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51 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.

Progresiones Geométricas de Oro

Juárez, Gustavo Adolfo; Navarro, Silvia Inés

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Catamarca. Avda. Belgrano 300. (4700) Catamarca. [email protected]

Fecha de presentación:30/03/2012

Fecha de aceptación:11/06/2012

Resumen

Las sucesiones de Fibonacci y de Lucas forman parte de un conjunto más general al que nos referiremos en este artículo. En ellas se observa un comportamiento análogo entre ambas, consecuencia de ser soluciones de una misma ecuación pero con condiciones iniciales distintas. Tal ecuación es una ecuación en diferencias finitas y junto a los dos valores iniciales determinan un problema con valor inicial discreto de segundo orden homogéneo con coeficientes unitarios diferenciados solamente por sus dos valores iniciales dados. Estos problemas tienen como soluciones sucesiones recurrentes. Las identidades entre elementos de ambas


sucesiones arriba citadas es por demás conocidas, aquí pretendemos extender las mismas a elementos de otras sucesiones más generales a las que llamaremos Progresiones Geométricas de Oro.

Palabras Clave: Número de Fibonacci; Número de Lucas; Ecuaciones recurrentes; Ecuaciones en diferencias; Progresiones geométricas.

Gold Geometric Progressions

Abstract

The sequences of Fibonacci and Lucas are part of a larger body to which we refer in this article. They show a similar behavior between the two, due to be solutions of the same equation but with different initial conditions. This equation is a finite difference equation with two initial values determines an initial value problem of second order discrete homogeneous unit rates differentiated only by their given two initial values. These problems are recurring sequences as solutions. The identities between elements of both sequences mentioned above is known other, here we intend to extend them to other elements of more general sequences which we will call Gold Geometric Progressions

Keywords: Fibonacci number; Lucas number; Recurrent equations; Difference equations; Geometric progressions.


Introducción

Ecuaciones en Diferencias

Siendo { }nx una sucesión se entiende por Ecuación en

Diferencias a toda ecuación que relaciona términos de esa sucesión

[4].

Así, las siguientes son Ecuaciones en Diferencias, (en

adelante EED):

nxxx nnn 2853 12 =+− ++ ,

732532 23

1 ++−=−+ nnnxx nn ,

032 24 =+− ++ nnn xxx

La primera de ellas es de segundo orden, la siguiente de

primer orden y la última de cuarto orden. Es decir, entendemos

por orden a la máxima diferencia entre los subíndices de los

términos de la sucesión presente en la ecuación.

Además la última se dice homogénea mientras que las

otras no. Esto es, que una vez ubicados los términos que contiene

a elementos de una sucesión en un miembro si se iguala a cero es

homogéneo, en caso contrario no homogéneo.

En todos los casos se consideró coeficientes constantes y

ecuaciones lineales, tal linealidad está en las incógnitas de la

ecuación, o sea en los términos de la sucesión. Resolver una EED

es hallar la sucesión que satisface tal ecuación.

Nos detendremos en las ecuaciones de segundo orden,

por ser el interés de este trabajo, para las cuales resolver requiere


de una ecuación auxiliar denominada ecuación característica, la

cual es algebraica de segundo grado en una incógnita con idénticos

coeficientes de la EED dada. La solución de la ecuación algebraica

son dos números no necesariamente distintos, denominados raíces

características. Tales raíces permiten formar la solución de la

EED, como una combinación lineal de potencias enésimas de tales

raíces para el caso de raíces características. En el caso de raíces

características iguales la combinación lineal se realiza entre esa

raíz y un múltiplo de ella, [1], [4], [7].

Entonces, dada una ecuación en diferencias lineal con

coeficientes constantes de segundo orden homogénea

012 =++ ++ nnn bxaxx , con 0≠b , la ecuación característica es

02 =++ baxx . Las raíces características la indicaremos con 1ρ y 2ρ .

La solución de la EED se expresa como: nnn CCx 2211 ρρ += si las raíces

características son distintas, y ( ) nn nCCx ρ21 += , si ambas raíces

características son iguales, indicándolas con ρ .

Por ejemplo la EED 0107 12 =+− ++ nnn xxx , tiene raíces

características distintas, ellas son 2 y 5 y la sucesión solución es nn

n CCx 52 21 += . Mientras que la EED 0168 12 =+− ++ nnn xxx tiene la

raíz doble 4, y la solución es la sucesión ( ) nn nccx 421 += .


Desarrollo

Problemas con valores inicial discreto

Obtener la sucesión solución de una ecuación en

diferencias implica hallar una expresión que contiene tantas

constantes como el orden de la ecuación, de esa manera la solución

no es única [4], [5]. La unicidad la obtenemos si tales constantes

toman un valor definido. Para ello debemos conocer los valores

iniciales de la sucesión. Para una ecuación en diferencias de

segundo orden necesitamos dos valores iniciales. Una EED con

valores iniciales dados se denomina Problema con Valor Inicial

Discreto (en adelante PVID), donde su solución es una sucesión

única cuya representación no contiene constantes.

Por ejemplo, podemos citar los siguientes PVID:

⎩⎨⎧

+−=−=

+ 5234

21

0

nnxxx

nn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

+ 253

2

1

0

nn xxxx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−====

++ 0243

1

34

3

2

10

nnn xxxxx

xx

El primero de los ejemplos contiene una EED de primer

orden y por lo tanto una condición inicial. En el segundo, el

problema con valor inicial tiene una EED de segundo orden y dos

valores iniciales. Obsérvese que la EED no contiene todos los

términos. Mientras que el tercer problema es de cuarto orden y

por ello tiene cuatro valores iniciales.

De esta manera la solución que se obtiene en un PVID es

particular, o sea, carece de constantes.


Para los PVID anteriores las soluciones son las

sucesiones:

...,13,7,4,3,1,1:

...,7,7,5,5,3:

....,182,57,17,4:

n

n

n

x

x

x

Temporada de conejos: Sucesión de Fibonacci

El problema con valor inicial discreto que primero saltó

a la fama fue el de los conejos, y se le atribuye a Leonardo de Pisa.

Este gran matemático escribió su majestuosa obra Liber abaci

(1202), el cuál es un libro histórico sobre aritmética, que tiene dos

traducciones comunes, El libro del ábaco o El libro del cálculo [3],

[10]. Con este trabajo, introduce a Europa los números arábigos,

un elemento importantísimo en nuestro sistema decimal, el cual

había aprendido cuando estudió con los árabes mientras vivía en el

norte de África con su padre, Guglielmo.


Leonardo de Pisa, inmortalizado como Fibonacci

El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo,

era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió

póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de

Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según

algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy

Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo en donde

aprendió el sistema de numeración árabe. A Leonardo se lo conoce

entonces por Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo

Bigollo, este último, nombre que adquirió mientras formaba

parte de la Corte del Emperador Federico II, en la República de

Pisa, sin embargo como Fibonacci paso a la inmortalidad.

El problema de los conejos dado por Fibonacci en Liber

Abacci, plantea las siguientes condiciones [10].

Supongamos que:


• Se coloca un par de conejos en un recinto el primer

día de enero,

• Este par produce otro par de conejos el primero de

febrero y el primer día de cada uno de los meses

siguientes,

• Cada nuevo par de conejos madura en un mes y

produce un nuevo par de conejos en el primer día

del siguiente mes de vida y en el primer día de cada

uno de los meses siguientes.

Con lo cuál debemos distinguir dos grupos de conejos, los

adultos y los recién nacidos, se los indicaremos con las sucesiones

iA y iB respectivamente, correspondientes al i-ésimo mes. Las dos

sucesiones tienen sus primeros elementos:

:iA 1, 1, 2, 3, 5, ..... :iB 0, 1, 1, 2, 3, ....

De ambas se propone una nueva sucesión iT , que indica

la cantidad total de conejos para idéntico tiempo, o sea es la suma:

iii BAT += .

Por otro lado podemos observar que nn AB =+1 para 1≥n y

que 112 +++ += nnn BAA , con lo que en términos de los conejos adultos

se tiene: nnn AAA += ++ 12 para 1≥n . A ésta sucesión se la denomina

Sucesión de Fibonacci:

nn AF = .

Hasta aquí el subíndice de la sucesión de Fibonacci se

inicia en uno. En consecuencia 11 −− == nnn FAB para 2≥n . Si


hacemos 1=n , tenemos 01 FB = , definiendo el primer término de

Fibonacci y quedando la ecuación recurrente de la sucesión

11 −+ += nnn FFF , como ecuación generadora de los restantes términos

a partir de los dos valores iniciales, 00 =F y 11 =F .

Ambas expresiones definen a la sucesión de Fibonacci

mediante el PVID siguiente:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+===

−+ 1;10

11

1

0

nFFFFF

nnn

También conocida como definición recurrente de la

sucesión de Fibonacci.

Como la solución de la ecuación en diferencias del PVID

se expresa generalmente en términos de las raíces características

251+

=α y 2

51−=β ,

la sucesión se puede escribir como

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

nn

nF2

512

515

1 para 1≥n .

Expresión conocida como Fórmula de Binet, en homenaje al

matemático francés Jacques-Phillipe-Marie Binet (1786-1856), y

que en término de las raíces características se expresa como:

βαβα

−−

=nn

nF .

La primera raíz característica, α se conoce como el

Número de Oro, y se representa con Φ , que es un número


irracional y se lo estudia en la razón áurea de un segmento y en el

rectángulo áureo.

Como α=Φ , podemos hallar otra representación de la

sucesión de Fibonacci en la forma de Binet. Para ello primero

presentemos algunas identidades de las raíces características, esto

es:

1. 1=+ βα 5. 12 += ββ

2. 5=− βα 6. 322 =+ βα

3. 1−=⋅ βα 7. βαβα −=− 22

4. 12 +=αα 8. 122 =⋅ βα

La forma de Binet se expresa en términos del número

áureo como

( )12

1−ΦΦ−−Φ

=nn

nF

Y Lucas... y Lucas... y Lucas

Esta expresión clásica en el pato Lucas Armando, por

estar siempre después de Bugs Bunny [2], parece llevarnos a la

segunda sucesión más conocida, que parte de un PVID con igual

EED pero con valores iniciales distintos. De allí que la solución

general es la misma en ambas sucesiones pero los valores iniciales

la diferencian de la anterior, es decir de la sucesión de Fibonacci.


Antes, aclaremos quien es nuestro Lucas, no nos

referimos al personaje de los dibujos animados sino a François

Édouard Anatole Lucas (Amiens, 4 de abril de 1842-París, 3 de

octubre de 1891), quién fue un reconocido matemático francés.

François Lucas, matemático francés

Trabajó en el observatorio de París y más tarde fue

profesor de matemáticas en la capital del Sena, [3], [8]. Se le

conoce sobre todo por sus trabajos sobre la sucesión de Fibonacci y

por el test de primalidad que lleva su nombre, pero también fue el

inventor de algunos juegos recreativos matemáticos muy conocidos

como el de las Torres de Hanói.

Entre las incursiones que realizó sobre la sucesión de

Fibonacci, está la notación que el asignó a la misma, ésta es:

( )5

1 nn

nF Φ−−Φ= .


Por otro lado definió y estudió una sucesión que se

conoce como de Lucas, dada por el PVID

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+===

−+ 11

2

1

31

nnn LLLLL

La sucesión en términos de las raíces se puede denotar

usando la expresión de Binet como

nn

nn

nL βα +=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

251

251

, para 1≥n .

Esta sucesión tiene valores iniciales muy particulares, en

efecto βα +=1L y 222 βα +=L , es decir estos valores dependen de

las raíces características de la EED.

Con esto redefinimos a la sucesión de Lucas como

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

nnnL

LL

βαβαβα

222

1

Por otro lado, así como la sucesión de Fibonacci pudo

extenderse al subíndice cero, lo mismo podemos hacer con la de

Lucas. Para ello tomemos la EED generadora hacia atrás, esto es:

213120 =−=−= LLL .

Obsérvese que éste valor satisface la última definición

para 0≥n , con lo cual extendemos la sucesión de Lucas, y ahora

podemos escribirla

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+===

−+ 11

1

0

12

nnn LLLLL


También podemos usar el número áureo para definir la

sucesión. En tal caso:

n

nnL ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+Φ=

251

.

O bien, como Φ−=−= 11 αβ , nos queda ( )nnnL Φ−+Φ= 1

Además como

( )( )( )

( ) ( ) nnn

nnn

n

−

−−

−−

Φ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

251

51512

5151512

512

251β

También podemos decir que

( ) nnnL −Φ−+Φ=

Progresiones Geométricas de Oro

Vimos que las sucesiones Fibonacci y de Lucas tienen la

misma EED en el PVID, es decir, se generan a través de la misma

forma recurrente. La EED en cuestión, cuyas soluciones

particulares vimos son representadas por α y β , y que

determinan la solución general de la EED, como combinación

lineal de potencias enésimas de ellas. Estas raíces características

son los números irracionales que satisfacen: βα >

Una generalización en forma inmediata podemos realizar

para estas sucesiones al escribir como un PVID con igual EED

pero con valores iniciales arbitrarios.


A este tipo de sucesiones que [3] cita como una

generalización de la sucesión de Fibonacci, es a la que nos

referimos en este artículo, y a las cuales las dos sucesiones de

Fibonacci y Lucas son casos particulares. Si de poner nombres se

trata las denominaremos Progresiones Geométricas de Oro, y

mencionaremos el porque.

El número de oro α=Φ , cuenta con un gran número de

propiedades, y asociado a la sucesión de Fibonacci se hallan varias

de ellas. Una de ellas es la siguiente y que cumpliría su primera

centuria, y se le adjudica a Barr y Schooling (1912):

Φ=+

∞→ n

n

n FF 1lim

Esta propiedad se verifica en términos de la EED y es

independiente de los valores iniciales, por lo que puede extenderse

a la sucesión generalizada, o sea a las Progresiones Geométricas

de Oro (en adelante PGO).

Con esto la propiedad puede escribirse

Φ=ΦΦ +

∞→ n

n

n

1lim .

Esto se verifica, pues:

n

n

nnn

nn

nn

n

n cc

cc

cccc

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=++

=ΦΦ

∞→

++

∞→

+

∞→

αβαββα

βαβα

21

21

21

12

111 limlimlim

Como 1<αβ

, resulta 0lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

n

n αβ

. Con esto el límite es el número

áureo.


Por lo tanto se puede escribir, nn ΦΦ=Φ +1 para ∞→n , es

decir es una progresión geométrica con razón Φ , o sea una

progresión geométrica con razón áurea, o PGO.

De ésta manera la generalización que llamamos PGO la

podemos expresar mediante el PVID:

⎪⎩

⎪⎨⎧

Φ+Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

−+ 11

2

1)2( )1(

nnn

Busquemos la forma de Binet de una PGO. Como la

solución general de la EED asociada al PVID es: nnn CC βα 21 +=Φ

Y según los valores iniciales que podemos llamar A y B

respectivamente, queda:

ACCCC =+=+=Φ 210

20

10 βα y BCCCC =+=+=Φ βαβα 211

21

11

De allí que βαβ

−−

=ABC1 y

βαα−−

=BAC2 , por lo que podemos

dar como forma de Binet a la siguiente expresión, donde se

destacan los valores iniciales:

( ) ( )βα

βααβ−

−+−=Φ

nnBA

nBAAB,

Forma de Binet general para toda PGO que verifica para

los casos particulares que son:

βαβα

−−

=Φ=nn

nnF 1,0

y

( ) ( )βα

βααβ−

−+−=Φ=

nn

nnL 12211,2


Además, como 51221 =−=−=− βααβ , se verifica que

nnnnL βα +=Φ= 1,2

Vivir el sueño del oro, morir el sueño de las progresiones

Es por demás conocido las principales propiedades de los

números de Fibonacci, enumerar a todas es un gran desafío, aquí

nos basaremos en algunas de las que se mencionan en las

bibliografías de referencias, pero nuestra intención en este trabajo

es presentar a las progresiones geométricas de oro como una forma

general que incluyen a las de Fibonacci y a las de Lucas, por lo que

procuraremos dar la extensión de estas versiones, o al menos

soñar el sueño del oro y no perecer en las demostraciones de tales

progresiones, parafraseando la zamba de los mineros [6].

Los enunciados los presentaremos en el orden en que

suelen indicarse en las bibliografías de referencias, pero usando

para nuestras progresiones la notación anterior como una

generalización de las sucesiones de Fibonacci y de Lucas, o sea

como PGO.

Propiedad 1:

La suma de los n primeros términos de una progresión

geométrica de oro es igual a la diferencia entre el (n+2) término

menos el segundo término.


En efecto: de la EED del PVID 11 −+ Φ+Φ=Φ nnn , se tiene

nnn Φ−Φ=Φ +− 11 con lo cuál justificamos el desarrollo siguiente en

donde cada uno de los n primeros términos se expresan así:

120 Φ−Φ=Φ

231 Φ−Φ=Φ

342 Φ−Φ=Φ

. . . . . . . . .

nnn Φ−Φ=Φ +− 11

Sumando miembro a miembro las n igualdades

anteriores resulta:

111210 ... Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ +− nn

Tal como queríamos probar. █

La propiedad anterior considera la suma de todos los n

primeros términos de una PGO.

Ahora nos remitiremos a los de orden impar y par,

recuerde el lector que al iniciar el subíndice en 0, el primer

término lleva subíndice 0, el segundo lleva subíndice 1, ..., el

término que se ubica en orden impar lleva índice par y viceversa.


Propiedad 2:

La suma de la n primeros términos de orden par de una

progresión geométrica de oro es igual al término de orden impar

siguiente menos el primer término.

Ahora usaremos la relación 11 −+ Φ−Φ=Φ nnn que también

se obtiene de la EED del PVID, pero donde la paridad de los

índices del segundo miembro son iguales y distinta a la del

primero. Es decir, que para los términos de orden par desde el

segundo se cumple:

021 Φ−Φ=Φ

243 Φ−Φ=Φ

465 Φ−Φ=Φ

. . . . . . . . . . .

22212 −− Φ−Φ=Φ nnn

Sumando miembro a miembro estas igualdades resulta:

0212531 ... Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ − nn █

Propiedad 3:

La suma de los n primeros términos de orden impar de

una progresión geométrica de oro es igual al término de orden par

siguiente menos el segundo término y mas el primer término.

Aplicando la primera propiedad para los primeros 2n

términos y restando los impares según lo dado por la segunda

propiedad, resulta lo que deseamos demostrar:


0112

01212

0211222420

][][...

Φ+Φ−Φ=

Φ+Φ−Φ−Φ=

Φ−Φ−Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ

−

+

+−

n

nn

nnn

█

Propiedad 4:

La suma alternada de los n primeros términos de una

progresión geométrica de oro es igual al término de orden (n-1)

con el signo contrario al que figura en el primer miembro más dos

veces el primer término y menos el segundo término.

Para la demostración debemos restar miembro a

miembro las propiedades anteriores:

1022

1021212223210

22

Φ−Φ+Φ−==Φ−Φ+Φ−Φ=Φ−Φ++Φ−Φ+Φ−Φ

−

−−−

n

nnnn...

O bien, pasando de los dos primeros desarrollo n2Φ

1012212223210 2... Φ−Φ+Φ=Φ+Φ−Φ++Φ−Φ+Φ−Φ −−− nnnn

Combinando ambas expresiones resulta lo que debíamos

probar:

1013210 2)1()1(... Φ−Φ+Φ−=Φ−++Φ−Φ+Φ−Φ −nn

nn █

La representación del cuadrado de un término de una

PGO en relación a otros de la misma progresión se establece a

continuación.


Propiedad 5:

El cuadrado de un término de una progresión geométrica

de oro puede expresarse como la diferencia de ese término

multiplicado por el siguiente término y del mencionado término

por el anterior.

( ) 11112

−+−+ ΦΦ−ΦΦ=Φ−ΦΦ=ΦΦ=Φ kkkkkkkkkk █

Usando la notación obtenida en el enunciado anterior

podemos efectuar la suma de los cuadrados de los primeros

números áureos.

Propiedad 6:

La suma de los cuadrados de los primeros n términos de

una progresión geométrica de oro puede expresarse

20101

21

21

20 ... Φ+ΦΦ−ΦΦ=Φ++Φ+Φ −− nnn

En efecto:

10212

1 ΦΦ−ΦΦ=Φ

21322

2 ΦΦ−ΦΦ=Φ

32432

3 ΦΦ−ΦΦ=Φ

.................................

1212

1 −−−− ΦΦ−ΦΦ=Φ nnnnn

Sumando miembro a miembro y considerando la identidad

del cuadrado del primer término se prueba el enunciado. █


Una relación que permite expresar al primer elemento

en términos de otros arbitrarios consecutivos se obtiene de la

siguiente manera:

( )

( )

( )

( )

( )...................................................13885

8553

5332

322

2

67676

56565

45454

34343

23232

120

Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=

Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=




Φ−Φ=Φ

Vemos como aparecen los términos siguientes de la

sucesión áurea acompañados con coeficientes que son sucesivos

términos de la sucesión de Fibonacci, y con signos positivos y

negativos intercalados. Con lo cuál podemos reescribir como:

.............................6776

5665

4554

3443

2332

12210

Φ+Φ−=

Φ−Φ=

Φ+Φ−=

Φ−Φ=

Φ+Φ−=

Φ−Φ=Φ

FF

FF

FF

FF

FF

FF

Formalmente podemos enunciar:


Propiedad 7:

( ) ( ) nnn

nnn FF Φ−+Φ−=Φ +++

111

0 11 █

Podemos tomar en forma arbitraria a un término áureo

para escribir en término de los siguientes usando el desarrollo de

la propiedad anterior.

( )

( )

( )

( )

( )...................................................

13885

8553

5332

322

2

67676

56565

45454

34343

23232

12

+++++

+++++

+++++

+++++

+++++

++






Φ−Φ=Φ

hhhhh

hhhhh

hhhhh

hhhhh

hhhhh

hhh

Que como se ve es inmediata a partir del desarrollo

anterior por lo que escribimos:


..............................6776

5665

4554

3443

2332

1221

++

++

++

++

++

++

Φ+Φ−=

Φ−Φ=

Φ+Φ−=

Φ−Φ=

Φ+Φ−=

Φ−Φ=Φ

hh

hh

hh

hh

hh

hhh

FF

FF

FF

FF

FF

FF

Formalmente podemos enunciar:

Propiedad 8:

( ) ( ) nhnn

nhnn

h FF +++++ Φ−+Φ−=Φ 11

1 11 █

Las dos propiedades anteriores muestran de qué manera

al relacionar términos de una progresión geométrica de oro

arbitraria, aparecen términos de la Sucesión de Fibonacci.

Resultados

Y por casa como andamos: el método de inducción

completa y sus variantes

Si bien estas últimas identidades se fueron construyendo

término a término, se pueden intentar verificar las


demostraciones por medio del Método de Inducción Completa (en

adelante MIC). Más aún, este método consiste en mostrar la

validez de una proposición relacionada a números enteros

positivos, y se compone de dos partes. En la primera, el enunciado

a probar debe satisfacerse para el primer elemento de la sucesión

de elementos en cuestión, en la segunda parte, la proposición se

supone válida para un elemento arbitrario de la sucesión y debe

probarse la validez del enunciado para el término siguiente de la

sucesión. Esta segunda parte de la demostración se dice que se

compone de un teorema donde la suposición forma una hipótesis

inductiva. Una vez que las dos partes del método se satisfacen se

puede decir que la proposición es válida para todo elemento de la

sucesión.

Muchas veces se desea probar la validez de un enunciado

por inducción completa pero debido a su estructura, propia de la

sucesión, debe modificarse el enunciado anterior del método [4],

[7], [9], y que, para los que tuvimos la suerte de asistir a las clases

en donde Homero A. Costa [4] las citaba, formalmente llamándolas

como las variantes del MIC.

Para apreciar como variantes del MIC, se pueden

presentar distintas situaciones a la vez o varias de ellas, a saber.

El primer elemento de la sucesión que debe satisfacer una

proposición, puede no ser cero, sino un número arbitrario. Además

la sucesión puede contar con más de un valor inicial sobre el cuál

debe probarse el enunciado de la proposición. De esta manera la

primera parte del MIC debe manifestar cambios. Por otro lado, la

hipótesis inductiva (indicada luego como HI) también debe

mencionar si el supuesto se da sobre un único valor inicial o sobre

varios, y finalmente la tesis del teorema de la segunda parte


también debe mencionar si la expresión de la proposición es única

o no.

Usaremos una variante del MIC para probar la validez

del enunciado siguiente:

Propiedad 9:

11 +−+ Φ+Φ=Φ mnmnmn FF con 0,1 ≥≥ mn

Realizamos la demostración por inducción en n, tomando

fijo a m. Como se trata de PGO, existen dos valores iniciales, por

ello la primera parte se prueba para n =1 y n =2.

i) Sea n =1, la expresión queda:

mmmmmm FF ++++ Φ=Φ⋅+Φ=Φ+Φ=Φ 111101 10

Sea n =2, la expresión resulta:

11212 +++ Φ+Φ=Φ+Φ=Φ mmmmm FF ,

lo cual es válido por definición de la PGO.

ii) Para la segunda parte del método planteamos la

hipótesis inductiva y la tesis.

HI) Para 1−= hn se verifica

1121 +−−+− Φ+Φ=Φ mhmhmh FF

Y para hn = se verifica

11 +−+ Φ+Φ=Φ mhmhmh FF


T) Se desea probar que para 1+= hn se cumple

111 ++++ Φ+Φ=Φ mhmhmh FF

D) Partimos del primer miembro de la tesis, aplicamos la

definición de la PGO y luego las identidades de HI, para luego

agrupar el primer y tercer término por un lado y los restantes por

otro y obtener la identidad buscada.

11

11112

11

++

+−+−−

++−++

Φ+Φ=

Φ+Φ+Φ+Φ=

Φ+Φ=Φ

mhmh

mhmhmhmh

mhmhmh

FF

FFFF

De ambas partes, se dice que el enunciado es válido. █

Podemos aplicar la propiedad anterior y suponer que

nm = .

Propiedad 10:

112 +− Φ+Φ=Φ nnnnn FF con 1≥n █

De esta última resulta una identidad simétrica

Propiedad 11:

1111 −++− Φ+Φ=Φ+Φ nnnnnnnn FFFF con 1≥n

En efecto:


( )

( )

11

11

11

1111

−+

−−

−−

−−+−

Φ+Φ=

Φ+Φ+=

Φ+Φ+Φ=

Φ+Φ+Φ=Φ+Φ

nnnn

nnnnn

nnnnnn

nnnnnnnnn

FF

FFF

FFF

FFFF

█

Como una aplicación de las dos propiedades anteriores

resulta la identidad:

Propiedad 12:

11112 −−++ Φ−Φ=Φ nnnnn FF con 1≥n

En efecto, partiendo de la propiedad 10, la recurrencia

de la sucesión de Fibonacci y la de la PGO arbitraria, se tiene:

( )

( )

1111

1111

1111

11111

1111

112

−−++

++−−

+++−

+−++−

+−+−

+−

Φ−Φ=

Φ+Φ−=

Φ+Φ−Φ=

Φ−Φ+Φ=

Φ−+Φ=

Φ+Φ=Φ

nnnn

nnnn

nnnnn

nnnnnn

nnnnn

nnnnn

FF

FF

FF

FFF

FFF

FF

█


Otra sucesión interesante: ...Conejos de oro

El análisis realizado hasta aquí nos llevo a definir otra

sucesión que nos resulta interesante, y para ello la vamos a definir

en términos de una PGO como

⎪⎩

⎪⎨⎧

Φ+Φ=Φ−=Φ

−=Φ=Φ

−+

−−

11

222

1, 22

nnn

n βαβα

βαβα

Es inmediato ver que las condiciones iniciales son

iguales pues, de la primera propiedad de las raíces características,

resulta: βαβα −=− 22 . A partir de allí algunos de los siguientes

términos son:

( ) ( ) ( ) ( ) ....,8,5,3,2 βαβαβαβα −−−−

Es inmediato ver que ( ) nnn FF 522, =−=Φ −− βαβαβα , o sea

es una sucesión múltiplo irracional de la sucesión de Fibonacci,

por lo que muchas propiedades de esta nueva sucesión se hallan

directamente de la sucesión de Fibonacci.

Antes de buscar la forma de Binet de esta sucesión a

partir de la forma de una PGO vemos que podemos extender al

subíndice cero para él 022,

0 =Φ −− βαβα , con lo cual los valores iniciales

ahora pueden ser 0 y βα − .

Por ello la forma de Binet resulta

nnn βαβα −=Φ −,0


Conclusión

Poder expresar a las sucesiones de Fibonacci y de Lucas

como casos particulares de una familia de sucesiones que

responden a una sucesión recurrente generada por una misma

ecuación en diferencias, solo variando por los valores iniciales, ha

sido un desafío en este articulo, complementado por la expresión

como un problema de valor inicial discreto. Finalmente enunciar

una sucesión particular en término de las raíces características de

la ecuación algebraica asociada a fin de asociar con las sucesiones

de Fibonacci y Lucas, nos da una propuesta para continuar

investigando sobre la misma.


Referencias

[1] Brousseau Brother Alfred (1971) Linear recursion and Fibonacci sequences. A publication of The Fibonacci Association.

[2] Episodio Mejores amigos. El show de los Looney Tunes (2012) Vol. 1. DVD video. Warner Bros. Entertaiment Inc.

[3] Hoggatt Jr, Verter E. (1969) Fibonacci and Lucas Numbers. Albert E. Meder, Jr. Editorial Adviser. A publication of The Fibonacci Association. University of Santa Clara.

[4] Juárez, G. A.; Navarro, S. I. (2005) Ecuaciones en Diferencias con aplicaciones a modelos en Sistemas Dinámicos. Editorial Sarquís. Argentina.

[5] Juárez, G. A.; Navarro, S. I. (2011) Problemas discretos con valores iniciales. Revista de Educación Matemática. Volumen 26 N° 2. Año. pps 3-13.

[6] Leguizamón, Gustavo; Jaime Dávalos: La zamba de los mineros.

[7] Markushévich, A. I. (1974) Sucesiones Recurrentes. Editorial MIR. Moscú.

[8] Viggiani Rocha, María Isabel (2010) La sucesión de Lucas. Revista de Educación Matemática Volumen 25 N° 3. Año. pps 3-18.

[9] Sominski, I. S. (1975) Método de Inducción Matemática. Editorial MIR. Moscú.

[10] Vorobyov, N. N. (1988) Los números de Fibonacci. Editorial Limusa. México.

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