FLUJO BIDIRECCIONAL

• Casos de Flujo Bidireccional

• Red de Flujo

• Ecuación Fundamental del Flujo de agua

• Métodos de resolución de la Red de Flujo

CASOS DE FLUJO BIDIRECCIONAL

CASOS DE FLUJO BIDIRECCIONAL

CASOS DE FLUJO BIDIRECCIONAL

• El flujo de agua en los casos observados no es unidireccional, podrá suponerse bidireccional

• No es válida la Ley de Darcy tal como se definió• Deberá definirse un modelo general del flujo de

agua en el suelo, generalizando la Ley de Darcy a flujos en dos y tres direcciones

• El modelo utilizado será la Red de Flujo

Red de Flujo para filtración unidireccional• Flujo unidireccional vertical en régimen establecido• Muestra en tubo de sección transversal cuadrada (a x a),

altura L y pérdida de carga H.

L

Arena

H

z = 0

hL

hz

L+h

H

h

hu

a

LH

h

a

Número infinito de Líneas de FlujoSólo se representarán cinco

Las paredes verticales conforman dos líneas de flujo2 líneas de flujo conforman un Tubo de Flujo de iguales dimensionesLas Líneas de Flujo son paralelas No existe flujo de un canal a otroGasto total = gasto en un canal x nº de canalesSe tienen 16 canales de flujo

LH

h

a

Líneas equipotenciales equidistantes la caída de carga entre dos equipotenciales es igualLa sección superior de la muestra será una equipotencial

Líneas según las cuales la carga total del agua que fluye es constanteLíneas Equipotenciales

LH

h

a

Red de Flujo:Red de Flujo: Malla compuesta por Líneas de Flujo y Líneas Equipotenciales

LH

h

a

LH

h

a

• Suelo isótropo: líneas de flujo líneas equipotenciales

• La red de flujo es un sistema de mallas ortogonales

• El sistema más empleado es el de mallas cuadradas

• A partir de Red de Flujo:– Gasto (Q)– Carga total (H) Presión de poros (u)– Gradiente hidráulico (i)

Gasto (Q)

• Gasto a través del cuadrado A:

• Pérdida de carga en A:

– H: Pérdida de carga total

– nd: número de caídas de carga en la red

• Gradiente hidráulico:

Malla cuadrada: b = l

b

lAAAA akiq

dA n

HH

lnH

lH

id

AA

1 bBbaA

lnkHb

qd

A d

A nkH

q

• Gasto en una sección de lado unitario normal a la figura:

• nf: número de canales de flujo de la red

• Factor de forma de la red:

• Factor de forma: Característica de la red independiente de k y de H

b

lA

qA qA qA qA

fd

fA nnkH

nqLQ

q

d

f

n

n

kHLQ

q

Carga Hidráulica (H) y Presión de Poros (u)

• Si H es la pérdida de carga la pérdida de carga entre dos equipotenciales será:

• Carga hidráulica en el punto C:

• n: número de caídas de carga hasta el punto C• En un punto cualquiera que no coincida con

una equipotencial n será un número fraccionado

di n

HH

H

C

nnH

HHd

C

iiwi zHu Presión de Poros:

Red de Flujo para filtración bidireccionalFlujo bajo un tablaestacado

• Condiciones de Contorno

a b

c

d e

f g

EquipotencialEquipotencial

Línea de FlujoLínea de Flujo

• Las Líneas Equipotenciales siguen siendo normales a las Líneas de Flujo

• Punto crítico para el sifonamiento: Punto d

d

Línea de Flujo

Línea Equipotencial

Flujo bajo presa impermeable

a b

c

d e

f

gh

i j

EquipotencialEquipotencial

Línea de Flujo

Línea de Flujo

• En la zona donde las líneas de flujo son horizontales las equipotenciales son verticales

Flujo a través de una presa de tierra

a

b

c

Equipotencial

Línea de Flujo

a

b

cd

• Caída de carga entre equipotenciales = z entre puntos de intersección de equipotencial con línea de saturación

• El flujo en el talud aguas abajo no es ni línea de flujo ni equipotencial

Línea de Saturación

u = 0H = z

u (m)

z

z

Ecuación Fundamental del Flujo de agua en el suelo

• Base teórica de la Red de Flujo y para otros métodos de resolución de problemas de filtración

• Elemento cúbico de suelo a través del cual se produce flujo laminar q con componentes x, y, z

z

y

xx, y, z

dz

dy

dx

Componente vertical del flujo

zyx qqqq

dxdyzh

kkiaq zz

• En un elemento de suelo las componentes de la línea de flujo en x, y, z pueden considerarse rectas Vale Ley de Darcy

• Flujo entrante al elemento:

• Flujo saliente del elemento:

• Donde: kz = Conductividad hidráulica según z, en (x, y, z)

h = Carga total

• Gasto neto que entra en el elemento debido al flujo vertical:

dxdydzz

hzh

dzz

kkkiaq z

zz

2

2

dxdydzz

hzh

dzz

kkdxdy

zh

kq

qqq

zzzz

salienteentrantez

2

2

• Para el caso de conductividad hidráulica constante:

• Análogamente, el gasto en la dirección x es:

• Para flujo bidireccional: qy = 0

dxdydzz

hdz

zk

zh

zk

zh

kq zzzz

2

22

0

zkz

dxdydzz

hkq zz

2

2

dxdydzx

hkq xx

2

2

dxdydzz

hk

x

hkqqq zxzx

2

2

2

2

• Volumen de agua (Vw) en el elemento:

• Velocidad de variación del volumen de agua es:

• Como:

• Igualando las expresiones de q se obtiene:

t

See

dxdydzdxdydz

z

hk

x

hk zx

12

2

2

2

dxdydze

SeVw

1

dxdydze

Sett

Vq w

1

.1

cteVe

dxdydzs

tSe

edxdydz

q

1

te

StS

eez

hk

x

hk zx 1

12

2

2

2

• Ecuación del flujo laminar bidireccional en un suelo

• Cuatro tipos de flujo posible considerando e y S: – 1. e y S constantes Flujo estacionario– 2. e variable; S constante consolidación o dilatación– 3. e constante; S variable drenaje o absorción– 4. e y S variables compresión o expansión

• Para 3 y 4 no hay soluciones satisfactorias• Para 1: Flujo estacionario La ecuación básica se reduce a:

• Para suelo homogéneo: kx = kz

• Ecuación de Laplace

02

2

2

2

z

hk

x

hk zx

02

2

2

2

z

h

x

h

• La solución de la Ecuación de Laplace es una pareja de familias de curvas ortogonales entre sí

• Para flujo laminar estacionario en suelo homogéneo las familias de curvas serán:– Líneas de Flujo– Líneas Equipotenciales

• Las redes de flujo son soluciones particulares teóricas del problema de filtración

Métodos de Resolución de Problemas de Redes de Flujo

• Dibujo de la Red de Flujo• Métodos Analíticos• Modelos• Métodos Analógicos• Métodos Numéricos

Dibujo de la Red de Flujo

• Método primario propuesto por Forchheimer y desarrollado por Casagrande (1937)

• La Red de Flujo se dibuja: – Fijando las condiciones de contorno

– Cumpliendo la condición de ortogonalidad entre líneas de flujo y equipotenciales

• Ventaja: Da una idea directa de problema• Desventaja: Dificultad del dibujo de la red• La literatura de Mecánica de Suelos presenta dibujos de

redes de flujo para muchos casos prácticos

Métodos Analíticos

• Existen soluciones teóricas para algunos problemas de flujo

• Filtración a través de una presa de tierra: – Solución de Kozeny (1933) para equipotencial de aguas

arriba parabólica y dren de pie horizontal– Casagrande: Modificaciones a Kozeny

• Flujo bajo un tablaestacado• Desventaja: Problemas complejos de flujo no tienen

solución satisfactoria

Modelos

• Útiles para representar los fundamentos del flujo de fluidos (Investigación de Laboratorio)

• Desventaja:– Requieren mucho tiempo y trabajo– Dificultades creadas por la capilaridad

Métodos Analógicos

• El flujo de agua es similar al flujo eléctrico y de calor• Los más utilizados son los modelos analógicos

eléctricos:– Voltaje = Carga Hidráulica

– Conductividad = Permeabilidad

– Intensidad de Corriente = Velocidad de flujo de agua

• Permiten resolver problemas complejos

Métodos Numéricos

• Se resuelve Ecuación de Laplace por métodos de cálculo numérico

– Método de Elementos Finitos