ProgettoComplex Systems in Economics

Seminario di studio

“Modelli dinamici, portfolio management, analisi del rischio”

Trieste, Facoltà di Economia7 febbraio 2005

L’idea di “campo finanziario” nei modelli di portafoglio

(a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)

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Obbiettivi della ricerca:

• l’idea di campo finanziario

• introduzione delle grandezze vettoriali nelle scelte di portafoglio

• mutamento del portafoglio in funzione del tempo

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I PARTE: richiami

Riassumiamo alcuni risultati esposti nel corso del seminario “Measuring Portfolio Performance in Asset Pricing Models”:

1. Ecco l’espressione assunta quale equazione di stato per un mercato perfetto ed efficiente:

dove il primo coefficiente del primo termine rappresenta la pressione verso gli investitori, il secondo il volume di tolleranza al rischio, 2 è una costante e K il livello termico del mercato (capitalizzazione di borsa ).

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Più precisamente indica la pressione esercitata

dalla Banca centrale sulla generalità degli investitori

affinchè investano: riducendo , e perciò il tasso ufficiale

di riferimento, la differenza aumenta di peso

(maggiore pressione o spinta).

Al contrario l’incremento di distoglie dall’investimento (minore pressione) e spinge verso operazioni di prestito.

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esprime il volume di contenimento del rischio che emerge dalla funzione di utilità della generalità degli investitori, misurato in termini di valore della tolleranza stessa per unità di rischio.

K indica il livello dell’equilibrio termico del sistema (che può variare a seconda della dinamica degli interventi degli operatori) misurato attraverso la capitalizzazione di borsa:

Dato un mercato ad efficienza forte, ad un aumento della pressione all’investimento (riduzione del tasso ufficiale di riferimento) fa riscontro una riduzione del volume di contenimento del rischio, tale da lasciare invariato il prodotto 2K.

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2. L’energia cinetica media che costituisce una grandezza invariante una volta definiti i parametri viene così espressa:

Essa rappresenta l’unità di misura del grado di efficienza

del mercato dei capitali.

Trovato il grado di simmetria informativa nel caso di un mercato perfetto si possono studiare le cause di allontanamento dipendenti dall’ aumento della densità di mercato.

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II PARTE

Il concetto di campo a partire da un portafoglio di due titoli.

Adottiamo un procedimento di analisi coerente con la

presenza in ciascun operatore di funzioni di utilità. Si giunge

al portafoglio ottimale per via iterativa: si costruisce prima

una linea di portafogli tra due titoli, quindi si combina il

portafoglio prescelto, presente su questa linea,con un terzo

titolo facendo nascere una ulteriore linea di portafogli, e così

via sino al portafoglio che ottimizza il trade-off rischio-

rendimento dell’investitore.

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Così dati due titoli k e j, rappresentabili come di consueto

in un sistema di coordinate tracciamo la loro linea di

portafoglio (vedi slide successiva).

Impostiamo ora i necessari costituenti in coerenza con la logica dei campi elettrici.

La presenza tangibile dei movimenti dei prezzi si manifesta attraverso le decisioni dei vari operatori e quindi le frazioni di investimento dei fondi.

Le cariche dei movimenti dei prezzi, necessarie per generare il campo finanziario, sono idealmente rappresentate dai tassi attesi di rendimento dei titoli.

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In generale si dirà che nasce un campo finanziario tutte le

volte che, prendendo un titolo, si osserva che esso è

soggetto a forze di origine finanziaria che scompaiono se

avviene una perdita della carica. Si noti che il campo

finanziario generato dalla carica in un punto P dello

spazio circostante esiste indipendentemente dal fatto che in

P si trovi un ulteriore titolo dotato di carica. Il campo

finanziario di qualsiasi titolo deve intendersi come

afferente al titolo stesso.

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L’introduzione del concetto di campo finanziario può

apparire superflua nelle tradizionali scelte di portafoglio e nel CAPM statico (come sarebbe inutile introdurre il concetto di campo elettrico se si avesse a che fare solo con l’elettrostatica).

Diviene rilevante per lo studio dei fenomeni finanziari che dipendono dal tempo.

La maggiore utilità della nuova impostazione si verifica

nei casi in cui la modificazione, prodotta da cause esterne,

dei fattori di rischio generi l’alterazione dei caratteri del

portafoglio.

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Vi sono così ragioni per ritenere che l’introduzione del

concetto di campo finanziario renda in futuro possibile la

dinamizzazione delle scelte di portafoglio grazie

all’impiego delle grandezze vettoriali, e valorizzando al

massimo grado i legami di covarianza tra coppie di titoli o

portafogli.

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Introduzione delle grandezze vettoriali.

Ci proponiamo ora di mostrare la struttura vettoriale del

campo finanziario a partire dalle tipiche informazioni

concernenti l’analisi di un portafoglio di due titoli: frazioni

di investimento, tassi attesi di rendimento dei titoli

componenti, deviazione standard degli stessi e covarianza

ovvero coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due

titoli.

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Nella rappresentazione vettoriale di un portafoglio di due titoli siamo stati guidati dall’analogia tra la formula per il calcolo della varianza del portafoglio e la somma di due vettori.

Le relazioni cui si fa riferimento sono le seguenti:

(dove è la varianza del portafoglio) e

che esprime il modulo del vettore somma, essendo e

due generici vettori, la loro risultante e l’angolo fra essi compreso ( applicazione del teorema dei coseni o di Carnot).

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Riscrivendo la 1. come segue

ovvero inserendo nella relazione il coefficiente di correlazione lineare , emerge più evidente la somiglianza fra la 1. e la 2.

Quanto mostrato suggerisce la possibilità di rappresentare la deviazione standard di un portafoglio di due titoli come somma vettoriale delle frazioni di investimento, ciascuna moltiplicata per la propria deviazione standard.

Alla luce di questa considerazione, si riscrive la 3.

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Si noti che cos , con che rappresenta l’angolo fra i

vettori e , è pari al coefficiente di

correlazione lineare .

Per la rappresentazione grafica della 4. si utilizza la regola

del parallelogramma relativa alla somma vettoriale. Questa

determina la direzione e il verso del vettore risultante.

Dati ora due titoli 1 e 2 sviluppiamo la regola menzionata.

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Le due cariche e generano i campi e nel punto P.

Il vettore campo è la risultante dei vettori campi ora detti.

In sintesi il valore delle cariche e il loro posizionamento determinano il vettore campo in modulo, direzione e verso.

Noti i valori delle cariche e e dei campi e

nel punto P, si trovano le rispettive distanze delle cariche

dal punto stesso.

;

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La slide precedente mostra l’inserimento di un terzo titolo e la costruzione di una linea di portafogli che va dal titolo 3 al portafoglio g.

Passando alla rappresentazione vettoriale si utilizzerà

ancora l’equazione della varianza di un portafoglio di due

titoli con riferimento al titolo 3 e al portafoglio g, nota la

covarianza tra i rendimenti di 3 e di g.

Si ripete così il procedimento già illustrato diretto ad identificare un nuovo portafoglio più efficiente che, ad esempio, si colloca nel punto z.

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Il metodo seguito, come appare dal precedente grafico, è di tipo iterativo, consentendo l’inclusione graduale di altri titoli o portafogli che si associano al portafoglio precedentemente prescelto. L’iterazione inoltre avviene in modo vantaggioso rispetto alle soluzioni tradizionali in quanto permette di individuare i livelli di partecipazione dei titoli del portafoglio precedente alla costruzione del portafoglio nuovo. Si rispettano le proporzioni delle frazioni di investimento ed anche si misura la distanza che intercorre tra una iterazione e l’altra.

È evidente la possibilità di introdurre scale di misurazione del tempo e della distanza finanziaria.

A regime, il modello del campo finanziario traccia l’intero itinerario del processo decisionale che conduce ad individuare il portafoglio ottimale.

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Nel compiere il percorso diventa interessante collegare dimensione e distanza delle cariche rispetto al campo del portafoglio. A mano a mano che ci si porta verso i portafogli successivi, le cariche dei portafogli precedenti vengono sostituite e ogni vettore di campo finanziario di portafoglio si trasforma in un originator del portafoglio successivo rimodellando in scala i campi di partenza.

Muovendosi verso il minimum variance portfolio del sistema i campi finanziari di portafogli via via si riducono rappresentando in forma nuova gli elementi della frontiera efficiente. In presenza di un’ottimizzazione che combini il portafoglio di mercato con il titolo privo di rischio l’analisi condotta evidenzierà il ruolo residuale (in diminuzione o in accrescimento) del campo del portafoglio in presenza di un angolo di 0 gradi.

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Ancora diventa interessante collegare l’intero percorso al valore di capitalizzazione del mercato ed ai cambiamenti che in questo possono intervenire per variazioni di o di

. I tempi di variazione, e dunque la velocità con cui muta la capitalizzazione possono risultare differenti dalle previsioni. Si può riscontrare un fenomeno di ritardi.

In particolare sono considerabili i casi di sotto e sopra

valutazione. Nel momento in cui una carica perdesse

valore la forza che essa esercita nella formazione dei

campi ne risulterebbe negativamente influenzata. In

presenza di processi alimentati da asimmetria informativa

continuati nel tempo ed interessanti portafogli costituiti da

numerosi titoli, il modello descritto metterebbe in evidenza

processi di vibrazione del campo finanziario.

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Estensione del paradigma precedente al modello C.A.P.M.

1. In presenza di aspettative omogenee, gli operatori

perverranno ad una linea di portafogli detta frontiera

efficiente, e quindi, in presenza di un tasso privo di

rischio, alla linea di investimento detta C.M.L. (capital

market line), risultante quale combinazione del

portafoglio di mercato con il titolo privo di rischio.

(segue diagramma)

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C.M.L frontiera efficiente

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2. Con la C.M.L. si ripropone la logica della costruzione

del portafoglio tra due attività, di cui però una è priva

di rischio. Si dimostra, allora, che per qualunque

portafoglio lungo la C.M.L. la deviazione standard è

pari a , essendo in ogni caso .

In questa situazione il campo finanziario si riduce al

vettore , che per praticità rappresentiamo

lungo un asse orizzontale.

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3. In altre parole il vettore campo finanziario

percorre l’intero itinerario di un investitore avente

qualsiasi profilo di rischio, nel mentre la corrispondente

carica assume tutti i valori dati dalle seguenti espressioni :

per investimenti sul portafoglio di mercato, e:

su qualsiasi titolo o combinazione di titoli del portafoglio

di mercato.

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4. Il frame che agevolmente emerge, a questo punto, è quello che struttura la rappresentazione del campo finanziario con rilevante analogia rispetto al campo elettrico.

Infatti la rappresentazione fisica del campo suppone il

posizionamento libero delle cariche. Se ne osserviamo

la composizione troviamo che esse sono per il

portafoglio m, , e per il titolo privo di rischio

.

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Si osservi che non si avverte l’influenza della carica .

Infatti il suo campo è nullo ed essa, come ora si

mostra (nel modello vettoriale), risulta collocata a distanza

infinita da qualunque portafoglio combinazione di d e m.

Si ricorda che

e, essendo , la distanza .

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Conclusioni.

L’impianto costruito è in grado di rivelare la sua efficacia nei casi in cui si voglia dar vita ad uno studio delle distanze finanziarie che intercorrono tra un portafoglio ed il successivo, per unità di tempo. Si deve considerare che nei processi di costruzione di fondi comuni di investimento, rispetto a dati benchmark o indici, o rispetto al portafoglio di mercato, lo studio delle distanze (tra portafogli e\o cariche), quello dei tempi, quello dei ritardi e in generale l’apprezzamento delle velocità di cambiamento offrono informazioni non secondarie.

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Si giudica interessante seguire l’evoluzione dei valori delle cariche ed il sistema delle distanze tra esse,anche per portafogli successivi ad un portafoglio dato, in quanto tale tematica introduce nel complesso mondo delle sopra e sottovalutazioni dei titoli.

Se molte delle suddette notizie provengono dall’ambiente vicino ai mercati finanziari, e sono quindi esogene, come del resto esogena è la modificazione del T.U.R., altri impulsi dipendono dal grande contenitore del rischio del mercato ( ) e perciò, non solo dai profili di rischio , ma altresì dal sentiment anche irrazionale e soggettivo degli operatori.

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Quando ciò accade, all’interno del contenitore del rischio del mercato cresce l’entropia, aumenta il disordine delle particelle elementari del mercato, e si viene a costituire un nuovo equilibrio termico (capitalizzazione del mercato).

Apprezzare con un metodo vettoriale la velocità con cui cambiano i campi finanziari, si alterano e si ricostituiscono gli equilibri tra le molteplici cariche, può offrire nuovi strumenti idonei a spiegare alcune problematicità dei mercati dei capitali (asimmetrie informative, viscosità di taluni segmenti di mercato, carenze di liquidità e instabilità dei mercati, bolle speculative).