اصفهان صنعتی دانشگاهریاضی علوم دانشکده

نش تعادل کاربردهای

محض ریاضی کارشناسی پروژه

آبادی نجف کامرانیان اعظم

پروژه استاد

جوادی رامین دکتر

۱۳۹۱ مهر

مطالب فهرست

۱ مقدمه۲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تعاریف ۱.۰

۵ حراج ۱۵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیشنهادی قیمت باالترین با حراج ۱.۱۸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیشنهادی قیمت دومین با حراج ۲.۱

۱۱ خریدار - فروشنده بازی ۲۱۱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sealed-bid first-price aucion ۱.۲۱۳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modified Sealed-bid first-price aucion ۲.۲

۱۶ ها قیمت مسابقه مدل ۳۱۶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . کورنو ی نفره دو انحصار مدل یادآوری ۱.۳۱۶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bertrand Duopoly with Homegeneous Products ۲.۳

۲۰ فضایی گیری رای بازی ۴۲۱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نباشد هزینه پر انتخابات ۱.۴۲۲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . باشد هزینه پر انتخابات ۲.۴

۲۵ مراجع

۱

مقدمه

می قرار بحث مورد اند شده سازی مدل استراتژیک های بازی ی وسیله به که را اقتصادی موضوع چندین مقاله این درکنیم. می بررسی اند شده آورده تعادل مفاهیم از بعضی برای ها بازی تئوری وسیله به که را هایی اثبات همچنین دهیم.اثبات فهم برای راه بهترین که کنیم می ادعا ”ما است. نش تعادل معنای از قوی درک یک ساختن مقاله این اصلی هدف

است.” عمل در مفاهیم دیدن نش، تعادل مفاهیم و هاکنیم. می بررسی داریم نیاز مطالب فهم برای که را ها بازی نظریه ی اولیه تعاریف از سری یک شروع برای

تعاریف ۱.۰

استراتژیک: فرمبصورت نفره دو بازی یک استراتژیک فرم

G = (X,Y, u۱, u۲)

استراتژی را بازیگر هر های استراتژی کل (مجموعه هستند بازیکن دو خالص های استراتژی Y و X آن در که میشود تعریف( گویند. بازیگر آن خالص

مطلوبیت۱: تابعاند. بازیکن هر سود بیانگر و شده تعریف X × Y روی که هستند ۲ بازیکن و ۱ بازیکن مطلوبیت توابع ترتیب به u۲ و u۱استراتژی نمایه از بازیکن هر که سودی آنگاه کنند انتخاب را y ∈ Y استراتژی ۲ بازیکن و x ∈ X استراتژی ۱ بازیکن اگر

.۲ بازیکن برای u۲(x, y) و ۱ بازیکن برای u۱(x, y) با است برابر آورند می بدست (x, y)

پاسخ۲: بهترین تابعکرد: تعریف زیر بصورت توان می را پاسخ بهترین تابع

∀y ∈ Y , B۱(y) := {x ∈ X|∀x′ ∈ X u۱(x, y) ≥ u۱(x′, y)}

استراتژی B۱(y) دیگر عبارت به بدهد، تواند می ۲ بازیکن y استراتژی به ۱ بازیکن که است پاسخی بهترین B۱(y) واقع دردارد. همراه به ۲ بازیکن y استراتژی مقابل در ۱ بازیکن برای حداکثری مطلوبیت که است

نش۳: تعادلبازی تغییر ی انگیزه بقیه، بازی بودن ثابت فرض با بازیکنی هیچ آن در که است بازی از ای نقطه نش تعادل اول. تعریف

باشد. نداشته

Utility function۱

Best-Response function۲

Nash Equilibrium۳

۲

هرگاه گوییم نش موازنه را (x∗, y∗) استراتژی جفت دوم. تعریف

∀x ∈ Xy ∈ Y , u۱(x∗, y∗) ≥ u۱(x, y

∗) و u۲(x∗, y∗) ≥ u۲(x

∗, y)

از آورد می بدست (x∗, y∗) کردن بازی از ام i بازیکن که سودی اگر تنها و اگر است بازی نش تعادل یک (x∗, y∗) یعنیباشد. برابر یا بیشتر دیگری) بازی بودن ثابت فرض (با دیگرش بازی هر سود

اگر تنها و اگر گوییم نش موازنه را (x∗, y∗) استراتژی جفت سوم. تعریفB۱(y

∗) = x∗ و B۲(x∗) = y∗

تغییر با بازیکنی هیچ که است ای نقطه باشد، نداشته را خود بازی تغییر ی انگیزه بازیکنی هیچ آن در که ای نقطه یعنیهستند. خود بازی بهترین انجام حال در ها بازیکن ی همه اینکه یعنی این و نشود بیشتر سودش بازیش

دهیم. می نمایش N(G) با را G بازی نش های تعادل تمامی ی مجموعه

نش: تعادل قضایایباشد. ها بازیکن از بعضی توسط غالب ضعیفا استراتژی یک شامل است ممکن نش تعادل یک اول. قضیه

باشد. داشته وجود نش تعادل که ندارد لزومی دوم. قضیه

نیست. یکتا نش تعادل سوم. قضیه

�دوم مثال بازی و است نش تعادل دو دارای اول مثال بازی که آوریم می مثال دو زیر در نش تعادل بهتر فهم برای مثال.

ندارد. نش تعادلاول. بازی

دوم بازیکن ∗

(۲،۳) (۰،۰) بازیکن(۱،۱) (۳،۲) اول

(قضیه اند. بررسی قابل نش تعادل اول تعریف از استفاده با سادگی به که هستند (۲و۳) و (۳و۲) بازی این نش تعادل نقاطسوم)

دوم. بازی

دوم بازیکن ∗

(۱،۰) (۰،۲) بازیکن(۰،۳) (۲،۰) اول

دوم) (قضیه ندارد. نشی تعادل هیچ باال بازی که دید توان می نیز سادگی به

۳

غالب۱: قویا استراتژیاگر: است غالب قویا (x′′, y) استراتژی به نسبت (x′, y) استراتژی

∀y ∈ Y u۱(x′, y) > u۱(x

′′, y)

دهیم. می نمایش Ds(G) با را G بازی غالب قویا های استراتژی تمامی ی مجموعه

غالب۲: ضعیفا استراتژیشود: می تعریف زیر صورت به

اگر: است غالب ضعیفا (x′′, y) استراتژی به نسبت (x′, y) استراتژی

∀y ∈ Y u۱(x′, y) ≥ u۱(x

′′, y)

دهیم. می نمایش Dw(G) با را G بازی غالب ضعیفا تعادل های استراتژی تمامی ی مجموعه

داریم:

Ds(G) ⊆ Dw(G) ⊆ N(G)

یک ،G بازی غالب ضعیفا استراتژی هر و است بازی این غالب ضعیفا استراتژی یک ،G بازی غالب قویا استراتژی هر چوناست. بازی این نش تعادل

صورت این در کنیم، حذف را غالب ضعیفا های استراتژی N(G) ی مجموعه یعنی بازی نش های تعادل ی مجموعه از اگردهیم. می نشان Nundom(G) با که رسیم می ای مجموعه به

ترکیبی: استراتژیاحتمال جمع که قسمی به هاست بازیکن خالص های استراتژی از کدام هر به احتمال یک دادن نسبت ترکیبی، استراتژی یک

باشد. ۱ برابر هانباشد. صفر ها بازیکن خالص های استراتژی از یک هیچ احتمال که است استراتژی ترکیبی، اکیدا استراتژی

ترکیبی: نش تعادلهای استراتژی نوع از ترکیبی نش تعادل های استراتژی که تفاوت این با است معمولی نش تعادل همان ترکیبی، نش تعادل

هستند. ترکیبیکنند. می صدق هم ترکیبی نش تعادل برای معمولی نش تعادل قضایای و تعاریف تمامی که است ذکر به الزم

Strictly Dominant۱

Weakly Dominant۲

۴

حراج ۱

مواد فروش و خرید خارجی، معامالت از بسیاری شوند. می انجام حراج۱ وسیله به اقتصادی معامالت از بسیاری امروزهگیرد. می صورت حراج ی وسیله به ... و ماشین ها، خانه تجارت جات، عتیقه هنری، آثار خام،

شود: می انجام روش چهار به حراج معموال

متقاضی یک فقط زمانیکه تا قیمت حراج این در شود. می گفته نیز انگلیسی حراج آن به که صعودی۲ پیشنهاد با حراج -۱میشود. داده او به فرد آخرین طرف از پیشنهادی قیمت باالترین با شی نهایت در و شود می داده افزایش بماند باقی

حراجگذار همان یا حراج دالل حراج، نوع این در شود. می گفته نیز هلندی حراج آن به که نزولی۳ پیشنهاد با حراج -۲کند. قبول را شده اعالم قیمت کسی که جایی تا آورد می پایین را قیمت مداوم بطور و کند می اعالم را باالیی قیمت

باالترین به شی و دهد می پیشنهاد مخفی بطور را خود قیمت متقاضی هر آن در که پیشنهادی۴ قیمت باالترین در حراج -۳شود. می داده پیشنهادیش قیمت در پیشنهاد

متقاضی به شی و دهد می پیشنهاد مخفی بطور را خود قیمت متقاضی هر آن در که پیشنهادی۵ قیمت دومین در حراج -۴پیشنهادی. مقدار دومین قیمت به ولی شود می داده پیشنهاد باالترین با

۱ فرم و ۳ فرم با ۲ فرم اینکه هم و است تر آسان آنها بررسی هم چون کنیم می بررسی را ۴ و ۳ فرم دو تنها بخش این دربرابراند. هم با استراتژیک نظر از ۴ فرم با

دانیم می کنند. می رقابت هم با ارزشی با شی برای حراج یک در که داریم بازیکن دو تنها کنیم می فرض کار سادگی براییا خریدن i بازیکن برای که است معنی بدین این ) V۱ > V۲ > ۰ بطوریکه است دالر Vi ،i بازیکن برای شی ارزش که

است.) تفاوت بی Vi قیمت در شی نخریدنزیر به مختلف، حاالت در و مشابه شرایط در نتیجه دقیق نوع یافتن اصل در دارد. حراج قوانین به بستگی حراج ی نتیجهاز ساده تعریف یک ساخت هدف مقاله، این در است. مرتبط شود می نامیده حراج تئوری که ها بازی نظریه از ای مجموعهکنیم. می شروع پیشنهادی قیمت باالترین با حراج یعنی حراج روش ترین عمومی تحلیل با را کار این و است موضوع این

پیشنهادی قیمت باالترین با حراج ۱.۱

با متقاضی دیگر). طرف پیشنهاد دیدن (بدون کنند می مطرح مخفی بصورت را خود پیشنهادات بازیکن دو حراج: قوانینبپردازد. باید را پیشنهادیش مبلغ و شود می برنده باالتر پیشنهاد

auction۱

ascending-bid auction۲

descending-bid auction۳

first price sealed bid auction۴

second price sealed bid auction۵

۵

این نتایج باشد. پول ها بازیکن مطلوبیت گیریم می فرض همچنین باشد. حراج این ی برنده ۱ بازیکن گیریم می فرضاست: زیر بصورت استراتژیک فرم در نفره دو بازی در معامله

G = (A۱, A۲, u۱, u۲) s.t A۱ = A۲ = R+

دارند.) قرار R+ در ۲ و ۱ بازیگر های استراتژی تمام پس دارند قرار (۰,∞) ی بازه در شی برای پیشنهادی مقادیر (چون

u۱(b۱, b۲) =

V۱ − b۱ b۱ ≥ b۲

۰ صورت این غیر در∀ (b۱, b۲) ∈ R۲

+

بیشتر ( b۱ ) ۱ بازیکن پیشنهادی مقدار که درصورتی پس V۱ > V۲ است ۲ بازیکن از بیشتر بازیکن برای شی ارزش (چوناین از ۱ بازیکن که سودی مقدار پس شود. می داده ۱ بازیکن به شی باشد، ( b۲ ) ۲ بازیکن پیشنهادی مقدار برابر یا۲ بازیکن پیشنهاد اگر و (V۱ − b۱) کرده پرداخت شی خرید برای که است پولی منهای شی آن ارزش برابر برد می معاملهضرر.) نه و کرده سود نه یعنی ماند می صفر ۱ بازیکن سود و شود می فروخته ۲ بازیکن به شی که باشد ۱ بازیکن از بیشتر

u۲(b۱, b۲) =

V۲ − b۲ b۲ > b۱

۰ صورت این غیر در∀ (b۱, b۲) ∈ R۲

+

شود.) می تفسیر قبل قسمت (مشابهداشته باید نش های تعادل این که را خصوصیاتی ابتدا کار این برای کنیم. می بازی نش های تعادل یافتن به شروع حال

کنیم. می پیدا باشند،

است. برنده ۱ بازیگر کند، می گذاری قیمت بیشتر را شی کسی چه اینکه از جدا نش، تعادل هر در -۱اثبات:

داریم: صورت این در نباشد، حراج ی برنده ۱ بازیگر که کنیم می فرضخلف باشد. نش تعادل یک (b∗۱, b∗۲) کنیم می فرض

(b∗۱, b∗۲) : NE =⇒ b∗۱ < b∗۲ ⇒ u۱(b

∗۱, b

∗۲) = ۰

داریم: حالت دو حال.b∗۲ < V۱ داریم پس V۲ < V۱ چون ،b∗

۲ ≤ V۲ اگر اول. حالتبازیکن اگر است؛ بهتری اکیدا پاسخ b∗۲ مقدار دادن پیشنهاد ۱ بازیکن برای دهد، می پیشنهاد را b∗۲ ،۲ بازیکن وقتی پس۱ بازیکن ها پیشنهاد بودن برابر بخاطر هم و (b∗۲ < V۱) است مثبت سودش هم آنوقت دهد پیشنهاد را b∗۲ ،b∗۱ جای به ۱۱ بازیکن برای پاسخ بهترین تواند نمی b∗۲ از کمتر مقدار هر پیشنهاد پس یابد. می افزایش سودش و شود می حراج برنده

نیست. بازی نش تعادل یک (b∗۱, b∗۲) پس باشد.

.u۲(b∗۱, b∗۲) = V۲ − b∗۲ < ۰ داریم آنگاه باشد b∗۲ > V۲ اگر دوم. حالت

آورد بدست را صفر سود [۰, b∗۲] ی بازه در مقداری انتخاب با توانست می او ولی است منفی ۲ بازیکن سود حالت این در(b∗۱, b

∗۲) بودن نش تعادل با مغایرت که نبوده ۱ بازیکن بازی به ۲ بازیکن پاسخ بهترین b∗۲ پس است، منفی سود از بیشتر که

است.. b∗

۱ ≥ b∗۲ دهد می نتیجه این و است برنده ۱ بازیکن ،G بازی از (b∗۱, b∗۲)نش تعادل هر برای که گیریم می نتیجه بنابراین

۶

از را خود سود تواند می b∗۲ دادن پیشنهاد با ۱ بازیگر که خاطر این به بیفتد اتفاق نش تعادل در تواند نمی b∗۱ > b∗۲ -۲بیفتد. اتفاق تعادل در b∗

۱ = b∗۲ باید پس دهد، افزایش V۱ − b∗۲ به V۱ − b∗۱

چون: بیفتند اتفاق توانند نمی b∗۱ < V۲ و b∗۱ > V۱ حاالت از هیچکدام نش تعادل در -۳پاسخ بهترین صفر سود به نسبت منفی سود این صورت این در u۱(b∗۱, b

∗۲) = V۱ − b∗۱ < ۰ داریم آنگاه باشد b∗۱ > V۱ اگر

دهد. نمی رخ تعادل حالت این در پس نیست، ۱ بازیکن برای

حراج ۱ بازیکن صورت این در و ببرد را حراج تواند می (b∗۱, V۲) ی بازه در مبلغی انتخاب با ۲ بازیگر آنگاه b∗۱ < V۲ اگراست. حراج برنده همیشه ۱ بازیکن نش تعادل در که دانیم می اول قسمت طبق و بازد می را

b∗۱ ̸ >V۱ , b∗

۱ ̸ <V۲ داریم: پس

کند: صدق زیر رابطه در باید بازی این (b∗۱, b∗۲) نش تعادل هر آمده بدست نتایج طبق پس

V۲ ≤ b∗۱ = b∗۲ ≤ V۱

می تضمین V۲ ≤ b∗۱ نامساوی بله. است؟ نش تعادل یک کند، می صدق فوق رابطه در که (b∗۱, b∗۲) زوج هر آیا سوال:سودش شدن برنده صورت در چون ) ندارد شدن برنده به میلی ۲ بازیکن دهد می را b∗۱ پیشنهاد ۱ بازیکن وقتی که کندمی را پاسخش بهترین ۱ بازیکن که کند می تضمین V۱ ≥ b∗۲ نامساوی و است صرفه به عمل این و یابد) می کاهش

دهد.داریم: پس

N(G) = {(b۱,b۲) : V۲ ≤ b۱ = b۲ ≤ V۱}

کنید. رسم (b۱, b۲) فضای در را باال بازی نمودار تمرین۱:

6b۲

-b۱

������

NE

V۲

V۱

V۲ V۱های تعادل ی مجموعه از غالب ضعیفا های عمل حذف با را مساله است، بزرگ نسبتا ی مجموعه یک N(G) اینکه بخاطربازیکن برای غالب ضعیفا عمل یک V۲ از باالتر اکیدا پیشنهاد هر که داد نشان توان می سادگی به واقع در کنیم. می حل نش

است. ۲داریم: حالت دو دهد. پیشنهاد است V۲ از باالتر اکیدا که را b′۲ مقدار ۲ بازیکن کنید فرض موضوع این اثبات برای

۷

بازیکن بنابراین دهد، می نتیجه را u۲(b۱, V۲) = ۰ و u۲(b۱, b′۲) = ۰ صورت این در b′۲ > V۲ و b۱ ≥ b′۲ اگر اول. حالت

هستند. صفر دو هر V۲ و b′۲ از کدام هر انتخاب سود نتیجه در و بازد می ۲

u۲(b۱, V۲) = و u۲(b۱, b′۲) = V۲ − b′۲ < ۰ آنگاه بیفتند اتفاق b′۲ > V۲ و b۱ ≥ V۲ و b۱ < b′۲ اگر دوم. حالت

میدهند. نتیجه را V۲ − V۲ = ۰را u۲(b۱, V۲) = V۲ − V۲ = ۰ و u۲(b۱, b′۲) = V۲ − b′۲ < ۰ آنگاه بیفتند اتفاق b′۲ > V۲ و b۱ < V۲ و b۱ < b′

۲ اگر ومیدهند. نتیجه

کرده پرداخت زیابیش ار از بیشتر چون آورد می دست به منفی نتیجه یک ولی شود می برنده ۲ بازیکن صورت این در پساست. صفر صورت هر در او برای V۲ انتخابی سود پس است.

داریم: خالصه بطور

b۱ < V۲ V۲ ≤ b۱ < b′۲ b۱ ≥ b′۲

۰ ۰ ۰ u۲(b۱, V۲)

V۲ − b′۲ < ۰ V۲ − b′۲ < ۰ ۰ u۲(b۱,b′۲)

پس است ۲ بازیکن برای غالب ضعیفا استراتژی یک باشد، V۲ از بزرگتر اکیدا که ۲ بازیکن پیشنهاد هر باال جدول طبق پسشود می نتیجه V۲ ≤ b۲ = b۱ طبق

Nundom(G) = {(b۱, b۲) : V۲ ≤ b۱ = b۲ ≤ V۱} − {(b۱, b′۲) : b′۲ > V۲} = {(V۲, V۲)}

ندهد. پیشنهاد را اش واقعی ارزش ۱ بازیکن که دارد وجود مهم ی فریبنده ی مساله یک حالواقعی ارزش تا شوند تحریک ها بازیکن ی همه تا شود طراحی طوری باید حراج که بوده برانگیز بحث همیشه مساله این

دهند. پیشنهاد تعادل در را شانبا داد نشان که است کسی او شده، داده مثبت جواب ویکری ویلیام اقتصاددان توسط سوال این است؟ ممکن امر این آیا اما

شود. تبدیل غالب عمل یک به تواند می گفتن راست حراج، قوانین اصالحکنیم. می بررسی را ویکری اصالحات حال

پیشنهادی قیمت دومین با حراج ۲.۱

با متقاضی دیگر). طرف پیشنهاد دیدن (بدون کنند می مطرح مخفی بصورت را خود پیشنهادات بازیکن دو حراج: قوانینبپردازد. باید را دوم نفر پیشنهادی مبلغ ولی شود می برنده باالتر پیشنهاد

معامله این نتایج باشد. پول ها بازیکن مطلوبیت کنیم می فرض همچنین باشد. حراج این ی برنده ۱ بازیکن کنیم می فرضاست: زیر بصورت استراتژیک فرم در نفره دو بازی در

G′ = (A۱, A۲, u۱, u۲) s.t A۱ = A۲ = R+

u۱(b۱, b۲) =

V۱ − b۲ b۱ ≥ b۲

۰ صورت این غیر در∀ (b۱, b۲) ∈ R۲

+

۸

u۲(b۱, b۲) =

V۲ − b۱ b۲ > b۱

۰ صورت این غیر در∀ (b۱, b۲) ∈ R۲

+

است. ۱ بازیکن برای غالب عمل یک b۱ = V۱ پیشنهاد که کنیم می بررسی حال .Dw(G) = {(V۱, V۲)} کنیم می ادعاداریم: حالت سه

b۲ < V۱ بدهد: V۱ از کمتر اکیدا پیشنهاد ،۲ بازیکن -۱آورد. می بدست V۱ − b۲ > ۰ ی اندازه به مطلوبیتی و برده را شی V۱ پیشنهاد با ۱ بازیکن صورت این در

∀b۲ < V۱ = b۱ u۱(b۱,b۲) = V۱ − b۲ > ۰

داریم: b۱ ̸= V۱ و b۲ < V۱ برایاست. u۱(b۱, b۲) = ۰ صورت این در و شود می حراج برنده ۲ بازیکن آنگاه باشد b۱ < b۲ < V۱ اگر اول. حالت

u۱(b۱, b۲) = V۱ − b۲ > ۰ صورت این در و شود می حراج برنده ۱ بازیکن آنگاه باشد b۲ ≤ b۱ < V۱ اگر دوم. حالتاست.

u۱(b۱, b۲) = V۱ − b۲ > ۰ صورت این در و شود می حراج برنده ۱ بازیکن آنگاه باشد b۲ < V۱ < b۱ اگر سوم. حالتاست.

b۲ = V۱ دهد: پیشنهاد را V۱ ،۲ بازیکن -۲

∀b۲ = V۱ = b۱ u۱(b۱,b۲) = V۱ − b۲ = ۰

داریم: b۱ ̸= V۱ و b۲ = V۱ برایاست. u۱(b۱, b۲) = ۰ صورت این در و شود می حراج برنده ۲ بازیکن آنگاه باشد b۱ < b۲ = V۱ اگر اول. حالت

u۱(b۱, b۲) = V۱ − V۱ = ۰ صورت این در و شود می حراج برنده ۱ بازیکن آنگاه باشد b۱ > b۲ = V۱ اگر دوم. حالتاست.

b۲ > V۱ دهد: پیشنهاد را V۱ از بیشتر اکیدا ،۲ بازیکن -۳برای بهینه استراتژی یک V۱ پیشنهاد پس آورد. می بدست صفر مطلوبیت و داده دست از را شی ۱ بازیکن صورت این در

اوست. برای منفی مطلوبیت مستلزم شی بردن زیرا است ۱ بازیکن

∀b۲ > V۱ = b۱ u۱(b۱,b۲) = ۰

داریم: b۱ ̸= V۱ و b۲ > V۱ برایu۱(b۱, b۲) = V۱ − b۲ < ۰ صورت این در و شود می حراج برنده ۱ بازیکن آنگاه باشد b۱ > b۲ > V۱ اگر اول. حالت

است.

u۱(b۱, b۲) اینصورت= در و شود می حراج برنده ۲ بازیکن آنگاه باشد b۲ > b۱ > V۱or b۲ > V۱ > b۱ اگر دوم. حالتاست. ۰

یک هم V۲ پیشنهاد که داد نشان میتوان مشابه استدالل یک با است. ۱ بازیکن برای غالب عمل یک V۱ پیشنهاد نتیجه دراست. ۲ بازیکن برای غالب عمل

۹

تعادل یک (V۱, V۲) که گفت میتوان پس ، ( Dw(G) ⊆ N(G) ) هست هم نش تعادل یک غالب ضعیفا استراتژی یک چوناست. نش تعادل یک هم (V۱,۰) مثال دارند؛ وجود هم دیگری های نش تعادل که هرچند است، بازی این نش

است. نش تعادل یک (V۱,۰) دهید نشان تمرین۲:قسمت در و است ۱ بازیکن برای غالب عمل یک b۱ = V۱ کنیم می ثابت اول قسمت در داریم؛ قسمت دو آن اثبات برای

است. ۲ بازیکن برای غالب عمل یک b۲ = ۰ کنیم می ثابت دومآنگاه: باشد b۱ = V۱ اگر اول. قسمت

است. u۱ > ۰ آنگاه باشد b۲ < V۱ اگر -۱

است. u۱ = ۰ آنگاه باشد b۲ = V۱ اگر -۲است. u۱ = ۰ آنگاه باشد b۲ > V۱ اگر - ۳

دوم. قسمتآنگاه: باشد b۲ = ۰ اگر

است. u۲ = ۰ آنگاه باشد b۱ = ۰ اگر -۱

است. u۲ = ۰ آنگاه باشد b۱ > ۰ اگر -۲

یک (V۱,۰) پس هستند. ۲ و ۱ های بازیکن غالب های عمل b۲ = ۰ و b۱ = V۱ که شود می نتیجه ۱و۲ ازقسمت پسهست. هم بازی این نش تعادل یک پس است، بازی این برای غالب ضعیفا استراتژی

تضمین غالب استراتژی در را گذاریشان ارزش در افراد راستگویی تا شد موفق ویکری حراج، قوانین هوشمندانه اصالح بامی نتیجه اصول با هماهنگی به مجبور افراد ی همه کنش، برهم قوانین دقیق طراحی با که کند می بیان نتیجه این کند.

است. فرد هر حقیقی گذاری ارزش دانستن بدون حتی این و شوند

۱۰

خریدار - فروشنده بازی ۲

شی آن برای دالر Vs گرفتن s بازیگر برای (یعنی دارد دالر Vs ارزش به ئی شی نامیم، می s بازیکن را ان که فروشنده یکمی نامیده b بازیکن خریدار این که است دالر Vb نامعلوم خریدار یک برای شی این ارزش کند). نمی فرقی داشتنش نگه یایک است، فروشنده از بیشتر خریدار برای شی ارزش چون صورت این در باشد. Vb > Vs > ۰ که کنیم می فرض شود.b بازیکن کند؟ می پرداخت s به شی برای b بازیکن قیمتی چه اما دهد. می رخ فروش و خرید برای تقاضا از موثر حالتکه میداند ولی ندهد شی برای پولی دارد دوست b بازیگر )) بدهد؛ (فروشنده) s بازیگر به دالر Vs تنها دارد تمایل (خریدار)((مقدار بگیرد؛ خریدار از دالر Vb خواهد می s بازیگر حالیکه در فروشد)) نمی Vs از کمتر اکیدا قیمت به را شی فروشندهدستورالعمل مطمئنا شود. می مشخص بازیگرها بین معامله طول در شی واقعی قیمت دهد)). می خریدار که پولی بیشترینرا متفاوت دستورالعمل دو موضوع، این اثبای برای رساند. می متفاوتی تعادل های قیمت به را ما معامله برای متفاوت های

کنیم. می بررسی

Sealed-bid first-price aucion ۱.۲

از بیشتر اکیدا (pb) خریدار پیشنهادی قیمت اگر دهند. می پیشنهاد Vb و Vs بین قیمتی همزمان بطور بازیگرها از کدام هردهد. نمی رخ معامله صورت این غیر در دهد. می رخ pb قیمت در معامله آنگاه باشد، (ps) فروشنده پیشنهادی قیمت

است: زیر بصورت استراتژیک فرم در نفره دو بازی در معامله این نتایج است. پول مطلوبیت که است این بر فرض

G = (Ab, As, ub, us) s.t Ab = As = [Vs, Vb]

ub(pb, ps) =

Vb − bb pb > ps

۰ otherwise

∀ (pb, ps) ∈ [Vs, Vb]۲

us(pb, ps) =

pb − Vs pb > ps

۰ otherwise

∀ (pb, ps) ∈ [Vs, Vb]۲

ندارد. وجود بخرد را شی b خریدار بطوریکه (p∗b , p∗s) نش تعادل هیچ که کنیم می بررسی همه از اولخواهد b خریدار برای بهتر اکیدا پاسخ یک p∗b و p∗s بین پیشنهاد هر آنگاه بخرد)، را شی خریدار (یعنی p∗b > p∗s اگر زیرا:

فروشنده. p∗s بازی مقابل در بود (p∗b , p∗s) : NE , p∗b > p∗s ⇒ ub(p

∗b , p

∗s) = Vb − p∗b

∃p′∗b ∈ (p∗s, p

∗b) ⇒ p

′∗b > p∗s ⇒ ub(p

′∗b , p∗s) = Vb − p

′∗b

=⇒ ub(p′∗b , p∗s) > ub(p

∗b , p

∗s) ⇒ (p

′∗b , p∗s) : new NE

۱۱

در که بینیم می پس جدید. نش تعادل و دهد می p′∗b از بیشتر مطلوبیتی که کرد پیدا را p′′∗

b توان می صورت همین به وکرد. مشخص را واقعی نش تعادل توان نمی بخرد، را شی b خریدار که حالتی

این تعادل تنها که دهید نشان همینطور است. زیر صورت به s و b بازیگران برای پاسخ بهترین تابع که دهید نشان :۳ تمریناست. (p∗b , p∗s) = (VS , Vb) بازی

I Bb(ps) =

∅ ps ∈ [Vs, Vb)

[Vs, Vb] ps = Vb

if ps ∈ [Vs,Vb)

i pb > ps ⇒ player b buy ⇒ ub = Vb − pb > ۰⇒ ∃p′b : u′b > ub ∵

ii pb ≤ ps ⇒ player b lose ⇒ ub = ۰

هیچگاه i حالت ایم، کرده بررسی هم قبال که آنچه طبق ولی دهد می ii حالت به نسبت بیشتری مطلوبیت i حالت اینجا درهیچگاه روند این تکرار با و (p′b) شود می پیدا هم آن از بهتر انتخابی ،pb انتخاب هر با چون دهد نمی ما به را پاسخ بهترین

Bp(ps) = ∅ داریم: پس شود. ما پاسخ بهترین که رسیم نمی ثابتی ی نقطه به

if ps = Vb

i pb > ps ⇒ pb ̸∈ [Vs, Vb] (Vb > Vs > ۰)ii pb ≤ ps ⇒ player b lose ⇒ ub = ۰

ها pb ≤ ps برابر پاسخ بهترین تابع پاسخ پس دهد، می مطلوبیت ما به ii حالت ولی افتد نمی اتفاق اصال i حالت اینجا دراست. [Vs, Vb] همان یا

II Bs(pb) =

[Vs, pb) pb ∈ (Vs, Vb]

[Vs, Vb] pb = Vs

if pb ∈ (Vs,Vb]

i ps ≥ pb ⇒ player s don′t sell ⇒ us = ۰ii ps < pb ⇒ player s sell ⇒ us = pb − Vs > ۰

دهند می را پاسخ بهترین تابع پاسخ ها، ps < pb بنابراین دهد، می i حالت به نسبت بیشتری مطلوبیت ii حالت اینجا درBs(pb) = [Vs, pb) داریم: ps < pb و pb ∈ (Vs, Vb] به توجه با که

if pb = Vs

i ps ≥ pb ⇒ player s don′t sell ⇒ us = ۰ii ps < pb ⇒ ps ̸∈ [Vs, Vb] (Vb > Vs > ۰)

به را پاسخ بهترین psها ≥ pb خاطر این به و دهد می ما به مطلوبیت i حالت ولی افتد نمی اتفاق اصال ii حالت اینجا درهستند. پاسخ بهترین تابع پاسخ [Vs, Vb] صورت این در که دهند می ما

۱۲

است. (p∗b,p

∗s) = (VS,Vb) بازی این تعادل تنها که دهیم می نشان حال

تعادل نقاط نش، تعادل دوم و اول تعاریف کمک با و کرده جدا را b و s بازیگران های انتخاب مختلف حاالت کار این برایآوریم. می دست به را بازی این نش

.s خریدار مطلوبیت مقدار دومین و دهد می نشان را b خریدار مطلوبیت مقدار اولین چپ، سمت از جدول در

Buyer ↓ \Seller → Vs (Vs, Vb) Vb

Vs ۰ \ ۰ ۰ \ ۰ ۰ \ ۰∗(Vs, Vb) Vp − pb > ۰ \ pb −Vs > ۰∗ Vp − pb > ۰ \ pb −Vs > ۰∗ ۰ \ ۰

Vb Vb − Vb = ۰ \Vb −Vs ≫ ۰ Vb − Vb = ۰ \Vb −Vs ≫ ۰ ۰ \ ۰

مقدار دارای که pb ≤ ps حالت و شده ذکر pb > ps حالت برای مطلوبیت مقادیر تنها ، (Vs, Vb) × (Vs, Vb) ی خانه دراست. شده حذف است، (۰و۰)

مشخص را دیگر طرف های پاسخ بهترین و کنیم می فرض ثابت را طرفین از یکی بازی نش، تعادل دوم تعریف طبق حالاند. شده مشخص * با جدول در که رسیم می نتیجه سه به کل در شود. انجام کار این باید ها بازی کل برای کنیم. می

این از است تهی Bb تابع های پاسخ مجموعه باشد، pb > ps زمانیکه ps ∈ [Vs, Vb) حالت در که کردیم بررسی I قسمت درآیند. نمی حساب به نش تعادل اند، آمده دست به (Vs, Vb)× (Vs, Vb) و (Vs, Vb)× Vs های جدول در که ای نقطه دو روکه است Vs × Vb ی نقطه است، فروشنده برای هم و خریدار برای هم پاسخ بهترین شامل که جدول از ای نقطه تنها پس

نتیجه: در است. بازی این نش تعادل تنها

NE : (p∗b,p

∗s) = (VS,Vb)

Modified Sealed-bid first-price aucion ۲.۲

برابر یا بیشتر (pb) خریدار پیشنهادی قیمت اگر دهند. می پیشنهاد Vb و Vs بین قیمتی همزمان بطور بازیگرها از کدام هردهد. نمی رخ معامله صورت این غیر در دهد. می رخ pb قیمت در معامله آنگاه باشد، (ps) فروشنده پیشنهادی قیمت

است: زیر بصورت استراتژیک فرم در نفره دو بازی در معامله این نتایج است. پول مطلوبیت که است این بر فرض

G′ = (Ab, As, ub, us) s.t Ab = As = [Vs, Vb]

ub(pb, ps) =

Vb − bb pb ≥ ps

۰ otherwise

∀ (pb, ps) ∈ [Vs, Vb]۲

۱۳

us(pb, ps) =

pb − Vs pb ≥ ps

۰ otherwise

∀ (pb, ps) ∈ [Vs, Vb]۲

داریم: حال

I Bb(ps) =

{ps} ps ∈ [Vs, Vb)

[Vs, Vb] ps = Vb

if ps ∈ [Vs,Vb)

i pb ≥ ps ⇒ player b buy ⇒ ub = Vb − pb > ۰⇒ max ub : pb = ps

ii pb < ps ⇒ player b lose ⇒ ub = ۰

=⇒ Bb(ps) = {ps}

if ps = Vb

i pb ≥ ps ⇒ pb = ps ⇒ player b buy ⇒ ub = Vb − Vb = ۰ii pb < ps ⇒ player b lose ⇒ ub = ۰

=⇒ Bb(ps) = [Vs,Vb]

II Bs(pb) =

[Vs, pb] pb ∈ (Vs, Vb]

[Vs, Vb] pb = Vs

if pb ∈ (Vs,Vb]

i ps > pb ⇒ player s don′t sell ⇒ us = ۰ii ps ≤ pb ⇒ player s sell ⇒ us = pb − Vs > ۰

=⇒ Bb(ps) = [Vs,pb]

if pb = Vs

i ps > pb ⇒ player s don′t sell ⇒ us = ۰ii ps ≤ pb ⇒ ps = pb ⇒ player s sell ⇒ us = Vs − Vs = ۰

=⇒ Bb(ps) = [Vs,Vb]

۱۴

:G′ بازی نش ها تعادل

(p∗b,p

∗s) ∈ Bb(p

∗s)×Bs(p

∗b) ⇔

(p∗b,p

∗s) = (Vs,Vb) , p

∗b = p∗

s ∈ [Vs,Vb]

نقاط در ولی دهد نمی رخ معامله (p∗b , p∗s) = (Vs, Vb) نقطه در که هستند G′ بازی نش تعادل نقاط سری دو این

دهد. می رخ معامله p∗b = p∗s ∈ [Vs, Vb]

B ↓ \S → Vs (Vs, Vb) Vb

Vs Vb −Vs ≫ ۰ \Vs −Vs = ۰∗ ۰ \ ۰ ۰ \ ۰∗(Vs, Vb) Vb − pb > ۰ \ pb −Vs > ۰ Vb − pb > ۰ \ pb −Vs > ۰∗ ۰ \ ۰

Vb Vb − Vb = ۰ \Vb −Vs ≫ ۰ Vb − Vb = ۰ \Vb −Vs ≫ ۰ ۰ \Vb −Vs ≫ ۰∗

p∗b = p∗s ∈ [Vs, Vb] نقاط شامل و دارند قرار جدول قطر روی آن تای سه که داریم نش تعادل ی نقطه چهار باال جدول طبقاست. (p∗b , p∗s) = (Vs, Vb) ی نقطه که Vs × Vb جدول در نقطه یک و هستند

تولید دهد، روی معامله که حالتی در تعادل نقاط زیادی تعداد توان می معامله دستور در کوچک اصالح یک با بنابراینرا معامله دستور فروشنده موارد از بسیاری در که است فروشنده برای بخصوص آمده دست به ی نتیجه مهمترین این کنیم.

کند. می طراحی

۱۵

ها قیمت مسابقه مدل ۳

ایم؛ شده مواجه کاربردها این از یکی با قبال ما دارد. صنعتی سازماندهی ی زمینه در فراوانی کاربردهای ها بازی تئوریرضایت مدل این که این روی مقاالت در حال هر به بود. شده مطرح کورنو ی نفره دو انحصار مدل قبل فصل در زمانیکهباشد. داشته مدت کوتاه های تصمیم گرفتن به عالقه طرفین از یکی اگر خصوص به است، شده بسیار بحث نیست بخش

از متفاوت کامال ی نتیجه با متقارن مدل یک به که کنیم می بحث خالصه طور به را ها قیمت ی مسابقه مدل یک حالکند. می راهنمایی کورنو مدل

کورنو ی نفره دو انحصار مدل یادآوری ۱.۳

چه که کنند انتخاب باید ها شرکت این کنند. می تولید را مشابه محصول یک که دارند وجود محصوالت تولید شرکت دواگر است. یکسان شرکت دو هر برای که است c محصول این از واحد یک تولید ی هزینه کنند. تولید را محصول این از تعدادقیمت .i = ۱,۲ که میباشد cqi iام شرکت برای آن ی هزینه آنگاه کند تولید را محصول این از واحد qi تعداد iام شرکت،۲ شرکت و q۱ ،۱ شرکت اگر است. مرتبط محصول این تولیدات کل تعداد به عکس صورت به محصول این از واحد یک

شود می تعیین زیر صورت به قیمت آنگاه کند تولید را Q = q۱ + q۲ یعنی محصول این تولیدات کل از واحد q۲

p(Q) =

a−Q ۰ ≤ Q ≤ a

۰ Q > a= (a−Q)+

است: زیر صورت به بازی این مطلوبیت تابع است. X = Y = [۰,∞) صورت به بازی این خالص استراتژی فضای

ui(q۱, q۲) = qiP (q۱ + q۲)− cqi = qi(a− q۱ − q۲)+ − cqi

است: زیر صورت به بازی این نش تعادل و

(q∗۱, q∗۲) = (

a− c

۳ ,a− c

۳ ) : NE

Bertrand Duopoly with Homegeneous Products ۲.۳

بازار در موجود های شرکت که کنیم می فرض بار این اما است. کورنو خطی مدل متضمن بازار ساختار که کنید می مالحظه،a که کنیم می یادآوری شوند. فروخته محصوالتشان قیمتی چه به که میکنند انتخاب هستند، ها قیمت ی مسابقه نامزد کهکه iام شرکت برای سود تابع است. [۰, a] صورت به ۲ و ۱ های شرکت برای ها عمل فضای است. بازار در قیمت ماکزیمم

کنیم: می تعریف زیر صورت به شود) می خوانده برترند خطی انحصار (مدل است [۰, a]۲ ی بازه در

ui(p۱, p۲) = piQi(p۱, p۲)− cQi(p۱, p۲)

۱۶

از واحد هر تولید ی هزینه c است. (p۱, p۲) قیمت در iام شرکت توسط شده فروخته محصول تعداد Qi(p۱, p۲) آن در کهمی خود محصول بر iام شرکت که است قیمتی هم pi شود. می گرفته نظر در یکسان شرکت دو هر برای که است محصول

گذارد.ها، کننده مصرف کنیم فرض است طبیعی پس نیست، شرکت دو این محصول دو میان کیفی تفاوت هیچ که کنیم فرض اگرشرکت که کنیم می فرض برگزینند، را یکسانی قیمت شرکت دو هر صورتیکه در کنند. می خریداری را تر زان ار محصولتعریف زیر صورت به فرضیات است). نصف نصف شان فروش (یعنی کنند می تقسیم مساوی طور به را بازار ۲ و ۱ های

شوند: می

Qi(p۱, p۲) =

ab − pi

b pi < pj

۱۲ (

ab − pi

b ) pi = pj

۰ pi > pj

متفاوت مدل، این در بازار ی نتیجه درمورد نش، های تعادل بینی پیش آیا که است آن رسد می ذهن به بالفاصله که سوالیمدل از نش تعادل در که شویم می یادآور آن، دیدن برای است. مثبت جواب است؟ کورنو خطی ی نفره دو انحصار مدل از

یعنی کردند. می انتخاب را یکسانی قیمت شرکت دو هر کورنو، خطی ی نفره دو انحصار

p۱ = p۲ = a− b(a− c

۳b ) =۲a۳ +

c

۳است زیر بصورت ۱ شرکت سود پس

u۱(p۱, p۲) = p۱Q۱(p۱, p۲)− c Q۱(p۱, p۲)pi=pj= (p۱ − c)( a

۲b −p۱۲b )

= (۲a۳ + c۳ − c)( a

۲b −p۱۲b ) =

۱۹b (a− c)۲

با کند)، گذاری قیمت را اجناس کمتری بهای به (یعنی بزند را ۲ شرکت زیرآب ،۱ شرکت اگر ،۲a۳ + c۳ مقدار برای اما

یابد می افزایش آنقدر ۱ شرکت سود سطح آنگاه ،ϵ > ۰ که ۲a۳ + c

۳ − ϵ مقدار یعنی ۲a۳ + c۳ از کمتر مقداری گذاری قیمت

که است مشاهده قابل راحتی به واقع در آورد. می در ۲ شرکت دست از را بازار همه که

limϵ→۰ ui(

p۱︷ ︸︸ ︷۲a۳ +

c

۳ − ϵ,

p۲︷ ︸︸ ︷۲a۳ +

c

۳ )p1<p2= (۲a۳ + c

۳ − ϵ− c)(ab − ۱b (

۲a۳ + c

۳ − ϵ))

= (۲a−۲c−۳ϵ۳ )(a−c+۳ϵ۳b ) = ۲

۹b (a۲ − ۲ac+ c۲) + ۱

۹b (۳aϵ− ۳cϵ− ۹ϵ۲)ϵ→۰

= ۲۹b (a− c)۲ > ۱

۹b (a− c)۲ = ui(۲a۳ + c

۳ ,۲a۳ + c

۳ )

قانون که اینجاست مشکل واقع در دهد. شکل برترند خطی مدل برای تعادل یک تواند نمی کورنو گذاری قیمت مدل بنابرایناجازه ها شرکت به که کند می معرفی مدل این برای را (انفصال) ناپیوستگی یک برترند، نفره دو انحصار مدل از برابری قطع

بیاورند. بدست اعمالشان از کوچک ی دوره یک وسیله به را بزرگ نسبتا ی بهره یک دهد می

هیچکدام که است آن مشاهده اولین کند. می نزدیک جواب به کامال را ما قبل پاراگراف آنالیز واقع در چیست؟ تعادل پسشوند می منفی سود باعث چون کنند نمی گذاری قیمت c مقدار زیر را خود اجناس ها شرکت از

۱۷

ui(p۱, p۲) = piQi − cQipi<c=⇒ piQi < cQi =⇒ Ui < ۰

.p∗۱, p∗۲ > c باید صورت این در باشد، نش تعادل یک (p∗۱, p∗۲) های قیمت نمایه اگر بنابراین

p∗1 > p∗

2 > c?

تا دهد پیشنهاد را p∗۲ قیمت که بود بهتر برایش بنابراین و شود می صفر سودش ۱ شرکت چون نیست، ممکن حالت ایناست. ۲ شرکت پیشنهادی قیمت p∗۲ که شود مثبت سودش

p∗۱ > p∗۲ > c

u۱ = ۰ prefer−→ p∗۱ = p∗۲ ⇒ u۱ > ۰u۲ ≫ ۰

نش تعادل با متناقض این نش تعادل تعریف طبق و دارد بازیش تغییر به تمایل و نکرده را اش بازی بهترین ۱ شرکت پسنیست. برقرار بازی این نش تعادل برای p∗

1 > p∗2 > c حالت پس است.

p∗1 = p∗

2 > c?

زیرآب با را سودش طرفه یک طور به تواند می ها شرکت از هرکدام هم صورت این در چون نیست، ممکن هم حالت اینو دهد افزایش را سودش تواند می ۱ شرکت ،p∗۲ − ϵ قیمت با شد گفته باال در که (همانطور دهد افزایش دیگر شرکت زدن

است. بودنش نش تعادل با مخالف و کرده ایجاد بازی تغییر ی انگیزه که گیرد) دست به را بازار کل

p∗۱ = p∗۲ > c

u۱ > ۰u۲ > ۰ prefer−→ p∗۲ = p∗۱ − ϵ ⇒ u۲ ≫ ۰

p∗2 ≥ p∗

1 > c?

نیست. پذیر امکان هم حالت این مشابه طور بهکند. گذاری قیمت تعادل در را c مقدار دقیق طور به باید ها شرکت از یکی که گیریم می نتیجه بنابراین

p∗1 > p∗

2 = c?

پیشنهاد با ۲ شرکت واقع در نداده، را پاسخش بهترین ،۲ شرکت چون باشیم داشته تعادل در توانیم نمی هم را حالت ایندهد. افزایش را سودش تواند می p∗

۲۲ + c

۲ قیمت

p∗۱ > p∗۲ = c

u۱ = ۰u۲ = cQ۲ − cQ۲ = ۰ prefer−→ p∗۲ =

p∗۱+c۲ ⇒ u۲ > ۰

۱۸

p∗2 > p∗

1 = c?

نیست. پذیر امکان هم حالت این مشابه طور به

(p∗1,p

∗2) = (c, c)?

است: کردن بررسی قابل راحتی به که است (p∗۱, p∗۲) = (c, c) تعادل برای کاندید تنها پس

NE : (p∗۱, p∗۲) = (c, c)

u۱ = ۰ if p1 ̸=c−→

p۱ > c ⇒ u۱ = ۰or

p۱ < c ⇒ u۱ < ۰

u۲ = ۰ if p2 ̸=c−→

p۲ > c ⇒ u۲ = ۰or

p۲ < c ⇒ u۲ < ۰

را خود پاسخ بهترین و ندارند بازی تغییر ی انگیزه (c, c) انتخاب با ها شرکت از هیچکدام بینیم می باال در که همانطور پساست. بازی این نش تعادل یک (c, c) یعنی این و کنند می بازی

۱۹

فضایی گیری رای بازی ۴

ها بازی نظریه کاربردهای از وسیعی سطح تولید باعث که بود گیری رای تئوری در ما گشت اولین رئیس پارادوکس مثالبود.

اگر کنیم. می معرفی را ای فاصله گیری رای اصطالح به مدل و گیریم می پیش در را تری جسورانه سفر بخش این دربسته ی فاصله با را سیاسی های موقعیت ی همه ی مجموعه توانیم می آنگاه بگیریم، بعدی یک مدلی را سیاسی فضایگرفته نظر در موقعیت گراترین راست عنوان به را ۱ و موقعیت گراترین چپ عنوان به را صفر اینجا در کنیم. معرفی [۰,۱] ی

کنیم. می تعبیر متناطر صورت به را [۰,۱] در دیگر ی نقطه هر وی فاصله به کردن نگاه با باشد، داشته سیاسی طیف این در آل ایده موقعیت یک دهنده رای هر اگر که کنیم فرض دهید اجازهزیابی ار بازه این در را کس هر سیاسی منش خط شخص، آل ایده ی نقطه و [۰,۱] ی بازه در سیاسی گروه هر موقعیت بین

کنیم. میچون را ۱ ی نقطه تا پسندد می را ۱

۴ ی نقطه بیشتر ۱۲ ∈ [۰,۱] آل ایده ی نقطه با ای دهنده رای مثال برای

|۱۲ − ۱۴ | = ۱

۴ < |۱۲ − ۱| = ۱۲

(( ۱ ی نقطه تا است نزدیکتر ۱۴ به ۱۲ ی نقطه ))اگر تنها و اگر پسندد می بیشتر z ی نقطه به نسبت را y ی نقطه x ∈ [۰,۱] آل ایده ی نقطه با فردی کلی طور به

|x− y| < |x− z|

تصویر ،x ∈ [۰,۱] هر برای چون شود می نامیده single - peaked ی نقطه یافته، اولویت z ی نقطه به نسبت که y ی نقطهاست. نزولی اکیدا [x,۱] روی و است صعودی اکیدا [۰, x] روی y 7→ |x− y|

در آلشان ایده موقعیت با (که ها دهنده رای که کنیم می ادعا و کنیم می سازی مدل پیوسته زنجیره یک همچون را جامعهایده موقعیت برابر ۱

۲ ی نقطه صورت این در شوند. می توزیع [۰,۱] روی یکنواخت طور به شوند) می مشخص مدل ایندارند. گرایش ۱

۲ چپ سمت به جامعه از نیمی آل ایده موقعیت دهد می نشان واقع در که است جامعه این در میانه آلکاندیداها تعداد که هایی مدل ما هستند. مستقلی افراد یا و اند سیاسی گروه یک کاندیدای گیری رای بازی در ها بازیکنسیاسی طیف در کاندید هر سیاسی موقعیت انتخاب ما بررسی مورد ی مساله و کنیم می بررسی را است n ∈ {۲,۳} آن در

است. ([۰,۱] (یعنی موجودنقطهی دارای او (چون باشد داشته آلش ایده ی نقطه با را موقعیت نزدیکترین که دهد می رای کاندیدی به شهروند هر

میدانند. خوبی به کاندیداها را ها این ی همه و است) single-peaked برتریشرایط باید ما مدل این های مشخصه تکمیل برای البته باشد. انتخابات در بردن کاندیدا هر هدف تنها که کنیم می فرض مامساوی و کردن مساوی به را انتخابات در شدن برنده کاندید هر کنیم. اضافه آن به هم را مساوی وضع خوردن هم به قانون

دهد. می ترجیح باختن به را کردنانتخابات های هزینه که دارد آن به بسته حال هر در نباشد، یا و باشد کاندیداها برای نتیجه بدترین شاید انتخابات باختن

کنیم. می بررسی را ممکن حاالت از کدام هر ما حال نه. یا باشد گزاف

۲۰

نباشد هزینه پر انتخابات ۱.۴

A۱ = A۲ = [۰,۱] اعمال فضای با نفره ۲ بازی یک این صورت این در باشیم. داشته سیاسی کاندید دو کنیم فرضمی ابتداشده تعیین زیر صورت به iام کاندید برای مطلوبیت تابع است.

ui(L۱, L۲) =

۱ if i win at (L۱, L۲)

۱۲ if be a tie at (L۱, L۲)

۰ if i lose at (L۱, L۲)

دارد. j = ۱,۲ کاندید هر سیاسی منش خط به بستگی Lj کهنیز را ها بازیکن متناظر های پاسخ بهترین آن بر عالوه بیابیم. را گیری رای بازی نش های تعادل مجموعه خواهیم می حال

کنیم. محاسبهموقعیت ی نمایه این در انتخابات در ۱ کاندید که میکنیم فرض همه از اول باشد. نش تعادل یک (L۱, L۲) کنیم می فرض

داریم: حالت دو حال شود. می برنده

i L۱ ̸= ۱۲ ⇒

L۱ > ۱

۲ ⇒ L۲ := ۱۲ ⇒ L۲ : [۰, L۱ + ۱

۲۲ ] ⇒ u۱ = ۰, u۲ = ۱

L۱ < ۱۲ ⇒ L۲ := ۱

۲ ⇒ L۲ : [L۱ + ۱

۲۲ ,۱] ⇒ u۱ = ۰, u۲ = ۱

ii L۱ = ۱۲ ⇒ L۲ := ۱

۲ ⇒ u۱ = u۲ =⇒ u۱ = u۲ = ۱۲

تعادل در تنهایی به را انتخابات تواند نمی ۱ کاندید بنابراین است ۱ کاندید شدن برنده با متناقض باال حالت دو هر پسبه بیفتد. اتفاق حتما تعادل در باید L۱ = L۲ که فهمیدیم همچنین تواند. نمی هم ۲ کاندید مشابه طور به البته و شود برنده

زیرا: بیفتد اتفاق تواند نمی L۱ = L۱ ̸= ۱۲ که شود می بررسی راحتی

L۱ = L۲ ̸= ۱۲

if L۲ = ۱

۲ ⇒ میابد افزایش ۲ کاندید سودor

if L۱ = ۱۲ ⇒ میابد افزایش ۱ کاندید سود

افتد. نمی اتفاق تعادل پس دارند بازی تغییر ی انگیزه کاندیداها از هرکدام یعنیموقعیت گروه دو هر بازی این یکتای تعادل در اینکه نتیجه است. L۱ = L۲ = ۱

۲ بازی این ممکن تعادلی ی نتیجه تنها پسکنند. انتخاب را میانه

اعمال فضای نفره سه بازی این در بگیرد. مسابقه این در شرکت به تصمیم سومی کاندید اگر شد خواهد تر سخت بازی ایناست زیر صورت به i کاندید برای مطلوبیت تابع هستند A۱ = A۲ = [۰,۱]

ui(L۱, L۲, L۳) =

۱ if i win at (L۱, L۲, L۳)

۱۲ if for i be a tie at (L۱, L۲, L۳)

۰ if i lose at (L۱, L۲, L۳)

دارد. اشاره j = ۱,۲,۳ کاندید توسط انتخابی سیاسی منش خط به Lj که

۲۱

نیست. اینجا در نش تعادل یک (L۱, L۲L۳) = (۱۲ ,۱۲ ,

۱۲ ) واقع در است. قبلی بازی از بدیهی تعمیم یک بازی این تعادل

هر ۱۲ راست) (یا چپ به حرکت اندکی با و آورد می بدست نمایه این در را ها رای کل از ٪۳۳ تقریبا کاندیدا هر مقابل در

دهند. افزایش ٪۵۰ به را ها رای از سهمشان توانند می کاندیداها از کدام

دو هر به [۰,۱۲ + ۲

۳۲ ] = [۰, ۷

۱۲ ] ی بازه صورت این در ۲۳ ،۳ کاندید و کنند انتخاب را ۱

۲ ،۲ و ۱ کاندید اگر مثال برای

اند مشترک شان بازه در ۲ و ۱ کاندید چون و رسد می ۳ کاندید به [۱۲ + ۲

۳۲ ,۱] = [ ۷۱۲ ,۱] ی بازه و رسد می ۲ و ۱ کاندید

شود. می برنده ۳ کاندید صورت این در و رسد می هرکدامشان به بازه آن های رای کل از نیمی

نش تعادل زیادی تعداد تولید باعث این کنند. نمی بازی بهینه طور به بقیه مسلم اعمال به نسبت کاندیداها از هیچکدامتعادل یک عنوان به را (L۱, L۲, L۳) = (۱۴ ,

۱۴ ,

۳۴ ) دهید اجازه مثال برای شود. می ی نفره ۳ گیری رای بازی این برای

کنیم. بررسی نشحتم طور به پس کنیم. می شروع شود، می برنده باال موقعیتی ی نمایه با تنهایی به را انتخابات ۳ کاندید اینکه فرض با ابتداکاندید آیا که است این سوال حال است. ۱۴ در موقعیتشان دیگر کاندید دو زمانیکه ندارد ۳۴ از انحراف به تمایلی کاندید این

زیرا خیر دارند؟ را مفیدی انحراف امکان (۲ کاندید (همینطور ۱

(L۱, L۲, L۳) = (۱۴ ,۱۴ ,

۳۴ ) ⇒ Let : L۱ ̸= ۱

۴ :

i L۱ ∈ [۰, ۱۴ ] ⇒ ۳win ⇒ u۱ = ۰ii L۱ ∈ [۳۴ ,۱] ⇒ ۲win ⇒ u۱ = ۰

iii L۱ ∈ (۱۴ ,۳۴ ) ⇒ ۲win ⇒

L۱ = ۱

۲ ⇒ ۲and ۳win ⇒ u۱ = ۰L۱ ∈ (۱۴ ,

۱۲ ) ⇒ ۳win ⇒ u۱ = ۰

L۱ ∈ (۱۲ ,۳۴ ) ⇒ ۲win ⇒ u۱ = ۰

نمایه در پس اوست. برای خوبی انتخاب ۱۴ انتخاب همان و آورد می دست به صفر مطلوبیت انحرافی هر در ۱ کاندید پسطبق و بشوند مسابقه ی برنده جانبه یک انحرافات با توانند نمی ۲ کاندید نه و ۱ کاندید نه (L۱, L۲, L۳) = (۱۴ ,

۱۴ ,

۳۴ ) ی

نش تعادل یک اعمال ی نمایه این نتیجه در و ندارند بازی تغییر به تمایلی کاندیداها از هیچکدام شد اثبات باال در که آنچهاست. نفره ۳ بازی این برای

در نه؟ یا است قوی عمل یک (L۱, L۲, L۳) = (۱۴ ,۱۴ ,

۳۴ ) نش تعادل این آیا که است این شود می مطرح اینجا که سوالی

را برد ϵ > ۰ برای ۳۴ − ϵ همچون ای نقطه انتخاب یعنی مشترکا، انحراف یک با توانند می ۲ و ۱ کاندیداهای نیست. واقعباشد. بازی این از قوی نش تعادل یک تواند نمی این پس دارد. کدامشان هر برای ۱۲ مطلوبیت البته که بگیرند نتیجه

باشد هزینه پر انتخابات ۲.۴

بازی یک همچون را شرایط این پس باشد. میتواند کاندیداها برای مفید کار راه یک مسابقه از ماندن بیرون صورت این دراست Ai = [۰,۱] ∪ {stay out} صورت به آن اعمال فضای که i کاندید هر برای کنیم. می سازی مدل استراتژیک فرم در

کنیم می تعریف زیر صورت به را مطلوبیت تابع

۲۲

ui(L) =

۱ if i win at L

۱۲ if for i be a tie at L

۰ if i stay out at L

−۱ if i run but lose at L

n ∈ {۲,۳} برای L ∈∏n

i=۱Ai کهتعادل در باید کاندید دو هر اینکه همه از اول است. بازی این نش تعادل یک (L۱, L۲) = (۱۲ ,

۱۲ ) که کنیم می ثابت حال

همانند موقعیتی انتخاب و کردن شرکت با ۱ کاندید ولی شود می برنده ۲ کاندید نکند شرکت ۱ کاندید اگر چون کنند شرکتانتخاب حال نش. تعادل با متناقض و بازی تغییر برای تمایل یعنی این و آورد بدست را ۱

۲ مطلوبیت تواند می ۲ کاندیدکنیم. می بررسی را کاندید هر های

است.)) شده آورده یاداوری جهت فقط و است مشابه قبل قسمت ی نفره دو حالت با کامال اثبات اینجا ((از

داریم: حالت دو صورت این در باشد، انتخابات ی برنده ۱ کاندید کنیم می فرض

i L۱ ̸= ۱۲ ⇒

L۱ > ۱

۲ ⇒ L۲ := ۱۲ ⇒ L۲ : [۰, L۱ + ۱

۲۲ ] ⇒ u۱ = ۰, u۲ = ۱

L۱ < ۱۲ ⇒ L۲ := ۱

۲ ⇒ L۲ : [L۱ + ۱

۲۲ ,۱] ⇒ u۱ = ۰, u۲ = ۱

ii L۱ = ۱۲ ⇒ L۲ := ۱

۲ ⇒ u۱ = u۲ =⇒ u۱ = u۲ = ۱۲

تعادل در تنهایی به را انتخابات تواند نمی ۱ کاندید بنابراین است ۱ کاندید شدن برنده با متناقض باال حالت دو هر پسبه بیفتد. اتفاق حتما تعادل در باید L۱ = L۲ که فهمیدیم همچنین تواند. نمی هم ۲ کاندید مشابه طور به البته و شود برنده

زیرا: بیفتد اتفاق تواند نمی L۱ = L۱ ̸= ۱۲ که شود می بررسی راحتی

L۱ = L۲ ̸= ۱۲

if L۲ = ۱

۲ ⇒ میابد افزایش ۲ کاندید سودor

if L۱ = ۱۲ ⇒ میابد افزایش ۱ کاندید سود

افتد. نمی اتفاق تعادل پس دارند بازی تغییر ی انگیزه کاندیداها از هرکدام یعنیموقعیت گروه دو هر بازی این یکتای تعادل در اینکه نتیجه است. L۱ = L۲ = ۱

۲ بازی این ممکن تعادلی ی نتیجه تنها پسکنند. انتخاب را میانه

بر نیست نش های تعادل تعداد کردن زیاد خاطر به بار این اما کنیم می تر سخت بازی شدن نفره ۳ با را شرایط دیگر یکباراست: صورت این به موضوع این اثبات برای طرح یک ندارد. نش تعادل n = ۳ حالت در بازی این عکس

توانند می کننده شرکت کاندیداهای ی همه ولی کند دوری مسابقه در باختن از ماندن بیرون با تواند می کاندیدا هر اینکه باشرکت تعادل در کاندید یک فقط تواند نمی براین عالوه کنند. مساوی انتخابشان اولین در مشابه موقعیت یک انتخاب باکه شود تساوی ایجاد باعث آن مشابه موقعیت انتخاب با تواند می دیگر کاندیدای هر صورت این غیر در چون باشد داشتهامکان هرکدامشان هم باز چون بمانند بیرون بازی از کاندیداها ی همه که هم شود نمی است. ماندن بیرون از بهتر البته

کنند. شرکت تعادل در کاندید ۲ حداقل باید پس دارند. را بیشتری مطلوبیت کسب و کردن شرکت

۲۳

انتخاب موقعیتشان عنوان به را ۱۲ نقطه دو هر باید آنها تعادل برای قبل قسمت طبق آنگاه کردند شرکت کاندید دو اگر اول:

معنای به این و شود مسابقه ی برنده تنها تا دارد را ۱۲ به نزدیک ای نقطه انتخاب امکان ۳ کاندید صورت این در پس کنند

است. نش تعادل با متناقض که است ۳ کاندید توسط بازی تغییر ی انگیزه(L۱, L۲, L۳) کنیم می فرض کار این برای کنند. شرکت حتما کاندیدا سه هر باید بازی این تعادل در اول قسمت طبق دوم:

باشد. تعادل یکشوند. بازی برنده تنها مناسب انحراف یک با تواند می کاندیداها از کدام هر آنگاه L۱ = L۲ = L۳ اگر

L۱ = L۲ = L۳ ⇒ L۱ ̸= L۲ = L۳ =⇒

if L۲ = L۳ > ۱۲ ⇒ choose L۱ < L۲ = L۳ ⇒ u۱ = ۱

if L۲ = L۳ < ۱۲ ⇒ choose L۱ > L۲ = L۳ ⇒ u۱ = ۱

باشند. متمایز ها موقعیت از تا دو حداقل باید پساین و شود بازی ی برنده تنها تواند می L۲ = L۳ به نزدیک بسیار ای نقطه انتخاب با ۱ کاندید آنگاه L۱ ̸= L۲ = L۳ اگر

نش. تعادل با متناقض و کنند می پیدا بازی از ماند بیرون به ترجیح ۳ و ۲ کاندید یعنیiام کاندید به آن نامیدن و [۰,۱] بازه در موقعیت ترین چپ با کاندیدی انتخاب با آنگاه L۱ ̸= L۲ ̸= L۳ ̸= L۱ اگری برنده تنها {L۱, L۲, L۳} ی میانه به نزدیک بسیار ای نقطه انتخاب با تواند می کاندیدا این ،(Li = min{L۱, L۲, L۳})

است. نش تعادل با متناقض باز این و شود مسابقهمثال:

have : {L۱, L۲, L۳} and L۱ < L۲ < L۳ ⇒ Li = min{L۱, L۲, L۳} = L۱

Li := L۲ − ϵ , ϵ > ۰ =⇒ Li win at (Li, L۲, L۳)

ندارد. نش تعادل گیری رای ی نفره سه بازی این ننتیجه در پس

شود: می خالصه زیر صورت به گیری رای بازی این نتایج کل در پس

if n = ۲⇒

هزینه پر ⇒ است میانه موقعیت نش تعادل تنهاهزینه کم ⇒ است میانه موقعیت نش تعادل تنها

if n = ۳⇒

هزینه پر ⇒ ندارد وجود نش تعادلهزینه کم ⇒ نیستند قوی هیچکدام ولی دارد وجود نش تعادل زیادی تعداد

۲۴

مراجع

دوم. شماره اول سال شریف، ریاضی مجله مدیریت. در آن کاربردهای و حراج نظریه بررسی پور. صادقی علیرضا [۱]

[2] Prof. Levent Kockesen and Prof. Efe A. Ok (2006) Nash Equilibrium: Applications.

[3] Prof. Levent Kockesen and Prof. Efe A. Ok (2006) Nash Equilibrium.

[4] Thomas S. Ferguson (2008) Game Theory, Mathematics Department, UCLA.

[5] Jonathan Levin (October 2004) Auction Theory.

[6] Cournot competition (2010) Wikipedia, the free encyclopedia.

۲۵