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PROCESAMIENTO DE

INFORMACIÓN

ESTADÍSTICAUNIDAD II. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TEMA: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO (PERMUTACIONES Y

COMBINACIONES).

MTRO. YONATAN ERIC CRUZ HERNÁNDEZ

Probabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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TABLA DE CONTENIDO


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¿QUÉ SON LOS MÉTODOS DE CONTEO?

Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades

diferentes que existen al realizar un experimento.

Por Ejemplo:

Al lanzar un dado veremos cuantas posibilidades hay de que salga un

número a favor, si tienen 6 caras los dados cual seria la probabilidad

de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número

de casos favorables o posibles y así podemos ver cuantas

combinaciones diferentes se pueden tener.

Entre los métodos de conteo encontraremos los mas conocidos:

Permutación

Combinación

OrdenamientoProbabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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PERMUTACIONES

Consiste en multiplicar en todo momento cada dato

que te pueda dar y sirve para hallar fórmulas generales

que permitan calcular el número de permutaciones con

y sin repetición.

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el

lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos

que constituyen dicho arreglo.

Hay dos tipos de permutaciones:

No se repite

Se repiteProbabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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PERMUTACIÓN (ORDEN ES IMPORTANTE)

(1)

Es todo arreglo en donde nos interesa el lugar o posición que

ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Si se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos distintos,

cualquier arreglo (orden) de estos objetos se conoce como

permutación.

Su fórmula se denota por:

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en

donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n

objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no

se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos

son todos diferentes.Probabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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(2)

Entonces, ¿Qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se

utilicen los n objetos con que se cuenta?

Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces:

Como 0! = 1, por definición, entonces:


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(3) Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se

pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de losmismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que secolocan éstos.

Notación: Pn

Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con losn objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primerobjeto se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundoobjeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección deln-ésimo objeto sólo se puede hacer de una manera.

Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene:

nPn = n! / (n -n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Por tanto:

nPn = n!Probabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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EJEMPLO PERMUTACIÓN (1)

¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se

desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer

Vocal y Segundo Vocal?, si esta representación puede ser

formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña

empresa?


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EJEMPLO PERMUTACIÓN (2)

¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de

salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula 1?.

Considere que las posiciones de salida de los autos participantes

en la carrera son dadas totalmente al azar.

¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres

premios de esta carrera de fórmula 1?


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EJEMPLO DE PERMUTACIÓN (1)

Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los

cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de

física.

a)¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?

b) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si

los de cada materia deben quedar juntos?

¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el

librero?

P = 15! = 1,307,674,368,000 maneras.

Se calcula multiplicando el valor dado por el que le antecede y así sucesivamente hasta

llegar a la unidad; es decir:

15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1Probabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu

librero, si los de cada materia deben quedar juntos?

El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las3 materias como 3 objetos que se pueden permutar:

El primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupode libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física.

El número de maneras en que se pueden permutar estos 3 objetos es:

P3 = 3! = 6

Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar de: P6 = 6! = 720

maneras

Los 4 libros de química se pueden permutar de P4 = 4! = 24maneras y

Los 5 libros de física se pueden permutar de P5 = 5! = 120 maneras.Probabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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Por el principio fundamental del conteo, el número total

de maneras en que se pueden colocar los 15 libros en el

librero, haciendo que los de cada materia queden

juntos es:


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EJERCICIO EN LA LIBRETA (1)

Suponga que un salón de clase está constituido por 20 alumnos.

a) El maestro desea conformar una comisión de tres alumnos,

representantes del grupo.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del

salón (Presidente, Secretario y Tesorero).

Utilizando cálculo de permutaciones, menciona:

¿Cuántas maneras diferentes posibles existen de elegir a los

representantes?

Considerando que se ha seleccionado a Hugo, Paco y Luis, ¿De

cuántas maneras diferentes podrían combinarse los posibles

cambios de cargo?Probabilidad y Estadística – Permutaciones y Combinaciones

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¿De cuántas maneras se puede formar un comité

integrado por un presidente, un secretario y un

tesorero, si hay cuatro candidatos a presidente, tres

candidatos a secretario y dos candidatos a

tesorero?


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Obtener el número de permutaciones de las cinco

letras a, b, c, d y e, tomadas de 3 en 3.


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¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco

alumnos en un salón de clase que tiene 8 bancos

individuales?


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Un examen consta de 8 preguntas de falso y

verdadero, ¿De cuántas maneras diferentes puede

contestarse el examen completo?


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COMBINACIÓN (1)

Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nosinteresa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro delarreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y elcontenido de los mismos.

En el caso de las combinaciones, lo importante es el número deagrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sinimportar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca elnúmero de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir deobjetos si el orden de los objetos no es importante.

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar oposición que ocupa cada uno delos elementos que constituyendicho arreglo.


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COMBINACIÓN (2)

Cada uno de estos resultados se denomina combinación.

Por ejemplo:

Si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos

personas seleccionadas de un grupo de 3 (A, B y C) ; si en el

equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden,

los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo

no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los

resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son

los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, CA, BC

Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar “r” objetos

de un grupo de “n” objetos sin importar el orden.


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COMBINACIÓN (3)

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante.La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidadde combinaciones de "n" elementos seleccionados, "r" a la vez.

Es igual a la cantidad de permutaciones de "n" elementostomados "r" a la vez dividido por "r" factorial.

Esto sería:𝑃(𝑛,𝑟)

𝑟!en notación matemática.

Ejemplo:

Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿Cuántascombinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones sería:

P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5) (5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.


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¿Cuántos comités de 3 se pueden formar con 8

personas?

Cada comité es esencialmente una combinación

de las 8 personas tomadas 3 a la vez.


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Calcular el número de combinaciones de 10

elementos tomados de 4 en 4.


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En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un

comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités

diferentes se pueden formar?


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¿De cuantas maneras puede escogerse un comité,

compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo

de 7 hombres y 5 mujeres?


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Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.

a) ¿De cuántas maneras el profesor puede escoger un

comité de 4?

b) ¿Cuántos comités contarán con una niña por lo menos?

c) ¿Cuántos tendrán una niña exactamente?


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