Dra. María del Pilar Gómez Gil Otoño 2017

Coordinación de computación INAOE

Procesamiento digital de señales Semana 11.

Filtros Adaptivos LMS

1 (c) P.Gómez Gil, INAOE 2017

Versión: 31 de Octubre 2017

Tema Filtros adaptivos LMS

Parte del material de esta presentación fue tomado de: Li Tan. Digital Signal processing. Fundamentals

and applications. Elsevier Inc, 2008, Amsterdam. (tarea: leer el capítulo 10 de este libro)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 2

• Los filtros digitales adaptivos son muy utilizados actualmente

• Ejemplo de aplicaciones: eco en las llamadas telefónicas, cancelación de ruido, mejora de señales biológicas y sistemas de control adaptivo

• Se usan en ambientes donde las señales están cambiando con el tiempo, ya que en ese tipo de señales, los filtros con coeficientes fijos no funcionan

• Aquí solo platicaremos de un tipo de filtro FIR basado en el algoritmo de “least mean square” (LMS)

Introducción (1/2)

3

• Recordemos que un filtro FIR se puede definir como: Donde m representa el orden del filtro. Desglosando la ecuación tenemos: 𝑦 𝑛 = 𝑏0𝑥 𝑛 + 𝑏1𝑥 𝑛 − 1 + 𝑏2𝑥 𝑛 − 2 … • Un filtro adaptivo busca hallar los valores de los

coeficientes 𝑏𝑚 mas adecuados para los valores de las señales de entrada x(n), que están siendo recibidos en el momento.

Introducción (2/2)

4

m

m mnxbny )()(

Un sistema para cancelar ruido

5

(Tan 2008)

Ruido original

Filtro de grado 1 : 𝑦 𝑛 = 𝑏0𝑥 𝑛 Como es adaptivo, 𝑏0 puede valer diferente en el tiempo

• s(n) – señal original en el 1º. canal (señal deseada) • n(n) – ruido en el 1º. canal • d(n) – señal capturada en el 1º. Canal • x(n) – ruido original capturado en el 2º. Canal

• Notar que:

– n(n) (ruido en 1º. Canal) no está correlacionado con s(n) (señal original en el primer canal), entonces se pueden separar

– x(n) (ruido puro, 2º. canal) sí está correlacionado con n(n) (ruido capturado en el 1º. canal).

– x(n) no está correlacionado a s(n)

Señales involucradas

6

Filtro de Wiener para cancelar ruido

7

(Tan 2008)

• El objetivo del filtro es estimar un aproximado del ruido real, para poder restarlo de la señal capturada en el 1º. canal y así tener un aproximado de la señal deseada

• El ejemplo muestra un filtro FIR de orden 1 (un solo retraso) 𝑦 𝑛 = 𝑤𝑛𝑥 𝑛

• Cuando y(n)≈n(n), la señal de error e(n)= s(n)+y(n)-n(n) ≈ ŝ(n), es decir, la señal limpia deseada

Calculo del único coeficiente del filtro (1/2)

8

• La fórmula de ajuste del filtro del ejemplo está dada por: 𝑤𝑛+1 = 𝑤𝑛 + 0.01 ∙ 𝑥 𝑛 ∙ 𝑒 𝑛

• De la filmina anterior, recordamos que:

𝑦 𝑛 = 𝑤𝑛𝑥 𝑛 𝑒 𝑛 = 𝑑 𝑛 − 𝑦(𝑛)

(Tan 2008)

Calculo del único coeficiente del filtro (1/2)

9

Si la señal deseada fuera una función seno…

10 (Tan 2008)

Filtro de Wiener

11

(Tan 2008)

Filtrado adaptivo: idea general

12

d(n) – función deseada e(n) – error generado Y(n)- salida del filtro X(n)- entrada al filtro

El “filtro” deberá, después de un tiempo, generar la salida especificada por la función d(n)

[Tan, 2008]

Least-Mean-Square (LMS) Algorithm

• Desarrollado por Widrow y Woff (Widrow &Woff, 1960) • Procesos básicos

– Proceso de Filtrado • Calcule la salida del filtro FIR convolucionando la entrada con los

coeficientes • Estime el error

– Proceso de adaptación • Ajuste los pesos

Cálculo del error con un solo coeficiente

valor esperado

[Tan, 2008]

(Tan 2008)

• El objetivo es obtener el valor de w que minimice el error J, para lo cual se busca el mínimo del error, obteniendo la derivada de la función de error con respecto al peso e igualando a cero:

Valor del peso “ideal”

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PRR

Pw

wRP

wRPw

J

1

022

Cálculo iterativo de los pesos Algoritmo LMS Least-mean square

[Tan, 2008]

un solo peso dos pesos

Función del error cuadrático medio

Algoritmo del gradiente descendente: un solo peso

[Tan, 2008]

• El nuevo “w” deberá ser el “w” anterior menos/mas algún porcentaje de incremento que “lleve” a la función al mínimo valor de J

Actualización del peso (1/2)

[Tan, 2008]

• Entonces la modificación queda como:

Actualización del peso (2 /2)

19

• Suponiendo que x(n)={3,3,3,3….} y se desea que y(n)={8,8,8,8….}, cuanto debe valer 𝑤𝑛?

𝑦 𝑛 = 𝑤𝑛𝑥 𝑛

𝑤𝑛 =8

3= 2.66666

• La estimación de 𝑤𝑛 usando LSM sería: (ver siguiente filmina)

Ejemplo muy simple de cálculo de w

20

• el archivo excel que

• calcula esta tabla

21

Convergencia del coeficiente del ejemplo

22

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

w(n

)

iteración (n)

Convergencia de w

Extensión para un filtro de orden n (varios

pesos)

Un solo peso

Varios pesos

[Tan, 2008]

Factor de convergencia

2)(nxpower

(Tan, 2008)

De un libro de redes neuronales artificiales…

25

(Haykin, 1999)

• Reproducir en Matlab, sin usar el toolbox de procesamiento de señales, la figura 10.3 de (Tan,2008)

Tarea

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Aplicaciones de filtos adaptivos: identificación

• Modelado de un sistema

Parameters

– u=input of adaptive filter=input to plant – y=output of adaptive filter – d=desired response=output of plant – e=d-y=estimation error

[Tan, 2008]

• Parameters – u=input of adaptive filter=delayed version of random signal – y=output of adaptive filter – d=desired response=random signal – e=d-y=estimation error=system output

• Applications: – Linear predictive coding

Aplicaciones de sistemas adaptivos: predicción

Cancelación de interferencia en un EKG

• Haykin, Simon. Artificial Neural Networks. A comprehensive foundation. Second Edition. Singapore Pearson Prentice Hall, 1999

• Tan, Li. Digital Signal Processing. Fundamentals and Applications. Amsterdam: Elsevier, 2008

Bibliografía

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