problemes de complexes

7/25/2019 Problemes de Complexes

1/8

PROBLEMES DE NOMBRES COMPLEXOS

1.- Donat el nombre complexe i32 calcular: a) conjugat; b) L'oposat (per a l'operaci suma) del conjugat; c)l'oposat (per a la summa) d) l'oposat (per a la multiplicaci), s a dir l'invers.Soluci:

a) iz 32 b) iz 32 c) iz 32 d) iz

zi 13

3

13

2

32

11 1

2.-Calcular x i i reals perqu verifique .4)3)(52( ixiyi

Soluci:

456

2415562)3)(52(y

xyixiyiyiyi ,

5

2

5

4 , yx

3.- Calcular x perqu siga un nombre real:i

xi

3

2

Soluci:

03

251

103

51

103

101

53

xxix

i

xi , La soluci s:

32x

4.- Calcular x real perqu siga un nombre imaginari puri

xi

3

2

Soluci:

03

210

1

5

3

5

1

10

3

10

1

5

3

xxix

i

xi , La soluci s: 6x

5.- Determinar x real perqu el nombre estiga representat en la bisectriu del primer o tercer quadrant.

i

xiw34

23

Soluci:

a) )sin(cos.144 iaaiawQerw es a dir largument de w ha de ser 45

o

xx

wwxixi

xi

w256

2512

259

258

425

9

25

8

25

6

25

12

1)tan(argarg34

23

La soluci s: 14

3

x

b)x

xwwaiawQerw

256

2512

259

258

45

4 1)tan(argarg3

La soluci s:

14

3x

6.- Es sap que el nombrexi

ixw

1

)1(2 s un nombre real, de quin nombre es tracta?.

Soluci:

xi

ixw

1

)1(2

2

2

1

312

x

xixx Para que w sea real 0)Im( w

0

1

31)Im(

2

x

xw , La soluci s: )(

31

31 x

Per tant w

2)(1

)(31)()(22

31

312

31

31

i

7.-Calcular a perqu el nombrei

iaz

2

siga de mdul 2 .

Soluci:


2/8

555)()(2

2

512

512

51

522

51

52

51

52

51

52

51

52

51

52

aaaaaiaaiai

iaz

La soluci s: 19,19 aa

8.-La suma de dos nombre complexos s i24 , la part real del primer s 3 i el quocient del primer pel segon simaginari puro. Trobar aquests nombres complexos.Soluci:

iwz 24

3)Re( z

xiw

z0

Sea 3)Re( azbiaz

Sea 1243243 cidbicidicbiwzdicw

22 1

30

1

)3(3

1

30

d

bd

d

dbibd

di

bixi

w

z

224413 dbidbidibiwz Solucionem el sistema:

21302

dbdbd

, La soluci s: 3,1,1,3 dbdb

Per tant les dues solucions sn: a) 3 3i ; w 1i b) 3i ; w 1 3i

9.-Calcular un nombre complex que sumat al seu invers ens done la unitat imaginria i. Soluci:

izzizz 11

, La soluci s: 5,521

21

21

21 iziz

10.-Resol els sistemes:

a)

iiwzi

wizi

1)1(

1)1()2( b)

iiwz

iwiiz

3

2)22(

Soluci:

iiwzi

wizi

1)1(

1)1()2( , La soluci s: iziw

13

7

13

4

13

16

13

2 ,

iiwz

iwiiz

3

2)22( , La soluci s: iwiz

131

13

5

13

8

13

38 ,

11.- Calcular el mdul dels nombres complexos: wi14i22i32iz );)()(( = )3)(1()21)(43(iiii

Soluci:

)1)(42)(23(2 iiii = 1304

)3)(1(

)21)(43(

ii

ii

=

5

2

12.- Resol les equacions:

054xx 2

034xx 2


3/8

0106xx 2

Soluci:

0542 xx , La soluci s: ixix 2,2 24x 3 0 , La soluci s: 3,1 xx 26x 10 0 , La soluci s: ixix 3,3

13.- Expressar de forma binmica, trigonomtrica, polar i exponencial els segents nombres complexos

)0,2())32,2())1,1())2,2())32,2() edcba )1,1())1,0())0,1() hgf

Soluci: cartesiana, binmica, trigonomtrica, exponencial, polar.

a) )32,2( z

iz 322

)sin(arctancos(arctan3222

32

2

32 iiz )s in(cos4 33 i

34

iez

34

z

b) )2,2(z

iz 22


22 iiz )s in(cos8

44 i

48iez

48 z

c) )1,1( z

iz 1

)sin(arctancos(arctan1 1111 iiz )s in(cos2 4545 i 45

2iez

452 z

d) )32,2(z

iz 322

)sin(arctancos(arctan322 232232 iiz )s in(cos4 3232 i 32

4

iez

324

z

e) )0,2(z

202 iz


20 iiz 2)0s in0(cos2 i

02 iez

02z


4/8

f) )0,1(z

101 iz


10 iiz 1cos)s in(cos1 i

iez 1

1z

g) )1,0(z

iiz 10 )sin(arctancos(arctan

01

01 iiz iii 222 s in)s in(cos1

21iez

21

z

h) )1,1(z

iz 1

)sin(arctancos(arctan1 1111 iiz )s in(cos2 4343 i

2ei 3

4

2 34

14.- Expressar de forma binmica, trigonomtrica, cartesiana i exponencial els segents nombres complexos

364

3

4

5)2)5)3)dcba

Soluci:

a) 22)sin(cos333 2323444

4 iiei

exponencial: 43iez

trigonomtrica:4

(cos3 z )s in4i

binmica: 22 23

23 iz

cartesiana: 2,22

3

2

3z

b) 22)sin(cos55525

25

43

43

4

343

iiei

exponencial: 43

5iez

trigonomtrica: 43(cos5

z )s in 43i

binmica: 2225

25 iz

cartesiana: 2,22

5

2

5z

c) iiei

3)sin(cos222

66

6

6

exponencial: 62iez

trigonomtrica:6(cos2

z )s in6i


5/8

binmica: iz 3

cartesiana: 1,3z

d) 3)sin(cos55525

25

33

3

3 iiei

exponencial: 35iez

trigonomtrica: 3(cos5 z )s in

3i

binmica: 325

25 iz

cartesiana: 3,2

5

2

5z

15.- Calcular el mdul i argument dels nombres complexos:2

422

41

112 1)))))2)3))) iiihgfedcibia iiii

i

Soluci:

a) ii arg;1 = 2

1

b) ii arg;1 =

1

2

c) 3arg;33 = 0 d) 2arg;22 = e)

ii22 arg;2 = 2

1

f) 2

12

1

1 arg;1

ii

i

g) 41

41

41

41 arg;2 ii

h) 4

1

4

22

2

1

4

22 arg;2 ii

i) 2122 arctan1arg;51 iiii

16.- Calcular: a) 411 ii b) 5

11ii

c) 41 i d) 41 i e) 51 i

Soluci:

a) ;1411 ii ja que

1i

1i = i

b) iii

5

11

c) 41 4 i d) 41 4 i e) ii 441 5

17.-Calcular 2cos i 2sin en funci de cos i .sin

Soluci:Utilitzant l'expressi de Moivre i el binomi de Newton:

Frmula de Moivre: )sin(cos)sin(cos nini n

Binomi de Newton:

kkn

k

nnk

k

n ii )sin()(cos)sin(cos0


6/8

=n

n

nn

nn

n

iii )sin()(cos...)sin()(cos)sin()(cos 011

1

0

0

Recordem que!)!(

!

kkn

n

k

n

1!0 )!3)(2)(1()!2)(1()!1(! mmmmmmmmmm

123...)3)(2)(1(....... mmmm

Per tant 2sin2cossinsincos2cos)sin(cos 222 iii Igualant parte real e imanigaria:

22 sincos2cos

sincos22sin

18.-Calcular 4cos i 4sin en funci de cos i .sin

Soluci:

Igual que l'exercici anterior:

1cos8cos84cos

24

4coscossin3

8cossin4

19.-Calcular 5cos i 5s in en funci de cos i .s in

Soluci:Igual que l'exercici anterior:

cos5cos20cos165cos 35

sinsincos12sincos165sin 24

20.- Calcular tots els possibles valors de a)31 b) 5 32 c) i d) 4 i e) 4 1 i f) 5

11ii

g)

411ii

h) 4 1 i

Soluci:

a) 2,1,01111011 )320(

3

)20(

3

1)20(3 )20(33

keeeeizzk

iki

kiki

Nota:

Per als segents valors de k es repeteixen les solucions: per a k=3 s la mateixa soluci que per a k=0; per a k=4 s la

mateixa soluci que k=1; per a k=5 s la mateixa soluci que k=2; etc. 110...9,6,3,0)3

020(

1

i

ezkk

113

)3

320(

1

i

ezk

116)3

620(

1

i

ezk

119)3

920(

1

i

ezk .......................................................

311...10,7,4,121

21

)3

120(

2 iezkki

31421

21

)3

420(

2 iezki


7/8

311021

21

)3

1020(

2 iezki

311321

21

)3

1320(

2 iezki

.......................................................

312...11,8,5,221

21

)3

220(

3 iezkki

31521

21

)3520(

3 iezki

31821

21

)3

820(

3 iezki

311121

21

)3

1120(

3 iezki

.......................................................

Per tant les solucions de3 1z sn: 3,3,1

21

21

321

21

21 izizz

b) 5

32z

5

8

55

6

45

4

35

2

25

0

1 2,2,2,2,22

iiiii

ezezezezez

c) iz 22,22112

1

2

122

1

2

142

2

1 izieezii

d) 4 iz ,11,11,11 89

4

42

38

5

4

22

284

2

1

iiiiii

eezeezeez

8

13

4

6

2

4 11

iieez

e) z 4

4

7

4 21

i

ei

,22,s incos222 1615

4

24

7

2167

16716

7

4

4

7

1

iiii

eezieez

,22

16

23

4

44

7

3

ii

eez

16

31

4

64

7

4 22

ii

eez

f) 511iiz

52

3

5

i

ei ,s inco s11 103103103

5

2

3

1

ieezii

,1 107

5

22

3

2

ii

eez ,1 1011

5

42

3

3

ii

eez

10

19

5

82

3

510

15

5

62

3

4 1,1

iiii

eezeez


8/8

g) 411iiz

42

3

4

i

ei ,s incos1183

838

3

4

2

3

1

ieezii

,1 87

4

22

3

2

ii

eez ,1 811

4

42

3

3

ii

eez

8

15

4

62

3

4 1

ii

eez

h)4

4

3

4 21

i

eiz

,22,s inco s222 1611

4

24

3

216

3

16

316

3

4

4

3

1

iiii

eezieez

,22 1619

4

44

3

3

ii

eez

16

27

4

64

3

4 22

ii

eez

21.-Calcular tal que siga soluci de3

27iz i el seu argument estiga en el tercer quadrant.

22.- Un nombre complex ms el seu conjugat ms el doble del seu oposat val i6 ; a ms el seu mdul val 5 .

Calcular aquest nombre complex.Soluci:

362)(22 biibbiabiabiazzzbiazbiaz 4,4595 222 aaababiaz

Soluciones: iziz 34,34 21

23.- Calcular els valors de z que compleixen: 28284 iz

Soluci:

4444 16162828

ii

ezeiz

1625

416

17

316

9

216

1 2,2,2,2

iiii

ezezezez

24.- Siga el polinomi de coeficients reals 012

2

3

3

4

4)( axaxaxaxaxP . Sabem que dos de les seues arrels

sn ix 1 i ix 12 , s a dir 0)()( 21 xPxP . Calcular les arrels que falten.

25.- Un circuit format per una tensi sinoidal t cos0

, es connecten a ella en srie una resistncia de valor

R, un condensador de valor C i una inductncia de valor L. Calcular el valor equivalent de la impedncia del

circuit, aix com la seua part real. (Ajuda: LjjwCRZZZZ LCReequivalent

1).

problemes de complexes

Documents