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Experiencias en la solución de un problema de ondas guiadas utilizando el método de Arnoldi Suset Rodríguez Alemán Victoria Hernández Mederos José A. Otero Hernández Valia Guerra Ones Jorge Estrada Sarlabous

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Problema de Propagación de ondas

Problema de propagación de ondas para barras con sección transversal arbitraria

Principio de trabajo virtual

∫𝑆↑▒𝑢↑𝑡 𝑡 𝑑𝑆 = ∫𝑉↑▒𝑢↑𝑡 𝜌𝜕↑2 𝑢/𝜕𝑡↑2   𝑑𝑉 + ∫𝑉↑▒𝜀↑𝑡 𝜎 𝑑𝑉 

•  𝑢= ( 𝑢↓𝑥 , 𝑢↓𝑦 , 𝑢↓𝑧 )↑𝑡  vector de desplazamiento •  𝜀= ( 𝜀↓𝑥𝑥↑ , 𝜀↓𝑦𝑦↑ , 𝜀↓𝑧𝑧↑ , 𝛾↓𝑦𝑧↑ , 𝛾↓𝑧𝑥↑ , 𝛾↓𝑥𝑦 )↑𝑡  vector

de tensiones •  𝜎= ( 𝜎↓𝑥𝑥↑ , 𝜎↓𝑦𝑦↑  , 𝜎↓𝑧𝑧↑ , 𝜎↓𝑦𝑧↑ , 𝜎↓𝑧𝑥↑  , 𝜎↓𝑥𝑦↑ )↑𝑡 

vector de stress •  𝑡= ( 𝑡↓𝑥↑  , 𝑡↓𝑦↑  , 𝑡↓𝑧↑ )↑𝑡  vector de las fuerzas externas •  𝑉 volumen volumen •  𝑆 superficie exterior superficie exterior •  𝜌 densidad densidad

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Construir una malla sobre la sección transversal del objeto

Vector de desplazamiento

Método de Elemento Finito

𝑢=(𝑢↓𝑥 , 𝑢↓𝑦 , 𝑢↓𝑧 )=𝐹(𝑥,𝑦) 𝑒↑𝑖(𝜉𝑧−𝜔𝑡) 

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Método semi-‐analíJco de Elementos Finitos

Frecuencia angular Número de onda

𝜔

𝜉

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Mallas 4-‐8

•  Adaptativas •  Multiresolución

•  Aristas de dos tipos: o  aristas 8-‐8 o  aristas 4-‐8

A48

u 8 •  Vértices de valencia 4

(𝐾↓1 +𝑖𝜉𝐾↓2 + 𝜉↑2 𝐾↓3 ) 𝑢= 𝜔↑2 𝑀𝑢

𝑢=(𝑢↓𝑥 , 𝑢↓𝑦 , 𝑢↓𝑧 )

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Problema Generalizado de autovalores

𝜔

𝝃

=𝐹(𝑥,𝑦) 𝑒↑𝑖(𝜉𝑧−𝜔𝑡) 

Métodos IteraJvos para resolver problemas de autovalores

Entrada: Espacio inicial 𝐾↑1  𝑝 = canJdad de pares (𝜆↓𝑗 , 𝑥↓𝑗 ) 𝑗=1,…,𝑝 a calcular = canJdad de pares (𝜆↓𝑗 , 𝑥↓𝑗 ) 𝑗=1,…,𝑝 a calcular a calcular maxiter número máximo de espacios a considerar Salida: 𝑝 pares (𝜆↓𝑗 , 𝑥↓𝑗 ) 𝑗=1,…,𝑝 pares (𝜆↓𝑗 , 𝑥↓𝑗 ) 𝑗=1,…,𝑝 for r = 1, …, maxiter Calcular aproximaciones desde 𝐾↑𝑟  de los pares (𝜆↓𝑗 , 𝑥↓𝑗 ) 𝑗=1,…,𝑝 if las 𝑝 aproximaciones convergen aproximaciones convergen return else construir el nuevo espacio 𝐾↑𝑟+1  a par8r de 𝐾↑𝑟  end end

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ARPACK

Krylov

𝐾↑𝑟 (𝑣)=𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣, 𝐴𝑣, …, 𝐴↑𝑟−1 𝑣}

𝐾↑1 ⊂ 𝐾↑2  ⊂ … ⊂ 𝐾↑𝑟 

Par de Ritz (𝜃, 𝑥 )

(𝜆,𝑥) 𝐾↑𝑟 

𝑥 ∈ 𝐾↑𝑟 

𝜃 𝑦 𝑥  <𝑤, 𝐴𝑥 −𝜃𝑥 > =0 , ∀𝑤∈ 𝐾↑𝑟 (𝑣)

Condición de Galerkin

(𝜃, 𝑥 ) Problema de autovalores 𝑟𝑥𝑟 , 𝑟≪𝑛 , 𝑟≪𝑛

Base ortonormal del espacio de Krylov

Método de Arnoldi

ARPACK

𝐴↓𝜉  𝑥=𝜆

•  Simétrica •  Definida positiva

•  Comunicación inversa •  Producto matriz-‐vector

(𝐾↓1 +𝑖𝜉𝐾↓2 + 𝜉↑2 𝐾↓3 ) 𝑢= 𝜔↑2 𝑀𝑢

•  Dimensión 3𝑛 •  Sparse estructura

conocida

𝑀 𝑥

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•  Pocos 𝜆 •  Los más pequeños

znaupd ( IDO, BMAT, N, WHICH, NEV, TOL, RESID, NCV, V, LDV, IPARAM, IPNTR,

I G LM SM LR SR LI SI

… 7 …

12

3

WORKD, WORKL, LWORKL, RWORK, INFO )

Comunicación Inversa

𝐴↓𝜉 𝑥= 𝜆𝑀𝑥

Cercanos a cero

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BMAT = I, WHICH = SM

LAPACK •  Cholesky 𝑀=𝐿𝐿↑𝑡  •  Inversa matriz triangular 𝑂𝑝∗𝑥 •  Matriz-‐vector 𝐶𝑦

Modo 1

𝐴↓𝜉 𝑥= λ𝑀𝑥

𝐴↓𝜉 𝐿↑−𝑡 𝐿↑𝑡 𝑥= λ𝐿𝐿↑𝑡 𝑥 𝑦=𝐿↑𝑡 𝑥

𝐴↓𝜉 𝐿↑−𝑡 𝑦= λ𝐿𝑦

𝐿↑−1 𝐴↓𝜉 𝐿↑−𝑡 𝑦 =λy ⁺  Problema estandard

𝐶𝑦 =λy

𝐿↑−𝑡 𝐿↑𝑡 =𝐼

₋  C pierde estructura de sparse definida ₋  SM

𝐿↑−1 

𝐴↓𝜉 𝑥= λ𝐿𝐿↑𝑡 𝑥

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Modo 2


BMAT = G, WHICH = SR

LAPACK •  Factorizar 𝑀

𝑂𝑝∗𝑥 •  Matriz-‐vector •  Resolver sistema

⁺  Se factoriza M una vez ₋  SR 12/21

𝐴↓𝜉 𝑥=𝑧 𝑀𝑦=𝑧


𝐴↓𝜉 𝑥 − 𝛾𝑀𝑥=λ𝑀𝑥 − 𝛾𝑀𝑥

( 𝐴↓𝜉 − 𝛾𝑀)𝑥=(λ− 𝛾)𝑀𝑥

(𝐴↓𝜉 − 𝛾𝑀)↑−1 ( 𝐴↓𝜉 − 𝛾𝑀)𝑥=(λ− 𝛾) (𝐴↓𝜉 − 𝛾𝑀)↑−1 𝑀𝑥

(𝐴↓𝜉 − 𝛾𝑀)↑−1 𝑀𝑥 = 1/(λ− 𝛾) 𝑥 = 1/(λ− 𝛾) 𝑥

𝐴↓𝜉 ↑−1 𝑀𝑥= 1/λ 𝑥

𝛾=0

LAPACK •  Factorizar 𝐴↓𝜉  𝑂𝑝∗𝑥 •  Matriz-‐vector •  Resolver sistema

Modo 3

𝑥=(λ− 𝛾) (𝐴↓𝜉 − 𝛾𝑀)↑−1 𝑀𝑥

⁺  Cercanos a 𝛾 LM ₋  Factorizar 𝐴↓𝜉 

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𝐼 𝑀𝑥=𝑧 𝐴↓𝜉 𝑦=𝑧

WHICH = LM, BMAT = G Shift-invert mode

𝑀𝑥= 1/λ 𝐴↓𝜉 𝑥

Malla Inicial (MI) 1 Paso Refinamiento

2 Pasos Refinamiento

No. VérFces 48 208 352

No. Triángulos 64 352 576

Mallado

EstadísJcas

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Un problema 𝐴↓𝜉 𝑥= 𝜆𝑀𝑥 uJlizando elementos finitos lineales

Tamaño matriz 144 x 144

Iteraciones actualización

Arnoldi

Operaciones

𝑶𝒑∗𝒙 Iteraciones reverse

comunicaFon Tiempo

(en segundos)

Modo 1, Which SM 30 491 492 0.527

Modo 2, Which SR 38 613 2487 0.769

Modo 3, Which LM 3 62 248 0.110



Arnoldi

Operaciones


comunicaFon Tiempo

(en segundos)

Modo 1, Which SM 158 2289 2299 12.483 Modo 2, Which SR 178 2614 10612 24.981 Modo 3, Which LM 4 72 290 1.185



Arnoldi

Operaciones


comunicaFon Tiempo

(en segundos)

Modo 1, Which SM 181 2565 2566 34.005 Modo 2, Which SR 283 4111 16719 99.131 Modo 3, Which LM 4 74 297 1.889

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𝜉=4.01

Modo\Tiempo 144x144 624x624 1056x1056

Modo 1, Which SM 2.27118 segundos 41.9753 segundos 180.452 segundos (3.007 minutos)

Modo 2, Which SR 1.926 segundos 44.433 segundos 184.411 segundos (3.07 minutos)

Modo 3, Which LM 0.299365 segundos 1.99138 segundos 4.95751 segundos

Tiempo promedio 𝐴↓𝜉 𝑥= 𝜆𝑀𝑥

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𝜉=[0.01:0.1:20]

200 problemas

Tiempo total 𝐴↓𝜉 𝑥= 𝜆𝑀𝑥

Modo\Tiempo Matriz 144x144

Matriz 624x624

Matriz 1056x1056

Modo 1, Which SM 7.9291 minutos 150.0917 minutos

(2.50 horas) 652.6429 minutos (10.87 horas)

Modo 2, Which SR 6.4328 minutos 155.5695 minutos

(2.59 horas) 614.8396 minutos (10.24 horas)

Modo 3, Which LM 1.0441 minutos 9.6579 minutos 31.3312 minutos

Shift-invert mode 17/21

𝜉=[0.01:0.1:20]

200 problemas

Matriz Compacta

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8+1=9∗3=27 vecinos

vértice

Curvas de Dispersión

𝑣↓𝑚 = 𝜔↓𝑚 /𝜉 

𝑐↓𝑚 :( 𝑥↓𝑚 (𝜉), 𝑦↓𝑚 (𝜉)) 𝑥↓𝑚 (𝜉)= 𝑓↓𝑚 = 𝜔↓𝑚 /2𝜋  𝑦↓𝑚 (𝜉)= 𝑣↓𝑚  19/21

Desplazamientos

El desplazamiento en cualquier punto (x,y,z) en el instante t está dado por:

𝑢=(𝑢↓𝑥 , 𝑢↓𝑦 , 𝑢↓𝑧 )=𝐹(𝑥,𝑦) 𝑒↑𝑖(𝜉𝑧−𝜔𝑡) 

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Trabajo futuro

•  Extender a elementos finitos cuadráticos •  Definir un operador de refinamiento de la malla

triangular que dependa del estimado del error de aproximación para el cálculo de los desplazamientos

𝑢 = (𝑢↓𝑥 , 𝑢↓𝑦 , 𝑢↓𝑧 ). •  Paralelizar el programa usando GPU para hacer algunos de

los cálculos.

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