programación lineal antonio h. escobar z. 2012 universidad tecnológica de pereira – colombia...
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Programación Lineal
Antonio H. Escobar Z.
2012
Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia
Posgrado en Ingeniería – Maestría/Doctorado
* Una fábrica produce mesas construidas con tubos metálicos y con superficie de vidrio.
* La cantidad de mesas fabricadas semanalmente está limitada por la cantidad máxima disponible de tubos metálicos y de metros cuadrados de láminas de vidrio que puede adquirir en el mercado:
50 tubos/semana 75 m2 vidrio/semana
* Se asume que la fábrica vende todas las mesas producidas.
Optimalidad en PL e interpretación económica de las variables duales:
Ejemplo:
Con el propósito de maximizar las ganancias, la fábrica diversifica sus productos. Para esto se diseñan cuatro tipos de mesas y se evalúa la ganancia neta que cada una produce y sus requerimientos de tubos y vidrio.
Ejemplo:
Ejemplo:
150 500 200
1 4 1
1 1 2
400
3
1
Lucro
:
hierro
:
(tubos)
50
75 vidrio:
(m2)
cantidad disponible
Que modelos debe fabricar y en que cantidad para obtener el máximo lucro?
Ejemplo:
150 500 200
1 4 1
1 1 2
400
3
1
Lucro
:
hierr
o:50
75 vidrio:
cantidad máxima disponible
variables de decisión:
x2x1 x3
x4
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
≤ 50
≤ 75
Modelamiento:
: hierro
: vidrio
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
Modelamiento:
: hierro
: vidrio
+
+
x5
x6
Variables de holgura
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
Caso de estudio: la empresa fabrica únicamente mesas tipo 1 y evalúa la posibilidad de fabricar
otro tipo de mesa.
: hierro
: vidrio
+
+
x5
x6
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
: hierro
: vidrio
+
+
x5
x6
0
0
0
0
0
0
Solución básica: Lucro = 7500 ; x1 = 50 ; x6 = 25 ;
La cantidad de mesas tipo 1 construidas son limitadas por el recurso que primero se agota: cantidad de tubos de hierro disponibles (recurso1). Con 50 tubos puedo hacer 50 mesas tipo 1 (se requiere 1 tubo por mesa). Del recurso 2 (m2 de vidrio) se usan 50 m2 y quedan 25 m2 sobrantes.
La restricción 1 se activa y la restricción 2 queda com holgura: x6 = 25 m2
0
Solución básica:
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
w1 = 150
w2 = 0
+
+
x5
x6
0
0
0
0
0
0
Variable dual w: beneficio adicional obtenido cuando se aumenta un recurso en una unidad
Al incrementar el recurso 1 de 50 a 51 tubos puedo hacer 51 mesas tipo 1 obteniendo un lucro adicional de 150 (1 mesa más).
Al incrementar el recurso 2 de 75 a 76 m2 de vidrio no obtengo un lucro adicional porque este recurso tiene holgura.
51
76
0
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
w1 = 150
w2 = 0
+
+
x5
x6
0
0
0
0
• Una mesa tipo 2 fabricada (que requiere 4 tubos de hierro) desplaza 4 mesas tipo 1 (que requiere 1 tubo de hierro cada una). Esto porque esta restricción está en su límite.
• Respecto al recurso: m2 de vidrio, no hay afectación de mesas tipo 1 porque esta restricción tiene holgura.
• En consecuencia, el beneficio neto de fabricar una mesa tipo 2 en lugar de una mesa tipo 1 es: 500 – 4(150) = -100. (no es conveniente).
0
Es conveniente fabricar mesas tipo 2 en lugar de mesas tipo 1 ?
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
w1 = 150
w2 = 0
+
+
x5
x6
0
0
0
0
• Una mesa tipo 3 fabricada (que requiere 3 tubos de hierro) desplaza 3 mesas tipo 1 (que requiere 1 tubo de hierro cada una). Esto porque esta restricción está en su límite.
• Respecto al recurso: m2 de vidrio, no hay afectación de mesas tipo 1 porque esta restricción tiene holgura.
• En consecuencia, el beneficio neto de fabricar una mesa tipo 3 en lugar de una mesa tipo 1 es: 400 – 3(150) = - 50. (no es conveniente).
0
Es conveniente fabricar mesas tipo 3 en lugar de mesas tipo 1 ?
x1 x2 x4150 + 500 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1
x1 x2 x41 + 1 + 2
max x3+ 400
x3+ 3
x3+ 1
= 50
= 75
w1 = 150
w2 = 0
+
+
x5
x6
0
0
0
0
• Una mesa tipo 4 fabricada (que requiere 1 tubo de hierro) desplaza 1 mesa tipo 1 (que requiere 1 tubo de hierro cada una). Esto porque esta restricción está en su límite.
• Respecto al recurso: m2 de vidrio, no hay afectación de mesas tipo 1 porque esta restricción tiene holgura.
• En consecuencia, el beneficio neto de fabricar una mesa tipo 4 en lugar de una mesa tipo 1 es: 200 – 1*(150) = + 50. (si es conveniente).
0
Es conveniente fabricar mesas tipo 4 en lugar de mesas tipo 1 ?
