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Posicionamento na Terra Elipsóidica
1.3 Posicionamento na Terra Elipsóidica
Na cartografia utiliza-se como modelo matemático para a
forma da Terra o elipsóide de revolução
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O SISTEMA GPS EFETUA MEDIÇÕES GEODÉSICAS
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Qual é a forma da Terra?
A superfície topográfica da Terra apresenta uma forma muito irregular, com elevações e depressões.
Qual é a representação matemática da superfície de referência para a cartografia?
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
esfera
elipsóide
geóide
Terra
Modelos utilizados para a Terra
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O GEÓIDE
Geóide: superfície cuja normal coincide
com a vertical do lugar
Dada a heterogeneidade da crosta terrestre, o geóide ainda é uma superfície irregular sem representação matemática
O geóide é uma superfície equipotencial coincidente com o nível médio do mar.
g
V
V´
Superfícieequipotencial
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Eixo de rotação
O
b
P
a
r1 r2
F1F2
f = (a-b)/a
e = [(a2-b2)1/2]/a = 2f - f2
r1 + r2 = 2a a = semi-eixo maiorb = semi-eixo menor
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Elipsóide de revolução
Uma elipse gira em torno do seu eixo maior
Prof .M A Zanetti
Círculo máximo
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Normal a um ponto do elipsóide
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Geometria do elipsóide
• O achatamento f é definido por:
• A primeira excentricidade e2 ao quadrado é dada por:
• A segunda excentricidade ao quadrado e’2 é obtida por:
a
baf
22 2 ffe 2
222
a
bae
2
222'
b
bae
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal é dado por:
é a latitude geodésica do ponto P• O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por:
E o raio médio de curvatura RM é dado por:
2/122 sen1 e
aN
2/322
2
)sen1(
)1(
e
eaM
NMRM
N
A
M
A
R
2sen2cos1
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Parâmetros dos principais sistemas geodésicos usados no Brasil
a- b = diferença entre o semi-eixo maior e o menorf = achatamento do elipsóidee2 = excentrecidade ao quadrado
Sistema Geodésico
Córrego Alegre SAD-69 SIRGAS
elipsóide Hayford Referencia 1967 GRS-80
a 6378388,000m 6378160,000m 6378137,000m
b 6356911.946m 6356774,719m 6356752,3141m
f 1/297 1/298,25 1/298,257222101
e2 0,006722670 0,0066946053 0,00669438002290
a-b 21476,054m 21385,281m 21384,6859m
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICASpn
ps
qq’
Meridiano deGreenwich
normal
p’
t
Superfíciefísica
p
= latitude geódésica = longitude geodésicapp’ = altitude elipsoidal
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de latitude geodésica ()
Latitude geodésica é o ângulo formado entre a normal e suaprojeção no plano do equador terrestre.
normal
equador
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
• A latitude geocêntrica
tgetg )1( 2
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de longitude geodésica
Longitude geodésica é o ângulo diedro formado entre o meridianode Greenwich e o meridiano do ponto considerado.
pn
ps
qq’
Meridiano deGreenwich
normal
p’
t
Superfíciefísica
p
Meridiano doponto p’
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de distância no elipsóide: geodésicapn
ps
qq’
geodésica
normal
p’
t
Superfíciefísica
p
T
’
T
Geodésica é uma curva reversa no espaçoMenor distância entre dois pontos no elipsóide
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de azimute geodésico entre dois pontospn
ps
qq’
ATP
normal
p’
t
Superfíciefísica
p
T’
’
T
APT
APT = ATP ±180+
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANASGEODÉSICO (CG)
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
DETALHES DO SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS GEODÉSICO
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Transformação de coordenadas geodésicas em cartesianas tridimensionais
XP = (N + h) cos cos YP = (N + h) cos sen ZP = [N (1 – e 2 ) + h) sen
onde:
N = grande normalh = altitude elipsoidal ou geométricae = excentricidade do elipsóide
2/122 sen1 e
aN
a
baf
22 2 ffe
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais em geodésicas
ZP + e´ 2 b sen3 tg =
p - e 2a cos3
YP
tg = XP
p h = - N
cos
ZP a
p = XP+YP = arctg p b
2
222'
b
bae
22 2 ffe
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Desvio da vertical (i)
pgeóide
elipsóide
vertical normal
i
Superfíciefísica
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Gravimetria - Minas do CamaquãRio Grande do Sul Astronomia- Observação ao
Sol - Atol das Rocas
Métodos de determinação doGeóide
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Modelo Geoidal Brasileiro – MAPGEO2010
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O Datum vertical do Brasil é o nível médio das águas do mar observadas no marégrafo de Imbituba-SC
As altitudes do terreno são determinadas em relação ao nível médio das águas do mar em Imbituba-SC, por meio de operações precisas de nivelamento geométrico.
Estabeleceu-se no Brasil uma rede de nivelamento de precisão formada por RNs (referência de nível).
DATUM VERTICAL BRASILEIRO
Nas cartas aparece a altitude ortométrica (relativa ao geóide)
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Marégrafo de Imbituba-SC
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Vista do Pier do Porto
RN - 01
Porta de acesso
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
R.PR – 1/2005 – Resolução do IBGE- fica estabelecido como novo sistema de referência geodésico para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN) o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano de 2000 (SIRGAS2000). Para o SGB, o SIRGAS2000 poderá ser utilizado em concomitância com o sistema SAD 69. Para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN), o SIRGAS2000 também poderá ser utilizado em concomitância com os sistemas SAD 69 e Córrego Alegre, conforme os parâmetros definidos nesta Resolução. - período de transição, não superior a dez anos.
Sistemas de Referência Geodésico em uso no Brasil
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Caracterização do SIRGAS2000
• Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System)• Figura geométrica para a Terra:Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80)
Semi-eixo maior a = 6.378.137 mAchatamento f = 1/298,257222101
• Origem: Centro de massa da Terra• Orientação:Pólos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as direções definidas pelo BIH (BureauInternational de l´Heure), em 1984,0.
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
• Estações de Referência:As 21 estações da rede continental SIRGAS2000, estabelecidas no Brasil constituem a estrutura de referência a partir da qual o sistema SIRGAS2000 é materializado em território nacional. • Época de Referência das coordenadas: 2000,4• Materialização: Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir das estações de referência.
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Estações de Referência SIRGAS2000
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Caracterização dos Sistema Córrego Alegre • Figura Geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de Hayford, 1924
Semi eixo maior a = 6.378.388 mAchatamento f = 1/297
• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do elipsóide:Orientação TopocêntricaPonto Datum = Vértice de triangulação Córrego AlegreG = A = 19o 50’ 15,14” SG = A = 48o 57’ 42,75” WN = 0 mOnde:G = Latitude Geodésica A = Latitude AstronômicaG = Longitude Geodésica A = Longitude AstronômicaN = Ondulação Geoidal
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Caracterização dos Sistema Datum Sul-Americano de 1969 (South American Datum of 1969 – SAD 69) • Figura geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de 1967
Semi eixo maior a = 6.378.160 mAchatamento f = 1/298,25
• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do elipsóide:Orientação geocêntricaEixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra; plano meridiano origem paralelo ao plano meridiano de Greenwhich, como definido pelo BIH.Orientação topocêntricaPonto Datum = Vértice de triângulação ChuáG = 19º 45' 41,6527" S G = 48º 06' 04,0639" WA = 19º 45’ 41,34” S A = 48º 06’07,80” WAG = 271° 30' 04,05" SWNE para VT-UberabaN = 0,0 m AG = Azimute Geodésico
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Datum horizontal do Sistema Geodésico Brasileiro, definido no Vértice de Triangulação Chuá (MG). (Fonte: IBGE)
Marco Zero do Brasil possui altura elipsoidal (SAD69) e altura geoidal zero, está sobre o geóide e o elipsóide SAD69.
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Referencial AltimétricoNos sistemas Córrego Alegre, SAD 69 e SIRGAS2000, o referencial altimétrico a ser utilizado coincide com a superfície equipotencial do campo de gravidade da Terra que contém o nível médio do mar definido pelas observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, de 1949 a 1957.
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É um Sistema de Referência Terrestre Convencional (CTRS).
A origem do sistema de coordenadas WGS 84 também é usada
como o centro geométrico do elipsóide e o eixo dos Z serve como
eixo de rotação desse elipsóide de revolução.
ORIGEM Centro de massa da terra (geocêntrico)
EIXO DOS Z Na direção do IERS reference Pole (IRP)
EIXO DOS XIntersecção do Meridiano de Referência IRES (IRM) com o plano que passa pela origem e é normal ao eixo dos Z.
EIXO DOS Y É tal que define um sistema ortogonal com os outros dois (X e Z).
WGS-84 WORLD GEODETIC SYSTEM – GPSUtilizado nas efemérides transmitidas
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a = 6378137m - semi-eixo maiorf = 1/298,257223563 - achatamentowe=7292115 x 10-8 rad/s - velocidade angular da TerraGM = 3986004,418 x 108 m3/s2 - Constante gravitacional
Pólo de Referência IERS (IRP)
IERSMeridiano
de Referência(IRM)
Centro de Massada Terra
Geocêntrico
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SGR Semi-eixo maior achatamento
WGS-84 6378137 1/298,257223563
SIRGAS 6378137 1/298,257222101
SGR Semi-eixo menor (m)
WGS-84 6356752,31425
SIRGAS 6356752,31414
DIFERENÇAS ENTRE O WGS84 e SIRGAS2000
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GLONASS - Globalnaya navigatsionnaya sputnikovaya sistema or Global Navigation Satellite System
PZ90 (Parametry Zemli 1990): Sistema Geodésico Soviético 1990 (Soviet Geodetic System 1990). Tem definição similar à do ITRF, com a origem no centro de massa da terra. O eixo Z é direcionado para o Pólo Norte Médio da época 1900-1905, o eixo X está no plano do equador também da época 1900-1905 com o plano XZ sendo paralelo ao Meridiano Médio de Greenwich, formando um sistema dextrógiro. PZ90.02 - aproximou do ITRF2000, contendo translações em X, Y e Z de 36 cm, 8 cm e 18 cm, respectivamente.
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ITRF (IERS - International Earth Rotation Service - Terrestrial Reference Frame): é a realização do ITRS, um sistema de referência convencional terrestre (CTRS) definido por uma série de modelos e definições (McCarthy, 1992; 1996). Mantido pelo IERS (International Earth Rotation Service). Obtenção do ITRF:combinação de uma lista de coordenadas (com variância e covariância) e de velocidades de estações (SSCs - Set of Station Coordinates), VLBI (Very Long Baseline Interferometry), LLR (Lunar Laser Ranging), SLR (Satellite Laser Ranging) e o GPS (desde o ITRF91) (Monico & Segantine, 1996).
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No site: http://www.iers.org/IERS/EN/DataProducts/ITRS/itrs.html
Tem-se desde a primeira versãoITRF88, até a mais atual, denominada ITRF2008. Quando as coordenadas forem expressas em latitude (j), longitude (l) e altitude (h) o elipsóide a adotar é o GRS80, recomendado pela IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics). O ITRF é utilizado pelos centros de análises do IGS para referenciar as efemérides precisas do GPS, assim como as efemérides precisas dos satélites GLONASS,
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TRANSFORMAÇÃO GERAL ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIAUtilizando-se a equação dos sete parâmetros:
Com:Tx, Ty e Tz parâmetros de translaçãoD = fator de escalaRx, Ry e Rz pequenos ângulos de rotação expressos em radianos
XT 1 -Rz +Ry Xs Tx
YT = M * -Rz 1 +Rx * Ys + Ty
ZT -Ry +Rx 1 Zs Tz
Com M=1+D
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Para transformações entre realizações ITRFhttp://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/index.php
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Parâmetros de Transformação entre ITRF90 e WGS-84
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Transformação de coordenadas de pontos nos diferentes referenciais
, , h conhecidos no sistema geodésico A
Coordenadas cartesianas XA,YA,ZA
transformação
translação parâmetros
XB= XA+ XYB= YA+ YZB= ZA+ Y
Coordenadas cartesianas XB,YB,ZB
, , h conhecidos no sistema geodésico B
transformação
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• SAD 69 para SIRGAS2000 • SIRGAS2000 para SAD 69
a1 = 6.378.160 m a1 = 6.378.137 m
f1 = 1/298,25 f1 = 1/298,257222101
a2 = 6.378.137 m a2 = 6.378.160 m
f2 = 1/298,257222101 f2 = 1/298,25
. X = - 67,35 m .X = + 67,35 m
. Y = + 3,88 m . Y = - 3,88 m
. Z = - 38,22 m . Z = + 38,22 m
Parâmetros de Transformação entre o SAD 69 e o SIRGAS2000
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PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO ENTRESAD69 E OUTROS SISTEMAS DE REFERÊNCIA
PARÂMETROS Córrego Alegre Astro Datum Chuá WGS84
DX (m) 138,0 77,0 -66,87
DY (m) -164,4 -239,0 4,37
DZ (m) -34,0 -5,0 -38,52
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÃO DE ALTITUDE GEOMÉTRICA EM ORTOMÉTRICA
As coordenadas de um ponto situado no Rio Chapecó, obtidas por rastreio GPS no SAD-69 resultaram em:= 26 4648,81504 = 5203 38,83019h=813,75 m Por se tratar de RN, conhece-se H=808,1965Do programa do IBGE MAPGEO2004 obtém-seN = +5,60 mComo
H=h-NH=813,75-5,60 H = 808,15 m
Diferença: d=0,0465m d=4,65cm
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CALCULAR AS COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONAIS TRIDIMENSIONAIS DO PONTO
= 26 4648,81504 = 5203 38,83019 h=813,75 m referenciadas ao SAD-69.
XP = (N + h) cos cos YP = (N + h) cos sen ZP = [N (1 – e2 ) + h) sen
a= 6.378.160 me2= 0.0066946053N = 6382498,631 m
XP = 3503671,313 m
YP = -4494314,786 m
ZP = -2856873,785 m
2/122 sen1 e
aN
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
SOFTWARE DISPONIBILIZADO PELO IBGE PARA TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS NO
BRASILhttp://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/param_transf/default_param_transf.shtm
ProGriD – Transformação de Coordenadas