program linear1

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program linier

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan

dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau

meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan

linier. Metode analisis yang paling bagus untuk menyelesaikan persoalan alokasi sumber

ialah metode program linier. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program

linier ialah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi

yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya ialah

menerjemahkan masalah yang ada ke dalam model matematika.

Program linier sering digunakan dalam menyelesaikan problema-problema alokasi

sumber daya, seperti dalam bidang manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia,

administrasi dan lain sebagainya.

Bentuk standar dari permasalahan program linier adalah:

a. Penulisan dalam bentuk skalar untuk kasus maksimasi

Maksimumkan :

𝑓 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 = 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 (2.1)

Dengan kendala :

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

Universitas Sumatera Utara

𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 ≥ 0

Atau dapat juga ditulis dengan menggunakan lambang penjumlahan yaitu:

Maksimumkan :

𝑓 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 = 𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.2)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖𝑛𝑗=1 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Di mana 𝑐𝑗 , 𝑏𝑖 dan 𝑎𝑖𝑗 diketahui konstan.

Keterangan:

𝒄𝒋 = parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan

keputusan dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi 𝑐𝑗 menunjukkan

keuntungan atau penerimaan per unit, sementara dalam kasus minimasi 𝑐𝑗

menunjukkan biaya per unit.

𝒙𝒋 = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak

diketahui). Karena 𝑗 = 1, 2,⋯ , 𝑛 berarti dalam hal ini terdapat 𝑛 variabel

keputusan.

𝒂𝒊𝒋 = koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan dalam kendala ke-𝑖 .

𝒃𝒊 = sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang

bersangkutan; disebut juga konstanta sebelah kanan dari kendala ke-𝑖. Karena

𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚 berarti dalam hal ini terdapat 𝑚 jenis sumber daya.

𝒁 = Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan nilai fungsi tujuan.

b. Penulisan dalam bentuk matriks untuk kasus maksimasi

Maksimumkan :

𝒁 = 𝒄𝑻𝑿 (2.3)

Dengan kendala :

𝑨𝑿 = 𝑩 dan 𝑿 ≥ 𝟎


Dimana 𝑿 =

𝒙𝟏𝒙𝟐⋮𝒙𝒏

, 𝑩 =

𝒃𝟏𝒃𝟐⋮𝒃𝒏

, 𝒄 =

𝒄𝟏𝒄𝟐⋮𝒄𝒏

, 𝑨 =

𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟏⋮

𝒂𝒎𝟏

𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟐⋮

𝒂𝒎𝟐

……⋮…

𝒂𝟏𝒏𝒂𝟐𝒏⋮

𝒂𝒎𝒏

Dan 𝑻 menyatakan transpose.

2.2 Asumsi-asumsi yang Harus Dipenuhi dalam Program Linier

Ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan

ke dalam model matematik persamaan linier sehingga problema itu dapat dikatakan absah

menjadi suatu permasalahan program linier, yaitu:

a. Asumsi Linierity (Linieritas)

Asumsi ini menyatakan bahwa fungsi tujuan dan semua kendala harus berbentuk linier.

Dengan kata lain, apabila suatu kendala melibatkan dua variabel keputusan maka dalam

diagram dimensi dua kendala tersebut akan berupa suatu garis lurus. Demikian juga

apabila suatu kendala melibatkan tiga variabel akan menghasilkan suatu bidang datar dan

kendala yang melibatkan 𝑛 variabel akan menghasilkan hyperplane (bentuk geometris

yang rata) dalam ruang berdimensi 𝑛.

b. Asumsi Additivity (Aditivitas/ Penambahan)

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien variabel

keputusan dan fungsi tujuan) merupakan jumlah dari individu-individu 𝑐𝑗 dalam program

linier. Misalnya, keuntungan total 𝑍 yang merupakan variabel keputusan, sama dengan

jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing kegiatan (𝑐𝑗𝑥𝑗 ). Dan juga, seluruh

sumber daya yang digunakan untuk semua kegiatan harus sama dengan jumlah sumber

daya yang digunakan untuk masing-masing kegiatan.

c. Asumsi Proportionality (Proporsionalitas/ Kesebandingan)

Asumsi ini menyatakan bahwa jika variabel keputusan (𝑥𝑗 ) mengalami perubahan, maka

dampak perubahannya akan menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan


(𝑐𝑗𝑥𝑗 ) dan juga pada kendalanya (𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ). Misalnya, apabila variabel keputusan dinaikkan

dua kali. Maka secara proporsional (seimbang dan serasi) nilai-nilai fungsi tujuan dan

kendalanya juga akan menjadi dua kali lipat.

d. Asumsi Divisibility (Divisibilitas/ Pembagian)

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai variabel keputusan (𝑥𝑗 ) yang diperoleh tidak harus

berupa bilangan bulat, artinya nilai variabel keputusan bisa diperoleh pada nilai pecahan.

e. Asumsi Certainty (Deterministik/ Kepastian)

Asumsi ini menghendaki bahwa semua parameter dalam program linier (𝑐𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑖)

harus bernilai tetap dan diketahui atau ditentukan secara pasti.

2.3 Metode Simpleks

Pada umumnya permasalahan program linier dapat diselesaikan dengan menggunakan

metode grafik dan metode simpleks. Kedua metode ini tentunya memiliki kebaikan dan

kelemahannya. Aplikasi kedua metode ini tergantung atas problema yang dihadapi.

Metode grafik digunakan apabila jumlah variabel keputusan hanya dua dan jumlah

kendala dalam model sedikit (pada umumnya tidak lebih dari 4 kendala). Apabila jumlah

kendalanya banyak (> 4 kendala), maka akan sukar untuk melukiskan garis kendalanya

dalam grafik.

Sehingga meskipun permasalahan program linier dapat diselesaikan dengan

menggunakan metode grafik, akan tetapi untuk permasalahan program linier dengan lebih

dari 3 variabel maka metode grafik ini tidak dapat digunakan. Oleh karena itu, pada tahun

1947 George Dantzig mengajukan satu metode yang paling berhasil untuk menyelesaikan

suatu permasalahan program linier, dan metode itu dinamakan metode simpleks dan telah

diperbaiki oleh beberapa ahli lain.


Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu

pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar fisibel (feasible) lainnya dan ini

dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya

tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step/ iterasi menghasilkan

suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya

(Supranto, 1983).

2.3.1 Langkah-langkah Metode Simpleks

Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan

proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks

adalah:

a. Berdasarkan bentuk baku, tentukan solusi awal (initial basic feasible solution)

dengan menetapkan n-m variabel nonbasis sama dengan nol. Di mana n jumlah variabel

dan m banyaknya kendala.

b. Kemudian dipilih sebuah entering variable (variabel yang masuk) di antara yang

sedang menjadi variabel nonbasis, yang jika dinaikkan di atas nol, dapat memperbaiki

nilai fungsi tujuan. Apabila tidak ada maka berhenti, berarti solusi sudah optimal. Jika

tidak, maka lanjutkan ke langkah c.

c. Selanjutnya pilih sebuah leaving variable (variabel yang keluar) di antara yang

sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika

entering variable menjadi variabel basis.

d. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variable dan leaving

variable menjadi nonbasis. Selanjutnya kembali ke langkah b.

Selanjutnya akan dijelaskan langkah-langhkah penyelesaian persoalan yang

formulasinya mempunyai bentuk sebagai berikut:

Maksimumkan:

𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.4)

Dengan kendala:


𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 ,

𝑥𝑗 ≥ 0,

𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚 , 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Perhitungan simpleks yang lebih rinci akan diterangkan dengan langkah berikut:

Langkah 1 : Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala.

Fungsi tujuan diubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua 𝑐𝑗𝑥𝑗 ke kiri.

Fungsi kendala selain kendala nonnegatif diubah menjadi bentuk persamaan dengan

menambahkan variabel slack, yaitu suatu variabel yang mewakili tingkat pengangguran

kapasitas yang merupakan batasan.

Langkah 2 : Mentabulasikan persamaan-persamaan yang diperoleh pada langkah 1.

Tabel 2.1 Bentuk Umum Tabel Simplek Awal

Basis 𝑪 𝐶1 𝐶2 . . 𝐶𝑛 0 0 . . 0 Solusi

𝒙𝟏 𝒙𝟐 . . 𝒙𝒏 𝑺𝟏 𝑺𝟐 . . 𝑺𝒎

𝑺𝟏 0 𝑎11 𝑎12 . . 𝑎1𝑛 1 0 . . 0 𝑏1

𝑺𝟐 0 𝑎21 𝑎22 . . 𝑎2𝑛 0 1 . . 0 𝑏2

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

𝑺𝒎 0 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . 𝑎𝑚𝑛 0 0 . . 1 𝑏𝑚

𝒁𝒋 − 𝑪𝒋 −𝐶1 −𝐶2 . . −𝐶𝑚 0 0 . . 0 0

Kolom baris menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis yaitu 𝑆1,𝑆2,⋯ , 𝑆𝑚 yang

nilainya ditunjukkan oleh kolom solusi. Secara tidak langsung ini menunjukkan bahwa

variabel nonbasis 𝑥1, 𝑥2 ,⋯ , 𝑥𝑛 (yang tidak ditunjukkan pada kolom basis) sama dengan

nol.


Langkah 3 : Menentukan entering variable (variabel yang masuk).

Tabel di atas memperlihatkan bahwa pada baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 kolom 𝑥1, 𝑥2 ,⋯ , 𝑥𝑛 nilainya

negatif. Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 dapat diperbaiki dengan

meningkatkan nilai 𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 pada baris 𝑍𝑗 − 𝑐𝑗 menjadi tidak negatif. Untuk itu

pilihlah kolom pada baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 (termasuk kolom slack) yang mempunyai nilai negatif

terbesar, selanjutnya kolom ini digunakan sebagai entering variable. Jika ditemukan lebih

dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan

nilai negatif berarti solusi sudah optimal.

Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 yang nilainya positif

terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi sudah optimal.

Dan pada persoalan di atas kolom 𝑥2 merupakan entering variable.

Langkah 4 : Menentukan leaving variable (variabel yang keluar).

Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan

cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada kolom entering nya.

𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜 =𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖

𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔𝑛𝑦𝑎 (2.5)

Baris yang memiliki rasio yang nilainya positif terkecil selanjutnya akan digunakan

sebagai leaving variable. Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci

(kolom entering variable) ini, maka persoalan tidak memiliki pemecahan.

Kolom pada entering variable dinamakan entering column, dan baris yang berhubungan

dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering

column dan persamaan pivot dinamakan elemen pivot.

Langkah 5 : Menentukan persamaan pivot baru.

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑢 =𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑙𝑎𝑚𝑎

𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 (2.6)


Langkah 6 : Menentukan persamaan-persamaan baru selain persamaan pivot baru.

Persamaan baru = (Persamaan lama) – (Koefisien kolom entering x persamaan pivot

baru) (2.7)

Langkah 7 : Lanjutkan perbaikan-perbaikan.

Lakukan langkah perbaikan dengan cara mengulang langkah 3 sampai langkah 6 hingga

diperoleh hasil optimal.

2.3.2 Program QM

Program QM adalah paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan

metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. Program QM juga adalah salah

satu software yang dapat digunakan untuk membantu perhitungan masalah program

linier.

Gambar 2.1 Tampilan Sementara (Splash) dari Program QM


2.4 Teori Himpunan Crisp Dan Teori Himpunan Fuzzy

Himpunan Crisp A didefinisikan oleh item-item yang ada pada himpunan itu. Pada teori

himpunan Crisp, keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan A, hanya akan memiliki

dua kemungkinan keanggotaan, yaitu menjadi anggota A atau tidak menjadi anggota A

(Chak, 1998). Suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar tingkat keanggotaan suatu

elemen 𝑥 dalam suatu himpunan A, sering disebut dengan nama nilai keanggotaan atau

derajat keanggotaan, dinotasikan dengan 𝜇𝐴 𝑥 . Pada himpunan Crisp, hanya ada 2 nilai

keanggotaan, yaitu 𝜇𝐴 𝑥 = 1 untuk 𝑥 menjadi anggota A, dan 𝜇𝐴 𝑥 = 0 untuk 𝑥 bukan

anggota A.

Teori himpunan fuzzy yang ditemukan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965

merupakan kerangka matematis yang digunakan untuk mempresentasikan ketidakpastian,

ketidakjelasan, ketidaktepatan, kekurangan informasi, dan kebenaran parsial (Tettamanzi,

2001). Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi

karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada

interval 0, 1 . Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta

pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak

diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau

salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai

yang terletak antara benar dan salah.

Menurut (Kusumadewi, 2002)

Misalkan dimiliki variabel umur yang dibagi menjadi 3 kategori, yaitu:

MUDA umur < 35 tahun

SETENGAH BAYA 35 tahun ≤ umur ≤ 55 tahun

TUA umur > 55 tahun

Dengan menggunakan pendekatan himpunan Crisp, amatlah tidak adil untuk

menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal

yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 tahun dan 56 tahun


sangatlah jauh berbeda, di mana umur 55 tahun termasuk dalam setengah baya,

sedangkan umur 56 tahun termasuk sudah tua. Demikian juga halnya untuk klasifikasi

muda dan tua. Orang yang berumur 34 tahun dikatakan muda, sedangkan orang yang

berumur 35 tahun sudah tidak muda lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk stengah

baya menurut pengklasifikasian, tetapi orang yang berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah

tidak setengah baya lagi tetapi sudah termasuk tua.

2.5 Fungsi Keanggotaan Trapezoidal (Trapesium)

Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan

pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut dengan

derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Atau dapat dinotasikan

sebagai berikut :

𝜇𝐴: 𝕽 → 0, 1

Untuk x ∈ 𝕽 maka µA(x) adalah derajat keanggotaan x dalam A.

Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan trapezoidal

jika mempunyai empat buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ∈ ℝ dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑, dan

dinyatakan dengan 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥,𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 dengan aturan:

𝑥−𝑎

𝑏−𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (2.8)

1 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥;𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 =

𝑑−𝑥

𝑑−𝑐 untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑

0 untuk lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai

berikut:


𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥;𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝑥−𝑎

𝑏−𝑎, 1,

𝑑−𝑥

𝑑−𝑐 , 0 (2.9)

2.6 Fuzzy Linear Programming (FLP)

Dalam fuzzy linear programming akan dicari suatu nilai 𝑍 yang merupakan fungsi

objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang

dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy.

Bentuk umum dari fuzzy linear programming (FLP) untuk kasus maksimasi

adalah:

Maksimumkan:

𝑍 = 𝑐 𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.10)

Dengan kendala:

𝑎 𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0 , 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Di mana 𝑐 𝑗 , 𝑎 𝑖𝑗 , dan 𝑏 𝑖 semuanya adalah bilangan fuzzy.

Keterangan:

𝑍 = Fungsi tujuan

𝑐 𝑗 = Nilai kontribusi

𝑥𝑗 = Variabel keputusan

𝑎 𝑖𝑗 = Koefisien teknologi

𝑏 𝑖 = Konstanta sebelah kanan (sumber daya)

2.6.1 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Berbentuk Bilangan Fuzzy

Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy

untuk kasus maksimasi adalah:


Maksimumkan:

𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.11)

Dengan kendala:

𝑎 𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy,

terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:

Asumsi 1: Koefisien teknologi 𝑎 𝑖𝑗 dikatakan berbentuk bilangan fuzzy apabila

memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:

1 jika 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 (2.12)

𝜇𝑎𝑖𝑗 𝑥 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑑𝑖𝑗−𝑥

𝑑𝑖𝑗 jika 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗

0 jika 𝑥 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗

di mana 𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑑𝑖𝑗 > 0 untuk semua 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛.

Defuzzyfikasi adalah perubahan dari suatu besaran fuzzy ke suatu besaran

numerik, sedangkan fuzzyfikasi adalah perubahan dari besaran numerik ke suatu besaran

fuzzy.

Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama fungsi objektif (tujuan)

harus diubah ke dalam kondisi fuzzy, yaitu dengan menghitung batas bawah (𝑍𝑙) dan batas

atas (𝑍𝑢 ) dari nilai optimal awal. Batas-batas dari nilai optimal ini akan diperoleh dengan

menyelesaikan permasalahan program linier standar berikut:

Maksimumkan:

𝑍1 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.13)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚


𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Dan juga

Maksimumkan:

𝑍2 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.14)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Dari persamaan di atas, nilai dari fungsi objektif (tujuan) berada di antara 𝑍1 dan 𝑍2 di

mana nilai koefisien teknologi mengalami perubahan di antara 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 . Dengan

nilai batas bawah 𝑍𝑙 = 𝑚𝑖𝑛 𝑍1,𝑍2 dan nilai batas atas 𝑍𝑢 = 𝑚𝑎𝑥 𝑍1,𝑍2 .

Asumsi 2: Permasalahan linier crisp yaitu persamaan 𝑍1 dan 𝑍2 di atas memiliki nilai

optimal yang terbatas. Pada kasus ini nilai optimal dari himpunan fuzzy 𝐺, di mana

merupakan himpunan bagian dari 𝑅𝑛 , dalam buku Klir dan Yuan didefinisikan sebagai:

0 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 < 𝑍𝑙 (2.15)

𝜇𝐺 𝑥 = 𝐶𝑗𝑥𝑗−𝑍𝑙

𝑛𝑗=1

𝑍𝑢−𝑍𝑙 jika 𝑍𝑙 ≤ 𝑐𝑗𝑥𝑗

𝑛𝑗=1 < 𝑍𝑢

1 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≥ 𝑍𝑢

Himpunan fuzzy dari kendala ke-𝑖, yaitu 𝐶𝑖 yang merupakan himpunan bagian dari 𝑅𝑚 ,

didefinisikan ke dalam persamaan:

0 , 𝑏𝑖 < 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.16)

𝜇𝐶𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖− 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑛𝑗=1

𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1

, 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 < 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑛𝑗=1

1 , 𝑏𝑖 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1


Dengan menggunakan definisi keputusan fuzzy yang diperkenalkan oleh Bellman dan

Zadeh, maka terdapat:

𝜇𝐷 𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 𝜇𝐺 𝑥 , min𝑖 𝜇𝐶𝑖 𝑥 (2.17)

Untuk kasus ini keputusan fuzzy yang optimal adalah solusi dari permasalahan:

max𝑥≥0 𝜇𝐷 𝑥 = max𝑥≥0 𝑚𝑖𝑛 𝜇𝐺 𝑥 , min𝑖 𝜇𝐶𝑖 𝑥 (2.18)

Dengan demikian bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi

berbentuk bilangan fuzzy menjadi permasalahan optimisasi:

Maksimumkan:

𝑍 = 𝜆 (2.19)

Dengan kendala:

𝜇𝐺 𝑥 ≥ 𝜆

𝜇𝐶𝑖 𝑥 ≥ 𝜆, 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥 ≥ 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 1

Dengan menggunakan persamaan (2.15) dan (2.16), permasalahan di atas dapat ditulis ke

dalam bentuk:

Maksimumkan:

𝑍 = 𝜆 (2.20)

Dengan kendala:

𝜆 𝑍𝑢 − 𝑍𝑙 − 𝑐𝑗𝑥𝑗 + 𝑍𝑙 ≤ 0𝑛𝑗=1

𝑎𝑖𝑗 + 𝜆𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑏𝑖 ≤ 0𝑛𝑗=1 ,

𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

𝑥𝑗 ≥ 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 1

Dengan catatan kendala dalam permasalahan ini mengandung aturan cross product yaitu

𝜆𝑥𝑗 adalah nonkonveks. Oleh Karena itu solusi dari permasalahan ini memerlukan


penyelesaian khusus yang diadopsi dari penyelesaian permasalahan optimisasi

nonkonveks.

2.6.2 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Dan Konstanta Sebelah Kanan

Berbentuk Bilangan Fuzzy

Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah

kanan berbentuk bilangan fuzzy untuk kasus maksimasi adalah:

Maksimumkan:

𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.21)

Dengan kendala:

𝑎 𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan

berbentuk bilangan fuzzy, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:

Asumsi 1: Koefisien teknologi 𝑎 𝑖𝑗 dan konstanta sebelah kanan 𝑏 𝑖 dikatakan

berbentuk bilangan fuzzy apabila memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:

1 jika 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 (2.22)

𝜇𝑎𝑖𝑗 𝑥 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑑𝑖𝑗−𝑥

𝑑𝑖𝑗 jika 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗

0 jika 𝑥 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗

Dan juga


1 jika 𝑥 < 𝑏𝑖 (2.23)

𝜇𝑏𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖+𝑝𝑖−𝑥

𝑑𝑖𝑗 jika 𝑏𝑖 ≤ 𝑥 < 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖

0 jika 𝑥 ≥ 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖

Di mana 𝑥 ∈ 𝑅. Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama akan dicari

nilai optimal dari batas atas 𝑍𝑢 dan batas bawah 𝑍𝑙 permasalahan tersebut. Nilai

batas-batas tersebut akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier

standar, dengan mengasumsikan bahwa batas-batas tersebut memiliki nilai optimal yang

terbatas.

Untuk 𝑍1 , persamaannya adalah:

Maksimumkan:

𝑍1 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.24)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛


Maksimumkan:

𝑍2 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.25)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛


Maksimumkan:

𝑍3 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.26)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖𝑛𝑗=1 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚


𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Dan untuk 𝑍4 , persamaannya adalah:

Maksimumkan:

𝑍4 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.27)

Dengan kendala:

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

Maka batas bawah 𝑍𝑙 = 𝑚𝑖𝑛 𝑍1,𝑍2,𝑍3 ,𝑍4 dan batas atas 𝑍𝑢 = 𝑚𝑎𝑥 𝑍1,𝑍2,𝑍3 ,𝑍4 .

Nilai dari fungsi objektif berada di antara batas bawah dan batas atas sementara nilai

koefisien teknologi berada di antara 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 , dan nilai konstanta sebelah kanan

berada di antara 𝑏𝑖 dan 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖 .

Asumsi 2: Nilai optimal himpunan fuzzy 𝐺, didefinisikan sebagai:

0 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 < 𝑍𝑙 (2.28)

𝜇𝐺 𝑥 = 𝐶𝑗𝑥𝑗−𝑍𝑙

𝑛𝑗=1

𝑍𝑢−𝑍𝑙 jika 𝑍𝑙 ≤ 𝑐𝑗𝑥𝑗 < 𝑍𝑢

𝑛𝑗=1

1 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≥ 𝑍𝑢

Himpunan fuzzy dengan kendala ke-𝑖 yaitu 𝐶𝑖 yang merupakan himpunan bagian dari 𝑅𝑛

didefinisikan ke dalam:

0 , 𝑏𝑖 < 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.29)

𝜇𝐶𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖− 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑛𝑗=1

𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1

, 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑝𝑖

𝑛𝑗=1

1 , 𝑏𝑖 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑝𝑖

Dengan menggunakan metode defuzzyfikasi, permasalahan direduksi menjadi:

Maksimumkan:

𝑍 = 𝜆 (2.30)


Dengan kendala:

𝜆 𝑍𝑢 − 𝑍𝑙 − 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑍𝑙 ≤ 0

𝑎𝑖𝑗 + 𝜆𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝜆𝑝𝑖 − 𝑏𝑖 ≤ 0𝑛𝑗=1 ,

𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛

𝑥𝑗 ≥ 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 1

Dengan catatan seperti pada kasus program linier dengan koefisien teknologi berupa

bilangan fuzzy.


program linear1

Documents