-se ter sido o pri-meiro a usar o termo segmento ureo para descreveressa relao, em 1835.[25]douard Lucas (18421891) deu sequncia num-rica o nome de Srie de Fibonacci.Mark Barr (sculo XX) sugeriu a letra grega phi ( ''), que era a letra inicial do nome do escultor gregoFdias, para simbolizar a proporo urea.[26]5 Referncias[1] Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essayson Architecture (New York: W.W. 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Rodrigues,YFdyh-bot, Proferafa2, Leon saudanha, Aartists, Prima.philosophia, Legobot, Mindcraft, Holdfz, Karasinski76 e Annimo: 2349.2 Imagens Ficheiro:Commons-logo.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licena: Public domainContribuidores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions used to beslightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab. Ficheiro:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg Licena: Public domain Contribuidores:Obra do prprio www.lucnix.be. 2007-09-08 (photograph). Photograpy:Artista original: Leonardo da Vinci Ficheiro:Disambig_grey.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Disambig_grey.svg Licena: Public domainContribuidores: Obra do prprio Artista original: Bubs Ficheiro:Divisao-em-media-e-extrema-razao.jpg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Divisao-em-media-e-extrema-razao.jpg Licena: CC0 Contribuidores: So Paulo, Brasil Artista original: Own Ficheiro:Fibonacci_molle.JPGFonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Fibonacci_molle.JPGLicena: Public do-main Contribuidores: ? 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