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Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsor
26 de setembro de 2016
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Este capítulo é dividido em duas partes:1 Torção em barras de eixo reto e seção transversalcircular
(cheia) ouanular (coroa circular).
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D = 2R d = 2r D = 2R
2 Torção em tubos de paredes finas
T
T T τ
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsorTorção em eixos de seção circular
26 de setembro de 2016
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Torção em eixos de seção circular
Barras sujeitas à torção pura: somente o efeito do momentotorsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos.
Barras de eixo reto e seção transversalcircular (cheia) ouanular (coroa circular). Barras com estas características sãocomumente denominadas deeixos
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D = 2R d = 2r D = 2R
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Eixos sujeitos à momentotorsor constante.
=
T
T
A B
T+ DMT
BABA
T
Pequenas deformações: as seções permanecem planas eperpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas.As deformações são deslocamentos angulares (ângulos detorção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção emrelação a outra.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
dFx
dFydFz
..x
y
z
dF
y z
P
T =∫
A(τxyz− τxzy)dA
T =∫
Aρτ dA
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Análise de tensões e deformações na torção
Figura :Mecanismo de deformação de um eixo solicitado por momentostorsores.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
γ a distorção angular do “retângulo”abcd, contido em umasuperfície cilíndrica de raioρ e comprimentodx.
dθ o deslocamento angular (ângulo de torção) elementar daseçãoSdem relação à seçãoSe.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
bb′ = ρdθ (1)
bb′ = γdx (2)
Igualando as equações 1 e 2 tem-se:
γ = ρdθdx
(3)
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Da Lei de Hooke tem-se:
τ =Gγ (4)
lembrando queG é o módulo de elasticidade transversal.Substituindo o valor deγ da equação 3 na equação 4 tem-se:
τ = ρ dθdxG
→ constante
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
dθdxG = constante= K
⇓
τ = Kρ
Pode-se concluir então queτ é função somente deρ, não é função deθ, portanto constante em pontos de mesmoρ ( 0≤ ρ ≤ R ), paraqualquerθ ( 0≤ θ ≤ 2π ) . Desta forma,a variação deτ comρ élinear
Figura :Variação da tensão cisalhante em função de para uma seçãoMomento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Figura :Variação da tensão cisalhante em função deρ para uma seção cheia.Figura extraída de Hibbeler (2008).
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Cálculo da constante Kτ = Kρ→ T =
∫
Aρτ dA
T =∫
Aρτ dA=
∫
AρKρ dA= (K
∫
Aρ2 dA
︸ ︷︷ ︸
Momento de inercia polar:Io
) = K.I0
Logo:
K =TIo
e:
τ = TIoρ
Momento torsor
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Exercícios
τ = TIoρ
Tensão cisalhante máxima se dá paraρ = R:
τmax=TIo
R
Razão entreIo eRé chamada de módulo de resistência à torção(Wo). Então:
τmax=T
Wo
⋄ Seção circular→ Io =π32D4
⋄ Seção anular,De o diâmetro externo,Di o diâmetro interno doeixo en= Di/De→ Io =
π32(D4
e−D4i ) = π32D4
e(1−n4)
Momento torsor
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Exercícios
Ângulo de torção
Ângulo de torção é a rotação relativa entre duas seções distantes deLunidades de comprimento.
θ =
∫ L
0dθ =
∫ L
0
γ
ρdx
︸︷︷︸
γ=ρ dθdx
=
∫ L
0
Lei de Hooke︷︸︸︷
τ
G1ρ
dx
Momento torsor
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Exercícios
Momento torsor
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Exercícios
Substituindo o valor deτ = TρI0
, a equação pode ser reescrita como:
θ =
∫ L
0
TIoρ
︸︷︷︸
τ= TIoρ
1G ρ
dx
θ = T LG Io
Momento torsor
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Exercícios
Torque Aplicado ao eixo na Transmissão de Potência
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Em um eixo de tranmissão de potência, o trabalho executado pelomomento torsorT, constante, é:
dW= Tdφ
ondeφ é o deslocamento angular, em radianos.Como potência é trabalho por unidade de tempo tem-se:
P=dWdt= T
dφdt= Tω
ou:P= Tω
Momento torsor
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Exercícios
P= Tω (5)
Para se aplicar a expressão 5, que relaciona a pôtencia aplicada a umeixo que gira com uma velocidade angularω ao torque T, deve-seobservar as unidades, que devem estar no SI, ou seja:
Potência (P): Watt (1W= 1 Nm/s).
Velocidade angularω = 2πf : rad/s.
Freqüênciaf : Hertz= Hz
Torque (T): Nm.
Se a potência for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power(hp), então os fatores de conversão para W são, respectivamente:
1 CV= 736 W e 1 hp= 746 W
Momento torsor
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Exercícios
Exercícios
Calcular o momento torsor máximo admissível e o correspondenteângulo de torção em um eixo de comprimento de 2 m dadosτadm= 80MPa eG= 85 GPa e seção:
(a) Circular,D = 250 mm; Resposta:T = 245,4 kNm eθ = 0,01506rad.
(b) Anular, comd = 150 mm eD = 250 mm;Resposta:T = 213,63 kNm eθ = 0,01504 rad.
Momento torsor
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Exercícios
A barra circular maciça BC, de aço, é presa à haste rígida AB, eengastada ao suporte rígido em C, como mostra a Figura. Sabendo-sequeG= 75GPa, determinar o diâmetro da barra, de modo que, paraP= 450N, a deflexão do ponto A não ultrapasse 2mm e que a máximatensão de cisalhamento não exceda o valor de 100MPa. Resposta:d = 40,5mm.
Momento torsor
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Exercícios
O eixo ABCD da figura possui 20 mm de diâmetro e o módulotangente do material que o constitui é de 80 GPa. Este eixo ésubmetido aos torques indicados. Pede-se:(a) O diagrama de momento torsor;(b) As tensões máximas em cada trecho;(c) O ângulo de torção da polia C em relação ao apoio A;(d) O ângulo de torção da polia D em relação ao apoio A.
Momento torsor
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Exercícios
Um eixo é composto por cinco polias que estão submetidas aostorques indicados na Figura. Os trechos (1) e (4) têm 25 mm dediâmetro e os trechos (2) e (3) têm 50 mm diâmetro. Dado G= 80GPa, determinar:
(a) A tensão máxima no eixo;
(b) o ângulo de rotação entre as polias D e B;
(c) o ângulo de rotação entre as polias E e A.
Momento torsor
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Exercícios
A haste da figura tem diâmetro de 12mme peso de 80N/m. Determinea tensão máxima de cisalhamento devido à torção na seção Aprovocada pelo seu peso próprio.Resposta: 159,15MPa .
Momento torsor
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Exercícios
Dimensionar o eixo de uma máquina, de 9 m de comprimento, quetransmite 200 CV de potência, dadosτ = 21 MPa e G= 85 GPa a umavelocidade angular de 120 rpm, e calcular o correspondentedeslocamento angular, adotando:
Seção circular cheia. Resposta:D = 142 mm,θ = 0,03107 rad.
Seção anular comd/D = 0,5.Resposta:D = 145 mm,θ = 0,03048 rad.
Momento torsor
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Exercícios
O eixo sólido ABC da Figura de 50 mm de diâmetro é acionado em Apor um motor que transmite 50 kW ao eixo a uma freqüência de 10Hz. As engrenagens B e C acionam maquinários que necessitam depotência igual a 35 kW e 15 kW respectivamente. Calcule a tensãomáxima de cisalhamento no eixo e o ângulo de torção entre o motorem A e a engrenagem em C, sabendo-se que o módulo tangente é de80 GPa.
Figura :Figura extraída de Gere e Goodno (2009)
Momento torsor
Torção em eixos de seção circularAnálise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W domotor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a uma freqüência175rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissívelτadm= 100MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão demm.
Momento torsor