profa. esp. sheila melo coordenação geral de ensino da faculdade limites infinito e no infinito
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Profa. Esp. Sheila MeloCoordenação Geral de Ensino da Faculdade
Limites infinito e no infinito
Limites infinitos
Votemos ao exemplo da nossa empresa. Deste vez, você observa que seu lucro aumenta à medida que suas despesas diminuem (quando se aproximando de um determinado valor). Assim, podemos chamar de x a despesa e de f(x) (“f de x”: função de x) o lucro pois este depende da despesa.
Considere agora, nesta situação, que seu lucro se relaciona com suas despesas da seguinte forma: o lucro (f(x)) é igual ao inverso da despesa (x). Assim:
f(x) = 1 x
O que está acontecendocom os valores referente às despesas?
E com os valores referente ao lucro?
Os valores de suas despesas (x) diminuem tendendo a se aproximar de zero.
Seu lucro tende a assumir valores infinitamente grandes
x→0
f(x) →∞
Podemos escrever então:
limx→0
1 = ∞x
Generalizando (Definição)
Seja a um número real e considere f uma função que não está definida em a, ou seja, se
x = a => f(x) =
E
Se quando x se aproxima de a, f(x) cresce infinitamente, então escrevemos:
limx→a
f(x)= +∞
Analogamente, considere uma função g que também não está definida em a, ou seja se
x = a => g(x) = E
Se quando x se aproxima de a, f(x) decresce infinitamente, então escrevemos:
limx→a
f(x)= -∞
Exemplo
lim =x→1
3x + 2 (x – 1)
2
5
Tende a valores Bem pequenos e Próximos de zero
+∞
-1
Tende a valores Bem pequenos e Próximos de zero
lim =x→2
1 – x (x – 2)
2 - ∞
Respostas: + ∞; + ∞; - ∞
lim =x→2
3x – 4 (x – 2)
2
lim =x→1
2x + 3 (x – 1)
2
Exercícios
lim =x→1
1 – 3x (x – 1)
2
Respostas: +∞; -∞
lim =x→0
3x - 5x + 2 2
x 2
lim =x→2
1 – x (x – 2)
2
LIMITES NO INFINITO
Considere, agora, que suas despesas estão relacionadas à quantidade de produtos vendidos, de forma que as despesas dependam da quantidade de produtos vendidos.
Assim, pode-se representar por x a quantidade de produtos vendidos e por f(x) o valor de suas despesas.
Considere, ainda, que estes se relacionam de forma inversa ou seja, à medida que suas vendas aumentam, suas despesas diminuem. Logo, podemos escrever:
f(x) = 1 x
O que está acontecendo com os valores referente às despesas?
E com os valores referente ao lucro?
Suas vendas atinjam valores infinitamente grandes
Suas despesas tenderão a valores bem pequenos, próximos de zero
f(x) →0
x→∞
Podemos escrever então:
limx→∞
1 = 0x
Generalizando (Definição)Seja x pertencente a uma intervalo
aberto ]a, +∞ [ , isto é, x pode assumir qualquer valor desde muito próximo de um número a qualquer até +∞; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente.
Dizemos que, quando x cresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos:
limx→+∞
f(x)= L
De modo análogo, seja x pertencente a um intervalo aberto ]-∞, a[ , isto é, x pode assumir qualquer valor desde -∞ até um valor muito próximo de um número a qualquer; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente
Dizemos que, quando x decresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos:
limx→-∞
f(x)= L
Exemplos
limx→+∞
4x – 7x + 3 = 2
4.∞ – 7.∞ + 3 = 2
∞
= -∞
limx→-∞
5x - 4x – 3x + 2 = 3 2
5.(-∞) - 4.(-∞) – 3.(-∞) + 2 3 2
Exercícios:
1) limx→+∞
2x + 5 =
2)limx→-∞
4 – 5x =
3) limx→+∞
5x – 4x + 3 = 2
4) limx→+∞
4 - x = 2
5) limx→-∞
3x – 4 = 3
6)limx→-∞
8 – x = 2
Respostas: +∞; +∞; +∞; -∞; -∞; +∞
Calcule o limite:
lim =x→+∞
6x + 2x - 1 2
3x + x + 2 2
6.∞ + 2.∞ - 1 2
3.∞ + ∞ + 2 2
∞∞
= = ?
Temos uma indeterminação! O que fazer?
Em alguns casos pode acontecer de tal substituição levar a uma indeterminação da forma
Para contornar esta situação, deve-se dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x presente na função.
∞∞
lim =x→+∞
6x + 2x - 1 2
3x + x + 2 2
limx→+∞
+ +6x 2
x 2
2x
x 2
1
x 2
+ +3x 2
x 2
x
x 2
2
x 2
= limx→+∞
+ +6
2x
1
x 2
+ +3 1
x 2
x 2
0 0
0 0
= limx→+∞
6 3
= 2
Exercícios
1) lim =x→+∞
2x - 3x + 4 3
-7x - x + +5x 3
2
2
2) lim =x→+∞
3x + x - 7 3
5x - x + 8 3
2
Respostas: - 2; 3 7 5
3) lim =x→+∞
2x - 6x + 8 4
7x - x + 1 4
2
4) lim =x→+∞
x – x 5
x + x + 10 5
3
2
5) lim =x→+∞
2x - 3x + 5 3
x - x + 3 3
2
Respostas: 2; - 1; 0 7