propagación numérica de ondas de choque acústicas...
TRANSCRIPT
![Page 1: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/1.jpg)
Propagación numérica de ondas de choqueacústicas
Informe semestral
Roberto Velasco Segura1
Director: Dr. Pablo Luis Rendón Garrido1
1Centro de Ciencias Aplicadas y Desarrollo TecnológicoUniversidad Nacional Autónoma de México
Posgrado en Ciencias Físicas, 2012
![Page 2: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/2.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Objetivo
Modelar numéricamente propagación de ondas de choqueen la atmósfera terrestre.Particularmente: cáusticas de ondas de choque generadaspor un avión.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 2/27
![Page 3: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/3.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Contenido
1 Marco teórico
2 Esquema numérico
3 Resultados preliminares
4 Administración de información
5 Perspectivas
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 3/27
![Page 4: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/4.jpg)
Marco teóricoHamilton, Blackstock (ed.), Nonlinear acoustics, 1998,Academic Press.
![Page 5: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/5.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
¿Qué ecuación vamos a modelar numéricamente?gas heterogéneono linealdisipativados o tres dimensiones(conveniente para tratamiento numérico)
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 5/27
![Page 6: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/6.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Conservación de masa
∂ρ
∂t+∇ ·
(ρ~u)
= 0
(no tiene aproximaciones)
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 6/27
![Page 7: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/7.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Conservación de momento
∂ρ~u∂t
+∇ · (ρ~u ⊗ ~u) = ~B +∇ · σ
Hipótesis de fluido newtoniano: la fuerza de fricción esproporcional a la velocidad relativa.La dependencia de µ y µB, con respecto a lascoordenadas espaciales es baja.~B = 0.
∂ρ~u∂t
+∇ · (ρ~u ⊗ ~u) = −∇p + µ∇2~u +
(µB +
13µ
)∇(∇ · ~u
)
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 7/27
![Page 8: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/8.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Conservación de energía
∂
∂t
(12ρu2 + ρE
)+∇ · ~u
(12ρu2 + ρE
)= ∇ ·
(σ · ~u − ~q
)Heredamos la hipótesis de fluido newtoniano.El cambio de κ con respecto a las coordenadas espacialeses bajo.Ley de Fourier para conducción térmica.
ρTDsDt
= κ∇2T + µB(∇ · ~u)2 +12µ
(∂ui
∂xj+∂uj
∂xi+
23δij∂uk
∂xk
)2
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 8/27
![Page 9: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/9.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Ecuaciones de estado
p = p(ρ, s)
T = T (ρ, s)
Los tiempos de relajación son más cortos que los cambiosinvolucrados en nuestras soluciones.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 9/27
![Page 10: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/10.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Paso de mecánica de fluidos a acústica
Se asume un valor de equilibrio y una perturbación, para cadauna de las variables.
ρ = ρ0 + ρ′
p = p0 + p′
T = T0 + T ′
s = s0 + s′
∃ ε� 1 tal que ε ∼ ρ′
ρ0∼ p′
p0∼ T ′
T0
Las variables ~u y s se manejan diferente
ε ∼ uc0
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 10/27
![Page 11: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/11.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Primer orden
Ecuación de onda lineal
�2p′ = 0
Hipótesis principales:Se cumplen leyes de conservación y ecuación de estado aorden ε.s′ = 0.
(involucra una sola variable)
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 11/27
![Page 12: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/12.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Segundo orden
Ecuación de Westervelt
�2p′ +δ
c40
∂3p′
∂t3 =−βρ0c4
0
∂2(p′)2
∂t2
Hipótesis:Fluido newtonianoNo hay fuerzasexternasLey de FourierTiempos derelajación cortosX ′
X0es del orden de ε
Se cumplen leyes deconservación y ecuación deestado a orden ε2 y s′
µ, µB y κ son constantesNos encontramos lejos de lasparedes, y esto implica ∇× ~u = 0La no linealidad acumuladadomina a la local
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 12/27
![Page 13: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/13.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Adimensionalización
�2p = −Θ∂3p∂ t3− ∂2p2
∂ t2
Nuevas variables
p =βp′
c20ρ0
x =xλ
y =yλ
z =zλ
t = tc0
λ
Parámetro adimensional
Θ =δ
c0λ
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 13/27
![Page 14: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/14.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Comparación
Una dimensiónlineal
ut + c0ux = 0
no lineal (Burgers)
ut + uux = νuxx
Dos o más dimensioneslineal
�2p = 0
no lineal (Westervelt)
�2p = −Θ∂3p∂t3 −
∂2p2
∂t2
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 14/27
![Page 15: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/15.jpg)
Esquema numérico
![Page 16: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/16.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Aproximaciones de diferencias finitas
∂2p∂x2 '
Pni−1,j − 2Pn
i,j + Pni+1,j
∆x2 + O((∆x)2)
∂2p∂y2 '
Pni,j−1 − 2Pn
i,j + Pni,j+1
∆y2 + O((∆y)2)
∂2p∂t2 '
Pn−1i,j − 2Pn
i,j + Pn+1i,j
∆t2 + O((∆t)2)
∂3p∂t3 '
−Pn−2i,j + 3Pn−1
i,j − 3Pni,j + Pn+1
i,j
∆t3 + O(∆t)
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 16/27
![Page 17: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/17.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Esquema numérico
Pn+1i,j =
−K1 ±√
K 21 − 4K0
2
Explícito2DSegundo orden espacialPrimer orden temporalMalla cartesiana ∆x = ∆yImplementado en paralelo sobre un GPU
Karamalis et al., Fast ultrasound image simulation using thewestervelt equation, 2010, Springer.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 17/27
![Page 18: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/18.jpg)
Resultados preliminares
![Page 19: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/19.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Observaciones
Para amplitudes bajas 10−6 los resultados numéricosreproducen cualitativamente el caso lineal.Para amplitudes grandes 10−1 se observa formación deondas de choque en distancias muy cortas.Se observa interacción de ondas de choque provenientesde direcciones no paralelas.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 19/27
![Page 20: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/20.jpg)
Administración de información
![Page 21: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/21.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
http://dondecae.net/t2
ReferenciasFichasConceptosIdeas sueltasResultados
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 21/27
![Page 22: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/22.jpg)
Perspectivas
![Page 23: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/23.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Marco teórico
Introducir heterogeneidades buscando modelarcondiciones atmosféricasAlternativas a la ecuación de Westervelt
Partiendo directamente de las ecuaciones de conservación
∂Q∂t
+∇ · F = 0
Christov et al., Modeling Weakly Nonlinear Acoustic WavePropagation, Q. Jl Mech. Appl. Math, Vol. 60. No. 4, 2007.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 23/27
![Page 24: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/24.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Método numérico
Esquema tipo Godunov (volumen finito)Aprovechar herramienta CLAWPACK (LeVeque)
AdaptativoImplementado en GPULenguaje estandarizado
Condiciones de frontera absorbentes
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 24/27
![Page 25: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/25.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Otras aplicaciones
Aplicaciones médicas: ultrasonidodiagnósticotratamiento
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 25/27
![Page 26: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/26.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Muchas gracias
Hamilton, Blackstock (ed.), Nonlinear acoustics, 1998,Academic Press.Pierce, Acoustics, 1989, ASA.Rudenko, Theoretical Foundations of Nonlinear Acoustics,1977, Consultants Bureau.Naugholnykh, Nonlinear Wave Processes in Acoustics,1998, Cambridge University Press.LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,2002, Cambridge University Press.Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for FluidDynamics, 2009, Springer.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 26/27
![Page 27: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/27.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Ecuaciones de estado
p = p(ρ, s)
T = T (ρ, s)
Series de Taylor
p′ = c20ρ′ +
c20ρ0
B2A
(ρ′)2 +
(∂p∂s
)ρ,0
s′
T ′ =
(∂T∂ρ
)s,0ρ′
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 26/27
![Page 28: Propagación numérica de ondas de choque acústicas ...lya.fciencias.unam.mx/computocientifico/archivos/presentacion.pdf · Ley de Fourier Tiempos de relajación cortos X0 X0 es](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022063007/5fb9441517b2b0015342d978/html5/thumbnails/28.jpg)
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Parámetros de disipación
viscosidad dinámica µ.viscosidad de bulto µB.coeficiente de conductividad térmica κ.difusividad acústica
δ =1ρ0
(43µ+ µB
)+
κ
ρ0
(1cv− 1
cp
)Para aire
µ
µ0=
(TT0
)3/2 T0 + TS
T + TS⇒ µ′
µ0' −3
2T ′
T0
[Pierce], donde TS = 110,4K .
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 26/27