process skill error: the majority student’s error in

JURNAL DAYA MATEMATIS, Volume 5 No. 3 Desember 2017

358

PROCESS SKILL ERROR: THE MAJORITY STUDENT’S ERROR INPROBLEM SOLVING OF INTEGRAL CALCULUS

Isnaeni Umi Machromah1), Mega Eriska Rosaria Purnomo2)

1,2Universitas Muhammadiyah Surakarta, Surakarta, Jawa TengahE-mail: [email protected]

ABSTRACTThere is high unpassed value of students in Mathematics Departmen UMS atIntegral Calculus lecture. It is predicted that there are so many students havedifficulties in Integral Calculus. Data from mid exam at academic year 2016/2017showed that there are 80,87% from 115 students got score under 63. It is indicatedthat there are so many students’s error in solving integral calculus problems. IntegralCalculus is one of basic lecture which is prerequisite of other complex lecture.Knowing the error’s position and the factor that caused student’s error would helplecturer pay attention in integral calculus learning. Thus, the aim of this research isidentifiying error’s position that are done by students and analyzing causative factorin solving Integral Kalkulus problems. Kind of this research is qualitativedescription. Technique of collecting data is test and interview. This research usestechnique-triangulation for validating data, it is by documentation and interview.Meanwhile, the steps for analyzing data are data reduction, data presentation, andconclusion. The result of this research showed that there is 41,40% error with typeprocess skill error in solving Integral Calculus problems. Besides, types of student’serror in solving Integral Calculus problems are transformation error, comprehensionerror, and reading error. There is no encoding error that found in this research.Causative factors of that student’s error are (1) students did not careful in readingthe problems, writing mathematics siymbol include symbol of integral, andcalculating, (2) low of prerequisite material mastery and concept of basicmathematics, (3) low of undestanding of material and concept of integral, (4)students could not identify the characteristics or types of probles to determine theappropriate technique of integration, and (5) the use of formula which is notappropriate and not suitable with problem’s solution.

Keywords: Integral Calculus, Student’s Error, Problem Solving

PENDAHULUANKalkulus integral merupakan salah satu mata kuliah wajib yang diajarkan

pada mahasiswa semester awal dan merupakan mata kuliah prasyarat untuk matakuliah selanjutnya yang lebih kompleks, seperti persamaan differensial, kalkuluspeubah banyak, dan analisis kompleks. Dengan demikian, penguasaan mahasiswapada mata kuliah sangat dibutuhkan agar dalam mengikuti mata kuliah yang lebihkompleks, mahasiswa dapat memiliki konsep dasar yang kuat terkait materiintegral. Namun, tren yang ada menunjukkan bahwa selalu ada mahasiswa yangharus melakukan revisi untuk mata kuliah kalkulus integral. Salah satu indikasihal tersebut adalah karena mahasiswa belum menguasi materi kalkulus integral.

Berdasarakan penugasan yang pernah diberikan pada mahasiswa programstudi Pendidikan Matematika UMS materi Kalkulus Integral, sebagian mahasiswa


359

cukup mampu menyelesaikan soal dengan teknik pengintegralan yang tepat.Namun, masih terdapat beberapa mahasiswa yang salah menerapkan konsepdalam mengeintegralkan. Misalnya, dalam menetukan , sebagianmahasiswa ada yang menggunakan teknik substitusi sederhana misalsehingga menjadi , kemudian mahasiswa mengeluarkan variabel darioperasi integral karena dianggap sebagai konstanta dan yang dilakukan operasiintegral adalah variabel . Bentuk tersebut menjadi dan hasilnya

adalah . Hal tersebut menunjukkan kesalahan konsepyang sangat mendasar yang dapat menyebabkan mahasiswa kesulitan menerimamateri yang lebih kompleks.

Hasil Ujian Tengah Semester (UTS) semester genap Tahun Akademik2016/2017 menunjukkan bahwa 80,87% dari 115 mahasiswa pada 3 kelasKalkulus Integral memperoleh nilai dibawah 63. Hal tersebut menunjukkan masihterdapat banyak kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam menyelesaikan soalKalkulus Integral. Sebagian mahasiswa masih melakukan kesalahan dalammenentukan teknik pengintegralan yang tepat. Misalnya dalam pengintegralantrigonometri dan bentuk eksponensial, mahasiswa melakukan pengintegralandengan rumus dasar secara langsung tanpa mengubah ke bentuk baku dan tanpamemperhatikan variabel yang tidak bisa diintegralkan secara langsung ataumembutuhkan teknik tertentu dalam mengintegralkan.

Kesalahan yang dilakukan mahasiswa secara berulang dan tidakdiberitahukan cara yang benar dapat membuat mahasiswa melakukan kesalahanyang sama. Analisis kesalahan merupakan sebuah studi tentang jenis dan kuantitasdari kesalahan yang terjadi secara khusus pada bidang matematika. Analisiskesalahan mahasiswa pada pemecahan masalah matematika penting dilakukanterutama bagi dosen. Pengetahuan dosen tentang analisis kesalahan mahasiswadalam penyelesaian masalah matemtatika diharapkan dapat mengurangi masalah.Selain itu, dimulai dari kesalahan-kesalahan mahasiswa, dosen dapat memberikanperhatian khusus terkait kesalahan yang banyak terjadi dan penyebab kesalahan-kesalahan tersebut (Moru, et al, 2014).

Salah satu model analisis kesalahan yang umum digunakan adalah NEA,yaitu Newman’s Error Analysis. Newman’s error analysis merupakan suatu modelyang digunakan dalam menganalisa kesalhan-kesalahan yang dilakukan siswadalam menyelesaikan permasalahan matematika. Model Newman telah dibuktikansebagai model yang reliable bagi guru matematika yang digunakan untukmengklasifikasikan dan mengkategorikan kesalahan-kesalahan siswa dalampemecahan masalah matematika, termasuk soal HOTS (high order thinkhing skill)(Abdullah, Abidin, & Ali, 2015; Prakitipong & Nakamura, 2006; Zakaria,Ibrahim, & Maat, 2010)


360

Model Newman’s error analysis memiliki tingkatan jenis kategoriberdasarkan pada pemecahan masalah siswa (Abdullah, Abidin, & Ali, 2015).Dalam menganalisis kesulitan siswa atau mahasiswa dengan model Newmandidasarkan pada proses pemecahan masalah yang dilakukan siswa. Langkahpemecahan masalah yang dikenal dalam pemecahan masalah matematika adalahlangkah Polya. Langkah pemecahan masalah Polya yaitu: (1) memahami masalah,(2) merencanakan penyelesaian, (3) menyelesaikan masalah, (4) menyimpulkan(Polya, 1957). Dalam hal ini, siswa maupun mahasiswa tidak dapat merencanakanpenyelesaian masalah jika tidak dapat memahami masalah yang ditanyakan,begitu juga langkah selanjutnya. Dengan demikian, langkah yang dilkukan harusberurutan dari langkah 1 sampai langkah 4. Analisa kesalahan dengan modelnewman juga berlaku demikian, sehingga kategori kedua tidak berlaku jika siswaatau mahasiswa melakukan kesalahan pada kategori pertama.

Model analisis kesalahan berdasarkan Newman terdiri dari lima jenis, yaitureading error, comprehension error, transformation error, process skill error,dan encoding error. Jenis pertama yaitu reading error yang diartikan sebagaikesalahan membaca. Kesalahan membaca didefinisikan sebagai kesalahanmahasiswa dalam kemampuan membaca soal yang diberikan dan mengidentifikasikalimat dan simbol matematika yang digunakan. Jenis kedua adalahcomprehension error yang diartikan sebagai kesalahan yang muncul padakemampuan mahasiswa dalam memahami soal matematika yang diberikan. Jenisketiga yakni transformation error di mana kesalahan ini dilihat pada kemampuanmahasiswa dalam memilih metode penyelesaian masalah yang tepat. Jeniskeempat yaitu process skill error di mana kesalahan ini dilihat pada kemampuanmahasiswa dalam menunjukkan proses matematika secara benar. Jenis terakhiryaitu encoding error yang diartikan sebagai kesalahan siswa dalammengekspresikan atau menuliskan jawaban akhir (Abdullah, Abidin, & Ali,2015).

Berdasarkan paparan tersebut, kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikansoal Kalkulus Integral perlu dianalisis beserta faktor penyebabnya sehinggakesalahan berikutnya dapat diminimalisir dan proses pembelajaran dapat lebihoptimal. Dengan demikian tujuan ini adalah mengidentifikasi kesalahanmahasiswa dalam menyelesaikan masalah kalkulus integral berdasarkan modelNewman serta faktor-faktor penyebabnya.

METODE PENELITIANJenis penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yang mendeskripsikan

kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan soal kalkulus integral. Subjekpenelitian ini adalah 6 orang mahasiswa program studi pendidikan matematikaUMS semester 2 Tahun Akademik 2016/2017 yang mengambil mata kuliahKalkulus Integral. Sumber data dalam penelitian ini adalah hasil tes Kalkulus


361

Integral dan hasil wawancara dengan subjek. Dalam penelitian ini digunakantriangulasi metode untuk memenuhi keabsahan data, yaitu denganmembandingkan data hasil tes dengan hasil wawancara dan menelusuri ataumelacak data yang belum jelas sampai tuntas. Teknik analisis data dilakukandengan pengumpulan data, reduksi, penyajian data, serta penarikan kesimpulan.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASANTabel 1 berikut ini merupakan soal tes UTS dengan capaian pembelajaran

yang digunakan untuk mendiagnosis kesulitan mahasiswa dalam pemecahanmasalah Kalkulus Integral.

Tabel 1. Soal UTS dan Indikator Capaian PembelajaranSoal Indikator Capaian Pembelajaran1. Tentukan:

a.b.

1a. Menyelesaikan intergal padabentuk perkalian sin dan cos

1b. Menyelesaikan integral fungsieksponen

2. Tentukan:a.b.

2a. Menyelesakan integral denganrumus integral parsial

2b. Menyelesaikan integral dengansubstiusi

3. Buktikan bahwa: 3. Menyelesaikan integral dengansubstitusi trigonometri

4. Hitung 4. menyelesaikan integral bentukfungsi rasional pecah

Berdasarkan hasil nilai UTS Kalkulus Integral, dipilih kelas yang memilikirata-rata nilai paling rendah. Dari keseluruhan kesalahan pada kelas tersebut,diperoleh jenis kesalahan reading error sebesar 1,27%, jenis kesalahancomprehension error sebanyak 27,39%, jenis kesalahan transformation errorsebesar 31,85%, dan jenis kesalahan process skill error sebesar 41,40%.Mahasiswa pada kelas tersebut dikelompokkan dengan kategori yang memilikinilai UTS tinggi, sedang, dan rendah. Dari masing-masing kategori tersebut,diambil 2 orang mahasiswa yang memiliki kesalahan paling kompleks. Subjek S1dan Subjek S2 adalah kelompok tinggi, Subjek S3 dan Subjek S4 adalahkelompok sedang, serta Subjek S5 dan S ubjek S6 adalah kelompok rendah. Tabel2 berikut merupakan temuan kesalahan dalam menyelesaikan soal KalkulusIntegral pada enam subjek penelitian tersebut.


362

Tabel 2. Temuan Kesalahan Mahasiswa dalam Pemecahan Soal KalkulusIntegral

Subjek

Nomor 1a Nomor 1b Nomor 2a Nomor 2b Nomor 3 Nomor 4

S1 - Kesalahantidakmenuliskan simbolintegral(ProcessSkillError)

Kesalahanmenentukan teknikpengeintegralan(TransformationError)

- - Kesalahanmengubahkalimatmatematika padasoal.(ComprehensionError)

S2 - Tidakmenuliskanpenggunaan simbolintegraldengantepat.(ComprehensionError)

Kesalahandalammenerapkan teknikintegralyangdipilih(TransformationError)

Kesalahandalammemisalkanvariabelsecaraberulang-ulang.(ProcessSkillError)

- -

S3 - Kesalahandalamoperasidifferensial dasar.(ProcessSkillError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralan dankesalahankonsepdalammengelurakanvariabeldarioperasiintegral.(TransformationError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralandalamsolusikedua.(TransformationError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralandalamsolusikedua.(TransformationError)

Kesalahanmelakukanperhitungan.(ProcessSkillError)


363

S4 Kesalahantidakmelakukanoperasiintegral.(ComprehensionError)

Kesalahandalammembuatpermisalanan untukmengubahkalimatmateatika.(ComprehensionError)

- Kesalahanmenetukan teknikpengintegralan padasolusikedua(TransformationError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralan

(TransformationError)

Keselahanmengubahkalimatmatematika padasoal.(ComprehensionError)

S5 Keselahanmengubahkalimatmatematika padasoaldenganbentukyang lain.(ComprehensionError)

Kesalahanmenuliskan Soalpadalembarjawab.( ReadingError)

Subjekmengeluarkanvariabeldariperhitungan intgeral.(ComprehensionError)

Kesalahanhitung.

(ProcessSkillError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralan(TransformationError)

Keselahanmengubahkalimatmatematika padasoaldenganbentukyang lain.(ComprehensionError)

S6 - Kesalahanmenuliskan soalpadalembarjawab.(ReadingError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralan.(TransformationError)

Kesalahanmenentukan teknikpengintegralan.(TransformationError)

- Kesalahanmengubahkalimatmatematika padasoal.(ComprehensionError)

Berikut merupakan hasil jawaban dan wawancara seluruh subjek sertapembahasan pada masing-masing jenis kesalahan pada pemecahan masalahkalkulus integral.

1. Reading ErrorReading error diartikan sebagai kesalahan membaca, yaitu kesalahan yang

dilakukan mahasiswa pada saat membaca soal. Singh (2010) mendefinisikan “Areading error occurred when written words or symbols failed to be recognized bythe subject that led to his/her failure to pursue the course of problem-solution”.


364

Dengan demikian, kesalahan membaca terjadi ketika mahasiswa tidak mampumembaca kata-kata maupun simbol yang terdapat dalam soal, atau tidakmengetahui apa yang ditanyakan soal, atau tidak dapat membaca pertanyaansecara lengkap. Dlam peneilitian ini, kesalahan membaca dapat diidentifikasi darikesalahan penulisan kalimat matematika pada soal. Letak kesalahan mahasiswapada tipe reading error ditunjukkan pada Gambar 1 dan Gambar 2.

Gambar 1. Jawaban Subjek S5 no 1b Gambar 2. Jawaban Subjek S6 no 1b

Berdasarkan Gambar 1, Subjek S5 melakukan kesalahan menuliskan kalimatmatematika pada soal nomor 1b pada bagian penyebut. Pada soal tertulis

, tetapi Subjek S5 menuliskan . Kedua kalimat matematikatersebut memilik makna yang berbeda. Diduga bahwa Subjek S5 tidak membacasoal dengan cermat. Berdasarkan hasil wawancara, Subjek S5 baru menyadaribahwa ia melakukan kesalahan dalam menuliskan soal. Subjek S5 tidakmenyadari hal tersebut karena ia sering menemukan beberapa soal yang memuat

, sehingga ia tidak merasa ada yang salah ketika mengerjakan soaltersebut. Subjek S5 juga menyatakan bahwa kesalahan tersebut terjadi karena iaberasumsi bahwa soal tersebut hampir sama dengan beberapa soal yang pernahdiselesaikan.

Berdasarkan Gambar 2, Subjek S6 juga melakukan kesalahan membca padasoal nomor 1b. Kesalahan yang dilakukan Subjek S6 adalah menuliskan operasipengurangan menjadi operasi penjumlahan. Pada soal bagian penyebut tertulis

, sedangkan Subjek S6 menuliskan . Sedangkan hasilwawancara, Subjek S6 juga baru menyadari kesalahan yang dilakukan pada saatdiminta membaca kembali soal pada lembar ujian dan soal yang ditulis padalembar jawab. Subjek S6 menyatakan bahwa kesalahan tersebut terjadi karena iakurang cermat dalam menuliskan kembali soal pada lembar jawab.

Berdasarkan paparan tersebut, kesalahan yang dilakukan Subjek S5 adalahkesalahan fatal karena kesalahan menuliskan kalimat matematikamenjadi menyebabkan kesalahan memilih teknik pengintegaralan untukpermasalahan nomor 1b. Jika teknik pengintegralan yang dipilih salah, makaakibatnya proses penyelesaian dan jawaban akhir dari penyelesaian masalahtersebut juga akan salah. Sedangkan kesalahan terjadi pada Subjek S6 untuk soalnomor 1b bukan kesalahan fatal karena tidak berpengaruh pada penentuan teknik


365

pengintegralan. Namun, tentu saja kesalahan menuliskan kembali soal akanberpengaruh pada proses penyelesaian. Sehingga, pada Subjek S6, reading erroryang dilakukan mengakibatkan kesalahan dalam proses menyelesaikan soal dantentu kesalahan jawaban akhir.

Reading error sangat memungkinkan terjadi pada soal dengan kalimat yangsingkat, seperti soal-soal pada Kalkulus Integral. Kesalahan yang mungkin terjadiadalah kesalahan menuliskan kalimat matematika yang berbeda karena asumsisering menemukan soal yang mirip, serta kesalahan dalam menuliskan operasiseperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan yang lainnya, di manakesalahan tersebut terjadi karena mahasiswa kurang cermat dan kurang telitidalam membaca kalimat matematika dalam soal. Reading error merupakankesalahan yang nampaknya adalah kecil, tetapi dampaknya sangat besar karenakesalahan membaca mengakibatkan kesalahan menuliskan kembali kalimatmatematika pada soal. Karena kesalahan tersebut, mahasiswa akan salah dalammenentukan ide penyelesaian atau teknik pengintegralan yang tepat atau jikakesalahan tersebut hanya kesalahan penulisan operasi akan berdampak padaperhitungan jawaban yang tidak tepat.

2. Comprehension ErrorComprehension error merupakan kesalahan memahami masalah. Kesalahan

memahami masalah adalah kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa stelahmampu membaca apa yang dinyatakan dalam soal tetapi tisak mengetahuipermasalahan apa yang harus diselesaikan. Singh (2010) mendefinisikan “Acomprehension error occurred when the pupil was able to read the question butfailed to understand its requirement, thus causing him/her to err in or to fail atattempting problem-solution”. Lebih lanjut, Csaky, Azabova, & Nasticka (2015)memberikan indikator terkait comprehension error yaitu kesalahan karena tidakmemahami kata kunci dan kesalahan dalam memilih informasi. Dengan demikian,kesalahan memahami masalah terjadi ketika mahasiswa mampu untuk membacapertanyaan tetapi gagal untuk mendapatkan apa yang dibutuhkan sehinggamenyebabkan kegagalan dalam menyelesikan masalah.

Berdasarkan hal tersebut, comprehension error dapat diidentifikasi daribagaimana mahasiswa menterjemahkan permasalahan yang diberikan. Lebihkhusus dalam penelitian ini, comprehension error dapat diidentifikasi dari (1)bagaimana mahasiswa mengubah pernyataan matematika pada soal menjadibentuk lain yang maknanya sama, atau menjadikan sebagai pernyataan yang lebihsederhana, atau jika pernyataan matematika tersebut terbentuk dari operasi(perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan, dan lain-lain) dua suku, makadapat ditentukan bentuk lainnya adalah hasil operasi keduanya., (2) bagaimanamahasiswa memaknai konsep dasar integral, dan (3) bagaimana mahasiswa dapatmembaca istilah, (4) bagaimana mahasiswa menerjemahkan maksud dari soal.


366

Letak comprehension error pada mahasiswa ditunjukkan pada lembarjawaban Subjek S2 nomor 1b, Subjek S4 nomor 1b, dan Subjek S6 pada nomor 4yang nampak pada Gambar 3, Gambar 4, dan Gambar 5.

Gambar 4. Jawaban Subjek S4nomor 1b

Gambar 3. Jawaban Subjek S2 nomor 1b_ Gambar 3. Jawaban Subjek S6 nomor 4

Berdasarkan Gambar 3, Subjek S2 merubah kalimat matematika pada soaldengan bentuk yang lain, tetapi ia tidak merubah dengan tepat, yaitu salahmenentukan turunan dalam permisalan dan tidak menentukan bentuk integralsecara lengkap. Hasil wawancara dengan Subjek S2 menunujukkan bahwa SubjekS2 mengalami miss conception antara integral dan turunan, sehingga iamelakukan kesalahan operasi intergal.

Pada Gambar , Subjek S4 mengubah bentuk kalimat matemtika pada soaldengan melakukan permisalan , maka seharusnya

. Namun, Subjek S4 tidak menuliskan dalam bentukakar, sehingga hasilnya tidak equivalen dengan soal dan hasil teknik integral yangdipilih juga akan salah. Berdasarkan hasil wawancara, Subjek S4 baru menyadarikesalahan tersebut. Subjek S4 menyatkan bahwa ia tidak telti dalam menuliskanbentuk perubahan tersebut.

Berdasarkan Gambar, Subjek S6 melakukan kesalahan pada saat mengubahsoal pada nomor 4. Subjek bermaksud mengubah ke bentuk penjumlahanpecahan. Pecahan yang dapat diubah menjadi bentuk penjumlahan pecahan adalahyang merupakan bentuk rasional pecah. Subjek S6 seharusnya mengubah pecahantersebut pada bentuk rasional pecah terlebih dahulu, kemudian ditentukan bentukpenjumlahan pecahan. Kesalahan tersebut dimungkinkan terjadi karena Subjek S6kutang paham terhadap konsep rasional pecah. Hasil wawancara jugamenunjukkan bahwa Subjek S6 langsung mengubah bentuk pecahan tersebut


367

karean itu adalah hal yang biasanya dilakukan ketika mngerjakan latihan soal.Lebih lanjut, Subjek S6 kurang memahami syarat penggunaan perubahan bentuktersebut sehinnga ia tidak mengubah menjadi bentuk rasional pecah terlebihdahulu.

Berdasarkan paparan tersebut, Subjek S2 melakukan comprehension errorpada saat melakukan perubahan kalimat matematika pada soal dengan bentuk lainyang bernilai sama. Subjek S2 melakukan dengan substitusi, tetapi terdapatkesalahan mendiferensialkan, sehingga bentuk yang dihasilkan tidak bernilai samadengan kalimat pada soal. Kesalahan tersebut dapat terjadi karena konsep materiprasyarat tidak dikuasi dengan baik. Untuk Subjek S4 juga melakukancomprehension error yang ditunjukkan pada kesalahan mengubah kalimatmatematika pada soal. Kesalahan Subjek S4 adalah tidak menuliskan simbol akar,tetapi kesalahan tersebut berdampak pada pemilihan teknik integral serta prosespenyelesaian selanjutnya. Kesalahan tersebut terjadi karena ketidaktelitian SubjekS4 dalam prorses pengerjaan soal. Pada Subjek S6, comprehension error jugatejadi pada proses pengubahan kalimat matematika pada soal. Subjek S6melakukan kesalhan mengubhan bentuk pecahan biasa menjadi bentukpenjumlahan pecahan. Kesalahan tersebut terjadi karena Subjek S6 tidakmemahami konsep bentuk rasional pecah.

Comprehesion error sangat mungkin terjadi pada penyelesaian masalahkalkulus integral. Dalam hal ini, comprehension error terjadi pada saat mahasiswamelakukan perubahan bentuk kalimat matematika pada soal agar menjadi bentukyang lebih sederhana dan dapat diitegralkan dengan mudah. Namun, prosesmengubah tersebut banyak terjadi kesalahan disebabkan oleh beberapa hal, antaralain: (1) mahasiswa tidak menguasai pengetahuan prasyarat, (2) ketidaktelitiandalam menuliskan simbol matematika, dan (3) mahasiswa kurang menguasaikonsep matematika dasar, salah satunya adalah konsep tentang bentuk rasionalpecah.

3. Transformation ErrorTransformation error diartikan sebagai kesalahan transformasi. Kesalahan

transformasi merupakan sebuah kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalammenentukan solusi utama dalam permasalahan atau mahasiswa tidak mampumembuat perencanaan penyelesaian setelah mahasiswa memahai maksud daripermasalahan sebelumnya. Berdasarkan Singh (2010) “A transformation erroroccurred when the pupil had correctly comprehended a question’s requirementbut failed to identify the proper mathematical operation or sequence of operationto successfully pursue the course of problem-solution”. Dengan demikian,kesalahan transformasi merupakan sebuah kesalahan yang terjadi ketikamahasiswa telah benar memahami pertanyaan atau permasalahan dari soal yangdiberikan, tetapi gagal untuk mengubah informasi dalam soal ke simbolmatematika, operasi, maupun kalimat matematika dengan benar.


368

Menurut Csaky, Azabova, & Nasticka (2015), letak kesalahantransformation error biasanya adalah procedural tendency, yaitu kecenderungansiswa menggunakan prosedur seperti biasa tanpa menganalisi terlebih dahuluterkait kebutuhannya. kesalahan konsep, dan menganggap grafik sebagai gambar.Dalam penelitian ini, transformation error dapat diidentifikasi melalui: (1)mahasiswa tidak mampu memilih pendekatan yang tepat, (2) mahasiswa salahmenentukan teknik pengintegralan yang tepat sesuai dengan permsalahan yangdiberikan, dan (3) mahasiswa gagal memahami konsep integral sebagai langkahutama dalam penyelesaian masalah yang dilakukan. Letak kesalahantransformation error pada penelitian ini ditunjukkan pada Gambar 6, Gambar 7,dan Gambar 8 berikut yang menunjukkan kesalahan Subjek S2 pada nomor 2a,kesalahan Subjek S3 pada nomor 2b, dan kesalahan Subjek S6 pada nomor 3.

Gambar 6. Jawaban Subjek S2 nomor 2a

Gambar 7. Jawaban Subjek S3 nomor 2b Gambar 8. Jawaban Subjek S6 nomor 3

Berdasarkan Gambar 6, Subjek S2 melakukan kesalahan pada nomor 2a.Untuk soal Subjek S2 telah memilih teknik pengintegralan


369

yang tepat, yaitu menggunakan integral parsial . Namun,Subjek S6 tidak menentukan pennganti variabel dan dengan tepat. Subjek S6memisalkan dan . Pada langkah penyelesaian selanjutnyadiperoleh , dimana suku akanberulang terus dengan pangkat yang lebih tinggi, sehingga soal tersebut tidakdapat terselesaikan. Berdasarkan hasil wawancara, Subjek S2 menyatakan bahwaia merasa bingung untuk menetukan pengganti variabel dan . Subjek S2mengatakan bahwa hasil penyelesaiannya akan sama jika pennganti variabeldan saling ditukar. Ketika memilih permisalan tersebut, Subjek S2 merasadapat menyelesaikan sampai penyelesaian terakhir. Jika diperhatikan, prosesperhitungan salah karena seharusnya menggunakan teknikintegral parsial kembali.

Berdasarkan Gambar 7, pada ide awal penyelesaian, Subjek S3 telahmemilih teknik pengintegralan yang tepat yaitu substitusi bentuk trigonometri.Kemudian, Subjek S3 telah melakukan proses perhitungan dengan tepat danhasilnya adalah bukan bentuk dasar integral, sehingga Subjek S3harus menentukan teknik pengintegralan yang tepat untuk menyelesaikan bentuktersebut. Namun, Subjek S3 menyelesaikan bentuk kalimat matematika tersebutdengan cara yang tidak tepat. Hasil wawancara dengan Subjek S3, ia ragu-raguapakah dapat menjadi . Setelahberpikir sejenak dan diberikan pertanyaan apakah bentuk pecahan dapat diubahseperti itu, Subjek S3 mengatakan bahwa hal itu tidak boleh, berarti mengubahbentuk integral tersebut juga tidak bermakna sama. Subjek S3 menyelesaikandengan cara tersebut karena ia tidak dapat menentukan teknik pengintegralan yangtepat.

Sedangkan Subjek S6 melakukan kesalahan pada nomor 3, yaitu Subjek S6tidak memilh teknik pengintegralan dengan tepat. Pada Gambar 8 tersebut, SubjekS6 menyelesaikan dengan cara substitusi , tetapi padapenyelesaian selanjutnya menjadi dimana suku tidak dapatdikeluarkan dari operasi integral, sehingga teknik pengintegralan yang dipilihtidak dapat menyelesaikan soal. Pada soal tersebut, teknik pengintegralan yangdipilih yaitu substitusi . Hasil wawancara menunjukkan bahwa SubjekS6 merasa binung menentukan teknik pengintegralan yang tepat. Pada beberapasoal yang ia temui, soal-soal sejenis nomor 3 tersebut dapat diselesaikan dengansubstitusi sederhana. Soal yang dimaksud Subjek S6 adalah bentuk soal seperti

, dimana soal tersebut tepat jika diselesaikan denagn substitusisederhana. Namun, Subjek S6 juga ingat bahwa ada soal bentuk seperti no 3diselesaikan dengan substitusi yang berkaitan dengan dan .Subjek S6 tidak mengingat secara jelas bagaimana proses penyelesaian dengan


370

substitusi trigonoetri tersebut. Hal tersebut terliha pada Gambar X, penyelesaianbaris ke 3 dari bawah, tiba-tiba Subjek memunculkan nilai .

Berdasarkan paparan lembar jawab dan wawancara pada subjek tersebut,transfromation error yang dilakukan Subjek S2 adalah pada penerapan teknikintegral yang telah dipilih. Subjek S2 melakukan kesalahan karena tidakmemahami konsep secara keseluruhan dalam penggunaan integral parsial,sehingga Subjek S2 tidak terlalu mempertimbangkan lebih dalam penentuanvariabel dan untuk penyelesaian menggunakan rumus integral parsial.Sedangkan untuk Subjek S3, transformation error dilakukan pada menentukanteknik pengintegralan yang tepat. Kesalahan tersebut terjadi karena adanyakesalahan konsep dasar matematika yang dilakukan Subjek S3. Untuk Subjek S6,transformation error terjadi pada nomor 3, yaitu kesalahan pemilihan teknikintegral sebagai ide utama menyelesaikan soal. Subjek S6 melakukan kesalahantersebut karena beberapa kali menemui soal sejenis yang teknik penyelesaiannyaadalah substitusi dasar, sedangkan karakter soal yang dimaksud berbeda dengansoal pada 3, serta subjek S6 juga sedikit mengingat bahwa soal sejenis nomor 3diselesaikan dengan substitusi . Dengan demikian, disimpulkan bahwaSubjek S6 belum dapat menentukan karakteristik atau jenis soal tertentu sehinggaakan bingung dalam menentukan teknik integral yang sesuai.

Pada penyelesaian soal kalkulus intergral, transformation error terjadi ketikamahasiswa tidak dapat menentukan teknik pengintegralan yang tepat ataumahasiswa dapat menentukan teknik pengintegralan yang tepat tetapi tidak dapatmenentukan penerapannya secara tepat. Penyebab terjadinya transformation errorpada penyelesaian soal kalkulus intergral, yaitu (1) mahasiswa belum dapatmengidentifikasi karakteristik ataupun jenis soal sehingga tidak dapat menentukanteknik integral yang tepat, (2) konsep dasar matematika yang tidak terlalu dalam,seperti mengubah bentuk pecahan rasional atau mengubah bentuk kuadratsempurna, menyebabkan kesalahan menetukan teknik integral, (3) adanyapemahaman konsep yang tidak sempurna menyebabkan mahasiswa mealkukankesalahan dalam menerapkan suatu teknik integral.

4. Process Skill ErrorProcess skill error diartikan sebagai kesalahan dalam kemampuan

memproses. Yang dimaksud dengan kesalahan kemampuan memproses yaitukesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam menerapkan langkah-langkahperhitungan dengan benar ketika menerapkan suatu prosedur atau algoritma.Singh (2010) memaparkan “A process skill error occurred when, although thecorrect operation (or sequence of operations) to be used to pursue problemsolution”. Dengan demikian, kesalahan masih tetap bisa terjadi meskipunmahasiswa telah selesai menemukan ide penyelesaian permasalahan matematika,misalnya mahasiswa salah menuliskan apa yang dimaksudkan. Berdasarkan hal


371

tersebut, process skill error yang dimaksud adalah kesalahan yang terjadi dalammenerapkan ide penyelesaian, termasuk kesalahan menulis.

Csaky, Azabova, & Nasticka (2015) mengidentifikasi process skill errorterjadi pada kesalahan aljabar, kesalahan aritmatika, kesalahan dalam interpretasigrafik, penggunaan skala yang tidak tepat, kesalhan pengukuran dan perhitungan,serta jawaban yang tidak terselesaikan. Dalam penelitian ini, process skill errordiidentifkasi berdasarkan beberapa hal yang lebih khusus pada penyelesaianmasalah kalkulus integral, yaitu: (1) mahasiswa telah memilih pendekatan yangtepat, tetapi tidak dapat melakukan prosedur penyelesaian dengan benar, (2)kesalahan dalam menerapkan konsep integral yang mendasar, (3) kesalahan dalamperhitungan, (4) kesalaan dalam operasi aljabar, (5) kesalahan dalammenggunakan variabel, serta (6) kesalahan dalam melakukan manipulasi aljabar.Letak process skill error ditunjukkan pada Gambar 9 yakni jawaban S1 nomor 1b,Gambar 10 yaitu jawaban Subjek S2 nomor 2b, dan Gambar 11 adalah jawabanSubjek S5 nomor 2a.

Gambar 9. Jawaban Subjek S1 nomor 1b Gambar 10. Jawaban Subjek S1 nomor 2b

Gambar 11. Jawaban Subjek S5 nomor 2b

Berdasarkan Gambar 9, Subjek S1 melakukan kesalahan mengintegralkanbentuk yang sederhana. Subjek S1 melakukan salah perhitungan pada baris 4 atauproses penyelesaian pada baris 3 ke baris 4 tidak dilakukan operasi integral karenaSubjek S1 hanya mengubah pada penyebut menjad pembilang .Berdasarkan hasil wawancara, Subjek S1 bermaksud menuliskan bentuk lain


372

menjadi bentuk terlebih dahulu kemudian mengintegralkan . Namun,Subjek S1 tidak menuliskan simbol integral, sehingga ia tidak melakukan operasiintegral. Dengan demikian, process skill error pada Subjek S1 bukan karena salahmenghitung atau tidak bisa menghitung integral bentuk dasar, tetapi karenaadanya simbol yang tidak dituliskan kembali sehingga proses penyelesaiannyabelum selesai. Kesalahan tersebut disebabkan ketidaktelitian Subjek S1 dalamproses penyelesaian masalah.

Gambar 10 menunjukkan jawaban Subjek S2 nomor 2b pada bagianpenyelesaian kedua. Subjek S2 dapat menentukan teknik integral yang tepat untuksoal nomor 2b dan telah melakukan perhitungan sehingga diperoleh

. Kemudian Subjek S2 juga memilih teknik integral yang tepat

untuk menyelesaikan bentuk tersebut sampai pada perhitungan .Dalam menentukan penyelesaian selanjutnya, subjek melakukan permisalan tetapikemudian tidak diselesaikan. Berdasarkan jawaban tersebut, dapat dianalisisbahwa Subjek mengalami kebingungan dalam penggunaan variabel yangberulang-ulang. Pada soal nomor 2b, variabel yang digunakan adalah , kemudianSubjek S2 melakukan manipulasi aljabar sehingga diperoleh bentuk intergaldengan variabel , yaitu , kemudian Subjek S2 kembalimenggunakan variabel dan lagi. Berdasarkan hal tersebut, dapat diidentifikasibahwa keslahan yang dilakukan Subjek S2 karena penggunaan variabel yang samasecara berulang-ulang. Berdasarkan hasil wawancara, Subjek S2 menyatakanbahwa ia tidak menyelesaikan soal nomor 2b sampai penyelesaian akhir karenabingung dengan variabel-variabel dan yang ditulis. Dalam proses

penyelesaian kedua, Subjek S2 menuliskankarena rumus yang diajarkan di kelas menggunakan variabel , sehingga SubjekS2 tidak mengubah variabel pada rumus. Akan tetapi Subjek tidak cermatsehingga terus menggunakan variabel pada penyelesaian tersebut. Dengandemikian, Subjek S2 melakukan process skill error pada penggunaan variabelatau proses manipulasi aljbar. Kesalahan tersebut dilakukaan karena penggunaanvariabel yang sama secara berulang-ulang dan penggunaan rumus yang persissama diajarkan tanpa mengubah variabel sesuai dengan penyelesaian.

Berdasarkan Gambar 11, Subjek S5 telah menentukan teknik pengintegralanyang tepat dan telah disubstitusi dengan tepat. Namun, Subjek S5 melakukankesalahan operasi pengurungan, sehingga mengakibatkan proses penyelesaianyang dilakukan selanjutnya salah. Hasil wawancara menunjukkan bahwa SubjekS5 baru menyadari kesalahan hitung tersebut dan hal tersebut menunjukkan jikaSubjek S5 kurang teliti dalam melakukan proses perhitungan. Subjek S5melakukan process skill error pada operasi pengurangan yang disebabkanketidaktelitian saat proses mengerjakan.


373

Berdasarkan paparan tersebut, process skill error yang dilakukan Subjek S1yaitu tidak menuliskan simbol integral sehingga proses selanjutnya tidakdilakukan operasi integral. Kesalahan tersebut disebabkan ketidaktelitian SubjekS1 dalam proses penyelesaian masalah. Sedangkan Subjek S2 melakukan processskill error pada manipulasi aljabar, yaitu penggunaan variabel yang sama secaraberulang-ulang. Kesalahan tersbut terjadi karena penggunaan rumus yang samapersis dengan yang diajarkan tanpa mengubah variabel sesuai denganpenyelesaian. Subjek S5 melakukan process skill error pada operasi penguranganyang disebabkan ketidaktelitian saat proses mengerjakan.

Dengan demikian, pada penyelesaian soal kalkulus integral, process skillerror terjadi pada kesalahan tidak menuliskan simbol integral, manipulasi aljabardan penggunaan variabel yang sama secara berulang, serta kesalahan operasihitung. Penyebab process skill error yaitu ketidaktelitian mahasiswa baik dalampenggunaan simbol maupun dalam operasi hitung, serta penggunaan rumus yangsama seperti yang telah diajarkan di kelas atau dipelajari di buku tanpamenganalisa atau menyesuaikan rumus dengan penyelesaian masalah yangdilakukan.

5. Encoding ErrorEncoding Error diartikan sebagai kesalahan penulisan. Kesalahan penulisan

merupakan kesalhan yang dilakukan oleh mahasiswa karena tidak dapatmenuliskan jawaban yang benar. Pada tahap ini mahasiswa telah mampumenyelesaikan soal, tetapi ada sedikit kekurangtrlitian yang menyebabkanberubahnya makna jawaban ynang ditulis. Berdasarkan Singh (2010), “Anencoding error occurred when, despite having appropriately and correctly solveda mathematical task, the pupil failed to provide an acceptable written form of theanswer”. Dengan demikian, suatu kesalahan masih tetap bisa terjadi meskipuntelah selesai memecahkan masalah matematika, yaitu mahasiswa salah menulislanapa yang dimaksud dalam soal yang diberikan.

Berdasarkan Csaky, Azabova, & Nasticka (2015), Encoding error terjadipada mahasiswa yang tidak dapat menginterpretasikan dengan tepat jawaban dariperhitungan matematika ke jawaban masalah yang ditanyakan pada soal atau realworld. Hal tersebut menunjukkan bahwa jenis soal yang sering digunakan untukmengidentifikasi encoding error adalah jenis soal cerita. Encoding error dapatdiieditifikasi berdasar pada kesalahan saat menginterpretasikan jawaban sesuaidengan masalah yang ditanyakan pada soal dan kesalahan dalam menuliskansatuan.

Dalam penelitian ini tidak ditemukan encoding error. Hal tersebut mungkinterjadi karena beberapa hal, antara lain: (1) jenis soal penyelesaian masalahkalkulus integral yang diberikan tidak dalam bentuk soal cerita, sehinggamahasiswa tidak dituntut menginterpretasikan jawaban sesuai dengan masalah, (2)dalam penelitian ini, materi penelitian dibatasi pada bentuk integral tak tentu dan


374

tidak mencakup aplikasi integral, sehingga jawaban akhir proses penyelesaian soaltidak membutuhkan nilai satuan, serta (3) jawaban akhir diperoeleh secaralangsung dari akhir proses penyelesaian, sehingga jika terdapat kesalahan padajawaban akhir kemungkinan besar kesalahan tersebut berasal dari prosesperhitungan sebelumnya.

Berdasarkan paparan seluruh jenis kesalahan berdasarkan model Newman,pada penelitian ini, baik mahasiswa berkemampuan tinggi, sedang, maupunrendah tidak ada yang melakukan kesalahan penulisan jawaban akhir (encodingerror). Mahasiswa ypada kelompok tinggi dan sedang melakukan kesalahan padakategori comprehension error, transformation error, dan process skill error. Akantetapi, mahasiswa pada kelompok tinggi melakukan kesalahan yang relatif ringandari pada mahasiswa yang berkemampuan sedang. Selain itu, kesalahan yangdilakukan pada mahasiswa yang berkemampuan tinggi terletak pada prosespenyelesaian yang lebih kompleks. Misalnya, dalam menyelesaikan soal integralseperti pada nomor 2, mahasiswa harus menentukan tiga teknik pengintegralansecara bertahap karena jawaban akhir diperoleh melalui tiga tahap tersebut. Padamahasiswa kelompok tinggi, kesalahan yang dilakukan terletak pada prosespenyelesaian kedua dan seterusnya, tetapi mahasiswa pada kelompok sedang danrendah banyak yang melakukan kesalahan pada awal proses penyelesaian.

Mahasiswa pada kelompok rendah melakukan kesalahan pada kategori yanglebih bervariasi dari mahasiswa yang berkemampuan tinggi dan sedang.Mahasiswa pada kelompok rendah melakukan empat kategori kesalahan yaitureading error, comprehension error, transformtion error, dan process skill error.Kesalahan reading error menyebabkan mahasiswa melakukan prosespenyelesaian yang salah secara keseluruhan. Sehingga tidak dapat diidentifikasikemampuan atau pemahaman mahaiswa dalam penyelesaian masalah tersebut.

Terdapat beberapa penyebab mahasiswa melakukan kesalahan dalampenyelesaian masalah pada kalkulus integral, diantarnya (1) ketidaktelitianmahasiswa baik dalam membaca soal, menuliskan simbol matematika termasuksimbol integral, dan operasi hitung, (2) rendahnya penguasaan materi prasyaratdan konsep matematika dasar, (3) pemahaman materi dan konsep integral yangtidak sempurna, (4) mahasiswa kurang mampu mengidentifikasi karakter ataujenis soal untuk menentukan teknik integral yang tepat, dan (5) penggunaan rumusyang tidak disesuaikan dengan penyelesaian soal.

Penyebab kesalahan dalam penyelesaian masalah pada kalkulus integraltersebut didukung dengan penelitian Ming, et al (2017) terkait kesalahanpenyelesaian soal Kalkulus pada materi deret Fourier. Berdasarkan Ming, et al(2017), pola kesalahan pada kalkulus materi deret Fourier adalah mahasiswa tidakdapat menggambar grafik dengan benar, mahasiswa mengalami masalah dalammentransformasikan informasi pada grafik menjadi persamaan umum suatufungsi, dan mereka tidak mengaplikasikan metode atau teknik pengintegralan


375

dengan tepat. kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam penyelesaian masalahsoal kalkulus tersebut diindikasi karena mahasiswa masih lemah dalam aljabar,fungsi, dan kalkulus dasar.

Selain itu, hasil penelitian Muzangwa & Chifamba (2012), terdapat beberapakesalahan dan misconceptions yang dilakukan mahasiswa pada mata kuliahKalkulus. Penyebab kesalahan tersebut antara lain karena mahasiswa lemah dalamkonsep matematika dasar seperti aljabar, limit, serta dasar diferensial dan integral.Selain itu, mahasiswa juga mengalami kesulitan dalam menganalisis konsep danmahasiswa sangat rendah dalam memahami konsep dasar kalkulus.

SIMPULAN DAN SARANSimpulan

Pada penyelesaian masalah soal kalkulus integral, jenis kesalahan yangditemukan yaitu reading error, comprehension error, transformation error, sertaprocess skill error. Dalam penelitian ini tidak ditemukan encoding error karenajawaban akhir diperoeleh secara langsung dari akhir proses penyelesaian,sehingga jika terdapat kesalahan pada jawaban akhir kemungkinan besarkesalahan tersebut berasal dari proses perhitungan sebelumnya.

Reading error terjadi pada kesalahan menuliskan kalimat matematika sesuaidengan soal. Penyebab reading error tersebut karena tidak teliti dalam membacasoal dan adanya asumsi soal yang mirip dengan latihan soal yang pernahdikerjakan. Comprehension error terjadi pada saat mahasiswa melakukanperubahan bentuk kalimat matematika pada soal agar menjadi bentuk yang lebihsederhana dan dapat diitegralkan dengan mudah. Penyebab comprehension errortersebut adalah (1) mahasiswa tidak menguasai pengetahuan prasyarat, (2)ketidaktelitian dalam menuliskan simbol matematika, dan (3) mahasiswa kurangmenguasai konsep matematika dasar. Transformation error terjadi ketikamahasiswa tidak dapat menentukan teknik pengintegralan yang tepat ataumahasiswa dapat menentukan teknik pengintegralan yang tepat tetapi tidak dapatmenentukan penerapannya secara tepat. Penyebab transformation error tersebutyaitu (1) mahasiswa belum dapat mengidentifikasi karakteristik ataupun jenis soalsehingga tidak dapat menentukan teknik integral yang tepat, (2) rendahnyapenguasaan konsep matematika dasar, dan (3) adanya pemahaman konsepintegral yang tidak sempurna menyebabkan mahasiswa mealkukan kesalahandalam menerapkan suatu teknik integral. Process skill error terjadi pada kesalahantidak menuliskan simbol integral, manipulasi aljabar dan penggunaan variabelyang sama secara berulang, serta kesalahan operasi hitung. Penyebab process skillerror tersebut yaitu ketidaktelitian mahasiswa baik dalam penggunaan simbolmaupun dalam operasi hitung, serta penggunaan rumus yang sama seperti yangtelah diajarkan di kelas atau dipelajari di buku tanpa menganalisa ataumenyesuaikan rumus dengan penyelesaian masalah yang dilakukan.


376

DAFTAR PUSTAKAAbdullah, A.H., Abidin, N. L. Z., & Ali, M. 2015. Analysis of Students’ Errors in

Solving Higher Order Thinking Skills (HOTS) Problems for the Topic ofFraction. Asian Social Science; Vol. 11, No. 21; 2015.

Csaky, A., Azabova, E., & Nasticka, Z. 2015. Analysis of Errors in StudentSolutions of Context-Based Mathematical Tasks. Acta MathematicaNitriensia Vol. 1, No. 1, p. 68 –75

Junaedi, I. 2012. Tipe Kesalahan Mahasiswa dalam Menyelesaikan Soal-soalGeometri Analitik Berdasar Newman’s Error Analysis (NEA). JurnalKreano Volume 3 Nomor 2, Desember 2012.

Ming, C.Y., et al. 2017. Undergraduates’ Error Patterns and Misconceptions inFurther Differential Equations. International Academic Research Journal ofSocial Science 3(1) 2017 Page 65-70.

Moru, E.K., Qhobela, M., Poka, W., & Nchejane, J. 2014. Teacher knowledge oferror analysis in differential calculus. Pythagoras,35(2), Art. #263, 10pages. http://dx.doi.org/10.4102/pythagoras.v35i2.263

Muzangwa, J and Chifamba, P. 2012. Analysis of Errors and Misconceptions inThe Learning of Calculus by Undergraduate Students. Acta DidactaNapocensia Volume 5 Number 2.

Polya, G. 1957. How to Solve it. USA: Princenton University Press.Prakitipong, N., & Nakamura, S. 2006. Analysis of Mathematics Performance of

Grade Five Students in Thailand Using Newman Procedure. Journal ofInternational Cooperation in Education, Vol.9, No.1, (2006) pp.111- 122.

Singh, P., Rahman, A. A., & Hoon, T. S. (2010). The newman procedure franalyzing four pupils errors on written mathematical tasks: A malaysianperspective. Procedia Sosial and Behavioral Sciences, 8, 264-271.

Zakaria, E., Ibrahim, Maat, S.M. 2010. Analysis of Students’ Error in Learning ofQuadratic Equations. International Education Studies Vol. 3, No. 3; August2010

process skill error: the majority student’s error in

Documents