profke, ak geometrie, 14.09.2007, königswinter1 ist der geometrieunterricht noch zu retten?...

Profke, AK Geometrie, 14.09.2007, Königswinter

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Ist der Geometrieunterricht noch zu retten?Gedanken zum Tagungsthema

Ist der Geometrieunterricht noch zu retten?Gedanken zum Tagungsthema

Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter

http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter





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EinstiegEinstieg


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Einstieg: Vortragstitel erklärenEinstieg: Vortragstitel erklären

Was für eine Frage:

Ist der Geometrieunterricht noch zu retten?

• Niemand möchte den Geometrieunterricht abschaffen.– Lehrpläne aller Schularten und Schulformen geben der Geometrie

breiten Raum.– Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik

» für den Hauptschulabschluss (Jahrgangsstufe 9)» für den Mittleren Schulabschluss

widmen 2 von 5 Leitideen der Geometrie» (L 2) Leitidee Messen» (L 3) Leitidee Raum und Form

sowie je 5 der 14 kommentierten Aufgabenbeispiele.– Zentrale Orientierungs- und Abschlussarbeiten enthalten zur

Geometrie Aufgaben.

Was für eine Frage:

Ist der Geometrieunterricht noch zu retten?

• Niemand möchte den Geometrieunterricht abschaffen.– Lehrpläne aller Schularten und Schulformen geben der Geometrie

breiten Raum.– Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik

» für den Hauptschulabschluss (Jahrgangsstufe 9)» für den Mittleren Schulabschluss

widmen 2 von 5 Leitideen der Geometrie» (L 2) Leitidee Messen» (L 3) Leitidee Raum und Form

sowie je 5 der 14 kommentierten Aufgabenbeispiele.– Zentrale Orientierungs- und Abschlussarbeiten enthalten zur

Geometrie Aufgaben.


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• Andererseits wurde und wird viel geklagt über den tatsächlichen Geometrieunterricht:

– Vgl. „alte“ Mathematikmethodiker» W. Kusserow, ...

– Siehe Der Mathematikunterricht» Themenhefte zur Geometrie

– Anlass zur Gründung des AK Geometrie durch K. Meyer» Einschlägige Vorträge im AK Geometrie

Profke, L. 1994 in Heidelberg:Brauchen wir einen Geometrieunterricht?

• Rettung des Geometrieunterrichts durch neues Bemühen?– SINUS, SINUS-Transfer– Bildungsstandards– ...

• Andererseits wurde und wird viel geklagt über den tatsächlichen Geometrieunterricht:

– Vgl. „alte“ Mathematikmethodiker» W. Kusserow, ...

– Siehe Der Mathematikunterricht» Themenhefte zur Geometrie

– Anlass zur Gründung des AK Geometrie durch K. Meyer» Einschlägige Vorträge im AK Geometrie

Profke, L. 1994 in Heidelberg:Brauchen wir einen Geometrieunterricht?

• Rettung des Geometrieunterrichts durch neues Bemühen?– SINUS, SINUS-Transfer– Bildungsstandards– ...


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Frage meint:

Kann tatsächlicher, alltäglicher Geometrieunterricht leisten, was Lehrpläne, Bildungsstandards, ... fordern?

• Erwartungen an Vortrag– Klare Antwort auf die Frage:

» Nein, weil ... [überzeugende Begründung]

» Ja, falls ... [erforderliche Maßnahmen]

– Wenn Ja, dann konkrete Antworten» etwa für kommenden Dienstag, 3. Stunde, Klasse 7 R zum

ThemaWinkelsumme in Dreiecken

Frage meint:

Kann tatsächlicher, alltäglicher Geometrieunterricht leisten, was Lehrpläne, Bildungsstandards, ... fordern?

• Erwartungen an Vortrag– Klare Antwort auf die Frage:

» Nein, weil ... [überzeugende Begründung]

» Ja, falls ... [erforderliche Maßnahmen]

– Wenn Ja, dann konkrete Antworten» etwa für kommenden Dienstag, 3. Stunde, Klasse 7 R zum

ThemaWinkelsumme in Dreiecken

Folie 77


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• Lehren aus der Vergangenheit:– Geometrieunterricht verbessern zu wollen, ist ein mühsames und

langwieriges Geschäft,» wenn es überhaupt gelingt.

• Lehren aus der Vergangenheit:– Geometrieunterricht verbessern zu wollen, ist ein mühsames und

langwieriges Geschäft,» wenn es überhaupt gelingt.

Gliederung• Einstieg• Gedanken zum Tagungsthema• Bildung und Unterricht• Was sollten wir tun?• Eine Alternative?

Gliederung• Einstieg• Gedanken zum Tagungsthema• Bildung und Unterricht• Was sollten wir tun?• Eine Alternative?


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Gedanken zum TagungsthemaGedanken zum Tagungsthema

Vorbemerkung Fazit Analyse des Ausschreibungstextes

Vorbemerkung Fazit Analyse des Ausschreibungstextes


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Gedanken zum TagungsthemaGedanken zum Tagungsthema

Vorbemerkung• Dieser Abschnitt wirkt vielleicht wie eine (überhebliche) Schelte.

– Dann sind nur nicht Anwesende gemeint,» mit einer Ausnahme:

Vorbemerkung• Dieser Abschnitt wirkt vielleicht wie eine (überhebliche) Schelte.

– Dann sind nur nicht Anwesende gemeint,» mit einer Ausnahme:


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Gedanken zum Tagungsthema: FazitGedanken zum Tagungsthema: Fazit

Fazit (die Schelte)• Absichten der folgenden Analyse des Ausschreibungstextes:

– Hinweisen auf Mängel im Begrifflichen» Viele Begriffe der Mathematikdidaktik sind unklar.

Nach mehrfachem Gebrauch glaubt man, ihre Bedeutung erfasst zu haben und diese mit anderen Fachkollegen zu teilen.

So entsteht ein Gemeinschaftsgefühl ohne sichere Diskussionsgrundlage,und eine solche Grundlage wird nicht vermisst.

Vgl. die analoge Situation in Religionskreisen» Mit solchen Begriffen angestellte Überlegungen verlieren sich

im Ungefähren, ohne dass man dies bemerkt.

Fazit (die Schelte)• Absichten der folgenden Analyse des Ausschreibungstextes:

– Hinweisen auf Mängel im Begrifflichen» Viele Begriffe der Mathematikdidaktik sind unklar.

Nach mehrfachem Gebrauch glaubt man, ihre Bedeutung erfasst zu haben und diese mit anderen Fachkollegen zu teilen.

So entsteht ein Gemeinschaftsgefühl ohne sichere Diskussionsgrundlage,und eine solche Grundlage wird nicht vermisst.

Vgl. die analoge Situation in Religionskreisen» Mit solchen Begriffen angestellte Überlegungen verlieren sich

im Ungefähren, ohne dass man dies bemerkt.


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Gedanken zum Tagungsthema: FazitGedanken zum Tagungsthema: Fazit

– Warnen vor „Moden“ in der Mathematikdidaktik» Auch in der Mathematikdidaktik entwickeln „Moden“ eine

große Anziehungskraft. Output- vs. Input-Orientierung, Konstruktivismus,

Handlungsorientierung, ...» Neumodisches scheint besser zu sein als das Alte,

was im Einzelfall bereits als eine didaktische Rechtfertigung zählt.

– Belege für diese Vorwürfe?» Nicht wenige mathematikdidaktische Veröffentlichungen aus

jüngster Zeit.

– Warnen vor „Moden“ in der Mathematikdidaktik» Auch in der Mathematikdidaktik entwickeln „Moden“ eine

große Anziehungskraft. Output- vs. Input-Orientierung, Konstruktivismus,

Handlungsorientierung, ...» Neumodisches scheint besser zu sein als das Alte,

was im Einzelfall bereits als eine didaktische Rechtfertigung zählt.

– Belege für diese Vorwürfe?» Nicht wenige mathematikdidaktische Veröffentlichungen aus

jüngster Zeit.

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Gedanken zum Tagungsthema: Ausschreibungstext analysierenGedanken zum Tagungsthema: Ausschreibungstext analysieren

Analyse des Ausschreibungstextes

http://www.ph-heidelberg.de/wp/oldenbur/akgeo/

• Thema: Bildung – Standards – Bildungsstandards– Bedeutung der Bindestriche?

» Bildung minus Standards = Bildungsstandards» Bildung : Standards = Bildungsstandards

– Bedeutung der Begriffe?» Einigermaßen klar: Bildungsstandards

wegen der KMK-Vereinbarung» Was meinen Bildung und Standards?

Analyse des Ausschreibungstextes


• Thema: Bildung – Standards – Bildungsstandards– Bedeutung der Bindestriche?

» Bildung minus Standards = Bildungsstandards» Bildung : Standards = Bildungsstandards

– Bedeutung der Begriffe?» Einigermaßen klar: Bildungsstandards

wegen der KMK-Vereinbarung» Was meinen Bildung und Standards?

gemessen an




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• Wende von der so genannten (!!!) Input- zur Outputorientierung– Bloße Wortspielerei:

» ... so genannten ...» Auch früher hatten Lehrer eine recht genaue Vorstellung

davon, was Schüler schließlich gelernt haben sollten.» Forderungen der Bildungsstandards sind zunächst nur

Visionen, inputgesteuert durch detaillierte Lehrpläne.

– Lehrer halten sich eher an Lehrpläne und an deren Auslegungen in Schulbüchern.

» Ministerin A. Schavan forderte am 28.07.2007 für ganz Deutschland einheitliche Schulbücher, um besser die Bildungsstandards durchsetzen zu können.

• Wende von der so genannten (!!!) Input- zur Outputorientierung– Bloße Wortspielerei:

» ... so genannten ...» Auch früher hatten Lehrer eine recht genaue Vorstellung

davon, was Schüler schließlich gelernt haben sollten.» Forderungen der Bildungsstandards sind zunächst nur

Visionen, inputgesteuert durch detaillierte Lehrpläne.

– Lehrer halten sich eher an Lehrpläne und an deren Auslegungen in Schulbüchern.

» Ministerin A. Schavan forderte am 28.07.2007 für ganz Deutschland einheitliche Schulbücher, um besser die Bildungsstandards durchsetzen zu können.


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• Fragen an das Konzept der Bildungsstandards

– Wie sind die Bildungsstandards zu verwenden?» Beschreibung eines Zustands im Bildungswesen?

„Das ist bei uns Standard.“ » Checkliste für Unterrichtseinheiten, …

beim Bildungs-TÜV?» Anzustrebende Vision?

– Taugen die Bildungsstandards als Checkliste?» Sondern sie bildungsunwirksamen Unterricht aus?

– Wer darf Standards setzen und erlassen?» Wodurch sind die Experten legitimiert?» Wer darf mitreden?» Muss man den Empfehlungen der Experten folgen?

• Fragen an das Konzept der Bildungsstandards

– Wie sind die Bildungsstandards zu verwenden?» Beschreibung eines Zustands im Bildungswesen?

„Das ist bei uns Standard.“ » Checkliste für Unterrichtseinheiten, …

beim Bildungs-TÜV?» Anzustrebende Vision?

– Taugen die Bildungsstandards als Checkliste?» Sondern sie bildungsunwirksamen Unterricht aus?

– Wer darf Standards setzen und erlassen?» Wodurch sind die Experten legitimiert?» Wer darf mitreden?» Muss man den Empfehlungen der Experten folgen?

Zunächst meine Fragen:

Folie 19


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• Eignet sich der Rahmen, welchen die Bildungsstandards dem Geometrieunterricht setzen, Bildungspotentiale der Geometrie zu entfalten?

– An welche Geometrie ist dabei gedacht?– Rahmen der Bildungsstandards sehr weit,

» aber stark von traditionellen Vorstellungen zum gymnasialen Geometrieunterricht geprägt.

– Welche Bildung ist gemeint?» Allgemeinbildung im Sinne der Pädagogik?

auch für Hauptschulabsolventen?» Elitäre Auffassung des Bildungsbürgertums?

Bildung als Summe vieler Bildungspäckchen:Ein Gebildeter hat Goethes Urfaust gelesen,kennt die beiden Strahlensätze,und noch vieles mehr.

• Eignet sich der Rahmen, welchen die Bildungsstandards dem Geometrieunterricht setzen, Bildungspotentiale der Geometrie zu entfalten?

– An welche Geometrie ist dabei gedacht?– Rahmen der Bildungsstandards sehr weit,

» aber stark von traditionellen Vorstellungen zum gymnasialen Geometrieunterricht geprägt.

– Welche Bildung ist gemeint?» Allgemeinbildung im Sinne der Pädagogik?

auch für Hauptschulabsolventen?» Elitäre Auffassung des Bildungsbürgertums?

Bildung als Summe vieler Bildungspäckchen:Ein Gebildeter hat Goethes Urfaust gelesen,kennt die beiden Strahlensätze,und noch vieles mehr.

Nun der Ausschreibungstext:


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• Konsens über Unverzichtbares des Geometrieunterrichts– Dieser Konsens wird nicht hinterfragt.

» Didaktische Rechtfertigungen für den Konsens?– Neuerdings gelten Schätzaufgaben als ganz wichtig.

» Weshalb eigentlich?• Sind die Vorgaben der Bildungsstandards in sich didaktisch und

fachlich schlüssig?– An welche Fächer richtet sich die Frage?

» „Harte“ Kriterien der Mathematik (Korrektheit, ...) lassen sich nicht anwenden.

» „Weiche“ Kriterien (mathematisches Denken, ...) passen wegen der Vagheit der Bildungsstandards immer.

– Besitzt die Mathematikdidaktik passende Maßstäbe?» Konstruktivismus, genetisches Prinzip, ...?» Sind diese allgemein anerkannt?

• Konsens über Unverzichtbares des Geometrieunterrichts– Dieser Konsens wird nicht hinterfragt.

» Didaktische Rechtfertigungen für den Konsens?– Neuerdings gelten Schätzaufgaben als ganz wichtig.

» Weshalb eigentlich?• Sind die Vorgaben der Bildungsstandards in sich didaktisch und

fachlich schlüssig?– An welche Fächer richtet sich die Frage?

» „Harte“ Kriterien der Mathematik (Korrektheit, ...) lassen sich nicht anwenden.

» „Weiche“ Kriterien (mathematisches Denken, ...) passen wegen der Vagheit der Bildungsstandards immer.

– Besitzt die Mathematikdidaktik passende Maßstäbe?» Konstruktivismus, genetisches Prinzip, ...?» Sind diese allgemein anerkannt?


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• Gleiche Ziele des Geometrieunterrichts für alle Schulformen?– Möglich nach dem Grundsatz differenzierenden Unterrichts

» Alle Schüler sollen ... erreichenund einige Schüler außerdem noch ...

– Anlässe für die Frage:» In den 1970 richtete sich der Mathematikunterricht an Haupt-

und Realschulen oft nach dem an Gymnasien.» Mathematikdidaktiker an Pädagogischen Hochschulen und

Universitäten hatten Mathematik (nur) für das Diplom oder das „höhere“ Lehramt gelernt.

• Gleiche Ziele des Geometrieunterrichts für alle Schulformen?– Möglich nach dem Grundsatz differenzierenden Unterrichts

» Alle Schüler sollen ... erreichenund einige Schüler außerdem noch ...

– Anlässe für die Frage:» In den 1970 richtete sich der Mathematikunterricht an Haupt-

und Realschulen oft nach dem an Gymnasien.» Mathematikdidaktiker an Pädagogischen Hochschulen und

Universitäten hatten Mathematik (nur) für das Diplom oder das „höhere“ Lehramt gelernt.


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• Welche Ziele des Geometrieunterrichts sind im Rahmen von Outputorientierung schlecht ansteuerbar, weil sie langfristig angelegt und deshalb nicht eindeutig als Folgen von Unterricht beobachtbar sind?

– Alle Ziele, die zu einer Allgemeinbildung gehören.» Nur sehr spezielle Lehrziele kann man eindeutig einem

bestimmten Unterrichtsfach zuordnen.– Solche Ziele anzustreben, ist Aufgabe vieler Schulfächer,

» die hierfür vielleicht besser geeignet sind als der Geometrieunterricht.

– Folgt aus der Langfristigkeit eine schlechte Ansteuerbarkeit?» Eine Hauptaufgabe der Mathematikdidaktik:

Wege angeben zum Ansteuern allgemeiner, nur langfristig erreichbarer Lehrziele

• Welche Ziele des Geometrieunterrichts sind im Rahmen von Outputorientierung schlecht ansteuerbar, weil sie langfristig angelegt und deshalb nicht eindeutig als Folgen von Unterricht beobachtbar sind?

– Alle Ziele, die zu einer Allgemeinbildung gehören.» Nur sehr spezielle Lehrziele kann man eindeutig einem

bestimmten Unterrichtsfach zuordnen.– Solche Ziele anzustreben, ist Aufgabe vieler Schulfächer,

» die hierfür vielleicht besser geeignet sind als der Geometrieunterricht.

– Folgt aus der Langfristigkeit eine schlechte Ansteuerbarkeit?» Eine Hauptaufgabe der Mathematikdidaktik:

Wege angeben zum Ansteuern allgemeiner, nur langfristig erreichbarer Lehrziele


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• Welche Konzeptionen von Geometrieunterricht erlauben die Bildungsstandards?

– Was meint Konzeption?» Globale und lokale Stofforganisation?» Hintergrundstheorie?» Unterrichtskultur?

Unterrichtsformen, Aktionsformen des Lehrers und von Schülern

– Schränken Bildungsstandards die Konzeption ein?» Die vorkommenden Begriffe lassen sich sowohl weit als auch

eng auslegen, abhängend von persönlichen Vor-Urteilen.

• Welche Konzeptionen von Geometrieunterricht erlauben die Bildungsstandards?

– Was meint Konzeption?» Globale und lokale Stofforganisation?» Hintergrundstheorie?» Unterrichtskultur?

Unterrichtsformen, Aktionsformen des Lehrers und von Schülern

– Schränken Bildungsstandards die Konzeption ein?» Die vorkommenden Begriffe lassen sich sowohl weit als auch

eng auslegen, abhängend von persönlichen Vor-Urteilen.

Folie 13


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Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Druckfassung S. 6 f.

1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung

Mathematikunterricht trägt zur Bildung der ... Schüler bei, indem er ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglicht, die miteinander in engem Zusammenhang stehen: technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und

Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen

Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen

in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben.

Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Druckfassung S. 6 f.

1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung

Mathematikunterricht trägt zur Bildung der ... Schüler bei, indem er ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglicht, die miteinander in engem Zusammenhang stehen: technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und

Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen

Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen

in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben.


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...

Dazu bearbeiten sie Probleme, Aufgaben und Projekte mit mathema-tischen Mitteln, lesen und schreiben mathematische Texte, kommuni-zieren über mathematische Inhalte u. a. m. Dies geschieht in einem Unterricht, der selbstständiges Lernen, die Entwicklung von kommuni-kativen Fähigkeiten und Kooperationsbereitschaft sowie eine zeitge-mäße Informationsbeschaffung, Dokumentation und Präsentation von Lernergebnissen zum Ziel hat.

...

Aus Inhalt und Aufbau der Bildungsstandards können Anhaltspunkte für die Gestaltung des Mathematikunterrichts abgeleitet werden, die an den Lernprozessen und Lernergebnissen der ... Schüler orientiert sind und nicht allein von der Fachsystematik der mathematischen Lerninhalte abhängt.

...

Dazu bearbeiten sie Probleme, Aufgaben und Projekte mit mathema-tischen Mitteln, lesen und schreiben mathematische Texte, kommuni-zieren über mathematische Inhalte u. a. m. Dies geschieht in einem Unterricht, der selbstständiges Lernen, die Entwicklung von kommuni-kativen Fähigkeiten und Kooperationsbereitschaft sowie eine zeitge-mäße Informationsbeschaffung, Dokumentation und Präsentation von Lernergebnissen zum Ziel hat.

...

Aus Inhalt und Aufbau der Bildungsstandards können Anhaltspunkte für die Gestaltung des Mathematikunterrichts abgeleitet werden, die an den Lernprozessen und Lernergebnissen der ... Schüler orientiert sind und nicht allein von der Fachsystematik der mathematischen Lerninhalte abhängt.


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• Unterrichtssequenzen des Geometrieunterrichts, die zu den in den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen beitragen?

– Plausible Negativbeispiele:» Alle Kompetenzen der Bildungsstandards enthalten:

Aufgaben selbstständig planen, ausführen, kontrollieren.» Lehrer behindern die Ausbildung solcher Fähigkeiten,

falls sie Schüler dauernd in kleinen Schritten führen und alleine über Richtig / Falsch entscheiden, auch mittels Arbeitsblättern.

• Unterrichtssequenzen des Geometrieunterrichts, die zu den in den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen beitragen?

– Plausible Negativbeispiele:» Alle Kompetenzen der Bildungsstandards enthalten:

Aufgaben selbstständig planen, ausführen, kontrollieren.» Lehrer behindern die Ausbildung solcher Fähigkeiten,

falls sie Schüler dauernd in kleinen Schritten führen und alleine über Richtig / Falsch entscheiden, auch mittels Arbeitsblättern.

Aufgabe aus einem Schulbuch

Wie hängt der Umfang eines Kreises von seinem Durchmesser ab? Miss dazu für verschiedene kreisförmige Dinge ( ... ) den Durchmesser d und den Umfang u. Trage die Werte in eine Tabelle ein und stelle die Funktion d u in einem Koordinatensystem dar. Werte die Messreihe aus und ermittle eine Formel für die Berechnung von u aus d.

Ein Schulbuch ersetzt nicht die Unterrichtsvorbereitung.


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» Nicht als Kompetenz in den Bildungsstandards formuliert: Interdisziplinär, ganzheitlich denken und handeln; Aufträge genau, zuverlässig, ausdauernd erledigen

» Mathematikunterricht mit „Schubladendenken“, nachlässigen Tafelbilder, schlampiger Heftführung unpräzisen Formulierungen bei Merksätzen ...

leitet nicht dazu an.– Positivbeispiele?

» Siehe weiter unten

» Nicht als Kompetenz in den Bildungsstandards formuliert: Interdisziplinär, ganzheitlich denken und handeln; Aufträge genau, zuverlässig, ausdauernd erledigen

» Mathematikunterricht mit „Schubladendenken“, nachlässigen Tafelbilder, schlampiger Heftführung unpräzisen Formulierungen bei Merksätzen ...

leitet nicht dazu an.– Positivbeispiele?

» Siehe weiter unten


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• Wie gut lassen sich geometrische Kompetenzen in zentralen oder lokalen Prüfungen erfassen?

– Zentrale (schriftliche) Prüfungen» sind produktorientiert und berücksichtigen nicht lokalen

Unterricht, welcher die Anforderungen von Aufgaben bestimmt.

– Lokale (schriftliche und mündliche) Prüfungen dagegen?» einschließlich täglicher Beobachtung der Schüler

• Passt der Einsatz von Geometriesoftware, die den Unterricht divergenter macht, zu zentralen Prüfungen?

– Macht DGS den Geometrieunterricht wirklich divergenter?– Man kann DGS in lokalen Prüfungen einsetzen, also auch in

zentralen,» ebenso wie andere Rechenhilfsmittel.

• Wie gut lassen sich geometrische Kompetenzen in zentralen oder lokalen Prüfungen erfassen?

– Zentrale (schriftliche) Prüfungen» sind produktorientiert und berücksichtigen nicht lokalen

Unterricht, welcher die Anforderungen von Aufgaben bestimmt.

– Lokale (schriftliche und mündliche) Prüfungen dagegen?» einschließlich täglicher Beobachtung der Schüler

• Passt der Einsatz von Geometriesoftware, die den Unterricht divergenter macht, zu zentralen Prüfungen?

– Macht DGS den Geometrieunterricht wirklich divergenter?– Man kann DGS in lokalen Prüfungen einsetzen, also auch in

zentralen,» ebenso wie andere Rechenhilfsmittel.


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• Welche handfesten Erkenntnisse zum Lernen von Geometrie gibt es bisher aus PISA, Zentralabitur, Lernstandserhebungen?

– Nicht sehr ermutigende:» Vgl. die Ergebnisse der Abschlussarbeiten Mathematik für die

Bildungsgänge Hauptschule und Realschule in Hessen.» Klagen der Abnehmer von Schulabsolventen

• Welche handfesten Erkenntnisse zum Lernen von Geometrie gibt es bisher aus PISA, Zentralabitur, Lernstandserhebungen?

– Nicht sehr ermutigende:» Vgl. die Ergebnisse der Abschlussarbeiten Mathematik für die

Bildungsgänge Hauptschule und Realschule in Hessen.» Klagen der Abnehmer von Schulabsolventen

Folie 9


25

Bildung und UnterrichtBildung und Unterricht


26


Definition: Guter Geometrieunterricht• Guter Geometrieunterricht erreicht bewusst gesetzte Lehrziele

– und folgt nicht einem heimlichen, ungewollten Lehrplan.

• Welche Lehrziele soll man setzen?– Guter Geometrieunterricht muss zur Allgemeinbildung beitragen.

» In welchem Sinne?

• Was meint Allgemeinbildung?– Wissen, Können, Willenskraft, Charakterfestigkeit, ...,

» jedenfalls mehr, als man bei H. W. Heymann, H. Winter und anderen findet, was kein Vorwurf sein soll,

» und mehr, als die Bildungsstandards vorschreiben.

Definition: Guter Geometrieunterricht• Guter Geometrieunterricht erreicht bewusst gesetzte Lehrziele

– und folgt nicht einem heimlichen, ungewollten Lehrplan.

• Welche Lehrziele soll man setzen?– Guter Geometrieunterricht muss zur Allgemeinbildung beitragen.

» In welchem Sinne?

• Was meint Allgemeinbildung?– Wissen, Können, Willenskraft, Charakterfestigkeit, ...,

» jedenfalls mehr, als man bei H. W. Heymann, H. Winter und anderen findet, was kein Vorwurf sein soll,

» und mehr, als die Bildungsstandards vorschreiben.


27


– Eingeschränkte Auffassungen

» Bildung = Ausbildung Wie gut sie war, zeigt sich in Abschluss- oder in

Eingangsprüfungen (auch bei TIMSS, PISA, ...).

» Bildung = Schulbildung Ein Akademiker ist gebildeter als ein Handwerker.

– Dagegen:

» Bildung = Allgemeinbildung

– Bildendes def= Bleibendes nach dem Vergessen gelernter Fakten

» also für den Mathematikunterricht: oft schlechte Erinnerungen.

» Umschreibung recht brauchbar für den Bildungseffekt von Mathematikunterricht, weil viele Menschen fast alles daraus schnell vergessen.

– Eingeschränkte Auffassungen

» Bildung = Ausbildung Wie gut sie war, zeigt sich in Abschluss- oder in

Eingangsprüfungen (auch bei TIMSS, PISA, ...).

» Bildung = Schulbildung Ein Akademiker ist gebildeter als ein Handwerker.

– Dagegen:

» Bildung = Allgemeinbildung

– Bildendes def= Bleibendes nach dem Vergessen gelernter Fakten

» also für den Mathematikunterricht: oft schlechte Erinnerungen.

» Umschreibung recht brauchbar für den Bildungseffekt von Mathematikunterricht, weil viele Menschen fast alles daraus schnell vergessen.


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• Was meint allgemein bei (Allgemein-) Bildung?– Bildung für alle Schüler,

» also zugänglich für alle Schüler– Vielseitigkeit der Bildung

Gesamte Persönlichkeit eines Schülers erfassend,» also nicht nur Sachkompetenzen in gewissen Bereichen,

sondern auch Methodenkompetenz(en), Sozialkompetenz, Selbstkompetenz, ...,

» also auch moralisch-ethische, musisch-ästhetische, körperliche, ... (Aus-) Bildung

• Was meint allgemein bei (Allgemein-) Bildung?– Bildung für alle Schüler,

» also zugänglich für alle Schüler– Vielseitigkeit der Bildung

Gesamte Persönlichkeit eines Schülers erfassend,» also nicht nur Sachkompetenzen in gewissen Bereichen,

sondern auch Methodenkompetenz(en), Sozialkompetenz, Selbstkompetenz, ...,

» also auch moralisch-ethische, musisch-ästhetische, körperliche, ... (Aus-) Bildung

Frei nach

HeymannHeymann, H. W.: Allgemeinbildung und Mathematik. Reihe Studien zur Schulpädagogik und Didaktik Band 13. Weinheim/Basel: Beltz 1996


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• Bildung als Idee, Prozess, Produkt– Bildung als (eine) Idee (neben anderen),

» oft abhängend vom Gesellschaftssystem,» meistens nicht von allen Betroffenen geteilt.» Antwort(en) auf die Frage:

Was macht den Menschen zum Menschen?– Bildung als Produkt und Besitz

» zeigt sich in Bildungswissen und in Bildungsabschlüssen.– Bildung als Prozess

» ist eine Auseinandersetzung mit und Aneignung von Welt, die Bildung als ein Produkt hervorbringen können, wenn sie im Geist einer Idee von Bildung verlaufen.

• Bildung als Idee, Prozess, Produkt– Bildung als (eine) Idee (neben anderen),

» oft abhängend vom Gesellschaftssystem,» meistens nicht von allen Betroffenen geteilt.» Antwort(en) auf die Frage:

Was macht den Menschen zum Menschen?– Bildung als Produkt und Besitz

» zeigt sich in Bildungswissen und in Bildungsabschlüssen.– Bildung als Prozess

» ist eine Auseinandersetzung mit und Aneignung von Welt, die Bildung als ein Produkt hervorbringen können, wenn sie im Geist einer Idee von Bildung verlaufen.


30


– Allgemeinbildung als Aufgabe (allgemeinbildender) Schule:» Unterricht soll eine Bildungsidee als Prozess umsetzen, um

Bildung bei Schülern hervorzubringen.» Antwort(en) auf die Frage:

Was und wie soll an Schulen unterrichtet werden?

– Allgemeinbildung als Aufgabe (allgemeinbildender) Schule:» Unterricht soll eine Bildungsidee als Prozess umsetzen, um

Bildung bei Schülern hervorzubringen.» Antwort(en) auf die Frage:

Was und wie soll an Schulen unterrichtet werden?


31


• Allgemeinbildung und Unterricht– Es gibt keine direkte Verbindung.– Bildungsideen konkretisieren durch Bildungskonzepte

» Aus einer Idee lassen sich keine Konzepte ableiten.» Aber: Die Idee beeinflusst Konzepte.

Passt ein Konzept zur Idee? Mehrere Konzepte können mit derselben Idee verträglich

sein.– Erst im tatsächlichen Mathematikunterricht entscheidet sich, in

welchem Ausmaß dieser allgemeinbildend ist.» Allgemeinbildender Mathematikunterricht verlangt eine

geeignete Unterrichtskultur.» Diese ist nicht eindeutig bestimmt, sondern hängt ab von

Besonderheiten des Lehrers, der Schüler, ...

• Allgemeinbildung und Unterricht– Es gibt keine direkte Verbindung.– Bildungsideen konkretisieren durch Bildungskonzepte

» Aus einer Idee lassen sich keine Konzepte ableiten.» Aber: Die Idee beeinflusst Konzepte.

Passt ein Konzept zur Idee? Mehrere Konzepte können mit derselben Idee verträglich

sein.– Erst im tatsächlichen Mathematikunterricht entscheidet sich, in

welchem Ausmaß dieser allgemeinbildend ist.» Allgemeinbildender Mathematikunterricht verlangt eine

geeignete Unterrichtskultur.» Diese ist nicht eindeutig bestimmt, sondern hängt ab von

Besonderheiten des Lehrers, der Schüler, ...

Folie 39


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BildungWas macht den Menschen zum Menschen?

Allgemeinbildung

durch Unterricht in öffentlichen Schulen

durch Unterricht in Privatschulen durch häusliche Unterweisung

Idee

Konzept verträgt sich mit und unterstützt Idee.

Allgemeinbildungskonzepte sind zunächst nur Ideen:

Was soll man lehren?

Aufgaben öffentlicher Schulen:

(1) Lebensvorbereitung

(2) Anleiten zum kritischen Vernunftgebrauch

(3) Erziehen zur Verantwortungsbereitschaft

(4) Einüben von sozialem Verhalten

(5) Entfalten der Schülerpersönlichkeit

Konzepte der Idee

mögliches Konzept

Zunächst nur eine Idee, was Schule leisten soll.

Konkretisieren


33


Ziele und Aufgaben des Mathematikunterrichts

Ziele und Aufgaben von Sprachunterricht

Aufgaben der Schule übertragen an Schulfächer

...

mögliches Konzept

Zunächst nur Ideen von Schulfächern

mögliche KonzepteLehrpläne

Bildungsstandards

Orientierungsarbeiten, Abschlussprüfungen

Schulbücher

SINUS (-Transfer)

TIMSS, PISA, ...

Ebenfalls nur Ideen von einem Schulfach

Umsetzen solcher Ideen erst im tatsächlichen Unterricht:

Wie gehen Lehrer und Schüler mit den Vorgaben und Vorschlägen um?A

llgem

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– Ein bestimmtes Bildungskonzepte kann zu ganz verschiedenen Bildungsideen passen.

» KMK-Bildungsstandards hätten auch in der DDR entstehen können, weil sie sich auf mathematische Kompetenzen

beschränken.

– Ein bestimmtes Bildungskonzepte kann zu ganz verschiedenen Bildungsideen passen.

» KMK-Bildungsstandards hätten auch in der DDR entstehen können, weil sie sich auf mathematische Kompetenzen

beschränken.

Akademie der Pädagogischen Wissenschaften der DDR (Hrsg.): Methodik Mathematikunterricht. Berlin: Volk und Wissen 1975, Kap. 1


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Geometrieunterricht an öffentlichen Schulen• Guter Geometrieunterricht erreicht bewusst gesetzte Lehrziele.

– Für öffentliche Schulen bestimmt die Gesellschaft die Ziele» über gewählte Volksvertreter.

• (Rohe) Konkretisierung der Ziele durch– Lehrpläne,– zugelassene Schulbücher,– Bildungsstandards,– Abschlussprüfungen.

• Die meisten Lehrer bemühen sich, diesen Rahmen auszufüllen,– und kümmern sich kaum um Fort- und Rückschritte der

Mathematikdidaktik, Pädagogik, Psychologie, ...

• Dies muss die Mathematikdidaktik beachten.

Geometrieunterricht an öffentlichen Schulen• Guter Geometrieunterricht erreicht bewusst gesetzte Lehrziele.

– Für öffentliche Schulen bestimmt die Gesellschaft die Ziele» über gewählte Volksvertreter.

• (Rohe) Konkretisierung der Ziele durch– Lehrpläne,– zugelassene Schulbücher,– Bildungsstandards,– Abschlussprüfungen.

• Die meisten Lehrer bemühen sich, diesen Rahmen auszufüllen,– und kümmern sich kaum um Fort- und Rückschritte der

Mathematikdidaktik, Pädagogik, Psychologie, ...

• Dies muss die Mathematikdidaktik beachten.


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Thesen

(1) Jeder Königsweg zum erfolgreicheren (!!!) Mathematik-, also auch Geometrieunterricht muss führen über

– die vorhandenen Schulformen,– die gültigen Lehrpläne,

» welche als input den output bestimmen,– (gut gehende) Schulbücher,

» die gültige und machbare Auslegungen der Lehrpläne versprechen,

– vergangene und zu erwartende zentrale Prüfungen,» die allen Beteiligten drohen.

(2) Königswege müssen begehbar sein für mittelmäßige Lehrer.

Thesen

(1) Jeder Königsweg zum erfolgreicheren (!!!) Mathematik-, also auch Geometrieunterricht muss führen über

– die vorhandenen Schulformen,– die gültigen Lehrpläne,

» welche als input den output bestimmen,– (gut gehende) Schulbücher,

» die gültige und machbare Auslegungen der Lehrpläne versprechen,

– vergangene und zu erwartende zentrale Prüfungen,» die allen Beteiligten drohen.

(2) Königswege müssen begehbar sein für mittelmäßige Lehrer.Königsweg im Sinne der Anekdote über Euklid und einen Fürsten

nur Komparativ


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Was sollten wir tun?Was sollten wir tun?

Vorschlag Beispiel

Vorschlag Beispiel


38

Was sollten wir tun? Vorschlag und RechtfertigungWas sollten wir tun? Vorschlag und Rechtfertigung

Vorschlag• Standardthemen des Geometrieunterrichts

» aller Schulformen und Klassenstufen

so aufbereiten, dass sie jeder Lehrer» (mittelmäßig, viel beschäftigt)

für seinen Unterricht übernehmen kann» ohne große Zusatzarbeit.

– samt didaktisch-methodischen Überlegungen zu» Alternativen, insbesondere Kürzungen,» Unterrichtsmethoden

Einsatz von Schulbüchern, Unterrichtshilfen, ... Aktionsformen von Lehrer und Schülern, Differenzierungsmaßnahmen, Lernerfolgskontrollen,

» Möglichkeiten (!!!), stoffübergreifende Lehrziele anzustreben.

Vorschlag• Standardthemen des Geometrieunterrichts

» aller Schulformen und Klassenstufen

so aufbereiten, dass sie jeder Lehrer» (mittelmäßig, viel beschäftigt)

für seinen Unterricht übernehmen kann» ohne große Zusatzarbeit.

– samt didaktisch-methodischen Überlegungen zu» Alternativen, insbesondere Kürzungen,» Unterrichtsmethoden

Einsatz von Schulbüchern, Unterrichtshilfen, ... Aktionsformen von Lehrer und Schülern, Differenzierungsmaßnahmen, Lernerfolgskontrollen,

» Möglichkeiten (!!!), stoffübergreifende Lehrziele anzustreben.

Lehrziele verallgemeinern:

spezielle fachliche

allgemeine mathematische

fachübergreifende


39


Rechtfertigungen des Vorschlags• Auch mittelmäßige Lehrer einbeziehen:

– Es gibt nur wenige gute Lehrer.– Alle Lehrer müssen zuerst die staatlichen Vorgaben erfüllen,

» und viele tun dies auf gewohnte Weise.– Neue Methoden und Inhalte nehmen sie bereitwilliger an,

» gibt man ihnen hierfür ausgearbeitete Materialien.• Abstrakte Überlegungen an Standardthemen konkretisieren:

– Es gibt keine direkte Verbindung von Bildungsideen zum alltäglichen Unterricht.

– Viele gute Ideen erreichten nicht den Schulalltag,» weil sie dem Praktiker zu allgemein erschienen,» oder an lehrplanfremden Inhalten erläutert waren.

Rechtfertigungen des Vorschlags• Auch mittelmäßige Lehrer einbeziehen:

– Es gibt nur wenige gute Lehrer.– Alle Lehrer müssen zuerst die staatlichen Vorgaben erfüllen,

» und viele tun dies auf gewohnte Weise.– Neue Methoden und Inhalte nehmen sie bereitwilliger an,

» gibt man ihnen hierfür ausgearbeitete Materialien.• Abstrakte Überlegungen an Standardthemen konkretisieren:

– Es gibt keine direkte Verbindung von Bildungsideen zum alltäglichen Unterricht.

– Viele gute Ideen erreichten nicht den Schulalltag,» weil sie dem Praktiker zu allgemein erschienen,» oder an lehrplanfremden Inhalten erläutert waren.

Folie 31

Mittelmaß ist kein Vorwurf, sondern Beschreibung des Normalfalls.

so auch heutzutage


40


• Notwendigkeit didaktisch-methodischer Überlegungen:– Einsatz herkömmlicher Unterrichtsmaterialien verbessern,

» die Lehrern vertraut sind.– Was dachte sich der Konstrukteur beim Entwerfen des

Unterrichtsvorschlags?» Bezüge zu staatlichen Vorgaben» Begründen methodischer Entscheidungen

– Methoden sollen im Dienste von Lehrzielen stehen,» oder sind selbst Unterrichtsgegenstand.» Beides ist oft nicht offensichtlich.

– Stoffübergreifende Lehrziele werden oft vergessen.» Gefahr eines heimlichen Lehrplans» Zeige, wie man an speziellen Inhalten allgemeinere (stoff- und

fachübergreifende) Lehrziele anstreben kann.

• Notwendigkeit didaktisch-methodischer Überlegungen:– Einsatz herkömmlicher Unterrichtsmaterialien verbessern,

» die Lehrern vertraut sind.– Was dachte sich der Konstrukteur beim Entwerfen des

Unterrichtsvorschlags?» Bezüge zu staatlichen Vorgaben» Begründen methodischer Entscheidungen

– Methoden sollen im Dienste von Lehrzielen stehen,» oder sind selbst Unterrichtsgegenstand.» Beides ist oft nicht offensichtlich.

– Stoffübergreifende Lehrziele werden oft vergessen.» Gefahr eines heimlichen Lehrplans» Zeige, wie man an speziellen Inhalten allgemeinere (stoff- und

fachübergreifende) Lehrziele anstreben kann.


41


• Ungewohntes muss auch ein Lehrer erst lernen und festigen.– Anleiten mit Hilfe ausgearbeiteter, gut dokumentierter

Unterrichtsvorschläge zu Standardthemen– Nicht zu viel auf einmal von Lehrern verlangen

» „Innovative“ Schulbücher verkaufen sich weniger gut als „konservative“.

• Nicht-Standardthemen– sind noch sorgfältiger als Standardthemen einzuführen:

» Wie lassen sie sich in den normalen Unterricht einfügen? Zeit- und Stoff-Management genau angeben.

• Ungewohntes muss auch ein Lehrer erst lernen und festigen.– Anleiten mit Hilfe ausgearbeiteter, gut dokumentierter

Unterrichtsvorschläge zu Standardthemen– Nicht zu viel auf einmal von Lehrern verlangen

» „Innovative“ Schulbücher verkaufen sich weniger gut als „konservative“.

• Nicht-Standardthemen– sind noch sorgfältiger als Standardthemen einzuführen:

» Wie lassen sie sich in den normalen Unterricht einfügen? Zeit- und Stoff-Management genau angeben.

Beispiele- „Stundenbilder“, ... von Schulbuchverlagen- Methodiken zum Mathematikunterricht- MUED-Materialien- ...


42


Warnungen• Konsumentenhaltung vieler Lehrer ungebührlich?

– Ungewohntes muss auch ein Lehrer erst lernen und festigen.– Experten unterschätzen die Schwierigkeit von Anfängern.

• Unterricht nicht standardisieren?– „Teachers also need effective praxeologies. [...] Not all tasks and

techniques can be new otherwise there would be too much to reconstruct for a teacher.“

• Von wem wurden derart kritisierte Lehrer ausgebildet?– Ernsthaftigkeit des folgenden beliebten Ausrufs?

„Ein guter Lehrer sollte eigentlich ... !“

Warnungen• Konsumentenhaltung vieler Lehrer ungebührlich?

– Ungewohntes muss auch ein Lehrer erst lernen und festigen.– Experten unterschätzen die Schwierigkeit von Anfängern.

• Unterricht nicht standardisieren?– „Teachers also need effective praxeologies. [...] Not all tasks and

techniques can be new otherwise there would be too much to reconstruct for a teacher.“

• Von wem wurden derart kritisierte Lehrer ausgebildet?– Ernsthaftigkeit des folgenden beliebten Ausrufs?

„Ein guter Lehrer sollte eigentlich ... !“

J.-B. Lagrange: Didactic Time, Epistemic Gain and Consistent Tool: Taking Care of Teachers’ Need for Classroom Use of CAS: A Reaction to Barzel’s “New Technology? New Ways of Teaching No Time Left for That!”

Int. J. for Techn. in Math. Educ. 14(2007), p. 87 - 94

Faule Ausrede des Didaktikers?


43

Was sollten wir tun? BeispielWas sollten wir tun? Beispiel

Winkelsumme in Dreiecken Realschule Jahrgangsstufe 7

• Vorbemerkungen– Beispiel für die Art, ein Standardthema so aufzubereiten,

» dass es Lehrer für ihren Unterricht übernehmen können.– Durchführung vielleicht nicht überzeugend.– Beispiel soll belegen, dass der Vorschlag zu nicht trivialen

didaktischen und methodischen Überlegungen führt,» die man nur wenigen Lehrern aufbürden darf.

– Thema ist ein verbindlich zu unterrichtendes Standardthema.» Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik

Bildungsgang Realschule. Wiesbaden 2002 (?) Themenbereich 7.3 Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10

Winkelsumme in Dreiecken Realschule Jahrgangsstufe 7

• Vorbemerkungen– Beispiel für die Art, ein Standardthema so aufzubereiten,

» dass es Lehrer für ihren Unterricht übernehmen können.– Durchführung vielleicht nicht überzeugend.– Beispiel soll belegen, dass der Vorschlag zu nicht trivialen

didaktischen und methodischen Überlegungen führt,» die man nur wenigen Lehrern aufbürden darf.

– Thema ist ein verbindlich zu unterrichtendes Standardthema.» Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik

Bildungsgang Realschule. Wiesbaden 2002 (?) Themenbereich 7.3 Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10


44


• Unterrichtswerk

Griesel, H.; Postel, H.; vom Hofe,R. (Hrsg.): Mathematik heute 7. Realschule Hessen. Hannover: Schroedel 2002, S. 116 - 119

• Unterrichtswerk

Griesel, H.; Postel, H.; vom Hofe,R. (Hrsg.): Mathematik heute 7. Realschule Hessen. Hannover: Schroedel 2002, S. 116 - 119

Unterrichtswerk nicht empfehlenswert?Beachte: Autoren sind erfahrene Lehrer und anerkannte Mathematikdidaktiker.

Beim Schulbuch ist der Verkaufserfolg wichtiger als gute Methodik und Didaktik.

Nur gut gehende Schulbücher haben auf den alltäglichen Mathematikunterricht breiten Einfluss.Hoch gelobte („progressive“) Unterrichtswerke für den Mathematikunterricht verkaufen sich

vergleichsweise schlecht.


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InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis


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47



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Winkelsätze am Dreieck

Einteilung der Dreiecke nach Winkeln

Winkelsätze am Dreieck

Einteilung der Dreiecke nach Winkeln


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50



51



52



53



54


Folie 71


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56


• Analyse der Unterrichtseinheit im Schulbuch– Prinzipien einer Analyse:

» Kritik didaktisch begründen» Änderungen möglichst mit dem Schulbuch vornehmen.

– Fachliche Lehrziele:

(1) Winkelsummensatz für Dreiecke kennen und für Berechnungen nutzen

(2) Beweis für den Winkelsummensatz nachvollziehen

(3) Standardbezeichnungen für Dreiecke kennen

(4) Dreiecke nach ihren Innenwinkeln einteilen

(5) Einfache Parkette herstellen und analysieren

(6) Unterscheiden zwischen Handlungen mit realen Dingen und begrifflichen Überlegungen an idealen (nur gedachten) Objekten der Geometrie

• Analyse der Unterrichtseinheit im Schulbuch– Prinzipien einer Analyse:

» Kritik didaktisch begründen» Änderungen möglichst mit dem Schulbuch vornehmen.

– Fachliche Lehrziele:

(1) Winkelsummensatz für Dreiecke kennen und für Berechnungen nutzen

(2) Beweis für den Winkelsummensatz nachvollziehen

(3) Standardbezeichnungen für Dreiecke kennen

(4) Dreiecke nach ihren Innenwinkeln einteilen

(5) Einfache Parkette herstellen und analysieren

(6) Unterscheiden zwischen Handlungen mit realen Dingen und begrifflichen Überlegungen an idealen (nur gedachten) Objekten der Geometrie


57


– Methodische Lehrziele:

(7) Handlungsorientierung des Unterrichts

(8) Winkelsummensatz für Dreiecke veranschaulichen

– Indirekte Hinführung zum Winkelsummensatz mit einer nicht anleitenden Aufgabe:

» Einstieg über Parkettierungen lässt nicht das eigentliche Ziel der Unterrichtseinheit erkennen.

» Massive Anleitung erforderlich

– Methodische Lehrziele:

(7) Handlungsorientierung des Unterrichts

(8) Winkelsummensatz für Dreiecke veranschaulichen

– Indirekte Hinführung zum Winkelsummensatz mit einer nicht anleitenden Aufgabe:

» Einstieg über Parkettierungen lässt nicht das eigentliche Ziel der Unterrichtseinheit erkennen.

» Massive Anleitung erforderlich

Vgl. zu den Begriffen

Profke, L.: Methodik des Mathematikunterrichts. Vorlesung SS 2007 Uni Gießen. Abschnitt 2.2.2




58


– Kritik» Frage nach der Winkelsumme nicht motiviert» Aktivität des Parkettierens abrupt abgebrochen» Lehrziel (6) bloß angedeutet (und nur für den Kenner)» Kein Bezug zwischen den „Veranschaulichungen“ und dem

„strengen“ Beweis hergestellt» Lehren des Beweisens nicht ausreichend» Lehrziele (2), (5), (6) nicht gefestigt» Stoff- und fachübergreifende Lehrziele kaum zu erkennen

– Kritik» Frage nach der Winkelsumme nicht motiviert» Aktivität des Parkettierens abrupt abgebrochen» Lehrziel (6) bloß angedeutet (und nur für den Kenner)» Kein Bezug zwischen den „Veranschaulichungen“ und dem

„strengen“ Beweis hergestellt» Lehren des Beweisens nicht ausreichend» Lehrziele (2), (5), (6) nicht gefestigt» Stoff- und fachübergreifende Lehrziele kaum zu erkennen


59


• Änderungsvorschlag mit dem Schulbuch– Parkettieren mit Dreiecken

» zurückführen auf das Parkettieren mit Parallelogrammen Lückenlosigkeit, Überlappungsfreiheit offensichtlich

» aus kongruenten Dreiecken Parallelogramme herstellen mit Hilfe der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes

– Vom Parkettieren mit Dreiecken zum Winkelsummensatz» Hinführung weiterhin indirekt» Zusätzlicher Auftrag des Lehrers nötig:

Färbe gleich große Winkel mit derselben Farbe ein.

» Schüler entdeckt dabei vielleicht Winkelsummensatz.» Lehrer muss das Besondere des Satzes hervorheben:

Winkelsumme unabhängig von der Größe und Form eines Dreiecks.

• Änderungsvorschlag mit dem Schulbuch– Parkettieren mit Dreiecken

» zurückführen auf das Parkettieren mit Parallelogrammen Lückenlosigkeit, Überlappungsfreiheit offensichtlich

» aus kongruenten Dreiecken Parallelogramme herstellen mit Hilfe der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes

– Vom Parkettieren mit Dreiecken zum Winkelsummensatz» Hinführung weiterhin indirekt» Zusätzlicher Auftrag des Lehrers nötig:

Färbe gleich große Winkel mit derselben Farbe ein.

» Schüler entdeckt dabei vielleicht Winkelsummensatz.» Lehrer muss das Besondere des Satzes hervorheben:

Winkelsumme unabhängig von der Größe und Form eines Dreiecks.

Folie 62


60


• Auftrag an den Mathematikmethodiker:

– Weshalb fragt man nach der Winkelsumme in Dreiecken?

• Änderungsvorschlag gegen das Schulbuch (Skizze)

– Anlass: Wodurch ist die Form eines Dreiecks bestimmt?

» Leitaufgaben Sortiere Dreiecke nach ihrer Form.

Nach welchen Merkmalen kann man unterscheiden?

Konstruiere Dreiecke:Welche Freiheiten hat man, und was ergibt sich automatisch?

» Erkenntnis: Die Größen , zweier Innenwinkel eines Dreiecks legen die

Größe des dritten Innenwinkels fest.

– Problem:

» Wie lässt sich aus und berechnen?

» Leider (?) keine Leitaufgabe

• Auftrag an den Mathematikmethodiker:

– Weshalb fragt man nach der Winkelsumme in Dreiecken?

• Änderungsvorschlag gegen das Schulbuch (Skizze)

– Anlass: Wodurch ist die Form eines Dreiecks bestimmt?

» Leitaufgaben Sortiere Dreiecke nach ihrer Form.

Nach welchen Merkmalen kann man unterscheiden?

Konstruiere Dreiecke:Welche Freiheiten hat man, und was ergibt sich automatisch?

» Erkenntnis: Die Größen , zweier Innenwinkel eines Dreiecks legen die

Größe des dritten Innenwinkels fest.

– Problem:

» Wie lässt sich aus und berechnen?

» Leider (?) keine Leitaufgabe


61


– Systematisches Experimentieren» Sonderfälle untersuchen: Dreiecke ABC mit

1) 0, 0 2) 0, 1803) 90, 90 4) 0, fest5) = 90, ergänze zum Rechteck

» Vermutung: = 180° ( + ß)» Vermutung überprüfen an möglichst vielen verschiedenartig

geformten Dreiecken.– Beweis der Vermutung

» Sonderfälle betrachten: Gleichseitiges Dreieck ergänzen zum regulären Sechseck Rechtwinklige Dreiecke ergänzen zu Rechtecken

» Beliebiges Dreieck durch eine Höhe zerlegen in zwei rechtwinklige Dreiecke

– Systematisches Experimentieren» Sonderfälle untersuchen: Dreiecke ABC mit

1) 0, 0 2) 0, 1803) 90, 90 4) 0, fest5) = 90, ergänze zum Rechteck

» Vermutung: = 180° ( + ß)» Vermutung überprüfen an möglichst vielen verschiedenartig

geformten Dreiecken.– Beweis der Vermutung

» Sonderfälle betrachten: Gleichseitiges Dreieck ergänzen zum regulären Sechseck Rechtwinklige Dreiecke ergänzen zu Rechtecken

» Beliebiges Dreieck durch eine Höhe zerlegen in zwei rechtwinklige Dreiecke


62


• Was am Thema könnte bildend sein?– Bemerkenswertes als solches erkennen:

» Aussage: Für alle Dreiecke ...» Winkelsumme genau gleich einem gestrecktem Winkel

– Mathematisches Denken:» Unterscheiden zwischen Realität und Geometrie» Geometrische Aussagen streng prüfen» Erkenntnisse spezialisieren und verallgemeinern

Innenwinkel in gleichschenkligen und im gleichseitigen Dreieck

Winkelsumme in beliebigen Vielecken

» Erkenntnisse anwenden– Fachübergreifendes:

» Unterscheiden zwischen Realität und Mathematik» Schlüssig argumentieren

• Was am Thema könnte bildend sein?– Bemerkenswertes als solches erkennen:

» Aussage: Für alle Dreiecke ...» Winkelsumme genau gleich einem gestrecktem Winkel

– Mathematisches Denken:» Unterscheiden zwischen Realität und Geometrie» Geometrische Aussagen streng prüfen» Erkenntnisse spezialisieren und verallgemeinern

Innenwinkel in gleichschenkligen und im gleichseitigen Dreieck

Winkelsumme in beliebigen Vielecken

» Erkenntnisse anwenden– Fachübergreifendes:

» Unterscheiden zwischen Realität und Mathematik» Schlüssig argumentieren

Folie 59


63


• Kommentierter Unterrichtsvorschlag mit dem Schulbuch

Didaktisch-methodischer Kommentar

Lehreraktivitäten

Schüleraktivitäten

Tafelanschrieb, Hefteintrag

– gemäß der Lehrstrategie Analyse einer Konfigurationvgl. Holland, G.: Geometrie in der Sekundarstufe.

Entdecken Konstruieren Deduzieren. Didaktische und methodische Fragen. Hildesheim/Berlin: Franzbecker 2007. Abschnitt 7.2.2

• Kommentierter Unterrichtsvorschlag mit dem Schulbuch

Didaktisch-methodischer Kommentar

Lehreraktivitäten

Schüleraktivitäten

Tafelanschrieb, Hefteintrag

– gemäß der Lehrstrategie Analyse einer Konfigurationvgl. Holland, G.: Geometrie in der Sekundarstufe.

Entdecken Konstruieren Deduzieren. Didaktische und methodische Fragen. Hildesheim/Berlin: Franzbecker 2007. Abschnitt 7.2.2

– Vorbereitende Aktivitätenin der Unterrichtseinheit Winkel an geschnittenen Geraden:

» Konstruieren zueinander paralleler Geraden mit Lineal und Zeichendreieck

– Vorbereitende Aktivitätenin der Unterrichtseinheit Winkel an geschnittenen Geraden:

» Konstruieren zueinander paralleler Geraden mit Lineal und Zeichendreieck


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g

P

g

P

g

P


Technik vormachen im frontalen KlassenunterrichtSchüler entdecken Technik nicht selbstständig

» Analyse des Verfahrens (?)Was könnte der Schüler dabei lernen?Zusammenhang des Stufenwinkelsatzes mit

Eigenschaften von VerschiebungenUnterschied von Aussage und ihrer Umkehrung

Technik vormachen im frontalen KlassenunterrichtSchüler entdecken Technik nicht selbstständig

» Analyse des Verfahrens (?)Was könnte der Schüler dabei lernen?Zusammenhang des Stufenwinkelsatzes mit

Eigenschaften von VerschiebungenUnterschied von Aussage und ihrer Umkehrung

g

P

g

P h

g

P h

Nachträglich bemerkt man, dass diese Technik für das Folgende nicht notwendig ist.


65


Erste Stunde

– Kontrollieren der Hausaufgaben der vorangegangenen Stunde

– Übergang zur Unterrichtseinheit Winkelsätze am Dreieck

» Wir trainieren heute sorgfältiges Zeichnen und das Anwenden der Sätze über Winkel an geschnittenen Geraden. Konstruiere mit Lineal und Geo-Dreieck ein Gitter aus

zueinander deckungsgleichen Parallelogrammen. Vorgabe für ein Parallelogramm ABCD:

AB= 4 cm, BC= 3 cm, A= 50°.

Möglichst auf unliniertes Papier zeichnenEinzel-, Partnerarbeit, Lehrer stellt an der Tafel eine

Zeichnung für die weitere Arbeit her.Allgemeineres Lehrziel: Zeichenfertigkeiten trainieren

Erste Stunde

– Kontrollieren der Hausaufgaben der vorangegangenen Stunde

– Übergang zur Unterrichtseinheit Winkelsätze am Dreieck

» Wir trainieren heute sorgfältiges Zeichnen und das Anwenden der Sätze über Winkel an geschnittenen Geraden. Konstruiere mit Lineal und Geo-Dreieck ein Gitter aus

zueinander deckungsgleichen Parallelogrammen. Vorgabe für ein Parallelogramm ABCD:

AB= 4 cm, BC= 3 cm, A= 50°.

Möglichst auf unliniertes Papier zeichnenEinzel-, Partnerarbeit, Lehrer stellt an der Tafel eine

Zeichnung für die weitere Arbeit her.Allgemeineres Lehrziel: Zeichenfertigkeiten trainieren

Keine Kompetenz aus den Bildungsstandards (!!!)

Sage dem Schüler, was er lernen soll.


66


» Wir prüfen, ob wir sorgfältig konstruiert haben durch eine Zeichenkontrolle. Zeichne in jedes der kleinen Parallelogramme die lange Diagonale ein.

Allgemeineres Lehrziel: Arbeiten kontrollieren

» Wir prüfen, ob wir sorgfältig konstruiert haben durch eine Zeichenkontrolle. Zeichne in jedes der kleinen Parallelogramme die lange Diagonale ein.

Allgemeineres Lehrziel: Arbeiten kontrollieren

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

Folie 58

vgl. Kompetenz (K5) der Bildungsstandards


67


» Was ergibt sich bei sorgfältigem Zeichnen?» ...

» Weshalb? Warum tritt bei C kein Knick auf?» ...

Möglichkeiten zum Differenzieren:Begründen mit Hilfe von Winkelsätzen an

geschnittenen GeradenAllgemeineres Lehrziel: Argumentieren trainierenZeichenkontrollen durch andere „Diagonalengeraden“

» Untersuche nun die Winkel in der Figur: Markiere in der Figur gleich große Winkel. Notiere, weshalb Winkel groß sind.

Ergebnisse im Klassenunterricht sammeln und aufschreiben

» Was ergibt sich bei sorgfältigem Zeichnen?» ...

» Weshalb? Warum tritt bei C kein Knick auf?» ...

Möglichkeiten zum Differenzieren:Begründen mit Hilfe von Winkelsätzen an

geschnittenen GeradenAllgemeineres Lehrziel: Argumentieren trainierenZeichenkontrollen durch andere „Diagonalengeraden“

» Untersuche nun die Winkel in der Figur: Markiere in der Figur gleich große Winkel. Notiere, weshalb Winkel groß sind.

Ergebnisse im Klassenunterricht sammeln und aufschreiben

Folie 57

Kompetenz (K1) der Bildungsstandards


68


– Entdecken und Beweisen des Winkelsummensatzes für ABC» Hausaufgabe

Betrachte die Winkel bei C und beschreibe die Beobachtung durch eine Gleichung.

Was folgt aus dieser Gleichung für das Dreieck ABC?

– Entdecken und Beweisen des Winkelsummensatzes für ABC» Hausaufgabe

Betrachte die Winkel bei C und beschreibe die Beobachtung durch eine Gleichung.

Was folgt aus dieser Gleichung für das Dreieck ABC?

vgl. Kompetenz (K1) der Bildungsstandards


69


Zweite Stunde

» Schüler stellen ihre Bearbeitung der Hausaufgabe vor.

» Lehrer notiert an der Tafel: Je zwei der Winkel am Punkt C sind gleich groß. Also gilt:

2+ 2+ 2 = 2(+ + ) = 360°

Dies bedeutet für das Dreieck ABC:A+B+C = 180°

Die Innenwinkel von Dreieck ABC ergänzen einander genau zu einem gestreckten Winkel.

Ausführliche Tafelanschriebe und HefteinträgeAllgemeineres Lehrziel: Arbeiten dokumentieren

Zweite Stunde

» Schüler stellen ihre Bearbeitung der Hausaufgabe vor.

» Lehrer notiert an der Tafel: Je zwei der Winkel am Punkt C sind gleich groß. Also gilt:

2+ 2+ 2 = 2(+ + ) = 360°

Dies bedeutet für das Dreieck ABC:A+B+C = 180°

Die Innenwinkel von Dreieck ABC ergänzen einander genau zu einem gestreckten Winkel.

Ausführliche Tafelanschriebe und HefteinträgeAllgemeineres Lehrziel: Arbeiten dokumentieren



70


– Entdecken des Winkelsummensatzes für Dreiecke

» Das besondere Dreieck ABC mit den Maßen ... hat die besondere Eigenschaft, dass ... Ein Mathematiker, der so etwas für ein Dreieck entdeckt, untersucht, ob Dasselbe oder Ähnliches auch für andere Dreiecke gilt. Bestimme bei 4 anderen Dreiecken die „Winkelsumme“.

Einzel-, PartnerarbeitLehrer hilft bei der Wahl von Dreiecken.Allgemeineres Lehrziel: Lernen zu verallgemeinern

» Sammeln der Ergebnisse» Lehrer notiert an der Tafel:

Für jedes Dreieck ABC gilt:A+B+C = 180°

Bei jedem Dreieck ergänzen die Innenwinkel einander genau zu einem gestreckten Winkel.

– Entdecken des Winkelsummensatzes für Dreiecke

» Das besondere Dreieck ABC mit den Maßen ... hat die besondere Eigenschaft, dass ... Ein Mathematiker, der so etwas für ein Dreieck entdeckt, untersucht, ob Dasselbe oder Ähnliches auch für andere Dreiecke gilt. Bestimme bei 4 anderen Dreiecken die „Winkelsumme“.

Einzel-, PartnerarbeitLehrer hilft bei der Wahl von Dreiecken.Allgemeineres Lehrziel: Lernen zu verallgemeinern

» Sammeln der Ergebnisse» Lehrer notiert an der Tafel:

Für jedes Dreieck ABC gilt:A+B+C = 180°

Bei jedem Dreieck ergänzen die Innenwinkel einander genau zu einem gestreckten Winkel.


Auc

h al

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71


– Festigungen zum Winkelsummensatz» mit (Haus-) Aufgaben aus dem Schulbuch

für den Rest der Stunde und der nächsten Stunde

– Festigungen zum Winkelsummensatz» mit (Haus-) Aufgaben aus dem Schulbuch

für den Rest der Stunde und der nächsten Stunde

Folie 51


72


Sonderstunde

– Beweisen des Winkelsummensatzes für Dreiecke

» Weshalb ist diese Aussage richtig?

Schüler bezweifeln dies nicht.Daher diese „Sonderstunde“ eventuell weglassen.Andernfalls fragend-entwickelnd im Klassengespräch

wegen der auftretenden logischen Feinheiten.

» Betrachtet noch einmal die Konstruktionsaufgabe ...Was war gegeben?

Schüler sollen ihre Aufschriebe nutzen.

» Parallelogramm ABCD

» Und dieses legte das Dreieck ABC fest.

Sonderstunde

– Beweisen des Winkelsummensatzes für Dreiecke

» Weshalb ist diese Aussage richtig?

Schüler bezweifeln dies nicht.Daher diese „Sonderstunde“ eventuell weglassen.Andernfalls fragend-entwickelnd im Klassengespräch

wegen der auftretenden logischen Feinheiten.

» Betrachtet noch einmal die Konstruktionsaufgabe ...Was war gegeben?

Schüler sollen ihre Aufschriebe nutzen.

» Parallelogramm ABCD

» Und dieses legte das Dreieck ABC fest.


73


» Wir stellen uns eine neue (?) Aufgabe: Gegeben ist ein Dreieck PQR durch die Größen:

PQ= 4 cm, QR= 3 cm, Q= 50°. Ergänze PQR zu einem Parallelogramm und konstruiere

aus dazu deckungsgleichen Parallelogrammen ein Gitter. Übertrage alle Überlegungen von früher. Was ist das Neue an dieser Aufgabe, verglichen mit der

ursprünglichen Aufgabe?– ...

» Wir stellen uns eine neue (?) Aufgabe: Gegeben ist ein Dreieck PQR durch die Größen:

PQ= 4 cm, QR= 3 cm, Q= 50°. Ergänze PQR zu einem Parallelogramm und konstruiere

aus dazu deckungsgleichen Parallelogrammen ein Gitter. Übertrage alle Überlegungen von früher. Was ist das Neue an dieser Aufgabe, verglichen mit der

ursprünglichen Aufgabe?– ...


74


Abschließende Bemerkungen• Die Winkelsumme im Dreieck ist schon immer ein Standardthema des

Geometrieunterrichts aller allgemeinbildenden Schulen (gewesen).– Dennoch gibt es dazu keinen allseits zufriedenstellenden

Unterrichtsvorschlag» und somit noch zu tun für Mathematikdidaktiker.

• Hauptaufgabe:– Wie erreicht man allgemeinere Lehrziele?

» Genügt es, wenn der Lehrer daran denkt? Vgl. übliche Unterrichtsvorbereitungen

» Woher weiß dann der Schüler, was der Lehrer will?» Würde ausreichen, dass der Schüler die Lehrziele kennt?» Konstruktivistisch gewendet:

Muss nicht der Schüler die Lehrziele selbst wollen - und diese zuvor als solche entdecken?

Abschließende Bemerkungen• Die Winkelsumme im Dreieck ist schon immer ein Standardthema des

Geometrieunterrichts aller allgemeinbildenden Schulen (gewesen).– Dennoch gibt es dazu keinen allseits zufriedenstellenden

Unterrichtsvorschlag» und somit noch zu tun für Mathematikdidaktiker.

• Hauptaufgabe:– Wie erreicht man allgemeinere Lehrziele?

» Genügt es, wenn der Lehrer daran denkt? Vgl. übliche Unterrichtsvorbereitungen

» Woher weiß dann der Schüler, was der Lehrer will?» Würde ausreichen, dass der Schüler die Lehrziele kennt?» Konstruktivistisch gewendet:

Muss nicht der Schüler die Lehrziele selbst wollen - und diese zuvor als solche entdecken?

Tipp: Sage dem Schüler, was er lernen soll.


75


• Wichtige Aufgabe:– Verzweigungen des Unterrichtes planen und zulassen

» Unterricht wird oft linear geplant wie im Beispiel, wirklicher Unterricht möchte / sollte immer wieder vom

Plan abweichen dürfen. Viele Lehrer tun sich damit schwer,

auch wegen mangelnder fachlicher Sicherheit.» Allgemeine Ratschläge müssen für solche Lehrer konkret

gemacht werden anhand von Standardthemen, so ausführlich wie im Beispiel.

• Wichtige Aufgabe:– Verzweigungen des Unterrichtes planen und zulassen

» Unterricht wird oft linear geplant wie im Beispiel, wirklicher Unterricht möchte / sollte immer wieder vom

Plan abweichen dürfen. Viele Lehrer tun sich damit schwer,

auch wegen mangelnder fachlicher Sicherheit.» Allgemeine Ratschläge müssen für solche Lehrer konkret

gemacht werden anhand von Standardthemen, so ausführlich wie im Beispiel.


76

Eine Alternative?Eine Alternative?


77


• Antworten auf die Eingangsfrage?– Billige Antwort:

» Wir haben uns noch nicht genügend angestrengt.– Beobachtung:

» Mathematiklehrer „ackern“ seit Langem, nicht wenige mit viel pädagogischem Eros, doch auch sie mit nur mäßigem Erfolg.

– Verdacht:» Der „Boden“ ist doch zu steinig, so dass selbst bestes

Ackergerät nicht nützt.» Nicht jeder Mathematiklehrer eignet sich als „Landwirt“.

• Alternative?– Lieber gar keinen (oder weniger) Mathematikunterricht als

schlechten.

• Antworten auf die Eingangsfrage?– Billige Antwort:

» Wir haben uns noch nicht genügend angestrengt.– Beobachtung:

» Mathematiklehrer „ackern“ seit Langem, nicht wenige mit viel pädagogischem Eros, doch auch sie mit nur mäßigem Erfolg.

– Verdacht:» Der „Boden“ ist doch zu steinig, so dass selbst bestes

Ackergerät nicht nützt.» Nicht jeder Mathematiklehrer eignet sich als „Landwirt“.

• Alternative?– Lieber gar keinen (oder weniger) Mathematikunterricht als

schlechten.

Folie 5


78


• Lesehinweise– Profke, L.: Brauchen wir einen Mathematikunterricht?

Mathematik in der Schule 33(1995), 129-136– Profke, L.: Reichen sieben Schuljahre Mathematik? Einige

vernachlässigte Gesichtspunkte. PM 38(1996), 227-230

• Lesehinweise– Profke, L.: Brauchen wir einen Mathematikunterricht?

Mathematik in der Schule 33(1995), 129-136– Profke, L.: Reichen sieben Schuljahre Mathematik? Einige

vernachlässigte Gesichtspunkte. PM 38(1996), 227-230

profke, ak geometrie, 14.09.2007, königswinter1 ist der geometrieunterricht noch zu retten?...

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