procesamiento digital de señales: unidad 1

M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca

UNIDAD 1

Conceptos Generales

Introducción

El procesamiento de señales trata de la representación, transformación

y manipulación de señales y de la información que contienen.

Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 2

Procesamiento de señal +

+

Introducción


Mundo real Mundo realProcesamiento

de la señal

Introducción

Procesamiento

Análogo Digital


Introducción

El Tratamiento Digital de Señales se basa en el procesamiento de

secuencias de muestras discretas en tiempo y amplitud.


Introducción

• Aplicaciones:

Radar

Sonar

Comunicaciones satelitales

Telefonía

Electrocardiogramas

Ultrasonidos

Terremotos

Fotografía

Video

Simulación

...


Clasificación de señales

Señal: se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio, o cualquier otra variable o variables independientes


Unidimensional Bididimensional

tts 5)(1 21023),( yxyxyxs

Clasificación de Señales


Señal determinista y aleatoria

Determinista: cualquier señal que

pueda ser definida por una formamatemática explícita, un conjunto dedatos o una regla determinada.

Aleatoria: cualquier señal que no se

puede describir con un grado deprecisión razonable mediante fórmulasmatemáticas explícitas, o cuyadescripción es demasiado complicadapara ser de utilidad práctica.

sen(wt)y

1

θ(t))F(t)tA(t)sen(2π



Tiempo continuo, tiempo discreto

Tiempo continuo, amplitud continua.

Tiempo discreto, amplitud continua

Tiempo continuo, amplitud discreta

Tiempo discreto, amplitud discreta



Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo continuo

• Para todo valor fijo de la frecuencia 𝑓𝑜, 𝑥(𝑡) es periódica.

ttfAtx ),2cos()( 0

)()( txTtx P 0

1f

TP donde es el periodo fundamental

• Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes, son diferentes.

• El aumento en la frecuencia 𝑓0 resulta en un aumento en la tasa de oscilación de la señal en un intervalo de tiempo dado.



Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo continuo

)(

2

)(

2)cos()( tjAtjA eetAtx

Fasores de una señal sinusoidal con frecuencias positivas y negativas.

Clasificación de señalesPropiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto

nnFAnx ),2cos()( 0

0FW 2

w : frecuencia en tiempo continuo expresada en

radianes

f0 : frecuencia de señal en tiempo continuo

fs : frecuencia de muestreo

N : periodo fundamental en tiempo discreto

Fo : frecuencia de señal en tiempo discreto,

normalizada o relativa

W : frecuencia en tiempo discreto expresada en

radianes

sff00F



Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto

121

0 F

3

Periodo fundamental, N




1. Una sinusoide en tiempo discreto es periódica solo si su frecuencia

Fo es un número racional.

)()( nxNnx para todo n

kNF 22 0 N

kF 0 k: número entero

Clasificación de señalesPropiedades de la señal sinusoidal en tiempo disreto

2. Las sinusoides en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por

un múltiplo de 2𝜋 son idénticas.

)cos()2(cos WnnW

Rango de frecuencias únicas: W ó21

21 oF

Rango de frecuencias alias: WF0 ó21




Ejercicios:

1. Demostrar la segunda propiedad.

2. Demostrar que el denominador de F0 es igual al número de muestras por ciclo.

3. Para un tamaño de muestra dado, la mayor tasa de oscilación en

una sinusoide en tiempo discreto se alcanza cuando W = 𝜋 ó W =

− 𝜋 ó, equivalente, F0 =1

2ó F0 = −

1

2




N

F

W

0 0

0

16

161

8

N

F

W

0

4

41

2

N

F

W

0

2

21

N

F

W

0



Señales de energía y señales de potencia

n

nxE2

)(

La energía de una señal x(n) se define como:

La energía de una señal puede ser finita o infinita. Si E es finita (es decir,

0 < E < ∞), entonces se dice que x(n) es una señal de energía.




N

NnNnx

NP

2)(

12

1lim

La potencia media de una señal discreta en el tiempo x(n) se define como:

Si P es finita (y distinta de cero), la señal se denomina señal de potencia.

Por otra parte, si E es infinita, la potencia media P puede ser tanto finita

como infinita.

1

0

21 )(N

nN

nxP

Señal periódica Señal NO periódica




Ejemplo: Determine la potencia y energía de la secuencia escalón unidad.

21

/12/11

121

0

2

121 limlim)(lim

NN

NN

N

N

N

nN

NnuP

La secuencia escalón unidad es una señal de potencia. Su energía es

infinita. Todas las señales periódicas son señales de potencia.




E = finita -> P media = 0 : Señal de Energía

E = Infinita -> P media = [Finita, Infinita],

P media = Finita : Señal de Potencia



Señales simétricas y antisimétricas

x(n)n)x(

Se denomina simétrica o par:

Se denomina antisimétrica, o impar:

x(n)n)x(



Señales periódicas y señales No periódicas

Una señal periódica se define como:

)()( nxNnx Para todo n

Si la relación anterior no se verifica para ninguna N, entonces se dice

que es aperiódica.




La energía de una señal periódica en un periodo finito es finita. Cuando

toma valores desde −∞ < n < ∞ su energía es infinita.




La potencia media de una señal periódica es finita y es igual a la potencia

media sobre un único periodo.

Potencia media de una señal periódica con periodo fundamental N y de

valores finitos:

1N

0n

2

N1 x(n)P

Las señales periódicas son señales de potencia.


Conversión analógico-digital

Muestreo Cuantificación Codificación

Señal analógica

Señal en tiempodiscreto

Señal cuantificada

Señal digital

)(txa x(n) (n)x q 0101100…


Muestreo

Conversión de una señal en tiempo continuo en una señal en tiempo

discreto obtenida tomando “muestras” de la señal en tiempo continuo en

instantes de tiempo discreto.


Muestreo


Cuantificación

Conversión de una señal en tiempo discreto con valores continuos a una

señal en tiempo discreto con valores discretos.


Cuantificación


Codificación

En el proceso de codificación, cada valor discreto se representa mediante

una secuencia binaria de bits.


Codificación

0101100…



sfnTt n sff 0F0

sTWfs = 1/T, Hz

Donde:

θ)tπf((t)xa 02cosA

sf

f

s ATfATn

a n)(nx 02

0 cos)2cos(

Señal en tiempo continuo

Señal muestreada



Morfología de la señal muestreada

sff 0F0

xa(t)

x(n)=xa(nt)

n

Ts

Periodo de muestreo o

intervalo de muestreo

Teorema del Muestreo

La frecuencia de muestreo de una señal cualquiera debe ser al menos dos

veces la frecuencia mas alta conocida.

El concepto central en el procesamiento digital de señales analógicas es

que la señal muestreada debe ser una representación única de la señal

analógica.




Bf max0Frecuencia de Nyquist:

max022 fBfs



A la frecuencia de Nyquist se toman dos muestras por periodo de la señalanalógica.





)20cos()(1 ttx

)100cos()(2 ttx

Dos señales son muestreadas a una velocidad de 40 Hz.

Determinar las señales resultantes.

Ejercicio:



Frecuencias alias o solapamiento

Solapamiento (aliasing)

Distorsión provocada debido a que la frecuencia de muestreo es

menor al doble de la frecuencia de la señal a muestrear y su efecto

reside en la perdida de información a estas frecuencias.



Frecuencia fundamental f0 = 50 Hz, 1er Alias a f0 = 150 Hz, 2do Alias a f0 = 350

Hz, Frecuencia de muestreo fs = 200 Hz





Tarea: Investigar la aplicaciones del solapamiento.



Ejemplos

Considere la siguiente señal:

ttxa 100cos3)(

• Determine la velocidad de muestreo mínima para evitar el solapamiento.

• Suponga que la señal se muestrea a una velocidad fs = 200 Hz,

¿Cuál es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?

• Suponga que la señal se muestrea a una velocidad fs = 75 Hz. ¿Cuál

es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?

• ¿Cuál es la frecuencia 0<f0<fs /2 de una sinusoide que produce

muestras idénticas a las obtenidas en el apartado c)?



Ejemplos

)2sin()( 0 tfAtx

b) Utilizando los siguientes parámetros, representar 25 puntos de la función:

Hzf 17500 Hzf s 4000 o45

a) ¿cuál es la frecuencia de muestreo mínima si fo=1500 Hz?

c) Utilizar los mismos parámetros y graficar una ventana de 25 ms de la señal.

Dada la siguiente función:



Ejemplos

1. Determine si cada una de las señales siguientes es periódica. En caso afirmativo, especifique su periodo fundamental.

a)

b)

c)

d)

e)

Ejercicios: Unidad 1


)6/5cos(3)( ttxa

)6/5cos(3 nx(n)

)6/(exp2 nx(n) j

)8/cos()8/cos( nnx(n)

)3/4/cos(3)8/()2/cos( nnnx(n) sen

2. Considere la siguiente señal sinusoidal analógica:

a) Dibuje la señal xa(t) para 0 ≤ t ≤ 30 ms.

b) La señal xa(t) se muestrea con una tasa de fs=300 muestras/seg. Determine la

frecuencia de la señal en tiempo discreto x (n)=xa (nT), T=1/fs, y demuestre

que es periódica.

c) Calcule los valores de las muestras de un periodo de x (n). Dibuje x (n) en el

mismo diagrama de xa(t ). ¿Cuál es el periodo en milisegundos de la señal en

tiempo discreto?

d) ¿Podría encontrar una tasa de muestreo fs tal que la señal alcance su valor de

pico x (n ) de 3?. ¿Cuál es el valor mínimo de fs adecuado, para esta tarea?



)100(3)( tsentxa



3. Una señal analógica contiene frecuencias hasta los 10 Khz.

a) ¿Qué intervalo de frecuencias de muestreo permite su

reconstrucción exacta a partir de sus muestras?

b) Suponga que muestreamos esta señal con una frecuencia de

muestreo fs = 8 Khz. Examine lo que ocurre con la frecuencia fo =

5 Khz.

c) Repita el apartado b) para una frecuencia fo = 9 Khz.



4. Una señal analógica xa(t) = sen (480𝜋t) + 3 sen (720𝜋t) se muestrea

600 veces por segundo.

a) Determine la tasa de Nyquist para xa (t).

b) Determine la máxima frecuencia a la que se puede muestrear para

que no exista ambigüedad al reconstruir la señal original.

c) ¿Cuáles son las frecuencias, en radianes, de la señal resultante x

(n)?

d) Si x (n ) se pasa a través de un conversor D/A ideal, ¿Cuál es la

señal reconstruida ya (t) que se obtiene?

procesamiento digital de señales: unidad 1

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