geodésia - apostila
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APRESENTAÇÃO
O presente trabalho destina-se como material de apoio para a disciplina de Geodésia
do Curso Pòs-Graduação em GEOTECNOLOGIAS – SOLUÇÕES DE
INTELIGÊNCIA GEOGRÁFICA, À NÍVEL DE ESPECIALIZAÇÃO LATO SENSU.
Qualquer citação ao presente trabalho deve ser feita, seguindo-se as normas da
ABNT, como:
TEIXEIRA, N. N. Geodésia. Apostila do Curso de Pós-Graduação em Geotecnologias
– Soluções de Inteligência Geográfica. EEEMBA, Salvador, BA, 2010.
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 4
1.1 CONCEITUAÇÃO 4
1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA 5
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8
2.1 TOPOGRAFIA 8
2.2 CARTOGRAFIA 12
2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO 13
2.4 SENSORIAMENTO REMOTO 15
2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS 15
2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À
CURVATURA TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA
17
2.7 FORMAS DA TERRA 26
3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA 38
3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU
GEOGRÁFICAS
40
3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL 42
3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 44
3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL 46
3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES 47
3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS 53
3.7 SISTEMAS DE REFERÊNCIA 57
3.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA GEODÉSICOS ADOTADOS NO
BRASIL
61
4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE 72
4.1 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 73
4.2 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAMENTE INVERSAS 83
4.3 LINHA GEODÉSICA 85
5 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E DE SISTEMAS DE
REFERÊNCIA
88
5.1 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 88
5.2 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE REFERÊNCIAS 103
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS 108
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
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1 INTRODUÇÃO
1.1 CONCEITUAÇÃO
A palavra Geodésia de forma literal expressa a “divisão ou
particionamento da Terra”, e foi utilizado pela primeira vez por Aristóteles (384-322
a.C.). No entanto, tal expressão não é suficiente para definir com clareza a amplitude
de atuação e importância desta ciência, havendo então necessidade de buscar, através
de autores renomados, conceitos e definições da mesma.
Deste modo, segundo GEMAEL (1987), Geodésia é a ciência que tem como
objeto a determinação da forma e dimensões do nosso planeta, bem como a
determinação dos parâmetros definidores do campo da gravidade. Com o acréscimo de
uma outra componente que são suas variações temporais. No entanto, com o
desenvolvimento da era espacial a sua área de atuação inclui hoje outros componentes
do sistema solar, como por exemplo, a Selenodésia, que tem como objetivo o estudo
da forma, dimensões e movimentos da Lua.
TARDI-LACLAVERE (1951), divide a Geodésia em duas partes que são:
Geodésia Teórica ou Matemática e Geodésia Operacional. Segundo ele, a primeira
trata do estudo da forma e das dimensões da Terra, enquanto a segunda, estabelece os
procedimentos para a medida de porções da Terra, que por suas dimensões requerem a
consideração da curvatura terrestre.
WILSON (1908) define a Geodésia como sendo a ciência que soluciona
questões envolvendo a forma e dimensão da Terra, compreendendo ainda:
A medida exata de uma linha de base de alguns quilômetros;
Determinação da latitude, longitude e azimute de um dos extremos;
Ampliação de base, pela triangulação; e
Cálculo da triangulação.
BOMFORD (1962) afirma que a Geodésia é a divisão da Terra, cujo objetivo
principal é o de estabelecer uma estrutura geométrica precisa para apoiar os
levantamentos topográficos.
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A consecução dos objetivos da Geodésia se dá por meio de operações
geométricas realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distância)
associadas a esparsas determinações astronômicas; ou utilizar medidas gravimétricas
que conduzam ao conhecimento detalhado do campo da gravidade; ou mais
modernamente, valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais (GEMAEL,
1987). Considerando-se variedade de operações e conseqüentemente de dados,a
Geodésia pode assim ser dividida:
Geodésia Geométrica;
Geodésica Física; e
Geodésia Espacial, ou Celeste ou ainda por Satélites.
Considerando-se o desenvolvimento tecnológico a Geodésia pode, ainda, ser
dividida em:
Selenodésia; e
Geodésia Marinha.
1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA
Geralmente, a atuação da Geodésia se dá na solução de problemas, que podem
ser divididos em Científicos e Científicos-Práticos.
No que diz respeito à atuação cientifica, a principal tarefa da Geodésia é o estudo
da forma e das dimensões do nosso planeta, bem como, de seu campo gravitacional
externo.
A solução deste problema compreende (ZAKATOV, 1981):
1. Determinação das medidas e do tipo de superfície matemática regular que
represente a forma adequada da figura da Terra em sua totalidade. Considera-se
que tal superfície seja a de uma elipsóide de revolução achatado, também
denominado de elipsóide terrestre;
2. O estudo da figura real da Terra e seu campo de gravitacional exterior. Por
figura real da Terra se entende a superfície física real da Terra.
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O estudo da figura real da Terra compreende a determinações de parâmetros ou
magnitudes geodésicas que expressam os desvios de sua superfície com relação à
superfície do elipsóide terrestre.
Outros problemas científicos da Geodésia são:
Detecção e análise de movimentos tridimensionais da crosta terrestre;
Determinação da estrutura interna da Terra;
Determinação da diferença dos níveis médios dos mares e quantificação dos
movimentos das linhas de costa dos oceanos;
Estudo dos movimentos dos pólos;
Lançamento de satélites artificiais e monitoramento de seus movimentos, em seu
ciclo de vida útil;
Dentre outros.
Atualmente, a observação e descrição do 'campo de gravidade' e sua variação
temporal, é o problema científico de maior interesse da Geodésia.
No que diz respeito aos problemas científicos-práticos, a Geodésia se ocupa com
o desenvolvimento dos mais modernos métodos e instrumentos para a execução de
medições e observações de alta precisão, como por exemplo:
Medições lineares: precisão melhor do que 1:500.000;
Medições de ângulos horizontais: = 0 ,7”;
Medições de distâncias zenitais: precisão de poucos segundos;
Nivelamento geodésico: = 0,05 mm/km;
Neste tipo de problema inclui-se a determinação de coordenadas geodésicas ( ,
, h) de pontos da superfície terrestre, a nível local, regional e global, com relação a
um sistema único de coordenadas. Deste modo, com os métodos geodésicos se
determina coordenadas com alta precisão de alguns pontos da superfície terrestre, os
quais são denominados de rede geodésica de apoio. Por outro lado, como
complementação da Geodésia, a Topografia – com seus métodos – utiliza os pontos
das redes geodésicas de apoio para determinar os detalhes de porções da superfície
terrestre.
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A Geodésia também oferece apoio às atividades de Cartografia. Neste contexto
estão inclusos as técnicas, metodologias e especificações para a mensuração e
representação de grandes extensões da superfície terrestre, abrangendo em muitas
aplicações cidades, estados e nações.
Em geral, o profissional ligado às atividades de mensuração lida
comumente com três superfícies:
a) Superfície Física da Terra: superfície que é palco das operações topográficas,
geodésicas e astronômicas;
b) Geóide, superfície que melhor representa a forma da Terra, o qual é obtido pelo
prolongamento do nível médio dos mares, não perturbado, através dos
continentes. Esta figura é bem definida fisicamente, porém de difícil tratamento
matemático, pois possui muitas irregularidades;
c) Superfície do modelo geométrico: superfície de referência, sobre a qual são
efetuados os cálculos geodésicos. Geralmente, está superfície é o elipsóide
revolução, pois possibilita tratamento matemático e se aproxima muito do
Geóide. O elipsóide de revolução é obtido pela rotação de uma elipse meridiana
em torno de seu eixo menor.
Estas três superfícies podem ser vistas na figura 1.1.
FIGURA 2.2 – SUPERFÍCIES UTILIZADAS NA MENSURAÇÃO
a
b
Pn
Ps
Q´ Q
P
Superfície Física
Geóide
Elipsóide de Revolução
G
h
H
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2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
No capítulo 1 explanou-se as definições envolvendo a Geodésia. Neste
capítulo iniciar-se-á definindo as ciências correlatas a Geodésia, que também lidam com
o mapeamento e posicionamento, e semelhantemente à Geodésia estudam os elementos
geométricos para a representação da superfície terrestre que são:
a) Topografia;
b) Cartografia;
c) Astronomia de Posição; e
d) Sensoriamento Remoto e Fotogrametria (esta já definida no capítulo 1).
2.1 TOPOGRAFIA
A Topografia é a ciência aplicada, que utiliza a Geometria Plana e a
Trigonometria Plana como ferramenta, definindo a posição relativa de pontos sobre a
superfície da Terra utilizando medidas de distâncias, direções e alturas, ou seja,
medidas geométricas sobre a superfície da Terra. Além disto, esta ciência abrange
também locação de pontos necessários à construção de obras da Engenharia,
Arquitetura e Agronomia, como por exemplo, barragens, loteamentos e construções
rurais.
A palavra Topografia provém do grego topos que significa lugar e
graphos que significa descrição, ou seja, descrição exata e minuciosa do lugar ou
terreno. Deste modo, a Topografia pode descrever exatamente o local de interesse, o
que é feito tanto numericamente – por meio das coordenadas dos pontos, quanto
geograficamente – por meio dos desenhos obtidos com as medidas de ângulos e
distâncias, ou das respectivas coordenadas.
Esta descrição exata e minuciosa do terreno, que envolve a determinação
de seu contorno, dimensão e posição relativa, não leva em conta os efeitos da
curvatura terrestre proveniente de sua esfericidade. Deste modo, o modelo da Terra é
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reduzido à uma superfície plana, onde os cálculos tornam-se menos complexos,
permitindo, como mencionado anteriormente, a utilização da Geometria e
Trigonometria Planas.
A importância da Topografia reside no fato de que para o projeto e
execução de obras envolvendo a Engenharia, Arquitetura e Agronomia, é necessário o
conhecimento detalhado do terreno no qual o projeto será desenvolvido, o qual se
obtém através do levantamento topográfico do local. Este levantamento compreende as
seguintes etapas:
Medição de ângulos;
Medição de distâncias;
Cálculos; e
Desenho topográfico.
2.1.1 Finalidade da Topografia
A finalidade da Topografia é a representação no papel da configuração
de uma porção da superfície terrestre com todos os seus acidentes e objetos, que é feita
por meio de projeção ortogonal cotada.
Esta projeção é realizada sobre uma superfície de nível, ou seja, sobre
uma superfície definida pela propriedade de ser, em cada um de seus pontos, normal à
direção da gravidade: as projetantes dos diversos pontos a representar são, pois, as
verticais desses pontos. A esta projeção ou imagem figurada de terreno dá-se o nome
de planta ou plano topográfico (ESPARTEL ,1982), conforme pode ser visto pela
figura 2.1.
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FIGURA 2.1 – PROJEÇÃO ORTOGONAL COTADA
Na figura 2.1 as verticais verdadeiras 1, 2, 3, 4 e 5 são substituídas pelas
verticais A, B, C, D e E que são perpendiculares ao plano HH‟, que é o plano
topográfico, e consideradas paralelas entre si dentro da área a representar.
A vertical é constituída por uma reta que une um ponto qualquer da
superfície física da Terra ao centro de massa da mesma. Esta reta pode ser
materializada pelo fio de prumo do teodolito.
2.1.2 Distinção entre a Topografia e a Geodésia
Tanto a Topografia como a Geodésia são ciências ligadas ao
mapeamento, nas quais repousam elementos geométricos para representação da
superfície terrestre, e por isso, não raras às vezes utilizam os mesmos instrumentos,
técnicas e metodologias. No entanto, há duas diferenças principais que estão no
tratamento dos dados e na consideração dos efeitos da curvatura terrestre.
A Topografia, como mencionado anteriormente, limita-se à descrição
minuciosa de pequenas porções da superfície terrestre. De acordo com alguns autores
de compêndios topográficos esta limitação se estende até a área descrita por um
círculo de 25km, 30km ou 50km de raio. No entanto, de acordo com a NBR
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13.133/1994 (Norma da ABNT que fixa as condições para a execução de
levantamentos topográficos no Brasil) o plano topográfico possui dimensão máxima
limitada a 80km.
A Geodésia tem por objetivo a determinação da forma e dimensões da
Terra, levando em conta os efeitos provenientes da curvatura da terrestre, bem como
da refração atmosférica. Neste contexto estão implícitos os estudos de soluções que
visam transformar a superfície do elipsóide em uma superfície plana como a dos
mapas e cartas. A figura 3.2 ilustra os instrumentos utilizados em Geodésia.
FIGURA 3.2 – INSTRUMENTOS UTILIZADOS EM GEODÉSIA
Geralmente, as soluções dos problemas em Geodésia são resolvidos por
matemática não-elementar, enquanto, em Topografia os problemas são menos
complexos, não exigindo o mesmo rigor matemático. Considerando-se seu campo de
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atuação, que é toda a Terra e alguns componentes do Sistema Solar, a Geodésia é a
ciência que abrange o todo, enquanto a Topografia se atém aos detalhes. Deste modo,
devido ao seu âmbito restrito a Topografia é um capítulo da Geodésia. Porém, ambas
se completam para a harmonia do conjunto, do qual resultam as cartas geográficas e
topográficas (ESPARTEL, 1982).
2.2 CARTOGRAFIA
Cartografia é a ciência e a arte de expressar graficamente, por meio de
mapas e cartas o conhecimento humano da superfície e o ambiente terrestre.
É ciência porque essa expressão gráfica, para alcançar exatidão
satisfatória procura um apoio científico que se obtém pela consecução de
determinações astronômicas, topográficas e geodésicas, utilizando-se também da
matemática e física como ferramenta.
É arte quando se subordina às leis estéticas da harmonia, clareza e
simplicidade, procurando atingir o ideal artístico da beleza.
Esta expressão ou representação gráfica dos detalhes físicos, naturais e
artificiais de uma área restrita ou extensa da superfície terrestre, é feita sobre uma
superfície plana – denominada de mapa ou carta – por meio de escalas médias e
pequenas, levando em consideração os efeitos da curvatura terrestre. Nesta
representação também está implícito o posicionamento rigoroso destes detalhes, os
quais são atrelados a um sistema de referência de coordenadas.
No entanto, dificuldades existem no que diz respeito à representação
gráfica de detalhes da superfície terrestre sobre uma superfície plana. Estas
dificuldades são provenientes do fato da a esfera ou o elipsóide de revolução não
serem superfícies desenvolvíveis, ou seja, não há como abrir sua superfície
transformando-a em um plano, isto é, um mapa ou carta. Por isso, ao longo do tempo
foram desenvolvidos diversos sistemas de projeção capazes de permitir a
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transformação, ainda que aproximada, da superfície terrestre. A maioria das projeções
cartográficas são referidas a um plano, cone ou cilindro.
A projeção utilizada no Brasil para representação cartográfica é Projeção
Universal Transversa de Mercator (UTM), que foi originada a partir da projeção
conforme de Gauss.
A figura 2.3 mostra o esquema da projeção UTM.
FIGURA 2.3 – ESQUEMA DA PROJEÇÃO UTM
2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO
A astronomia de posição, também conhecida como astronomia de
campo, ou esférica tem por finalidade a determinação da posição geográfica de pontos
e azimutes de orientação na superfície terrestre. Esta posição geográfica é composta
pelas coordenadas latitude e longitude. É uma das ciências mais antigas, cujo objeto de
estudo é a natureza, o movimento e distribuição dos corpos celestes, bem como, a
constituição do universo em seu conjunto.
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As atividades relacionadas à Astronomia de campo desempenharam um
importante papel na resolução de problemas científicos e práticos da Geodésia e
Topografia, como por exemplo:
Determinações astronômicas da latitude e longitude nos pontos das
triangulações geodésicas;
Determinações astronômicas da latitude e longitude de pontos da superfície
terrestre, os quais serviram como pontos de apoio em levantamentos
topográficos;
Determinação do Norte Verdadeiro ou Geográfico nos levantamentos
topográficos;
Determinação das coordenadas geográficas de navios em mar, e de aviões
no ar.
Muitos problemas da Astronomia de Campo são solucionados via
resolução do triângulo esférico, também conhecido como triângulo astronômico, de
posição ou paralático (ZAKATOV, 1981). Este triângulo é formado por três pontos da
esfera celeste: Pólo, Zênite e o Astro, ligados por arcos de círculos máximos. A figura
2.4 mostra o esquema de um triângulo de posição.
FIGURA 2.4 – TRIÂNGULO DE POSIÇÃO
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2.4 SENSORIAMENTO REMOTO
É a ciência e arte de adquirir informações a respeito de um objeto, área
ou fenômeno a partir de medidas feitas por sensores, sem que haja contato com este
objeto, área ou o fenômeno em estudo. Sensores são equipamentos capazes de coletar
energia eletromagnética proveniente do objeto, converte-la em sinal passível de ser
registrado e apresenta-lo em forma adequada à extração da informação. Qualquer
veículo, terrestre, aéreo ou orbital capaz de suportar qualquer tipo de sensor em
condição de operação é denominado de Plataforma de Aquisição.
As plataformas de aquisição terrestres, ou simplesmente plataformas
terrestres, são aquelas que se deslocam na superfície do terreno. Quando o sensor é
transportado a bordo de uma aeronave, a plataforma é denomina de plataforma aérea.
E finalmente, quando o sensor é transportado a bordo de satélites ou transportadores
espaciais em órbita em torno da Terra, diz-se que a plataforma utilizada é uma
plataforma espacial. A figura 2.5 mostra, respectivamente, uma plataforma terrestre,
aérea e espacial.
FIGURA 2.5 – EXEMPLO DE PLATAFORMAS DE AQUISIÇÃO
Plataforma Terrestre
Plataforma Aérea
Plataforma Espacial: Satélite Landsat
As imagens provenientes destes sensores podem ser utilizadas em
Sistemas de Informações Geográficas (SIG) e na produção de mapas.
2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS
O quadro 2.1 apresenta algumas das características da Geodésia e das
ciências afins.
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QUADRO 2.1 – CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS
AFINS
CIÊNCIA CARACTERÍSTICAS
Topografia
Aplicada a áreas restritas
Desconsidera os efeitos da curvatura Terrestre
Determina o posicionamento de pontos
Representa superfícies
Sistema de referência local
Modelo matemático: Plano
Geodésia
Aplicada a áreas extensas
Determina coordenadas de pontos com alta precisão
Considera os efeitos da curvatura terrestre e da
refração atmosférica
Modelo matemático: Elipsóide de revolução
Sistema de referência nacional, continental e global
Astronomia de Posição
Considera os efeitos da curvatura terrestre
Modelo matemático: Esfera
Determinação de coordenadas por meio de
observações de astros
Fotogrametria
Considera os efeitos da curvatura terrestre
Aplicada a áreas extensas
Superfície de referência: o mesmo dos pontos de
apoio
Sensoriamento Remoto
Aplicada a áreas extensas: possibilita a cobertura
global da Terra
Considera os efeitos da curvatura terrestre
Considera o efeito de rotação da Terra
Permite a produção de mapas
Cartografia
Considera os efeitos da curvatura terrestre
Representa superfícies através de Sistemas de
Projeção
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2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À CURVATURA
TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA
2.6.1 Erro Planimétrico
A superfície de referência utilizada na Geodésia é o elipsóide de
revolução, pois possibilita o tratamento matemático e se aproxima muito do Geóide,
que é a forma da Terra. Deste modo, os problemas relativos à esfericidade da Terra
proveniente de sua curvatura, são considerados nas atividades geodésicas, ao passo
que na Topografia, essa consideração não é levada a contento, pois a sua superfície de
referência é reduzida ao plano topográfico local. Esta aproximação torna o campo de
atuação da Topografia restrito à pequenas porções da superfície terrestre, onde é de
suma importância a definição da extensão máxima de sua atuação. Para definir esta
extensão considere-se a figura 2.6.
FIGURA 2.6 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO PLANIMÉTRICO
Nesta figura estão implícitas as seguintes grandezas:
R: raio da Terra;
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: ângulo central, que faz separação entre os pontos a e b da esfera;
A e B: dois pontos situados na superfície física da Terra;
a e b: projeções ortogonais dos pontos A e B na calota esférica, segundo os
raios terrestres OA e OB;
b´: é a projeção do ponto B no plano topográfico;
b”: ponto concebido no plano topográfico, com a condição de que o arco ab
seja igual à tangente ab”.
Com o intuito de determinar a extensão máxima do campo de atuação da
Topografia, determina-se primeiramente as equações do arco ab e da tangente ab”, os
quais são expressos, respectivamente, por:
tg.R´ab´D , (2.1)
)rad(.RabD . (2.2)
A subtração da equação (2.1) pela equação (2.2) resulta no erro de
distância entre as projeções D e D´, ou seja:
)- tg.(RDab´ab"bb . (2.3)
Pela série de Taylor, tem-se a seguinte equação quando o ângulo central
( ) for pequeno:
3 tg
3
. (2.4)
Substituindo a equação (2.4) na equação (2.3), tem-se:
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3RD
3
, (2.5)
obtendo-se:
3
.RD
3
, (2.6)
mas, como
.RD , (2.7)
que substituindo na equação (2.6), resulta, finalmente, em:
2
3
R.3
DD . (2.8)
A tabela 2.1 apresenta os valores dos erros planimétricos para os ângulos
central de 5‟, 10‟, 15‟, 20‟, 25‟, 30‟, 35‟, 40‟ e 0º43‟10,32” (que corresponde a uma
distância de 80km), onde são utilizadas as equações (2.1), (2.2) 2 (2.3). O raio da Terra
aqui considerado é de 6.370km.
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TABELA 2.1 – ERRO PLANIMÉTRICO
Ângulo
Central ( )
(º „ “)
Distância
Horizontal (D´)
(m)
Distância
Esférica (D)
(m)
Erro Planimétrico
Absoluto
(m) Relativo
0º05´00” 9.264,796 9.264,789 0,007 1 : 1.323.000
0º10´00” 18.529,631 18.529,579 0,052 1 : 355.000
0º15‟00” 27.794,545 27.794,368 0,177 1 : 157.000
0º20‟00” 37.059,576 37.059,158 0,418 1 : 88.000
0º25‟00” 46.324,764 46.323,947 0,817 1 : 56.000
0º30‟00” 55.590,148 55.588,737 1,411 1 : 39.000
0º35‟00” 64.855,767 64.853,526 2,241 1 : 28.000
0º40‟00” 74.121,661 74.118,316 3,345 1 : 22.000
0º43‟10,32” 80.000,000 79.995,794 4,206 1 : 19.000
Da tabela 2.1 pode-se inferir que quando se deseja obter precisões
relativas acima de, aproximadamente, 1:1.000.000, pode-se considerar dentro de um
raio de 10km a superfície terrestre como sendo plana. Este raio de ação corrobora com
a extensão máxima das poligonais da classe IIIP, normatizada pela NBR 13133/1994
para o “adensamento do apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como
executado, e obras de engenharia”.
Por outro lado, um raio máximo de ação de 80km como preconizado pela
NBR 13133/1994 para levantamentos topográficos resulta em um erro relativo de,
aproximadamente, 1:19.000, valor este acima do que aquele especificado pelo Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE (PR, nº22, de 21-07-83), no que diz
respeito aos levantamentos geodésicos para fins topográficos, o qual é de 1:5000.
2.6.2 Erro Altimétrico
Para avaliar o erro de esfericidade presente nos levantamentos
topográficos devido ao efeito da curvatura terrestre, considere a figura 2.7.
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FIGURA 2.7 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO DE ESFERICIDADE
Nesta figura estão presentes os seguintes elementos:
bB: altura do ponto B com relação à esfera;
bb´= h: representa o erro de esfericidade, cujo valor pode ser obtido do
triângulo retângulo OAb´;
b1B=h: altura do ponto B com relação ao plano topográfico de referência, o qual
é tangente à esfera pelo ponto A=a;
as demais grandezas são definidas conforme a figura 2.6.
Da figura 2.7, solucionado o triângulo retângulo OAb´, tem-se que:
222 )AO(´)Ab(´)Ob( , (2.9)
que substituindo pelas grandezas presentes neste triângulo, fica:
222 R´D)hR( , (2.10)
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e finalmente,
2222 R´Dhh.R.2R . (2.11)
Como o valor de 2h pode ser negligenciado pelo fato do mesmo ser
muito pequeno em comparação com o valor do raio da Terra, tem-se que:
R.2
´Dh
2
. (2.12)
Considerando-se o raio da Terra igual a 6370km, e substituindo-o na
equação (2.12), o erro de esfericidade fica definido como:
2112 ´D.10.7849´D.90000000784,0h , (2.13)
em que D´ é dado em metros (m).
A tabela 2.2 apresenta alguns valores de erros altimétricos.
TABELA 2.2 – ERRO ALTIMÉTRICO
Distância
(m)
Erro de
Esfericidade
(m)
Tolerância – NBR13133
Niv. Classe IN
(12mm.K0,5
)
Tolerância – IBGE
P/ Fins Topográficos
PR, nº 22; (6mm.K0,5
)
100 0,0008 0,0037 0,0019
200 0,0031 0,0054 0,0027
300 0,0071 0,0066 0,0033
500 0,0196 0,0085 0,0042
750 0,0442 0,0104 0,0052
1000 0,0785 0,0120 0,0060
Observa-se pelos valores constantes na tabela 2.2 que o erro de
esfericidade é proporcional à distância. Acima de 300m o erro de esfericidade é maior
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do que a tolerância preconizada pela NBR13133/1994 para o nivelamento geométrico
classe IN, enquanto que pela PR nº 22 do IBGE isto ocorre acima de 200m. Por isso, é
sempre recomendável que as distâncias niveladas em Topografia não sejam superiores
a 80m.
Devido à magnitude destes erros na representação altimétrica, não se
pode substituir a esfera terrestre por um plano tangente como é feito na representação
planimétrica, e cuidados adicionais devem ser tomados quando se almeja precisão nos
nivelamentos geométricos, como, por exemplo, instalar o nível a igual distância das
estações a serem niveladas.
2.6.3 Refração Atmosférica
Em todas as atividades topográficas e ciências afins, como por exemplo,
a Geodésia e Astronomia de Posição, o fenômeno de refração encontra-se presente,
como bem colocado por GEMAEL (1987): “refração...autêntico calcanhar de Aquiles
das Ciências Geodésicas”.
Nas visadas de um ponto a outro a refração atmosférica, também
chamada de refração terrestre em decorrência do ponto visado ser terrestre, “levanta” o
alvo, ou de outra maneira, pode-se dizer que ela “levanta” o ponto visado. Isto ocorre
porque o plano topográfico definido pelo ponto A é uma linha curva (e não uma linha
reta), de forma que a curvatura AS é dirigida para o centro de massa da Terra,
conforme pode ser visto na figura 2.8.
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23
FIGURA 2.8 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA
Uma outra forma de ilustrar este problema é mostrado na figura 2.9.
FIGURA 2.9 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA NO NIVELAMENTO
GEOMÉTRICO
Devido ao efeito da Refração Atmosférica, no nivelamento geométrico,
por exemplo, a leitura de mira será maior do que a do Plano de Referência Horizontal,
gerando no operador a percepção de que o ponto ou o alvo (mira, nesta caso) foi
levantado.
Na presença da refração atmosférica, o erro de esfericidade ( h ) devido
à curvatura terrestre é menor, ficando definido pela seguinte equação:
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24
h).k1(´h , (2.14)
onde:
h : erro de esfericidade devido à curvatura terrestre (equação 2.13);
'h : erro de esfericidade e refração;
k: coeficiente de refração.
O coeficiente de refração varia em função das condições meteorológicas, de
forma que no Brasil cada região possui seu próprio coeficiente de refração, como
mostra a tabela 2.3; nesta tabela também são mostrados alguns coeficientes adotados
em alguns países da Europa.
TABELA 2.3 – COEFICIENTES DE REFRAÇÃO
Localidade Coeficiente (k)
Brasil
Rio de Janeiro 0,17
Ponta Grossa 0,07
Litoral do Nordeste 0,11
Resende 0,13
Juiz de Fora 0,15
Países
Europeus
França 0,1678
Alemanha 0,1306
Rússia 0,1237
Inglaterra 0,1587
Fonte: JORDAN (1981) e GEMAEL (1987)
Não obstante a estes valores, no Brasil assim como na Alemanha a
Diretoria do Serviço Geográfico adotou o valor médio de k = 0,13. Deste modo, com
este valor a equação (2.14) é reduzida para:
h.87,0´h . (2.15)
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25
Aplicando este valor para o erro de esfericidade correspondente à distância
de 500m, tem-se:
0,01710,0196 . 87,0´h m,
valor este muito superior às tolerâncias preconizadas pela NBR13133/1994 e a PR, nº
22 do IBGE, que são de 0,0085m e 0,0042m, respectivamente.
2.7 FORMAS DA TERRA
2.7.1 Histórico
Desde os tempos mais remotos de nossa civilização, o problema
concernente ao estudo da forma da Terra, ocupou a mente dos grandes cientistas e
renomados pensadores. Primeiramente deve-se considerar que a conclusão de que a
forma da Terra era uma esfera e, posteriormente, um elipsóide de revolução não foi
imediata.
As primeiras especulações a respeito da forma da Terra surgiram com
pensadores gregos, especificamente por contemporâneos a Thales de Miletus, por volta
de 625 a 547 a.C. A idéia da forma da Terra concebida pelo próprio Thales de Miletus
era a de um corpo no formato de um disco, o qual flutuava no oceano, enquanto,
Anaximander de Miletus (611 a 545 a.C), teve uma idéia totalmente diferente. Sua
concepção era a de uma Terra cilíndrica, com seus eixos orientados na direção leste-
oeste. De Anaximander também foi a primeira proposição de uma esfera celeste
(VANICEK e KAKIWSKY, 1996).
Contudo, o primeiro pensador que chegou a conclusão de uma Terra esférica
foi o filósofo e matemático grego Pitágoras (580 a 500 a.C), idéia esta que prevaleceu
por mais de dois milênios. Pitágoras, pouco antes de sua conclusão, se recusava a
aceitar a idéia simplificada de uma Terra plana. Sócrates tinha as mesmas concepções,
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26
com a diferença de que não conseguia prova-las. Com a idéia da esfericidade da Terra
amplamente aceita em redor do mundo, Dicaerchus (morto em 285 a.C.) introduziu a
teoria de coordenadas esféricas.
O astrônomo e matemático Erastótenes (276 a 194 a.C.) introduziu a noção
de obliqüidade do eixo de rotação da Terra. No entanto, a realização mais interessante
do ponto de vista geodésico, estaria ainda por vir. Erastótenes mediu a diferença de
latitude entre Alexandria e Siena, a partir do qual determinou o tamanho da Terra,
considerada esférica até então. A precisão alcançada nesta medição é considerada
elevada para sua época, o que faz com seus resultados sejam discutidos no contexto
dos resultados modernos das dimensões da Terra dentro do escopo da Geodésia. A
consecução desta célebre realização de Erastótenes seguiu as seguintes etapas
(OLIVEIRA, 1998):
a) Constatou-se que no dia de solstício de verão, o Sol iluminava o fundo de um
poço em siena,;
b) Constatou-se que ao mesmo tempo, em Alexandria projetava uma sombra de
7º12‟ que corresponde a 1/50 de um círculo, conforme pode ser visto pela
figura 2.10;
FIGURA 2.10 – EXPERIÊNCIA DE ERATÓSTENES
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27
Baseado nestas afirmações, Eratóstenes considerou ainda que:
No dia de solstício de verão, o Sol do meio dia se colocava diretamente sobre a
linha da zona do trópico de verão (trópico de câncer), concluindo que Siena
estava inclinada nesta linha;
A distância linear entre Alexandria e Siena era de aproximadamente 500
milhas;
Siena e Alexandria pertenciam ao mesmo meridiano;
Com estas considerações a circunferência da Terra foi calculada da
seguinte forma: 50x500=25000 milhas, valor este que difere apenas 0,40% do valor
aceito hoje pela União Internacional de Geodésia e Geofísica (UIGG). Com este
trabalho Eratóstenes não apenas ficou famoso, como também, ocupou posições de
prestígio em Alexandria, sendo considerado o fundador da Geodésia (VANICEK e
KAKIWSKY, 1996).
Após isto, no primeiro século da presente era, os gregos e os árabes
também realizaram determinações das dimensões da Terra. Mas a Idade Média foi um
período tenebroso, não só para a Geodésia, como também, para as outras ciências.
Neste período os dados referentes à esfericidade da Terra e suas dimensões foram
praticamente esquecidos, e nenhuma descoberta significativa neste campo da ciência
foi registrado. Mas no final do século XV com as grandes viagens marítimas,
conduzidas por Colombo, Vasco da Gama, Magellan, entre outros, as ciências
geodésicas tomaram novo impulso, onde se iniciou novas pesquisas para a
determinação da forma e das dimensões da Terra. Com isto, o século XVI foi marcado
pela expansão do conhecimento geográfico, impulsionado pelo surgimento de uma
nova atividade: a produção de mapas, ou Cartografia, que foi definida como a arte de
representar o produto final da Geodésia (VANICEK e KAKIWSKY, 1996;
ZAKATOV, 1981).
Neste mesmo período iniciou-se também a utilização da do método da
triangulação nos levantamentos geodésicos, que foi um importante fator do
desenvolvimento das medições de graus, que eram as medições conduzidas sobre a
superfície terrestre com objetivo de determinar o raio da Terra. Com isto surgiu a
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28
possibilidade de medir grandes distâncias sobre a superfície terrestre. Ainda no século
XVII considerava-se a Terra como sendo uma esfera; então, todas as atividades de
determinar as dimensões da Terra eram reduzidas a determinação de seu raio. Deste
modo, em 1670 o francês Picard realizou a primeira medição moderna do tamanho da
Terra, em que chegou ao valor de 6275km para o seu raio, representando assim, a
primeira melhoria em relação ao valor encontrado por Erastótenes em 19 séculos.
Posteriormente, Isaac Newton (1642-1727) lançou as bases da lei da
gravitação universal, onde demonstrou que a Terra tem o formato de um Elipsóide
achatado no sentido dos pólos, o que foi confirmado através de expedições francesas
no Peru (1735-1742), onde mediu-se um arco que atravessa o equador, e uma outra na
Lapônia (1736-1737) onde foram conduzidas medições de grau próximos a latitude de
66º. Uma vez comprovada a teoria de Newton a respeito da figura da Terra como um
Elipsóide, começou uma nova etapa nas pesquisas de determinação de tal figura, onde
fundou-se dois métodos: geométrico e o físico.
A partir de então, estes dois métodos foram utilizados de maneira
independente para determinar a forma e as dimensões do planeta. O método
geométrico era baseado nos resultados derivados das medições dos elementos
geométricos da superfície terrestre, como por exemplo: distâncias, ângulos e direções.
O método físico era baseado na determinação da aceleração da força da gravidade
sobre a superfície terrestre. Apesar de terem sido utilizados de forma independente,
estes dois métodos propiciaram uma conclusão unívoca: a figura da Terra é muito
próxima ao Elipsóide de revolução, mas não coincide com o mesmo. Deste modo, na
segunda metade do século XIX, o físico Listing propôs o nome de Geóide para a figura
da Terra.
2.7.2 Formas da Terra Presentes nas Atividades de Mensuração
Nas atividades de mensuração, rotineiramente, considera-se as seguintes
formas da Terra:
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29
Terra Plana: geralmente empregada para os levantamentos de pequenas áreas da
superfície terrestre. Exemplo: Soluções de Topografia;
Terra Esférica: forma empregada para representar a superfície da Terra quando
á área é extensa. Exemplo: Soluções para mapas de reconhecimento da
superfície terrestre;
Terra Elipsóidica: forma adotada para representar as áreas de tamanho médio,
ou grande. Exemplo: Soluções de Cartografia;
Terra Geoidal: forma da Terra considerada como verdadeira. Exemplo:
Soluções de Geodésia Física.
2.7.2.1 Terra Plana
Como já mencionado anteriormente, a forma da Terra adotada na
Topografia é o plano, onde são determinados o contorno e as dimensões da
superfície terrestre sem considerar os efeitos de sua curvatura. Mais detalhes
podem ser vistos na seção 2.1.1 (Finalidade da Topografia).
2.7.2.2 Terra Esférica
A conceituação envolvida na Astronomia de Posição baseia-se na
hipótese da Terra e do Universo serem representados pela forma esférica. Deste
modo, a Terra e o Universo são considerados esferas concêntricas.
Em Geodésia, quando se necessita realizar cálculos aproximados ou
quando as distâncias entre os diversos pontos são relativamente pequenas, também
considera-se a Terra como uma esfera, devido à facilidade dos cálculos utilizando
esta forma.
Na Cartografia, no estudo de Projeções Cartográficas, utiliza-se o
conceito de esfera-modelo. Este conceito baseia-se numa esfera imaginária
desenhada na escala da projeção, e que serve como construção auxiliar para
obtenção das projeções geométricas (Figura 2.11). Deste modo, quando se
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30
considera a Terra como sendo esférica, o erro obtido é muito pequeno em virtude
das escalas de projeção.
FIGURA 2.11 – PROJEÇÕES GEOMÉTRICAS
Na figura 2.11, tem-se três projeções geométricas, que são: Planas (ou
Azimutais), Cônicas e Cilíndricas, que são superfícies desenvolvíveis que melhor
se adaptam à esfera. Um outro exemplo bastante simples de representação da Terra
esférica é o globo terrestre, que constitui uma representação tridimensional da
superfície terrestre, livre de deformações. A figura 2.12 apresenta a ilustração de
um globo terrestre.
FIGURA 2.12 – GLOBO TERRESTRE
O raio da esfera terrestre está relaciona-se diretamente com a escala
utilizada. Deste modo, quando a escala é maior que 1:500.000, o raio da Terra pode
ser calculado por:
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31
22 sen.e1
bR , (2.16)
onde:
b: é o semi-eixo menor do elipsóide;
e2: é a excentricidade;
: é a latitude geodésica.
E, quando a escala é menor do que 1:500.000, o raio da Terra pode ser
calculado por:
2
baR , (2.17)
onde a e b, são, respectivamente, os semi-eixos maior e menor do elipsóide.
2.7.2.3 Elipsóide de Revolução
É a superfície de referência adotada na Geodésia como o modelo
geométrico para os cálculos geodésicos. Esta adoção se deve ao fato de que o
elipsóide revolução se aproxima muito da forma real da Terra, que é o Geóide, e
possibilita todo um tratamento matemático.
O elipsóide de revolução ou biaxial é proveniente da rotação de uma
elipse meridiana em torno de seu eixo menor, o que torna tal elipsóide achatado. Se
tal rotação fosse em torno de seu eixo maior ter-se-ia um elipsóide alongado. De
qualquer forma, em Geodésia é utilizado o elipsóide de revolução ou biaxial. A
figura 2.13 mostra uma elipse meridiana.
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32
FIGURA 2.13 – ELIPSE MERIDIANA
A elipse meridiana pode ser definida de diversas formas. Em Geodésia,
ela é definida pela sua dimensão e forma. A dimensão pelo seu semi-eixo maior (a)
e a forma pelo achatamento (f). O achatamento (f) é definido por:
a
baf . (2.18)
O que ocorre na Geodésia é que as medições são realizadas na superfície
física da Terra, mas os cálculos são efetuados na superfície do elipsóide (modelo
teórico), conseqüentemente, os resultados são reduzidos a esta superfície.
Praticamente, a Geodésia do século XIX se concentrou na pesquisa dos
parâmetros do melhor elipsóide, por meio de levantamentos geodésicos associados
à determinações astronômicas, e à medidas gravimétricas (GEMAEL, 1987;
ZAKATOV, 1981). Com o surgimento das Técnicas Espaciais de Posicionamento,
esta pesquisa ganhou mais um aliado que são os satélites artificiais, os quais
propiciaram maior rapidez e precisão na determinação dos parâmetros definidores
da figura da Terra.
Deste modo, em diversos países foram definidos vários elipsóides que
representavam a realidade regional e do momento na qual eram concebidos. No
entanto, com o passar dos anos, as técnicas e a instrumentação de mensuração
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33
geodésica evoluíram, possibilitando a determinação de parâmetros mais precisos
para o elipsóide de revolução. Esta dinâmica resultava na substituição dos antigos
elipsóides pelos novos. A tabela 2.3 mostra os parâmetros definidores de alguns
elipsóides de revolução.
TABELA 2.3 – ELIPSÓIDES DE REVOLUÇÃO
Elipsóide Ano de
Definição
Parâmetros
Semi-eixo maior (m) Achatamento
Bessel 1841 6.377.397,000 1:299,15
Clarke 1866 6.378.206,000 1:295,00
Clarke 1880 6378.249,000 1:293,50
Hayford 1910 6378.388,000 1:297,00
krasovsky 1936 6.378.210,000 1:298,60
krasovsky 1940 6.378.245,000 1:298,30
SGR-67 1967 6.378.160,000 1:298,25
GRS80 1980 6.378.137,000 1:298,257222101
O elispóide SGR-67 corresponde à figura geométrica para a Terra do
antigo Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), que era o Datum Sul-Americano de
1969 (South American Datum of 1969 – SAD69). Enquanto o elipsóide GRS80
representa a figura geométrica para a Terra do atual SGB, que é o Sistema de
Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano
2000, ou seja: SIRGAS2000.
2.7.2.4 Geóide
É uma superfície de nível, obtida pelo prolongamento do nível médio dos
mares, não perturbados (sem influência de marés e correntes), através dos
continentes. Esta superfície é uma superfície equipotencial, pois todos os pontos
desta superfície, possuem o mesmo potencial gravitacional (W), definido pela
seguinte equação:
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34
QVW , (2.19)
em que:
W: é o potencial gravífico ou da gravidade;
V: é o potencial de atração ou newtoniano;
Q: é o potencial centrífugo ou de rotação.
As superfícies equipotenciais do campo da gravidade, cujo potencial
gravífico é constante (W=Cte), são denominadas de geopes. Deste modo, os geopes
devido à não homogênea distribuição de massas, são superfícies suavemente
irregulares, e perpendiculares em todos os seus pontos, às linhas de força do
campo. Estas linhas de força do campo gravífico são denominadas de verticais,
que são curvas reversas (GEMAEL, 1999), conforme pode ser visto pela figura
2.14.
FIGURA 2.14 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS DO CAMPO DA
GRAVIDADE DA TERRA
Deste modo, o Geóide constitui uma determinada superfície
equipotencial do campo da gravidade, ou seja, é o geope que mais se aproxima do
nível médio dos mares (VANICEK e KAKIWSKY, 1996). Devido ao seu
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35
prolongamento ao longo dos continentes e ilhas (regiões que representam 25% da
superfície terrestre), o Geóide encontra-se no interior da crosta. A figura 2.15
mostra o modelo geoidal TUM-2S, determinado a partir de 24 meses de
observações gravimétricas dos satélites da missão CHAMP-GPS.
FIGURA 2.15 – GEÓIDE GRAVIMÉTRICO
Observações geodésicas recentes mostraram que o Geóide pode se
ajustar num elipsóide de revolução geocêntrico (quando o centro do elipsóide
coincide com o centro de massa da Terra), com uma proximidade de até algumas
dezenas de metros. Neste ajustamento (Geóide-Elipsóide) o eixo menor do
elipsóide coincide com o eixo polar de inércia da Terra. Quando estas condições
são plenamente satisfeitas, o elipsóide é chamado de “normal body of the Earth –
corpo normal da Terra”, ou por alguns pesquisadores de “mean Earth ellipsoid –
elipsóide médio da Terra”, ou ainda de elipsóide geocêntrico de referência
(VANICEK e KAKIWSKY, 1996), o qual pode ser visto na figura 2.16.
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36
FIGURA 2.16 – ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO COMO UM CORPO NORMAL DA
TERRA
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37
3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA
Numa primeira análise, em se tratando de Sistemas de Coordenadas para
utilização em mensurações, bastaria definir um sistema de coordenadas cartesianas
plano retangular (X, Y) que o problema estaria resolvido, uma vez que as operações
topográficas são realizadas considerando-se um plano horizontal de referência. Em se
tratando de levantamento topográfico onde as alturas (componente z ou cota) relativas
dos pontos do terreno são requeridas, acrescentar-se-ia no sistema de coordenadas esta
informação, em que este sistema ficaria definido por: (X, Y, Z) ou (X, Y, Cota), como
pode ser visto pela figura 3.1.
FIGURA 3.1 – SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
TRIDIMENSIONAIS
Na figura 3.1 o plano topográfico é tangente a esfera pelo ponto A. Deste
modo, têm-se os seguintes elementos:
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38
- Xa, Ya e Za: Coordenadas do ponto A;
- Xb, Yb e Zb: Coordenadas do ponto B;
- AO: Vertical do Ponto A;
- Bb´:Vertical do ponto B. De forma rigorosa a vertical do ponto B é a linha reta
OB; mas devido à não consideração da curvatura terrestre em face do plano
topográfico, a vertical do ponto B é definida pela linha reta Bb´, perpendicular a
este plano e paralela à vertical do ponto A.
No entanto, com a evolução das técnicas e instrumentação de
mensuração, especialmente, com o advento do Sistema de Posicionamento Global
(GPS), a possibilidade de se obter nos levantamentos topográficos precisões do âmbito
da Geodésia, é uma realidade palpável. E com isto, o profissional que lida com
Topografia precisa ampliar seu leque de conhecimento das disciplinas de
Geotecnologias que regem as atividades de representação da superfície terrestre.
Entre estas disciplinas, encontra-se a de “Sistemas de Coordenadas”, pois
com esta evolução, um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z)
arbitrário, nem sempre refletirá a realidade envolvida no levantamento, quer seja
quanto à sua finalidade, técnica empregada e/ou instrumentação utilizada. Um outro
motivo para o conhecimento de Sistemas de Coordenadas, é quanto à utilização do
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), sistema na qual muitas das atividades de
posicionamento devem estar referenciadas, algumas delas por determinação da lei,
como por exemplo:
Georreferenciamento de Imóveis Rurais;
Rede de Referência Cadastral Municipal; e
Cadastro Técnico Municipal;
No contexto das atividades de posicionamento, os sistemas de
coordenadas mais utilizados são:
1. Sistema de Coordenadas Astronômicas ou Geográficas;
2. Sistema de Referência Terrestre Convencional;
3. Sistema de Coordenadas Geodésicas;
4. Sistema Geodésico Local
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39
5. Sistema de Coordenadas Planas Retangulares;
6. Sistemas de Coordenadas Topográficas Locais.
3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS
As latitudes ( a) e longitudes ( a) astronômicas dos pontos da superfície
física da Terra, bem como, os azimutes (Aa) de orientação são determinados por
observações em corpos celestes, especificamente, o Sol e as estrelas, via procedimento
de Astronomia de Posição, onde considera-se a Terra como uma esfera de raio
arbitrário, denominada de esfera celeste. A figura 3.2 mostra as coordenadas latitude
( a) e longitude ( a) na esfera celeste
FIGURA 3.2 – COORDENADAS ASTRONÔMICAS
Na figura 3.2 a linha reta OA representa a vertical do ponto A. A
latitude astronômica ( a) do ponto A é o ângulo formado entre a sua vertical (OA) e
a sua projeção no plano equatorial. Varia de 0º a 90º para o norte ou para o sul, sendo
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40
positivo no hemisfério norte, e negativo no hemisfério sul. A longitude astronômica
( a) é o ângulo diedro formado entre o meridiano astronômico médio de Greenwich e
o meridiano astronômico do ponto A. Este ângulo varia de 0º a 180º para oeste ou
leste.
3.1.1 Altitude Ortométrica
Altitude ortométrica é a distância contada, ao longo da vertical, de um
ponto qualquer da superfície física da Terra até o Geóide. Esta altitude possui
significação física, pois tem valor igual a zero (H=0,0m) no nível médio dos mares e,
a água corre desde um ponto de altitude ortométrica maior para um de valor menor.
Isto torna a altitude ortométrica útil para aplicações de engenharia, arquitetura e
agronomia.A figura 3.3 ilustra o conceito de altitude ortométrica.
FIGURA 3.3 – ALTITUDE ORTOMÉTRICA
Nível Médio dos Mares
P
P´
HGeóide
Vertical de P
Wo
Wp
Na figura 3.3 as grandezas Wo e WP, representam o geopotencial no
Geóide e no ponto P, respectivamente. A diferença entre eles chama-se Número
Geopotencial de um ponto P da superfície física da Terra, que corresponde ao trabalho
da gravidade para transportar a unidade de massa entre as duas superfícies
equipotenciais, ou seja, entre a superfície do geóide e do ponto P (GEMAEL, 1999).
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41
3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL
Um sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas é, por definição,
aquele cuja origem coincide com o centro de massa da Terra (Geocentro) e cujos eixos
(X, Y, Z) são solidários com ela (VANICEK e STEEVES, 1996). O sistema de
coordenadas cartesianas geocêntricas mais comum em Geodésia é o CTRS. Este
sistema de referência é o mais utilizado pelos sistemas espaciais de posicionamento
(COSTA, 1999, p. 11).
Um CTRS é definido como (COSTA, 1999, p. 11; NIMA, 2000, p. 2-1):
É geocêntrico, com o centro de massa sendo definido para toda a Terra, incluindo
oceanos e atmosfera;
Sua escala é aquela definida pelo arcabouço “frame” terrestre local, dentro do
conceito da teoria relativística da gravitação;
Sua orientação foi inicialmente dada pelo Bureau International de I´Heure (BIH)
para a época 1984,0;
A evolução temporal de sua orientação não deve permitir rotação global residual
com relação à crosta terrestre.
A figura 3.4 mostra o CTRS.
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42
FIGURA 3.4 – REPRESENTAÇÃO DO CTRS
Z
Y
X
Centro de Massa da Terra
Plano Equatorial Médio
Eixo de Rotação Médio da Terra
Plano Meridiano Médio de Greenwich
G
CIO
Na figura 3.4, a origem e os eixos são definidos como (NIMA, 2000, p.
2-2):
Origem no centro de massa da Terra (G), definido fisicamente;
Eixo Z é o eixo de rotação médio da Terra, que coincide com o Conventional
International Origin (CIO) e é positivo no sentido norte; o eixo de rotação médio é
determinado pelas estações de observação do International Earth Rotation Service
(IERS) desde 1988 em que o pólo norte fica designado como Conventional
Terrestrial Pole (CTP);
O plano XZ é escolhido de tal forma que seja paralelo ao plano meridiano médio
de Greenwich;
O plano XY corresponde ao plano equatorial médio;
Os eixos X, Y e Z são ortogonais entre si e formam um sistema destrógiro.
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43
3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS
A superfície utilizada para representar as coordenadas geodésicas é
aquela que mais se aproxima do Geóide, ou seja, o elipsóide revolução,
geometricamente representado pelos seus parâmetros: semi-eixo maior (a) e
achatamento (f). As coordenadas referidas ao elipsóide de revolução são: latitude
geodésica ( ), longitude geodésica ( ) e altitude elipsoidal ou geométrica (h). Estas
coordenadas podem ser vistas na figura 3.5.
FIGURA 3.5 – COORDENADAS GEODÉSICAS
Na figura 3.5 a linha reta PI é normal ao elipsóide de revolução,
conduzida a partir do ponto P. Deste modo, as coordenadas geodésicas mostradas nesta
figura, são definidas como:
Latitude geodésica ( ) de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela
normal do ponto P com sua projeção equatorial. Também é considerada como
sendo a latitude elipsóidica de P´, projeção normal (ou projeção de HELMERT)
de P sobre o elipsóide (GEMAEL, 1987). A latitude geodésica varia de 0º a
90º, sendo positiva no pólo norte, onde é representado por =+90º ou =90ºN.
No pólo sul ela é negativa, onde é representada por =-90º ou =90ºS.
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44
Longitude geodésica ( ): de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela
elipse meridiana que contém Greenwich e a elipse meridiana que contém o
ponto P, medido sobre o equador. Também definido como o ângulo diedro
formado pelos meridianos geodésicos de Greenwich, o qual é a origem ( =0º),
e o meridiano do ponto P. Cresce no sentido leste, variando de 0º 360º, ou
positivamente no sentido leste variando de 0º a 180ºE, e negativamente no
sentido oeste variando de 0º a 180ºW.
Altitude elipsoidal ou geométrica (h) é a distância do ponto P, na superfície
física da Terra, até o elipsóide (P´), contada ao longo da normal.
Deste modo, um ponto P da superfície física da Terra tem a sua posição
definida sem ambigüidade pela tríade geodésica ( , , h). A figura 3.6 mostra as
coordenadas geodésicas de um ponto genérico Pi, juntamente com suas coordenadas
cartesianas tridimensionais.
FIGURA 3.6 – COORDENADAS CARTESIANAS E GEODÉSICAS
Z
Y
X
O
iY
iX
iZ
i
i
ih
iP
iP´
I
G
Pn
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45
3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL
Ao lado do CTRS é de significação o SGL ou sistema de coordenadas
cartesianas elipsóidicas topocêntricas, porque as medidas geodésicas terrestres, como a
distância entre dois pontos, o ângulo zenital elipsóidico e o azimute geodésico,
ilustrados pela figura 3.7, a ele estão ligados pela direção da normal do ponto P0.
FIGURA 3.7– REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA GEODÉSICO LOCAL
Z
Y
X
O
h
Z*
Y*
X*
01Ag
01
01d
oP
1P
Na figura 3.7 , e h representam, respectivamente, a latitude
geodésica, a longitude geodésica e a altitude elipsoidal do ponto P0.
São propriedades do SGL (COSTA, 1999, p. 15; MORAES, 2001,
p.152):
Sistema cartesiano levógiro com origem no topocentro (P0);
Não está associado com as características físicas da Terra; adota-se o elipsóide de
revolução, para a representação das coordenadas geodésicas;
G
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46
Eixo Z* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido para o zênite
elipsóidico;
Eixo X* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido positivo para o
norte geodésico;
Eixo Y* coincide com a direção leste-oeste elipsóidica e tem sentido positivo para
o leste;
O plano X*Y* forma o horizonte elipsóidico topocêntrico que é perpendicular à
normal do ponto P0;
O azimute geodésico Ag da posição P1 em relação a posição de P0 é definido como
o ângulo entre o plano meridiano elipsóidico de P0 e o plano formado pelo eixo Z*
e o ponto P1;
O ângulo zenital elipsóidico é o ângulo entre a normal elipsóidica no ponto P0 e
o segmento de reta que liga o ponto P0 ao ponto P1; situa-se no intervalo
0 .
3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES
Como observou-se anteriormente, a forma da Terra não é plana, e a
depender da finalidade ou da ciência ela pode ser representada por uma esfera,
elipsóide ou mesmo por sua forma real que é o Geóide. No entanto, quando se retrata
de representação da superfície, esta é feita em mapas, que são planos. A partir de então
as dificuldades começam a surgir, pois nem a esfera e nem o elipsóide são superfícies
desenvolvíveis, ou seja, não se pode planifica-las sem que haja deformações. Deste
modo, quando se deseja representar a superfície terrestre em forma de cartas ou mapas,
deve-se fazer uso dos sistemas de projeção, os quais permitem – de forma aproximada
– a transformação da superfície terrestre.
A maioria das projeções cartográficas são referidas a um plano, cone ou
cilindro, conforme ilustra a figura 3.8.
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47
FIGURA 3.8 – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS
A partir da utilização dos sistemas de projeção são obtidas as
coordenadas planas da superfície terrestre. Para que isto ocorra é necessário o
estabelecimento de uma relação pontual e unívoca entre a superfície de referência,
esfera ou elipsóide, e a superfície do desenho, a qual é plana. De forma geral, o que se
trata nesta relação é a estimação das coordenadas planas (N, E) a partir das
coordenadas ( , ) de um ponto qualquer situado na superfície de referência, que pode
ser a esfera ou o elipsóide. A terceira coordenada se refere a elevação do ponto, que
geralmente é a altitude ortométrica (H).
A projeção utilizada para representação cartográfica no Brasil é a
projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), originada a partir da projeção
conforme de Gauss. Esta projeção consiste num cilindro transverso ao eixo de rotação
da Terra. A tangência do cilindro com a esfera se dá ao longo do meridiano central do
fuso (figura 3.9).
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48
FIGURA 3.9 – PROJEÇÃO CONFORME DE GAUSS
Como visto pela figura 3.9, tem-se nesta projeção um conjunto de
quadrículas, denominado de canevas, onde as retas verticais representam os
meridianos e as retas horizontais representam tanto o equador como os paralelos. Esta
projeção pode ser utilizada tanto para a Terra esférica como para elipsóidica. No caso
da Terra esférica, os paralelos e meridianos são circunferências, e no caso da Terra
elipsóidica, os paralelos são circunferências e os meridianos são elipses. Umas das
grandes vantagens desta projeção e a representação de grandes áreas da superfície
terrestre sobre um plano com poucas deformações.
3.5.1 Projeção UTM
A projeção UTM, originada a partir da projeção conforme de Gauss, é
um sistema de coordenadas retangulares útil às atividades de mensuração, pois permite
a representação de extensas áreas da superfície terrestre, efetuando significativo
controle de distorções provenientes dos efeitos da curvatura terrestre. Além disto, a
projeção UTM é amplamente utilizada para fins de mapeamento, pesquisa científica,
planejamento e execução de obras de engenharia, dentre outras. Esta projeção pode ser
vista na figura 3.10.
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49
FIGURA 3.10 – PROJEÇÃO UTM
Observa-se pela figura 3.10 que a Projeção UTM é uma projeção
cilíndrica conforme, pois possui um cilindro secante à superfície de referência,
orientado de forma quer o eixo do cilindro esteja no plano do equador. O cilindro
secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da superfície de referência,
criando assim, duas linhas de intersecção entre o cilindro e a superfície de referência.
A área de projeção compreende apenas uma parcela da superfície de referência. Essa
área é denominada de Fuso ou Zona. Cada fuso é representado pelo número do Fuso
ou pela longitude do seu meridiano central. A figura 3.11 ilustra a área de projeção.
FIGURA 3.11 – ÁREA DE PROJEÇÃO
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50
No meridiano central o fator de redução de escala é: Ko= 0,9996. Nas
linhas de secância a deformação é nula, ou seja: K= 1,0000. Entre as linhas de secância
a escala é menor que a verdadeira, tem-se então: K<1, e na área exterior às linhas de
secância a escala é maior que a verdadeira: K>1. Estas diferenças de escalas existem
devido ao aumento do espaçamento entre os meridianos à medida que eles se afastam
do meridiano central. No entanto, para manter a proporcionalidade da projeção
conforme, a escala na direção norte-sul também é distorcida, fazendo com que haja
uma escala diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do meridiano.
As demais especificações da projeção UTM são:
a) Projeção conforme de Gauss: cilíndrica, transversa e secante em dois pontos
(figura 3.10);
b) Amplitude dos fusos de 6º;
c) Longitude de origem: a longitude do meridiano central do fuso;
d) Latitude de origem: Equador com 0º;
e) Falso Norte (translação norte): 10.000.000 m para o hemisfério sul;
f) Falso Este (translação este): 500.000 m;
g) Paralelos e meridianos interceptam-se em ângulos retos na projeção
h) As zonas são numeradas de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, no
sentido crescente para leste (figura 3.12);
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51
FIGURA 3.12 – O MUNDO DIVIDIDO EM FUSOS DE 6º
i) Limites de abrangência do sistema entre as latitudes: 84º N e 80º S;
j) Os meridianos são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano
central e os paralelos são representados pro linhas côncavas em relação ao pólo
mais próximo, exceto a linha do equador e a linha de meridiano central de cada
fuso que são representadas por linhas retas na projeção, como pode ser
observado pela figura 3.13.
FIGURA 3.13- REPRESENTAÇÃO DOS PARALELOS E MERIDIANOS NA
PROJEÇÃO UTM
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52
Na projeção UTM as coordenadas relativas aos eixos das ordenadas e das
abscissas são representados pelas letras N e E, respectivamente. No eixo N, as
ordenadas são positivas ao norte e negativas ao sul; enquanto que no eixo E, são
positivas a leste, e negativas a oeste. É por isso, que no hemisfério sul se acrescenta as
constantes 10.000.000m no eixo das ordenadas e 500.000m no eixo das abscissas, a
fim de se evitar valores negativos. A figura 3.14 mostra o esquema do sistema de
coordenadas retangulares da projeção UTM.
FIGURA 3.14 – SISTEMA DE COORDENADAS UTM: HEMISFÉRIO SUL
3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS
O Sistema Topográfico Local (STL) é utilizado na estruturação da Rede
de Referência Cadastral Municipal (cujo procedimento é descrito na NBR 14166)
sendo sua implantação e manutenção atribuição e responsabilidade da administração
municipal através de um órgão gestor. Em Topografia utiliza-se o Sistema de
Coordenadas Topográfico Local, definido pela NBR 14166 – Rede de Referência
Cadastral Municipal, por: “Sistema de representação, em planta, das posições relativas
de pontos de um levantamento topográfico com origem em um ponto de coordenadas
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53
geodésicas conhecidas, onde todos os ângulos e distâncias de sua determinação são
representados em verdadeira grandeza sobre o plano tangente à superfície de
referência (elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado, na origem do
sistema, no pressuposto de que haja, na área de abrangência do sistema, a coincidência
da superfície de referência, com a do plano tangente, sem que os erros decorrentes da
abstração da curvatura terrestre ultrapassem os erros inerentes às operações
topográficas de determinação dos pontos do levantamento.” A figura 3.15 ilustra o
Sistema Topográfico Local.
FIGURA 3.15 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL
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54
Deste modo, o sistema de coordenadas plano-retangulares possui as
seguintes características:
Sua origem coincide com o Sistema Topográfico Local (STL), sendo esta
um ponto de coordenadas geodésicas conhecidas;
Os eixos X e Y estão no plano do horizonte local, tangente ao elipsóide de
referência;
O eixo Y coincide com a meridiana (linha norte-sul) geográfica, sendo
orientado positivamente para o norte geográfico; e
O eixo X coincide com a linha leste-oeste orientado positivamente para
leste.
Os pontos medidos no terreno são definidos por coordenadas cartesianas
plano-retangulares ( xi ,yi ). A origem do Sistema Topográfico Local deve estar
posicionada de modo que nenhuma coordenada plano-retangular, isenta do seu termo
constante, tenha valor superior a 50 km, conforme visto na figura 3.16.
FIGURA 3.16 – DISTÂNCIA MÁXIMA DO STL À ORIGEM
Com o objetivo de se evitar valores negativos para estas coordenadas,
são adicionadas as constantes 150.000 m a Xi e 250.000 m a Yi, com isso todas as
abscissas iniciarão com o algarismo 1 e as ordenadas com o algarismo 2.
O fator de elevação (c) eleva O plano do horizonte local à altitude
ortométrica média, da área de abrangência do sistema, aplicando-se às coordenadas
plano-retangulares de todos os pontos levantados geodésica e topograficamente
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55
representados no STL, o fator de elevação (c) , que eleva este plano ao nível médio do
terreno da área de abrangência do sistema caracterizando o Sistema Topográfico
Local.
O fator de elevação (c) poder ser calculado pela seguinte equação:
m
tm
R
hRc , (01)
onde:
c: o fator de elevação;
ht: a altitude média do terreno em metros;
Rm: o raio médio terrestre é expresso por:
N.MRm , (02)
em que:
M é o raio de curvatura da seção meridiana, definido como:
2/322
2
)sene1(
)e1(aM , (03)
e N é o raio de curvatura da seção 1º vertical, dado por:
2/122 )sene1(
aN . (04)
A área de abrangência do sistema deve ser reduzida para desníveis
superiores a 150 m. As coordenadas plano-retangulares (X, Y) dos marcos geodésicos
de apoio imediato no STL são obtidas a partir de suas coordenadas geodésicas (.1, ë1)
e das coordenadas da origem do sistema (.0 ,ë0 ), através da solução do problema
inverso do transporte de coordenadas geodésicas onde calcula-se a distância e o
azimute entre eles ( d01 , A01). Neste sistema as distâncias calculadas não precisam
ser ajustadas pelo fator de escala (do sistema UTM), a elas devem ser aplicadas as
correções devidas aos erros instrumentais, variações atmosféricas e redução das
distâncias inclinadas. As correções angulares não são utilizadas, facilitando o uso das
coordenadas (SILVA et al., 2003).
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56
3.7 SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Os sistemas de referência são utilizados para descrever as posições de
objetos, atividade esta que também é um dos objetivos da Geodésia. Quando é
necessário identificar a posição de uma determinada informação na superfície da Terra
são utilizados os Sistemas de Referência Terrestres ou Geodésicos, os quais por sua
vez, devem ter sua definição e realização de forma apropriada, precisa e consistente
(BOCK, 1996; IBGE, 2006). Estes associados a uma superfície que mais se aproxima
da forma da Terra, e sobre a qual são desenvolvidos todos os cálculos das suas
coordenadas. As coordenadas podem ser apresentadas em diversas formas: em uma
superfície esférica recebem a denominação de coordenadas geodésicas e em uma
superfície plana recebem a denominação da projeção às quais estão associadas, como,
por exemplo, as coordenadas planas UTM.
Define-se por Sistema Geodésico Brasileiro – SGB – o conjunto de
pontos geodésicos implantados na porção da superfície terrestre delimitada pelas
fronteiras do país. Em outras palavras é o sistema ao qual estão referidas todas as
informações espaciais no Brasil. A definição, implantação, e manutenção do Sistema
Geodésico Brasileiro (SGB) é de responsabilidade do IBGE, assim como o
estabelecimento das especificações e normas gerais para levantamentos geodésicos,
segundo o disposto no Cap. VIII do Decreto–Lei n.° 243, de 28 de fevereiro de 1967.
3.7.1 Sistemas de Referência Clássicos
Historicamente, antes das técnicas espaciais de posicionamento, os
referenciais geodésicos, conhecidos pela denominação de “datum astro-geodésico
horizontal” – DGH, eram obtidos através das seguintes etapas:
1. Escolha de um sólido geométrico (elipsóide de revolução), cujos parâmetros
definidores são o achatamento (f) e semi-eixo maior (a). Este sólido por sua
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57
vez, representava de uma maneira aproximada as dimensões da Terra, no qual
serão desenvolvidos os cálculos geodésicos.
2. Definição do posicionamento e orientação do referencial, feita através de 6
parâmetros topocêntricos: as coordenadas do ponto origem (2), a orientação (1-
azimute inicial), a separação geóide-elipsóide (ondulação geoidal) e as
componentes do desvio da vertical [meridiana e primeiro vertical] (VANICEK
e KRAKIWSKY, 1986). Estas informações têm por objetivo, assegurar uma
boa adaptação entre a superfície do elipsóide ao geóide na região onde o
referencial será desenvolvido. Sendo assim, o centro do elipsóide não está
localizada no geocêntrico (centro da Terra).
3. A realização (ou materialização) do referencial é feita através do cálculo de
coordenadas dos pontos a partir de observações geodésicas de distâncias,
ângulos e azimutes, ou seja, observações de origem terrestre. Os itens 1 e 2
abordam os aspectos definidores do sistema, enquanto o item 3 aborda o
aspecto prático na sua obtenção. Deste modo, as coordenadas geodésicas estão
sempre associadas a um determinado referencial, mas não o definem. O
conjunto de pontos ou estações terrestres formam as chamadas redes
geodésicas, as quais vêm a representar a superfície física da Terra na forma
pontual [CASTAÑEDA, 1986]. O posicionamento 3D de um ponto
estabelecido por métodos e procedimentos da Geodésia Clássica (triangulação,
poligonação e trilateração) é incompleta, na medida em que as redes verticais e
horizontais caminham separadamente. No caso de redes horizontais, algumas de
suas estações não possuem altitudes, ou as altitudes são determinadas por
procedimentos menos precisos. Um exemplo de DGH em uso no Brasil é o
SAD69. O procedimento clássico de definição da situação espacial de um
elipsóide de referência corresponde à antiga técnica de posicionamento
astronômico, na qual arbitra-se que a normal ao elipsóide e a vertical no ponto
origem são coincidentes, bem como as superfícies geóide e elipsóide, induzindo
assim, a coincidência das coordenadas geodésicas e astronômicas. O mesmo
pode ser dito para os azimutes geodésico e astronômico ( 0 e A0). Nestas
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58
condições caracteriza-se a situação espacial do datum da seguinte forma: φ0 =
Φ0 ; λ0 = Λ0 ; h0 = H0
3.7.2 Sistemas de Referência Modernos
Os Sistemas de Referência Terrestres, concebidos na era da Geodésia
Espacial, possuem características diferentes dos referenciais (ex: DGH) relatados
anteriormente, mas a sua essência é a mesma no sentido de possuir uma parte
definidora, e atrelada a ela, uma materialização. As etapas necessárias na obtenção
destes sistemas terrestres são:
(1) Adoção de uma plataforma de referência que venha a representar a
forma e dimensões da Terra em caráter global. Estas plataformas de
referência, os chamados Sistemas Geodésicos de Referência – SGR,
conforme abordado anteriormente, estão fundamentados em um CTS
(espaço abstrato), sendo portanto geocêntricos. Eles são derivados de
extensas observações do campo gravitacional terrestre a partir de
observações a satélites, fornecendo assim, o fundamento preciso para
a organização de toda informação pertinente à Terra [NIMA,1997].
Eles são definidos por modelos, parâmetros e constantes (ex: um
sistema de coordenadas cartesianas geocêntrico – CTS e constantes
do GRS80) [DGFI, 1998a]. De tempos em tempos é adotado um
novo SGR pela International Union of Geodesy and Geophysics -
IUGG, sendo este baseado nas últimas informações coletadas sobre o
campo gravitacional terrestre. Atualmente o SGR adotado pela
IUGG é o GRS80 [TORGE, 1996]. Além das constantes geométricas
definidoras, os SGR modernos passam a ser definidos também por
constantes físicas. Considerando a Terra um corpo com rotação e
massa, a melhor aproximação física é definida através de quatro
parâmetros, sendo eles: raio equatorial (o equivalente ao semi-eixo
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59
maior do elipsóide de referência), constante gravitacional
geocêntrica GM (com ou sem atmosfera), o harmônico zonal de
segunda ordem do potencial gravitacional da Terra (J2), ou o
achatamento terrestre (f) e a velocidade de rotação da Terra (ω).
Estas constantes estão implicitamente relacionadas às órbitas dos
satélites, que por sua vez são usadas para definir as coordenadas de
pontos na superfície da Terra.
(2) A materialização de um sistema de referência terrestre
geocêntrico é dada da mesma forma que um DGH, ou seja, através
das redes geodésicas. Entretanto, os métodos e procedimentos
utilizados no estabelecimento de coordenadas são as técnicas
espaciais de posicionamento, como por exemplo o VLBI (Very Long
Baseline Interferometry), SLR (Satelite Laser Range) e o GPS. Estas
técnicas possuem duas vantagens perante as outras terrestres. A
primeira consiste no posicionamento 3D de uma estação geodésica, e
a segunda é a alta precisão fornecida às coordenadas, surgindo como
conseqüência uma quarta componente, associada à época de
obtenção das coordenadas. Sendo assim, as coordenadas das estações
que compõem a materialização de um sistema de referência terrestre
geocêntrico, possuem quatro componentes, três de definição espacial
e uma de definição temporal, eventualmente, as velocidades vem a
descrever as variações dos valores das coordenadas com o tempo.
Um exemplo prático de sistema de referência terrestre geocêntrico é
o IERS Terrrestrial Reference System (ITRS), o qual é realizado
anualmente através do IERS Terrestrial Reference Frame (ITRF),
uma rede de estações fiduciais implantadas por todo mundo, nas
quais estão instalados sistemas de medidas SLR, LLR, VLBI e GPS.
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
60
3.7.3 Materialização de um Sistema de Referência
O processo de estimativa das coordenadas dos pontos físicos com
respeito a definição de um determinado referencial é acompanhado pelo cálculo de
uma rede que relaciona os pontos levantados. O resultado, estabelecido através de um
ajustamento de observações, é um conjunto de valores de coordenadas para as estações
que constituem a materialização do SGR.
Usualmente, é comum adotar uma única denominação para definição e
materialização do sistema, como é o caso do SAD69 ou SIRGAS 2000. Deste modo,
vários ajustamentos de redes geodésicas podem ser realizadas em um mesmo
referencial definido com diferentes injunções, ou os mesmos dados podem ser
ajustados com respeito a várias definições.
3.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA GEODÉSICOS ADOTADOS NO BRASIL
3.8.1 Córrego Alegre
A Rede Planimétrica do SGB foi submetida a vários ajustes, em função
das necessidades que eram envolvidas, principalmente no que diz respeito à definição
de Sistemas Geodésicos. Anterior a era dos computadores, estes ajustes eram feitos
com calculadoras mecânicas ou até mesmo fazendo uso da tábua de logaritmos. Um
dos ajustamentos de importância realizados nesta época foi o que definiu o Sistema
Geodésico de Referência Córrego Alegre. Neste ajuste foi adotado o método das
equações de condições (método dos correlatos). A escolha do vértice Córrego Alegre
para ponto datum, bem como, do elipsóide internacional de Hayford para superfície
matemática de referência, foram baseadas em determinações astronômicas realizadas
na implantação da cadeia de triangulação em Santa Catarina. Verificou-se, na ocasião,
que os desvios da vertical na região tinham uma tendência para o leste, ou seja,
constatando uma maior concentração de massas a oeste e deficiência das mesmas a
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61
leste, concluindo que o ponto datum a ser escolhido ficaria melhor situado na região
do planalto. O posicionamento e orientação no ponto datum, vértice Córrego Alegre,
foram efetuados astronomicamente.
Foram adotados os seguintes parâmetros na definição deste Sistema:
Superfície de referência : Elipsóide Internacional de Hayford 1924. semi-eixo
maior : 6378388 metros. achatamento : 1/297
Ponto Datum : Vértice Córrego Alegre. Coordenadas:
o = - 19° 50′ 14″.91;
o λ = -48° 57′ 41″.98; e
o h = 683.81 metros.
Orientação elipsóide-geóide no ponto datum : ξ=η=0 (componentes do desvio
da vertical); N=0 metros (ondulação geoidal).
Com a finalidade de conhecer melhor o geóide na região do ponto datum,
foram determinadas 2113 estações gravimétricas em uma área circular em torno do
ponto datum. Estas observações tinham por objetivo o melhor conhecimento do geóide
na região e estudos na adoção de um novo ponto datum, considerando-se arbitrária a
escolha anteriormente feita (forçada a condição de tangência entre elipsóide e geóide).
Como resultado destas pesquisas, foi escolhido um novo ponto datum, o vértice Chuá,
localizado na mesma cadeia do anterior e através de um novo ajustamento foi definido
um novo sistema de referência, denominado Astro Datum Chuá.
3.8.2 Astro Datum Chuá
O sistema Astro Datum Chuá, com ponto origem no vértice Chuá e
elipsóide de referência Hayford, foi um sistema estabelecido segundo a técnica de
posicionamento astronômico com o propósito de ser um ensaio ou referência para a
definição do SAD69. Ele desenvolveria o papel de um sistema razoável a ser utilizado
unicamente na uniformização dos dados disponíveis na época (o IBGE tinha recém
concluído um ajustamento da rede planimétrica referido a este sistema). Isso não
representaria ainda o sistema “ótimo” para a América do Sul, faltando ainda a boa
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62
adaptação geóide-elipsóide para que as observações geodésicas terrestres pudessem ser
reduzidas à superfície do elipsóide. Sendo assim, na condição de um sistema
provisório, as componentes do desvio da vertical foram ignoradas, ou seja, foi
assumida a coincidência entre geóide e elipsóide, no ajustamento das coordenadas em
Astro Datum Chuá.
3.8.3 SAD69
O SAD69 é um sistema geodésico regional de concepção clássica. A sua
utilização pelos países Sul-americanos foi recomendada em 1969 através da aprovação
do relatório final do Grupo de Trabalho sobre o Datum Sul-americano, pelo Comitê de
Geodésia reunido na XI Reunião Panamericana de Consulta sobre Cartografia,
recomendação não seguida pela totalidade dos países do continente. Apenas em 1979
ele foi oficialmente adotado como sistema de referência para trabalhos geodésicos e
cartográficos desenvolvidos em território brasileiro.
O Projeto do Datum Sul Americano foi dividido em duas partes:
(1) Estabelecimento de um sistema geodésico tal que o respectivo elipsóide
apresentasse “boa adaptação” regional ao geóide
(2) Ajustamento de uma rede planimétrica de âmbito continental referenciada ao sistema
definido.
A triangulação foi a metodologia observacional predominante no estabelecimento
das novas redes. Uma rede de trilateração HIRAN fez a ligação entre as redes geodésicas da
Venezuela e Brasil. Outra melhoria a ser implementada diz respeito à forma do elipsóide de
referência. Na época, a UGGI recomendou a utilização do GRS67, conduzindo, assim, à
adoção desta figura no projeto SAD69, ao invés do Hayford. Escolhido o elipsóide de
referência, era necessário fixar os parâmetros para o seu posicionamento espacial. No
caso do SAD69 este posicionamento deu-se em termos de parâmetros topocêntricos no
ponto origem Chuá: as componentes do desvio da vertical (ξ,η) e a ondulação geoidal
(N), cujos valores foram determinados de forma a otimizar a adaptação elipsóide-
geóide no continente. A definição do sistema foi complementada através do
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
63
fornecimento das coordenadas geodésicas do ponto origem e do azimute geodésico da
direção inicial Chuá-Uberaba. Em conseqüência das limitações impostas pelos meios
computacionais da época, a rede brasileira foi dividida em 10 áreas de ajuste, que
foram processadas em blocos separados. Os seguintes parâmetros foram adotados na
definição deste Sistema:
Superfície de referência : Elipsóide Internacional de 1967 (UGGI67):
i. semi-eixo maior : 6378160 metros.
ii. achatamento : 1/298.25
Ponto datum : Vértice Chuá, Coordenadas geodésicas:
i. latitude 19° 45′ 41″.6527 S;
ii. longitude 48° 06′ 04″.0639 W;
iii. Azimute (Chuá – Uberaba) 271° 30′ 04″.05;
iv. . Altitude ortométrica : 763.28;
Orientação elipsóide-geóide no ponto datum : ξ=0.31 η=-3.52 N=0 m
3.8.4 WGS84
O advento dos satélites artificiais, há mais de 35 anos, possibilitou o
desenvolvimento prático dos sistemas de referência geocêntricos, como por exemplo o
WGS84 e o ITRFyy em suas mais diversas realizações e densificações. O WGS84 é a
quarta versão de sistema de referência geodésico global estabelecido pelo U.S.
Department of Defense (DoD) desde 1960 com o objetivo de fornecer o
posicionamento e navegação em qualquer parte do mundo, através de informações
espaciais [MALYS & SLATER, 1994]. Ele é o sistema de referência das efemérides
operacionais do sistema GPS.
Na época de sua criação o sistema fornecia precisão métrica em função
da limitação fornecida pela técnica observacional utilizada, o Doppler. Por esta razão,
uma série de refinamentos foram feitos ao WGS84 nos últimos anos com o objetivo de
melhorar a precisão de sua versão original [NIMA, 1997]. A rede terrestre de
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
64
referência do WGS84 foi originalmente estabelecida em 1987, contando somente com
coordenadas de estações obtidas através de observações Doppler (posicionamento
isolado) e efemérides precisas.
O primeiro refinamento foi obtido através de uma nova materialização do
sistema, desta vez com 32 estações (10 estações DoD correspondentes à rede de
referência WGS84 original (GPS) e mais 22 estações pertencentes a rede IGS)
[SWIFT,1994]. Esta solução recebeu a denominação de WGS84 (G730) (época de
referência 1994,0) e foi utilizada nas órbitas operacionais dos satélites GPS de 29
junho de 1994 à 29 de janeiro de 1997. A letra G significa que neste refinamento foi
utilizada a técnica GPS e „730‟ se refere a semana GPS desta solução. O segundo
refinamento foi um trabalho que envolveu três instituições: NIMA, NASA Goddard
Space Flight Center (GSFC) e Ohio State University. O resultado foi o
desenvolvimento de um novo modelo global do campo gravitacional terrestre, o
EGM96. Uma nova materialização da rede terrestre de referência WGS84, recebeu a
denominação WGS84 (G873), referida a semana GPS 873 (época de referência
1997,0). Esta versão foi implementada no segmento de controle operacional em 29 de
janeiro de 1997, sendo utilizada até o presente momento.
Na TABELA 3.1 pode ser visto em linhas gerais as diferenças entre as
versões do WGS84.
TABELA 3.1 – DIFERENÇAS ENTRE AS VERSÕES DO WGS84
Os parâmetros do WGS84 são:
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65
O Modelo Gravitacional da Terra - Earth Gravitational Model – do
WGS84 (EGM96) pode ser visto na figura 3.17.
FIGURA 3.17 - MODELO GRAVITACIONAL DA TERRA – EGM96
3.8.5 SIRGAS2000
A PR nº 1/2005 estabeleceu como novo sistema de referência geodésico
para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN) o Sistema de Referência
Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano de 2000
(SIRGAS2000). Para o SGB, o SIRGAS2000 poderá ser utilizado em concomitância
com o sistema SAD 69. Para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN), o SIRGAS2000
também poderá ser utilizado em concomitância com os sistemas SAD 69 e Córrego
Alegre, conforme os parâmetros definidos na PR nº 1/2005. A coexistência entre estes
sistemas tem por finalidade oferecer à sociedade um período de transição antes da
adoção do SIRGAS2000 em caráter exclusivo. Neste período de transição, não
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66
superior a dez anos, os usuários deverão adequar e ajustar suas bases de dados,
métodos e procedimentos ao novo sistema, ou seja. Ao SIRGAS2000.
3.8.5.1 Caracterização do SIRGAS2000
Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre
Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System);
Origem: Centro de massa da Terra;
Orientação:
o Pólos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com
as direções definidas pelo BIH (Bureau International de
l´Heure), em 1984,0.
Figura geométrica para a Terra:
o Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980
(Geodetic Reference System 1980 – GRS80);
o Semi-eixo maior a = 6.378.137 m;
o Achatamento f = 1/298,257222101.
Estações de Referência:
o As 21 estações da rede continental SIRGAS2000, estabelecidas no
Brasil constituem a estrutura de referência a partir da qual o
sistema SIRGAS2000 é materializado em território nacional.
Está incluída nestas tabelas a estação SMAR, pertencente à
Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo do Sistema GPS
(RBMC), cujas coordenadas foram determinadas pelo IBGE
posteriormente à campanha GPS SIRGAS2000.
Época de Referência das coordenadas: 2000,4
Materialização:
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67
o Estabelecida por intermédio de todas as estações que
compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir
das estações de referência.
As figuras 3.18 e 3.19 mostram, respectivamente, as 184 estações
ocupadas durante a campanha GPS SIRGAS 2000, e as estações SIRGAS 2000 e IGS
(International GPS Service).
FIGURA 3.18 – ESTAÇÕES GPS SIRGAS 2000
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68
FIGURA 3.19 – ESTAÇÕES GPS SIRGAS 2000 E IGS
3.8.5.2 Parâmetros de Transformação entre os Sistemas de Referência
Na transformação de coordenadas entre Sistemas de Referências distintos
deve-se utilizar os parâmetros de transformação oficiais homologados pelo IBGE, o
quais são:
SAD69 para Córrego Alegre
a1= 6.378.160m
f1= 1/298,25
a2= 6.378.388m
f2= 1/297
X=+138,70m
Y=-164,40m
Z=-34,40m
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69
Córrego Alegre para SAD69
a1= 6.378.388m
f1= 1/297
a2= 6.378.160m
f2= 1/298,25
X=-138,70m
Y=+164,40m
Z=+34,40m
WGS84 para SAD69
a1= 6.378.137m
f1= 1/298,257223563
a2= 6.378.160m
f2= 1/298,25
X=+66,87m
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70
Y=-4,37m
Z=+38,52m
Onde:
3.8.6 Rede Altimétrica Brasileira
A Rede Altimétrica Brasileira é composta de um conjunto de estações
materializadas no terreno, denominadas de Referências de Nível (RN) e identificados
por uma coordenada, que é a altitude determinada a partir de um ponto origem ou
datum vertical, que está localizado no município de Imbituba Santa Catariana.
A altitude utilizada no Brasil é altitude Ortométrica, como já definida na
seção 3.1.1. A figura 3.19 mostra a Rede de Referência de Nível Nacional (RRNN), o
qual é de responsabilidade do IBGE.
FIGURA 3.19 – REDE DE REFERÊNCIA DE NÍVEL NACIONAL
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71
4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
O estudo do elipsóide de revolução é de suma importância na Geodésia,
pois o mesmo foi eleito como modelo geométrico para os cálculos geodésicos.
Vamos iniciar com o elipsóide triaxial ou escaleno, conforme figura 4.1.
FIGURA 4.1 – ELIPSÓIDE TRIAXIAL OU ESCALENO
Z
X
Y
a
b
c 0
O elipsóide triaxial ou escaleno possui os três eixos (a, b e c) desiguais,
satisfazendo a seguinte condição:
b < c < a . (4.1)
A equação do elipsóide triaxial é:
1C
Z
b
Y
a
X2
2
2
2
2
2
. (4.2)
Na equação 4.2 fazendo a = c tem-se o elipsóide amplamente utilizado na
Geodésia, que é o elipsóide biaxial ou de revolução.
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72
4.1 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
O elipsóide de revolução ou biaxial é a forma geométrica gerada pela
rotação de uma semi-elipse, também conhecida como elipse meridiana, em torno de
um de seus eixos (eixo de revolução). Se este for o eixo menor tem-se um elipsóide
achatado, no caso contrário o elipsóide será alongado, o qual é de interesse para a
Geodésia. Deste modo, seja a elipse meridiana de semi-eixos a e b da figura 4.2.
FIGURA 4.2 – ELIPSE MERIDIANA
semi-eixo maior (a)sem
i-ei x
o m
enor
(b)
A rotação desta elipse em torno de seu semi-eixo menor (b) gera o
sólido, denominado de Elipsóide de Revolução.
A elipse meridiana é definida pela seguinte equação:
1b
Z
a
X2
2
2
2
. (4.3)
Após a rotação da elipse em torno de seu semi-eixo menor (b) tem-se o
elipsóide definido por:
1b
Z
a
YX2
2
2
22
, (4.4)
ilustrado na figura 4.3.
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73
FIGURA 4.3 – ELIPSÓIDE REVOLUÇÃO
Z
X
Y
a
b
0
no elipsóide triaxial os três eixos são distintos, conforme mostra a
equação (4.1) e (4.2), enquanto no elipsóide de revolução tem-se apenas dois eixos
distintos (equação (4.4)).
As seções produzidas por planos perpendiculares ao eixo de revolução
são circulares, os quais são os paralelos e o equador. As seções produzidas por planos
que contém aquele eixo (de revolução) são elípticas, os quais são os meridianos.
4.1.1 Parâmetros do Elipsóide de Revolução
Geralmente, um elipsóide de revolução é definido de forma adequada por
meio de dois parâmetros: os seus semi-eixos a e b. No entanto, em Geodésia é
tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior (a) e o achatamento (f), o
qual é definido por:
a
baf . (4.5)
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74
Outros parâmetros importantes são a primeira e a segunda
excentricidade, que são estudadas a partir da elipse, pelo fato de as elipses meridianas
do elipsóide de revolução serem iguais.
A excentricidade (e) traduz a divergência da elipse em relação à
circunferência, e é expressa por meio da razão entre a semi-distância focal (c) e o
semi-eixo maior da elipse. Deste modo, a semi-distância focal ( ) é expresso por:
ae , (4.6)
o qual pode variar de 0 a 1, sendo 0 para a circunferência. Deste modo, o elipsóide
utilizado em Geodésia um valor de excentricidade muito pequeno, ou seja, se
aproxima de 0.
Para os cálculos geodésicos, normalmente, é utilizado o quadrado da
excentricidade, denominado de 1a excentricidade, definida por:
2
2
2
222
a
b1
a
bae , (4.7)
e a 2a excentricidade pode ser calculada por:
2
222
b
bae . (4.8)
4.1.2 Grande Normal e Pequena Normal
Para a consecução de cálculos utilizando as coordenadas cartesianas
geocêntricas tridimensionais, é necessário o entendimento dos conceitos relativos à
Grande Norma (N) e Pequena Normal. Para isto, considere-se a figura 4.4.
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75
FIGURA 4.4 – GRANDE NORMAL E PEQUENA NORMAL
Z
X
Y
a
b
0
H
M
D
N
N‟
O segmento de reta MH é perpendicular ou normal ao elipsóide pelo
ponto M, como observado pela figura 4.4. Deste modo, a Grande Normal (N)
corresponde ao segmento MH, ou seja, MH=N, o qual é calculado pela seguinte
equação:
5,022 sene1
aN , (4.9)
onde:
a: semi-eixo maior do elipsóide;
e2: 1
a excentricidade; e
: latitude.
Pela equação (4.9) e pelo desenho 4.4, observa-se que se a latitude for
igual a 0º, que corresponde a um ponto no equador, o comprimento de N será igual ao
comprimento do semi-eixo maior do elipsóide.
A Pequena Normal (N‟) corresponde ao segmento de reta MD, ou seja,
MD=N‟, o qual é definido pela seguinte equação:
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76
5,022
2
sene1
e1a'N . (4.10)
Comparando-se as equações (4.10) e (4.9), o valor de N‟ é dado por:
)e1(N'N 2 . (4.11)
Observando-se as equações (4.9) e (4.10) verifica-se que os valores da
Grande Normal e da Pequena Normal estão diretamente relacionados com a latitude.
4.1.3 Curvatura de Seções Normais do Elipsóide de Revolução
Perpendicular à superfície do elipsóide é possível se traçar um conjunto
inumerável de planos. Estes planos, perpendiculares ao plano tangente da superfície do
elipsóide em um ponto qualquer, são denominados de planos normais. Deste modo, as
curvas formadas pela intersecção dos planos normais, por um ponto qualquer, com a
superfície do elipsóide são chamadas de seções normais. Para ilustrar considere a
figura 4.5.
FIGURA 4.5 – SEÇOES NORMAIS AO ELIPSÓIDE
Z
X
Y
0
H
M
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77
Na figura 4.5, MH é uma reta normal ao elipsóide. Passando um plano
pela reta MH obtêm-se o que se denomina de seção normal.
No entanto, se o plano for o plano ZX, esta seção será denominada de
seção meridiana do elipsóide, com raio de curvatura (M) mínimo. Se considerar uma
seção normal formada por um plano perpendicular à seção meridiana, este será
denominado de seção do primeiro vertical, com raio de curvatura (N) máximo,
conforme mostra a figura 4.6.
FIGURA 4.6 – SEÇÃO MERIDIANA E PRIMEIRO VERTICAL
Z
X
Y
a
b
M Seção Primeiro Vertical
Seção Merid
ia na
O raio de curvatura da seção meridiana pode ser calculado por:
2/322
2
sene1
e1aM . (4.12)
O raio de curvatura da seção primeiro vertical, coincide numericamente
com o valor da Grande Normal, e pode ser calculado por:
5,022 sene1
aN . (4.13)
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78
4.1.4 Raio Médio de Curvatura
O raio médio de curvatura (R0) é igual à média geométrica dos raios
principais (M e N), assim:
MNR 0 . (4.14)
Substituindo os valores de M e N, equações (4.12) e (4.13),
respectivamente, na equação (4.14), o valor de R0, é dado por:
220sene1
bR . (4.15)
4.1.5 Raio de um Paralelo
No elipsóide de revolução os paralelos são circunferências, cujo raio
decresce com o aumento da latitude, desde um valor máximo no equador (r = a) até se
anular nos pólos, como mostra a figura 4.7.
FIGURA 4.7 – RAIO DE UM PARALELO
Z
X
Y
0
rr
O raio de um paralelo é dado pela seguinte equação:
)( cos .Nr . (4.16)
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79
ou
22 sene1
cos.ar . (4.17)
4.1.6 Latitudes Geocêntrica e Reduzida
Denomina-se latitude geocêntrica ( ) de um ponto M do elipsóide o
ângulo que o raio vetor (OM) desse ponto forma com sua projeção sobre o plano do
equador, como pode ser observado na figura 4.8.
FIGURA 4.8 – LATITUDE GEOCÊNTRICA
Q‟ Q
X
Z
O
M
M‟E
A latitude geocêntrica pode ser calculada por:
)(tg )e1()(tg 2 . (4.18)
Para o entendimento da latitude reduzida considere a figura 4.9.
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80
FIGURA 4.9 – LATITUDE REDUZIDA
Q‟ Q
X
Z
O
M
M‟
P
P‟
Na figura 4.9 estão representados a elipse meridiana do ponto M e os
círculos principais dessa elipse, o circunscrito de raio r = a e o inscrito de raio r = b.
Prolongou-se a ordenada de M até M‟, ponto que ligado ao centro O do elipsóide. O
ângulo formado pela reta OM‟ e sua projeção no plano equatorial recebe o nome de
latitude reduzida, que é definido matematicamente por:
)(tg)f1()(tg)e1(tg 2/12 . (4.19)
4.1.7 Área do Quadrilátero Elipsóidico
Denomina-se quadrilátero elipsóidico a porção da superfície do elipsóide
compreendida entre dois paralelos e dois meridianos. Sejam 1 e 2 as latitudes dos
dois paralelos e a diferença de longitude entre os dois meridianos, conforme pode
ser observado na figura 4.10.
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81
FIGURA 4.10 – ÁREA DO QUADRILÁTERO ELIPSÓIDICO
Z
X
Y
0
Nestas condições a área do quadrilátero é calculado por:
....cos.5sen'.Ccos.3sen'.Bcos.sen'.Ab2T mmm
2 (4.20)
em que:
108642 e256
63e
128
35e
16
5e
8
3e
2
11'A ; (4.21)
10842 e256
45e
192
35e
16
3e
6
1'B ; (4.22)
10864 e512
45e
64
5e
16
1e
80
3'C ; (4.23)
2
12m ; e (4.24)
2
12 . (4.25)
1
2
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82
4.2 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAMENTE INVERSAS
Considere a figura 4.11.
FIGURA 4.11 – DOIS PONTOS SITUADOS EM PARALELOS E MERIDIANOS
DISTINTOS
Z
X
Y
0
EQUADOR
A
B
nb
na
Na figura 4.11, pode ser visto que os pontos A e B estão localizados em
meridianos e paralelos diferentes, e Ana e Bnb, são respectivamente a normal do ponto
A e do ponto B. Agora considere a seguinte situação de campo: instalou-se um
teodolito no ponto A, de modo que seu eixo vertical coincida com a normal Ana. No
momento de realizar a pontaria para o ponto B, o plano de visada do teodolito
coincidirá com o plano definido pelos pontos A, na e B. O corte deste plano com a
superfície do elipsóide gerará uma curva AaB. Quando o teodolito estiver no ponto B e
visar o ponto A, o plano de visada do teodolito cortará a superfície do elipsóide dando
origem a curva BbA, que não coincidirá com a curva AaB, como pode ser observado
pela figura 4.12.
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83
FIGURA 4.12 – SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAS
Z
X
Y
0
EQUADOR
A
B
nb
na
a
b
Como pode ser observado pela figura 4.12 as curvas AaB e BbA não se
coincidem, e são denominadas de seções normais reciprocamente inversas. Deste
modo, entre dois pontos A e B sobre a superfície do elipsóide passam duas seções
normais: AaB denominada de seção normal direta para o ponto A e seção norma
inversa para o ponto B; e BbA, que é a seção normal direta para o ponto B inversa para
o ponto A.
O ângulo formado por duas seções normais recíprocas ( ) é:
2N
A.sen 2s.sen -2A sen.cos
1" senN4
s.e" 2
2
22
. (4.26)
Numa triangulação ordinária onde os lados não ultrapassam 40km a
equação (4.26) pode ser escrita como:
2A sen.cos10.s.855" 282 , (4.27)
onde:
s: comprimento da linha geodésica de A para B;
A: azimute de A para B;
N: grande normal; e
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84
e2: primeira excentricidade.
4.3 LINHA GEODÉSICA
Na Geodésia Geométrica, os pontos situados sobre a superfície elipsoidal
se unem através de linhas reversas, denominadas de linhas geodésicas, que
representam a menor distância entre dois pontos sobre o elipsóide, excetuando-se
apenas os casos de dois pontos sobre o mesmo meridiano ou sobre o equador quando
então a linha geodésica é plana, correspondendo, respectivamente, e a um arco elíptico
e circular. A linha geodésica (s), ou simplesmente geodésica pode ser vista na figura
4.13.
FIGURA 4.13 – LINHA GEODÉSICA
Z
X
Y
0
EQUADOR
A
B
nb
na
a
b
s
Observa-se pela figura 4.13 que a menor distância entre os pontos A e B
não é nenhuma das duas seções normais, e sim a linha geodésica (s).
A altitude do ponto visado afeta o ângulo azimutal da linha geodésica
AB, sendo necessário, então, a correção deste efeito por meio da seguinte equação:
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85
B
22
H.2N
A.sen 2s.sen -2A sen.cos
1" sen.N2
e" . (4.28)
onde:
HB: é a altitude do ponto B.
Uma outra correção é com relação à transformação do azimute da seção
normal no azimute da correspondente linha geodésica, pois como vimos anteriormente,
no procedimento de campo o plano de visada é o da seção normal e não o da linha
geodésica.
Excetuando o case de azimute próximo de 90º ou de 270º e os casos de
linha geodésica plana, esta linha divide o ângulo das seções normais recíprocas na
razão 1:2, estando mais próxima da seção normal direta, conforme ilustra a figura
4.14.
FIGURA 4.14 – AZIMUTE DA LINHA GEODÉSICA
A
a
bs
B
A‟
A
N
Como pode ser verificado na figura 4.14, a linha geodésica divide o
ângulo de duas seções normais recíprocas na relação 1:2. Deste modo, chamando esta
correção de tem-se:
2N
A.sen 2 sen.sA2sen.cos
1" sen.N12
s.eA'A
3
"" 2
2
22
, (4.29)
3
3
2
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86
onde:
A‟: azimute da seção normal recíproca;
A: azimute da linha geodésica AB
4.3.1 Diferença de Comprimento entre a Linha Geodésica e a Seção Normal
A diferença entre o comprimento da seção normal ( ) relativa a dois
pontos e o comprimento da correspondente linha geodésica (s), pode ser calculado pela
seguinte equação:
4
2445
N.360
A2sen.cos.e.ss . (4.30)
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87
5 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E DE SISTEMAS DE
REFERÊNCIA
5.1 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
5.1.1 Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas
Para o relacionamento das coordenadas astronômicas e geodésicas
considere a figura 5.1, relativa a um Observador O de coordenadas geodésicas ( , ) e
astronômicas ( a, a) onde se tem explicito o desvio da vertical (i).
FIGURA 5.1 – DESVIO DA VERTICAL
Z
N
OHs Hn
i
Pn
Ps
i
Observa-se na figura 5.1 as quantidades e , que correspondem,
respectivamente aos arcos ZA e NA, os quais são denominados de componente
meridiana ( ) e componente 1º vertical ( ), conhecidos por componentes do desvio
da vertical. O ângulo (i) formado entre a vertical (geóide) e a normal (elipsóide),
denomina-se desvio da vertical. A partir destas equações é possível transformar
coordenadas astronômicas em geodésicas e vice-versa, pela seguinte relação:
a , (5.1)
)cos().( a , (5.2)
A
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88
)(gcot).AA( a . (5.3)
em que:
a, a: Latitude e longitude astronômica;
, : Latitude e longitude geodésica;
Aa, A: Azimute astronômico e geodésico;
Das equações (5.2) e (5.3) deriva-se a tão conhecida Equação de
Laplace, por meio da qual pode-se transformar um azimute astronômico em
geodésico. Esta equação é definida por:
sen).(AA aa . (5.4)
Os vértices da triangulação brasileira nos quais foram efetuadas
determinações astronômicas de azimute e de longitude são denominadas de pontos de
Laplace.
Uma outra quantidade passível de transformação é altitude Ortométrica a
partir da altitude Geométrica ou Elipsoidal. Para isto, considere a figura 5.2, em que se
têm as três superfícies: superfície do terreno, superfície do elipsóide e do geóide.
FIGURA 5.2 – RELAÇÃO ENTRE AS TRÊS SUPERFÍCIES
i
Nesta figura (5.2) tem-se que a distância entre o geóide e o ponto do
terreno considerado, medida ao longo da vertical é a Altitude Ortométrica (H), que
possui significação física, portanto de grande valor para a engenharia. A distância
entre o elipsóide e o ponto do terreno considerado, medido ao longo da normal, é
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
89
Altitude Geométrica ou Elipsóidica (h),obtida pelas técnicas espaciais de
posicionamento, como por exemplo GPS, e não possuí significação física, não
podendo, portanto, ser utilizada em obras de e projetos de engenharia.
No entanto, o relacionamento entre estas duas altitudes se dá pela altura
geoidal ou ondulação geoidal (N)1, definida pela seguinte equação:
NhH . (5.5)
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística- IBGE, através da Coordenação
de Geodésia- CGED, e a Escola Politécnica da Universidade de São Paulo- EPUSP,
geraram um Modelo de Ondulação Geoidal com uma resolução de 10' de arco e
desenvolveram o Sistema de Interpolação de Ondulação Geoidal - MAPGEO2004.
Através desse sistema, os usuários podem obter a ondulação geoidal (N) em um ponto,
e/ou conjunto de pontos, referida aos sistemas SIRGAS2000 e SAD69.
Estes modelos encontram-se na página do IBGE para download,
especificamente no endereço:
ftp://geoftp.ibge.gov.br/programa/Sistema_Interpolacao_Ondulacao_Geoidal/mapgeo2
004.2_setup.exe
As figuras 5.3 e 5.4 mostram, respectivamente, o modelo geoidal SIRGAS2000
e SAD69.
1 Não confundir a Ondulação Geoidal (N) com a Grande Normal (N).
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90
FIGURA 5.3 – MODELO GEOIDAL
SIRGAS2000
FIGURA 5.4 – MODELO
GEOIDAL SAD69
5.1.2 Relação entre as Coordenadas Cartesianas e Geodésicas
Para esta relação considere a figura 5.5, que mostra as coordenadas
geodésicas e cartesianas de um ponto P.
FIGURA 5.5 –COORDENADAS GEODÉSICAS E CARTESIANAS
Z
Y
X
Meridiano Médio deGreenwich
Equador
P‟
Normal de P
P
h
Yp
Xp
Zp
Merdianode P
Deste modo, a relação entre as coordenadas geodésicas e cartesianas e
dada por:
P
P
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91
).sen(.h)e1(NZ
);sen().cos().hN(Y
);cos().cos().hN(X
2
(5.6)
onde:
N: Grande normal;
h: Altitude Elipsoidal; e
e2: Primeira Excentricidade.
5.1.2.1 Conversão de Coordenadas Cartesianas em Geodésicas
O problema da conversão de coordenadas cartesianas em geodésicas
pode ser solucionado por duas maneiras: iteração e direta.
5.1.2.1.1 Solução Iterativa
Para a solução iterativa são utilizadas as seguintes equações:
22 YXp ; (5.7)
N)cos(
ph ; (5.8)
1
2
hN
N.e1.
p
Zarctan ; (5.9)
X
Yarctan . (5.10)
Neste conjunto de equações somente a longitude – equação (5.10) – pode
ser calculada diretamente. Nas equações (5.8) e (5.9), os valores de latitude e altitude
elipsoidal aparecem com quantidades para a solução do problema; mas na verdade são
incógnitas. Para a solução deste problema são efetuadas iterações, cuja solução se dá
por meio das seguintes etapas:
1. Cálculo de p, através da equação (5.7);
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92
2. Cálculo da latitude aproximada 0, pela fórmula: 12
0 e1.p
Z;
3. Cálculo da grande normal aproximada N0: )sen(e1
aN
0
20 ;
4. Cálculo da altitude geométrica aproximada: 0
0
0 N)cos(
ph ;
5. Cálculo da latitude novamente, através da equação (5.9), utilizando N0 e h0;
6. Cálculo da altitude novamente, através da equação (5.8), utilizando N0 e 0.
7. Verificar se = 0, e h = h0, caso positivo cálculo concluído, senão, retornar ao
passo 3.
5.1.2.1.2 Solução Direta
A seqüência de equações do problema pela solução direta é:
.b.p
a.Zarctan
;N)cos(
ph
;X
Yarctan
;cos.a.ep
sen.b.'eZarctan
32
32
(5.11)
onde:
b: Semi-eixo menor;
a: Semi-eixo maior;
5.1.3 Relação entre as Coordenadas Geodésicas e da Projeção UTM
Para a transformação de coordenadas geodésicas em UTM e vice-versa,
são necessárias as utilizações dos seguintes coeficientes:
0K.S)I( ; (5.12)
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93
;10.K.2
"1sen.cos.sen.N)II( 8
0
2
(5.13)
;10.K).cos.'e.4cos.'e.9tg5.(24
cos.sen.N".1sen)III( 16
0
4422234
(5.14)
;10.K".1sen.cos.N)IV( 4
0 (5.15)
;10.K).cos.'etg1.(6
cos.N".1sen)V( 12
0
22233
(5.16)
;10.K
1).cos.'e1.(
"1sen.N.2
tg)VII( 12
2
0
22
2 (5.17)
;10.K
1.
).sen.cos.'e.9cos.'e.3sen.'e.6cos.'e.6tg.35.("1sen.N.24
tg)VIII(
24
4
0
2244422222
2
;10.K
1.
"1sen.N
sec)IX( 6
0
(5.19)
;10.K
1).cos.'etg.21(
"1sen.N.6
sec)X( 18
0
222
3 (5.20)
;10.sen)XII( 4 (5.21)
;10).cos.'e.2cos.'e.31.(3
cos.sen".1sen)XIII( 124222
22
(5.22)
;10.K
1.
"1sen.N
tg)XV( 6
0
(5.23)
;10.K
1).cos.'e.2cos.'etg1(
"1sen.N.3
tg)XVI( 18
3
0
44222
3 (5.24)
;10.K
1.
N.2
cos.'e1)XVIII( 12
2
0
2
22
(5.25)
;10.K
1.
N.24
cos.'e.4cos.'e.9cos.'e.61)XIX( 24
4
0
4
664422
(5.26)
;10.K).sen.'e.330cos.'e.270tgtg.5861.(720
cos.sen.N".1sen(A'6) 24
0
22224256
;10.K).sen.'e.58cos.'e.14tgtg.185.(120
cos.N".1sen)5'B( 20
0
2224255
(5.28)
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94
;10).tg2.(15
cos.sen".1sen)5'C( 202
44
(5.29)
;10.K
1.
).sen.tg.'e.45sen.'e.162cos.'e.107tg.45tg.9061.("1sen.N.720
tg)6'D(
36
6
0
222222242
6
;10.K
1).sen.'e.8cos.'e.6tg.24tg.285.(
"1sen.N.120
sec)5'E( 30
5
0
222242
5 (5.31)
;10.K
1).tg.3tg.52.(
"1sen.N.15
tg)5'F( 30
5
0
42
5 (5.32)
,".0001,0p (5.33)
onde:
: Latitude do ponto;
N: Grande Normal;
S: Arco do meridiano contado a partir do equador sobre o meridiano central;
K0: Coeficiente de redução de escala no meridiano central que é igual a 0,9996;
e‟2: Segunda excentricidade;
: Diferença de longitude em relação ao meridiano central ( - 0).
A partir destes coeficientes pode-se proceder à transformação de
coordenadas geodésicas em UTM e vice-versa.
5.1.3.1 Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM
As equações utilizadas para esta transformação são as seguintes:
;m000.000.10p).6'A(p).III(p).II()I(N 642 e (5.34)
.m000.500p).5'B(p).V(p).IV(E 53 (5.35)
A equação (5.35) é válida tanto para o hemisfério sul quanto para o
norte, enquanto a equação (5.34) só é válida para o hemisfério sul. Para a o hemisfério
norte o valor da coordenada N, pode ser calculado por:
642 p).6'A(p).III(p).II()I(N . (5.36)
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95
5.1.3.2 Transformação de Coordenadas UTM em Geodésicas
Para esta tarefa são válidas as seguintes fórmulas:
;q).6'D(q).VIII(q).VII( 642
1 (5.37)
,q).5'E(q).X(q).IX( 53
MC (5.38)
em que:
1: Latitude do pé da perpendicular do ponto ao meridiano central; e
)m000.500E.(000001,0q .
5.1.3.3 Convergência Meridiana
Os ângulos medidos no elipsóide de revolução são referenciados ao
Norte Geográfico (NG), sendo, portanto, representados na projeção UTM por uma
linha curva, côncava em relação ao meridiano central. No entanto, as quadrículas
UTM formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y (NQ) na
direção Norte-Sul. As duas linhas formam, então, um ângulo variável para cada ponto,
denominado de Convergência Meridiana (c), que pode ser vista na figura 5.6.
FIGURA 5.6 – CONVERGÊNCIA MERIDIANA
EQUADOR
c c
NQ NQ
NG NG
M.C
.
O cálculo da convergência meridiana (c) em função das coordenadas
geodésicas, e UTM é dado, respectivamente, por:
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96
53 p).5'C(p).XIII(p).XII(c , (5.39)
53 q).5'F(q).XVI(q).XV(c . (5.40)
No hemisfério sul, a convergência meridiana é positiva para pontos
localizados à oeste de meridiano central, e negativa quando estiverem situados à leste.
A convergência meridiana pode também ser calculada de forma aproximada por:
sen.c , (5.41)
onde:
: Diferença de longitude entre o ponto dado e a longitude do meridiano central;
: Latitude do ponto.
5.1.3.4 Redução à Corda ou Redução Angular
Uma linha unindo dois pontos na superfície esférica é representada no
plano da projeção com sendo uma linha curva, ou seja, um arco. Entretanto, em se
tratando de trabalhos topográficos a curvatura desta linha é muito pequena, podendo
então ser desconsiderado em muitos casos. Deste modo, aceita-se a corda que une os
dois pontos como a referência para calcular a distância e o azimute entre eles. O
ângulo formado pela corda e pela tangente à curva é chamado de ângulo de redução à
corda ou ângulo de redução angular ( ), que pode ser vista na figura 5.7.
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97
FIGURA 5.7 – REDUÇÃO À CORDA
A
B
A
B
A
B
A
B
EQUADOR
ME
RID
IAN
O C
EN
TR
AL
A
B
C
A partir das coordenadas planas da projeção UTM de dois vértices A e B,
conforme figura 5.7, pode-se obter o valor de , ou seja:
)e.2e.2).(NN).(XVIII.(10.8755,6 BAAB
8"
A ; (5.42)
)e.2e.2).(NN).(XVIII.(10.8755,6 ABBA
8"
A , (5.43)
em que:
m000.500Ee AA ; e
m000.500Ee BB .
As equações (5.42) e (5.43) fornecem o valor da redução angular em
módulo. Deste modo, para o conhecimento do sinal de é necessário verificar a
situação de cada vértice como mostra a figura 5.7. a título de exemplificação o valor
máximo de , para uma linha de 10 km é de aproximadamente 0º00‟07”.
5.1.3.5 Fator de Escala
O fator de escala é um fator pontual, pois varia em função da localização
do ponto na superfície plana, podendo ser calculado a partir das coordenadas
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98
geodésicas ou a partir das coordenadas UTM. Pelas coordenadas UTM o fator de
escala é obtido por:
)q.00003,0q).XVIII(1.(KK 42
0 , (5.44)
em que:
9996,0K 0 .
O fator de escala pode também ser calculado pela seguinte equação:
2
0
2
0R.2
'E1.KK , (5.45)
onde:
E‟ = E – 500.000m;
N.MR 0 .
Para se obter a distância plana entre dois pontos, ou seja, na projeção
UTM, deve-se corrigir a distância medida na superfície topográfica, com relação aos
fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguida reduzi-la ao elipsóide de
referência e, finalmente, reduzi-la à superfície plana. O fator de escala é utilizado na
redução da superfície de referência à superfície plana.
Neste caso, inicialmente calcula-se o fator de escala dos extremos do
alinhamento, utilizando-se o valor médio entre eles. Deste modo, para um alinhamento
AB, tem-se:
2
KKK BA
M . (5.46)
A distância plana fica então definida por:
.elipMUTM s.Ks . (5.47)
É importante mencionar que a equação (5.46) é válida somente para
distâncias menores do que 15km.
As deformações na projeção UTM aumentam à medida que se afasta do
meridiano central. Com o objetivo de evitar grandes deformações nas bordas dos
fusos, adota-se um fator de escala K0 = 0,9996, para os pontos localizados sobre o
meridiano central. A partir do meridiano central o fator de escala cresce para oeste e
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99
para leste até atingir o valor de K = 1,0000, nas proximidades de E = 320.000,000m e
E = 680.000,000m, continuando a crescer até o valor de K = 1,0010, nas bordas dos
fusos, no equador.
5.1.3.6 Ângulos da Projeção UTM
Quando se utiliza a projeção UTM são válidas as seguintes grandezas
angulares:
Azimute plano ou azimute de quadrícula;
Azimute geodésico projetado;
Azimute geodésico;
Convergência meridiana; e
Redução à corda.
O azimute plano ou de quadrícula na projeção UTM é ângulo entre o Norte da
Quadrícula UTM e a linha reta que une dois pontos (A e B) quaisquer. Este azimute é
obtido, calculando inicialmente o rumo do alinhamento AB, pela seguinte equação:
N
Earctg
NN
EEarctagRumo
AB
ABUTM , (5.48)
logo em seguida verifica-se o sinal de E e N, identificando conseqüentemente, o
quadrante onde o rumo se encontra, transformando assim para azimute, conforme
tabela 5.1.
TABELA 5.1 – TRANSFORMAÇÃO DE RUMO EM AZIMUTE
SINAL QUADRANTE
RELAÇÃO
RUMO/AZIMUTE E N
+ + 1º RumoAz
+ - 2º Rumoº180Az
- - 3º Rumoº180Az
- + 4º Rumoº360Az
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100
O azimute geodésico projetado, ou azimute da projeção é o ângulo
formado entre o Norte da Quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância
projetada entre os dois pontos. Este azimute é calculado pela seguinte equação:
UTMojeçãoPr .Az.Az . (5.49)
Finalmente o azimute geodésico é o ângulo, na projeção UTM, formado
entre o meridiano que passa pelo ponto inicial e a tangente arco representativo da
distância projetada entre os dois pontos considerados, dado por:
c.Az.Az UTMGeodésico . (5.50)
Estes ângulos podem ser vistos na figura 5.8.
FIGURA 5.8 – ÂNGULOS DA PROJEÇÃO UTM
A
B
NQNG
c
Az. UTM
Az. Projeção
Az. Geodésico
5.1.4 Relação entre as Coordenadas Geodésicas e as Topográficas Locais
A NBR14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal – dirimi sobre
os procedimentos para conversão de coordenadas geodésicas em topográficas locais.
As equações utilizadas são as seguintes:
;x000.150X pP (5.51)
pp y000.250Y ; (5.52)
;c".1 arc.N.cos.x pp1p (5.53)
A
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101
;c.x.C.Ex)..(E)(Dx.C.B
1y 4
p
2
p1
2
1
2
p1p (5.54)
0p" ; (5.55)
0p" ; (5.56)
;)".(10.9173,31" 212
1 (5.57)
;)".(10.9173,31" 212
1 (5.58)
;"1 arc.M
1B
0
(5.59)
"1 arc.N.M.2
tgC
00
0 ; (5.60)
)sene-2.(1
1" arc.cos.sen.e.3D
0
22
00
2
; (5.61)
2
0
0
N.6
tg.31E ; (5.62)
0
t0
R
hRc ; e (5.63)
2ee , (5.64)
em que:
M0: Raio de curvatura da seção meridiana do elipsóide de referência em P0,
origem do sistema;
N0: Raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano, ou grande normal,
do elipsóide de referência em P0;
Np: Raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano do elipsóide de
referência em P1;
c: fator de elevação;
a e b: semi-eixo maior e menor do elipsóide de referência;
e2: Primeira excentricidade do elipsóide de referência;
ht: Altitude ortométrica média do terreno ou altitude do plano topográfico local.
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102
5.1.4.1 Convergência Meridiana no Sistema Topográfico Local
A convergência meridiana em um dado ponto (P) pode ser calculada, a
partir das coordenadas geodésicas, com a seguinte equação:
3
mp )"(F2
sec.sen". , (5.65)
onde:
3600).(" 0p ; (5.66)
0p ; (5.67)
12
1" sen.cos.senF
2
mm , (5.68)
sendo:
p: Convergência meridiana do ponto considerado;
0: Latitude da origem do sistema;
p: Latitude do ponto geodésico de apoio imediato considerado;
0: Longitude da origem do sistema;
p: Longitude do ponto geodésico de apoio imediato considerado;
m: Latitude média entre o ponto geodésico de apoio imediato considerado (P) e a
origem do sistema (0).
5.2 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE REFERÊNCIAS
5.2.1 Modelo Matemático
A rigor o modelo matemático de transformação entre sistemas de referências é
da transformação de similaridade no espaço tridimensional, conhecido como
transformação isogonal, conforme ou de Helmert. Este modelo matemático contém
sete parâmetros e expressa o relacionamento entre dois referenciais por meio de três
translações, três rotações e um fator de escala.
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103
O relacionamento entre dois referenciais cartesianos tridimensionais, no
qual o vetor posição de um ponto genérico Pi no referencial cartesiano (X, Y, Z) é
dado por Ri e o vetor posição do mesmo ponto no referencial cartesiano (x, y, z) é
dado por ri, pode ser visto na figura 5.9.
FIGURA 5.9 – TRANSFORMAÇÃO NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
Y
X
Z
y
z
x
Z
Y
X
i
i
i
y i x i
z i
P
i
O 1
O 2
R
r i
r 0 y
z
x
i
Na figura 5.9 as translações são representadas por ( X, Y, Z), a partir das
quais é definido o vetor r0 e as rotações são representadas por ( x, y, z), que podem
ser expressas adequadamente por matrizes de rotação; o parâmetro ( ) é utilizado para
expressar o fator de escala da transformação.
O modelo matemático da transformação de similaridade no espaço
tridimensional é definido, para qualquer ponto genérico Pi, pela seguinte equação:
i0i r.R.rR , (5.69)
onde:
1
1
1
R
xy
xz
yz
. (5.70)
Na equação (5.70) as rotações x, y e z são dadas em radianos.
X
Y
Z
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104
Para aplicação da transformação de similaridade no espaço
tridimensional é necessário transformar as coordenadas geodésicas ( , , h) em suas
correspondentes coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z) pela equação (5.6).
Após sucessivas manipulações algébricas o modelo matemático de
transformação de similaridade no espaço tridimensional, entre sistemas de referências,
na forma matricial fica definido por:
i
i
i
xy
xz
yz
i
i
i
z
y
x
1
1
1
1
Z
Y
X
Z
Y
X
, (5.71)
onde representa uma diferença de escala, representada pela seguinte equação:
1 . (5.72)
5.2.2 Transformações entre Sistemas de Referência no Brasil
As rotações e o fator de escala no processo de transformação entre
sistemas de referência no Brasil são desconsideradas, e o problema fica reduzido
apenas à correção da translação entre os sistemas. Deste modo, a equação (5.71) fica
reduzida à:
i
i
i
i
i
i
z
y
x
Z
Y
X
Z
Y
X
. (5.73)
Deste modo, a transformação de coordenadas de SAD69 para WGS84, é
dada por:
69SAD84WGSZ
Y
X
m
52,38
37,4
87,66
Z
Y
X
, (5.74)
O caso contrário, ou seja, de WGS84 para SAD69 fica assim definido:
84WGS69SADZ
Y
X
m
52,38
37,4-
87,66
Z
Y
X
. (5.75)
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105
A transformação de SIRGAS2000 para SAD69, pode ser efetuada por:
69SAD2000SIRGASZ
Y
X
m
22,38
88,3-
35,67
Z
Y
X
, (5.76)
e de SAD69 para SIRGAS2000 é:
2000SIRGAS69SADZ
Y
X
m
22,38
88,3
35,67
Z
Y
X
. (5.77)
SAD69 para Córrego Alegre:
Alegre Córrego69SADZ
Y
X
m
40,34
40,164
70,138
Z
Y
X
, (5.78)
e de Córrego Alegre para SAD69:
SAD69Alegre CórregoZ
Y
X
m
40,34
40,164
70,138
Z
Y
X
. (5.79)
Pelas equações (5.74) e (5.76), pode-se observar que as diferenças
existentes entre o WGS84 e SIRGAS2000 são pequenas. Na realidade, estes dois
sistemas, que são geocêntricos, concordam entre si ao nível do centímetro. A principal
diferença entre estes dois sistemas e os sistemas SAD69 e Córrego Alegre, e que os
dois primeiros são sistemas geocêntricos, enquanto os dois últimos não o são.
Precauções adicionais deve-se tomar com relação a receptores GPS que
trazem uma relação de sistemas geodésicos, inclusive SAD69 e Córrego Alegre, pois
os parâmetros de transformação utilizados pelo fabricante do receptor não são os
oficiais do IBGE. Por isso, é recomendável utilizar o receptor GPS em WGS84 e logo
em seguia transformar as coordenadas obtidas para SAD69 ou Córrego Alegre.
Após a transformação entre sistemas de referências a partir das
coordenadas cartesianas, as mesmas devem ser transformadas novamente em
geodésicas, mas agora no novo sistema de referência, através das equações (5.11).
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106
5.2.3 Equações Simplificadas de Molodenski
Uma outra possibilidade de transformação de sistemas de referência é a
partir das próprias coordenadas geodésicas, utilizando para isto as equações
diferenciais simplificadas de Molodenski. Para isto, é necessário dispor dos parâmetros
de transformação ( X, Y, Z). Estas equações são definidas por:
180.cos.Zsen.sen.Ycos.sen.X).2sen().a.ff.a(
M
111111111
1
180.cos.Ysen.X.
cos.N
111
11
, (5.81)
111111
2
11 sen.Zsen.cos.Ycos.cos.Xa.sen).a.ff.a(N , (5.82)
12 ; (5.83)
12 , (5.84)
onde:
a1: Semi-eixo maior do elipsóide no sistema S1;
f1: Achatamento do elipsóide no sistema S1;
1: Latitude Geodésica no sistema S1;
1: Longitude Geodésica no sistema S1;
a2: Semi-eixo maior do elipsóide no sistema S2;
f2: Achatamento do elipsóide no sistema S2;
2: Latitude Geodésica no sistema S2;
2: Longitude Geodésica no sistema S2;
N: Diferença de ondulação geoidal (S2 – S1);
X, Y, Z: Parâmetros de translação do S1 com respeito ao S2;
12 aaa ; e
12 fff .
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
107
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COSTA, S. M. A. (1999): Integração da Rede Geodésica Brasileira aos Sistemas de
Referência Terrestres. Tese de Doutorado. Curso de Pós-Graduação em Ciências
Geodésicas, Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 156p.
COSTA, S. M. A. Evolução do sistema geodésico brasileiro – razões e impactos com a
mudança do referencial. I SEMINÁRIO SOBRE REFERENCIAL
GEOCÊNTRICO NO BRASIL. IBGE. s.n.
COSTA, S. M. A. Solução na compatibilização de diferentes materializações de
sistemas de referência. I SEMINÁRIO SOBRE REFERENCIAL
GEOCÊNTRICO NO BRASIL. IBGE. s.n.
ESPARTEL, L. (1982). Curso de topografia. Porto Alegre: Globo.
GEMAEL, C. (1981): Referências Cartesianas utilizadas em Geodésia. Curitiba.
GEMAEL, C. (1987): Introdução à Geodésia Geométrica. Apostila do Curso de Pós-
Graduação em Ciências Geodésicas. 1a ed. Curitiba, PR.
GEMAEL, C. (1994): Introdução ao Ajustamento de Observações: aplicações
geodésicas. 1a ed. Curitiba, PR.
HOTINE, M. (1969): Mathematical Geodesy. Washington: U.S. Department of
Commerce.
IBGE (1983): PR nº 22. Especificações e Normas Gerais para Levantamentos Geodésicos
em Território Brasileiro. Rio de Janeiro.
INCRA. Normas técnicas para georreferenciamento de imóveis rurais. Brasília,
DF: INCRA, 2003.
JORDAN, W. (1981):Tratado General de Topografia. Editorial Gustavo Gili, S.A.
LEI n. 10.267. Presidência da República.
NBR13.133/1994: Execução de Levantamento Topográfico. ABNT, Rio de Janeiro.
NIMA – National Imagery and Mapping Agency (2000). Department of Defense
World Geodetic System 1984, NIMA TR 8350.2, 171 p.
MONICO, J. F. G. (2000): Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS – descrição,
fundamentos e aplicações. São Paulo: UNESP.
Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira
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