projeto estrutural i - torção de aula 01 - torção.pdf · mesma distância até o centróide que...
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Programa de PPrograma de Póóss--GraduaGraduaçção em Engenharia Civilão em Engenharia CivilMestrado AcadêmicoMestrado AcadêmicoFaculdade de Engenharia Faculdade de Engenharia –– FEN/UERJFEN/UERJProfessor:Professor: Luciano Rodrigues Ornelas de LimaLuciano Rodrigues Ornelas de Lima
TorTorççãoão
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1. Introdu1. Introduççãoão
Momento torsor (T) Momento torsor (T) →→ secundsecundááriorioCombinado com outros tipos de esforCombinado com outros tipos de esforçços os →→ flexão flexão →→pode se tornar preponderantepode se tornar preponderante
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1. Introdu1. IntroduççãoãoExemplo PrExemplo Prááticotico
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1. Introdu1. IntroduççãoãoExemplo PrExemplo Prááticotico
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1. Introdu1. Introduççãoão
Importância:Importância:seseçções de paredes finas abertasões de paredes finas abertasFLT FLT –– flambagem lateral por torflambagem lateral por torçção de vigasão de vigasFLA FLA –– flambagem lateral da alma de colunasflambagem lateral da alma de colunasvigasvigas--colunascolunas
SeSeçções de paredes finasões de paredes finasconsiderar o efeito do momento torsor e então adicionar os considerar o efeito do momento torsor e então adicionar os efeitos de outros carregamentosefeitos de outros carregamentosconsideraconsideraçção das seão das seçções abertas (para a grande maioria)ões abertas (para a grande maioria)membros de paredes finas (d/t membros de paredes finas (d/t ≥≥ 10) 10)
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1. Introdu1. Introduççãoão
Procedimento a ser adotadoProcedimento a ser adotadoCalcular as tensões provocadas pelo momento torsorCalcular as tensões provocadas pelo momento torsorAvaliar a resistência a torAvaliar a resistência a torçção e aumentão e aumentáá--la, se necessla, se necessááriorioCertos carregamentos e seCertos carregamentos e seçções transversais ões transversais →→instabilidade por torinstabilidade por torççãoão
TorTorçção ão →→ EmpenamentoEmpenamentoExceExceçções:ões:
seseçções transversais fechadas circulares ões transversais fechadas circulares →→certos casos prcertos casos prááticos onde as seticos onde as seçções de paredes finas são feitas ões de paredes finas são feitas
com elementos de placas que se encontram em um ponto (muito com elementos de placas que se encontram em um ponto (muito fracos fracos torsionalmentetorsionalmente) )
GJL.T e
Jc.T
=φ=τ
≡ (torção em 2 partes)
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1. Introdu1. Introduççãoão
Melhor seMelhor seçção transversal para membros submetidos ão transversal para membros submetidos ààtortorçção ão →→ seseçção circular ocaão circular oca
distância de qualquer elemento desta sedistância de qualquer elemento desta seçção possui a ão possui a mesma distância atmesma distância atéé o centro centróóide que coincide com o centro ide que coincide com o centro de cisalhamento (serde cisalhamento (seráá comentado posteriormente)comentado posteriormente)seseçções circulares inicialmente planas ões circulares inicialmente planas →→ permanecem permanecem planas não havendo distorplanas não havendo distorçção da seão da seçção transversal ão transversal TorTorçção Pura ou Torão Pura ou Torçção de St. ão de St. VenantVenant (T(TSVSV))
ocorre rotaocorre rotaçção ão θθ da seda seçção ão transversal em torno do eixo transversal em torno do eixo
longitudinal do elementolongitudinal do elemento
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1. Introdu1. Introduççãoão
Membros com seMembros com seççãoão transversal transversal →→ Perfil Perfil ““II””empenamento da seempenamento da seçção transversal alão transversal aléém da torm da torçção ão →→muito significante em perfis com semuito significante em perfis com seçções abertasões abertas
TorTorçção Empenamento (ão Empenamento (““WarpingWarping””) ) -- TTww
TSV TW+T =
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))membro com semembro com seçção circularão circulartortorçção pura (St. ão pura (St. VenantVenant)) →→situasituaçção onde as tensões ão onde as tensões em qualquer ponto podem em qualquer ponto podem ser representadas como ser representadas como cisalhamento purocisalhamento puroa linha a linha abab, ap, apóós a aplicas a aplicaçção ão do torsor T passa para a do torsor T passa para a posiposiçção aão a’’bbconsiderandoconsiderando--se o elemento se o elemento infinitesimal infinitesimal dzdz
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))taxa de modificataxa de modificaçção do ângulo de ão do ângulo de tortorçção ão →→ φφ
elemento elemento dzdz →→ linha radiallinha radial da seda seçção ão éé rotacionadarotacionada de um ângulo de um ângulo ddθθenquanto a enquanto a linha na superflinha na superfííciecie sofre sofre uma rotauma rotaçção de ão de γγ →→
atravatravéés do ms do móódulo de cisalhamento dulo de cisalhamento G, a Lei de Hooke fornece para a G, a Lei de Hooke fornece para a tensão cisalhante unittensão cisalhante unitááriaria
γ=φ⇒φ=θ . r
dzd
. rdzdr φ=γ⇒θ
=γ
dz.d.r γ=θ
G.γ=ν
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))da figura da figura →→ torque elementartorque elementar
momento torsor total momento torsor total →→ obtenobtençção do ão do equilequilííbriobrio
como como ddθθ//dzdz e G são constantese G são constantes
dA.G.dzd.rdA.G..rdA..rdT 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ θ
=γ=ν=
∫θ
=A
2 dA.G.dzd.rT
⇒θ
= ∫ dArG.dzdT
A
2
J (momento polar de inércia)
dzdGJTSVθ
=
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Esta equaEsta equaçção ão éé ananááloga a de flexão onde o loga a de flexão onde o momento fletor M momento fletor M éé igual a rigidez EI multiplicada pela igual a rigidez EI multiplicada pela curvatura dcurvatura d22y/dxy/dx22. .
Aqui, o momento torsor T Aqui, o momento torsor T éé igual a rigidez igual a rigidez àà tortorçção GJ vezes a ão GJ vezes a curvatura torsional (taxa de mudancurvatura torsional (taxa de mudançça do ângulo a do ângulo θθ))
Finalmente, podeFinalmente, pode--se escrever,se escrever,
⇒=θθ
=γ=ν GJT
dzd mas G.
dzd.rG. SV
Jr.TSV=ν
dzdGJTSVθ
=
2
2
dxydEIM −=
onde r é a distância do ponto conside-rado até o centróide
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))SeSeçções Circularesões Circulares
Para sePara seçções circulares com diâmetro t, não ocorre empenamento da ões circulares com diâmetro t, não ocorre empenamento da seseçção e J representa o momento polar de inão e J representa o momento polar de inéércia e a tensão rcia e a tensão cisalhante mcisalhante mááxima ocorre em r = t / 2xima ocorre em r = t / 2
32tJ
4π= 3
SVmáx t.
T.16π
=ν
SeSeçções Retangularesões Retangularespyx
2222
A
2 III dAydAxdA)y(x dArJ =+=+=+== ∫ ∫∫∫
dz
A B
Ponto APonto A Ponto BPonto B
ττ = 0= 0dz
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))ConsideraConsideraççãoão inconsistenteinconsistente
Para sePara seçções retangulares ões retangulares →→ deformadeformaçções provenientes do ões provenientes do cisalhamento devem variar de forma nãocisalhamento devem variar de forma não--linearlinearJ deve ser reavaliadoJ deve ser reavaliadoA seA seçção transversal não permanece plana como previsto por ão transversal não permanece plana como previsto por StSt. . VenantVenantTeoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade →→ tensão cisalhante mtensão cisalhante mááxima ocorre no ponto xima ocorre no ponto mméédio ao longo do lado do retângulo e atua paralelamente a estedio ao longo do lado do retângulo e atua paralelamente a este
Magnitude Magnitude →→ funfunçção da razão b / t (comprimento / largura)ão da razão b / t (comprimento / largura)
32 t.b.kJ =
2SV1
máx t.bT.k
=ν
0,3330,3330,2910,2910,2810,2810,2630,2630,2490,2490,2290,2290,1960,1960,1660,1660,1410,141kk22
3,003,003,443,443,553,553,753,753,883,884,074,074,334,334,574,574,814,81kk11
∞∞5,05,04,04,03,03,02,52,52,02,01,51,51,21,21,01,0b/tb/t
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Para sePara seçções retangulares ões retangulares →→ as tensões de cisalhamento as tensões de cisalhamento provocadas por T desenvolvemprovocadas por T desenvolvem--se paralelamente se paralelamente ààs faces do s faces do retânguloretângulo
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Quando vQuando váários retângulos são associados para compor a rios retângulos são associados para compor a seseçção transversal, o fluxo cisalhante tornaão transversal, o fluxo cisalhante torna--se mais complexo. se mais complexo.
MMááxima tensão cisalhante xima tensão cisalhante →→ tortorçção pura, em cada retângulo ão pura, em cada retângulo →→ ocorre no ponto mocorre no ponto méédio do maior lado do retângulodio do maior lado do retângulo
∑∑=ν=ν
3btTt e
3btTt
3SVw
máx w3SVf
máx f
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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Para um perfil Para um perfil ““II”” →→ T = T = TTalmaalma + 2 + 2 TTmesamesa
νwm
νfm
νfm
νwm
νfm
νfm
dzdG
3bt
dzdG
3tb.2
dzdG
3tbT
33ff
3ww
SVθ
=θ
+θ
= ∑
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3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaTorTorçção de barras ão de barras →→ seseçções não circulares ões não circulares →→ solusoluçção analão analíítica tica
complicada complicada →→ mméétodos indiretos de solutodos indiretos de soluçção ão →→ MMéétodo de todo de AnalogiasAnalogiasProblemas diferentes (natureza fProblemas diferentes (natureza fíísica) sica) →→ reduzemreduzem--se se ààs s
mesmas equamesmas equaçções diferenciais ões diferenciais →→ analogia entre estes analogia entre estes problemasproblemasPodePode--se afirmar que as varise afirmar que as variááveis xveis x11 e ye y11 de um problema tem a de um problema tem a mesma dependência que as varimesma dependência que as variááveis xveis x22 e ye y22 de outro problemade outro problemaPrandtlPrandtl (1903) (1903) →→ TorTorçção seão seçção qualquerão qualquer →→ mesmas mesmas equaequaçções ões diferenciaisdiferenciais que uma que uma membrana esticadamembrana esticada sobre um contorno de sobre um contorno de mesma configuramesma configuraçção e submetida a uma ão e submetida a uma pressãopressão qq
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3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaAnalogia da Analogia da tensão cisalhantetensão cisalhante →→ ângulo ângulo da da tangentetangente ààsuperfsuperfíície da membranacie da membranaAnalogia do Analogia do momento torsormomento torsor →→ volumevolume entre o entre o plano do plano do contornocontorno e a e a superfsuperfíície da membranacie da membrana
T
τxz
z
τyz
z
qF F
≡≡
20
3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaDefiniDefiniççõesões
q q →→ pressão uniforme na membranapressão uniforme na membrana
F F →→ forforçça no a no ““aroaro”” da membrana por unidade de comprimentoda membrana por unidade de comprimento
G G →→ mmóódulo de cisalhamento eldulo de cisalhamento eláástico:stico:
νν →→ coeficiente de Poissoncoeficiente de Poisson
φφ →→ ângulo de torângulo de torççãoão
ddφφ//dzdz →→ taxa de tortaxa de torçção ão –– ângulo de torângulo de torçção por unidade de ão por unidade de
comprimentocomprimento
)1(2EGν+
=
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3. Analogia de Membrana3. Analogia de Membrana
VolumeVolume
DerivadasDerivadas
EquaEquaçção Diferencialão Diferencial
TorTorççãoãoFunFunçção de Tensão: ão de Tensão: φφ
MembranaMembranaDeflexão: zDeflexão: z
Fq
yz
xz
2
2
2
2
−=∂∂
+∂∂
dzdG2
yx 2
2
2
2 φ−=
∂φ∂
+∂φ∂
yz ,
xz
∂∂
∂∂
yzxy y ,
xτ=
∂φ∂
τ=∂φ∂
∫∫ dy dx z ∫∫ φ= dy dx 2Tsv
Portanto, ângulo da tangente da membrana Portanto, ângulo da tangente da membrana ≡≡ tensões cisalhantestensões cisalhantes
22
3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaVolume abaixo da membrana = Volume abaixo da membrana = TTsvsv / 2/ 2
x
z
y
t
b≡≡
B
B
A A
qF F
q
F F
Corte AA Corte BB
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3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaPressão uniforme Pressão uniforme →→ deslocamento equadeslocamento equaçção parabão parabóólicalica
qF F
y
z
α
t/2
z0
2y kz =
20
2
0 tz 4k
4t kz =∴=
(a) 22
0 y tz 4z =
(b) inclinação: τ== y tz 8
dydz
20
(c) ΣFz = 0: 0sen.b.F.2b.t.q =α−
(d) α===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sentz 4
2t
tz 8
dydz 0
20
máx
para ângulos pequenos, sen α = tan α = (dz/dy)máx
⇒=−∴ 0tz4.b.F.2b.t.q 0
20
tz8
Fq=(e)
dzdG2
Fq φ=(f) mas por analogia e o volume
2/Tz.b.t32V2/TV sv0sv ==∴=
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3. Analogia de Membrana3. Analogia de Membrana(g) 0sv z.b.t3
4T =
(h)b.t.4
T.3z sv0 =
'G2dzdG2
btT.6
tz8
Fq
3sv
20 φ=
φ===
(i)3
'.G.b.tT3
svφ
=
Definindo , tem-se3t.bJ
3
=
'GJTsv φ=
e a rigidez à torção GJCt =
'CT tsv φ=
Comparando-se com a equação M = -EIv” onde M é comparado com Msv, (Tsv), E com G, I com J e φ’ com v”. Da equação (b), tem-se,
y tz 82
0=τ
2svsv0
2/tmáx t.bT 3
t.bT
43.
t 4
tz 4
===τ=τ
⇒=τ 3sv
máx t.bT . t.3
JT . t sv
máx =τ
Para qualquer configuração de retângulo
∑= 3ijij tb
31J
JT . t svij=τ
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4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas Abertas0 ds dz
z t dz ds
s)t( z =
∂σ∂
+∂τ∂
z t -
s)t( z
∂σ∂
=∂τ∂
ΣΣFFzz = 0 = 0 →→
ou ou
1. Assumindo1. Assumindo--se que o se que o momentomomento seja seja apenas no apenas no plano plano yzyz, ou seja, , ou seja, MMyy=0=0, tem, tem--se as tensões de flexão: se as tensões de flexão:
)xIyI(III
Mxyy2
xyyx
xz −
−=σ e e
)xIyI(III
z/Ms xyy2
xyyx
xz −−∂∂
=∂σ∂
Tensões normais Tensões normais →→ flexãoflexão
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4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas Abertas
LembrandoLembrando--se que , temse que , tem--sese
)xIyI(III
V tst
xyy2xyyx
y −−
−=
∂τ∂
z/MV xy ∂∂=
IntegrandoIntegrando--se para encontrar se para encontrar ττtt a uma a uma distância s da face livre, temdistância s da face livre, tem--se o fluxo de se o fluxo de cisalhamento cisalhamento ττtt dado por,dado por,
[ ]∫∫ −−
−=τ s
0xys0y2
xyyx
y ds xtIds ytIIII
V t
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4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas Abertas2. Assumindo2. Assumindo--se que o se que o momento momento ééaplicado no aplicado no plano plano xzxz, isto , isto éé, , MMxx=0=0, , temtem--se as tensões de flexão dadas se as tensões de flexão dadas por:por:
)xIyI(III
Mxxy2
xyyx
yz +−
−=σ
TomandoTomando--se , lembrando que se , lembrando que . e integrando. e integrando--se para se para obter o fluxo de cisalhamento, temobter o fluxo de cisalhamento, tem--se,se,
z/z ∂σ∂z/MV yx ∂∂= [ ]∫∫ −
−+
=τ s0x
s0xy2
xyyx
x ds xtIds ytIIII
V t
3. 3. MomentosMomentos aplicados em ambos os aplicados em ambos os planos planos yzyz e e xzxz →→ as tensões podem as tensões podem ser calculadas por superposiser calculadas por superposiçção dos efeitos. O cortante ão dos efeitos. O cortante VVyy na direna direçção y deve ão y deve ser igual a componente ser igual a componente ττtt na direna direçção y somada ao longo de toda a seão y somada ao longo de toda a seçção. ão. Similarmente, para VSimilarmente, para Vxx e e ττtt na direna direçção x.ão x.
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4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas AbertasO O equilequilííbrio rotacionalbrio rotacional tambtambéém deve ser m deve ser satisfeito, ou seja, o satisfeito, ou seja, o momentomomento em relaem relaçção ao ão ao centrcentróóide ide da seda seççãoão
deve ser deve ser igual a zeroigual a zero em casos de perfis com em casos de perfis com seseçções transversais em I ou Z.ões transversais em I ou Z.
Se este equilSe este equilííbrio brio éé automaticamente automaticamente satisfeito quando o cisalhamento atua no satisfeito quando o cisalhamento atua no centrcentróóide, nenhuma esforide, nenhuma esforçço de toro de torçção atuarão atuaráásimultaneamente com os esforsimultaneamente com os esforçços de flexão.os de flexão.
∫ τn0 ds r )t(
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de CisalhamentoPara se Para se evitar evitar que ocorra que ocorra tortorççãoão da da seseçção transversal ão transversal →→ aplicaaplicaçção da ão da cargacarga na na linha linha que passa pelo que passa pelo centro centro de cisalhamentode cisalhamento →→ em seem seçções ões duplamente simduplamente siméétricas tricas –– coincidência coincidência com o centrcom o centróóideideTodavia, isto nem sempre Todavia, isto nem sempre éé posspossíível vel tendo em vista que em alguns tipos tendo em vista que em alguns tipos de sede seçção transversal, o C.S. fica fora ão transversal, o C.S. fica fora da seda seçção transversalão transversal
0ds r )t(n0 =τ∫
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de CisalhamentoConsiderandoConsiderando--se os esforse os esforçços os cortantes Vcortantes Vxx e e VVyyatuantes em distâncias de atuantes em distâncias de yy00 e xe x00 do centrdo centróóideide, , respectivamente e que o momento torsor em respectivamente e que o momento torsor em relarelaçção ao centrão ao centróóide ide éé o mesmo que , o mesmo que , temtem--se,se,
∫ τn0 ds r )t(
∫ τ=− n00x0y ds r )t(yVxV
Em outras palavras, o momento torsor Em outras palavras, o momento torsor éé igual a igual a . quando as cargas são aplicadas . quando as cargas são aplicadas em planos que passam atravem planos que passam atravéés do centrs do centróóide ide mas igual a zero se as cargas são aplicadas mas igual a zero se as cargas são aplicadas em planos que passam atravem planos que passam atravéés do centro de s do centro de cisalhamento cisalhamento –– coordenadas xcoordenadas x00 e ye y00
0x0y yVxV −
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de CisalhamentoPara se determinar a posiPara se determinar a posiçção do centro de cisalhamento, primeiro fazão do centro de cisalhamento, primeiro faz--se o se o cortante ser igual a zero em uma das direcortante ser igual a zero em uma das direçções (ões (VVyy = 0), lembrando= 0), lembrando--se que se que ττttfoi determinado anteriormentefoi determinado anteriormente
∫ τ−= n0
x0 ds r )t(
V1y [ ]∫∫ −
−+
=τ s0x
s0xy2
xyyx
x ds t xIds t yIIII
V tcomcom
Alternativamente, para VAlternativamente, para Vxx = 0, tem= 0, tem--se,se,
∫ τ−= n0
y0 ds r )t(
V1x [ ]∫∫ −
−
−=τ s
0xys0y2
xyyx
y ds t xIds t yIIII
V tcomcom
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de Cisalhamento
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de Cisalhamento
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de Cisalhamento
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5. Centro de Cisalhamento5. Centro de Cisalhamento
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da figura, temda figura, tem--sese
as mesas do perfil as mesas do perfil éé que resistem ao empenamentoque resistem ao empenamento
6. Tor6. Torçção de Empenamento (ão de Empenamento (““WarpingWarping””))ConsiderandoConsiderando--se uma viga em balanse uma viga em balançço, submetida a um o, submetida a um momento torsor Tmomento torsor T
;2h.u θ= u
d
;dzd.
2h
dzdu θ
= dzd.
2h
dzud
2
2
2
2 θ=
h
3
3
3
3
dzd.
2h
dzud θ=
empenamento restringido
empenamento livre
Vf
Vf
h=d-tf
h.VT fw =
dz
V V+dV
dzTz
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6. Tor6. Torçção de Empenamento (ão de Empenamento (““WarpingWarping””))Da teoria de vigas,Da teoria de vigas,
Logo,Logo,
SubstituindoSubstituindo--se se VVff na equana equaçção de ão de TTww e tomando h = d e tomando h = d –– ttff, , temtem--sese
2
2
ffz
f dzud.EIM e
dzdMV −==
3
3
ff dzud.EIV −=
onde Ionde Iff (momento de in(momento de inéércia das mesas em relarcia das mesas em relaçção ão ao eixo de maior inao eixo de maior inéércia) rcia) éé tomado igual a Itomado igual a Iyy/2 /2
porque a influência da alma pode ser desprezadaporque a influência da alma pode ser desprezada
( ) ( ) dzd.td.
4EI
T td.dz
ud.2
EIT 3
32
fy
wf3
3y
wθ
−−=⇒−−=
3
3
dzd.
2h θ ( ) ⇒−= td.
4I
C mas 2f
yw
dzdECT 3
3
wwθ
−=
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6. Tor6. Torçção de Empenamento (ão de Empenamento (““WarpingWarping””))Finalmente, o momento torsor total serFinalmente, o momento torsor total seráá dado pela equadado pela equaçção:ão:
Reescrevendo a equaReescrevendo a equaçção acima apão acima apóós dividir ambos os termos s dividir ambos os termos por por ECECww, tem, tem--se,se,
A soluA soluçção da equaão da equaçção diferencial acima ão diferencial acima éé dada pordada por
dzdEC
dzdGJTTT 3
3
wwSVzθ
−θ
=+=
w2
2
w
z23
3
ECGJ
a1 onde
ECT
dzd-
dzd
==λ=θ
λθ
aplicado torquepara particular solução a é onde)z(senh.C)zcosh(.BA
p
p
φ
φ+λ+λ+=φ
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7. Condi7. Condiçções de Contorno (Idealizadas)ões de Contorno (Idealizadas)
φ→ rotação φ’ → empenamento φ’’ = 0 → empenamento livre
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7. Condi7. Condiçções de Contorno (Idealizadas)ões de Contorno (Idealizadas)
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7. Condi7. Condiçções de Contorno (Idealizadas)ões de Contorno (Idealizadas)
42
8. Combina8. Combinaçções de Tensõesões de Tensões
'.G.tJT.t SV
SV φ==τ '").td(16b.E
f
2
W φ−−=τ "4
)td.(b.E fw φ
−±=σ
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9. Procedimento para Dimensionamento9. Procedimento para DimensionamentoObter as propriedades mecânicas e geomObter as propriedades mecânicas e geoméétricas da setricas da seçção ão transversaltransversal
J, J, CCww, E e G, E e GEscrever a equaEscrever a equaçção diferencial para o problema a ser ão diferencial para o problema a ser resolvidoresolvidoResolver a equaResolver a equaçção diferencialão diferencial
solusoluçção exata ão exata →→ aplicaaplicaçção das condião das condiçções de contornoões de contornomméétodos aproximadostodos aproximados
Determinar as parcelas de tensõesDeterminar as parcelas de tensõesSaintSaint VenantVenantEmpenamentoEmpenamento
SuperposiSuperposiçção dos efeitosão dos efeitos
44
10. Exemplo Te10. Exemplo Teóóricorico
empenamento restringido φ = 0 (rotação) φ’ = 0 (empenamento)
empenamento livre
Tz
0"
0"4
Ebhw
=φ
=φ−=σ
'"EC'GJTTT wwSVz ⇒φ−φ=+=w
z
w ECT'
ECGJ- '" −=φφ
1.1. equaequaçção diferencialão diferencial
solusoluçção da formaão da forma
tentativatentativap)z(senh.C)zcosh(.BA φ+λ+λ+=φ
z
0 e 0 ;F ;z.F "'p
"p
'pp =φ=φ=φ=φ
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45
10. Exemplo10. Exemplologo,logo,
das condidas condiçções de contornoões de contorno
lembrando quelembrando que
GJTF
ECTF.
ECGJ0 z
w
z
w=⇒−=−
GJz.T)z(senh.C)zcosh(.BA z+λ+λ+=φ
0 e 0 ;0 "L
'00 =φ=φ=φ
1)0cosh()zsinh(.)zcosh(dzd e
2ee)zcosh(
zz=⇒λλ=λ
+=λ
λ−λ
0)0(senh)zcosh(.)z(senhdzd e
2ee)z(senh
zz=⇒λλ=λ
−=λ
λ−λ
46
10. Exemplo10. Exemploentão,então,
que para as condique para as condiçções de contorno do problema, valemões de contorno do problema, valem
GJT)zcosh(..C)z(senh..B' z+λλ+λλ=φ
)z(senh..C)zcosh(..B" 22 λλ+λλ=φ
)zcosh(..C)z(senh..B'" 33 λλ+λλ=φ
0BA0)0( =+⇒=φ
w3
zw
2zz'
ECTCECGJ mas
GJTC0
GJT.C0)0(
λ−=⇒λ=
λ−=⇒=+λ⇒=φ
0)z(senh..C)zcosh(..B0)L( 22'' =λλ+λλ⇒=φ
⇒=λλ
−λ 0)L(senhECT)Lcosh(.B
w3
z
A)Ltanh(ECTB
w3
z −=λλ
=
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47
10. Exemplo10. Exemplofinalmente,finalmente,
a partir de a partir de φφ, obter , obter φφ’’, , φφ””e e φφ”’”’ e determinar e determinar ττSVSV, , σσWW e e ττWW
+λλλ
+λλ
−=φ )zcosh().Ltanh(ECT)Ltanh(
ECT
w3
z
w3
z
z.ECT)L(senh
ECT
w2
z
w3
z
λ+λ
λ−
'.G.tJT.t SV
SV φ==τ '").td(16b.E
f
2
W φ−−=τ "4
)td.(b.E fw φ
−±=σ
48
11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)E = 200000 MPaG = 77000 MPaPerfil W310x74Tz
z
6,0 m43mm10x745J =
69w mm10x505C =
e mm 132710.745.7700010.505.200000
GJECa 3
9w === 52,4
13276000
aL ==
dos dos áábacos (novos) bacos (novos) →→ CASO 9 (CASO 9 (αα = 1,0) = 1,0) →→ ppááginasginas 88 e 8988 e 89
L z em 0,1TGJ'
máxz==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ φ
0 z em 0,1a.T
GJ"' 2
z=−=
φ L z em 63,3a1.
TGJ
z==
φ
0 z em 0,5a5.TGJ"z
==φ
(página 89)
(página 88) (página 89)
(página 88)
tw = 9,1 mm tf = 16,3 mm
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49
11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)
a5.TGJ"z
φ
a1.
TGJ
z
φ
a5.TGJ"z
φ
0 z em 0,5a5.TGJ"z
==φ
L z em 63,3a1.
TGJ
z==
φ
52,4aL=
a1.
TGJ
z
φ
50
11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)
2
za.
TGJ'"φ
zTGJ'φ
L z em 0,1TGJ'
máxz==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ φ
0 z em 0,1a.T
GJ"' 2
z=−=
φ
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51
11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)A.A. Tensão Cisalhante Tensão Cisalhante -- St. St. VenantVenant
L Zem '.G.tmáx SV =φ=τ
GJT.0,1' z
máx =φ Jt.T
GJT.G.t zz
máx SV ==τ
)m.kN(T.2,12)mm/N(T.10.2,1210.745
1,9.TJt.T
z2
z6
3zwz
alma máx SV ====τ −
)m.kN(T.9,21)mm/N(T.10.9,2110.745
3,16.TJt.T
z2
z6
3zfz
mesa máx SV ====τ −
52
11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)B.B. Tensão Normal Tensão Normal -- EmpenamentoEmpenamento
0 Zem máx W =σ
"máx
fmáx W .
4)td.(b.Eφ
−=σ
=−
=σa1.
JT.
4)td.(b.
GE zf
alma máx W
a1.
GJT
a51.
GJT.0,5" zz ==φ
)m.kN(T.6,39T.10.6,391327
1.10.745
T.4
)3,16310.(205.77000200000
zz6
3z ==
−= −
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53
11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)C.C. Tensão Cisalhante Tensão Cisalhante -- EmpenamentoEmpenamento
0 Zem '".16
)td(b.E f2
máx W =φ−
−=τ
2z2
z a1.
GJT.0,1a.
TGJ"'
−=φ
2zf
2
máx W a1.
JT)0,1.(
16)td(b
GE
−−
−=τ
23z
2
máx W )1327(1.
10.745T.
16)3,16310()205(
70000200000 −
=τ
kN.m) em T(T.5,1T.10.5,1 zzz6
máx W ==τ −
54
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
ht
τ = h / t se t é pequeno
área fechada limitada pela linha média = A
Logo, volume V = A . h
Portanto,
Analogia de MembranaAnalogia de Membrana
Aq 2 A t 2 h A2T =τ==
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55
Maior rigidez Maior rigidez àà tortorççãoãoEm tubos de paredes finas Em tubos de paredes finas →→ tensões cisalhantes tensões cisalhantes uniformemente distribuuniformemente distribuíídas ao longo da espessura tdas ao longo da espessura t
tensão cisalhante τ
τt é a força cisalhante por unidade de comprimento ao longo da parede → fluxo cisalhante
Apenas tensões cisalhantes provenientes da torção
Tensões normais (σz) = 0 →τt constante (q)
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
56
O incremento de momento torsor em cada elemento vale:
ds t dT ρτ=Integrando-se, tem-se,
∫ ρτ=s
ds tT
Observando-se que ½ ρ ds representa a área do triângulo hachurado
A2ds s
=ρ∫ onde A representa a área da parede fechada
Aq 2 A t 2T =τ=
E finalmente,
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
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Se uma abertura Se uma abertura éé feita na feita na parede parede →→ movimento relativo movimento relativo entre os dois lados na direentre os dois lados na direçção ão axial do membroaxial do membrodeformadeformaçção unitão unitáária provocada ria provocada
pelo cisalhamento ao longo do pelo cisalhamento ao longo do perperíímetrometro G/τ=γ
A energia de deformaA energia de deformaçção ão interna para qualquer elemento interna para qualquer elemento de comprimento de comprimento dsds ao longo do ao longo do perperíímetro valemetro vale
dsGA2
T21 ds t
21dWi
τ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=γτ=
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
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O momento torsor T em torno O momento torsor T em torno do ponto 0 pode ser substitudo ponto 0 pode ser substituíído do por um binpor um bináário T / r e o trabalho rio T / r e o trabalho externo feito pelo binexterno feito pelo bináário valerio vale
Com o objetivo de se obter Com o objetivo de se obter equaequaçções mais usuaisões mais usuais
E finalmente, eliminandoE finalmente, eliminando--se T se T entre as equaentre as equaçções ões e a anterior e resolvendoe a anterior e resolvendo--se se para a constante de torpara a constante de torçção J, ão J, temtem--sese
2Tn
rT
21dWe
θ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
IgualandoIgualando--se se WWii com com WWee por por unidade de comprimento, temunidade de comprimento, tem--sese
⇒τ=θ
∫s
ds AG4T
2T
AG2
ds/t t
AG2
ds ss∫∫ τ
=τ
=θ
θ= GJT
(com τt constante)
A t 2T τ=
AG2
ds/t t GJT s
∫τ=
∫=
s
2
ds/t A4J
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
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59
Exemplos Exemplos –– Comparar a resistência ao momento torsor T e a Comparar a resistência ao momento torsor T e a constante de torconstante de torçção J para as seão J para as seçções a seguir sabendoões a seguir sabendo--se que se que a tensão cisalhante a tensão cisalhante ττ = 14 = 14 ksiksi::
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
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a) sea) seçção circular de parede finaão circular de parede fina[ ] kipsft 6,91
121 4/(10) (0,5) (14) 2 A t 2T 2 −=π=τ=
42
s
2
in 39320
)25(4ds/t
A4J =ππ
==∫
onde π=π=∫ 205,0/)5(2ds/ts
b) b) seseççãoão caixão caixão retangularretangular
[ ] kipsft 84121 72 (0,5) (14) 2 A t 2T −==τ=
4
s
2
in 288)5,0/36.4(ds/t
A4J ===∫
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
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c) c) seseçção abertaão aberta
Como , a máxima tensão cisalhante ocorrerá nas mesas.JTt
=τ
[ ] 4333 in 08,4)1)(5,5(2)5,0(1031bt
31J =+== ∑
kips-ft 8,4)12)(1()14(08,4
tJT
f==
τ=
A partir dos resultados obtidos, conclui-se que a seção circular possui maior resistência à torção, sendo seguida pela seção caixão retangular
O J destas seções igual a 96 e 71 vezes da seção aberta e T iguais a 19 e 18 vezes ao da seção aberta, respectivamente
12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas
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13. Exemplo CS13. Exemplo CSTomandoTomando--se Vse Vxx = 0 e fazendo= 0 e fazendo--se o momento em relase o momento em relaçção ao ão ao ponto A,ponto A,
∫ τ== b0fy ds h )t(hVqV
s t yIV
ds t yIV
tx
ys0
x
y −=
−=τ ∫
Onde Onde
Para estas sePara estas seçções de paredes ões de paredes finas, o comprimento s finas, o comprimento s utilizado na integrautilizado na integraçção ão éémedido na linha mmedido na linha méédia da dia da espessuraespessura
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63
13. Exemplo CS13. Exemplo CSSubstituindoSubstituindo--se na primeira equase na primeira equaçção ão e usando y = e usando y = --h / 2 com t = th / 2 com t = tff, tem, tem--se,se,
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= ∫
b0 f
x
yy ds s h t
2h
IV
qV
x
22fyb
0x
2fy
I4bh tV
ds s I2
h tV == ∫
E a posiE a posiçção do centro de cisalhamento ão do centro de cisalhamento na direna direçção positiva do eixo x ão positiva do eixo x éé
x
22f
I4bh t q =
Para se obter a coordenada do Para se obter a coordenada do centro de cisalhamento em relacentro de cisalhamento em relaçção ão ao eixo y, aplicaao eixo y, aplica--se Vse Vxx e tomae toma--se se VVyy = 0= 0
∫ τ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − b
00x ds yt)(y2hV
∫−
=τ s0
y
x ds t xIV t
Onde Onde
64
13. Exemplo CS13. Exemplo CSPara ilustrar numericamente Para ilustrar numericamente →→ b = 4b = 4””, h = 12, h = 12”” e t = e t = ttww
CCáálculo do centrlculo do centróóideide
in 8.0)4(212
)2)(4(2t)b2h(t)2/b(b2
A x. Ax
w
w =+
=+
==∑∑
Então, s = x + 3.2 inEntão, s = x + 3.2 in
ww23
y t87.29t )8.0(202 .)4(31I =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
−=τ s
0
2x
y
x ds hs2,32s
29,87V-ds )2,3s(
IV t
SubstituindoSubstituindo--se se ττtt, tem, tem--se,se,
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=τ 4
0
2x
0x ds hs2,32
s29,87
V-y2hVt
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13. Exemplo CS13. Exemplo CSContinuaContinuaççãoão
2hV
2s2,3
6s
29,87hV- x
4
0
23x +
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Com isso, mostraCom isso, mostra--se que yse que y00 = 0. O centro de = 0. O centro de cisalhamento pode ser localizado seguindocisalhamento pode ser localizado seguindo--se se o procedimento abaixo:o procedimento abaixo:
1.1.Calcular, atravCalcular, atravéés da integral das tensões em s da integral das tensões em cada lado da secada lado da seçção, a forão, a forçça cortante atuante;a cortante atuante;
2.2.O centro de cisalhamento O centro de cisalhamento éé localizado de localizado de forma que Vforma que Vxx ou ou VVyy equilibrem as forequilibrem as forçças as atuantes na seatuantes na seçção.ão.
66
14. Observa14. Observaççõesões
I E L
I G L
CI E M w4
4
T2
2
b ycrπ
+π
=
dzdEC
dzdGJTTT 3
3
wwSVzθ
−θ
=+=
Flambagem Lateral por TorFlambagem Lateral por Torççãoão
C E L
J G L
CI E M w4
4
2
2
b ycrπ
+π
=