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Procesamiento Digital de SeñalProcesamiento Digital de Señal
Tema 5: Muestreo y reconstrucción
• Teorema de muestreo: Shannon-Nyquist.
• Reconstrucción
• Diezmado e Interpolación
• Cuantización
MuestreoMuestreo
El muestreo digital de una señal analógica trae consigo una discretizacióntanto en el dominio temporal como en el de la amplitud. Hay varias formas de describir matemáticamente el proceso de discretizacióntemporal de una señal continua en el tiempo.
Un muestreador ideal, consiste en una función que toma los valores de la señal x (t) en los instantes muestreados y el valor cero para el resto de puntos
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• Muestrear una señal continua x(t) equivale a multiplicarla por un tren de funciones delta p(t), siendo
)()x()(x tptts =
)(δ)( nTttpn
−= ∑∞
−∞=
Proceso de muestreo: dominio de tiempoProceso de muestreo: dominio de tiempo
( ) ][)(
)()x()(x
nxnTtnTx
nTttt
sn
s
nsS
=−=
=−=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
δ
δ
t
t
n
x(t)
p(t)
xs(t)
Ts
Proceso de muestreo: dominio de frecuenciaProceso de muestreo: dominio de frecuencia
∑∞
−∞=
−=k
ss
kT
P )δ(π2)( ωωω
[ ])()X(π2
1)(Xp ωωω P∗=
∑
∫ ∑
∫
∞
−∞=
∞
∞−
∞
−∞=
∞
∞−
−=
=−−=
=−=
ks
ks
s
k
duukT
uX
duuPuX
)X(
)δ(π2)(21
)()(21)(Xp
ωω
ωωπ
ωπ
ω
w
w
X(w)
P(w) 2πTs
1
wB-wB
ws 2ws-2ws -ws
∑∞
−∞=
−=k
ss
kT
)X(1)(Xp ωωω
• Una multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en el de frecuencia
con
ss T
π2=ω
-2wsw
1Ts
Xp(w)
ws 2ws-ws
3
El espectro resultante es periódico y se presentan los siguientes casosA.- La frecuencia de muestreo ws es mayor que 2wB
B.- Se disminuye a frecuencia de muestreo ws hasta que sea igual a 2wB
Proceso de muestreo: dominio de frecuenciaProceso de muestreo: dominio de frecuencia
-2wsw
1Ts
Xp(w)
ws 2ws-ws2wB
wB-wB
-2wsw
1Ts
Xp(w)
ws 2ws-ws2wB
wB-wB
Proceso de muestreo: dominio de frecuenciaProceso de muestreo: dominio de frecuenciaC.- Se disminuye a frecuencia de muestreo ws hasta que sea inferior a 2wB
2wB
-2wsw
1Ts
Xp(w)
ws 2ws-wswB-wB
• Cuando ws < 2wB ocurre un solapamiento en frecuencia de las bandas laterales y se produce el fenómeno de “aliasing” en frecuencia.
• Para una señal x(t) continua de banda limitada, X(w)=0 para ׀w׀> wB, que se muestrea con una frecuencia de muestreo ws. – Las muestras x(nT), n=0, ±1, ±2,..., determinen unívocamente la señal
x(t) si se cumple que ws ≥ 2wB,– Se define la frecuencia límite ws= 2wB con el nombre de frecuencia de
Nyquist, con
Solapamiento de bandas laterales
Tsπ2
=ω
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• Una señal continua puede representarse y reconstruirse partiendo del conocimiento de sus muestras. Esto se deriva de un resultado básico llamado teorema de muestreo.
• Este teorema funciona como un puente entre las señales continuas y las discretas y nos garantiza que no se pierde información.
Nótese que todo muestreo trae consigo una aparente pérdida de información en la señal continua x (t). El Teorema del Muestreo establece en que condiciones se garantiza que al muestrear no hay pérdida de información.
MuestreoMuestreo
TEOREMA de Shannon. Frecuencia de Nyquist
Teorema de muestreo : Una señal x (t) con un espectro limitado a la frecuencia f B ( |f| < f B ) puede ser muestreada sin pérdida de información si la frecuencia de muestreo f S supera la cantidad 2fB, es decir f S ≥2f B .
❒ Si no se muestrea como mínimo a esa frecuencia tiene lugar el fenómeno denominado “aliasing”.
❒ Si se muestrea de acuerdo al teorema existe un proceso de reconstrucción que garantiza la reproducción exacta de la señal continua x(t) a partir de sus muestras x[n].
MuestreoMuestreo
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Problemas a resolver:• Una señal discreta puede corresponder a varias señales continuas.
– Multiples alias de una señal
Periodo de muestreoPeriodo de muestreo
Problemas a resolver:• ¿Qué frecuencia de muestreo nos garantiza que recuperamos la señal y no perdemos
información?
• Elección del periodo de muestro: el valor óptimo será el mayor sin perdida de información.
Periodo de muestreoPeriodo de muestreo
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El proceso de reconstrucción es evidente en el dominio de frecuencia Para recuperar la señal original a partir de la muestreada no hay más que
aplicar un filtro paso-bajo con una frecuencia de corte entre wc≥ w B , y wc<ws-w B y una amplificación A=T s
-2wsw
1Ts
Xp(w)
ws 2ws-ws2wB
wB-wB
w
X(w)1
wB-wB
wc-wc w
A = Ts
wc= wB
( ) ( )ωωω pXHX =)(
H (w)
ReconstrucciónReconstrucción
ReconstrucciónReconstrucción
El proceso de reconstrucción en el dominio de tiempo )(*)()( thtxtx rsr =
wc
-wc w
H (w)
( ) ( )πωπωπω
π/sinc/)( tA
ttsenAth c
ccr ==
-2wsw
1Ts
Xp(w)
ws 2ws-ws
xs(t)
( ) ][)()(x nxnTtnTxt sn
sS =−= ∑∞
−∞=
δ
<
=resto
AH c
r 0)(
ωωω
-5 0 5
0
1
t
Sinc(t)=sin(πt)/(πt)
7
ReconstrucciónReconstrucción
( )
∑∑
∑ ∫
∫ ∑
∫
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
∞
∞−
∞
−∞=
∞
∞−
−=
−=
=−
−=
=−
−=
=−==
n
scc
n
sccs
n
ccss
n
css
ssr
nTtAnxnTtAnTx
dtAnTnTx
dtAnTnTx
dthxthtxtx
))(sinc(][))(sinc()(
))(sinc()()(
)sinc()()(
)()(*)()(
πω
πω
πω
πω
τπ
τωπωτδ
τπτ
πωτδ
τττ
[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]( )∑∑
∞
−∞=
∞
−∞= −−
=−=n ss
ss
nssr TnTt
TnTtsennxTnTtnxtx/
//sinc)(ππ
Salida del filtro de reconstrucción con A= Ts y wc=wB=ws/2=π/Ts
Muestreo y ReconstrucciónMuestreo y Reconstrucción
En la reconstrucción para cada muestra de la secuencia x[n] :• se suma la función sinc ponderada por el
valor de la muestra y• desplazada al instante nT
x(t)=cos(2πft) con f =12Hz
xr(t)x[17]·hr(t-17T)x[5]·hr(t-5T)
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MuestreoMuestreo y y ReconstrucciónReconstrucción
• El filtro pasa bajo ideal “interpola” entre los impulsos xs(t) para reconstruiruna señal en tiempo continuo xr(t)
• El hecho de que hr(nT)=0 para n=±1, ±2,..., permite el “control” de las inteferencias entre los distintos pulsos, interferencia intersímbolos ( ISI ).
La interferencia siempre existe, pero será “cero”, y por tanto controlable, en los instantes de muestreo
• Este tipo de reconstrucción de la señal original presenta varios problemas:– El dominio de la función sinc( t) es infinito.– Requiere muestreos pasados y futuros.– Existe la posibilidad de truncar la función sinc( t) , pero da lugar al efecto
Gibbs y siempre se requieren muchos puntos.
Se pueden utilizar otras aproximaciones como función de interpolación; pulsos rectangulares, triangulares,… La elección debe hacerse en función de su estabilidad y de su realización física.
Procesado en Tiempo DiscretoProcesado en Tiempo Discreto
• En una aplicación real la señal de entrada es analógica, se pasa a una señal discreta que se procesa con un sistemas lineal discreto y la salida del sistema se transforma a una señal continua
• El sistema en conjunto tiene la siguiente Estructura:– Conversor C/D– Sistema en tiempo discreto– Conversor D/C
Tanto la frecuencia de muestreo así como la estructura del sistema discreto pueden seleccionarse según se quieraEl sistema completo es equivalente a un sistema continuo ya que se transforma la señal de entrada en tiempo continuo xc(t) en una señal de salida en tiempo continuo yr(t)
Fig. 4.11
Sistema enTiempo Discreto D/C
T
C/D
T
x[n] y[n]xc(t) yr(t)
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ReconstrucciónReconstrucción
Conversor ideal de tiempo discreto a tiempo continuo (D/C):
Conversor ideal de tiempo continuo a tiempo discreto (C/D):
[ ] ( )[ ]( )∑
∞
−∞= −−
=n ss
ssr TnTt
TnTtsennyty/
/)(ππ
( ) ( ) <
==resto
TYTYHY ss
rr 0/
)()(πωω
ωωω
[ ] ( )sc nTxnx =
∑∞
−∞=
−=
k sc
s TkX
TX πωω 21)(
Diezmado e InterpolaciónDiezmado e Interpolación
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Nuevo muestreo cada N muestras:
• Se anula N-1 valores cada N muestras
• Eliminando las muestras con valor 0 y Teniendo en cuenta el nuevo periodo de muestreo y[n]=x[Nn]
Diezmado o Diezmado o submuestreosubmuestreo
[ ] ][δ mNnnpm
+= ∑∞
−∞=
Diezmado en tiempo discreto (N=3)
x[n] y[n]=x[Nn]Nx[n]
np[n]
nv[n]
y[n]
n
n
[ ] ±±=
==caso otro0
,...2,,0][][][
NNnnxnpnxnv
Ts
Ts’=NTs
Diezmado o Diezmado o submuestreosubmuestreoAnálisis del diezmado en el dominio de frecuencias x[n] y[n]=x[Nn]Nx[n]
np[n]
nv[n]
y[n]
n
n
Ts
Ts’=NTs
N=3
X(ŵ)
V(ŵ)
0 2π
0 2π/N 2·2π/N 2π
0 2π/N 2·2π/N 2π
π1/N
1/N
1
P(ŵ)
ŵ’ =N·ŵ
0 NwB 2π
1/N
wB
/N2 cada replicasy (xN) frecuenciaen Expansión
)(1)()(
v[Nn]y[n] de daTransforma1
0
2
π
πωωω ∑
−
=
−
==
=N
k
kNN
jN
jj eXN
eVeY))
)
11
Diezmado o Diezmado o submuestreosubmuestreo[ ]
∑
∑−
=
−
∞
−∞=
=
−=
⋅=
1
0
21
es discretaFourier de seriesu y )δ(][
][][
N
k
knN
j
l
eN
p[n]
lNnnp
npnxnv
π
x[n] y[n]=x[Nn]NX(ŵ)
V(ŵ)
0 2π
0 2π/N 2·2π/N 2π
0 2π/N 2·2π/N 2π
π1/N
1/N
1
P(ŵ)
0 NwB 2π
1/N
wB
Y(ŵ)
[ ] [ ]
/N2 cada X(w) de sespectrale Replicas
)(1][1
1)(
v[n]de daTransforma
1
0
21
0
2
2
π
πωπω
ωπ
ωω
∑∑∑
∑∑∑−
=
−−
=
∞
−∞=
−−
−∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
==
=
==
N
k
kN
jN
k n
nkN
j
nj
k
knN
j
n
nj
n
j
eXN
enxN
eeN
nxenveV)))
[ ] [ ]
[ ]
/N2 cada replicasy (xN) frecuenciaen Expansión
)(1)(
)(
v[Nn]y[n] de daTransforma
1
0
2
π
πωωω
ωωω
∑∑
∑∑−
=
−−∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
===
===
=
N
k
kNN
jN
jNmj
m
nj
n
nj
n
j
eXN
eYemv
eNnvenyeY)))
)))
Diezmado: Filtro Diezmado: Filtro antialiasantialias previoprevio
y[n]=x[Nn] X1(ŵ)
Y(ŵ)
0 2π
0 π/N 2π
π
1/N
1wB> π/N
0 π
1
4π/N2π/N 2π0 π
2π0 π
1/N
π/N
X (ŵ)
x[n]N
x1[n]
Si el ancho de banda de x[n] es mayor que π/N al diezmar se produce aliasing
Es necesario un filtro pasa baja con frecuencia de corte wc= π/N antes de realizar el diezmado.
wc=π/N
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Diezmado e InterpolaciónDiezmado e Interpolación
Diezmado e InterpolaciónDiezmado e Interpolación
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Resumen: Diezmado e InterpolaciónResumen: Diezmado e Interpolación
Conversión A/DConversión A/D-- Diezmado Diezmado –– Conversion D/AConversion D/A
y[n]=x[Nn]x[n]
Nx(t)
A/D D/Ay(t)
fc=fm/2 f ’c=f ’m/2fm f ’m =fm/N
-fo fo
f
-fo/fm fo/fm
-fo fo
f
-Nfo/fm Nfo/fm Si Nfo/fm<1/2
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CuantizaciónCuantización
CuantizaciónCuantización
• Para procesar señales digitalmente no sólo es necesario muestrear la señal analógica sino también cuantizar la amplitud de esas señales a un número finito de niveles.
• El tipo más usual es la cuantización uniforme, en el que los niveles son todos iguales. La mayoría usan un número de niveles que es una potencia de 2. Si L= 2 B , cada uno de los niveles es codificado a un número binario de B bits.
• La cuantización (o el truncamiento en operaciones mátematicas en un microprocesador) puede producir problemas serios en el diseño de filtros digitales, hasta el punto (en casos graves) de convertir filtros estables en inestables.
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Cuantificación en imágenesCuantificación en imágenes
– La misma imagen cuantificada con 7 bits (128 niveles de grises) y con 3 bits (8 niveles de grises).
EfectosEfectos de de CuantizaciónCuantización
• Cada forma tienen sus ventajas e inconvenientes en el momento de realizar el filtro. Uno de los problemas más importantes que debe tener en cuenta una realización son los efectos de cuantización.
• Los efectos de cuantización se producen al tener obligatoriamente que truncar (o cuantizar) los coeficientes del filtro y las señales de entrada y salida. Esta cuantización puede dar lugar a que las características del filtro realizado difieran de las especificaciones del filtro diseñado.
• Los efectos de cuantización deben ser tenidos muy en cuenta cuando el diseño se realiza en microprocesadores con aritmética de punto fijo (por ejemplo, DSPs). En caso de utilizar micros de 32 bits con aritmética en punto flotante, los efectos de cuantización pueden ser despreciados.
• Dividiremos los efectos de cuantización en dos partes: los debidos a la cuantización de las señales (de entrada x[n] o de salida y[n]) y los debidos a la cuantización de los coeficientes.
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CuantizaciónCuantización de la de la señalseñal
Ruido de Cuantización: Llamaremos x S [n] a la señal discretay x Q [n] a la señal discreta cuantizada. El error es :
ε[n] = x S [n] - x Q [n]Se define la relación señal a ruido de cuantización ( SNR Q ) como larelación entre la potencia P S de la señal y la potencia P N del errorε[n], medido en decibelios.
CuantizaciónCuantización
❒ Para una señal x( t) cuyo fondo de escala D está dado por x max -x min . Sicuantizamos x( t) con L niveles, la distancia entre dos niveles consecutivos o resolución ∆ se define como ∆ = D/ L .
❒ Se denomina rango dinámico DR, a la relación entre el fondo de escala D y la resolución DR= D/∆ , de forma que DR= 2 B . En decibelios,
◆ La ecuación sugiere que por cada bit que añadimos al cuantizador, la relaciónseñal a ruido de cuantización mejora en 6 dB.
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CuantizaciónCuantización escalarescalar
• Señales muestreadas unidimensionales:x(t) x(nT)= x[n]x[n] x^[n]
• Cuantización instantánea:– Uniforme– Compresión instantánea
• Cuantización adaptable:– Hacia adelante– Hacia atrás
• Cuantización diferencial
CuantizaciónCuantización uniformeuniforme
Todos los cuantos son iguales: ∆B bits => 2B niveles en [–Xmax,Xmax]Xmax= 2B-1 ∆
x
x
∆000
001
011
010
100
x
x
Cuantizador demedia huella
Cuantizador demedia contrahuella
x
x
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Ruido de Ruido de cuantizacióncuantización
Relación señal ruido
Estimación de la SNR (señal / distribución)
Cuantización uniforme
Cálculo del ruido de Cálculo del ruido de cuantizacióncuantización (ejemplo)(ejemplo)
Saturación:
Relación señal ruido:
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Cálculo del ruido de Cálculo del ruido de cuantizacióncuantización (ejemplo)(ejemplo)
B = 8 bits => SNR = 40.8 dBB = 12 bits => SNR = 64.8 dBB = 16 bits => SNR = 88.8 dB
En procesamiento de audio:80 dB......... HiFi60 dB......... Equipos música gama media40 dB......... Ruido se aprecia20 dB......... Teléfono<10 dB....... Molesta / dificultades para entender voz
CuantizaciónCuantización vs. Saturaciónvs. Saturación
• Si Xmax >> 4 σx:– Poco ruido de saturación– Mucho ruido de cuantización
• Si Xmax << 4 σx:– Mucho ruido de saturación– Poco ruido de cuantización
• Ajuste de nivel de entrada crítico (ganancia de entrada)
p(x)
Xmax-Xmax
p(x)
Xmax-Xmax
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CuantizaciónCuantización no uniforme: no uniforme: Compresión instantáneaCompresión instantánea
• Problema de Q-uniforme:– Hay que preocuparse del nivel de la señal
• Objetivo compresión instantánea:– SNR independiente de nivel de señal
• Cuantos ∆ diferentes: ∆ /x ≈ cte
x
y
Compresión logarítmicaCompresión logarítmica
log Q
sgn Cod
if.
Dec
od.
logy
sgn(x)
y xx y |x|
sgn(x)Se cuantiza uniformemente el logaritmo de la señal de entrada
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Otras leyes de compresión: ley Otras leyes de compresión: ley µµ ley Aley A
F Q
sgn Cod
if.
Dec
od.
F-1y
sgn(x)
y xx y |x|
sgn(x)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
µ=0
µ=5
µ=20
µ=255
22
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
A =2
A =5
A =20
A =87.6
CuantizaciónCuantización adaptableadaptable
• Interesa ∆ grande para evitar saturación• Interesa ∆ pequeña para reducir eq
• Señales no estacionaria:σx
2 varía con el tiempo
Solución:Adaptar G ó ∆ a lavarianza de la señal
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Efectos de Efectos de CuantizaciónCuantización
• Cuantización de señales : El efecto de cuantizar la señal puede estudiarse como el efecto de añadir un error o una señal de ruido e[n] a la salida ideal del filtro digital. Este ruido se considera como el efecto conjunto de varios errores producidos en el procesamiento:
• Error de cuantización en el convertidor A/D a la entrada del filtro.– Errores de redondeo o truncamiento en las operaciones
(multiplicaciones, sumas).– Error en la cuantización de la salida en el convertidor D/A (menos bits
en la salida que en las operaciones). Errores de Truncamiento: Cuando se implementa un filtro en hardware (DSPs o
ASICs) suele ser habitual trabajar en un punto fijo ya que es considerablemente más barato en términos de área de silicio y complejidad en el diseño. Por ejemplo, las variables del filtro (entradas, salidas y coeficientes) pueden estar cuantizadas en 16 bits. Al hacer una multiplicación necesitaremos 32 bits, que es posteriormente truncado de nuevo a 16 bits. Este tipo de error puede ser analizado mejor desde un punto de vista estadístico.
EfectosEfectos de de CuantizaciónCuantización
Supongamos que truncamos un número de (β+1) bits a (b+1) bits, tal y como indica la figura.
El error producido al truncar x es: εt = Q(x)-x. El error es cero si todos los bits rechazados son cero, y será máximo si todos los bits rechazados son 1. El error máximo es por tanto,
El error de truncamiento será siempre negativo para números en complemento de 2, y su valor es -(2-b-2-β) ≤ εt ≤ 0 . Si suponemos que β>>b,
A la hora de analizar los errores producidos por el truncamiento se recurre al análisisestadístico. Suponiendo una distribución uniforme de los errores en el rango (-2-b,0), la media del error es -2-(b+1) y su varianza es 2-b/12. Estos valores son ciertos en casode utilizar complemento de 2, lo cual es bastante habitual.
s a-βa-ba-2a-1
∆
...s a-ba-2a-1
∆
...
∑+=
−−−− +=
ββ
1
222bi
biia
02 ≤≤− −t
b ε
24
EfectosEfectos de de CuantizaciónCuantización
• El análisis se hace sumando una señal de ruido a la señal sin truncar. Esa señal de error tiene la media y varianzas calculadas previamente.
Los tipos de realizaciones estudiadas (en paralelo y cascada) tienen un impacto parecido en los errores de truncamiento. Utilizando formas en cascada podemos mejorar la varianza del ruido de truncamiento puede disminuirse emparejando polos y ceros de acuerdo a ciertos criterios y modificando el orden al cual se realizan las operaciones en cascada.
Una consecuencia de las operaciones aritméticas es el overflow, es decir cuando el resultado de una operación rebasa el máximo número admitido por una cierta representación digital. En tal caso la señal debe mantenerse en ese nivel máximo, lo que produce fuertes distorsiones en las señales.
Qu[n]v[n]
αu[n]v[n]
eα[n]
v[n]v[n]
EfectosEfectos de de CuantizaciónCuantización• Una ventaja de la aritmética de complemento de 2 es la mostrada en el
siguiente ejemplo. Se quiere hacer la suma 0.687510+0.812510-0.562510 con un código digital de 5 bits en complemento de 2. La suma de los dos primeros operando da overflow. Sin embargo, si eliminamos el bit de signo y continuamos sumando el resultado será correcto:
• 01011+01101=11000 Eliminamos el bit de signo porque hay overflow 01000 01000+10111=01111 Lo que equivale a 0.9375, el resultado correcto.
• Una forma de evitar el overflow es multiplicar las operaciones por un factor que evite el overflow. – Este factor debe ser lógicamente menor que 1, lo que empeora relación
señal ruido del filtro. – La relación señal-ruido en una señal cuantizada es,Ps es la potencia de la
señal de entrada, D es el fondo de escala y b es el número de bits. Ps esproporcional a la varianza de la señal, σx
2. – Si multiplicamos la señal por un factor A, la potencia de la señal será
A2σx2. Sustituyendo en la ecuación vemos que si A>1, mejora la SNRQ,
pero se corre el peligro de producir overflow. Por el contrario, un valor de A<1, evita el overflow pero empeora la SNRQ.
bDPSNR sQ 6log208.10log10 +−+=
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EfectosEfectos de de CuantizaciónCuantización
• Cuantización de coeficientes : Se trata de investigar el impacto de la cuantización de los coeficientes del filtro en la función de Transferencia del mismo.
• Supongamos una función de Transferencia H(z)=1/(1+a1·z -1+a2·z -2), cuyos poloscomplejos son p y p* cumpliéndose que a1= -2·Re(p) y a2=|p|2. Por tanto, cuantizar a1significa cuantizar la parte real del polo, mientras que cuantizar a2 significa cuantizarel radio del polo. Esto se muestra en la figura.
El polo estará definido por la intersección de laslíneas verticales y los círculos. Se pueden sacardos conclusiones:
En la vecindad de z= ±1, los posibles polosestán más separados entre sí. Se dice que estospolos son muy sensibles a la cuantización.
Re(z)
Im(z) 0
-1
1
-1 10